Diskussion:Satz von Erdős (Mengenlehre)

Ich wäre ja für Verschiebung auf Satz von Erdős (Mengenlehre), ohne gross recherchiert zu haben, es gibt einfach zu viele Sätze von ihm--Claude J (Diskussion) 16:45, 19. Aug. 2014 (CEST)

Hallo, Claude J!

Das ist an sich ein guter Vorschlag, dem ich mich auch problemlos anschließen könnte. Allerdings muss ich sagen, dass ich (derzeit und ohne längere Recherche) von diesem hier abgesehen keinen weiteren Satz kenne, der ausschließlich nach Erdős benannt ist. Ich kenne bloß - vermutlich wie Du - eine lange, lange Liste von Sätzen, die mit einem Lemma des Typs Satz von Erdős-XYZ belegt sind, wobei XYZ auf einen oder mehrere weitere Autoren verweist.

(Damit will ich selbstverständlich überhaupt nichts gegen Erdös sagen. Im Gegenteil: Ich hege ehrliche Bewunderung für ihn und insbesondere für die Selbstlosigkeit, in der er seine überragenden Fähigkeiten mit anderen geteilt hat.)

--Schojoha (Diskussion) 17:22, 19. Aug. 2014 (CEST)

Der Zusatz würde das Umfeld charakterisieren, aus dem der Satz stammt, wenn das wahrscheinlich auch immer noch nicht eindeutig wäre. Es gibt genug Arbeiten die er alleine verfasste, z.B. auch eine Reihe von Arbeiten dem Titel "Some remarks on set theory" (wie diese von 1950, pdf, die ich Sierpinski Literaturverzeichnis entnehme mit dem Verdacht, dass der hier dort als Spezialfall enthalten ist). Der Beweis wird bei Sierpinski als Übungsaufgabe gestellt, also wahrscheinlich nicht so schwer eingeordnet. In Lehrbüchern steht dann zwar Satz von Erdös, aber eher als Autorbezeichnung.--Claude J (Diskussion) 18:19, 19. Aug. 2014 (CEST)

Hallo, Claude J!

Der Zusatz ist wie gesagt kein Problem für mich und ist ja auch schon umgesetzt. Keine weiteren Einwände von mir!

Auch gegen Deine anderen Punkte will ich (fast) nichts sagen.

Allerdings: Deiner letzten Vermutung folge ich nicht. Sofern Sierpinski eine Quelle angeben kann, tut er das, und zwar mit Akribie. Dass er keine Quelle nennt, spricht dafür, dass Erdös seinen Satz Sierpinski im direkten Gespräch mitgeteilt hat. Wie man an dem Beweis sieht - den ich hier angelehnt den Beweis in Sierpinsks Buch bringe - handelt es sich EIGENTLICH NUR um eine Anwendung des Satzes von Julius König. Alles nicht so schwer, könnte man meinen - man muss EIGENTLICH NUR darauf kommen! Ganz klar: Die Beweisidee eine typische Erdös-Idee. Gehört für mich direkt ins Buch der Beweise!

Noch was: Im Index von Sierpinsks Buch werden unter dem Stichwort "theorem" nur acht (!) Sätze genannt, bspw. der Satz von Cantor-Bernstein oder der Wohlordnungssatz von Zermelo; und dann auch dieser Satz von Erdös. Wenn also Sierpinski den Satz von Erdös als einen von wenigen herausgehoben nennt und vorträgt, so verdient dieser Satz es, hier genauso genannt und vorgetragen zu werden.

--Schojoha (Diskussion) 20:06, 19. Aug. 2014 (CEST)

Mag sein das er es mündlich mitteilte, aber er veröffentlichte auch über 100 Arbeiten im Umfeld der Mengenlehre und auch viel in der Schnittstelle zur Geometrie. Man müsste mal in Graham, Nesetril u.a. The mathematics of Paul Erdös nachgucken, speziell Band 2 das Kapitel von Hajnal zur Mengenlehre oder besser von Komjath Set theory: geometric and real, ob er da erwähnt ist. Immerhin hast du den Satz ja jetzt bekannter gemacht (:-)) Interressant wäre in dem Zusammenhang (Anwendung von Axiomen der Mengenlehre in der Geometrie) auch der Satz von Sierpinski, der einen zur Kontinuumshypothese äquivalenten Satz der elementaren Geometrie angibt, in den Buch von Sierpinski S. 400 für drei Dimensionen angegeben (Die Kontinuumshypothese CH ist äquivalent zu: ${\mathbb {R} }^{3}={A}\cup {B}\cup {C}$ wobei A, B, C jeweils endliche Schnittmengen mit jeder Parallele zu den Koordinatenachsen haben). Erdös war von dem Satz beeindruckt und verallgemeinerte ihn (Some remarks on set theory 4, 1955, pdf, in einer anderen Version - Ebene, abzählbar viele Schnittpunkte) und man könnte ihn hier bei Kontinuumshypothese erwähnen (Das Buch der Beweise (Kapitel 17) behandelt ja nur einen zu CH äquivalenten Satz aus der Analysis, von Erdös).--Claude J (Diskussion) 10:17, 20. Aug. 2014 (CEST)

Hallo, Claude J!

1) Ich habe dies und das quergelesen, auch in einigen der von Dir genannten Quellen, um für den Satz von Erdös noch weitere Belege zu finden, wurde aber bislang nicht fündig. Insbesondere war der Satz dem von Dir erwähnten Aufsatz Some remarks on set theory 4, 1955, pdf für mich nicht zu entnehmen.

Das mag man als Anlass nehmem zu schließen, dass die meisten Autoren diesem Satz von Erdős keine allzu große Bedeutung beimessen. Dennoch: Ich halte Sierpinski für eine Quelle, welche über jeden Zweifel erhaben ist. (Habe ich oben ja schon dargelegt.)

2) Beim weiteren Nachdenken über den Satz, nicht zuletzt deswegen, weil ich für mich selbst sicherstellen wollte, was der Satz bedeutet, habe ich mir eine Folgerung zurechtgelegt; nämlich:

Unter der Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms gilt für jede Überdeckung der Koordinatenebene der Gestalt ${\mathbb {R} }^{2}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ , dass stets eines dieser ${A_{n}}$ eine unendliche achsenparallele Punktmenge $P=\{p_{i}\mid i\in {\mathbb {N} }\}$ umfasst ; also eine, deren Punkte $p_{i}$ entweder sämtlich auf einer Parallelen der Abszissenachse oder sämtlich auf einer Parallelen der Ordinatenachse liegen.

Ich finde, hier zeigt sich, dass der Satz von Erdős ein Verwandter der Ramseysätze ist, und zwar ein recht interessanter. (Übrigens habe ich im Moment keine Idee, wie man diese Folgerung auf anderem Wege ziehen könnte; muss aber nicht bedeuten, dass es nicht doch möglich ist! :-))

Was hältst Du davon?

--Schojoha (Diskussion) 19:05, 22. Aug. 2014 (CEST)

Nachtrag / Korrektur: Bei nochmaligem Durchblättern des obigen Artikels wurde mir verspätet klar, dass Theorem 2 in dem erwähnten Aufsatz Some remarks on set theory 4, 1955, pdf den Satz von Erdös verallgemeinert, wobei ich im Augenblick nicht sehe, wo die Voraussetzung des Auswahlaxioms erwähnt wird. Merkwürdig ist auch, dass Erdős seinerseits Sierpinski als Urheber nennt. Möglicherweise wäre es also auch nicht falsch, sogar vom Satz von Erdős-Sierpinski zu sprechen. Na gut! Ich halte dennoch zunächst an dem obigen Ansatz fest, Sierpinski zu folgen.--Schojoha (Diskussion) 20:41, 22. Aug. 2014 (CEST)

Ich habe das inzwischen bei Kontinuumshypothese ergänzt, es handelt sich um zwei Sätze von Sierpinski, der "ebene" Satz schon von 1919 und sie behandeln wie gesagt geometrische Sätze die äquivalent zur CH sind. Ich nehme an Erdös nahm das auch (oder andere Arbeiten von Sierpinski zum Auswahlaxiom) als Anlass zu untersuchen was für ähnliche Aussagen man nur mit Hilfe des Auswahlaxioms beweisen kann.--Claude J (Diskussion) 10:54, 23. Aug. 2014 (CEST)