Diskussion:Satz vom Minimum und Maximum

Fehler und Ungereimtheit im vorgelegten Beweis

An der vorgefundenen Beweisführung halte ich Folgendes für kritikwürdig:

(1) Der Beweis ist falsch, insoweit "unendlich" als uneigentliches Supremum zugelassen wird. Denn dann müsste "unendlich" nicht nur als obere Schranke, sondern auch als Funktionswert zugelassen werden (beides recht abenteuerlich), zudem zur Prüfung der Stetigkeit einer Funktion an der entsprechenden Stelle eine "Epsilon-Umgebung des Unendlichen" definiert werden. Es ist jedoch nicht vorstellbar, dass sich endliche Funktionswerte in einer solchen befinden könnten. - Zwar ist vorstellbar, dass zusätzich "Unendlich" als uneigentlicher Grenzwert zugelassen wird (so dass das Problem der Epsilon-Umgebung nicht auftritt). Dann aber muss f nicht beschränkt sein.

Vielmehr hat eine in [a,b] stetige Funktion dort überall einen endlichen Funktionswert, ist daher nach oben beschränkt (was auch Behauptung des Satzes und zu beweisen ist), hat also ein eigentliches Supremum. Zu zeigen ist in einem zweiten Schritt, dass jenes Supremum ein Maximum ist.

(2) Die Existenz eines Supremums in einer geeigneten, im Text aber nicht näher definierten Menge M (die kein Intervall sein muss) ist um nichts trivialer als die hier zu beweisende Behauptung (und z.B. selbst mit Bolzano-Weierstraß zu beweisen). Der vorgelegte Beweis schließt also an unterschiedlichen Stellen sehr unterschiedlich schnell.

(3) Sobald ich etwas mehr Zeit habe, werde ich versuchen, eine Verbesserung zu formulieren. - Skizze:

A (Annahme:) f wächst in [a,b] unbeschränkt -> es gibt eine streng monotone steigende, divergente Folge <y_n> von Funktionswerten, deren Teilfolgen sämtlich ebenfalls streng monoton und divergent sind. Aus der Folge <x_n> der zugehörigen Argumente ist wegen Beschränktheit derselben mit Bolzano-Weierstraß eine (gegen x_a aus [a,b]) konvergente Folge <x_nk> auswählbar. Wegen Stetigkeit konvergiert <y_nk = f(x_nk)> gegen f(x_a); das ist widersprüchlich, weil <y_nk> ein Teilfolge von <y_n> (und also divergent) ist. Also ist f in [a,b] beschränkt und hat ein (eigentliches) Supremum s = sup(f[a,b]). - Ersatz von "wächst" durch "fällt" und von "steigend" durch "fallend" weist die Existenz eines Infimums i nach.

B Bleibt zu zeigen: s (bzw. i) ist Funktionswert eines Arguments in [a,b]. - Eine streng motonon steigende (bzw. fallende) Folge <y_n> von Funktionswerten konvergiert (tatsächlich) gegen s (bzw. i); idem für alle Teilfolgen von <y_n>. Aus der Folge <x_n> der zugehörigen Argumente ist wegen Beschränktheit derselben mit Bolzano-Weierstraß eine (gegen x_a aus [a,b]) konvergente Folge <x_nk> auswählbar. Wegen Stetigkeit konvergiert <y_nk = f(x_nk)> gegen f(x_a); da <y_nk> Teilfolge von <y_n> ist, folgt f(x_a) = s, q.e.d.

--Psychironiker (Diskussion) 23:58, 28. Okt. 2017 (CEST)

Weitere Verbesserung des Beweises

In der neuen Fassung ist der zuvor "gedoppelte" Gedankengang als eigene Behauptung (unter A.) gefasst; das erfordert dann auch weniger "Zeichensalat" mit Tilden und Dächern über den Variablen in der Beweisführung. Die Argumentation zur Existenz des Maximums bzw. Minimums ist etwas ausführlicher formuliert.

--Psychironiker (Diskussion) 14:43, 11. Nov. 2017 (CET)

Abschnitt C. ist unter Verwendung von Aussagen, die in der Wikipedia nachlesbar sind, neu gefasst (der Text wird "beruhigenderweise" dadurch auch etwas einfacher).

--Psychironiker (Diskussion) 14:50, 12. Nov. 2017 (CET)

Abschnitt C. geht noch wesentlich einfacher, weil der Existenznachweis für die betrachteten Fogle $(y_{n})$ nicht von der Stetigkeit von $f$ abhängt, sondern viel einfacher mit allgemeinen Eigenschaften eines Supremums bzw. Infimums (topologisch) begründet werden kann. Die entsprechende Aussage samt Beweis findet sich im Artikel Infimum und Supremum.

--Psychironiker (Diskussion) 14:04, 13. Nov. 2017 (CET)

Vorgefundene Formulierung der Fassung Ia

"(Ia) Jede auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R} \;(a<b)$ definierte stetige Funktion ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an."

Das trifft nicht im Allgemeinen zu, da ein Intervall mit einer Grenze $\infty$ an dieser sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Ein Gegenbeispiel ist daher

$f(x)=x^{2}$ in $[0,\infty ]$;

die Funktion ist im angegebenen (abgeschlossenen, aber nicht kompakten) Intervall überall stetig, aber nach oben unbeschränkt (und hat kein Maximum).

--Psychironiker (Diskussion) 14:43, 11. Nov. 2017 (CET)

Erweiterung der vorgefundenen Voraussetzung "stetig in $[a,b],a<b$"

Der Fall "a=b" kann einbezogen werden, da eine an einem isolierten Punkt definierte Funktion dort stetig ist, und Maximum, Minimum und Funktionswert in diesem Fall zusammenfallen.

--Psychironiker (Diskussion) 14:43, 11. Nov. 2017 (CET)