Diskussion:Sturm-Liouville-Problem

Bilder durch Text ersetzen. Wieso steht noch ein Stub drin?-- Gunther 12:32, 13. Apr 2005 (CEST)

Randwertproblem

Man könnte in diesem Artikel auch das Sturm-Liouvillsche Randwertproblem als analytischen Rahmen und Anwendung für das Eigenwertproblem einbauen. D.h. die rechte Seite ist kein Vielfaches der gesuchten Funktion, sondern eine allgemeine Inhomogenität.--LutzL 18:42, 15. Sep. 2010 (CEST)

Motivation

Es existiert jetzt ein etwas ausführlicherer Abschnitt zur Frage, woher Sturm-Liouville-Probleme eigentlich kommen. Es fehlt noch die Erörterung, warum man auch den allgemeinen Fall mit Gewichtsfunktionen $w\neq 1$ betrachtet, daran werde ich irgendwann in den nächsten Tagen schreiben - ich würde da einfach direkt die Darstellung aus Klaus Jänichs "Analysis für Physiker und Ingenieure" (S. 235 ff) übernehmen, bin aber sehr für alternative Vorschläge offen. --El lauto (Diskussion) 17:57, 6. Jun. 2021 (CEST)

Beweisführung falsch.

Leider enthält sowohl der Beweis des Oszillations- wie auch des Vergleichssatzes haarsträubende Fehler. Bei erstem handelt es sich um einen drastischen Vorzeichenfehler in Gl. (4). Da \theta eben nicht notwendigerweise monoton wächst, bedingt dies weder dessen Grenzwert, noch die Existenz derer der Kreisfunktionen. Letzterer ist überhaupt völlig unschlüssig: Die Integration (Lagrange-Identität) ist bedeutungslos für die Argumentation über die Wronski-Determinante am Schluss. Diese ist aber wieder falsch: Die betrachteten Eigenfunktionen müssen ja den unterschiedlichen Gleichungen (1) und (2) genügen. Abgesehen davon, fände sich der Vorzeichenwechsel der 2. Eigenfunktion \psi bereits in der letzten Ungleichung darüber - und die Monotonie von \psi' bedingt keine Nullstelle von \psi. Beide Beweise finden sich übrigens in der einschlägigen Literatur und haben dort nur wenige Zeilen. Bei Ersterem sind noch Standard-Vergleichsätze über Lösungen von Dglgen. von Nöten und die leicht zu beweisende Tatsache, dass \theta höchstens 1 Mal jedes ganzzahlige Vielfache von \pi annehmen kann und dort \theta'>0 gilt, woraus in Folge das oszillierende Verhalten abgeleitet wird.

Die Beweisführungen im Artikel sind jedenfalls DRINGEND zu korrigieren! --194.166.222.200 10:07, 15. Mai 2024 (CEST)

Ich denke es ist sowieso notwendig den ganzen Abschnitt Eigenschaften grundlegend zu überarbeiten - ich weiß auch nicht, welchen Sinn das explizite Aufschreiben der ganzen Beweise an der Stelle hat. Ich würde vorschlagen, die Beweise ganz zu löschen und zwecks besserer Lesbarkeit nur Referenzen zu Lehrbüchern hinzuzufügen, in denen das verständlich dargestellt ist.

Dafür könnte man grob skizzieren, wie die (deutlich wichtigeren) Sätze über die Existenz von Eigenwerten und einer Basis von L^2 aus Eigenfunktionen aus der allgemeinen Theorie kompakter Operatoren folgen, das bringt Leser*innen mathematisch mMn. viel mehr als die sehr klassischen Rechnungen beim Oszillations- und Vergleichssatz. --El lauto (Diskussion) 14:24, 4. Okt. 2024 (CEST)

Falsche Beweisführung und anderes überarbeitet

Habe soeben eine grundlegende Überarbeitung des Artikels veröffentlicht. Der Artikel folgt jetzt der üblichen Konvention, das negative Vorzeichen in der Sturm-Liouville-Gleichung auf die rechte Seite vor das Lambda zu schreiben, wie z.B. in den Büchern von Heuser. Das Problem ist jetzt von Anfang an auf [a,b] statt (a,b) definiert (vorher war die z.B. die Einleitung widersprüchlich, da für Regularität des Problems gefordert wurde, das (a,b) kompakt sein solle, was Quatsch ist).

Im Abschnitt Motivation ist jetzt erwähnt, dass alle ODE's 2. Ordnung auf Sturm-Liouville-Form gebracht werden können und weswegen man Gewichtsfunktionen ungleich 1 braucht.

Im Abschnitt zu regulären Sturm-Liouville-Problemen wurden die Bedingungen an p,q,w an das Buch von Heuser angepasst und sind jetzt hoffentlich korrekt. Die Entwicklung von Funktionen in Reihen aus Eigenfunktionen wird (unterteilt nach Konvergenz in Normtopologie auf L^2 bzw. Topologie der gleichmäßigen Konvergenz) wie im Buch von Heuser erklärt. Die fehlerhaften Beweise des Oszillations- und Vergleichssatzes sind entfernt, stattdessen habe ich die entsprechenden Seiten im Buch von Heuser als Referenz angegeben. --El lauto (Diskussion) 16:07, 4. Okt. 2024 (CEST)