Diskussion:Riemannscher Abbildungssatz

Folgender Satz ist mir nicht klar:

"Für jeden Punkt z des einfach zusammenhängenden Gebietes G gilt: es gibt genau eine biholomorphe Funktion h von G auf E mit h (z) = 0 und h' (z) < 0."

h' ist als Ableitung von h insbesondere eine komplexwertige Funktion, für komplexe Zahlen ist keine Ordnungsrelation definiert, was also bedeutet h'(z) < 0?

Sorry, ähnliche Abschätzungen stehen bei Ahlfors, Complex Analysis und Remmert, Funktionentheorie II, ich muss mir die Beweise noch einmal durchlesen.

WoSa 17:12, 4. Apr 2004 (CEST)

Gemeint ist, dass die Ableitung an der Stelle z reell und negativ ist.

Mir ist folgende Stelle unklar: "Alternativ lässt sich die obenstehende Aussage auch so formulieren: Zu frei wählbaren Punkten z aus G, s aus dem Rand von G und T aus dem Rand von E gibt es genau eine biholomorphe Funktion h von G auf E mit h(z) = 0 und h(s) = t. Aber eine auf G erklärte Funktion ist auf dem Rand von G noch nicht erklärt. --Hanfried.lenz 18:55, 28. Sep. 2007 (CEST).

Auch wenn diese Bemerkung schon einige Jahre auf dem Buckel hat, leuchtet sie mir ein. Ich werde den entsprechenden Satz aus dem Artikel entfernen. --Cosine (Diskussion) 15:19, 3. Feb. 2014 (CET)

Zwei Abbildungssätze

Folgt der kleine Abbildungssatz aus dem großen Abbildungssatz?—S. K. Kwan (Diskussion) 19:25, 31. Mär. 2018 (CEST)

Eine späte Antwort ist besser als keine. Ja natürlich folgt der riemannsche Abbildungssatz aus dem großen. Ich habe das ergänzt.--FerdiBf (Diskussion) 07:40, 28. Mai 2020 (CEST)

Gebiete mit Rand

Die Darstellung des Abbildungssatzes und seiner Geschichte in diesem Artikel entspricht nicht der üblichen Darstellung. Der Abbildungssatz läßt sich nicht nur für offene Gebiete, sondern auch für Gebiete mit Rand formulieren, wobei der Rand dann eine Jordan-Kurve sein muß. Historisch wurde der Abbildungssatz zunächst für Gebiete mit spezielleren Regularitäsbedingungen von Hilbert bewiesen. Darauf aufbauend bewiesen Poincaré und Koebe dann durch ein Approximationsargument den Satz für Gebiete ohne Rand (also die in diesem Artikel dargestellte Version, aus der auch der Uniformisierungssatz folgt) und schließlich bewies Caratheodory den Abbikdungssatz in seiner allgemeinsten Form (Jordan-Kurve als Rand).—Godung Gwahag (Diskussion) 22:09, 29. Jan. 2020 (CET)

Einfach zusammenhängende Gebiete oder Elementargebiete?

Ich kenne den Abbildungssatz so, dass Elementargebiete biholomorph äquivalent zur Ebene oder der Scheibe sind. Diese Aussage ist a priori stärker als die aktuelle, die sich nur auf einfach zusammenhängende Gebiete bezieht, denn der Abbildungssatz erlaubt es erst festzustellen, dass alle Elementargebiete einfach zusammenhängend sind. Ich bin dafür, den Satz über Elementargebiete zu formulieren: "Jedes Elementargebiet G\subsetneq C lässt sich biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe D abbilden." (nicht signierter Beitrag von Vercassivelaunos (Diskussion | Beiträge) 23:37, 29. Jul. 2020 (CEST))

Den Begriff des Elementargebiets kenne ich hauptsächlich von dem Autor Eberhard Freitag. Da die meisten Autoren, die mir sonst bekannt sind, diesen Begriff nicht nutzen, halte ich es für gut, dass dieser Artikel diesen Begriff auch nicht verwendet. --Christian1985 (Disk) 17:47, 30. Jul. 2020 (CEST)

Ok, das sehe ich ein. Ich habe die Funktionentheorie in Heidelberg gelernt, wo Freitag (und Koautor Busam) ja forschen. Wahrscheinlich hat sich deren Begrifflichkeit hier deshalb stärker eingebürgert als anderswo. Vercassivelaunos (Diskussion) 20:30, 31. Jul. 2020 (CEST)