Diskussion:Tangentialraum

Wieso ist denn die Dimension der durch das Tangentialbündel erzeugte Untermannigfaltigkeit doppelt so groß wie die der eigentlich Mannigfaltigkeit? Gegenbeispiel: f(x)=(x,x) sei die Immersion zu der Untermannigfaltigkeit X:={(x,y)|x-y=0} => X ist eine 1-dim Untermannigfaltigkeit des R^2

Allerdings ist T(X,a) (mit a beliebig aus X) =(1,1) => Das Tangentialbündel = {t*(1,1)} = X = 1-dim Untermannigfaltigkeit.. (nicht signierter Beitrag von 91.33.219.120 (Diskussion | Beiträge) 16:20, 29. Jul 2009 (CEST))

Weil ein Element des Tangentialbündels TM ein Paar (x,v) ist, wobei x ein Element der Mannigfaltigkeit M (mit Dimension n) und v ein Element des Tangentialraums Tx am Punkt x ist (welcher dieselbe Dimension wie M hat, also n). Entsprechend hat das Tangentialbündel die Dimension 2*n. -- Jan Krieg 21:07, 28. Dez. 2009 (CET)

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Der Hinweis "Physiker denken an den Phasenraum", wenn es um Tangential-Bündel geht, ist falsch: Seien $q^{1},...,q^{n}$ unsere generalisierten Koord. Entsprechend haben wir
$p_{i}(q,{\dot {q}}):={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}$
Da dann aber
$p_{i}=\sum _{j}p_{j}\left({\frac {\partial q^{j}}{\partial q^{i}}}\right)$
representieren die p`s nicht die Komponenten eines Vektors auf dem Konfigurationsraum von $M^{n}$ sondern stellen Kovektoren dar!
Somit entspricht $T^{*}M$ dem Phasenraum in der Mechanik.
Literatur: Theodore Frankel,The Geometry Of Physics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-833302
--Paul Wenk 12:54, 10. Feb 2006 (CET)

@Paul Wenk, ja es ist das Kotangentialbuendel. Da Physiker aber fast immer eine Metrik haben (und somit einen Isomorphismus zwischen T*M und TM) ist es doch einfacher sich den Tangentialraum als TM vorzustellen. Andreask 11:07, 3. Jun. 2007 (CEST)

Baustein 'unverstaendlich' entfernt, nichts auf der Diskussionsseite gefunden, und dieser Artikel ist ziemlich gut. Gerade bei Artikeln ueber Spezialgebiete kann man den Oma-test nicht verwenden. (oder wir schmeissen die Wissenschaften raus) Andreask 11:07, 3. Jun. 2007 (CEST)

Unvollständig

Moin moin
Der Satz "Tatsächlich ist sogar jede Derivation von C^∞(Rⁿ) dieser Form." scheint mir unvollständig.
Müsste da nicht noch ein Bezugswort wie "in" rein?

Missverständlich

Der Begriff "Differentialgeometrie" wird hier nicht im üblichen Sinne verwendet. Schaut mal im Artikel Differentialgeometrie nach, dort wird zwischen "Elementarer" und "Moderner" Differentialgeometrie unterschieden. Dieser Artikel befasst sich mit erstgenanntem, also der Mathematik des achtzehnten Jahrhunderts. Wenn man einfach nur "Differentialgeometrie" schreibt, meint und versteht man aber üblicherweise die gegenwärtige Mathematik. Es ist fast so schlimm, als würde man im Artikel "Universum" ohne weitere Hinweise mit Riesenschildkröten, auf deren Rücken wir leben und Kristallschalen, an denen die Sterne befestigt sind, konfrontiert.

Nun mag dieser Artikel für Physiker, die genau diese Inhalte suchen, hilfreich sein, deswegen habe ich gegen den Artikel nichts einzuwenden. Man sollte aber gleich zu Beginn auf die Doppeldeutigkeit des Wortes "Tangentialraum" hinweisen und den Begriff "Differentialgeometrie" im Folgenden vermeiden. In diesem Artikel werden Eigenschaften zur Definition des TR herangezogen, die ein TR in der modernen Beschreibung im Allgemeinen nicht hat, so ist er nicht notwendigerweise ein Vektorraum und er muss die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit nicht notwendigerweise berühren. Es geht hier also nicht um Haarspalterei, sondern um fundamentale Eigenschaften.

Langfristig ist es aber wünschenswert, wenn man den TR allgemein im Sinne der Modernen Differentialgeometrie beschreibt und die Inhalte dieses Artikels als Spezialfall auffasst. Wenn der/die Autoren das wünschen, helfe auch gerne mit, allerdings habe ich bei anderen Seiten schon schlimme Streits im Hintergrund erlebt, deswegen bin ich bei inhaltlichen Änderungen vorsichtig geworden. (nicht signierter Beitrag von 141.99.254.253 (Diskussion) 16:09, 10. Mär. 2008)

Mir ist Deine Kritik unverständlich. Der Artikel beschäftigt sich mit dem abstrakten Tangentialraum einer abstrakten Mannigfaltigkeit. Das ist genau das, was im Artikel Differentialgeometrie als "Moderne Differentialgeometrie" bezeichnet wird. Was daran ist Mathematik des 18. Jahrhunderts?

Beziehung zwischen Tangentialvektoren und Derivationen

In der ersten, algebraischen Definition heißt der letzte Satz :"Die Beziehung zwischen den zuvor definierten Tangentialvektoren und den Derivationen ist wie folgt: falls γ eine Kurve mit Tangentialvektor γ'(0) ist, dann ist die entsprechende Derivation D(g) = (g o γ)'(0) (mit der Ableitung im üblichen Sinne, da g o γ eine Funktion von (-1,1) nach R ist)."

Meine Frage ist ob g o γ nicht gemäß der obigen Definition:" Sei $\gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\to M$ eine differenzierbare Kurve mit γ(0) = x ." vielmehr eine Funktion von $(-\epsilon ,\epsilon )$ nach R ist. (nicht signierter Beitrag von 131.220.59.249 (Diskussion) 12:48, 27. Jan. 2009)

Auf das Definitionsintervall kommt es im Grunde nicht an, solange 0 im seinem Innern liegt. --Digamma 10:53, 26. Mai 2010 (CEST)

Kleiner Fehler in Definitionsbereich?

In der geometrischen Definition heißt es: "Ist $\gamma \colon (-1,1)\to M$ mit $\gamma (0)=p$ eine differenzierbare Kurve in M, so ist $\varphi \circ \gamma \colon (-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}$ eine differenzierbare Kurve im $\mathbb {R} ^{n}$" Da aber "$\varphi \colon U\to \mathbb {R} ^{n}$" und $U\subset M$ müßte meiner Meinung nach auch $\gamma \colon (-1,1)\to U$ sein. Ich würde das selbst ändern, schließe aber nicht aus, daß ich etwas übersehe. 134.58.253.57 16:51, 25. Okt. 2011 (CEST)

„theoretisch-physikalischen (auf Tensoren hinarbeitenden) Sichtweise“

Welche ist damit gemeint? Die Definition über „Transformationsverhalten“, wie es Physiker mögen? Abraham et al. führen als Möglichkeit auf, einfach Vektoren im jeweils durch eine Karte eingebetteten Vektorraum zu nehmen und dann Äquivalenzklassen zu bilden – diejenigen sind gleich, die sich „richtig“ ineinander transformieren. Wenn diese Sichtweise gemeint ist, dann sollte sie auch explizit aufgeführt werden. Außerdem verstehe ich nicht, was „auf Tensoren hinarbeitenden“ heißen soll – Tensorbündel kann man ja wohl definieren, egal wie man den Tangentialraum definiert hat. --Chricho ¹ ² ³ 00:41, 17. Mai 2013 (CEST)

Ja, ich denke, dass dies gemeint ist. Eine Übersicht über die drei verschiedenen Definitionen (die "des Algebraikers", "des Physikers" und "des Geometers" findet sich z.B. in dem Buch "Einführung in die Differentialtopologie" von Theodor Bröcker und Klaus Jänich (Springer Heidelberger Taschenbuch 1990, aber vermutlich gibt es auch eine neuere Version).

Ich vermute, dass mit "auf Tensoren hinarbeiten" darauf Bezug genommen wird, dass die PHysiker Tensoren meist auch über das Transformationsverhalten definieren. Die Physiker haben den Vorteil, dass ihre Objekte (die physikalischen Größen) schon existieren, und sie sie nur noch einordnen müssen (diese Größe ist ein Skalar, diese ein Tensor der Stufe (1,1), diese ein Vektor, diese ein Pseudovektore, usw.). Mathematiker müssen die Objekte erst konstruieren, deshalb die Bildung von Äquivalenzklassen. --Digamma (Diskussion) 17:54, 17. Mai 2013 (CEST)

Ja aber das ist doch dann auch nur deren Sichtweise und es gibt doch keinen Grund, bei Tensoren diese Sichtweise als besonders wichtig darzustellen (machen wir beim Tangentialraum ja auch nicht)? Du bist ja gut, dass diese Objekte schon existieren – vor 200 Jahren gab es Feldstärketensoren, die sich rumtransformiert haben? ;) --Chricho ¹ ² ³ 18:29, 17. Mai 2013 (CEST)

Zweiter algebraischer Ansatz: zugehörige Derivation

Ich habe versucht nachzurechnen, dass es sich bei dem zugehörigen $D$ in dem Abschnitt tatsächlich um eine Derivation handelt. Dabei kommt bei mir ein seltsames Vorzeichen heraus (das zumindest bei der hiesigen Definition einer Derivation – gibt auch allgemeinere – nicht da sein sollte). Kann da mal jemand drauf gucken? Oder kennt jemand eine Quelle, wo das dargestellt wird? Bei Abraham et al. finde ich nur einen Hinweis, dass es diese algebraische Variante gibt, aber keine Details. Hier:

$D(gh)=r(I^{2}+(g-g(p))\cdot (h-h(p)))$

$=r(I^{2}+gh-g(p)h-gh(p)+g(p)h(p))=r(I^{2}-g(p)h-gh(p)+2\cdot g(p)h(p))$

$=g(p)r(I^{2}-(h-h(p)))+h(p)r(I^{2}-(g-g(p)))=-(g(p)D(h)+h(p)D(g))$

Grüße --Chricho ¹ ² ³ 01:08, 17. Mai 2013 (CEST)

Der Ansatz ist falsch. Er muss lauten

$D(gh)=r(I^{2}+(gh-g(p)h(p)))$

Man erhält durch Termumformung:

$gh-g(p)h(p)=(g-g(p))\cdot (h-h(p))+(g-g(p))h(p)+g(p)(h-h(p))$

(das rechnet man am besten von rechts nach links nach). Wegen $(g-g(p))\cdot (h-h(p))\in I^{2}$ und der Linearität von $r$ erhält man

${\begin{aligned}D(gh)&=r(I^{2}+gh-g(p)h(p))\\&=r(I^{2}+(g-g(p))\cdot (h-h(p))+(g-g(p))h(p)+g(p)(h-h(p))\\&=h(p)r(I^{2}+(g-g(p)))+g(p)r(I^{2}+(h-h(p)))\\&=h(p)D(g)+g(p)D(h)\end{aligned}}$

Etwas leichter wird es, wenn man $r$ nicht als Linearform auf $I/I^{2}$ auffasst, sondern als Linearform auf $I$, die auf $I^{2}$ verschwindet, und wenn man z.B. ${\tilde {g}}=g-g(p),{\tilde {h}}=h-h(p)$ setzt, also $g={\tilde {g}}+g(p)$ und $h={\tilde {h}}+h(p)$.

Dann wird die Definition zu $D(g)=D({\tilde {g}}+g(p))=r({\tilde {g}})$.

Mit $a=g(p)$ und $b=h(p)$ wird dir Rechnung zu

${\begin{aligned}D(gh)&=D(({\tilde {g}}+a)({\tilde {h}}+b))\\&=r(({\tilde {g}}+a)({\tilde {h}}+b)-ab)\\&=r({\tilde {g}}{\tilde {h}}+a{\tilde {h}}+b{\tilde {g}}+ab-ab)\\&=a\,r({\tilde {h}})+b\,r({\tilde {g}})\\&=a\,D(h)+b\,D(g)\end{aligned}}$

Dabei verwendet man $r({\tilde {g}}{\tilde {h}})=0$, da ${\tilde {g}}{\tilde {h}}\in I^{2}$. --Digamma (Diskussion) 18:41, 17. Mai 2013 (CEST)

Oh, danke für die ausführliche Antwort. Ich hatte das rückwärs aufgezogen und mit $h(p)D(g)+g(p)D(h)$ begonnen und mich dann irgendwie festgebissen, bis ich dachte, der Ansatz und die Zwischenschritte da oben wären korrekt. Manchmal stell ich mich dumm an… --Chricho ¹ ² ³ 18:50, 17. Mai 2013 (CEST)

Algebraische Definition?

Ich habe in der Artikeldiskussion Diskussion:Tangente#Tangenten als Studienobjekte der Linearen Algebra eine Frage gestellt, die vielleicht hierher gehört hätte. Wenn ihr mir helfen könnt, antwortet dort, ich will die Diskussion nicht zu hoch hängen. Danke :-) --KleinKlio (Diskussion) 03:39, 20. Jun. 2013 (CEST)

Spontan würde ich sagen, dass die Frage nicht hierhergehört. Deine Frage zielt auf den Tangentialraum einer (differentialgeometrisch gesprochen) Untermannigfaltigkeit, hier geht es um den abstrakten Tangentialraum einer abstrakten Mannigfaltigkeit. Für mich sieht das auf den ersten Blick sehr verschieden aus. --Digamma (Diskussion) 15:23, 20. Jun. 2013 (CEST)

Seine Frage zielt doch auf algebraische Geometrie ab. Das ist hier im Artikel nur angedeutet, die englische Wikipedia hat einen eigenen, der mir aber nicht gerade toll erscheint. --Chricho ¹ ² ³ 15:43, 20. Jun. 2013 (CEST)

Verständnisfrage

Im Abschnitt "Übersicht" steht: "Der Tangentialraum in einem Punkt $p\in S^{2}$ ist dann die Ebene durch den Nullpunkt, die parallel..". Das mit dem Nullpunkt klingt plausibel. Aber ich habe das so noch nicht in der Literatur gefunden. In der Regel suggerieren die Abbildungen, auch die im Artikel, dass der Tangentialraum mit der Mannigfaltigkeit den Berührpunkt teilt. Könnte mir jemand einen Literaturhinweis geben? --Pascal.vollmer.fr (Diskussion) 13:55, 19. Aug. 2021 (CEST) Ich ziehe meine Frage zurück. Ein Tangentialraum ist ein Vektorraum. Der Nullvektor $(0,0)$ entspräche einer parametrierten Kurve $c(t)$, bei der während eines Intervalls $-\epsilon <t<\epsilon$ das Verhalten $c(t)=p$ gälte.--Pascal.vollmer.fr (Diskussion) 00:07, 29. Aug. 2021 (CEST)