Diskussion:Schwach-*-Topologie

Ein paar Vorschläge

1. Ich denke, wenn normierter oder lokalkonvexer Raum vorausgesetzt wird, dann kann man auf das $\mathbb {K}$ verzichten, denn dann versteht es sich von selbst, dass es sich um einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$ handelt. Das würde die Lesbarkeit erhöhen.

2. Ich würde statt mit der abstrakten Definition der Topologie mit der Konvergenz anfangen. Das ist das, was die meisten Anwender brauchen: Wann konvergiert eine Folge in dieser Topologie. Auch der Satz von Banach-Alaoglu ist mir bisher meist in der "folgenkompakt"-Version begegnet: Jede beschränkte Folge besitzt eine schwach-*-konvergente Teilfolge. --Digamma 10:40, 4. Feb. 2008 (CET)

Antwort auf die Vorschläge

Die Reihenfolge ist Geschmackssache, die Umgebungsbasis wird sicher ähnlich oft verwendet. Schwach-*-kompakte Mengen sind in der Regel nicht folgenkompakt. Ist $f_{n}\in (l^{\infty })'$ die Projektion auf die n-te Komponente, so hat die Folge $(f_{n})_{n}$ in der schwach-*-kompakten Einheitkugel keine konvergente Teilfolge. Für die Metrisierbarkeit schwach-*-kompakter Mengen braucht man die Separablität des Ausgangsraums, das ist auch so im Artikel über den Satz von Banach-Alaoglu widergegeben. Würde man mit der Konvergenz beginnen, müsste man dem Leser sofort den Begriff Netz zumuten. --FerdiBf 21:45, 15. Feb. 2008 (CET)

Man kann doch auch erstmal mit der Konvergenz von Folgen anfangen. Und ich rede überhaupt nicht von Metrisierbarkeit. Aber Topologie begegnet nun mal den meisten Mathematikern und Anwendern überwiegend in der Form von Konvergenz --Digamma 20:56, 16. Feb. 2008 (CET)

Produkttopologie

Wieso steht eigentlich fast nirgendwo (auch nicht im Artikel zur Zeit), dass die schwach-*-Topologie auf E' ganz einfach die Teilraumtopologie der Produkttopologie von \prod_{x \in E} IK ist? Das ist zwar nur eine Umformulierung, aber ich finde diese Beschreibung zumindest klarer als die üblichen. Und vor allem zeigt es auch, wie natürlich diese Topologie entsteht. Vielleicht kann man das ja noch ergänzen. - Martin B. --92.231.12.13 19:54, 15. Mai 2015 (CEST)

Sei mutig! --Digamma (Diskussion) 20:00, 15. Mai 2015 (CEST)

Ich habe obiger Nachfrage entsprochen. Ob diese alternative Definition die klarste ist, ist natürlich Geschmachssache. Im Umgang mit Topologien will man meistens wissen, was Konvergenz in dieser Topologie bedeutet oder wie Umgebungen aussehen. Bei der Definition als Relativtopologie der Produkttopologie ist man davon genau einen Schritt entfernt, auch wenn dieser Schritt trivial ist. Daher habe ich die Beschreibung mittels Produkttopologie nicht an die Spitze gestellt.--FerdiBf (Diskussion) 08:04, 16. Mai 2015 (CEST)