Diskussion:Satz von Wolstenholme

Unverständlich

Kann bitte jemand eine Beschreibung in WORTEN schreiben, die auch ein Nicht-Mathematiker versteht?--Alia 2005 14:31, 13. Aug. 2009 (CEST)

Nein, es ist klar und verständlich ausgedrückt! Die formale mathematische Sprache muß allerdings beherrscht werden. Ein spezieller Sachverhalt der russischen Grammatik läßt sich auch nicht ohne Kenntnis der russischen Sprache verstehen. Wer beispielsweise gar keine Kenntnisse über die chinesische Sprache hat, kann auch nicht verstehen warum es unmöglich ist eine nutzbare mechanische Schreibmaschine für diese Sprache zu realisieren.

Ich habe jedoch zwei Beispiele eingefügt, um die Aussage des Satzes zu erläutern. Diese stellen jedoch keinen Ersatz für die Formulierung des Satzes dar. --Skraemer 16:11, 13. Aug. 2009 (CEST)

Gekürzte Darstellung

Es geht mir um die letzten Edits im Artikel. So wie es jetzt da steht, ist die Aussage des Satzes unsinnig, denn es gibt nicht den Zähler einer rationalen Zahl. Jede rationale Zahl ungleich 0 hat unendlich viele verschiedene Darstellungen mit unendlich vielen verschiedenen Zählern. Die Aussage des Satzes ist jedoch, dass er in jeder gekürzten Form durch p^2 teilbar ist (siehe auch Weblinks), natürlich gilt die Aussage dann auch für jede ganzzahlige Erweiterung des Bruches, doch das ist nicht mehr Aussage des Satzes und so trivial, dass es nicht explizit erwähnt werden muss. Daher bin ich dafür, zu meiner Version zurückzukehren. --Jobu0101 (Diskussion) 20:10, 5. Jul. 2012 (CEST)

Selbstverständlich wird, wenn man lege artis formuliert, jede unnötige Voraussetzung weggelassen. Das ist bei Deiner Version nicht der Fall. Was Du als Erklärung für nötig hältst, ist nach Deinem eigenen Argument "so trivial, dass es nicht explizit erwähnt werden muss". Jeder, der es in Deiner Version versteht (und wegen der unnötigen Voraussetzung irritiert ist), versteht es ebenso gut auch in der jetzigen einfachen Version, da Du als Erklärung nur eben jene unnötige Voraussetzung anbietest. Nebenbei: Auch ein gekürzter Bruch ist nicht eindeutig, man kann Zähler und Nenner mit −1 multiplizieren. --84.130.161.95 20:28, 5. Jul. 2012 (CEST)

Nein, denn die Version, die wir gerade haben, ist mathematisch gar nicht definiert. Der Zähler einer rationalen Zahl ist nicht als solcher definiert. Hättest du mit deiner Argumentation zum Stichwort lege artis recht, dann hätte selbstverständlich der Autor dieses Artikels auch das Wort gekürzt weggelassen. Hat er aber nicht, da es, wie eben von mir deutlich gemacht, notwendig ist. Dass selbst beim gekürzen Bruch der Zähler und Nenner nicht eindeutig ist, ist mir durchaus klar, deswegen habe ich oben auch in jeder gekürzten Form und nicht in der gekürzten Form geschrieben. Jedoch ist er eindeutig bis auf Assoziiertheit und genau darauf kommt es in der Teilbarkeitslehre an. --Jobu0101 (Diskussion) 22:05, 5. Jul. 2012 (CEST)

Und die Darstellung als Bruch ist eindeutig bis auf gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner, das ist die "Assoziiertheit" (Äquivalenz) bei Brüchen. Die Auswirkung auf den Satz ist "so trivial, dass es nicht explizit erwähnt werden muss". Für Pingelige ist der Zähler eines gekürzten Bruches ebenfalls "mathematisch gar nicht definiert", Assoziiertheit hin oder her. Für Pingelige müsste es übrigens auch "vollständig gekürzter Bruch" heißen, also zum Beispiel "in vollständig gekürzter Darstellung mit positivem Zähler", was ich nicht nur als pingelig ansehe, sondern weiterhin als überflüssige Voraussetzung ablehne. Zu dem von Dir zuerst angebrachten Link auf Hardy/Wright: Dort steht "If p is a prime greater than 3, then the numerator of the fraction 1 + ½ + ⅓ + … + ⅟_p-1 is divisible by p²" und nichts von gekürzt. Das ist das komplette "Theorem 115". Danach kommt eine Erläuterung, dass gekürzt oder nicht gleichgültig sei, die jedenfalls weder Deine Kritik mangelnder Definiertheit bestätigt noch meinem Argument der Unnötigkeit der Voraussetzung widerspricht. Der Autor bezeichnet die Summe als "fraction" (Bruch) mit einem "numerator" (Zähler), der ist aber ebenso "mathematisch gar nicht definiert" wie jetzt im Artikel, wo fast eine wörtliche Übersetzung von Hardy/Wright steht. Im Theorem macht der Autor die unnötige Voraussetzung nicht, im Gegenteil: Er erläutert, dass sie entbehrlich ist. Zu dem Link auf den Originalartikel: Wolstenholme verzichtet bei Aussage (2) auch auf das Kürzen, obwohl es dort genauso "mathematisch gar nicht definiert" wäre. Meine beiden Kompromissvorschläge ([1], [2]) lehnst Du ja anscheinend ebenfalls ab, den ersten mit reichlich windigem Argument ([3]), den zweiten mit gar keinem. --84.130.161.95 22:58, 5. Jul. 2012 (CEST)

Deine Kompromissvorschläge finde ich allesamt besser als die Version, die gerade drinsteht. Von mir aus können wir auch schreiben

... ist der Zähler jeder Darstellung der rationalen Zahl ... mit ganzahligem Zähler und Nenner durch p^2 teilbar.

Klingt zwar ein bisschen umständlich ausgedrückt, ist so aber natürlich korrekt und man hat hier nicht mehr "Zähler einer Zahl" drin. Das war ja mein Kritikpunkt.

PS: Zu den Links: Wenn die Autoren dort auf "gekürzt" verzichten, dann doch nur, indem sie im Text erklären, warum es nicht von der Darstellung abhängt. Gerade das passierte hier in der Wikipedia aber nicht. --Jobu0101 (Diskussion) 00:04, 6. Jul. 2012 (CEST)

Hi, möglich wäre natürlich auch folgendes Umgehen Eures Problemes:

Ist $p\geq 5$ eine Primzahl, so ist die (offensichtlich natürliche) Zahl

$(p-1)!\cdot (1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}})$

durch $p^{2}$ teilbar. Dabei steht $(p-1)!$ für die Fakultätsfunktion.

Was haltet Ihr denn davon? Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 01:04, 6. Jul. 2012 (CEST)

Habe ich mir auch überlegt. Nur ist das dann nicht mehr der Satz von Wolstenholme, aber die Äquivalenz lässt sich natürlich leicht nachweisen (bzw. ist für das geschulte Auge sofort ersichtlich). Müsst ihr entscheiden, ich will nicht mehr so viel fordern, wie am Anfang. Man könnte dazu auch schreiben:

$p^{2}\mid \sum _{n=1}^{p-1}{\frac {(p-1)!}{n}}\in \mathbb {Z}$

Das sieht noch etwas schöner und kompakter aus. --Jobu0101 (Diskussion) 09:30, 6. Jul. 2012 (CEST)

Was nun? Wie geht es hier weiter? --Jobu0101 (Diskussion) 23:31, 6. Jul. 2012 (CEST)

Am besten alles so lassen. An meiner Position hat sich nichts geändert, da keine stichhaltigen Argumente vorgebracht wurden. Umgekehrt kann man das nicht gerade behaupten. Ich werde jetzt aber nicht noch einmal anfangen, nur damit neue Vorschläge kommen, deren Unterschiede zu meinen ("mit ganzahligem Zähler und Nenner", siehe noch einmal Bruchrechnung#Definition und Bezeichnungen "Zähler und Nenner eines Bruches sind ganze Zahlen") wieder nicht begründet werden. --84.130.156.226 23:43, 6. Jul. 2012 (CEST)

Auch ich bin für die jetzige (alte) Version, ich halte sie auch für besser als meinen obigen Vorschlag. Es ist ein guter Kompromiss, den wir durchaus belassen können, bis (vielleicht) ein besserer gefunden wird. Alle bisher vorgebrachten Varianten scheinen mir aber keine Verbesserung zu bringen.--Franz (Diskussion) 00:21, 7. Jul. 2012 (CEST)