Diskussion:Satz von Kunugui

Die Aussage, dass jeder unvollständige metrische Raum $(X,d)$ eine Vervollständigung besitzt, welche echt grösser ist als $X$, ist meiner Ansicht nach falsch. Betrachte $X=\mathbb {R} \setminus 0$. Die einzig sinnvolle Vervollständigung von $X$ ist $\mathbb {R}$ selbst. Es gibt aber eine Bijektion zwischen $X$ und $\mathbb {R}$. Oder gibt es eine Vervollständigung von $X$, welche tatsächlich echt grösser ist? -- 2001:620:8:3F42:8000:0:0:1843 17:34, 18. Jun. 2012 (CEST)

Auch wenn die fragliche Formulierung nicht mehr im Artikel vorkommt, hier zur Aufklärung: Gemeint war "echt größer" im Sinne von echter Obermenge. Das ist in jedem Fall richtig, da zur Vervollständigung ja neue Punkte als Grenzwerte von nicht-konvergenten Cauchy-Folgen hinzugenommen werden. Gemeint war nicht echt größer im Sinne der Kardinalität, da ist korrekterweiße der unvollständige Raum $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ein Gegenbeispiel, er hat dieselbe Mächtigkeit wie seine (bis auf Isometrie eindeutige) Vervollständigung $\mathbb {R}$, nämlich $\beth _{1}$.

Ich habe ein ganz anderes Problem mit der neuen Formulierung: Sie ist redundant. Jeder metrische Raum lässt sich per definitionem in seine Vervollständigung einbetten, hier sollte offensichtlich ein irgendwie geartetes "größer" vermieden werden. Neuer Vorschlag:

"Dies sieht man daran, dass jeder unvollständige metrische Raum eine Vervollständigung besitzt, die eine echte Obermenge des Raumes bildet."

-- 82.119.29.173 02:10, 6. Feb. 2013 (CET)

$ae$ vs. ${\mbox{ä}}$

@HilberTraum: Wusste gar nicht, dass das so möglich ist. Das ist natürlich dann die eleganteste Lösung. Besten Dank.^^ -- 82.119.29.173 23:53, 8. Feb. 2013 (CET)