Diskussion:Satz von Cayley

Zur Änderung vom 20. Feb 2005

Ich bin mir unschlüssig, ob mir die von 80.185.9.245 vorgenommenen Änderungen alle gefallen.

Ich bin einverstanden mit:

• Die Formulierung des Satzes mit einer beliebigen Menge M anstelle von G - von mir aus. Oft kann man M ja kleiner als G wählen.
• Die Entfernung des "endlich" in der kürzeren Formulierung: Selbstverständlich einverstanden.
• Dass T ein Homomorphismus ist, wurde unverändert übernommen.
• Dass T surjektiv nach U abbildet, wird als "klar nach Definition" bezeichnet, ich hatte dazu auch nicht mehr ("dieses Bild ist gerade die Menge U").
• Dass der Gruppenhomomorphismus T genau dann injektiv ist, wenn T(g)=id => g=e, sollte allgemein bekannt sein, ggf. kann man es in Gruppenhomomorphismus nachlesen (auf den Artikel sollte dann natürlich auch noch verlinkt werden), insofern halte ich die neue Version nicht für verständlicher als die vorherige. Die jetzt verwendete Formulierung ist aber noch kurz genug, um sie zu erhalten.

Nun aber mein Problem:

• Der separate Beweis, dass U eine Untergruppe von Sym(G) ist, erscheint mir überflüssig, da Bild(T) automatisch eine Untergruppe von Sym(G) ist. Damit verbunden ist natürlich die Formulierung von T als Abbildung nach Sym(G) statt nach U. Dass T, eingeschränkt auf sein Bild, ein Isomorphismus ist, sollte klar sein.

Meinungen? --SirJective 00:32, 21. Feb 2005 (CET)

Ich hab jetzt den Beweis nach meinen Vorstellungen umgeschrieben. --SirJective 11:38, 25. Feb 2005 (CET)

Hallo, ich finde schon, dass es wichtig ist, gerade für Interessierte Mathematik-Studenten am ANFANG des Studiums, einen möglichst vollständigen Beweis zu führen. Dazu ist es m.E. schon wichtig, dass man die Untergruppen-Eigenschaften nachweist, - das T natürlich so gewählt ist, dass es dann "automatisch" eine Untergruppe ist, ist nicht ohne Nachdenken ersichtlich und sollte belassen werden. Ich finde es auch gut, wenn statt "injektiver Gruppenhomomorphismus" "bijektiver Gruppenhomomorphismus" steht. Denn sonst ist es ja nicht ISO-morph. Ich bin für die Variante von zuvor mit den guten und nützlichen Ergänzungen zur Verwendung von Sir Jective. Viele Grüße! --calc 00:32, 05. März 2005 (CET)

Ich denke, interessierte Mathematik-Studenten sollten in der Lage sein, den Beweis, dass U eine Untergruppe ist, selbständig zu führen. Ich halte das für eine gute Übung (könnte man sogar als Übung im Artikel stellen).

Dass U = bild(T) eine Untergruppe der Zielgruppe ist, ist in der Tat nicht ganz offensichtlich. Der Beweis für diesen speziellen Fall würde sich nicht vom allgemeinen Beweis unterscheiden, der vllt. noch in Gruppenhomomorphismus#Bild_und_Kern gegeben werden sollte.

Man könnte aber abschließend erwähnen, dass die Abbildung T: G -> U ein Isomorphismus ist (so wie jede injektive Abbildung durch Einschränkung auf ihr Bild bijektiv wird).

--SirJective 11:23, 5. Mär 2005 (CET)

Wenn man danach geht, was alles trivial ist, dann hätte man den ganzen Beweis ja auch ganz lassen können. Wenn aber ein Beweis hier gepostet wird, sollte er vollständig und verständlich sein auch für beispielsweise Erst-Semester. Sollte kein Einwand kommen, werde ich den Artikel wieder überarbeiten und den Beweis der Untergruppeneigenschaft einfügen sowie die Abbildung umdefinieren, wie sie zuvor war (nach U). Ich finde es ist immer besser, wenn man ein wenig zu viel als zu wenig hat, und ein Mathematiker im fortgeschrittenen Stadium kann ja einfach den Untergruppenbeweis überspringen. Viele Grüße! --calc 16.34, 05. März 2005 (CET)

Die Einleitung sollte für alle verständlich sein, bei allem anderen muss man gucken. Der Beweis dieser Untergruppeneigenschaft ist für den Artikel an sich völlig belanglos und sollte dementsprechend auch weggelassen werden. Viele Gruesse --DaTroll 16:38, 5. Mär 2005 (CET)

Ich habe nicht behauptet, dass irgendeine der in dem Artikel gemachten Aussagen trivial wäre. Zwischen "trivial" und "leicht selbst zu zeigen" ist ein wesentlicher Unterschied!

Der Beweis (wenn er denn vollständig gegeben wird!) sollte einem Mathematik-Interessierten auf angemessenem Niveau verständlich sein - das wäre hier das Niveau einer Algebra-I-Vorlesung. Auf diesem Niveau kann ich voraussetzen, dass bereits bekannt ist, dass das Bild eines Gruppenhomomorphismus eine Gruppe ist. Nur am Rande: Der englische Beweis ist "The fastest way to establish this", also nicht notwendig der verständlichste Beweis.

"Wenn aber ein Beweis hier gepostet wird, sollte er vollständig und verständlich sein auch für beispielsweise Erst-Semester." - Dann setz dich mal hin und formuliere einen vollständigen und Erstsemester-verständlichen Beweis des Cantor-Bernstein-Schröder-Theorems! (Da fehlt übrigens eine Literaturangabe für einen vollständigen Beweis.)

Oft reicht in dieser Enzyklopädie die Beweisidee. Wir schreiben hier kein Mathebuch (sondern dort)! --SirJective 21:09, 5. Mär 2005 (CET)

An einer Polemik über die die Exaktheit von Beweisen (Cantor usw.) werde ich mich nicht beteiligen; ich habe den Beweis so geändert, dass er eine Kompromisslinie zwischen dem ursprünglichen Beweis und den Ergänzungen von SirJective trägt. --calc 22:52, 5. Mär 2005 (CET)

Ich denke, mit diesem Artikel kommen wir uns langsam näher :) --SirJective 23:23, 5. Mär 2005 (CET)

Ich verstehe das nicht!

Der Satz gehört zu den Elementen der Gruppentheorie. M. E. sollte angegeben werden, in welchen Lehrbüchern ein leicht verständlicher Beweis zu finden ist. --Hanfried.lenz 09:59, 25. Okt. 2007 (CEST).

Umformulierung von "Gruppe" in "endliche Gruppe"

Hallo,

ich würde den Satz:

"Er besagt, dass man jede Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe realisieren kann." umformulieren in "Er besagt, dass man jede endliche Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe realisieren kann."

Begründung: Permutationsgruppen (und damit die symmetrische Gruppe) sind immer endlicher Natur.

--Mnntoino (Diskussion) 14:27, 12. Mai 2012 (CEST)

Reguläre Darstellung

Der Artikel hier verweist auf den Artikel Reguläre Darstellung. Dieser Artikel zielt allerdings auf die lineare Darstellungstheorie ab. Sollte diese alternative Verwendung des Wortes „regulär“ als nichtlineare Darstellung einer Gruppe mit in den Artikel? --Chricho ¹ ² ³ 12:50, 20. Mär. 2013 (CET)

Im Artikel Permutationsgruppe, auf den jetzt von hier aus verwiesen wird, steht etwas zur Klarstellung (hoffe ich, da von mir). Die Inhalte zu „minimaler Permutationsdarstellung“, die jetzt hier stehen und die auch die Brücke zur linearen Darstellungstheorie schlagen (sachlich ist die dort definierte „Darstellung“ auch ein Oberbegriff zur Permutationsdarstellung und ein Spezialfall ist die Cayleysche Konstruktion auf $S(G)$, aber sie werden in der Darstellungstheorie nicht untersucht) sollten m. E. nach Permutationsgruppe umgelagert werden. Für ein Satzlemma ist der Artikel hier inhaltlich zu weit ausgreifend. „Nichtlinear“ ist sicher kein passendes Attribut aber mehr zur Abgrenzung wäre wünschenswert. Ich hoffe, dass ich das in nächster Zeit stemme. --KleinKlio (Diskussion) 20:11, 20. Mär. 2013 (CET)

Das war eine Ad-hoc-Wortschöpfung, um klarzumachen, worum es geht. Natürlich kann die auch als Darstellung auf einem Vektorraum aufgefasst werden. Da der Artikel reguläre Darstellung auch den ähnlich gearteten Fall von Algebren darstellt, fände ich es aber gar nicht mal falsch, den Fall mit zu erwähnen. --Chricho ¹ ² ³ 20:20, 20. Mär. 2013 (CET)