Diskussion:Restklassenring

Die Erklärung der Schreibweise 3 statt [3] geht für meinen Geschmack in der falschen Richtung. Es wird nicht ein Vertreter von [3] gewählt, sondern das kanonische Bild von 3 in $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ betrachtet. Man schreibt ja auch ganze Zahlen $\geq n$ einfach so hin, obwohl sie nicht dem Vertretersystem angehören.--Gunther 13:51, 9. Sep 2005 (CEST)

Meines Erachtens führen diese Restklassenringe ein Doppelleben. Ich versuche das mal am kleinsten Restklassenring $\mathbb {Z} _{2}$ zu erklären. Dieser besteht aus den Restklassen $R_{0}$ und $R_{1}$, nämlich der Restklasse aller geraden bzw. aller ungeraden ganzen Zahlen. Sagen wir mal, das war die algebraische Konstruktion. Es gibt aber auch die mehr computeralgebraisch oder praktisch angehauchte Konstruktion: Nehme die Zahlen 0 bis 1 (oder im allgemeinen Fall 0 bis n-1) und erkläre für diese eine hübsche Addition und Multiplikation, indem "intuitiv" (d.h. in $\mathbb {Z}$) addiert u. multipliziert wird und das Resultat derart modulo n berechnet wird, dass der Rest im Zahlenraum 0..n-1 zu liegen kommt. Auf diesen Zugang kommt man natürlicherweise, wenn man einen Prozessorchip designt und mit 32-bit-Zahlen dem User eine Arithmetik geben will: Dann kann man im Prinzip nur die modulo-Arithmetik oder die zyklische Arithmetik anbieten (d.h. aus (n-1)+1 bildet man 0 oder 1). Dass diese modulo-Arithmetik einen schönen Ring ergibt, kann man beweisen, ohne die Konstruktion $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ zu gebrauchen (deshalb finde ich persönlich auch die Bezeichnung $\mathbb {Z} _{n}$ wertfreier und schöner).--JFKCom 18:02, 9. Sep 2005 (CEST)

Zum letzten Punkt: Die Bezeichnung $\mathbb {Z} _{n}$ ist schlicht überflüssig. Es gibt eine allgemeine Bezeichnung $A/I$ für Restklassenringe, und diese Notation ist im konkreten Fall nicht wesentlich aufwendiger als $\mathbb {Z} _{n}$. (Dass $\mathbb {Z} _{2}$ auch noch missverständlich ist, macht die Sache nur noch schlimmer.)

Äh, Moment. Ich finde $\mathbb {Z} _{n}$ nicht überflüssig! Ich denke doch, dass diese Ringe im täglichen Leben 100-mal häufiger als die p-adischen Zahlen vorkommen. Zu fast jeder anspruchsvolleren Rechenaufgabe in $\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {Q}$ gibt es erfolgversprechende Algorithmen, die in passenden Restklassenringen hin- und herjonglieren, um das passende Resultat zu erzeugen (Beispiele: die schnellste verfügbare FFT ist die im $\mathbb {Z} _{n-1}$ und im $\mathbb {Z} _{n+1}$ mit Zahlen $n=2^{2^{k}}$, die schnellste verfügbare Multiplikation ganzer Zahlen springt durch eine Hierarchie solcher Restklassenringe im fröhlichen Wechselspiel mit Ringen $\mathbb {Z} _{2^{m}}$, die schnellsten heuristischen ggT-Algorithmen springen durch verschiedene Restklassenringe und führen die Zwischenergebnisse zu größeren Restklassenringen zusammen; die schnellste bekannte Polynommultiplikation in einer und mehrerer Variablen konkateniert Koeffizienten in große Restklassenringe, in denen dann schnelle Integermultiplikationen stattfinden, deren Resultate wiederum in kleinere Restklassenringe zurückbefördert werden; die ganze Integer-Arithmetik, die man über die Maschinensprache und die Compiler vom Computerprozessor bekommt, ist zu 90% reine Modulo-Arithmetik, ...). Sind erstmal die Koeffizientenräume alles Restklassenzahlringe, so betrachtet man nun auch Matrizen- und Polynomalgebren mit Koeffizienten aus $\mathbb {Z} _{n}$; die würde ich in etwa $\mathbb {Z} _{n}^{m\times m}$ und $\mathbb {Z} _{n}[X]$ etc. notieren, und fände die Schreibweisen ${\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }^{m\times m}$ und $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} [X]$ so missverständlich, dass man sie gleich mit Klammern zu $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{m\times m}$ und $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )[X]$ ergänzen müßte. Die Notations-Party geht dann aber noch weiter, z.B. werden in den Polynomalgebren Faktorisierungen nach den Idealen, die durch endlich viele einzelne Polynome erzeugt werden, betrachtet: Das sind z.B. $\mathbb {Z} _{n}[X]/(X^{k}-1)$ vs. $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )[X]/(X^{k}-1)$. Welche Notation ist hier suggestiver?--JFKCom 20:28, 9. Sep 2005 (CEST)

Das ist Geschmackssache, ich finde $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )[X]/(X^{k}-1)$ gut zu lesen. (Sogar besser, weil mich $\mathbb {Z} _{n}$ verwirrt. Primzahlen heißen nicht n ;-) Notwendig ist die Kurzschreibweise $\mathbb {Z} _{n}$ jedenfalls nicht.--Gunther 20:56, 9. Sep 2005 (CEST)

Wieso denkst Du beim Anblick von $\mathbb {Z} _{n}$ gleich an Primzahlen?--JFKCom 21:21, 9. Sep 2005 (CEST)

Weil es n-adische Zahlen nur gibt, wenn n eine Primzahl ist :-) --Gunther 21:32, 9. Sep 2005 (CEST)

Oooch, das ist doch ein bisschen unfair. Ich hab Dir jetzt in 20 Zeilen erklärt, warum ein Leben ohne Restklassenringe vollkommen unmöglich wäre. Nun musst Du mir mal erklären, warum ich mir sperrige p-adische Zahlen (noch dazu nur die ganzen darunter) unters Kopfkissen legen muss, damit ich schlafen kann.--JFKCom 21:45, 9. Sep 2005 (CEST)

Hm. Also: $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ist für $n$, die keine Primzahlpotenzen sind, unnötig umständlich, weil die allermeisten Probleme in Teilprobleme für die einzelnen Primzahlen, die $n$ teilen, zerfallen (chinesischer Restsatz). Aber Rechnen in $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ ist nichts anderes als Näherungsrechnung in $\mathbb {Z} _{p}$ (Zahlen, deren Abstand kleiner als eine gewählte Schranke ist, werden als gleich angesehen). Gut, ist ein bisschen geschummelt, weil es genausogut Näherungsrechnung in $\mathbb {Z}$ ist, aber man betreibt ja üblicherweise auch Näherungsrechnung in $\mathbb {R}$ und nicht in $\mathbb {Q}$, auch wenn die Computerdarstellung reeller Zahlen im Regelfall rationale Zahlen sind.--Gunther 22:09, 9. Sep 2005 (CEST)

Ah, langsam lichten sich die Nebel. Das mit dem chin. Restsatz ist theoretisch ganz toll, aber wenn Du superlange ganze Zahlen multiplizieren willst, kannst du die Primfaktorisierung wie eine Stecknadel im Heuhaufen suchen, und wenn Du sie gefunden hast, hat der Schönhage-Strassen-Algorithmus vielleicht bereits Grahams Zahl $G_{64}$ quadriert (gut, das war jetzt etwas übertrieben). Deshalb lebt der Restklassenring $\mathbb {Z} _{n}$ auch für alle Nicht-Primzahlpotenzen (daneben: auch für die 2-Potenzen n wird der Name gebraucht). So, und jetzt kommen die *schmutzigen* floating-point-ops daher (heissen "flops", weil der User nie wissen kann, ob die Maschine richtig gerechnet hat). Ich bin sowas wie Don Quixotte und kämpfe seit Jahren gegen die Windmühlen schmutziger flops und epsilons, denn die heutige Implementierung ist immer noch schmutzig, obwohl die Intervallarithmetiker in den 70er Jahren so klasse und harte Arbeit geleistet haben. Die Restklassenzahlen sind dagegen wirklich, implementationsnah und exakt! Brrr, der Computer ist doch nicht der Sklave der Grafikkarte, die einfach viele Frames frisst, die alle hübsch anzuschauen sind, weil keiner so genau hingucken kann. Irgendwann in ferner Zukunft wird es soweit sein, dass man den Wert exakter Arithmetik namens Computeralgebra erkennen wird. Ich erkenne ja an, dass die p-adischen Zahlen ganz hübsch sind. Aber sind sie so relevant wie die überall im Mathematiker-Haushalt nützlichen Restklassenzahlringe?--JFKCom 22:36, 9. Sep 2005 (CEST)

Nein, natürlich nicht. Aber sie sind auch nicht so unwichtig, dass man ihre Standardbezeichnung einfach anderweitig verwenden sollte, wenn sich das problemlos vermeiden lässt.--Gunther 01:33, 10. Sep 2005 (CEST)

Zum ersten Teil: Es geht mir gar nicht um den konkreten Ring. Ist $A$ irgendein unitärer Ring, so bezeichnet man mit 1,2,3,... die Bilder dieser ganzen Zahlen unter dem einzigen unitären Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} \to A$. Mit der expliziten Konstruktion hat das nichts zu tun.--Gunther 18:33, 9. Sep 2005 (CEST)

An den Zugang habe ich ja noch gar nicht gedacht. Das ist doch die Struktur einer abelschen Gruppe als $\mathbb {Z}$-Modul über sich selbst oder so; hab' ich das dann wie folgt richtig verstanden: Wenn wir die modulo-Zahlen als Faktorring $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ konstruiert haben, benennen wir die Klasse [1] mit dem Namen "1" (da sie auch das Einselement ist), und ab dann nennen wir 1+1=[1]+[1] mit Namen "2" usw. Damit hat zwar jede Klasse (abzählbar viele) Namenskandidaten, wir verzichten dann aber auf die Auszeichnung von ganz bestimmten n Vorzugsnamen für die n Elemente von $\mathbb {Z} _{n}$. Ist das didaktisch geschickt, z.B. im zweielementigen Raum der einstelligen Dualziffern $\mathbb {Z} _{2}$ ein Element mit "-4711" zu bezeichnen?--JFKCom 20:28, 9. Sep 2005 (CEST)

Was das mit der $\mathbb {Z}$-Modulstruktur zu tun hat, ist mir nicht klar. Aber ja, wir verzichten auf "Vorzugsnamen". Natürlich wird -4711 selten vorkommen, aber in den meisten Fällen will man sowohl über $n-1$ als auch über $-1$ sprechen können, es gibt also keine eindeutigen Namen.--Gunther 20:56, 9. Sep 2005 (CEST)

Ah, jetzt verstehe ich. Ja, man kann den Homomorphismus über die $\mathbb {Z}$-Modulstruktur via $n\mapsto n\cdot 1_{A}$ erklären.--Gunther 20:58, 9. Sep 2005 (CEST)

Ich hab' die Passage mal etwas umformuliert.--JFKCom 21:21, 9. Sep 2005 (CEST)

Danke.--Gunther 21:32, 9. Sep 2005 (CEST)

Der kleinste Restklassenring

Im Artikel steht:

Bei Division ganzer Zahlen durch 2 mit Rest ergibt sich als Rest entweder 0 oder 1. Damit ist $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ der kleinste aller Restklassenringe.

Jedoch ist $\mathbb {Z} /\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{1}=\{0\}$ doch noch einmal kleiner, oder sehe ich das falsch? --Jobu0101 00:48, 1. Aug. 2011 (CEST)

$Z/Z$ ist kein Restklassenring mehr, da genau eine Restklasse bei der Division durch 1 gebildet wird. und zwar $[0]:=0+1Z=\{x\vert x\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {Z}$ Da 0 kein Rest mehr ist, gibts auch kein Restklassenring. Wäre auch ziemlich sinnlos mit dem zu rechen: 0 + 0 = 0, 2 \cdot 0 = 0 --85.16.71.3 01:25, 4. Okt. 2015 (CEST)

Ist im Artikel mit Recht korrigiert, "mod 1" gibt's und ist halt der Nullring und damit auch genauso sinnvoll, wie es der Nullring nun einmal ist. Zweielementigkeit wird allgemein erst beim Körper gefordert.--2001:A61:20E9:2501:35C9:7BE0:8E06:36B4 19:46, 27. Jul. 2017 (CEST)

Wann ist der Rest negativ ?

Ich habe ein Problem : Bei mir soll a Modulo x entweder 1 oder -1 herauskommen. wie geht das mit minus 1 ??

Vielleicht so wie bei den negativen Zahlen der Computer Zahlen ? (2^16-1 sind die positiven und 2^16 sind negative Zahlen) ?

170.133.12.82 11:40, 7. Aug. 2023 (CEST)