Diskussion:Starkes Gesetz der großen Zahlen

Falsche Formulierung des Zweites Gesetz der großen Zahlen von Kolmogorow

Der Abschnitt 'Gültigkeit' -> 'Zweites Gesetz der großen Zahlen von Kolmogorow' ist unklar bis falsch. Er scheint zu implizieren, dass der Erwartungswert endlich ist, sobald fast sichere Konvergenz des Mittelwertes gilt. Das macht für unendlichen Erwartungswert aber entweder keinen Sinn oder ist falsch: Positive u.i.v. Zufallsvariablen mit unendlichem Erwatungswert gehorchen auch dem starken Gesetz in dem Sinne, dass ihr Mittelwert fast sicher gegen unendlich konvergiert (relativ einfach beweisbar, wenn man zuerst das starke Gesetz auf abgeschnittene Zufallsvariablen min(X_n, k) anwendet). Wie im Buch von Schmidt richtig steht, besagt das Zweites Gesetz der großen Zahlen von Kolmogorow in Wirklichkeit folgendes: Falls der Mittelwert gegen eine reelle (endliche) Zahl konvergiert, dann ist der Erwartungswert endlich. --91.89.213.211 11:19, 21. Sep. 2016 (CEST)

Danke für den Hinweis, ich habe die Aussage mal leicht geändert und die von Schmidt genannte Version aufgeführt, und nicht die Schlussfolgerung. Bezüglich deines Gegenbeispiels: Ich bin mir nicht sicher, ob die Gesetze der großen Zahlen auch explizit in den erweiterten reellen Zahlen betrachtet werden, ob also $\pm \infty$ als Funktionswert in Betracht kommt und daher von Konvergenz gegen unendlich gesprochen werden kann. Auf die schnelle konnte ich keine Quelle finden. LG --NikelsenH (Diskussion) 11:56, 21. Sep. 2016 (CEST)

Die umgekehrte Aussage (aus Mittelwert konvergiert gegen eine reelle Zahl folgt $\operatorname {E} (|X_{n}|)<\infty$) steht bei Schmidt auf S. 350 Satz 15.2.8. (Satz direkt nach dem 2. Gesetz von Kolmogorov). Die Konvergenz gegen unendlich macht nur für den nicht-normierten Mittelwert Sinn, also für ${{\overline {X}}_{n}}^{\prime }:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ statt ${\overline {X}}_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\operatorname {E} (X_{i})\right)$, da $\operatorname {E} (X_{i})=\infty$. Die entsprechende Aussage steht in Satz 15.2.9 bei Schmidt. --91.89.213.211 11:41, 23. Sep. 2016 (CEST)