Diskussion:Sattelfläche

Nichteuklidische Geometrie

Da die Wikipedia kein Lexikon für Mathematiker ist, tendiere ich dahin, die Definition auf Regelflächen und die nichteuklidische Geometrie im mathematischen Sinne zu beschränken, d.h. nicht euklidisch = nichteuklidisch, weitere Geometrien werden außer Acht gelassen. Zumal der verlinkte Artikel Nichteuklidische Geometrie genau diese Vereinfachung macht. Außerdem beziehen sich alle Beispiele und Bilder auf jenen Fall.

Ein möglicher Kompromiß könnte darin bestehen, daß die IP (J. Wallner?) zum Artikel, wie er vor den letzten IP-Edits aussah, einen Abschnitt "in strenger mathematischem Sinne" hinzu fügt - vielleicht auch im Artikel Nichteuklidische Geometrie.

Diese Abschnitte würde ich aber unterhalb der ausführlichen Erläuterung des "Spezialfalles" einfügen! Dann kann der interessierte Nichtmathematiker nämlich genau bis da lesen und hat trotzdem was gelernt.

--Elop 12:33, 4. Sep. 2009 (CEST)

Lieber Elop,

der Artikel "nichteuklidische Geometrie" ist inkonsistent mit dem Artikel "Sattelflaeche", :wenn Sie Ihn genau lesen. Im Artikel "nichteuklidische Geometrie" wird, soweit ich gesehen habe, die n.e. Geometrie korrekt beschrieben. Ich habe mich in meinen Aenderungen zum Artikel "Sattelflaeche" bemueht, das Wort "nichteuklidisch" im korrekten Sinn zu verwenden.

Auch wenn die Wikipedia kein Lexikon fuer Mathematiker ist, ist der Begriff "nichteuklidisch" in der Kulturgeschichte prominent genug, dass er korrekte Behandlung verdient.

Mein Zugang zu Fehlern in der Wikipedia ist einfach: Ich loesche sie bzw. bessere sie aus, und wenn jemand, der offensichtlich nicht vom Fach ist, darauf beharrt, den alten Text wieder hineinzuschreiben, dann wird mir die Sache irgendwann zu bloed und ich lasse es sein.

Dass ich bei Arbeiten, die Studenten bei mir abgeben, die Wikipedia als Literaturzitat nicht gelten lasse, ist jedenfalls wieder mal eindrucksvoll begruendet.

mit freundlichen Gruessen,

J. Wallner

http://www.geometrie.tugraz.at/wallner (nicht signierter Beitrag von 129.27.155.34 (Diskussion | Beiträge) 18:35, 5. Sep. 2009 (CEST))

Lieber Johannes,

was soll denn an der Aussage falsch sein, daß die Geometrie einer Regelfläche, die eine Sattelfläche darstellt, nichteuklidisch im Wortsinne ist?

Es ist in der Wikipedia nicht sinnvoll, die allgemeinstmögliche Definition nach vorne zu stellen. Denn das würde dafür sorgen, daß der Artikel nur von Leuten verstanden würde, die es eh schon genauer wußten.

Daß Studenten, die bei Dir Vorlesungen zur Differentialgeometrie belegen, nicht die Wikipedia als Hauptinfoquelle haben, sollte sich von selber verstehen.

Die Ausführungen im Artikel Nichteuklidische Geometrie sind als Schnellreferenz nicht tauglich. Sie beginnen mit der Einleitung:

>>Nichteuklidische Geometrien unterscheiden sich von der euklidischen Geometrie dadurch, dass in ihnen das Parallelenaxiom nicht gilt.<<

und driften danach erst einmal in die Geschichte.
Wären sie wie eine Mathematikvorlesungsskript gegliedert, begönnen sie mit der Definition (bzw. einer der möglichen). Das geht schwerlich mit "unterscheidet sich von".

Ich bin insofern "nicht vom Fach", als ich keine Vorlesungen zum Fachgebiet halte. Da mein Mathematikstudium überdies mehr als anderthalb Jahrzehnte zurück liegt und ich seither nicht mehr mit der universitären Mathematik beschäftigt war, muß ich mich in viele Gebiete wieder einarbeiten. Speziell in diesem Artikel - der nicht meiner Tastatur entsprungen war - mußte ich das tun, nachdem ich ungesichtete IP-Edits sah, die große Teile des zuvor bestehenden Textes entfernt hatten.

Umgekehrt ist ein Professor des betreffenden Fachgebietes nicht immer zwingend der beste Ansprechpartner, um Laien (und eben nicht talentierten Mathematikstudenten) die Begriffe zu erklären.

Was genau war an dem Artikel, wie Du ihn bei deinem letzten Edit vorgefunden hast, sachlich falsch?

Das Löschen ganzer Abschnitte mit dem EditKomm "das ist falsch" ohne Präzisierung auf der Diskussionsseite ist nicht unbedingt das Mittel der Wahl. --Elop 20:20, 5. Sep. 2009 (CEST)

Lieber Elop,

"falsch" sind die folgenden Dinge:

1.) den Begriff Sattelflaeche auf die Regelflaechen einzuschraenken, denn das sind flaechen, die durch Bewegung einer Geraden im Raum erzeugt werden

2.) den Begriff "nichteuklidisch" fuer die innere Geometrie einer Flaeche zu verwenden, die (lokal) verschieden von einer Sphaere, oder Pseudosphaere ist (das ist eine Flaeche mit konstanter Gausskruemmung).

3.) den Satz mit "... nicht der menschlichen Anschauung einer Flaeche entsprechen, jedoch die meisten ihrer topologischen..."

Das sind unterschiedliche Kategorien von "falsch". Der Artikel war auf jeden Fall inkonsistent. Im Detail:

zu 1. Wenn man also den Begriff Sattelflaeche wirklich auf Regelflaechen einschraenkt, dann entspricht das nicht dem Sprachgebrauch (aber als Mathematiker ist man es gewohnt, dass durch Definitionen Begriffe anders beschrieben werden als im normalen Sprachgebrauch ueblich). Nehmen wir also an, die Sattelflaechen sind wirklich alle Regelflaechen. Dann gibt es nicht sehr viele davon, und keine einzige traegt eine nichteuklidische Geometrie.

zu 2. Diese Terminologie ist seit dem 19. Jahrhundert in allen Sprachen, die ich kenne fixiert. Nichteuklidische Geometrien sind diejenigen, die das Parallenaxiom nicht, aber dafuer andere Axiome, insbesondere diejenigen, die freie Beweglichkeit implizieren, erfuellen. Jede Flaeche, die eine echt nichteuklidische Geometrie traegt,

muss z.B. die Eigenschaft haben, dass man ein kleines Flaechenstueck ausschneiden und irgendwo anders auf die Flaeche "auflegen" kann und es dort genau hinpasst (verbiegen darf es sich).

zu 3. Dass Flaechen, die keine Regelflaechen sind, nicht der Anschauung einer Flaeche entsprechen sollen, verstehe ich gar nicht. Ich bekenne, den Satz habe ich als ganz und gar sinnlos empfunden.

Mit dem Artikel ueber nichteuklidische Geometrie habe ich nichts zu tun. Ich will jetzt nicht auch noch diesen Artikel korrigieren. Aber es geht aus ihm korrekterweise hervor, dass nichteuklidische Geometrien aus der euklidischen Geoemtrie dadurch hervorgehen, dass man von den "ueblichen" Axiomen das Parallelenaxiom weglaesst. D.h. die uebrigen Axiome gelten weiterhin. Die innere Geometrie einger allgemeinen Flaeche, uns insbesondere z.B. die des hyperbolischen Paraboloids, hat diese Eigenschaft nicht.

vlGruesse

JW (nicht signierter Beitrag von 129.27.155.34 (Diskussion | Beiträge) 17:04, 7. Sep. 2009 (CEST))

Namnt Johannes! Danke für die Klarstellungen.

Ich muß zugeben, daß mir der "globale" Charakter der nichteuklidischen Geometrie nicht ganz klar war. Leider habe ich zu Hause kein Buch, das das axiomatisch ausbaut und wo man schnell die wichtigsten Sätze nachschlagen kann. Das einzige Mal, wo ich in meinem Studium mit einer Sattelfläche zu tun hatte, war gegen Ende von Linal II bei den Bilinearformen. Alles, was ich an Büchern zu Hause habe, was entfernt mit Geometrie zu tun hat, sind "Fulton, Algebraic Curves" und "Orlik, Arrangements of Hyperplanes". Die bauen aber eher auf Funktionentheorie und Algebra auf und widmen sich nicht wirklich dem hiesigen Gebiet (mal abgesehen davon, daß sie mich heute nicht sonderlich zum Schmökern einladen).

Hast Du ein frei verfügbares Skript zum Thema? Anders als die gerade von mir aufgeführten Werke wäre das noch heute etwas, was ich mit Interesse läse.

Prinzipiell sind die Definitionen alle einfach, aber die Folgerungen daraus sind (für mich) nicht alle sofort elementar sichtbar.

Ich selber bin sicher kein "Regelflächen-Freak". Aber ich hätte mal eine Nachfrage:
Gibt es eine Sattelfläche die tatsächlich - wie das hyperbolische Paraboloid - anschaulich darstellbar ist und keine Regelfläche?

Prinzipiell glaube ich, daß es gut wäre, wenn Du Dich anmeldetest. Als Fachmann würde dir ein Admin sicher vorzeitig Sichterstatus verleihen. Deine Edits trügen kein Ausrufezeichen (Aufforderung zum Nachsichten), Du könntest Dich interessierende Artikel beobachten (d.h. müßtest sie nicht aus der Erinnerung suchen) und man könnte einfacher nachfragen. Das wäre nicht mit mehr Aufenthalt in der Wikipedia verbunden, nur mit effektiverem.

Wenn eine IP was schreibt, was kein Beobachtender mit seinen Quellen nachprüfen kann, wird es oftmals revertiert - obwohl es korrekt ist.

Aber auch als IP schreibe bitte Begründungen für größere Edits (vor allem das Löschen von falschen Passagen) auf die Diskussionsseite - im Editkommentar kann man schlecht nachfragen.

LieGrü & SchöAno, --Elop 20:35, 7. Sep. 2009 (CEST)

Gibt es immer Hauptrichtungen?

Gilt die Aussage des Intros:

>>die in den beiden Hauptrichtungen entgegengesetzt – d. h. antiklastisch – gekrümmt ist <<

für alle Sattelflächen oder nur für Hyperflächen im R³ und verwandten Räumen?

Wenn man "Krümmungsmaß negativ" als verallgemeinerte Definition setzte, könnte das ja auch für Flächen gelten, die mehr als 2 Dimensionen hätten (je nach allgemeiner Definition von "Krümmungsmaß").
In jenem Falle wäre ich auf jeden Fall dafür, den "Spezialfall" im Artikel nach vorne zu stellen, da der allgemeine mathematische (bzw. topologische) Fall dann sicher nicht laientauglich wäre. --Elop 22:34, 7. Sep. 2009 (CEST)

Beginnender Editwar

Lieber Elop, ganz offen gesagt kann ich mit dem von Dir eingefügten Abschnitt "Verallgemeinerungen" nicht viel anfangen. In dieser From erscheint mir das als unbelegte TF. Andererseits verstehe ich nicht, was durch die eher künstliche Beschränkung auf Regelflächen erreicht werden soll. Ich bin auch kein Spezialist für Differentialgeometrie (die Vorlesung, die ich dazu gehört habe, war 1981), aber ich finde, dass die Beschränkung auf Regelflächen die Sache eher komplizierter macht denn leichter verständlich. Grüsse --Boobarkee 19:17, 7. Sep. 2009 (CEST)

Lieber Boobarkee,

von "Editwar" konnte zu keinem Zeitpunkt die Rede sein.

Ich hatte diesen Edit als ungesichtete IP-Änderung gesehen und erst einmal gehofft, daß die Ersteller der Seite sich das anschauen würden - ist ja durchaus sehr viel auf einmal gestrichen und geändert worden.

Da ich davon ausging, der Editierer wisse, wovon er spricht, indes nicht fand, daß die Verständlichkeit verbessert worden wäre, versuchte ich, entsprechend nachzuarbeiten. Das ist nicht ganz einfach, wenn man kein Experte für das Gebiet ist und auch keine vernünftige Literatur da hat. (Ich selber habe Differentialgeometrie NIE gehört).

Daß die Einschränkung auf Regelflächen - wie sie seit jeher im Artikel stand - keine wirkliche Vereinfachung darstellt, ist mir nach den heutigen Einlassungen von J. durchaus klar geworden.

Lassen wir den Artikel für den Moment mal so stehen.

LieGrü, --Elop 20:35, 7. Sep. 2009 (CEST)

Bin völlig einverstanden. Ich hatte im Übrigen nicht die einzelnen Versionen detailiert verglichen. Sorry, falls das falsch rüberkam! Liebe Grüße --Boobarkee 01:41, 8. Sep. 2009 (CEST)

Beziehung Sattelfläche - Torus

Eine Kugeloberfläche kann man durch Verlängerung schliesslich in eine geschlossene 3-dimensionale Form überführen, die Kugel. Die gleiche Frage kann man sich auch für die Sattelfläche stellen. Wenn ich mich nicht täusche, kommt dann ein Torus heraus. Die Sattelfläche ist ein Ausschnitt aus einer Torusoberfläche. Das könnte im Artikel gerne noch erwähnt werden. (nicht signierter Beitrag von 85.5.149.19 (Diskussion) 11:23, 21. Dez. 2012 (CET))

Den 1. Satz verstehe ich nicht: Klar: eine Kugeloberfläche schließt ein Kugelvolumen ein -- da braucht man nichts verlängern. Wenn ich mal den Torus mit einem Autoreifen gleichsetzen darf, so gilt: Die Punkte der Lauffläche sind lokal nicht von denen auf einer Kugel zu unterscheiden (Gauß-Krümmung >0), die Punkte zur Felge hin sind Sattelpunkte (Gauß<0). Als wirkliche Sattelfläche, also nur aus Sattelpunkten bestehend, wäre also nur ein offenes Teilstück in Felgennähe zu bezeichnen. --Boobarkee (Diskussion) 11:43, 21. Dez. 2012 (CET)

Danke für die Hinweise. Zum 1. Satz: Gemeint ist ein Ausschnitt einer Kugeloberfläche. Z.B. eine Halbkugel. Diese kann man durch "Verlängerung" gemäss den Krümmungslinien zu einer geschlossenen Kugel vervollständigen. Der Sattel sieht nun aus wie ein Ausschnitt einer Kugeloberfläche, bei dem man aber die Krümmung entlang einer Koordinate "umgedreht" hat. Die Frage ist nun, was passiert hier, wenn man diese Fläche "verlängert"? Ein Teil dürfte sich "wiederfinden", d.h. entlang der Krümmung, die gegenüber der Kugeloberfläche gleich geblieben ist. Aber entlang der anders gekrümmten Richtung sollte das nicht gehen oder doch? Das ist die Frage. Ein Torus ist vermutlich die falsche Antwort, weil wie von "Boobarkee" dargelegt, dieser nur im Inneren, also auf der Felge, den Sattel richtig wieder gibt, jedoch auf der gegenüberliegenden Seite in seinem Krümmungsverlauf der Kugeloberfläche entspricht. Die Frage ist also, wie sieht ein Körper aus, der beim Torus auch auf der anderen Seite, also nicht auf der Felge, sondern "aussen", so wie ein Sattel gekrümmt ist? Die Krümmung geht ja dann vom Zentrum weg.

Ich glaube, anstelle eines Torus, kommt das Hyperboloid dem näher:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Hyperboloid1.png&filetimestamp=20061210165153

Es ist meiner Ansicht nach aber noch nicht "Zu Ende gezeichnet". Da man hier nur entlang der Z-Achse die Umschliessung gezeichnet hat (also die Achse "nach oben"), man dies aber für die anderen beiden Achsen auch noch tun müsste (bzw. "könnte", geht das überhaupt, oder habe ich hier einen Knoten im Kopf?) Wie sieht das Hyperboloid dann aus, wenn es geschlossen ist? (Ansatz: Die beiden Schnittflächen oben und unten jeweils miteinander zusammenkleben? Eine Art Doppeltorus mit zueinander orthogonal stehenden "Ringen" und mit unendlichem Volumen? (nicht signierter Beitrag von 85.5.149.19 (Diskussion) 12:12, 21. Dez. 2012 (CET))

Eine Kugelstück lässt sich schließen, bzw. ein Kugel begrenzt ein geschlossenes Volumen. Man spricht von einer kompakten Mannigfaltigkeit. Im Gegensatz dazu definiert eine Ebene kein Volumen. Ebenso ist es mit einem hyperbolischen Paraboloid. Beide sind keine kompakten Mannigfaltigkeiten.

Ein hyp. Paraboloid kann man sich vorstellen wie eine Parabel (als Kurve), wobei man an jeden Parabelpunkt "orthogonal eine geeignete Hyperbel anheftet." Beide Kurven (Parabel wie die einzelnen Hyperbeln) sind nicht kompakt und so ist erst recht ihr Kompositum nicht kompakt.

Selbst eine Halbkugel lässt sich als glatte Mannigfaltigkeit im Übrigen auf vielfältige Weise fortsetzen. Klar ist die Vollkugel hier ausgezeichnet, aber das liegt an ihrem konstanten und Richtungsunabhängigen Krümmungsverhalten. Bei "irgendeiner" Sattelfläche (ich def. das Mal als ein glattes Flächenstück, das überall Gauß-Krümmung <0 hat) gibt es i.A. ganz unterschiedliche glatte Fortsetzungen, die, wie das Beispiel Torus zeigt, nicht einmal Sattelflächen bleiben müssen. --Boobarkee (Diskussion) 13:02, 21. Dez. 2012 (CET)