Diskussion:Surreale Zahl

Schach

Ich glaube das folgende ist nicht ganz richtig:

• Kann ein Spieler keinen Zug mehr machen, endet das Spiel und dieser Spieler verliert.

Solche Spiele sind z.B. Schach, Mühle und Go, jedoch nicht die meisten Kartenspiele, Memory oder "Mensch ärgere dich nicht".

Wenn beim Schach eine Person nicht ziehen kann, ist das Spiel vorbei - aber unentschieden, sofern der Spieler nicht im Schach steht. Oder? "... und gewinnt nicht"? --JanBromberger

Ja.
World Chess Federation > gamerules siehe 5.2.a

Für die Analyse des Spiels kann man ein Unentschieden als gewonnen oder verloren betrachten (je nach Wunsch), und dann passt Schach (wie andere "Spiele mit Untentschieden") in diese Kategorie. Dabei bedeutet (im ersten Fall) "kann gewinnen" eigentlich "kann mindestens ein Unentschieden erzwingen" und analog. -- Paul E. 15:24, 23. Jan. 2008 (CET)

Unklare Definitionen

Diese Stelle hier ist (für mich) etwas unklar:

Vergleichsregel: Für zwei surreale Zahlen x = { XL | XR } und y = { YL | YR } gilt x <= y, falls y kleinergleich keinem Element von XL ist und kein Element von YR kleinergleich x ist.

Sollte das vielleicht so lauten:
Vergleichsregel: Für zwei surreale Zahlen x = { XL | XR } und y = { YL | YR } gilt x <= y, falls jedes Element aus YL und YR kleinergleich keinem Element von XL ist und kein Element von YR kleinergleich einem Element aus XL und XRist. ?

Wie kann man denn einen Vergleich anstellen ? 217.185.133.18 15:34, 28. Okt 2004 (CEST)

Die Vergleichregel ist rekursiv.

Die Konstruktion ist nicht sauber und nicht streng mathematisch!

Hmm, ja. Ich denke, wenn man die Mengen-Paare, aus denen dann durch die Äquivalenzbildung die surrealen Zahlen gewonnen werden, anders bezeichnen würde, würde einiges klarer, und man könnte die Definition sauberer machen. Vielleicht lohnt es dafür auch, die Zahlen (bzw. Mengenpaare) nach Geburtstagen zu klassifizieren. -- Paul E. 15:24, 23. Jan. 2008 (CET)

Ebenso unklar:

Die surrealen Zahlen bilden eine Klasse von Zahlen, die

 *  alle reellen Zahlen umfasst, 
 * sowie „unendlich große“ Zahlen, die größer sind als jede reelle Zahl. 

alle reellen und alle unendlich großen Zahlen.

Aber dann kann das nicht stimmen:

• Dabei ist jede reelle Zahl von surrealen Zahlen umgeben.

Vermutlich muss ergänz werden

• sowie alle Zahlen, die "unendlich nahe" bei jeder reellen Zahl liegen. (nicht signierter Beitrag von 84.161.99.108 (Diskussion) 14:27, 17. Dez. 2013 (CET))

Die Sätze sind nicht als exakte Definition gemeint, sondern sollen nur einen groben Überblick geben, worum es geht. Der Satz

Die surrealen Zahlen bilden eine Klasse von Zahlen, die

* alle reellen Zahlen umfasst,

* sowie „unendlich große“ Zahlen, die größer sind als jede reelle Zahl.

will nicht sagen, dass diese Klassen nur aus den gennanten Zahlen besteht, sondern nur unter anderem. --Digamma (Diskussion) 15:39, 17. Dez. 2013 (CET)

Menge oder Klasse?

Wieso bilden sie surrealen Zahlen keine Menge, sondern eine Klasse? Ich glaube, dass es eine Menge ist!

Die surrealen Zahlen umfassen die Ordinalzahlen, und da diese eine echte Klasse sind, so sind dann natürlich auch die surrealen Zahlen eine echte Klasse.

Stichwort Burali-Forti-Paradoxon (nicht signierter Beitrag von 195.200.70.44 (Diskussion) 08:00, 11. Okt. 2016 (CEST))

Körper

Frage zu folgender Aussage: "Die Äquivalenzklassen zusammen mit der Ordnung und den algebraischen Verknüpfungen bilden einen geordneten Körper, der jedoch eine echte Klasse ist. Es ist sogar ein spezieller geordneter Körper: Nämlich der größte. Man kann zeigen, dass jeder geordnete Körper in die surrealen Zahlen eingebettet werden kann."

Daß man jeden geordneten Körper in die surrealen Zahlen einbetten kann, bezieht sich das jetzt nur auf echte Körper, also Körper im eigentlichen Sinne der Definition, die also auf Mengen basieren, oder auch auf solche echte Klassen, die den Körperaxiomen genügen, bis auf der Tatsache, daß sie keine Mengen sind?

Konstruktion

Kann man die surrealen Zahlen einfach "aus Nichts" konstruieren oder benötigt man dazu die reellen Zahlen? In der Kunstruktionsregel steht: "Sind L und R zwei Mengen von reellen Zahlen und kein Element von R ist kleinergleich einem Element von L, dann ist { L | R } eine surreale Zahl." Phrood 14:30, 25. Jun 2005 (CEST)

Phrood hat recht! Die hier angegebene Konstruktionsregel ist sogar falsch! Surreale Zahlen werden nicht basierend auf Reellen Zahlen konstruiert! Wie in der Motivation erwähnt, werden surreale Zahlen tatsächlich schrittweise aus dem "Nichts" (die leere Menge) konstruiert. Jede surreale Zahl korrespondiert zu zwei Mengen surrealer Zahlen L und R, wobei die Konstruktionsregel gelten muß:
Sind L und R zwei Mengen von surrealen Zahlen und kein Element von L ist größergleich einem Element von R, dann ist auch { L | R } eine surreale Zahl.
Da zu Beginn keine surreale Zahlen existieren, bleibt nichts anderes übrig, als im ersten Schritt aus der leeren Menge die erste surreale Zahl zu konstruieren (L=R={ }  : kein Element aus L ist größergleich einem Element aus R), aus dieser ersten surrealen Zahl als einzige Zahl zusammen mit der leeren Menge, können dann in weiteren Schritten weitere surreale Zahlen konstruiert werden ... Tatsächlich werden hier die irrationalen reellen Zahlen erst nach Aleph-Null vielen Schritten konstruiert; die rationalen rellen Zahlen werden nach diversen endlichen Schritten konstruiert!
Ich empfehle das Buch "Surreale Numbers" von Donald E. Knuth für eine kurze und lesenswerte Einführung in dieses Gebiet!
Habe jetzt leider keine Zeit den Artikel weiterhin zu überprüfen oder Korrekturen anzubringen. Sollte sich jedoch in absehbarer Zeit niemand sonst damit beschäftigt haben, so werde ich dies tun! -- McFrom 21:37, 15. Aug 2005 (CEST)

Siehe außerdem die korrekte Konstruktionsregel in der englischsprachigen wikipedia-Version dieser Seite! -- McFrom 14:00, 17. Aug 2005 (CEST)

Surreell?

Zwei Fragen:

1. Gibt es eine deutschsprachige Quelle, die den Begriff benutzt? Ich frage mich, ob man das englische "surreal" nicht besser mit "surreell" übersetzen sollte (da englisch "real" deutsch "reell" entspricht).

Eine verständliche Einführung ist am Ende des folgenden Buches enthalten: John Conway und Richard Guy: Zahlenzauber- von natürlichen, imaginären und sonstigen Zahlen, Birkhäuser Verlag 1997 (engl. Original The book of numbers, New York 1996). ISBN 3-7643-5244-2 - Jla net.de

2. Warum wird "Games" nicht übersetzt?

--84.159.228.207 21:08, 19. Nov. 2006 (CET)

Geburtstag

Hallo!

auf Geburtstag wird hierher verwiesen, hier konnte ich jedoch das Wort "Geburtstag" nicht entdecken. War das ein Vandalen-Spaß?

--172.181.232.50 18:57, 1. Jul. 2007 (CEST)

Hallo. "Geburtstag" kommt im Artikel hier vor: „Ins Unendliche und darüber hinaus“, mfg --Montag 22:15, 1. Jul. 2007 (CEST)

Etwas anderes zum Geburtstag: Der Artikel ist diesbezüglich nicht einheitlich. Im oberen Teil steht noch "der Geburtstag von 0 ist 0", aber unten heißt es dann "der Geburtstag von 1/3 ist ω+1". Das ist doch widersprüchlich. wenn man wie oben weiter macht (wofür ich bin, da es Conway auch so gemacht hat), dann ist der Geburtstag von 1/3 ω. Wenn jemand einen handfesten Beweis will, bin ich gerne bereit, es zu erläutern bzw. die Abbildung aus dem Buch "On Numbers And Games" hochzuladen. Man könnte natürlich auch den oberen Teil ändern, so dass der Geburtstag von 0 dann 1 ist usw., doch bin ich dagegen, da es schon seinen Sinn hat, dass jede natürliche und Ordinalzahl sich selbst als Geburtstag hat.

Ich finde die ganze Idee mit der Induktion auch nicht gut, meiner Meinung nach ist dieser Artikel für jemanden, der keine Vorkenntisse über surreale Zahlen hat, gar nicht oder kaum verständlich, aber ich lasse mich gern eines besseren belehren. Vielleicht könnte man auch noch die surkomplexen Zahlen erwähnen, und dass sich die surrealen Zahlen genauso wie die reellen Zahlen in höheren Dimensionen (zumindest mathematisch) anwenden lassen.

Des Weiteren steht am Ende vom Teil "Ins Unendliche und darüber hinaus", dass auf diese Weise sehr viele Zahlen erzeugt werden können. Tatsächlich können damit aber unendlich viele bzw. alle (eindimensionalen) Zahlen (die allesamt surreal sind) erzeugt werden.

Zum Absatz danach habe ich auch noch eine Bemerkung: Zuerstmal ist die transfinite Induktion völlig unnötig, ferner kann man alle Aussagen über surreale Zahlen dadurch beweisen, dass sie für alle Elemente der jeweils linken und rechten Menge richtig ist, und dafür reicht die (normale) induktion meiner ansicht nach auch.

Ein Fehler ist mir grade noch ins Auge gesprungen: Im letzten Absatz von "Erzeugung von surrealen Zahlen durch vollständige (endliche) Induktion" steht in dem vorletzten Satz, dass n eine natürliche Zahl ist. Die natürlichen Zahlen müssen aber vorher definiert werden als spezielle surreale Zahlen, die herkömmliche Definition kann man hier nicht verwenden.

Wenn mir niemand widerspricht, werde ich in ca. einer Woche anfangen, die Fehler zu verbessern.

'tschuldingung hab vergessen zu unterschreiben, bin noch neu hier. --- Surreal_Number 03:17, 23. Mai 2008

Relationen

wieso folgt aus x<=y und y<=x nicht x=y ? in der englischen version steht nichts darüber

Das wird doch am Beispiel darunter deutlich: {|-1} ungleich {|-1,0} aber {|-1} == {|-1,0}--Calle87 01:43, 10. Feb. 2011 (CET)

Wieso sollen nur total geordnete Objekte "sinvollerweise" Zahlen genannt werden? Die Komplexen Zahlen besitzen keine (sinvolle) Ordnung.--Calle87 01:43, 10. Feb. 2011 (CET)

Relationen werden üblicherweise nur auf Mengen definiert. Sollte dann nicht erwähnt werden, dass entsprechende Konzepte für Klassen vorliegen?--Calle87 01:43, 10. Feb. 2011 (CET)

Go

Go sollte im Sinne von Conway kein Spiel sein, da am Ende Punkte gezählt werden, um den Sieger zu ermitteln und nicht wie bei Conways Definition derjenige verliert, der keinen Zug mehr machen kann. Mal abgesehen davon ist passen bei Go ein legaler Spielzug.

Ich bitte darum das richtig zu stellen.

Sprechweise

Wie spricht man "==" aus?--Slow Phil (Diskussion) 21:27, 3. Dez. 2012 (CET)

Ah, ich hatte nicht weit genug gelesen; es heißt offenbar "ist äquivalent zu".--Slow Phil (Diskussion) 21:30, 3. Dez. 2012 (CET)

Geordneter Körper

Zu der Frage, ob man die surrealen Zahlen als geordneten Körper bezeichen sollte, obwohl sie keine Menge sind, ist vielleicht dieser Link hilfreich: http://mathoverflow.net/questions/115749/the-surreal-numbers-satisfy-all-the-field-axioms-except-that-its-elements-consti In irgendeiner Form sollte das noch in den Artikel.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 18:12, 24. Jul. 2014 (CEST)

beschreibung der zugrunde liegenen literatur

gudn tach!
zu [1]: ein mathematischer roman ein roman, der sich vor allem um mathematik dreht. google hilft hier weiter: [2]. vielleicht waere "mathematik-roman" eindeutiger; scheint der haeufigere begriff zu sein. jedenfalls fasst es den enzyklopaedisch relevanten teil des von mir geloeschten satzes

Dieses Buch ist eigentlich kein Fachbuch sondern ein Roman, und es ist einer der wenigen Fälle, in denen eine neue mathematische Idee zuerst in einem literarischen Werk präsentiert wurde.

zusammen. "Dieses Buch ist eigentlich kein Fachbuch" ist eine umgangssprachliche oder journalistische formulierung, hat jedoch nichts in einer enzyklopaedie verloren. der satz "Dieses Buch ist eigentlich kein Fachbuch sondern ein Roman" kann -- mal abgesehen vom fehlenden komma -- ohne weiteres verkuerzt werden zu "Dieses Buch ist ein Roman" (denn damit ist klar, dass es kein fachbuch ist und auch kein elefant und keine gabel), was wiederum im kontext des vorigen satzes entfallen kann, wenn man dort einfach "buch" durch "roman" ersetzt. ebendies hatte ich getan und hatte das buch noch attribuiert -- so wie auch Conways buch; wurde leider revertiert. der zweite teil des von mir geloeschten satzes also "ist einer der wenigen Fälle, in denen eine neue mathematische Idee zuerst in einem literarischen Werk präsentiert wurde." ist in keiner weise belegt, zudem ist der enzyklopaedische sinn/gehalt zumindest fragwuerdig; denn was soll der informationsgehalt dem leser bringen? der satz widerspricht der aussage, die direkt darueber steht:

A: "Surreale Zahlen wurden zuerst von John Conway vorgestellt"

B: "neue mathematische Idee zuerst in einem literarischen Werk [von Knuth] präsentiert"

zuerst wurde die idee von Conway vorgestellt; erst danach entstand das buch. im buch kann diese idee also nicht mehr als erstes praesentiert worden sein. iow: A steht im widerspruch zu B.
zusammengenommen ist der von mir gestrichene satz deshalb inhaltlich ueberfluessig, zum teil unbelegt, zum teil falsch und obendrein nicht mal enzyklopaedisch formuliert. der revert meiner aenderung erscheint mir angesichts dessen unangebracht zu sein. -- seth 00:24, 3. Jul. 2016 (CEST)

Danke für die ausführliche Begründung. Ich habe meine Änderung, mit der ich Deine Änderung rückgängig gemacht hatte, wieder rückgängig gemacht. Sorry für den Umstand. – Tea2min (Diskussion) 09:20, 3. Jul. 2016 (CEST)

gudn tach!

ok, prima, passt. -- seth 13:30, 3. Jul. 2016 (CEST)

Abgrenzung zu den hyperrellen Zahlen

Im ersten Absatz wird erwähnt, dass die hyperreellen Zahlen eine Teilmenge der surreale Zahlen sind. In der rechts daneben eingebundenen Zeichnung "Visualisierung einiger surrealer Zahlen" sind aber ausschließlich hyperreelle Zahlen eingezeichnet. Gehört diese Zeichnung dann nicht statt hierhin eher in den Wikipedia-Artikel über die hyperreellen Zahlen?

Gibt es eine Darstellung, in der echte surreale Zahlen eingezeichnet sind, also surreale Zahlen, die keine hyperrellen Zahlen sind?

Was sind Beispiele für nicht-hyperreelle surreale Zahlen und wo stehen diese auf der Zahlengeraden? (nicht signierter Beitrag von 80.144.139.164 (Diskussion) 23:36, 22. Jan. 2019 (CET))

Reelle Zahlen unendlich dicht

Ich dachte immer, die reellen Zahlen wären unendlich dicht? Das würde bedeuten, dass zwischen 2 reellen Zahlen immer noch eine weitere reelle Zahl liegt. Wenn das stimmt, sind surreale Zahlen also nur eine spoezialisierung von reellen Zahlen. Richtig?--2A02:8070:63D1:1B00:4D9B:2F55:F60D:5186 09:16, 20. Apr. 2021 (CEST)

Nicht richtig. Es gibt surreale Zahlen, die keine reellen Zahlen sind. Insbesondere gibt es surreale Zahlen, die kleiner sind als jede positive reelle Zahl, aber größer als $0$ -- eine solche ist z. B. ${\textstyle s={\frac {1}{\omega }}\in S}$. Wenn man nun zu jeder beliebigen reellen Zahl $r\in \mathbb {R}$ $s$ hinzuaddiert, erhält man stets eine Zahl, die surreal, aber nicht reell ist.

Der Umstand, dass $\mathbb {R}$ unendlich dicht ist, macht die Tatsache, dass $S$ echt mächtiger ist, zwar durchaus kontraintuitiv, aber nicht falsch. --217.110.95.130 14:03, 23. Feb. 2022 (CET)

Schon die rationalen Zahlen liegen dicht auf der Zahlengeraden, zwischen zwei rationalen Zahlen liegt stets eine weitere rationale Zahl. Trotzdem sind „fast alle“ reellen Zahlen irrational. --2003:D4:C720:9B01:B881:7D35:4CE7:21A8 12:55, 28. Sep. 2022 (CEST)