Diskussion:Satz von Fischer-Riesz

Allgemeineres zu Basen und Isomorphie

Ich habe jetzt erstmal versucht, die Sachen zu entfernen, die nicht nur die Isomorphie mit dem jeweiligen $\ell ^{2}$-Raum benutzen, sondern auch noch, dass verschiedendimensionale auch wirklich nicht isomorph sind, dass scheint mir zu sehr über Fischer und Riesz hinauszugehen, auch wenn es natürlich alles leicht zu zeigen ist. Ich würde auf solche Sachen ganz gerne eher in Hilbertraum und Orthonormalbasis eingehen. Was meint ihr? --Chricho ¹ ² 17:21, 27. Mai 2012 (CEST)

Zum Funktor ell²

Ich habe eine Anmerkung zu einer kürzlichen Ergänzung: Wenn ich die Kurzbeschreibung des Funktors $\ell ^{2}$ im "Folgerungen"-Abschnitt richtig interpretiere, gibt es in der Zielkategorie nur Isomorphismen als Morphismen. Daher stellt sich die Frage: Worauf wird ein $f\colon I\to J$ mit $|I|\neq |J|$ abgebildet? Es muss ja auf jeden Fall ein Morphismus $\ell ^{2}(I)\to \ell ^{2}(J)$ sein. Problem: So einen gibt's nicht. Die Quellkategorie muss also eingeschränkt oder die Zielkategorie vergrößert werden (bezieht sich jeweils nur auf die zugelassenen Morphismen). --Daniel5Ko (Diskussion) 01:18, 29. Mai 2012 (CEST)

Upps, da alles, was kein Isomorphismus ist, für diese Aussage herzlich uninteressant ist, habe ich jetzt alles andere entfernt. Hast du eine Meinung, was hier an Folgerungen hingehört und was nicht? Wir wissen ja eben über Hilberträume egtl. mehr als nur, dass bei passender ONB das Ding isomorph zum $\ell ^{2}$ ist, wir wissen eben auch, dass wir so eine ONB immer haben und dass je zwei davon gleich groß sind, sobald diese Argumente wesentlich werden, finde ich es fraglich, noch vom Satz von Fischer-Riesz zu sprechen. --Chricho ¹ ² 02:32, 30. Mai 2012 (CEST)

@Upps & Änderung: Ich hatte ja gehofft, mit einer Erweiterung der Zielkategorie könnte man was funktionierendes und interessanteres basteln. Du hast nun die andere Richtung gewählt - auch gut; nu ist's wenigstens nicht falsch.

@Meinung zum Hingehören: Im Moment nicht vorhanden.

--Daniel5Ko (Diskussion) 03:30, 30. Mai 2012 (CEST)

Um die Nichtisomorphismen geht es ja gar nicht, sondern nur darum, dass die Skelette per $\ell ^{2}$ in Beziehung stehen, nur kann man noch nicht von Skelett reden, wenn man nicht weiß, dass verschieden dimensionale auch nicht isomorph sind. Ok, danke. --Chricho ¹ ² 13:32, 30. Mai 2012 (CEST)

Abschnitt "Klassischer Satz von Fischer-Riesz"

Der Abschnitt gehört mal überarbeitet. Da passt so vieles nicht. Viel natürlicher als $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ wäre $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$, auch wenn die beiden Räume isomorph sind. Den Isomorphismus $L^{2}([0,1])\cong \ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ kann man auch ruhig mal angeben. --Jobu0101 (Diskussion) 13:36, 1. Dez. 2021 (CET)