Diskussion:Satz von Cantor-Bernstein-Schröder

Name des Theorems

Warum heißt das Theorem eigentlich Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem? Cantor hat sich als erster mit Mächtigkeiten von Mengen befasst und wohl als erster diesen Satz bewiesen. Aber wer sind Bernstein und Schröder und was haben sie mit diesem Satz zu tun? --217.86.161.131 17:41, 17. Jul 2006 (CEST)

Laut dem Artikel über Georg Cantor in der englischsprachigen Wikipedia hat Cantor lange um einen Beweis des Theorems gerungen. Ernst Schröder hatte das Theorem noch vor Cantor formuliert und einen ersten, fehlerhaften Beweis publiziert. Der erste fehlerfreie Beweis wurde von Felix Bernstein (einem Schüler Cantors) im Rahmen seiner Dissertation geliefert. Sobald ich passende Quellen gefunden habe werde ich das im Artikel ergänzen. —Tobias Bergemann 09:16, 18. Jul 2006 (CEST)

Es sollte vielleicht auch überlegt werden, ob nicht sowieso das Knaster-Tarski Theorem "Ordnungsendomorphismen vollständiger Verbände haben Fixpunkte" verwendet werden sollte. Es ist schliesslich quasi offensichtlich, dass sup und inf durch einen Ordnungsendomorphismus von ihrer exponierten Lage nicht vertrieben werden können. Knaster-Tarski, bei Hermes übrigens nur noch Fixpunktsatz genannt, sollte wohl eine eigene Seite wert sein.

Sei $X_{0}$ Fixpunkt von $A\setminus \left(g\left[B\setminus f\left[\cdot \right]\right]\right)$ für $f:A\hookrightarrow B$ und $g:B\hookrightarrow A$. Dann ist $\left(f|_{X_{0}}\right)\cup \left(g^{-1}|_{A\setminus X_{0}}\right)$ die gesuchte Bijektion.

Notes

• Hans Hermes, Einführung in die Verbanstheorie, Springer 1955, Springer Verlag Berlin Heidelberg (1955).
• J. König: Sur la théorie des ensembles. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 143. Jahrgang, 1906, S. 110–112. 

^ R. Uhl, "Tarski's Fixed Point Theorem", from MathWorld–a Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. (Example 3)

• Alfred Tarski: A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications. In: Pacific Journal of Mathematics. 5:2. Jahrgang, 1955, S. 285–309. 
• B. Knaster with A. Tarski: Un théorème sur les fonctions d'ensembles. In: Ann. Soc. Polon. Math. 6. Jahrgang, 1928, S. 133–134. 
• Anne C. Davis: A characterization of complete lattices. In: Pacific J. Math. 5. Jahrgang, 1955, S. 311–319. 
• http://caicedoteaching.files.wordpress.com/2009/01/118-handout3.pdf

Eine noch bessere Antwort auf die Frage der Namensgebung gab Cerebus 2006 auf folgender Seite ganz unten:

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=873 (nicht signierter Beitrag von 84.160.171.107 (Diskussion) 03:08, 20. Mai 2011 (CEST))

Warum Theorem

Warum heißt das Lemma "Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem" und nicht wie sonst in der deutschsprachigen Literatur üblich "Satz von Cantor-Bernstein-Schröder"? -- Digamma 23:26, 28. Apr. 2011 (CEST)

Tja, die Hauptursache ist wohl der Ursprung des Artikels als Übersetzung des englischen, gepaart mit gedankenloser Namenswahl. (Übrigens findet man durchaus deutschsprachige Literatur, die den Satz "Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem" nennt. Die ist aber scheinbar immer jünger als der Artikel.) --Daniel5Ko 01:05, 29. Apr. 2011 (CEST)

Meine Frage war, warum "Theorem" und nicht "Satz". -- Digamma 10:27, 20. Mai 2011 (CEST) (Nach Verschiebung des vorangehenden Beitrags erledigt) -- Digamma 10:57, 20. Mai 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 12:50, 8. Jul. 2013 (CEST)

Review (abgeschlossen)

In der Mengenlehre ist das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem bzw. kurz Äquivalenzsatz (in der Literatur uneinheitlich auch als Cantor-Bernstein-Schröderscher [Äquivalenz-]Satz, Satz von Cantor-Bernstein, Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein, Satz von Schröder-Bernstein oder Ähnliches bezeichnet) eine Aussage über die Mächtigkeiten zweier Mengen. Der nach den Mathematikern Georg Cantor, Felix Bernstein und Ernst Schröder benannte Äquivalenzsatz (obwohl sich beim Beweis Richard Dedekind ebenfalls sehr verdient gemacht hat) ist ein wichtiges Hilfsmittel beim Nachweis der Gleichmächtigkeit zweier Mengen.

Ziel sollte die Kategorie „Lesenswert“ sein. Danke i. V.! Jens Liebenau (Diskussion) 00:08, 9. Mär. 2013 (CET)

Hallo,

ich habe mir den Artikel gerade einmal durchgelesen. Der Anfang des Artikels gefällt mir schon sehr gut. Zum hinteren Teil habe ich noch ein paar Verbesserungsvorschläge.

• Du hast das Buch von Hausdorff als Einzelnachweis eingebaut. Das ist mitlerweile aufgrund des Alters frei zugänglich, es sollte also keine große Sache sein eine Online-Quelle für das komplette Buch anzugeben. Unter Portal_Diskussion:Mathematik#Grundzüge der Mengenlehre hatte ich mal auf das Buch hingewiesen.
• Im Abschnitt Beweisidee ist mir aufgefallen, dass dieser zwischen der ersten Person Plural (wir) und der dritten Person Singular (man) wechselt. Da Wikipedia kein Lehrbuch ist, sollte die erste Person Plural (wir) hier nicht verwendet werden.
• Der Abschnitt Verallgemeinerung erscheint mir etwas sehr kurz. Vielleicht kann man dort den Zusammenhang zwischen den Aussagen noch etwas ausführlicher darstellen
• Die Literaturliste ist meiner Ansicht nach zu lang. Eventuell könnte man die Sekundärliteratur dort löschen und in Einzelnachweise für den Abschnitt Satz umwandeln? Strenggenommen erfüllen diese Bücher ja nicht die Kriterien von WP:Literatur, oder?

Viele Grüße und weiter so! --Christian1985 (Disk) 13:57, 13. Mär. 2013 (CET)

Moin! Danke für die gute Rückmeldung! Ich habe deine Vorschläge bis auf den Abschnitt „Verallgemeinerung“ (mit der Kürze hast du natürlich vollkommen recht) umgesetzt. Grüße – Jens Liebenau (Diskussion) 16:09, 6. Apr. 2013 (CEST)

Schön, ich denke das war schon ein weiterer Schritt nach vorne. Auf der Diskussionsseite wird gefragt, warum das Lemma Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem heißt. Gibt es dafür deutsche Quellen? Üblich wäre in der deutschen Wikipedia der Name Satz von Cantor-Bernstein-Schröder.--Christian1985 (Disk) 10:00, 10. Apr. 2013 (CEST)

Offenbar keine Review-Aktivität mehr, Review beendet --mfb (Diskussion) 22:28, 14. Aug. 2013 (CEST)

Name

Im Buch von Hinkis von 2013 wird dargelegt, dass Cantor sehr wohl wahrscheinlich einen Beweis hatte auch im allgemeinen Fall (unveröffentlicht), mindestens für das Kontinuum, und für die Bezeichnung Cantor-Dedekind-Bernstein plädiert, wobei sich schon seit längerem Cantor-Bernstein (der sich nach Hinkis seit der 2. Auflage von Fraenkel, Foundations of set theory, 1973, Hrsg. Azriel Levy, der Equivalence Theorem systematisch durch Cantor-Bernstein ersetzte) durchgesetzt habe). Der Zusatz Dedekind scheint zwar historisch gerechtfertigt, aber wenig gebräuchlich. Schröder sollte jedenfalls nicht mehr genannt werden, da sein Beweis fehlerhaft war wie im Artikel dargelegt.--Claude J (Diskussion) 09:48, 23. Jul. 2016 (CEST)

Gehts ohne Auswahlaxiom?

Im Artikel liest man einerseits „Er ist nach Friedrich Moritz Hartogs (Über das Problem der Wohlordnung, 1915) mit dem Auswahlaxiom (bzw. Auswahlprinzip oder Wohlordnungssatz) äquivalent“ und andererseits „Dass der Satz auch ohne Auswahlaxiom beweisbar ist, haben Richard Dedekind 1887 und Bernstein 1898 in seiner Dissertation gezeigt (Bernsteins Beweis erschien zuerst in Borels Leçons sur la théorie des fonctions und dann nochmals in Bernsteins Abhandlung Untersuchungen aus der Mengenlehre).“ Was gilt denn nun? --2A02:810D:4740:3A0:5443:8D42:A861:9359 16:08, 6. Sep. 2018 (CEST)

Der erste Satz (Hartogs) bezieht sich auf den Vergleichbarkeitssatz und nicht auf den Satz von Cantor-Bernstein-Schröder.--Claude J (Diskussion) 17:22, 6. Sep. 2018 (CEST)

Ja, natürlich. Blöder Fehler meinerseits durch ungenaues Lesen. Ein kleiner Teil meines Problems ist auch die m.E. unglückliche Notation mit dem Relationszeichen „| | ≤ | |“, das aussieht wie eine Halbordnung auf wohldefinierten Objekten |A| und |B|. Die werden aber gar nicht definiert; vielmehr sind die „Betragsstriche“ Teil der beiden Relationszeichen. Und dass das in einer Familie von Mengen (modulo der Äquivalenz) eine Halbordnung ist, soll ja erst gezeigt werden. Wenn man sich nun erst einen Reim auf die Formel machen kann, indem man sein Vorwissen über Kardinalzahlen (sogar wohl- und nicht nur halbgeordnet) einsetzt, kann man den Überblick verlieren, was schon bekannt ist und was gerade bewiesen wird. Klarer wäre, die Relation vor der Verwendung zu definieren statt danach („Dabei gilt ...“ klingt eher nach einem Satz als nach einer Definition). --2A02:810D:4740:3A0:4C1D:6819:B30B:308 22:59, 7. Sep. 2018 (CEST)

Üblich ist auch die Bezeichnung $A\precsim B$ für "Es gibt eine injektive Abbildung von A nach B" und $A\approx B$ für "Es gibt eine Bijektion zwischen A und B". Diese werden zum Beispiel bei Kenneth Kunen, Set Theory verwendet. Vielleicht sollte man diese verwenden. --Digamma (Diskussion) 09:46, 8. Sep. 2018 (CEST)