Diskussion:Rangsatz

Beweis

Generell sind Beweise hier nur sinnvoll, wenn sie den Satz erklären und nicht (nur) seine Richtigkeit nachweisen. Deshalb ist eine Skizze der wesentlichen Idee auch einem vollen Beweis vorzuziehen. (Ein Lehrbuch hingegen muss ein geschlossenes Gedankengebäude aufbauen, das sind andere Anforderungen.) Was man bei diesem Satz erklären könnte, sind die folgenden beiden Punkte, die eigentlich „anschaulich klar“ sein sollten:

• Es gibt ein Komplement von $\ker f$ in $V$, das isomorph auf $\mathrm {im} \,f$ abgebildet wird.
• Die Dimension des Gesamtraumes ist die Dimension eines Unterraumes plus die Dimension eines zugehörigen Komplementes.

Eine weniger konzeptionelle, aber auch nachvollziehbare Argumentation wäre die Rückführung auf die Aussage, dass man jede lineare Abbildung bezüglich geeigneter Basen in der Form

${\begin{pmatrix}1&&0&0&\cdots &0\\&\ddots &&\vdots &&\vdots \\0&&1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

schreiben kann.--Gunther 19:49, 13. Sep 2006 (CEST)

Quellen

Es wäre natürlich hilfreich, wenn Quellenangaben vorhanden wären.

Der Rangsatz ist elementar und findet sich dementsprechend in jedem Lehrbuch der linearen Algebra. --Stefan Birkner 20:20, 10. Jul. 2008 (CEST)

• lach* sry, aber das etwas überall vorkommt, ist keine Quelle - eher ein Löschgrund ... und eine Peinlichkeit, dass es so lange keine Quelle gab... dennoch Grüße --WissensDürster 20:06, 16. Jul. 2009 (CEST)

Fehlende Voraussetzung des Satzes?

Meiner Ansicht nach fehlt eine Voraussetzung, dass V und W Vektorräume über dem selben Körper sind. Beispielsweise hat kanonische Einbettung von $\mathbb {C}$ in $\mathbb {R} ^{2}$ zwar Urbild-Dimension 1, aber das Bild hat Dimension 2.

Die Voraussetzung, dass V und W Vektorräume über demselben Körper sind, ist eigentlich schon in der Definition einer linearen Abbildung enthalten: Lineare Abbildung#Definition. -- HilberTraum (d, m) 17:24, 10. Jun. 2016 (CEST)

Fehlende Voraussetzung: f: V -> W, V endlich-dimensional

In der englischen Wikipedia wird zumindest gefordert, dass V endlich-dimensional ist. Oder (weil das gerade ein Bekannter behauptet hat, dass es auch ohne diese Voraussetzung stimmt) man sollte definieren, wie die Gleichung bei dim(.)=\infty zu interpretieren ist. (Wie ist '+' definiert? Wie in den hyperreellen Zahlen?)