Diskussion:Rechteckfunktion

Der Unterpunkt "Integral" müsste doch "Faltung" heissen, oder?

--77.23.148.229 23:00, 10. Dez. 2008 (CET)

Wieso? Wenn man eine Rechteckfunktion, die symmetrisch zur Nulllinie verläuft, integriert, wird daraus eine Dreiecksfunktion. Man kann dann auch Stammfunktion dazu sagen, aber Faltung? Und wenn die Rechteckfunktion nicht symmetrisch zur Nulllinie läuft, kommt additiv noch ein linearer Anteil zur Stammfunktion dazu. --PeterFrankfurt 02:49, 11. Dez. 2008 (CET)

Das mit dem Integral kann so nicht stimmen. Wenn man über die Rechteckfunktion integriert, passiert bis t = -1/2 erstmal gar nix, dann hat man von t = -1/2 bis t = +1/2 einen linearen Anstieg von 0 bis 1 und danach bleibt der Wert auf 1. Die Dreicksfunktion müsste jedoch schon bei t = -1 beginnen, bis t = 0 auf 1 ansteigen und dann wieder bis t = 1 auf 0 abfallen. Das ganze ist eigentlich offensichtlich, da die Rechteckfunktion gar keinen negativen Anteil hat. Man könnte höchtens über zwei verschobene Rechteckfunktionen mit verschiedenem Vorzeichen integrieren: rect(t + 1/2) - rect(t - 1/2). Die gängigere Definition der Dreicksfunktion ist jedoch durch die Faltung zweier Rechteckfunktionen, wie oben schon angemerkt wurde, gegeben. --BrainyX 19:00, 3. Mär. 2009 (CET)

Danke für den Hinweis, hab's korrigiert.--wdwd 20:24, 3. Mär. 2009 (CET)

Hoppla, Ihr habt da was Wichtiges übersehen: In der alten Version stand die Zusatzbedingung Integral über die (zur Nulllinie symmetrische) Rechteckfunktion. Da kommt nun wirklich ein Dreieck raus. Das ist jedenfalls viel Oma-tauglicher als die hochabstrakte Faltung. --PeterFrankfurt 02:23, 4. Mär. 2009 (CET)

Hi PeterFrankfurt, Definition steht am Anfang und, huii, implizite Re-Definitionen ohne Hinweis wie redefiniert wird? Nun ja, da ist ein Link auf die Faltungsoperation nun noch um einiges oma-tauglicher. Die periodische Fortsetzung der Rechteckfunktion (Folge) mit sym. Werten (+1, -1) um die Nulllinie, ergibt als Integral eine periodische Folge von Dreiecksfunktionen. Wenngleich in der Technik bei dem "Rechteck-Signalgenerator" und ähnlichen anzutreffen, ist die Rechteckfunktion, wie auch hier im Artikel beschrieben, nicht periodisch.--wdwd 20:09, 4. Mär. 2009 (CET)

Selbst wenn man das Rechteck nach unten verschiebt (ich denke mal, das meintest du mit symmetrisch zur Nullinie), kommt kein Dreick raus. Denn dann hast du ja einen negativen Gleichanteil, und das Integral geht linear gegen -inf. Zur Veranschaulichung hab ich das auch mal in einem Diagramm dargestellt. BrainyX 10:04, 5. Mär. 2009 (CET)

Hi BrainyX, (kürze mal die Einrückung): Würdest Du Dein (?) Bild, die erste Abbildung oder eventuell auch beide, auf commons unter einer offenen Lizenz zur Verfügung stellen wollen? Direkter Uploadlink. Dann könnten wir diese (korrekte) Abbildung zur Verdeutlichung in den Artikel mit aufnehmen.

Nachtrag: Meinte die peridoische Fortsetzung der Rechteckfunktion, auch als "Rechteckschwingung" bezeichnet. Deren Ableitung ist eine Ableitung ist eine Folge von "Dreiecken", Dreieckschwingung.--wdwd 19:16, 5. Mär. 2009 (CET)

@BrainyX: Wenn man eine symmetrische Rechteckschwingung mit Tastverhältnis 1:1 hat (ja, ich weiß, Spezialfall, aber eigentlich der Normalfall, da am häufigsten vorkommend) und die dann symmetrisch zur Nulllinie verschiebt, dann hat man aber spätestens eine Dreiecksfunktion. --PeterFrankfurt 01:22, 10. Mär. 2009 (CET)

Ein beliebiges Rechteck gefaltet mit einem anderen beliebigem Rechteck ergibt ein Trapez. Der Spezialfall das beide Rechtecke gleich sind ergibt ein Dreieck. Wenn aber bei der Faltung nur die Rechteckfunktion gemeint ist wie sie dort steht, dann kann das natürlich so stehen bleiben. -- 129.217.129.131 00:04, 30. Jun. 2010 (CEST)

Wert an den Flanken

Zum Thema "warum ist der Wert 1/2 auf der Flanke so wichtig, und warum ist es nur Bequemlichkeit, ihn in der Definition wegzulassen:" Wenn man auf der Flanke nicht 1/2 annimmt, ist die Fourierkorrspondenz rect <-> sinc in diesem Punkt nicht erfüllt, was z.B. zu falschen Resultaten führt, wenn man ein Integral wie (7) aus http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf mit der Fouriertransformation löst.

Hanspi (Diskussion) 12:32, 28. Nov. 2014 (CET)

Ja, für die Korrespondenz ist das richtig, aber die kommt ja im Artikel gar nicht vor, nur die Formel ${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\mathrm {si} (\pi f)$. Und die ist doch für beide Rechteckfunktionen richtig. -- HilberTraum (d, m) 15:12, 28. Nov. 2014 (CET)

Nein, ${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect_{d}} (t)\}=\mathrm {si} (\pi f)$ trifft nicht zu. Beweis durch Gegenbeispiel:

Schauen wir $\int _{-\infty }^{\infty }2\cos(t)\cdot \mathrm {sinc} \left(t\right)dt$ an.

Ich zerlege das in $\int _{-\infty }^{\infty }\left(e^{jt}-e^{-jt}\right)\cdot \mathrm {sinc} \left(t\right)dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{jt}\cdot \mathrm {sinc} \left(t\right)dt+\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jt}\cdot \mathrm {sinc} \left(t\right)dt$

Nun vergleiche ich das Integral $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jt}\cdot \mathrm {sinc} \left(t\right)dt$ mit dem Fourierintegral $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j\omega t}e^{-jt}\cdot \mathrm {sinc} \left(t\right)dt$ Und stelle fest, dass es sich beim Integral $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jt}\cdot \mathrm {sinc} \left(t\right)dt$ genau um den Wert von $\operatorname {rect} (.)$ auf der Flanke handelt. Das heisst, wenn ich mein Integral mit Fouriertransformastion löse, dann gibt es in diesem Fall einen Unterschied, ob ich $\operatorname {rect} (.)$ oder $\operatorname {rect_{d}} (.)$ verwende.

Damit ist bewiesen, dass die zwei nicht äquivalent sind, eine der Korrespondenzen ist falsch, und zwar ist es ${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect_{d}} (t)\}=\mathrm {si} (\pi f)$, das falsch ist, und ${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\mathrm {si} (\pi f)$, das richtig ist. Einverstanden?

Hanspi (Diskussion) 11:20, 1. Dez. 2014 (CET)

Nein, im Artikel wird keine Korrespondenz behauptet. Da steht nur, was die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ist, und das ist für beide Definitionen richtig. Was du ausrechnest, ist die Fouriertransfomierte der sinc-Funktion, aber ${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\mathrm {si} (\pi f)$ ist nur eine Kurzschreibweise für $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)e^{-2\pi if}\,dt=\mathrm {si} (\pi f)$. -- 12:55, 1. Dez. 2014 (CET)

P.S. ich hab die Stelle im Artikel jetzt etwas genauer ausgeführt. Besser? -- HilberTraum (d, m) 13:06, 1. Dez. 2014 (CET)

Besser, aber immer noch nicht richtig. Ich habe nur die Richtung verwechselt, ich alter Legastheniker ;) Die Fouriertrafo ist aber dual. Ich kann ganz einfach starten von ${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }2\cos(\omega )\cdot \mathrm {sinc} \left(\omega \right)d\omega$, dasselbe wie oben mit der Fourierrücktransformation durchziehen, und schon ist auch die andere Korrespondenz für $\operatorname {rect_{d}} (.)$ als falsch bewiesen. Einverstanden?Hanspi (Diskussion) 13:17, 1. Dez. 2014 (CET)

Das ist ja alles richtig, mein Argument ist doch nur: Im Artikel steht weder etwas von einer Korrespondenz noch von einer Rücktransformation. Es kommen dort nur Transformationen in eine Richtung vor. Du kann das natürlich gerne noch ausbauen. -- HilberTraum (d, m) 13:23, 1. Dez. 2014 (CET)

Damit ich Deinen Einwand vollständig verstehe: was meinst Du genau mit Richtung? ${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\mathrm {si} (\pi f)$ ist für mich absolut gleichbedeutend wie $\operatorname {rect} (t)={\mathcal {F}}^{-1}\{\mathrm {si} (\pi f)\}$. Übersehe ich da was? -- Hanspi (Diskussion) 08:15, 2. Dez. 2014 (CET)

Das kommt darauf an, wie ${\mathcal {F}}$ genau definiert ist. Wenn es einfach nur als Integral einer Funktion gemeint ist, dann ist es nicht gleichbedeutend, das zeigt ja unser Beispiel: Wenn man die Transformierte von $\operatorname {rect_{d}} (t)$ berechnet, kommt $\mathrm {si} (\pi f)$ heraus. Wenn man danach mit ${\mathcal {F}}^{-1}$ die Rücktransformation berechnet, bekommt man aber $\operatorname {rect} (t)$ heraus und nicht $\operatorname {rect_{d}} (t)$.

Im Artikel Fourier-Transformation wird aber ${\mathcal {F}}$ auf $L^{1}(\mathbb {R} )$ definiert. Das heißt, dass man gar nicht zwischen Funktionen unterscheidet, die sich nur auf einer Nullmenge (also z. B. an einzelnen Stellen) unterscheiden. In diesen Sinne wären dann $\operatorname {rect_{d}} (t)$ und $\operatorname {rect} (t)$ die „gleiche Funktion“. -- HilberTraum (d, m) 12:01, 2. Dez. 2014 (CET)

Ehm ... dann müssen wir aber den Artikel Fourier-Transformation auch anpassen. Wenn man sich auf $L^{1}(\mathbb {R} )$ einschränkt, ist der Dirac-Stoss $\delta (t)$ nicht mehr unterscheidbar von der Funktion $f(t)=0$. Ich halte die Einschränkung auf $L^{1}(\mathbb {R} )$ für falsch, verlasse aber nun tatsächlich die Region der Mathematik, in der ich mich sicher fühle. Ich hielt $L^{1}(\mathbb {R} )$ nur für "einfach integrierbarbare", ohne weitere Bedingungen mit Nullmengen etc. Wo kommt die Einschränkung auf $L^{1}(\mathbb {R} )$ her, weisst Du das? -- Hanspi (Diskussion) 16:41, 3. Dez. 2014 (CET)

Der Dirac-Stoß ist keine $L^{1}$-Funktion, also trifft das Gesagte hier nicht zu. Dazu muss man die Fouriertransformation noch verallgemeinern (im Artikel steht was dazu). Warum man $L^{1}$ verwendet? Ich würde einfach sagen, damit man sich eben um so Komplikationen, wie eine Rechteckfunktion an den Flanken definiert sein sollte, nicht kümmern muss. Wie du ja selbst schreibst, hätte man gerne, dass ${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\mathrm {si} (\pi f)$ gleichbedeutend mit $\operatorname {rect} (t)={\mathcal {F}}^{-1}\{\mathrm {si} (\pi f)\}$ ist, und darum legt man einfach fest, dass es egal sein soll, wie eine Funktion an den Sprungstellen genau definiert ist. -- HilberTraum (d, m) 21:11, 3. Dez. 2014 (CET)

Von mir aus können wir jetzt abschliessen: ich danke Dir für die sehr lehrreiche Diskussion, und Du hast mich überzeugt, dass der letzte Artikeltext von Dir ganz gut ist. -- Hanspi (Diskussion) 18:12, 5. Dez. 2014 (CET)

Definition der Rechteckfunktion

Hi, meiner Meinung nahc ist die Definition der Rechteckfunktion falsch. Es müsste eigentlich heißen Funktion = 1 falls |t| <= d/2 und nicht < 1/2 oder? Quelle: Puente Signale und Systeme. (nicht signierter Beitrag von Engelmanna (Diskussion | Beiträge) 10:47, 6. Nov. 2015 (CET))

Eine Zeitstreckung bzw. Zeitdehnung kann durch Division bzw. Multiplikation des Zeitparameters 't' erreicht werden.--wdwd (Diskussion) 21:29, 7. Nov. 2015 (CET)

Symbol

Gibt es Quellen für die Verwendung des Symbols $\sqcap$? Madyno (Diskussion) 12:29, 23. Dez. 2020 (CET)

In MathWorld (https://mathworld.wolfram.com/RectangleFunction.html) ist von $\Pi (x)$ die Rede. Ich habe das Funktionssymbol entsprechend geändert (siehe Spezial:Diff/219312131/219335990). Grüße --SweetWood (Diskussion) 20:37, 19. Jan. 2022 (CET)