Diskussion:Satz von Weierstraß-Casorati

Äquivalenz

So wie es dort formuliert ist, sind die Aussagen äquivalent ( "genau dann ,wenn"). Jedoch ist die Existenz einer wesentl. Singularität lediglich hinreichend für die Dichtheit des Bildes der Funktion. Der Beweis sagt auch genau das aus. Ansonsten steht es beispielsweise auch im Königsberger Analysis 2 (S. 215 in der 5. Auflage)

-- 78.43.59.152 15:38, 13. Jul. 2010 (CEST)

Also wenn ich meine uralten Aufzeichnungen richtig verstehe, ging das etwa so:

Angenommen falsch: Sei das Bild von Umgebungen um $z_{0}$ unter $f$ dicht in $\mathbb {C}$ (beziechne das mit (#) ) und $z_{0}$ isolierte Singularität, nicht wesentlich.

Falls nun $z_{0}$ hebbar ist, gibt es eine (eindeutige) holomorphe Fortsetzung von $f$. Holomorphie steht dann im Widerspruch zu (#).

Also müsste $z_{0}$ ein Pol sein, dann wäre aber auch $\lim _{z\to z_{o}}|f(z)|$ unendlich. Auch im Widerspruch zu (#).

Sagt die Literatur was über die Umkehrung aus?--goiken 17:00, 13. Jul. 2010 (CEST)