Diskussion:Satz von Wilson

Die Aussage p ist genau dann eine Primzahl wenn

[((p-1)/2)!]^2 kongruent (-1)^(p-1)/2 mod p

ist leider so nicht ganz richtig, z.b. für p=2 oder p=5.

Da war ein Fehler bei der Übtragung aufgetreten. Es wurde ja $n={\frac {p+1}{2}}$ gesetzt, dann muss es $(-1)^{\frac {p+1}{2}}$ statt $(-1)^{\frac {p-1}{2}}$ heissen.

Eine Frage: Der Satz lautet ja "genau dann ist p>1 eine Primzahl, wenn...." - es wird also die Äquivalenz behauptet (was korrekt ist). Später im Text heisst es, es existiere auch eine Umkehrung des Satzes von Wilson - was soll das dann sein? ~~

20:30, 30. Jul. 2008 ZetaX

Die genannte Verallgemeinerung wurde weder von Krakow entdeckt, noch bewiesen. Eine entsprechende Namensnennung ist also falsch bzw.willkürlich.

91.11.119.193 war ich, war nicht eingeloggt. Diese Verallgemeinerung ist in einigen Büchern zum Thema zu finden (Herr Krakow beansprucht auch garnicht die Entdeckung für sich, zumindest wird dies nirgends behauptet). Eine mögliche Quellenangabe wäre Mathematics Magazin vom April 1996. Allerdings ist dies mit fast absoluter Sicherheit auch keine Ersterwähnung, die Aussage sollte seit weit über 100 Jahren bekannt sein. --ZetaX 20:42, 30. Jul. 2008 (CEST)

Verallgemeinerung

Hallo HilberTraum Mit ODER als Verknüpfung stimmt das.

Hallo Ralf, was ist an dem Satz „Für $n=1$ und $n=p$ ergibt sich der Satz von Wilson.“ auszusetzen? Wenn ich nichts übersehen habe, stimmt das doch, also wieso soll das hier nicht stehen? -- HilberTraum (d, m) 19:54, 13. Dez. 2015 (CET)

Hallo HilberTraum Wenn Du $n=p$ in die Verallgemeinerung einsetzt steht links nur 0! = 1. Um die obige Formel von Wilson zu erhalten darf hingegen nur der erste Faktor links (n-1)! zu (1-1)! = 0! = 1 werden. Das ist mit $n=1$ der Fall. (nicht signierter Beitrag von Ralf.steiner (Diskussion | Beiträge) 08:23, 14. Dez. 2015 (CET))

Wenn ich in $(n-1)!(p-n)!$ für $n$ das $p$ einsetze, bekomme ich $(p-1)!(p-p)!=(p-1)!0!=(p-1)!\cdot 1=(p-1)!$. -- HilberTraum (d, m) 09:00, 14. Dez. 2015 (CET)

Abschnitt "Satz"

Guten Tag. Der erste Abschnitt "Satz" enthält drei Teile.

1. "Der Satz von Wilson lautet..." → gut.

2. "Mit Hilfe des Begriffes..." → gut.

3. "Umgekehrt kann man mit dem Satz auch schließen:..." → Hier gefällt es mir nicht mehr.

Zunächst sehe ich nicht was hier umgekehrt wird. Dann ist der Inhalt dieses Teils bereits eine Verallgemeinerung des Satzes von Wilson. Es wird nämlich gesagt, was $(n-1)!{\pmod {n}}$ nun wirklich ist wenn $n$ nicht prim ist. Wilson's Satz sagt in diesem Fall nur: das ist nicht gleich $n-1{\pmod {n}}$.

Vorschlag: diesen Teil aus dem Abschnitt "Satz" auslagern und als Verallgemeinerung deklarieren.

Freundliche Grüsse: --Herbmuell (Diskussion) 03:31, 13. Jan. 2016 (CET)

Übertrag von Disk des gelöschten Artikels

André Weil: „Zahlentheorie. Ein Gang durch die Geschichte von Hammurapi bis Legendre.“ schreibt auf Seite 67:

Es ist keineswegs unmöglich, daß Fermat wenigstens experimentell auf den Wilsonschen Satz gestoßen ist. Leibniz kannte ihn im wesentlichen (vgl. D. Mahnke, loc.cit., 42). 

Die angegebene Quelle ist Dietrich Mahnke: „Leibniz auf der Suche nach einer allgemeinen Primzahlgleichung.“ Bibl. Math. 13 (1912-13), 29-61. Diese Arbeit kann man online anschauen. Auf Seite 41/42 steht dort (mit Bezug auf den Kleinen Satz von Fermat):

Leibniz würde sogar auf dem angegebenen Weg den Beweis des Fermatschen Satzes haben finden können. Denn der von ihm betrachtete Ausdruck ist derselbe, den später Lagrange benutzt hat, um gleichzeitig den Fermatschen und den Wilsonschen Satz zu beweisen. Nach Lagrange ist nämlich [...] Also ist [...] (Wilsonscher Satz). So allerdings hätte Leibniz noch nicht schließen können, da diese Schlußweise eine ausgebildete Methode des Rechnens mit Kongruenzen voraussetzt. Aber er hätte umgekehrt vorgehen können[...]
Leibniz hat in der Tat, wie Vacca im Boll. di bibl. e storia mat. 1899 festgestellt hat, den Wilsonschen Satz schon etwa ein Jahrhundert eher erkannt als Waring ihn in seinen Meditationes algebraicae (Cantabrigiae 1770) veröffentlicht und Lagrange an der angegebenen Stelle ihn zuerst bewiesen hat. Leibniz hat nämlich in Handschrift 25 die Reste von 1!,2!,3!,...,16! mod 17, ferner die Reihe mod 3, mod 4,...,mod 17 zusammengestellt und daraus geschlossen [...] D.h. (p-2)!=1 mod p, wenn p eine Primzahl ist, dagegen (n-2)!=m mod n, wobei m einen gemeinsamen Faktor mit n besitzt. Würde man die erste Kongruenz mit p-1 multiplizieren, so [...] würde der bekannte Wilsonsche Satz folgen. Leibniz hat nun seinen induktiv gefundenen Satz noch bei der nächsten Primzahl, p=17, nachgeprüft, sich dabei aber verrechnet. Er gibt nämlich an 11!=16,...,15!=16,16!=1 mod 17, während in Wirklichkeit 11!=1,...15!=1,16!=16 mod 17 ist. Durch diesen Rechenfehler ist er veranlaßt worden, seinen richtigen Satz abzuändern und noch den falschen Zusatz zu machen: „... relinquish [1 vel complementum ad 1]“, d.h. p-1. In der Tat ist ja bei seiner Rechnung 15!=17-1, während in Wirklichkeit 15!=1 mod 17 ist. So erklärt sich dieser falsche Zusatz, der Vacca unverständlich war.

Leibniz hatte also fälschlich behauptet, dass (p-2)! entweder 1 oder -1 modulo p ist, und er hatte diese Behauptung nicht bewiesen, sondern nur durch Nachrechnen der ersten 17 Werte bestätigt.—Godung Gwahag (Diskussion) 14:03, 11. Sep. 2019 (CEST)

Es scheint mir wenig sinnvoll, weiter mit Godung Gwahag allein zu diskutieren. Daher Übergabe an die QS! Andere haben vielleicht interessante weitere Ansagen zu machen.--Schojoha (Diskussion) 20:31, 11. Sep. 2019 (CEST)

Wie oben erwähnt war es Dietrich Mahnke der den Satz in den Manuskripten von Leibniz in Hannover fand (Online hier), Bundschuh sollte in dieser Hinsicht als Referenz ersetzt werden.--Claude J (Diskussion) 10:09, 6. Nov. 2019 (CET)

Gebührt nicht eigentlich Giovanni Enrico Eugenio Vacca die Anerkennung, als erster auf Leibniz verwiesen zu haben? --Schojoha (Diskussion) 22:56, 6. Nov. 2019 (CET)

Das wird im Zitat erwähnt. Aus meiner Sicht reicht das, aber meinethalben kann man es natürlich auch im Text nochmal erwähnen.—Godung Gwahag (Diskussion) 23:19, 8. Nov. 2019 (CET)