Diskussion:Satz von Cauchy (Geometrie)

Kugel

Ist die Kugel eigentlich ein konvexer Körper? Soweit ich weiß, muß für einen Körper, der konvex ist gelten, das E + F =K + 2 ist. Das eine Kugel physikalisch konvex ist, daran zweifele ich nicht.

Nein. Siehe Eulerscher Polyedersatz und Konvex. --DaTroll 14:48, 17. Dez 2004 (CET)

Ahhh! Eine Kugel ist ein kovexer Körper, aber kein konvexer Polyeder. --Arbol01 15:11, 17. Dez 2004 (CET)

Sichbarkeit

Bei dem Begriff der Sichtbarkeit scheint es differenzen zu geben. Ich würde Annehmen, das man von einer Kugel 50% sieht. Bei dem Beispiel mit der Kugel handelt es sich aber wohl um eine Projektion von 3D auf 2D. Damit kann ich leben, müßte nur wissen, ob dem wirklich so ist. In dem Fall müßte auch das Beispiel mit dem Würfel abgeandert werden. --Arbol01 13:56, 16. Dez 2004 (CET)

Wäre dann sowas wie: 1/6 <= F(Projektion)/F(Würfel) <= 3/8 * sin 60° (~0,325). --213.54.197.63 20:09, 26. Feb 2005 (CET)

Ist dieser Satz wahr?

Ich denke, der Artikel will folgendes sagen:

Es sei K ein konvexer Körper. Für eine Ursprungsgerade g sei E_g die Ebene durch den Ursprung, die orthogonal zu g ist, und m_K(g) der Flächeninhalt des Bildes der orthogonalen Projektion von K auf E_g. Dann ist

$\int _{\mathbb {R} P^{2}}m_{K}(g)dg={\frac {1}{4}}\cdot \mathrm {Oberfl{\ddot {a}}che} (K).$

(Das Maß auf RP² sei auf Volumen 1 normiert.) --Gunther 12:43, 27. Feb 2005 (CET)

Inzwischen bin ich mir ziemlich sicher, dass der Satz richtig ist.--Gunther 13:57, 31. Mär 2005 (CEST)

Ich glaube auch, dass der Satz stimmt, habe aber noch keinen Beweis. Auf jeden Fall muss er so gemeint sein, wie Gunther es hier präzisiert hat. Eigentlich ja eine ganz interessante Aussage; ich würde evtl. einen Bezug zum Satz von Gauß-Bonnet vermuten. Vielleicht sollte man

1. die präzise Formulierung im Artikel einbauen,
2. rausfinden, was für Quellen es dazu gibt (ich war da bisher erfolglos), und
3. den Artikel sinnvoll umbenennen.

--Yonatan 15:01, 31. Mär 2005 (CEST)

Ist die Formulierung im Artikel noch nicht präzise genug? Natürlich haben wir kein Maß auf der Menge der Richtungen eingeführt, aber muss das sein?

So anschaulich beruht der Satz darauf, dass er für infinitesimal kleine Vierecke richtig ist, dann muss man nur noch über die Oberfläche integrieren (jedes Oberflächenstück trägt ein halbes Mal zu jeder Projektion bei) und Fubini anwenden.

Unter "cauchy particle-size" gab es einen Link, der ganz ok aussah, aber keine Details hatte. Vielleicht wissen die Chemiker ja etwas, denn ohne Referenz finden wir auch keinen besseren Namen.--Gunther 15:28, 31. Mär 2005 (CEST)

OK, ist wohl einfacher als ich erst dachte. Warum nur „anschaulich“? Ich denke, dass dies ein (wenn auch sehr knapp formulierter) Beweis ist. Allerdings fände ich es (von der Argumentation her) einfacher, über $S^{2}\times \partial K$ zu integrieren, und zwar die Funktion $|\det \,dp_{g}|$ falls man den Punkt aus der Richtung $g\in S^{2}$ sehen kann, und sonst 0 (was natürlich das gleiche ist wie über $RP^{2}$ zu integrieren).

Zur Formulierung: Bis auf "statistisches Mittel" ist in der Tat alles präzise. Wie wäre es mit "im statistischen Mittel über alle Projektionsebenen..."? --Yonatan 17:22, 31. Mär 2005 (CEST)

Mir ist zB nicht klar, wie hässlich die Oberfläche eines beliebigen konvexen Körpers sein kann. Evtl. könnte man auch "stückweise glatter Rand" in die Voraussetzungen aufnehmen. Oder man muss approximieren...--Gunther 17:44, 31. Mär 2005 (CEST)

Ich gebe zu, dass ich von einer gewissen Regularität einfach ausgegangen bin. Ich erinnere mich schwach, dass z.B. im Beweis des Seelensatzes irgendeine Regularität für total konvexe Mengen bei nichtnegativer Krümmung gezeigt wird (aber ob das hier hilft weiss ich nicht). Es würde doch $C^{1}$ bis auf Nullmenge reichen, oder? Naja, vielleicht taucht ja auch noch eine Referenz auf, dann müssen wir den Satz nicht selbst (in aller Allgemeinheit) beweisen... --Yonatan 22:43, 31. Mär 2005 (CEST)

Dieses Theorem ist Humbug: Es gibt keine Quellen, keinen Beweis und er gilt nicht für Rotationsellipsoide!!! Beitrag bitte löschen. Sofort!

Artikelname

Ist es sinnvoll den Artikel "Cauchy-Theorem" zu nennen? Von Cauchy gibt es so viel, sollte das nicht besser "Cauchy's Verdeckungssatz" o.ä. sein? LustigerKreis 18:49, 8. Mär 2005 (CET)

Im Deutschen steht nie ein Apostroph im Genitiv, daher allenfalls "Cauchys Verdeckungssatz". Meines Erachtens sollte hier die verbreitetste Bezeichnung verwendet werden. Hier lohnt sich ggf. eine Recherche in unterschiedlichen Büchern zum Thema. Stern !? 17:31, 31. Mär 2005 (CEST)

Ich wüsste allerdings nicht, in welchen Büchern dazu etwas stehen könnte. Es ist ganz grob Analysis oder Maßtheorie, aber genauer?--Gunther 17:49, 31. Mär 2005 (CEST)

Konvexgeometrie, 52A in der MSC, denke ich. -- Wuzel 12:19, 4. Apr 2005 (CEST)

...und der zweite Link der Google-Suche zeigt auch, dass wir richtig geraten haben. Bloß können wir den Artikel nicht nach Cauchy's well-known formula verschieben...--Gunther 12:40, 4. Apr 2005 (CEST)

Tabelle

Ich erhalte für den dritten Fall beim Würfel ${\frac {9}{8}}a^{2}{\sqrt {3}}$ statt $a^{2}{\sqrt {3}}$ (Seitenlänge ${\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}$). --213.54.219.2 00:53, 4. Apr 2005 (CEST)

Die Seitenlänge ${\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}$ kommt von der folgenden Überlegung: die Seitenlänge eines regelmäßigen Sechsecks ist gleich ihrem Umkreisradius, und der ist gleich dem Abstand einer Ecke des Würfels von einer Raumdiagonale. Das ergibt ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten $a$ (Kante) und $a{\sqrt {2}}$ (Flächendiagonale) und Hypotenuse $a{\sqrt {3}}$ (Raumdiagonale). Die Höhe in diesem Dreieck ist der gesuchte Umkreisradius. Sie berechnet sich zu

${\frac {a\cdot a{\sqrt {2}}}{a{\sqrt {3}}}}=a{\sqrt {\frac {2}{3}}}={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}.$

Einverstanden?--Gunther 01:07, 4. Apr 2005 (CEST)

Das Abstand von einem Eckpunkt zur Raumdiagonalen ist eine halbe Raumdiagonale und die drei entfernten sind jeweils in senkrechter Projektion. --213.54.219.2 01:30, 4. Apr 2005 (CEST)

Nein, die Raumdiagonalen stehen nicht senkrecht aufeinander (schon allein deshalb, weil es vier von ihnen gibt).--Gunther 01:55, 4. Apr 2005 (CEST)

Formel kaputt

Formel kaputt (nicht signierter Beitrag von 130.83.145.92 (Diskussion) 13:18, 11. Dez. 2012 (CET))