Diskussion:Simplizialkomplex

Frage zur exakten Definition

Hallo. Ich muss zugegen, dass ich nicht wirklich verstehe, was hier passiert. Der Reihe nach: "Ein Simplizialkomplex ist eine endliche Zusammenstellung von abstrakten Simplizes."

Als Mathematiker fragt man sich hier, was eine "endliche Zusammenstellung" sein soll. Spontan vermute ich mal, dass gemeint ist, dass es sich um eine endliche Menge von abstrakten Simplizes handelt. Weiter im Text...

"Ein abstrakter Simplex ist eine nicht leere, endliche Menge sigma in K, für die jede offene Teilemenge wieder in K liegt."

Was soll denn "offen" bedeuten? Wieso haben wir plötzlich eine Topologie? Ist jedes Sigma also ein topologischer Raum? Bis jetzt hatten wir nur lauter Mengen? Oder heißt offen hier etwas anderes?

"Der Simplizialkomplex heißt endlich, falls er eine endliche Menge ist"

Jetzt bin ich völlig verwirrt. Oben wurde doch ein Simplizialkomplex als eine endliche Zusammenstellung definiert... Vielleicht kann mir ja jemand helfen... Viele Grüße, --Cosine 15:52, 3. Feb. 2012 (CET)

Ich glaube hier geht einiges Durcheinander. Bin gerade auch nicht mehr in der Thematik drin, aber vor langer Zeit habe ich einmal den Abschnitt Simplex_(Mathematik)#.28Abstrakter.29_Simplizialkomplex verfasst. Ob er an der Stelle dort richtig steht.... Grundlage für den Abschnitt war das Buch, was unter Simplex_(Mathematik)#Literatur gelistet wurde. Ich hoffe, dass der Abschnitt zumindest Deine Unklarheiten beseitigt. Die Fehler aus der Definition hier sind natürlich auch noch zu beseitigen. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 10:55, 10. Feb. 2012 (CET)

Hallo, Christian1985! Ja, die Unklarheiten wurden beseitigt. Ich habe mal das, was ich verstanden habe, in den Artikel geschrieben. Jetzt wirkt es zumindest mathematisch sinnvoll. Hoffe, es stimmt auch. Viele Grüße, --Cosine 12:09, 10. Feb. 2012 (CET)

R^J

Gibt es einen Grund, warum hier:

Ein geometrischer Simplizialkomplex $\mid K\mid$ ist eine Menge von Simplizes in einem euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{J}$ mit der Eigenschaft[...]

$\mathbb {R} ^{J}$ und nicht $\mathbb {R} ^{n}$ steht? Falls nicht, würde ich das gerne durch $\mathbb {R} ^{n}$ ersetzen, da diese Schreibweise deutlich häufiger genutzt wird.

Grüße, --Martin Thoma 12:50, 13. Feb. 2014 (CET)

Eine gute Frage... Ich würde vermuten, dass das eventuell daher kommen könnte, dass das n bereits oben erwähnt wird als von einem n-Skelett gesprochen wird, oder dass man betonen will, dass die Dimension von dem umgebenden Raum R^J nicht identisch mit der Dimension von dem betrachteten Simplizialkomplex sein muss. Aber das sind nur Vermutungen, die mich auch nicht direkt überzeugen. Ich würde sagen, wir können da einen R^n oder R^d (wird auch manchmal verwendet) draus machen. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 15:32, 13. Feb. 2014 (CET)

Ich finde $\mathbb {R} ^{d}$ prima; das ist verbreitet und d kommt noch nicht vor. Ich ändere das gleich mal. -- HilberTraum (Diskussion) 18:09, 15. Feb. 2014 (CET)

Simpliziale Abbildung

Fehlt da nicht noch was bei der Definition? Zumindest sollten doch Facetten eines Simplex wieder auf Facetten des Bildsimplex abgebildet werden, oder? -- HilberTraum (Diskussion) 18:23, 15. Feb. 2014 (CET)

Richtig, aber dies dürfte m.E. doch in der Forderung enthalten sein: Einerseits müssen einelementige Simplizes aus $K$ auf einelementige Simplizes aus $L$ abgebildet werden. Sind nun $x,y$ zwei einelementige Simplizes aus $K$, so dass auch $\{x,y\}$ in $K$ liegt, dann muss auch $\{f(x),f(y)\}$ in $L$ liegen. Dabei ist $f(x)=f(y)$ natürlich erlaubt (daher mein Edit).

Oder habe ich da etwas übersehen?

--Lefschetz (Diskussion) 22:01, 15. Feb. 2014 (CET)

Ja, aber wo steht das denn im Artikel, dass z. B. einelementige Simplizes aus $K$ auf einelementige Simplizes aus $L$ abgebildet werden oder dass $\{f(x),f(y)\}$ in $L$ liegen muss? -- HilberTraum (Diskussion) 10:07, 16. Feb. 2014 (CET)

Da fehlt tatsächlich etwas, und zwar bereits vorher (die abstrakten bzw. kombinatorischen Komplexe sind eben wirklich etwas abstrakt ...):

Oben sind zunächst die Ecken $V(K)$ als die einelementigen Simplexe im Komplex $K$ zu definieren. Dann geht m. E., so wäre mein Vorschlag:

Eine simpliziale Abbildung ist eine Abbildung zwischen den Ecken-Mengen $f\colon V(K)\to V(L)$, die eine Abbildung der Simplizialkomplexe $f\colon K\to L$ induziert, das heißt, für jeden Simplex aus $K$ werden dessen Ecken unter der Abbildung $f$ auf die Ecken eines Simplex in $L$ abgebildet.

OK?

--Lefschetz (Diskussion) 17:13, 16. Feb. 2014 (CET)

Ich habe keine Ahnung, wie die übliche Definition ist. Ich würde mich einfach an irgendeinem Standardlehrbuch orientieren. -- HilberTraum (Diskussion) 08:03, 17. Feb. 2014 (CET)

Leider habe ich modernes Lehrbuch gefunden, sondern nur ein Skript (Ziegler, Berlin), dort siehe 2.9 und 2.10

Die abstrakten bzw. kombinatorischen Simplizialkomplexe sind heute relativ ungewöhnlich, waren aber nun mal die vom betreffenden WP-Autor verwendete Grundlage (nur in alten Büchern wie Hopf, Alexandroff findet man etwas zu simplizialen Abbildungen auf dieser Basis). Auch Ziegler führt zunächst geometrische Simplizialkomplexe ein.

Mal sehen, ob ich die Anpassung am nächsten Wochenende schaffe ...

--Lefschetz (Diskussion) 18:47, 17. Feb. 2014 (CET)

erl. --Lefschetz (Diskussion) 20:23, 21. Feb. 2014 (CET)

Abbildung "Ein dreidimensionaler Simplizialkomplex"

Hallo, diese Abbildung hat leider keine Beschriftungen und es ist für mich völlig unklar, was für Simplizes denn nun wie zu einem Komplex zusammengefügt werden. Besteht dieser Komplex aus dem Tetraeder, einer bestimmten Anzahl von Seitenflächen (faces), Kanten (edges) und Ecken (vertices)? In der Vorlesung, die ich gerade besuche, wird das leider auch nicht klar; da ist nicht einmal eine Abbildung im Skript enthalten. (nicht signierter Beitrag von 84.226.132.127 (Diskussion) 21:28, 12. Okt. 2016 (CEST))

"Definition" vs. "Geometrischer Simplizialkomplex"

Im Abschnitt Geometrischer Simplizialkomplex taucht der Satz

"Der geometrische Simplizialkomplex $|K|$ heißt geometrische Realisierung des abstrakten Simplizialkomplex ${\mathcal {K}}$."

auf. Die Notation ${\mathcal {K}}$ stammt vermutlich aus dem vorangegangenen Abschnitt Definition, allerdings wird an dieser Stelle überhaupt kein Zusammenhang zwischen ${\mathcal {K}}$ und $|K|$ hergestellt. Ich nehme nicht an, dass ein beliebiger geometrischer Simplizialkomplex als Realisierung des abstrakten Komplexes in Frage kommt. Dem Autor war die Verbindung sicher völlig klar, im Artikel wird sie allerdings nicht dargestellt.

Liebe Grüße -- 2A02:8109:A7BF:E964:1133:5228:646E:BD84 15:59, 20. Dez. 2016 (CET)

Ich habe mal einen Versuch der Strukturierung gemacht. Deutlicher? --Lefschetz (Diskussion) 11:01, 25. Dez. 2016 (CET)

Ja, besten Dank! Ich hatte mich auch mal in die Materie eingelesen, über die Feiertage aber dann doch was anderes vorgehabt. ;)

Liebe Grüße -- 2A02:8109:A7BF:E964:9538:96F0:2115:59FB 16:05, 28. Dez. 2016 (CET)

Schön, so ein Feedback freut doch immer wieder!--Lefschetz (Diskussion) 17:49, 28. Dez. 2016 (CET)

Link

Der Link $\operatorname {lk} (M)$ besteht aus allen Simplizes im Stern von $M$, aber kein Simplex von $M$ treffen.

Tut mir leid, aber das ist selbst in der Mathematik kein Satz ;-) (nicht signierter Beitrag von MWinckler (Diskussion | Beiträge) 23:05, 15. Aug. 2022 (CEST))