Diskussion:Teileranzahlfunktion

Name

Es gibt da ein Problem: Eulersche Phifunktion dürfte wohl der korrekte Name für den Artikel sein. --Ich hab hunga 22:25, 21. Jul 2006 (CEST)

Nein.--Gunther 15:52, 27. Jul 2006 (CEST)

Mein Fehler. Gruß, --Ich hab hunga 09:08, 28. Jul 2006 (CEST)

Was genau ist mit e (bzw e1, e2,e3...) gemeint? (nicht signierter Beitrag von Plan B (Diskussion | Beiträge) 14:25, 11. Okt. 2006)

Die Exponenten der jeweiligen Primzahlen. Bei

$1200=2^{4}\cdot 3\cdot 5^{2}$

ist $p_{1}=2,e_{1}=4,p_{2}=3,e_{2}=1,p_{3}=5,e_{3}=2$. Man muss die Primzahlen nicht nach der Größe numerieren, das ist für die folgende Formel egal.--Gunther 14:49, 11. Okt. 2006 (CEST)

Verallgemeinerungen - Quellen?

"...Die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall $k=0$ der verallgemeinertern Teilersummenfunktion

$\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}.$

..."

Hat jemand Quellen, dass der richtige Begriff tatsächlich verallgemeinerte Teilersummenfunktion heißt? Danke. Alexandar.R. 18:49, 19. Mär. 2007 (CET)

Weitere Diskussionen darüber finden zur Zeit hier: Benutzer Diskussion:Wladyslaw Sojka/Archiv4#Verallgemeinerte Teilersummenfunktion statt. Alexandar.R. 18:29, 20. Mär. 2007 (CET)

σ₁=σ ist die Teilersummenfunktion wie im Artikel beschrieben, und σ_k ist eine verallgemeinerte Form davon. Mehr steht da nicht.

Ja, das ist eine Art Veralgemeinerung. Mir geht es nur darum, ob der Begriff verallgemeinerte Teilersummenfunktion eine spezielle Bedeutung hat oder nicht. Wenn es einen solcher Begriff nicht gibt, dann kann jede Verallgemeinrung "verallgemeinerte Teilersummenfunktion" genannt werden, andersfalls sollte man es vermeiden damit es zu keinen Missverständnissen kommt. Es gibt auch $d_{k}(n)=\#\{(a_{1},...,a_{k}):n=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{k}\}$. Wir brauchen auf jedem Fall Quellen um diese Frage zu klären. Alexandar.R. 19:33, 25. Mär. 2007 (CEST)

Nö. Das ist nur dein Problem. Es gibt Wichtigeres, ganz sicher. d_k ist sowieso keine Verallgemeinerung der Teilersummenfunktion. (nicht signierter Beitrag von [[Spezial:Beiträge/80.136.129.19 |80.136.129.19 ]] ([[Benutzer Diskussion:80.136.129.19 |Diskussion]]) --Wladyslaw Disk.)

Ich habe einen Quellennachweis für den Begriff hinzugefügt. Allerdings habe ich das englische divisor function mit Teilerfunktion übersetzt. Deutschsprachige Literatur, die diesen Begriff verwendet, steht mir jedoch nicht zur Verfügung. --Stefan Birkner 01:19, 27. Nov. 2008 (CET)

Quelle

Wenn jemand unbedingt ne Quelle braucht, ich hätte da eine :-)

K. Chandrasekharan - Indroduction to Analytic Number Theory Seite 54, §4

Logarithmusfunktion in Asymptotik

Es wird mehrmals $log$ mit weggelassener Basis gebraucht. Welcher Logarithmus ist hier gemeint? Normalerweise ist ja der Zehnerlogarithmus gemeint, wenn die Basis weggelassen wird; auch $lg$ geschrieben - im Gegensatz zum Natürlichen Logarithmus $ln$, der in der Mathematik am häufigsten gebraucht wird. Joli Tambour (Diskussion) 11:31, 6. Okt. 2017 (CEST)

Da ist schon der natürliche Logarithmus gemeint, der oft auch $\log$ geschrieben wird, aber $\ln$ wäre hier vielleicht wirklich eindeutiger. -- HilberTraum (d, m) 19:33, 6. Okt. 2017 (CEST)

Verständlichkeit

@WikiLangstrumpf: DiffDass die Umkehrfunktion als erstes Beispielaufgeführt wird, irretiert mich schon ein bisschen, habe wirklich erst nach längerem Nachdenken das Begriffen. Gibt es für die Anordnung irgendeinen Grund? @Williwilli: zur Kenntnis. --Habitator terrae 19:21, 14. Jun. 2019 (CEST)

Ich habe noch nicht so genau verstanden, welche Stelle im Artikel Du meinst? WikiLangstrumpf (Diskussion) 15:18, 7. Sep. 2019 (CEST)

@WikiLangstrumpf: Ich meine die erste Tabelle Habitator terrae 15:26, 7. Sep. 2019 (CEST)

Zur Funktion d(n) lässt sich, anders als bei vielen stetigen Funktionen, nicht einfach die Inverse bilden. Die Aussage der Tabelle soll daher einen Überblick darüber geben wie die Zahlen n springen, wenn man d(n) einfach hochzählt. Möglicherweise gibt es dazu in OEIS eine eigene Zahlenfolge, die hier passen würde. Allerdings kenne ich mit OEIS nicht sonderlich gut aus. Die Tabelle gehört logisch gesehen tatsächlich ans Ende des Artikels, wegen der länglichen Form der Tabelle habe ich das aber gelassen. Was wäre denn Dein Vorschlag zur Lesbarkeit? WikiLangstrumpf (Diskussion) 09:46, 8. Sep. 2019 (CEST)

Präzisierung

Die Aussage "Für $d(n)=37$ ist bereits $n>2^{31}$" ist für mich nicht ganz klar. Bedeutet das, dass es keine Zahl $n\leq 2^{31}$ gibt, für die $d(n)\geq 37$ ist? Gemäss Mathematica ist für die Zahl 7560 $d(7560)=64$ und für die Zahl 83160 ist $d(83160)=128$. Beide Zahlen sind klar $<2^{31}$. Was verstehe ich falsch? (nicht signierter Beitrag von Anawas5622 (Diskussion | Beiträge) 15:19, 21. Mär. 2020 (CET))

„…, für die $d(n)\geq 37$ ist?“

Nein, sondern es bedeutet nur, dass es keine Zahl $n\leq 2^{31}$ gibt, für die $d(n)=37$ ist. Das ist zwar eine wahre Aussage, aber dennoch ziemlich doof:

Weil 37, die Teileranzahl von $n$, prim ist, muß $n$ eine Primzahlpotenz sein, und zwar mit der Hochzahl 37-1=36. Auch umgekehrt hat jede Zahl der Form $p^{36}$ mit einer Primzahl $p$ genau 37 Teiler, und die kleinste von ihnen ist natürlich die mit der kleinsten Grundzahl, also $2^{36}$. Dass diese Zahl „größer als $2^{31}$“ ist, ist angesichts dessen, dass sie das 32-Fache davon ist, eine mehr als seltsame Formulierung (man könnte stattdessen etwa auch sagen, dass sie größer als 11.111.111.111 ist). Vermutlich hat der Autor einfach ein kleines Test-Programm über alle natürliche Zahlen laufen lassen und bei $2^{31}$ ergebnislos abgebrochen (was durch die Tatsache, dass sich mit 32 Bits oder 4 Bytes – bei Verwendung eines Vorzeichenbits – gerade mal alle natürlichen Zahlen bis $2^{31}$ darstellen lassen, noch plausibler wird).

91.119.128.200 16:21, 21. Mär. 2020 (CET)

PS: Ich habe den Unsinn jetzt entfernt: [1]. 91.119.128.200 16:26, 21. Mär. 2020 (CET)

"Vermutlich hat der Autor einfach ein kleines Test-Programm ..." Genau so war es. WikiLangstrumpf (Diskussion) 08:40, 1. Nov. 2020 (CET)

Beta?

Zitat: Der Wert $\beta ={\tfrac {1}{2}}$ wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen

Es wird nicht erklärt, was β ist. Ist vielleicht gemeint, dass die Formel

$\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})$

durch ein $x^{\beta }$ verallgemeinert werden kann (die Quadratwurzel ergibt sich bei β=0,5)?

Hat jemand eine Verfeinerung der Formel mit β gelöscht, ohne zu merken, dass das im Text noch vorkommt?

--Helmut w.k. (Diskussion) 10:45, 19. Mai 2022 (CEST)

@Claude J: Spezial:Diff/218128253. Habitator terrae 12:44, 19. Mai 2022 (CEST)

Aha, im Artikel ist es jetzt auch geändert. Wobei ich erst stutzte und mein Wissen über Landau-Symbole auffrischen musste … die Landau-Notation besagt selber noch nicht, dass es ein β<0,5 gibt, sie schließt es aber auch nicht aus (wie ich zunächst dachte). Die Einführung von β ist also noch holprig.

--Helmut w.k. (Diskussion) 17:52, 19. Mai 2022 (CEST)

Ich habe noch mal bei Hardy Wright nachgesehen, die verstehen (S. 7 in der zitierten Ausgabe) unter g(n)=O(f(n)) dass es eine Konstante A gibt mit g(n)<Af(n). Das ist also korrekt wie im Text angegeben und da ist auch nichts zu verbessern.--Claude J (Diskussion) 19:15, 19. Mai 2022 (CEST)

Das ist aber eine schwächere Behauptung als das es ein β<0,5 gibt, denn bei dem kleinerem β gibt es für jedes reelle A>1 ein x, so dass x^β < A*x^0.5 gilt … egal wie groß A gewählt wird.

--Helmut w.k. (Diskussion) 20:00, 19. Mai 2022 (CEST)

bestreite ich gar nicht, deshalb ist im Text ja auch von verbesserung der beta-werte die Rede. Hier ging es nur um die Klarstellung welches Landausymbol gemeint war (das war nicht so klar, wie ja auch der Artikel Landausymbol deutlich macht).--Claude J (Diskussion) 20:14, 19. Mai 2022 (CEST)

Obere Schranke

Gibt es auch Abschätzungen wie groß die Teilerfunktion werden kann. Also eine Schätzfunktion M(n), so dass stets σ(n) < M(n), die nicht so trivial ist wie doppelte der Wurzel von n?

Oder wenigstens eine Formel mit O (Landau-Symbol) …

--Helmut w.k. (Diskussion) 13:22, 27. Mai 2022 (CEST)