Diskussion:Spektrum (Operatortheorie)

Struktur dieser Seite

Ich würde an dieser Stelle gern darum bitten, dass wir diese Diskussions-Seite so strukturieren, wie es in der Wikipedia üblich ist: neue Kommentare unten anfügen, Überschriften für neue Themen. Es wäre auch schön, wenn Beiträge unterschrieben würde. Das geschieht praktischer Weise mit zwei Minus und zwei Tilden.--CWitte ℵ₁ 11:10, 24. Jun 2005 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 08:18, 23. Jan. 2014 (CET)

Neue Struktur

Wichtig, wir sollten unbedingt eigentliche und abstrakte operatoren trennen, ich rede über operatoren der linearen Algebra (bsp. Matrizen) und der operatoren auf metrischem räumen. vielleicht waere es nett die begriffe zu trennen und dann gegenüberstellen. bis jetzt handelt der artikel nur ueber abstrakte operatoren, was nicht falsch ist. der leser muss entscheiden können, denn jeder schaut doch nachdem was er kennt (welche defintion von operatoren ihm gelaeufig ist).

Ich würde diesen Artikel ganz anders aufbauen, denn die Definition des Spektrums im funktionalanalytischen Sinn also für unendlichdimensionale Räume ist leider falsch. Das Spektrum eines Operators ist nicht nur dadurch gegeben, dass das Inverse zu T-z nicht existiert. Des Weiteren muss man den Begriff Resolvente einführen. Außerdem finde ich es hinreichend verwirrend wenn man ständig mit Begriffen wie Algebren konfrontiert wird, es reicht davon auszugehen das ein linearer Operator eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über einem Körper K ( $\mathbb {C} ,\mathbb {R}$) mit jeweils einer Norm (=normierter Raum)ist und einen bestimten Wertebereich besitzt. Die zusätzliche Forderung nach assoziativer Struktur der Algebra ist für die Definition des Spektrums nicht notwendig. Die speziellen Erkenntnisse über Bannach Algebren sollten in einem extra artikel erwähnt werden. Außerdem ist die Definition des Spektrums für beschränkte und unbeschränkte Operatoren(unbeschränkte Operatoren können nicht auf dem gesamten Raum definiert werden, sondern nur auf dichten Teilräumen) gleich.

Ja, die Definition am Anfang ist zu ungenau. Was genau mit Inverse exisitiert gemeint ist, hängt allerdings vom Kontext ab. In einer Algebra ist das klar, bei unbeschränkten Operatoren - worauf richtigerweise hingewiesen wurde - muss stehen, dass keine beschränkte Inverse existiert.

Zum Themenkomplex Banach-Algebren: Der Artikel heißt ja Spektrum (Operatortheorie). Ich gehe davvon aus, dass die meisten Bücher, die sich Operatortheorie nennen, über Banach- und C*-Algebren reden. Diese Beispiel vor allem auch die in der Physik absolut dominanten. Daher kann ich mir diesen Artikle eigentlich nicht ohne diesen Themnkomplex vorstellen. zum Theme der Assoziativität muss ich sagen, dass mir gar kein Beispiel einer Algebra mit Eins einfällt, die nicht assoziativ ist. Insbesondere Banach- und C*-Algebren werden halt unter dieser Rubrik geführt. Die Assoziativität ist allerdings nicht das wesentliche Element, um ein Spektrum zu definieren, aber den Einsoperator braucht man doch wohl, oder?--CWitte ℵ₁ 11:10, 24. Jun 2005 (CEST)

Vorsicht die Beispiele sind sehr ungenau, eine beliebige Funktion auf einem Gebiet muss nicht notwendigerweise ein Inverses besitzen. Eine in einem zusammenhängenden Gebiet definierte, stetige und streng monoton fallende oder steigende Funktion f besitzt ein Inverses. Daher ist erstes Beispiel schwierig, da man schnell zu falschen Aussagen hingerissen wird und weil keine wirkliche Erkenntnis dahinter steckt.

Sorry, das ist ja total falsch. Es geht hier doch nicht um die Invertierung von Funktionen von einem Raumin den anderen, sondern bezüglich der Multiplikation! Ich weiß nicht, was Dich an dem Artikel so aufbringt, aber vielleicht solltest Du etwas genauer lesen.--CWitte ℵ₁ 11:28, 23. Jun 2005 (CEST)

Dann wäre eine genauere Formulierung von nöten: Das Element g wird mit $f^{-1}$ bezeichnet. Eine Funktion f ist invertierbar im Sinne dieser Algebra wenn an jedem Punkt x der Funktionswert ungleich Null ist. Betrachtet man die Funktion $(f(x)-z)$, so ist an dem Punkt x nicht invertierbar, wenn $(f(x)-z)=0$ gilt und somit ist z Eigenwert dieser Funktion. D.h. Eigenwerte einer Funktion im Sinne einer punktweisen Multiplikationsalgebra ist der Funktionswert der Funktion selbst.

Hab ich es jetzt verstanden ??

Ich mein das gar nicht boese, ich moechte bloss das hier genaue Mathematische Begriffe verwenden werden. Und da ist die definition einfach zu ungenau. Ich finde der Begriff Spektrum tritt im Studium zuerst in der linearen Algebra auf, ich wuerde hier einen Artikel befürworten, der genau sich damit beschäftigt, wann eine Matrix invertierbar ist. Als naechstes fällt mir der Begriff Eigenwerte immer als die Dinger ein, die die Zustaende eines quantenmechanischen Systems beschreiben. vielleicht waere eine bessere untergliederung von vorteil. Denn die Bereiche Spektrum in normierten räumen(Bannach,Hilbert) und spektrum in algebren stehen sich gegenueber und sind ersteinmal von einander zu trennen. dannach kann man ja die algebra mit einer norm versehen und bannachalgebren betrachten; ich finde dieses logischer. ist ja prinzipiell toll alles zu finden :)

Ein weiterer Fehler ist es in diesen Artikel den Begriff Spektraltheorie einzuführen, mit diesem Begriff meint man die Darstellung eines linearen Operators mit Hilfe einer Spektralschar.

Liebe Diplomandin der Funktionalanalysis. Als Doktorand der Mathemtischen Physik mit Schwerpunkt Funktionalanalysis kann ich Dir in wesentlichen Punkten zustimmen. Allerdings ist Deine Kritk in einigen Punkten etwas zu harsch. Du hast einfach eine andere Sichtweise auf die Dinge und willst andere Dinge unterstreichen. Ich finde Deine Herangehensweise zu abstrakt (nicht für mich selbst, aber für den Wiki-Leser). Die Eröffnung über einfach Beispiele finde ich nach wie vor besser. Viele Dinge die Du kritisierst sind, sollten eingearbeitet werden, den Kritikpunkt an der Spektraltheorie z.B. finde ich allerdings völlig unverständlich. Wieso sollte die Spektralschar nichts mit dem Spektrum zu tun haben? Unklar. Kannst Du die Kritik erläutern?--CWitte ℵ₁ 09:52, 23. Jun 2005 (CEST)

sorry, aber ich finde es sollte vollkommen richtig sein, was im wiki steht, schlieslich soll hier eine enzyklopädie entstehen, worauf sich man berufen kann. deshalb wäre es mir wichtig auf alle dinge einzugehen. ich habe nicht gesagt, dass mein vorschlag das non plus ultra ist. für beispile zu beginn bin ich gern zu haben, ich würde aber dann das matrix beispiel bevorzugen, denn das kennt jeder. Ein weiteres beispiel fuer unendlichdimensionale räume ist unschlagbar der hamiltonoperator, denn da sieht man meiner meinung nach denn sinn dafür warum man überhaupt das spektrum betrachten sollte.

thema spektraltheorie

Beginnen sollte man hier, indem man wieder die lineare algebra hinzuzieht. betrachtet man hermitesche matrizen vom Typ (n,n), so kann man zu einer Matrix A ein vollständige Orthonormalsystem$\{e_{1},...,e_{n}\}$ mit zugöhrigen Eigenwerten $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ finden (Hauptachsentransformation),so dass $Ae_{k}=\lambda _{k}e_{k}$ gilt. Jeder Vektor x mit komplexen Einträgen kann nun als Linearkombination dieser Orthonormalen Einheitsvektoren $e_{k}$ dargestellt werden. Es gilt $x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$. In der Begrifflichkeit der Räume entspricht dem Operator die Matrix A die man auf einen Vektor des Vektorraumes $\mathbb {C} ^{n}$ anwendet.

Diese Idee kann nun für beliebige unendlichdimensionale Räume mit auf ihnen agierenden Operatoren definiert werden, dabei kommt es zu dem Begriff der Spektralschar. Allgemeiner lässt sich jeder selbstadjungierte Operator T (beschränkt oder unbeschränkt) über eine Spektralschar E(z) definieren, nämlich $T=\int _{\mathbb {R} }zdE(z)$.

Ich weiss dass dieses Thema nicht ganz einfach ist, aber ich verwende wikipedia gerne und sonst kenne ich auch einige studenten die es ganz gern selbst benutzen und damit finde ich es gut, wenn auch spezifischere artikel geschrieben werden. man sollte es so gliedern, dass der leser entscheiden kann, wie tief er in die materie einsteigen möchte.

Völlig richtig. Fehler sollten in jedem Falle korrigiert werden, Ungenauigkeiten sollten auch behoben werden, oder als solche gekennzeichnet sein, wenn es der Didaktik dient, an einer Stelle (in einem Beispiel) nicht auf das letzte Detail einzugehehen. Allerdings ist die Wikipedia kein Nachschlagewerk für Profis (zumindest noch nicht und viele wollen das auch nicht), sondern soll einen Einstieg ermöglichen. Das heißt natürlich nicht, dass der Artikel Wischiwaschi sein soll. Ein absoluter Laie wird einen Artikel über Operatortheorie nicht nur nicht verstehehn, sondern auch gar nicht lesen wollen. Zielgruppe solcher Artikel, wie dieser einer ist, sind wohl Mathematiker, die sich noch nicht mit dem Thema auskennen und einen groben Überblick suchen, worum es geht, und Physiker (aus dem gleichen Antrieb). --CWitte ℵ₁ 11:10, 24. Jun 2005 (CEST)

Mein Vorschlag

______________________________________________________________________________________________________

Spektrum (Funktionalanalysis)

Der Begriff Spektrum eines Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man bei Matrizen ihre Eigenwerte.

Vergleich der Definitionen in der lineare Algebra und in der Funktionalanalysis

In der linearen Algebra werden endlichdimensionale Räume betrachtet, das Spektrum besteht ausschlieslich nur aus Eigenwerten. Eigenwerte sind Zahlen $\lambda$, für die das Inverse $(T-\lambda )^{-1}$ nicht existiert, d.h. der Operator $T-\lambda$ ist nicht injektiv. Betrachtet man jedoch unendlichdimensionale Räume enthält das Spektrum in der Regel Punkte, die keine Eigenwerte von T sind. Hier ist es notwendig zu betrachten ob der Operator $(T-\lambda )$ injektiv und oder surjektiv ist. Im endlichdimensionalen Fall folgt aus der Injektivität automatisch die Surjektivität, daher ist dieser Fall einfacher. Im folgenden wird der Begriff Spektrum in der Funktionalanalysis erläutert.

Motivaton

Die Idee der Definition des Spektrums und der Resolvente eines linearen Operators in einem Bannach Raum X geht auf die Untersuchung der Lösungen linearer Gleichungen, wie $(T-\lambda I)f(x)=g(x)$ wobei $g(x)\in X$ gegeben ist, $f(x)\in X$ gesucht wird und $\lambda \in \mathbb {C}$ gilt hervor(Hinweis I ist der Einheitsoperator). Die Lösung könnte einfach berechnet werden, wenn uns der Operator $(T-\lambda I)^{-1}$ bekannt wäre, nämlich $f(x)=(T-\lambda I)^{-1}g(x)$. Des Weiteren forderen wir an die Lösung ihre Eindeutigkeit und eine stetige Abhhängigkeit der Lösung von den gegebenen Größen, daher sollte das gesuchte Inverse beschränkt und überall definiert sein.

Definition des Spektrums und der Resolvente

Im folgenden betrachten wir einen linearen Operator definiert auf einem Bannach Raum X (ein vollständiger normierter Raum), es ist aber auch ohne weiteres möglich einen Operator auf einem Hilbert Raum (ein vollständiger Raum mit Skalarprodukt) zu betrachten. Eine zusätzliche Annahme ist die Struktur eines Bannach Raumes mit einer weiteren Operation zu versehen, damit wird eine sogenannte Bannach Algebra erzeugt.

Die Resolvente

Sei T ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im Bannach Raum X. Die Resolventenmenge $\varrho (T)$ besteht aus allen komplexen Zahlen $\lambda$, so dass es einen auf dem gesamten Raum X definierten, beschränkten Operator $R_{\lambda }$ gibt mit $R_{\lambda }(T-\lambda I)=(T-\lambda I)R_{\lambda }=I$.

Der Operator $R_{\lambda }=(T-\lambda I)^{-1}$ heisst Resolvente des Operaors T.

Das Spektrum

Das Komplement zur Resolventenmenge ist das Spektrum eines Operators T und wird mit $\sigma (T)=\mathbb {C} |_{\varrho (T)}$ bezeichnet.

Das Spektrum lässt sich in verschiedene Komponenten untergliedern.

Das Punktspektrum

Wenn der Operator $T-\lambda I$ nicht injektiv ist, d.h. es existiert kein Inverses, dann ist $\lambda$ ein Element des Punktspektrums $\sigma _{p}(T)$ von T. Die Elemente des Punktspektrums werden Eigenwerte genannt.

Das stetige Spektrum

Wenn der Operator $T-\lambda I$ injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, d.h. es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem dichtem Teilraum des Bannachraumes X definiert ist, dann ist $\lambda$ ein Element des stetigem Spektrums $\sigma _{c}(T)$ von T.

Das Residualspektrum

Wenn der Operator $T-\lambda I$ injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, d.h. es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem NICHT DICHTEM Teilraum des Bannachraumes X definiert ist, dann ist $\lambda$ ein Element des Residualpektrums $\sigma _{r}(T)$ von T.

Besondere Eigenschaften für lineare beschränkte Operatoren

Eigenschaft 1: Die Resolventenmenge ist offen. D.h. für ein festes $\lambda _{0}\in \varrho (T)$ gilt für jedes $\lambda \in \varrho (T)$ $|\lambda -\lambda _{0}|<{\frac {1}{R_{\lambda _{0}}}}$

Da das Spektrum das Komplement der Resolvente ist, ist das Spektrum abgeschlossen.

Eigenschaft 2: Das Spektrum ist in dem Kreis $\{\lambda :|\lambda |\leq ||T||\}$ enthalten.

Eigenschaft 3: Für jeden linearen beschränkten (stetigen) Operator T auf einem komplexen Bannach Raum ist das Spektrum nicht leer und es kann der Spektralradius von T $r(T)=\sup\{\lambda :\lambda \in \sigma (T)\}=\lim _{n\longrightarrow \infty }||T^{n}||^{1/n}$ definiert werden (d.h. der Spektralradius ist der kleinste Kreis um den Nullpunkt der das Spektrum enthält).

Lineare Algebra

Bsp1:

Die Funktionen auf einer beliebigen Menge M mit Werten in der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$ bilden eine (assoziative) Algebra, d.h. einen Vektorraum mit zusätzlicher (assoziativer) Verknüpfung der Multiplikation, wobei die Summe zweier Funktionen und das Produkt zweier Funktionen punktweise definiert wird: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).$

Eine Funktion f heißt invertierbar, wenn es eine andere Funktion g gibt, so dass $f\cdot g=g\cdot f=1$ ( 1 Einsfunktion) ist.

Im einfachsten Fall ist $f(x)=h(x)-\lambda =0$ die Nullfunktion zu der es natürlich kein Inverses gibt und damit ist für die Funktion h(x) der Spektralwert $\lambda$.

Bsp2: Betrachtet man die n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen eine Algebra bezüglich der üblichen Addition und Skalarmultiplikation(komponentenweise) sowie der Matrixmultiplikation.

Eine Matrix A ist dabei genau dann invertierbar , wenn es eine Matrix B gibt, so dass A · B = B · A = 1 (Einheitsmatrix) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante nicht verschwindet: det A ≠ 0.

Eine Zahl $\lambda \in \mathbb {C}$ ist ein Eigenwert, wenn $det(A-\lambda 1)=0$gilt. D.h. es existiert ein Eigenvektor x ungleich 0, so dass $Ax=\lambda x$ gilt. Dies entspricht dem charakteristischen Polynom der Matrix A in $\lambda$. In der linearen Algebra bezeichnet das Spektrum einer Matrix daher die Menge der Eigenwerte.

Funktionalanalysis

Bsp. Multiplikationsoperator:

Wir betrachten den Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen im Intervall [0,1] $L^{2}[0,1]$ und den Operator mit folgender Wirkung $(Tf)(x)=tf(x)$ wobei $f\in L^{2}[0,1]$.

Der Multiplikationsoperator T besitzt kein Punktspektrum, aber ein kontinuierliches Spektrum nämlich das Intervall [0,1].

Physik

Es kann z.b. der Hamiltonoperator H eines Elektrons im Wasserstoff-Atom betrachtet werden, die Eigenwert-Gleichung $H\phi =E\phi$ mit $\phi$ Zustandsvektor aus dem Hilbertraum liefert uns die Energieeigenwerte E des stationären quantenmechanischen Systems.

Weiterführende Begriffe

Spektraltheorie ist die Theorie über die Darstellung eines linearen Operators mit Hilfe von Spektralscharen.

Kommentar zum Begriff der Spektraltheorie

Der Begriff Spektraltheorie wird auch (versteht sich doch irgendwie) für genau das, was hier im Artikel steht benutzt. Insbesondere ist die Spektraltheorie von Banach- und C*-Algebren nicht nur die Theorie der Spektralmaße. Diese ist Teil der Spektraltheorie unbeschränkter Operatoren, jdenfalls wird der Begriff in der Literatur auch so benuzt. --CWitte ℵ₁ 13:43, 24. Jun 2005 (CEST)

Weiteres Vorgehen

Ich habe mir mal die Freiheit genommen und den Text geändert, sowie den Teil über die spezielle Struktur des Spektrums aus der Diskussion - den ich sehr gelungen finde - einzubauen.

Die obige Diskussion hat ja auf jeden Fall schonmal das Ziel erreicht, dass an diesem Artikel endlich wieder geschrieben wird, und ich hoffe, dass der Artikel noch weiter verbessert wir. Klar ist aber wohl auch geworden, dass es hier zwei Ansätze gibt, die von einer verscheidenen Sichtweise auf dieses Thema herrühren. Ich denke, dass beide Aspekte - Banachalgebra-Theorie und klassiche Operatortheorie hier ihren Platz finden sollten. Was aber auf jeden Fall geschehen sollte ist, dass wir anfangen zu diskutieren, was noch gänzlich fehlt und wo noch unbedingt verbessert werden muss. --CWitte ℵ₁ 15:00, 24. Jun 2005 (CEST)

Was fehlt? (bitte ergänzen)

1. Spektralmaß sollte m.E. auf jeden Fall in diesem Artikel erwähnt werden. Kannst Du, die ich Deinen Namen gar nicht kenne, nicht die Sachen, mit denen Du hier in der Diskussion angefangen hast, nicht das zusammenfassen? --CWitte ℵ₁ 15:06, 24. Jun 2005 (CEST)
2. Literatur !!! (noch keine Lust gehabt:-) --CWitte ℵ₁)
3. Weiter Beipiele aus der FunkAna (jetzt zu Physik-lastig). Z.B. auch die von weiter oben.

Definitionen (Varianten)

Hallo liebe Leute,
ich bin grad fleißig am Durchstöbern der Funk-Ana Werke von Werner und Co.
Ich bin ein wenig frustriert darüber, dass die Definition der Resolventenmenge / des Spektrums immer nur für beschränkte Operatoren (und evtl. Banachalgebren) geschieht und z.T. sogar von Standardwerken abweichend definiert wird (Kreyszig).

Kann mir jmd die GENAUE!!! Definition für den allgemeinen Fall geben und dabei auch darauf Acht geben, dass die Inverse tatsächlich nur dann existiert, wenn ein Operator bijektiv ist (nicht nur injektiv)? Also z.b. T:D(T)->Y => T^-1:Y->D(T) ...nicht nur T^-1:R(T)->D(T)...

Außerdem wäre es schön, wenn die Definition auch unbeschränkte nicht abschließbare Operatoren berücksichtigt und mögliche Erweiterungen von vornherein ankündigt (z.B. Erweiterungen von beschränkten Operatoren auf den gesamten Banachraum).

Um in Fachkreisen nicht verpönt zu werden:
Mir ist noch nicht klar, in welchem Rahmen die Definition einer Resolventenmenge überhaupt noch Sinn macht. Ich sehe nach längerem Vergleichen auch nicht die Equivalenz verschiedener Varianten. Auch habe ich die Wiki-Seite hier bereits gelesen.

Ich wäre demjenigen zu tiefstem Dank verpflichtet!!!!!! DANKE!!!
Viele Grüße --Freeze S 19:11, 24. Jan. 2012 (CET)

Eigentlicher Operator

Im Abschnitt Definition steht der Begriff "eigentlicher Operator". Dieser wird dort als Vektorraumendomorphismus erklärt. Ist das so richtig? Gibt es den Begriff wirklich? Sollte er dort so verwendet werden? --Christian1985 (Diskussion) 17:58, 10. Apr. 2012 (CEST)

Zur Spektralzerlegung

Im Artikel steht: „Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators (…) kann in drei Teile zerlegt werden: Das Punktspektrum (…) besteht aus der abzählbaren Menge der Eigenwerte, die Element von $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$ sind (…)“ Ein selbstadjungierter Operator hat doch nie komplexe Eigenwerte oder bin ich da falsch gewickelt?--129.13.72.198 13:50, 5. Sep. 2012 (CEST)

Völlig richtig. Es muss ja $(Ax,x)=(x,Ax)$ gelten und das Skalarprodukt ist hermitesch. Habe ich mal geändert. -- pberndt 08:33, 3. Feb. 2014 (CET)

Das „bzw. $\mathbb {C}$“ bezog sich auf die davor erwähnten normalen Operatoren, ich stell’s also mal wieder her. -- HilberTraum (Diskussion) 09:27, 3. Feb. 2014 (CET)

Oh, das ist aber unglücklich gemacht. Jetzt wo Du's sagst, klar. Aber vorhin ist mir das tatsächlich nicht aufgefallen. Danke jedenfalls für's aufmerksame gegenlesen ;-) -- pberndt 09:38, 3. Feb. 2014 (CET)