Diskussion:Schiefer Kreiskegel

Beim Abschnitt ´Beziehung zwischen geradem Ellipsen- und schiefem Kreiskegel´ ist Folgendes zu beachten: Es genügt nicht, die (von x unabhängige) Ebenenform z(x,y) = sy+t in die Kegelform einzusetzen. Das Resultat, ein Ausdruck in x und y, ist nur die Projektion des Kegelschnitts auf die xy-Ebene. Aus der Gleichsetzung der Koeffizienten von x² und y² erhält man die Steigung der Ebene, die aus dem Kegel eine Ellipse schneidet, deren Projektion ein Kreis ist. Für den Winkel $\delta$ dieser Schnittebene mit der xy-Ebene gilt dann die Formel $\tan(\delta )^{2}=\tan(\beta )^{2}-\tan(\alpha )^{2}$, dabei ist $\gamma$ < $\delta$ ($\gamma$ der korrekte Schnittwinkel im Artikel).

Beispiel eines Kreisschnitts: a = 6, b = 4, h = 10, dann ist (Näherungswerte) $\cos(\beta )$ = 0,3714, $\cos(\alpha )$ = 0,5145, also $\cos(\gamma )$ = 0,7643, das entspricht einem Schnittwinkel von 43°48'. Bei n = 3 ist der Radius des Schnittkreises = 2,7 (von Kegelrand zu Kegelrand also 5,4). --Jotquadrat 12:26, 30. Jun. 2007 (CEST)

Beweis-Skizze: Die analytische Beschreibung des geraden Ellipsenkegels lautet r'Cr = 0 mit r' = (x,y,z) und

$C=\left({\begin{array}{ccc}1/a^{2}&0&0\\0&1/b^{2}&0\\0&0&-1/h^{2}\end{array}}\right),$

oder ausgeschrieben

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{h^{2}}}=0$

(gestrichene Vektoren sind Zeilenvektoren, also transponierte Spaltenvektoren). p' = (0,v,w) sei der Stützvektor der Ebene, die den Kegel schneidet (p liegt in der yz-Ebene). Der Betrag von p sei n (also n² = v²+w²). Die Matrix

$D=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&w/n&-v/n\\0&v/n&w/n\end{array}}\right)$

dreht den Stützvektor in den Vektor q' = (0,0,n). Es gilt D' D = Einheitsmatrix und det(D) = det(D') = 1. D ist also eine Drehmatrix, die Längen und Winkel invariant lässt. Sie dreht das System Ellipsenkegel und Schnittebene so, dass der Stützvektor in die z-Achse fällt und die gedrehte Schnittebene die einfache Form z = n erhält. Der gedrehte Ellipsenkegel hat dann die Form r' D' A D r = 0. Das ergibt ausgerechnet

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+Ey^{2}-2Fyz+Gz^{2}=0$,

wobei

$E:={\frac {w^{2}}{b^{2}n^{2}}}-{\frac {v^{2}}{h^{2}n^{2}}},\quad F:={\frac {vw}{b^{2}n^{2}}}+{\frac {vw}{h^{2}n^{2}}},\quad G:={\frac {v^{2}}{b^{2}n^{2}}}-{\frac {w^{2}}{h^{2}n^{2}}}.$

Die Gleichung für die Schnittkurve lautet wegen z=n:

$Q(x,y):={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+Ey^{2}-2Fny+Gn^{2}=0.$

Das ist ein Kegelschnitt. Damit er ein Kreis ist, muss gelten:

${\frac {1}{a^{2}}}=E$, also ${\frac {1}{a^{2}}}={\frac {w^{2}}{b^{2}n^{2}}}-{\frac {v^{2}}{h^{2}n^{2}}}$ (Kreisbedingung). Aus dieser Gleichung folgt das Kosinus-Gesetz für den Kreisschnitt eines geraden Ellipsenkegels. --Jotquadrat 10:56, 16. Jul. 2007 (CEST)