Diskussion:Skalarmultiplikation

Richtung und Orientierung eines Vektors

Die alte Formulierung lautete: "Bei negativen Skalaren wird dabei zusätzlich die Richtung des Vektors umgekehrt."
Die gegenwärtige Formulierung lautet: "Bei negativen Skalaren wird dabei zusätzlich die Orientierung des Vektors umgekehrt."
In beiden Fällen dient die Kursivschreibung nur der Hervorhebung auf dieser Diskussionsseite und ist im Artikel nicht vorhanden.
Die Formulierung mit Orientierung wurde von mir zweimal eingeführt und von einem - im übrigen sehr fleißigen - Benutzer zweimal rückgängig gemacht. Um nun einem edit war vorzubeugen:
Vektoren können unendlich viele Richtungen haben (beispielweise festgelegt über zwei Punkte) und in der Folge eine von zwei Orientierungen, was anschaulich mit Durchlaufsinn (${\overrightarrow {AB}}$ vs. ${\overrightarrow {BA}}$) bezeichnet wird. Dieser (eher sprachlichen) Definition folgen Lehrbücher, Wikipedia-Artikel (Beispiel: Skalarprodukt) und zahlreiche Mathe-Foren (einfach mal nach "Richtung Orientierung Vektor" googlen).
Was ich dabei hervorheben möchte: Die Verwendung des Begriffs "Orientierung" eignet sich gerade bei der Besprechung der Skalarmultiplikation, weil dann deutlich wird, dass hier nicht die Richtung, sondern stets nur ggf. die Länge und bei Multiplikation mit negativem Skalar (ggf. neben der Länge) nur die Orientierung geändert wird. Die S-Multiplikation ist das Paradebeispiel für die Veranschaulichung von Richtung und Orientierung eines Vektors. Deshalb wünsche ich die Beibehaltung der obigen Formulierung mit Orientierung.
--Volker Alexander (Diskussion) 14:40, 3. Mai 2015 (CEST)

Schön, dass du einem Editwar vorbeugen möchtest, ihn aber trotzdem führst. Es gibt in der mathematischen Literatur offenbar zwei Varianten:

1. Ein Vektor wird durch seine Länge und seine Richtung festgelegt. [2] [3] [4] [5]
2. Ein Vektor wird durch seine Länge, seine Richtung und seine Orientierung (Richtungssinn) festgelegt. [6] [7] [8] [9]

Ich kannte bislang nur die erste Variante, bei der zum Beispiel Nordwest (315°) und Südost (135°) zwei verschiedene Richtungen sind. Ich erkenne aber an, dass auch die zweite Variante verwendet wird. Unser Artikel Vektor verwendet die erste Definition:

Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben.

Im Artikel Skalarprodukt steht:

Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar.

Das ist nicht ganz die zweite Variante, denn man kann Parallelität von Vektoren auch auf verschiedene Weisen definieren, siehe Antiparallelität (Vektorrechnung). Ich finde die ursprüngliche Variante am wenigsten missverständlich und würde sie daher bevorzugen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:05, 3. Mai 2015 (CEST)

Als Definition steht im Artikel Vektor:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Interessanterweise wurde sowohl diese Formulierung ("gleich gerichtet") als auch die von Benutzer:Quartl zitierte im Artikel Skalarprodukt ("gleich orientiert") von mir eingebracht (siehe diese Änderung).

Der Gebrauch im Artikel Skalarprodukt ist nicht ganz einheitlich. Einmal wird von der Projektion auf eine Richtung gesprochen. Dabei ist eigentlich der vom Vektor bestimmte eindimensionale Unterraum gemeint, also eine Richtung ohne Orientierung. Andererseits wird bei den physikalischen Anwendungsbeispieln von der "Richtung der Kraft" und der "Richtung des Wegs" geredet und vom Winkel zwischen diesen zwei Richtungen. Hier ist offensichtlich die Orientierung mitgemeint, weil sonst der Winkel nicht eindeutig bestimmt wäre.

Nach meiner Meinung muss man bei geometrischen Objekten wie z.B. einer Geraden oder einer Strecke oder einer Ebene im Raum zwischen Richtung und Orientierung unterschieden werden. Eine Gerade kann nicht noch Norden gerichtet sein, sondern höchstens in Nord-Süd-Richtung. Eine Orientierung einer Geraden muss zusätzlich gewählt werden und macht die Gerade dann zu einer orientierten Gerade. Die Orientierung einer Strecke kann z.B. gewählt werden, indem eine Reihenfolge ihrer Endpunkte angegeben wird. Im Gegensatz dazu bezeichnen Richtung und Orientierung bei einem Pfeil (und deshalb auch bei einem Vektor) das gleiche. Ein Pfeil, der nach Norden zeigt, hat eine andere Richtung als ein Pfeil, der nach Süden zeigt. "Gleich gerichtet" und "gleich orientiert" sind in diesem Fall dasselbe. Deshalb ist die Frag nicht, welche Formulierung korrekt ist, sondern welche Formulierung in dem betrachteten Kontext verständlicher ist. --Digamma (Diskussion) 17:55, 3. Mai 2015 (CEST)

Ergänzung: Interessant finde ich in diesem Zusammenhang das Buch von Gramlich. Dort werden beide Begriffe nebeneinander mit derselben Bedeutung verwendet: "Pfeil (gerichtete Strecke)", "Ein Pfeil ist festgelegt (charakterisiert) durch seine Länge, seine Richtung und seinen Richtungssinn (festgelegt durch die Pfeilspitze)", "Ein geometrischer Vektor (kurz Vektor) ist ein Pfeil (gerichtete Strecke, Verschiebung, Translation), wobei wir nicht zwischen solchen Pfeilen unterscheiden, die durch eine Parallelverschiebung ineinander übergehen. Ein geometrischer Vektor ist also die Menge aller zueinander paralleler, gleich langer und gleich gerichteter Pfeile)". "Geometrische Vektoren v und w sind gleich, wenn die Pfeile von v und w zueinander parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind.", "Den zu v parallelen, gleich langen, aber entgegengesetzt gerichteten Vektor bezeichnen wir mit -v".

Offenbar geht es nicht nur in der Literatur, sondern auch bei uns in einer Reihe von Artikeln begrifflich durcheinander. Ich wäre auch dafür, bei Vektoren nicht zwischen Richtung und Orientierung zu unterscheiden (und auf der anderen Seite genauer zwischen Parallelität und Antiparallelität). Ansonsten bekommt man auch bei weiterführenden Begriffen, wie Richtungsableitung, Probleme. Die zweite Definitionsvariante kann man dann gegebenenfalls in einer Fußnote oder Anmerkung erwähnen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:01, 3. Mai 2015 (CEST)

Ohne Google-Recherche: Antiparallel scheint mir ein eher seltener Begriff zu sein. "Parallel" bezieht sich in aller Regel auf die zugrunde liegenden Geraden, so dass ein Pfeil, der $v$ darstellt, parallel ist zu einem Pfeil, der den Gegenvektor $-v$ darstellt. Es gibt zwar Leute, die in diesem Fall von "antiparallel" sprechen, aber der übliche Sprachgebrauch scheint mir das nicht zu sein, siehe das obige Zitat aus Gramlich.

Welche Probleme bekommt man bei Richtungsableitungen? Dort ist das Problem eher, ob man zwischen dem Vektor und seiner Richtung unterscheidet. Mit anderen Worten: Wenn der Vektor, in dessen Richtung man ableitet, kein Einheitsvektor ist, verwendet man dann im Differenzenquotient diesen Vektor, oder den entsprechend skalierten. Auch ob man zwischen einseitigen und zweiseitigen Richtungsableitungen unterscheidet lässt sich meiner Meinung nach nicht auf den Unterschied zwischen parallel und antiparallel zurückführen. --Digamma (Diskussion) 20:34, 3. Mai 2015 (CEST)

Sollte die Rakete in die entgegengesetzte Richtung zeigen, geht es heute nicht ins Weltall [1]

Die Autoren, die einen Vektor nur durch Länge und Richtung festlegen, unterscheiden dann auch zwischen parallel und antiparallel, z.B. [10] [11], übrigens offenbar auch Gramlich [12]. Demnach sind zwei Vektoren parallel, wenn sie in die gleiche Richtung zeigen, antiparallel, wenn sie entgegengesetzte Richtungen zeigen, und kollinear, wenn sie entweder parallel oder antiparallel sind.

Wenn man eine differenzierbare Funktion in die entgegengesetzte Richtung ableitet, kehrt sich das Vorzeichen um, vgl. $f(x+hv)-f(x)$ und $f(x-hv)-f(x)$. Das passiert nicht bei den einseitigen Richtungsableitungen, die $f(x+hv)-f(x)$ und $f(x)-f(x-hv)$ verwenden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:27, 3. Mai 2015 (CEST)

Bemerkung zu rechtsseitiger skalarer Multiplikation

Per Definition gibt es ja keine rechtsseitige skalare Multiplikation. Allerdings wird diese im 'normalen' rechnen oft verwendet. Wir sollten hinzufügen, dass solch eine definier werden kann unter Rückgriff auf die linksseitige skalare Multiplikation. Nxcco (Diskussion) 11:21, 7. Apr. 2024 (CEST)