Diskussion:Sphenische Zahl

Der Beweis im Abschnitt, der beginnt mit "Es lässt sich beweisen, dass alle sphenischen Zahlen genau acht verschiedene Teiler besitzen", ist fehlerhaft. Die nachgeschobene Annahme t < u < v macht die vorige Wahl eines Teilers s zur eingeschränkten, nicht mehr beliebigen Wahl; s kann ja dann z.B. p gar nicht mehr enthalten. Und vor dem Folgerungszeichen fehlt ein O.B.d.A. (das dann durch die genannte nachgeschobene Bedingung verletzt würde). Im übrigen erscheint mir dieser Beweis ohnehin etwas verschroben. Wieso nicht einfacher die bekannte Aussage verwenden, daß alle Teiler einer Zahl der Primfaktorzerlegung p1^n1 * p2^n2 * ... * pk^nk von der Gestalt p1^m1 * p2^m2 * ... * pk^mk sind, mit 0 <= mi <= ni ? Hiervon ist die Aussage ein Spezialfall. Da im vorgegebenen Fall k = 3 ist und n1 = n2 = n3 = 1, ergibt sich dreimal, unabhängig voneinander für jede der drei enthaltenen Primzahlen, der Fall "Einfach enthalten - ja oder nein", macht zusammen die 2*2*2=8 Fälle. --Silvicola 08:52, 1. Jan. 2008 (CET)

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"Die Formel für die Summe aller Teiler quadratfreier Zahlen ist verallgemeinerungsfähig ..." - es geht sogar einfacher für k > 3, man braucht nicht einmal Induktion o.ä. n hat dann wenigstens k-1 >= 3 ungerade Primfaktoren, also ist s durch 2³ = 8 teilbar, damit n = s / 2 selbst durch 4. Widerspruch zur Quadratfreiheit! Gruß -- Silvicola 14:21, 15. Jan. 2008 (CET)

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Es fällt auf, dass im mit "Die Suche nach Drillingen..." beginnenden Abschnitt der Ansatz für das Tripel

3 * 11 * y

2 * 17 * x

5 * 7 * t

der drei aufeinanderfolgenden sphenischen Zahlen gerade so gewählt wurde, dass

3 * 11 + 1 = 2 * 17

2 * 17 + 1 = 5 * 7

ist.

Das ist natürlich ein ganz spezieller Ansatz, aber den Abstand dieser Zweierprodukte im Beispiel gerade fix als 1 zu nehmen, könnte vielleicht manchen Leser verwirren, weil ja am Ende der Abstand der Dreierprodukte 1 werden soll; vielleicht denkt mancher dann fälschlicherweise, dieser Ansatz müsse so sein?

Das weiter oben gegebene Tripel 1309, 1310, 1311 und seine Primfaktorzerlegungen lehren zwar jeden Aufmerksamen, daß dem nicht so ist. Aber wieso Risiken eingehen?

Ich schlage deshalb vor, das Beispiel zu wechseln, und vielleicht gerade so, daß obiges kleinstes Tripel in die Lösungsmenge kommt; dann blieben die betrachteten Zahlen auch kleiner als derzeit. - Andererseits böte das vielleicht wieder die Blöße zu einem anderen, ebenfalls eigentlich unberechtigtem Mißverständnis, nämlich daß die durch diese Vorgabe eingeschränkte schon alle sphenischen Zahlendrillinge lieferte? - Dann müßte man halt ein ganz neues Beispiel wählen, und die Willkür des Ansatzes wenn nicht aussprechen, so daß deutlich merken lassen.

Grüsse -- Silvicola 15:22, 24. Jan. 2008 (CET)

Übrigens, am Rande bemerkt, und ohne dass das in den Artikeltext sollte: Die oben erwähnten Minimallösungen im Fall der Zwillinge lassen sich effektiv mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen. -- Silvicola 15:22, 24. Jan. 2008 (CET)

Ja, das stimmt: Ich habe das Beispiel aus "Bequemlichkeit" so gewählt, um einfache Lösungen zu erhalten. Aber der Ansatz ist natürlich verallgemeinerungsfähig. Ich wollte den Mechanismus verdeutlichen, ohne den Lösungsgedanken mit Buchstaben zu verstellen. Ich werde bei Gelegenheit ein interessanteres Beispiel ausrechnen. Gruß --Jotquadrat 19:21, 24. Jan. 2008 (CET)

Frage

Als Nichtmathematiker frage ich mich natürlich, wozu diese Zahlen gut sind. Also: was kann man damit anfangen? Und warum dieser Name? Wo ist der Keil? LG --Ppk (Diskussion) 20:25, 6. Feb. 2013 (CET)

Zumindest die letzten beiden Fragen sind auf die Schnelle beantwortbar: ursprünglich war wohl jedes Produkt aus drei ungleichen Zahlen als "sphenische Zahl" bezeichnet worden - im Gegensatz zu kubischen Zahlen, die ein Produkt aus drei gleichen Zahlen sind. Der Keil kommt dann automatisch, wenn man zwei der drei Zahlen als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und die dritte als "Keiltiefe" in z-Richtung vorstellt. [1] und [2] helfen weiter. Vllt. mags wer einbauen? Ich komme gerade nicht dazu. --rdb ? 17:28, 7. Feb. 2013 (CET)