Diskussion:Satz von Liouville (Funktionentheorie)

Inhaltlicher Fehler bei alternativer Formulierung

Folgender Satz ist IMHO falsch:

Alternativ: Da f holomorph ist, kann es als Potenzreihe geschrieben werden. Polynome sind aber nicht beschränkt, deshalb muss f konstant sein.

Eine holomorphe Funktion ist nur lokal durch eine Potenzreihe darstellbar. Zudem kennt der Author dieses Satzes offensichtlich nicht den Unterschied zwischen einer Potenzreihe und einem Polynom. Potenzreihen koennen sehr wohl beschrankt sein.

Vergleiche dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Holomorph.

Ich habe den Artikel nicht geaendert. IMO kann man obigen Satz entfernen.

-- 129.132.45.68 21:36, 4. Apr. 2008 (CEST)

Habe jetzt den angesprochenen, offensichtlich falschen Satz entfernt. (nicht signierter Beitrag von 129.132.45.63 (Diskussion) 15:23, 6. Apr 2008)

Der Satz ist im Prinzip richtig, da eine ganze Funktion in eine Potenzreihe mit unendlichem Konvergenzradius entwickelt werden kann. Und in den Komplexen Zahlen sind Potenzreichen nicht beschränkt. Was natürlich extra bewiesen werden müsste. --Engie 20:48, 6. Apr. 2008 (CEST)

Die Potenzreihe ist aber vom gewuenschten Konvergenzradius abhaengig. Deshalb stimmt diese Aussage nicht. Man kann zeigen, dass die Glieder der Potenzreihe vom Grad groesser als Null immer kleiner werden, das waere ein alternativer Beweis.

Dass Potenzreihen, welche die ganze komplexe Ebene als Definitionsbereich haben unbeschraenkt oder konstant sind, ist ja gerade offensichtlich voellig aequivalent zum Satz von Liouville. -- 129.132.45.63 21:25, 6. Apr. 2008 (CEST)

Potenzreihen auf ganz C sind entweder unbeschränkt oder konstant. Konstant nur wenn alle (außer das nullte Glied) null sind. Sonst sind Polynome und Potenzreihen, welche in ganz C definiert sind, immer unbeschränkt. war ein Schreibfehler

Und die Potenzreihe einer holomorphen Fkt. ist nur von dem Punkt um den sie entwickelt wird, abhängig. Nicht vom Konvergenzradius. Es gibt ja eine Integraldarstellung der einzelnen Koeffizienten, welche nur von der Funktion und vom Entwicklungspunkt abhängt. --Engie 21:40, 6. Apr. 2008 (CEST)

Ja, du hast recht. Das war ein Schreibfehler meinerseits. Ich habe versehentlich "beschraenkt" anstatt "unbeschraenkt" geschrieben.

Deine zweite Aussage ist jedoch falsch. Vergleiche dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel und http://shamir.vmp.ethz.ch/svnbuild/basis/ft/0607-ws/ft.pdf Proposition 3.0.8.--129.132.45.63 21:45, 6. Apr. 2008 (CEST)

Du hast teilweise recht, in der Integraldarstellung der Koeffizienten kommt r tatsächlich vor, aber der Wert des Integrales hängt bei einer ganzen Funktion nicht von r ab, da in C, Kreise um den selben Mittelpunkt mit verschiedenem Radius homotop sind und deshalb nach dem Cauchyschen Integralsatz die Differenz der Integrale null ist. Deshalb gilt meine Aussage nur für ganze Funktionen, um die es hier aber ausschließlich geht. --Engie 22:07, 6. Apr. 2008 (CEST)

Genau, jetzt bin ich einverstanden. Aber das ist jetzt schon wieder genau der Satz von Liouville und eine Beweisidee welche du dazu formuliert hast. Aber es macht IMHO keinen Sinn einen "Beweis" fuer einen Satz anzugeben in welchem man die Aussage des Satzes verwendet.

Frage

Ist d = 0, also f beschränkt, so erhält man den "alten" Satz von Liouville, denn Polynome vom Grad kleiner gleich 0 sind konstant.

Ein Polynom vom Grade kleiner Null ist konstant? EIn Polynom vom Grad Minus Eins ist doch irgendwas 1/x mäßiges. Das ist doch alles andere als konstant. Denke ich falsch oder ist der Satz tatsächlich falsch? --maststef 17:05, 30. Dez. 2009 (CET)

Es gibt kein Polynom vom Grad -1. Ist der Grad kleinergleich 0, so ist er entweder 0 oder $-\infty$. Die rationale Funktion 1/x ist auch gar kein Polynom. Außerdem ist sie auch nicht ganz, da sie im Nullpunkt einen Pol hat. --Jobu0101 (Diskussion) 16:44, 30. Jul. 2012 (CEST)

Anekdote

Gehören hier Mathematiker-Anekdoten rein? Die scherzhafte Deutung des Satzes von Liouville besagt: Es gibt stets irgendwo auf der Erde einen Tornado. Dies folgt unter der Annahme der Erde als komplexe Zahlenkugel und der Windgeschwindigkeit als Funktion darauf. Offensichtlich ist die Windgeschwindigkeit nicht konstant. Mit der Kontraposition des Satzes von Liouville folgt, dass die Windgeschwindigkeitsfunktion unbeschränkt ist. Sipalius 14:54, 28. Okt. 2010 (CEST)

Reellwertige Funktionen sind nie holomorph. (Ausser wenn sie konstant sind.) --Suhagja (Diskussion) 13:06, 4. Mär. 2013 (CET)

Jahr

Wie alt ist der Satz denn nun? --Jobu0101 (Diskussion) 16:32, 30. Jul. 2012 (CEST)

Schöne Ergänzung!?

Habe gerade folgendes Video angesehen, das eine schöne Ergänzung bietet: [1] Vielleicht darauf verweisen? --87.168.45.199 10:30, 3. Okt. 2022 (CEST)

Verallgemeinerung auf harmonische Funktionen?

Auf der Seite über harmonische Funktionen wird hierher verwiesen für die Aussage, dass jede beschränkte, harmonische Funktion auf $\mathbb {R} ^{n}$ konstant ist. Diese Seite handelt aber nur von dem Satz für holomorphe Funktionen, welcher für $n=2$ direkt aus dem Satz für harmonische Funktionen folgt. Ich würde es befürworten, entweder die Aussage für harmonische Funktionen hier zu ergänzen oder darüber einen ganz neuen Artikel anzulegen (vielleicht "Satz von Liouville (Harmonische Funktionen)") und dann stattdessen auf diesen verweisen. --Msgcas (Diskussion) 00:05, 4. Aug. 2023 (CEST)