Diskussion:Satz von Rolle

Satz

Nach der allgemeinen Beschreibung habe ich den Satz selbst in einer üblichen Beschreibung eingefügt. Schön wäre jetzt noch eine Version mit Existenzquantor usw. --Impuls 00:12, 2. Feb 2006 (CET)

Beweise

Beweis angefügt. Solle jemand einen Schöneren zur Hand haben, bitte um Abänderung. Mein Beweis (Beweis 1) ist absolut korrekt, hat aber zugebenenermaßen den Hacken nicht sonderlich übersichtlich zu sein. Beweis 2 auf der anderen Seite ist meiner Meinung nach kein Beweis sondern nur eine Umformulierung des eigentlichen Satzes. Oder liege ich da falsch?

Da der 2. Beweis tatsächlich eine Umformulierung der neuen Version von Beweis 1 ist, habe ich ihn entfernt und Bew. 1 sprachlich etwas geglättet. --Impuls 14:55, 4. Feb 2006 (CET)

- Beweis 1:

Der Beweis ist deshalb nicht richtig, da für die globalen Extrema m und M nicht die Ableitung in diesen Punkten 0 sein muss. Gegenbeispiel: Die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [1,2] hat ihr (globales) Minimum in 1 und Maximum in 2, ihre Ableitung ist aber konstant 1!

Der Satz von Rolle läßt sich nur anwenden, wenn f(a) = f(b) gegeben ist, sonst siehe Mittelwertsatz der Differentialrechnung. --Impuls 14:48, 31. Jan 2006 (CET)

- Beweis 3

Ohne Einschränkung ist f nicht konstant. Da stetige Funktionen auf Komptakten Mengen (hier [a,b]) Maximum und Minimum annehmen existieren m und M aus R mit: f(m) <= f(x) <= f(M) für alle x aus [a,b] Es gilt enweder f(m) < f(a) = f(b) oder f(M) > f(a) = f(b) (ansonsten wäre f konstant) Sei ohne Einschränkung f(M) > f(a) (sonst Beweis analog mit m) Also gilt: M ist aus ]a,b[ (offen) Da f(x) <= f(M) für alle x und f differenzierbar in M folgt: 0 <= lim(x->M, x<M) von (f(x) - f(M))/(x-M) = f'(M) = lim(x->M,x>M) von (f(x) - f(M))/(x-M) <= 0

(erste Ungleichung gilt, da Zähler und Nenner < 0, zweite Ungl., da Zähler < 0 und Nenner > 0) (Gleichung gelten, da f diffbar und: lim(x->c) von f(x) = b <=> lim(x->c, x<c) von f(x) = b und lim(x->c, x>c) von f(x) = b

Sorry für die ganz schlimme Darstellung, ist mein 1. Artikel und ich kenne mich mit den ganzem Mathe-Editier-Kram nicht aus. Mit Beweis 2 hast du recht, es ist eher eine Umformulierung ;-)

bearbeitet: SemmelK am 24.1.2006

Beweis 2 sollte imho entfernt oder umformuliert werde, da er kein beweis ist ;) -- Bone23

Bew. 2 nun gelöscht, weil doppelt (aber dennoch richtig). --Impuls 15:12, 4. Feb 2006 (CET)

Also ich finde die aktuelle Version sehr schwer verständlich. Die alte Version (Beweis 2) war wesentlich einfacher verständlich und auch vollkommen korrekt. Ich denke es muss nicht immer mit Termen um sich geworfen werden, wenn ein Sachverhalt mit Worten akzeptabel dargestellt werden kann. Wenn es dagegen keine Einwände gibt werde ich das in den nächsten Tagen mal ändern ... -- MLang 21:42, 16. Sep 2006 (CEST)

Der aktuelle Beweis ist ziemlich dahingestottert - entweder ...oder... oder beides =! oder--Langholz8 (Diskussion) 10:37, 9. Feb. 2013 (CET)

Ich habe das, was hier als Beweis3 beschrieben wird, in den Artikel integriert. Der vorherige Beweis hatte stetige Differenzierbarkeit vorausgesetzt. Das ist aber nicht nötig. --V4len (Diskussion) 21:15, 11. Jul. 2014 (CEST)

Weiteres Beispiel

Die Beispiele decken die meisten Fälle bereits gut ab, doch der Fall der nichtstetigen Differenzierbarkeit, z.B. mit

$f(x)={\begin{cases}\quad x-a&{\text{für }}x<a\\\quad a&{\text{für }}x=a\\-x+a&{\text{für }}x>a\end{cases}}$

Wäre noch schön in der Fallauflistung, da dieser noch ein Mal betont, dass selbst wenn die differenzierte Funktion nicht stetig durch 0 läuft, sie dennoch den Wert 0 besitzen muss.

Das Problem ist, dass ich nicht weiß, welche Software für die Graphen genutzt wurde. Hat jemand eine Ahnung? --Sanitiy (Diskussion) 16:28, 7. Nov. 2016 (CET)