Diskussion:S-finites Maß

Gegenbeispiel, das nicht besonders erhellend ist

Das Gegenbeispiel konstruiert ein (s-finites) Maßes auf einer endlichen Menge $X$ durch eine unendliche Summe eines einzigen Maßes, nämlich des auf $X$ per Definition eindeutigen Zählmaßes, das nämlich jeder Teilmenge von $X$ entsprechend ihrer Mächtigkeit 0,1 oder 2 zuordnet. Das heißt es wird ein und dasselbe Maß, eben diese eine Zählmaß, (abzählbar) unendlich oft mit sich addiert. Das konstruierte Maß ordnet damit der leeren Menge 0 zu und allen anderen Teilmengen Unendlich. Ein Maß auf einer endlichen Menge mit Potenzmenge als σ-Algebra, das einelementigen (und damit allen nicht leeren) Mengen $\infty$ zuordnet, ist natürlich nicht σ-endlich, denn die Mengen einer Überdeckung müssen Obermengen der einelementigen Mengen sein. Die Summe einer konstanten Folge von Maßen ist auf allen Mengen der σ-Algebra Unendlich, sofern sie keine Nullmengen oder deren Teilmengen sind. Das führt immer zu einem Maß mit zwei Werten, nämlich 0 oder $\infty$. Damit daraus ein σ-endliches Maß wird, müssen Nullmengen die Grundmenge überdecken. Das heißt, nur das 0-Maß könnte sich derart als σ-endliches konstruieren lassen. Alles in allem, scheint mir das Beispiel zu trivial, um wirklich erhellend zu sein. Wäre es nicht sinnvoller, die Dinge in kursiv zu erwähnen? --Molzer (Diskussion) 16:01, 9. Jun. 2024 (CEST)