Diskussion:Spiegelungsmatrix

Ich kenne noch eine andere Methode, wie man die Spiegelmatrix errechnen kann, die meiner Meinung nach in den Artikel gehört. Die ist dann auch ohne Probleme auf den $\mathbb {R} ^{3}$(Spiegelung an der Ebene) anwendbar (sollte auch im $\mathbb {R} ^{n}$ gehen, wenn da der Begriff der Spiegelung noch einen Sinn macht) und kommt ohne den $\arctan$(zur berechnung von $\alpha$) aus, wenn $\alpha$ nicht gegeben ist.

$S=E-{\frac {2}{\langle {\vec {n}},{\vec {n}}\rangle }}\cdot {\vec {n}}\cdot {\vec {n}}^{\mathrm {T} }$

n ist dabei der Normalenvektor, den man bei implizit gegebenen Ebenen/Geraden über den Gradienten bekommt und bei Ebenen/Geraden in Parameterform(mit Richtungsvektoren) indem man das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren Bildet,$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ist das Skalarprodukt und E ist die Einheitsmatrix.

Ich meine sogar kühn behaupten zu können, dass diese Variante sich auch noch recht einfach auf die Spiegelung an beliebigen Räumen im $\mathbb {R} ^{n-1}$ erweitern lässt (z.B. zum berechnen von diesen krummen Spiegeln, mit den witzigen Verzerrungseffekten). Gruß--Falk 00:44, 13. Jun. 2007 (CEST)

Allgemeinere Spiegelungen

Ich bin mir nicht zu 100% sicher, aber die Matrix ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ spiegelt im R^2 doch am Ursprung. Oder zB. ${\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$ spiegelt im R^3 an der Ebene mit dem Normalvektor ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\0\\1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ .Beide Matritzen haben die Determinate 1. Folglich würde die allgemeine Aussage "Spiegelungsmatrizen sind immer orthogonal und haben die Determinante -1" so nicht stimmen. Ich würde Spiegelungen als selbstinverse, orthognale Abbildungen beschreiben. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von MecKu (Diskussion • Beiträge) Uhrzeit, 17:50, 18. Jul. 2008)

Du meinst Punktspiegelungen, die lassen sich aber als Drehungen beschreiben. Hier im Artikel geht es um Geradenspiegelungen.—Hoegiro (Diskussion) 16:10, 2. Mai 2021 (CEST)

Das erste Beispiel ist lediglich eine Rotation um 180° um den Ursprung, denn :

${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \pi &-\sin \pi \\\sin \pi &\cos \pi \end{pmatrix}}$.

Das heißt:

${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}$

entspricht der Spiegellung an einer Hyperebene

${\vec {o}}+\lambda {\vec {y}},~\lambda \in \mathbb {R} \wedge {\vec {y}}\perp {\vec {x}}$ (die im $\mathbb {R} ^{2}$ einfach eine Gerade ist).

Die Gerade, an der gespiegelt wird, ist also abhängig vom zu spiegelnden Vektor. Würde man mit dieser Matrix z. B. eine Punktwolke transformieren, so würde diese einfach um den Ursprung rotiert und nicht gespiegelt.

In einer Spiegellungsmatrix ist die Hyperebene, an der zu spiegeln ist, implizit gegeben.

Für das zweite Beispiel gilt genau das gleiche. Das ist wieder nur eine Rotation um 180° – diesmal an der y-Achse. Und der Normalvektor der Spiegellungsebene kann hier nicht fest sein; er muss auf den "zu spiegelnden" (den rotierten) Punkt zeigen (beziehungsweise durch selbigen verlaufen).

Der angegebene Normalenvaktor stimmt doch nur für die Fälle ${\vec {x}}=\lambda \cdot (1,0,1)^{\mathrm {T} },~\lambda \in \mathbb {R}$. --Falk _{Sprich^zumir...} 14:42, 20. Jul. 2008 (CEST)

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Wenn eine Gerade durch die Punkte (0,0) und (x,y) definiert ist, dann geht's auch ohne Sinus und Kosinus. $S_{g}={\begin{pmatrix}x^{2}-y^{2}&2xy\\2xy&y^{2}-x^{2}\end{pmatrix}}/(x^{2}+y^{2})$--Willi windhauch (Diskussion) 08:06, 15. Dez. 2019 (CET)

Das ist aber wirklich nicht einfacher.—Hoegiro (Diskussion) 16:11, 2. Mai 2021 (CEST)