Diskussion:Stirling-Zahl

Zykel-Schreibweise

Die Zykel-Notation für Mengen ist mir nicht bekannt, insbesondere die Schreibweise mit den geschweiften Klammern, suggeriert die Bedeutungslosigkeit der Reihenfolge (was für Zykel falsch ist). (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 141.35.12.180 (Diskussion • Beiträge) 12:57, 19. Jul. 2006)

Ja, diese Schreibweise ist Unsinn. --80.129.82.40 17:36, 17. Dez. 2008 (CET)

erledigt --80.129.82.40 17:58, 17. Dez. 2008 (CET)

Beweis-Formulierung

Der Beweis zur Rekursionsgleichung der Stirling-Zahlen zweiter Art verwendet den Begriff "Partition" im (nicht-korrekten) Sinne von "einer der Teile" und nicht im korrekten Sinne von "Zerlegung in Teile". Jemand der ihn versteht, könnte das vielleicht ändern. --Wumpus3000 23:22, 22. Nov. 2006 (CET)

Ja, das ist falsch. --80.129.82.40 17:36, 17. Dez. 2008 (CET)

erledigt --80.129.82.40 17:58, 17. Dez. 2008 (CET)

Zyklus einer Permutation

Mir ist nicht klar wie man einen Zyklus einer Permutation finden kann. Ich verstehe nicht was das ist und deshalb bleiben mir auch die Stirlingzahlen unklar. Vielleicht könnte an der Stelle noch jemand, der sich auskennt, eine Erklärung ergänzen was Zyklen einer Permutation überhaupt sind. Mir ist das ganze so unklar, dass ich leider nicht präziser nachhaken kann. Ich verstehe es halt einfach nicht und dazu sollten die Artikel doch gut sein. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 84.158.84.148 (Diskussion • Beiträge) 20:23, 18. Dez. 2006)

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Ein Beispiel wäre dazu sicher mehr angebracht, in diesem Sinne eine bijektive Funktion in Tabellenform angeben wäre nicht schlecht und eine kurze Erläuterung, warum da welche Zyklen sind. Könnte ich zwar aufschreiben, aber ich fühle mich nicht fähig genug, dass in eine Wikifähige Form zu bringen. Fraglich bleibt allerdings auch, ob das direkt mit dem Artikel der Stirling-Zahlen zu tun hat oder zu indirekt für den Artikel

Beispiel: bijektive Abbildung $\phi$ über die Menge $\{a,b,c,d\}$

${\begin{matrix}\sigma &a&b&c&d\\&b&c&a&d\end{matrix}}$

Dann finden sich hierdrin 2 Zyklen: $\{d\}$ bildet auf sich selber ab, bei mehrfacher Ausführung von $\sigma$ haben wir also einen Zyklus, der $d$ immer wieder auf sich selbst abbildet; ein weiterer ist $\{a,b,c\}$, da $\sigma (a)=b,\sigma (\sigma (a))=c;\sigma (\sigma (\sigma (a)))=a$, wo bei mehrfacher ausführung ein Zyklus über diese 3 Elemente entsteht.

So oder so ähnlich könnte ein Beispiel aussehen. Wer mehr Wiki-Erfahren ist, kanns ja so oder in ähnlicher Form einfügen. 129.217.139.210 11:23, 6. Jun. 2007 (CEST)

Das ist nicht spezifisch für Stirling-Zahlen und sollte im Artikel Permutation erklärt werden (da steht auch schon etwas dazu). --80.129.82.40 17:36, 17. Dez. 2008 (CET)

Formel der harmonischen Reihe

Meinen Überlegungen zufolge müsste für die harmonische Reihe die folgende Formel gelten: $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}={\frac {s_{n,2}}{n!}}$. Wäre das wert, hier erwähnt zu werden? --W. Kronf *@* 14:56, 21. Jul. 2010 (CEST)

Könnte man ergänzen, allerdings in der korrekten Form $s_{n,2}=(n-1)!\,H_{n-1}$. Es steht so auch bei MathWorld. --91.32.96.245 14:27, 24. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe es hinzugefügt. --91.32.96.245 14:53, 24. Jul. 2010 (CEST)

Beweis

ausgelagert aus dem Artikel, da ich den Beweis für nicht ausreichend bemerkenswert halte:

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Es sei $a$ ein fest gewähltes Element der $n$-elementigen Menge $M$. Die $k$-Partitionen von $M$ können nun danach klassifiziert werden, ob $\lbrace a\rbrace$ ein Element der Partition ist oder nicht.

Trifft dies zu, so bleiben ohne $\lbrace a\rbrace$ noch alle $S_{n-1,k-1}$ möglichen $(k-1)$-Partitionen aus den übrigen $n-1$ Elementen von $M$.

Ist $\left\{a\right\}$ kein Element der Partition, erhält man nach Entfernung von $a$ alle $S_{n-1,k}$ möglichen $k$-Partitionen der übrigen $n-1$ Elemente von $M$. Da $a$ in jeder der Möglichkeiten Element eines der Elemente der $k$-Partition ist und es dafür $k$ Möglichkeiten gibt, sind es insgesamt $k\,S_{n-1,k}$ Möglichkeiten, also

$S_{n,k}=S_{n-1,k-1}+k\,S_{n-1,k}$.

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siehe auch Portal:Mathematik/Projekt#Beweise --91.32.95.73 12:05, 28. Jul. 2010 (CEST)

Einfachere Formel für Stirling-Zahl 1. Art

Hallo,

es gilt: $s_{n,n-3}={\binom {n}{4}}{\binom {n}{2}}$.

diese Formel ist wesentlich kürzer als die aktuell im Artikel steht.

Beweis:

Zykel-Überlegungen:

${\begin{array}{ll}\underbrace {\text{(.)...(.)}} _{n-4}{\text{(....)}}&{\binom {n}{4}}*3!\\\\\underbrace {\text{(.)...(.)}} _{n-5}{\text{(..)(...)}}&{\binom {n}{2}}*{\binom {n-2}{3}}*2!\\\\\underbrace {\text{(.)...(.)}} _{n-6}{\text{(..)(..)(..)}}&{\binom {n}{2}}*{\binom {n-2}{2}}*{\binom {n-4}{2}}*{\frac {1}{3!}}\end{array}}$

Addition:

${\begin{aligned}s_{n,n-3}&=3!{\binom {n}{4}}+2{\binom {n}{2}}{\binom {n-2}{3}}+{\frac {1}{3!}}{\binom {n}{2}}{\binom {n-2}{2}}{\binom {n-4}{2}}\\&={\binom {n}{2}}{\frac {(n-2)(n-3)}{24}}(12+8(n-4))+(n-4)(n-5))\\&={\binom {n}{2}}{\frac {(n-2](n-3]}{4!}}(n^{2}-n)\\&={\binom {n}{4}}{\binom {n}{2}}\end{aligned}}$

--Janmm14 (Diskussion) 13:19, 4. Mai 2019 (CEST)

Ja, das stimmt – der Bemerkung im Artikel unter den Formeln zufolge kann man für $k>0$ von $s_{n,n-k}$ stets einen Faktor ${\tbinom {n}{k+1}}$ und für ungerade $k>1$ zusätzlich einen Faktor ${\tbinom {n}{2}}$ abspalten. In den Fällen $k=1$ und $k=3$ bleibt dann nur $1$ übrig. Für $k>3$ gilt das nicht mehr (z.B. $s_{n,n-5}={\tbinom {n}{6}}{\tbinom {n}{2}}(3n^{2}-7n-2)/8$). Ich habe die Formeln entsprechend ergänzt. --2003:DF:771F:1200:C025:3FE2:4220:84C6 23:28, 4. Feb. 2020 (CET)