Diskussion:Specker-Folge

Existenzbeweis

Hallo, mir leuchtet der angegebene Existenzbeweis nicht ganz ein. Klar, dass aus Kardinalitätsgründen die berechenbaren Zahlen nicht vollständig sind. Aber warum muss es dann auch (ohne zu benutzen, dass es rekursiv aufzählbare und unentscheidbare Mengen gibt) automatisch eine Folge ohne berechenbaren Limes geben, die aber selbst berechenbar ist? Vielleicht kann jemand das etwas klarer formulieren. Grüße--Schreiber ✉ 17:53, 26. Feb. 2012 (CET)

Daraus, dass jede nach oben beschränkte Folge einen Grenzwert besitzt, folgt bereits die Vollständigkeit. Dass die aus der Existenz eines Supremums für jede nach oben beschränkte Teilmenge folgt, sollte allgemein bekannt sein, so werden ja häufig die reellen Zahlen axiomatisiert, und das können wir aus der Folgen-Formulierung folgern, gehen wir als von ihr aus: Da wir uns in Teilräumen von ℝ befinden und ℝ separabel ist, sind auch all seine Teilräume separabel. Gäbe es nun eine nach oben beschränkte Teilmenge ohne Supremum, so könnten wir eine abzählbare Teilmenge wählen, die dicht in dieser Teilmenge liegt, diese sortieren, und dann als isotone, nach oben beschränkte Folge betrachten: Diese hat dann ebenfalls kein Supremum, was der Voraussetzung widerspricht, dass jede solche ein Supremum hat. Denn hätte sie ein Supremum, so müsste dies auch Supremum der gewählten Teilmenge sein, zu groß für ein Supremum kann es nicht sein, da es dann eine kleinere obere Schranke für die Folge gäbe, zu klein kann es nicht sein, da dann ein Punkt der Teilmenge, der nicht in der Folge liegt, darüber läge und somit eine Umgebung hätte, die disjunkt zu der Folge ist (nämlich nach links bis zu besagtem Supremums-Kandidaten), dies widerspricht aber der Forderung, dass die Folge dicht in der Teilmenge liegt. Ist das klar genug? --Chricho ¹ ² 18:29, 26. Feb. 2012 (CET)

Verzeihung, du hast Recht, das zeigt nicht die Existenz einer solchen Folge, die selbst berechenbar ist, lediglich, dass die sogenannte Supremumseigenschaft verletzt ist. Ich ändere das entsprechend. --Chricho ¹ ² 18:34, 26. Feb. 2012 (CET)

Ich hatte nicht darauf geachtet, weil der Artikel – Übersetzung aus dem Englischen – so einen Wert auf die Verletzung der Supremumseigenschaft legt, aber das ist ja gar nicht der entscheidende Punkt bei Specker-Folgen, die zeigen eben, dass die Einschränkung auf berechenbare Folgen nicht genügt und man berechenbare Konvergenzmoduln benötigt. Weitere Vorschläge? --Chricho ¹ ² 18:43, 26. Feb. 2012 (CET)

Okay, trotzdem vielen Dank für die Erklärung. Mit den neuen Formulierungen wird der Zusammenhang denke ich klar. (Wäre aber schön gewesen, dann hätten wir arithmetisch definierbare unentscheidbare Probleme einfach aus Kardinalitätsgründen ;-) Grüße--Schreiber ✉ 18:58, 26. Feb. 2012 (CET)