Diskussion:SIR-Modell

Formeln

Wo bitte werden die Toten verrechnet? Die Infizierten teilen sich auf in Genesende und Tote - mit unterschiedlichen Raten. (nicht signierter Beitrag von 2003:F7:AF0F:8B00:4CBB:6AE8:BD96:F9EB (Diskussion) 01:00, 5. Mär. 2020 (CET))

Die Toten werden zur Gruppe R gezählt. Das ist jetzt hoffentlich im Artikel deutlicher geworden. Intuitiver ist sicher die separate Betrachtung, wozu es ein erweitertes SIRD-Modell gibt (jetzt im Artikel erwähnt). --Phrontis (Diskussion) 15:26, 11. Mär. 2020 (CET)

Infiziert gleich Krank?

Mir scheint, dass der Artikel munter Infizierte und Erkrankte durcheinander haut. Wenn ich die Abkürzung I richtig verstehe, dann behandelt das Modell nur Infizierte und macht über Erkrankte gar keine Aussagen. DrLemming (Diskussion) 16:12, 27. Mär. 2020 (CET)

Ja, denn das Modell macht zwischen infiziert und krank, keinen Unterschied. --Hfst (Diskussion) 13:44, 28. Mär. 2020 (CET)

Das ist im SEIR-Modell berücksichtigt.--Udo (Diskussion) 20:16, 3. Apr. 2020 (CEST)

Der Unterschied zwischen SIR und SEIR, dass SEIR zwischen infiziert und ansteckend unterscheidet während bei SIR der Infizierte instantan auch ansteckend ist.--Hfst (Diskussion) 22:31, 3. Apr. 2020 (CEST)

Ob jemand tatsächlich "krank" ist im Sinne einer klinischen Symptomatik ist, spielt bei diesem Modell keine Rolle: "I" bedeutet hier also lediglich "infektiös", dh. ansteckend (was stillschweigend voraussetzt, dass der/die/dasjenige auch "infiziert" war oder ist), nicht dagegen, ob er/sie/es auch "krank" in dem Sinne ist, wie wir uns das normalerweise vorstellen. Was zB. dann von Bedeutung ist, wenn, wie gerade bei der Corona-Epidemie, auch jede Menge "symptomfreie" Fälle rumlaufen, die zwar "infektiös", also ansteckend sein können, obwohl sie selber keinerlei Beschwerden haben. Soundsoviel tausend neue "Corona-Fälle" sind also lediglich soundsoviel tausend neue Infizierte (und damit wahrscheinlich auch Infektiöse), doch nicht notwendig auch ebensoviele neue Kranke. --Qniemiec (Diskussion) 19:21, 20. Apr. 2020 (CEST)

Differentialgleichungen

Das ist nur ein vereinfachtes SIR-Modell, siehe z.B. Eichner, Kretzschmar, Mathematische Modelle in der Infektionsepidemiologie, in A. Krämer, R. Reintjes (Hrsg.), Infektionsepidemiologie, Springer 2003, S. 81ff, im vollen Modell sind mehr Kopplungen zwischen S, I, R.--Claude J (Diskussion) 11:45, 6. Apr. 2020 (CEST)

Magst Du das ergänzen? Grüße, --Ghilt (Diskussion) 11:49, 6. Apr. 2020 (CEST)

Ich werde das mal überarbeiten, die Basisreproduktionszahl ist auch nicht erwähnt und auch die Gleichungen scheinen nicht in der üblichen Form zu sein.--Claude J (Diskussion) 14:04, 6. Apr. 2020 (CEST)

Näherungen: Reduziere Zahl der Parameter

In der letzten Gleichung sind doch fünf Parameter enthalten, und zwar ${\textstyle \alpha ,\gamma ,\phi ,\rho ,S_{0}}$. Oder? --Phrontis (Diskussion) 09:20, 7. Apr. 2020 (CEST)

$\alpha$ und $\phi$ werden erst im Abschnitt definiert über die im Eingang des Abschnitts erwähnten Parameter.--Claude J (Diskussion) 09:24, 7. Apr. 2020 (CEST)

Dimensionen der Rate $\beta$, $\gamma$ etc

Die Raten $\beta$, $\gamma$ etc haben die physikalische Dimension "1/Zeit" und ihr Wert hängt damit von der gewählten Einheit für die Zeit ab. In den Graphiken ist dies offensichtlich die Einheit Tag [d] (siehe Abszissenbeschriftung Graphik 1). In den Texten der Graphiken wird die Einheit der Raten aber nicht angegeben, sondern lediglich ein rein numerischer Wert.

Ferner widerspricht die Beschriftung des Schiebereglers in der zweiten Graphik (animierte Graphik mit veränderlichem $\beta$) scheinbar dem Text der Graphik ("Senkung von $\beta$=0,5 auf $\beta$=0,12"), denn der Regler variiert zwischen 0,0005 und 0,00012 (auch hier fehlt die Angabe der Dimension). Offenbar wird hier (N=1000) ${\tilde {\beta }}$ variiert und nicht $\beta$. Außerdem fehlt in dieser Graphik die Angabe der Einheit [d] bei der Abszissenbeschriftung. (nicht signierter Beitrag von 2003:E7:1707:5168:F082:72A6:DD5D:1CA8 (Diskussion) 10:24, 17. Apr. 2020 (CEST))

Ein möglicher Fehler

Hallo Leute, wenn ich mich nicht sehr irre, ist der Satz "wobei ${\frac {I}{N}}$ die Wahrscheinlichkeit eines Kontakts einer suszeptiblen mit einer infizierten Person ist" falsch. Denn m.E. gibt dieser bruch lediglich die Wahrscheinlichkeit des Kontakts eines Infektiösen mit irgendeinem Mitglied der Gesamtpopulation an. Viel eher schon scheint og. Wahrscheinlichkeit durch den Ausdruck ${\frac {I}{N}}\cdot S$ repräsentiert. Aber ehe ich da Hurz in die Welt setze, schau doch nochmal einer von Euch Spezis drauf. --Qniemiec (Diskussion) 19:32, 20. Apr. 2020 (CEST)

I/N ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Begegnung minestens einer infiziert ist, d.h. eine Infektion stattfindet. Sie unterschlägt, dass man bei einer Begegnung von 2 Infizierten nicht unbedingt von einer Infektion mehr sprechen kann. Implizit wird von S>>I ausgegangen. Die "richtige" Wahrscheinlichkeit für eine Infektion ist I/N*(S+R)/N=I/N*(N-I)/N=(N*I-I*I)/(N*N)~N*I/(N*N) da N>>I

--Hfst (Diskussion) 20:11, 20. Apr. 2020 (CEST)

Ja, danke, dachte ich mir nach einer Weile auch, wobei die Formulierung halt etwas irreführend ist, so als ob ${\frac {I}{N}}$ eine nur für den Kontakt einer ansteckbaren mit einer ansteckenden Person geltende bedingte Wahrscheinlichkeit wäre, derweil es einfach nur die Wahrscheinlichkeit, einer ansteckenden Person zu begegnen ist. Ob das zu einer Infektion führt oder nicht, steht dagegen auf einem anderen Blatt. Und zu Deiner Formel: wenn Du (S+R)=(N-I) setzt, nimmst Du dabei an, dass die Genesenen (R) wieder ansteckbar sind? Und wenn Du schreibst: "(N*I-I*I)/(N*N) ~ N*I/(N*N) für N>>I", würde damit nicht auch gelten "(N*I-I*I)/(N*N) ~ N*I/(N*N)=I/N für N>>I"? --Qniemiec (Diskussion) 20:54, 20. Apr. 2020 (CEST)

Es gilt in diesem Modell die Erhaltungsgleichung: N = S + I + R, daraus folgt N - I = S + R. --TumtraH-PumA (Diskussion) 08:47, 29. Apr. 2020 (CEST)

Übrigens, Differential-Gleichungs-Systeme sollten immer mit ihrer/n Erhaltungsgleichung/en und ihren Randbedingungen formuliert werden. Die einfachste Formulierung der mathematischen Beschreibung einer Epidemie ist die logistische Kurve. --TumtraH-PumA (Diskussion) 08:57, 29. Apr. 2020 (CEST)

Das einfachste Modell mit logistischer Kurve als Lösung ist nebenbei in der Einleitung als SI-Modell erwähnt.--Claude J (Diskussion) 10:15, 29. Apr. 2020 (CEST)

Ich hatte das nicht explizit erwähnt, dass man bei dem Ansatz mit der logistischen Differential-Gleichung schön zeigen kann, dass aus der Erhaltungs-Gleichung folgt, dass wir statt mit 2 Variablen und damit mit 2 Ditfferential-Gleichungen nur mit einer rechnen müssen. Mir ging es um den Zusammenhang mit der Erhaltungs-Gleichung, die es ermöglicht, die Dimension des Gleichungs-Systems um 1 zu reduzieren. --TumtraH-PumA (Diskussion) 13:32, 29. Apr. 2020 (CEST)

erregbare Medien

leider fehlt in der deutschen wiki ein Artikel der https://en.wikipedia.org/wiki/Excitable_medium entspricht. Hier wird zwar auf Lotka-Volterra-Gleichungen hingewiesen, aber grundsätzlich kann ein erregbares Medium nur dann umkippen, wenn es die entsprechenden Reserven aufgebaut hat und entzündet wird. Ob das nun das Steppengras ist, das einem Steppenbrand als Nahrung dient, oder die nicht immune Bevölkerung, auf die ein bisher unbekannter Krankheits-Erreger trifft. Bei großen Feuern helfen "Gegenfeuer", die Teil-Flächen kahlstellen, um die Ausbreitung zu stoppen. Quarantaine Maßnahmen wirken bei Epidemien gegen die ungehemmte Ausbreitung, jetzt scheint nur noch die Herdenimmunität, d.h. die völlige Durchseuchung - die im mathematischen Modell sich als einfach kalkulierbar erweist, Ziel der Politik zu sein. --TumtraH-PumA (Diskussion) 08:39, 29. Apr. 2020 (CEST)

SIR-X Modell

Hallo,

zur besseren Berücksichtigung von Eindämmungsmaßnahmen als im SIR-Standardmodell, das unkontrollierte Ausbreitung annimmt, wurde im April 2020 das SIR-X Modell vorgestellt. Vielleicht lässt sich daraus ja noch ein bisschen was zusammenschreiben. Quelle: doi:10.1126/science.abb4557 Wurde vom RKI mitentwickelt und wird wohl auch gerade verwendet. --Colazivi (Diskussion) 13:30, 30. Apr. 2020 (CEST)

Danke für den Hinweis. Ein paar Anmerkungen: ∂t wird im Allgemeinen für partielle Differential-Gleichungen verwendet. In der Veröffentlichung heißt es aber: The dynamics are governed by the system of ordinary differential equations:. Warum Gleichung (3) ∂tR = βI+κ0S gelten soll, scheint mir unklar, denn die Gruppe κ0S, die durch Containment-Maßnahmen vor einer Infektion bewahrt wurde, ist ja nur so lange davor bewahrt wie Containment besteht oder bis es keine Infizierenden mehr gibt, aber sie bleibt Teil der Ansteckbaren bei einer 2. Welle; siehe mein Beitrag hier oberhalb zu den Erregbaren Medien. (jetzt sehe ich im englischen ist R Recovered: genesen, in der deutschen Wiki R removed: aus dem Krankheitsgeschehen „entfernt“). (Wenn wir R als genesen interpretieren gehört der Term κ0S nicht in Gleichung (3) sondern in Gleichung (4). Aber wenn R removed ist, ist eine Gleichung für X eigentlich unnötig, dann müsste (3) lauten: ∂tR = βI+κ0S+(κ0+κ)I). Sehr wichtig scheint mir aus dem Anhang: https://science.sciencemag.org/highwire/filestream/742415/field_highwire_adjunct_files/0/abb4557_Maier_SM.pdf das folgende: Table S4: Fit parameters for fixed quarantine rate κ = 0 and public containment rate κ0 > 0, where it is assumed that all containment procedures affect the general population in the same way as infecteds (P = 1). We further show the resulting effective basic reproduction number R 0,eff . Provinces are ordered decreasingly by largest case number. mfG --TumtraH-PumA (Diskussion) 09:17, 4. Mai 2020 (CEST)

Das Modell dient nur dazu bestimmte Aspekte zu modellieren (subexponentielles Wachstum nach Einleitung isolierender Maßnahmen). Ich habe das mal eingefügt, da es zeigt wie man variabel modellieren kann.--Claude J (Diskussion) 13:43, 4. Mai 2020 (CEST)

Danke schön, dass du das Modell im Text ergänzt hast. Vor einiger Zeit gab es eine vergleichbare Analyse von Knuth M. Wittkowski. Knuth M. Wittkowski Modell Rechnungen bei unterschiedlichen Szenarien von "social distancing" hier der elend lange link auf eine .pdf-Datei https://www.researchgate.net/publication/340325643_The_first_three_months_of_the_COVID-19_epidemic_Epidemiological_evidence_for_two_separate_strains_of_SARS-CoV-2_viruses_spreading_and_implications_for_prevention_strategies/fulltext/5e83ecf6299bf130796dc05e/340325643_The_first_three_months_of_the_COVID-19_epidemic_Epidemiological_evidence_for_two_separate_strains_of_SARS-CoV-2_viruses_spreading_and_implications_for_prevention_strategies.pdf?origin=publication_detail darin u.a. über den Author: Dr. Wittkowski received his PhD in computer science from the University of Stuttgart and his ScD (Habilitation) in Medical Biometry from the Eberhard-Karls-University Tübingen, both Germany. He worked for 15 years with Klaus Dietz, a leading epidemiologist who coined the term “reproduction number”, on the Epidemiology of HIV before heading for 20 years the Department of Biostatistics, Epidemiology, and Research Design at The Rockefeller University, New York. Dr. Wittkowski is currently the CEO of ASDERA LLC, a company discovering novel treatments for complex diseases from data of genome-wide association studies. mfG --TumtraH-PumA (Diskussion) 14:17, 4. Mai 2020 (CEST)

Aussagekraft des Modells

Ich habe leider nur Gymnasialkenntnisse in Mathematik daher die Frage/Bitte: Könnte man an geeigneter Stelle im Artikel etwas zur Aussagekraft bzw. Genauigkeit des Modells in Abhängigkeit der zugrunde liegenden Datenmenge schreiben? Sprich, liefert das Modell von Anfang an verlässliche Aussagen oder sinkt die "Ungenauigkeit" erst mit Zunahme der Datenmenge? Braucht es gar eine "Mindestmenge" an Daten, um überhaupt Anwendung zu finden? Dankesehr! --ph0nq (Diskussion) 11:20, 19. Mai 2020 (CEST)

Diese Modelle gelten grundsätzlich nur, wenn die Menge, über der sie formuliert sind, statistisch relevant ist, d.h. genügend groß ist und die meisten auch nur, wenn - wie es in der Systemtheorie heißt, denn da stammen sie letztlich her, die Mengen gut durchmischt sind. Wenn wir nur das zeitliche Verhalten modellieren, kommen wir mit gewöhnlichen - engl. ordinary - Differentialgleichungen aus, im allgemeinen spielt aber die Bewegung, das heißt die räumliche Verleilung in der Zeit auch eine große Rolle; - darum ist der Erfolg von Bewegungsbeschränkungen, Quarantaine und oder Containment von so großer Bedeutung. Um solche räumilchen Verteilungen zu modellieren, sind Systeme von partiellen Differential-Gleichungen das Mittel der Wahl. Aber das Team von Viola Priesemann (Göttinger Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation) hat gerade - siehe Corona-Epidemie: Die Effekte der Einschnitte eine Modellierung veröffentlicht, die zeigt, beweist, dass ein früheres Reagieren der Regierungen - 5 Tage frühere Schulschließungen zu einem wesentlich schnelleren Erfolg, uns Menschen eine wesentlich kürzere Phase der Bewegungsbeschränkungen und damit die starke Behinderung der Ausbreitung des Virus gebracht hätte, d.h. bei noch weit unterhalb der statistischen Relevanz konnte dieses simuliert werden und doch wichtige ad post Prognosen gewonnen werden. --TumtraH-PumA (Diskussion) 19:11, 19. Mai 2020 (CEST)

Vielen lieben Dank! Der zitierte Artikel ist schon vom 3.4. und ich lese da ehrlich gesagt nirgends heraus, was "5 Tage früher einschränken" gebracht hätte. Überseh ich was? Tatsächlich spricht auch Prof. Kekulé in seinem Podcast davon, dass uns "1-2 Wochen Corona-Ferien ab dem 28.2. den Lockdown erspart hätten". --ph0nq (Diskussion) 13:38, 20. Mai 2020 (CEST)

Ja. Nein, ich habe zu der Aussage von Kekulé diesen Hinweis auf die Schnelle gefunden, er bezog sich auf die entsprechende Nature-Veröffentlichung und er sprach in seinem Podcast von diesen 5 Tagen. Mit Spracherkennung ziehe ich aus dem obigen Podcast u.a. folgendes: das fünf Tage vorher ist natürlich, heißt die Politik an der eigenen Nase fassen; da sieht es tatsächlich so aus, also nur das, was sie durchgerechnet hat für Schulschließungen und Kitaschließungen, wenn man das fünf Tage, nur fünf Tage vorher gemacht hätte, dann wäre die Zahl der täglichen Neuerkrankungen höchstwahrscheinlich nie über 1000 geklettert. --TumtraH-PumA (Diskussion) 01:48, 21. Mai 2020 (CEST)

Ergänzend hierzu eine Arbeit von Brockmann Dynamik und Ausbreitung von Infektionserkrankungen in einer globalisierten, vernetzten Welt darin: Je nach Kontext sollten stark verknüpfte Orte oder Regionen als „effektiv“ näher repräsentiert werden, während Orte, die nur schwach verknüpft sind, „effektiv“ als weiter entfernt dargestellt werden sollten. Konventionelle geografische Entfernungen müssen also durch ein effektives Entfernungsmaß ersetzt werden. Im Kontext der globalen Ausbreitung von Infektionskrankheiten auf dem weltweiten Flugverkehrsnetz kann man postulieren, dass diese neue effektive Distanz allein durch die Verkehrsströme berechnet werden kann. Die effektive Distanz berücksichtigt qualitativ, dass stark durch Verkehr verknüpfte Knoten (Flughäfen) im Flugnetz effektiv näher sind als schwach gekoppelte Knoten. --TumtraH-PumA (Diskussion) 23:04, 29. Mai 2020 (CEST)

Nochmal eine Anmerkung zum SRI-X-Modell

unter (SIR-X-Modell) werden die folgenden DGL. aufgeführt:

${\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-\beta {\frac {S\,I}{N}}-\kappa _{0}S$

${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=\beta {\frac {S\,I}{N}}-\gamma \,I-\kappa _{0}I-\kappa I$

${\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=\gamma \,I+\kappa _{0}S$

${\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=(\kappa +\kappa _{0})I$

Wenn wir die obige Definition: Susceptible-Infected-Recovered-Deceased-Model verwenden, d.h. R als Recovered bezeichnen, dann ist die 3. Gleichung falsch

• dR/dt = γI + κ0S

Ihr zweiter Term κ0S gehört in die 4. Gleichung: richtig ist dann:

• dS/dt = -βSI/N - κ0S
• dI/dt = βSI/N - γI - (κ + κ0)I
• dR/dt = γI
• dX/dt = κ0S + (κ + κ0)I

Es werden Isolations-Maßnahmen κ0 und Quarantäne-Maßnahmen κ ergriffen; die, die isoliert und noch nicht infiziert waren, sind nach Beendigung der Isolation wieder infizierbar. Nach dem kritisierten Modell sind sie aber Genesen (Recovered); sie waren aber nur removed, vorübergehend aus dem Infektionsgeschehen entfernt. mgf --TumtraH-PumA (Diskussion) 00:25, 29. Okt. 2020 (CET)

Du musst das Modell schon in dem Zusammenhang sehen, in dem es verwendet wurde (China, strenge Isolations- und Quarantänemaßnahmen Anfang 2020). Die Gleichungen sind die von Brockmann/Maier (Referenz angegeben). Sie betrachten einen Zeitraum in der die Isolierten ihrer Hypothese nach nicht am weiteren Infektionsgeschehen teilnehmen. Die Quarantänemaßnahmen betreffen laut Brockmann/Maier nur symptomatische Personen, also solche aus I.--Claude J (Diskussion) 06:56, 29. Okt. 2020 (CET)

Danke. Der Zusammenhang ist mir klar. Ich kenn auch die Quelle - den Brockmann hab ich in dieser Dis. sogar eingebracht; es geht um die Bedeutung von R, wird R als Recovered gedeutet, so ist das DGl-System falsch, das ist meine Aussage. Ist dagegen R removed so ist sie richtig. D.h. das sollte, da R hier anders als im Susceptible-Infected-Recovered-Deceased-Model verwendet wird, hier mitangegeben werden. Und es gibt ja auch die Wittkowski-Modellierung - hab ich früher in dieser Dis. schon mal im Mai erwähnt. Removed im Sinne des Brockmann-Modells wären dann die Genesenen + die Isolierten, nur mit dieser Definition stimmt das Modell. --TumtraH-PumA (Diskussion) 11:54, 1. Nov. 2020 (CET)

Da stand zwar nirgendwo dass R "Recovered" bedeutet (Variante bezog sich natürlich auf SIR-Modell und nicht auf das am Anfang das Abschnitt erwähnte SIRD-Modell), aber ich habe das trotzdem noch mal verdeutlicht.--Claude J (Diskussion) 14:38, 1. Nov. 2020 (CET)

Ja, danke. Ich kann mir vorstellen, dass in Politik und Medien diese etwas verwirrende Verwendung von R einmal als removed (d.h. aktuell nicht am Geschehen der Infektion beteiligt) und als recovered (d.h. hoffentlich dauerhaft nicht am Geschehen der Infektion beteiligt) die Sinn-Mäßigkeit bei Maßnahmen falsch beurteilen lässt. -- Die Modellierung als recovered gibt klarere Analyse-Daten, aber hier ging es ja um die Darstellung des Brockmann/Maier-Modells. In der oben von mir erwähnten WITTKOWSKI-Arbeit heißt es: Fig 1: SIR Model of SARS. Number of susceptible (blue), infectious (red), and resistant (green) people after a population of 10,000,000 susceptible people is exposed to 20 subjects infected carrying a novel virus. Assumptions: R0 = 2.2, infectious period = 7 days. Hier ist r resistant. Wittkowski sucht für das Containment "A Widow of Opportunity" das optimale Zeitfenster, wann ist eine kurze, harte Maßnahme am effektivsten, das ist die Modellierung einer Mischung aus DGL-System und einer Recht-Eck-Funktion für An- und Ab-Schalten, wie sie in der Systemtheorie oft modelliert wird. Übrigens im (nicht verknüpften) aber inhaltlich zugehörigen Artikel der eng-Wiki en:Compartmental_models_in_epidemiology heißt es for example, S, I, or R, (Susceptible, Infectious, or Recovered)-- mfG --TumtraH-PumA (Diskussion) 18:09, 1. Nov. 2020 (CET)

Gillespie Algorithmus

Was soll der Verweis auf einen Artikel der nicht exisitert ? (Rotlink). In der englischen wiki gibt es zwar einen Abschnitt zum SIR-Modell, doch nur als Methode der Annäherung an die analytische Lösung. Das war aber in der Einleitung ganz allgemein ein Hinweis auf die Kompartment-Aufteilung S-I-R und auf stochastische epidemische Modelle, nicht nur Näherungsmethoden für das ursprüngliche SIR-Modell (im Übrigen sieht mir der englische wiki artikel sehr nach OR aus, Angabe eines Programmcodes....). Ich entferne das deshalb.--Claude J (Diskussion) 07:12, 29. Okt. 2020 (CET)

Abbildung "Zeitlicher Verlauf der drei Gruppen..."

Liebe Autoren,

in der ersten Abbildung, "Zeitlicher Verlauf der drei Gruppen...", benutzen Sie eine lineare Skala für die drei Zahlen der Individuen. Wäre es nicht sinnvoll, hier -- zumindest als Alternative -- eine logarithmische Skala zu benutzen?

So würde auf den ersten Blick klar, dass I(t) sowohl im Früh- als auch im Spätstadium exponentielle Abhängigkeiten aufweist; auf derartiges Verhalten im Frühstadium verweisen Sie lediglich ganz weit unten im Text.

Einfach verständlich werden diese exponentiellen Abhängigkeiten, wenn man folgendes bedenkt: Für x >> 1 gilt näherungsweise sech x = 2 * e^-x . Für x << -1 dagegen näherungsweise sech x = 2 * e^x .

Hintergrund des Vorschlags: Man könnte so demonstrieren, dass exponentielles Verhalten typisch für solche Prozesse ist -- ob man es auf den ersten Blick wahrnimmt, hängt vom Verhältnis der Beobachtungszeit zur entsprechenden Zeitkonstante ab -- und dass sprungartige Änderungen der Parameter zu Knicken in solch einer halblogarithmischen Darstellung führen. Dies ist für die Analyse von Zeitreihen einer Epidemie hinsichtlich des Ausmaßes der Wirkung verschiedener Maßnahmen hilfreich.

Gern kann ich Ihnen ein Beispiel eines Paares linearer und halblogarithmischer Diagramme senden. Lassen Sie mich bitte eine E-Mail-Adr. dafür wissen.

Beste Grüße,

Arnulf Möbius (arnulf.moebius@t-online.de) --2001:638:911:10B:134:109:144:15 12:27, 31. Aug. 2023 (CEST)