Diskussion:Teilungsparadoxon

Wenn man annimmt, dass man die erste Hälfte von 50 m schaffen kann, dann gibt es keinen logischen Grund mehr anzunehmen, dass man nicht auch die zweite Hälfte von 50 m schaffen könnte. --Michael 17:57, 14. Jul. 2007 (CEST)

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Ein Kommentar zu P. Valery's Feststellung erübrigt sich.--Michael 14:49, 18. Jul. 2007 (CEST)

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Der entfernte Link bezieht sich auf den Wettlauf zwischen Achilles und der Schildkröte und gehört - logischerweise - dorthin.--Michael 10:26, 19. Jul. 2007 (CEST)

Und, im Link [1] wird das Paradoxon mathematisch "gelöst", wobei man auch mit 1/2 beginnt. Doch ohne "1" - den ganzen Laufweg - ergibt auch die mathematische Lösung keinen Sinn. Deshalb lösche ich auch diesen Link.--Michael 10:42, 19. Jul. 2007 (CEST)

Wenn hier schon alles durcheinander gehauen wird. Von Kontinuum ist in der Mathematik weniger die Rede, eher Stetigkeit. Hier wird also Geometrie und Mathematik verwechselt. Oder was hat der Raum mit der geometrischen Reihe zu tun? Von welcher unendlichen Reihe wird hier bei der Explikation Zenons gesprochen? Einer konvergenten oder divergenten? Und ich wiederhole mich: Aristoteles kannte den Grenzwert 2 der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 ... . Ich fand Istvancseks minimalistische Darstellung klarer, und hier wird gar nicht klar, wie das Problem Bewegung von Zenon dargestellt wird. Valerys Hinweis ist auch richtig. --Room 608 22:04, 22. Jul. 2007 (CEST)

Vorauszusetzen, dass die alten Griechen Geometrie und Mathematik verwechselten, ist genauso blödsinnig wie zu behaupten, Descartes hätte schon im Altertum gelebt, weil das nämlich erst seit ihm geht: Lineare Algebra und analytische Geometrie. --Room 608 22:29, 22. Jul. 2007 (CEST)

Unsinn hoch unendlich

Ein Läufer will eine Strecke von 100 Metern bewältigen. Dazu muss er zuerst die Hälfte der Strecke, also 50 Meter, zurücklegen. Hat er das geschafft, muss er sich eine Stunde lang ausruhen, bzw. eine Stunde lang nachdenken, wie er die nächsten verbleibenden Meter zurücklegt, denn er muss nun die erste Hälfte des verbleibenden Restes bewältigen, also ein Viertel der gesamten Strecke (25 Meter) - weil er sich jetzt schon nach 25 Metern ausruhen muss diese arme, arme Kreatur, dann ein Achtel, ein Sechzehntel usw.--Michael 17:16, 25. Jul. 2007 (CEST)

Im Artikel steht nichts von Wartezeiten. Die Idee ist vielmehr die, dass der Läufer für jede Strecke unendlich viele Zeitspannen von jeweils endlicher Länge benötigt, und der Denkfehler liegt in der - soeben selbst wiederlegten - Annahme, dass eine Summe unendlich vieler Summanden unendlich sein müsse. Im Übrigen fallen diese Hälften von Hälften von Hälften usw. in diesem Paradoxon nicht em Ende der Strecke an - dann könnte, wenn es nicht leicht auflösbar wäre, der Läufer nur saein Ziel nicht erreichen - sondern am Anfang, sodass er nicht einmal starten könnte.--Slow Phil (Diskussion) 15:29, 16. Dez. 2013 (CET)

Qualitaet des Artikels

Was unter "Nichtbeachtung des Faktors Zeit" steht, klingt falsch, es ist zumindest aeusserst ungluecklich formuliert. Was in dem Abschnitt "Parallele zum Grenzwert" steht, ist zwar richtig, hat aber recht wenig mit dem Thema zu tun. Es geht darum, dass man die Strecke

Erst 50m,

dann 25m,

dann 12,5m,

dann 6,25m,

...

zuruecklegen muss und dass diese einen endlichen Wert hat (dafuer ist es notwendig(!), dass die Folge 50, 25, 12,5... eine Nullfolge ist, aber nicht hinreichend, das bedarf einer naeheren Erlaeuterun / Untersuchung). Im Wesentlichen folgt die Endlichkeit der Dauer fuer das Zuruecklegen dieser Strecke aus der Konvergenz der geometrischen Reihe und daraus, dass sich mit der Halbierung der Strecke auch die Zeit halbiert, die man zum Zuruecklegen benoetigt (Linearitaet). Das ist es auch, was in Wirklichkeit "nicht beachtet" wird: Dass die zurueckzulegende Gesamtstrecke immernoch endlich ist, auch wenn man sie in unendlich viele Teilabschnitte zerlegen kann, auf denen man jeweils eine endliche Zeit benoetigt, um sie zurueckzulegen.

Braucht man zum Beispiel eine Sekunde pro Meter, so ergibt sich fuer 100 Meter natuerlich, dass man 100 Sekunden braucht. Unterteilt man nun die Strecke wie oben, so ergibt sich:

$50s+25s+12,5s+....=50*(1+1/2+1/4+...)s=(50*\sum _{k=0}^{\infty }(1/2)^{k})s=(50*2)s=100s$

Siehe hierzu auch den Artikel zu geometrischen Reihe. --Laugh 16:06, 28. Jul. 2010 (CEST)

Artikel vollstaendig neu aufgesetzt

Ich bin mit dem Artikel noch nicht 100% zufrieden, so wie er ist, aber vor der Rundumerneuerung stand da einfach teilweise Bloedsinn - es war unverantwortlich, das stehen zu lassen. Weiter oben habe ich das ja Ende Juli schon angemerkt. Nachdem sich offenbar niemand mehr fuer diesen Artikel zustaendig fuehlt, hielt ich es fuer notwendig, ihn neu zu gestalten. Verbesserungen und Verbesserungsvorschlaege sind natuerlich willkommen. -- Laugh 17:46, 2. Sep. 2010 (CEST)

Thema verfehlt

Sorry, aber ich bin mit dem Artikel überhaupt nicht zufrieden, möchte sogar sagen "Thema verfehlt". Es ist m.E. unverantwortlich, das Teilungsparadoxon oder auch das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte als Denkfehler bzw. Trugschluss abzutun. Es geht im Kern nämlich gar nicht um mathematische Zusammenhänge, die man lediglich durchschauen müsste, um einen Trugschluss zu belegen, sondern schlicht und einfach um die philosophische bzw. allenfalls physikalische Frage, ob Raum und Zeit unendlich teilbar sind oder nicht. Dass sich mathematisch ohne Probleme Summen mit unendlich vielen Summanden berechnen lassen, ist völlig irrelevant: Mathematik ist Menschenwerk, Raum und Zeit dagegen sind natürlich gegeben.

Physikalisch ist und bleibt es paradox: Wenn *wirklich" unendlich viele Punkte im Raum zwischen a und b existieren, dann ist nicht vorstellbar, dass diese überhaupt der Reihe nach durchlaufen werden können, und daher ist auch keine Bewegung möglich. Das Paradoxon beweist somit, dass Raum und Zeit eben *nicht* unendlich teilbar sind, denn wir wissen ja, dass Bewegung wirklich stattfindet. Das erkannt zu haben, war eine große geistige Leistung der Alten lange vor der Erfindung der Quantenphysik, und nicht einfach ein Trugschluss oder Denkfehler von ein paar Verwirrten im Altertum, die zu wenig von Mathematik verstanden. Don P Edit: Überschrift hinzugefügt --87.245.123.70 18:59, 16. Apr. 2013 (CEST)

Sorry, aber ich bin mit dem Kommentar überhaupt nicht zufrieden, möchte sogar sagen "reingefallen". Insbesondere Ihre Attacke auf die Mathematik ist völlig unbegründet, auch und gerade das Ausspielen des "natürlich Gegebenen" gegen sie. Das "natürlich Gegebene" lässt sich vielmehr mathematisch beschreiben und verhält sich stets mathematisch konsistent, während umgekehrt die Mathematik nicht an konkrete Naturgesetze gebunden ist. Nun aber mal im Einzelnen:

• Sie schreiben, es gehe nicht um mathematische Zusammenhänge, sondern um die Frage, ob Raum oder Zeit unendlich teilbar seien. Tatsächlich geht es um zwei Dinge gleichzeitig: Kann einerseits Raum unendlich teilbar und andererseits Bewegung möglich sein? Diese Frage ist es, die Zenon verneint.
• Ihre Behauptung, es gehe nicht um mathematische Zusammenhänge, trifft nicht zu, denn Zenon argumentiert ja mathematisch: Zum Einen abstrahiert völlig davon, dass der Läufer sich in Schritten bewegt und sich während der Phasen eines einzelnen Schrittes in sich stark verändert. Zum Anderen beruht sein Argument ja gerade auf einer Annahme über eine Summe unendlich vieler endlicher Summanden.
• Das Argument widerlegt sich selbst, denn wenn Zenon sagt, der Läufer müsse vor der ganzen Strecke deren Hälfte, davor deren Hälfte etc. zurücklegen, und damit unterteilt er gerade die Strecke unendlich oft und widerlegt damit höchstselbst die Annahme, die Summe unendlich vieler endlicher Summanden könne nicht endlich sein.
• Es mag sein, dass auch die moderne Quantentheorie zu der Überzeugung gekommen ist, dass sich Raum und Zeit nicht unendlich unterteilen lassen, weil die Konzepte von Strecken und Zeitspannen in Planck-Skalen physikalisch unsinnig werden. Das beruht jedoch sicherlich nicht auf Zenons Teilungsparadoxon, sondern darauf, dass die erforderlichen Energien mit steigender räumlicher Auflösung immer größer werden und irgendwann sogar Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie relevant wird.--Slow Phil (Diskussion) 16:46, 16. Dez. 2013 (CET)

--87.245.76.113 21:25, 9. Feb. 2013 (CET)

Kann das Problem überhaupt zufriedenstellend geklärt werden, solange nicht hinreichend geklärt ist, was unendlich viele Punkte im Raum zwischen a und b bedeutet? Wenn es unendlich viele gleichabständige Punkte zwischen a und b gibt, können die dann überhaupt noch der Reihe nach durchlaufen werden? Der Reihe nach setzt voraus, dass die Punkte benachbart sind, also einen Abstand > 0 zueinander haben. Wenn der Abstand > 0 ist, dann kann die Anzahl der Punkte zwischen a und b aber nicht unendlich sein, sondern nur endlich. Unendlich viele (gleichabständige) Punkte zwischen a und b sind bereits das Paradoxon.

Ein Beweis, dass Raum und Zeit nicht unendlich teilbar sind, ergibt sich daraus meines Erachtens allerdings nicht.

Genauso wenig sehe ich einen Beweis darin, dass Bewegung nicht möglich ist.

Bestenfalls wird bewiesen, dass die Vorstellung von unendlich vielen Punkten im Raum zwischen a und b den menschlichen Geist überfordert. --Netzweltler (Diskussion) 00:20, 12. Mai 2013 (CEST)

Teilungsparadoxon aus etwas anderem Blickwinkel

1. t = 0: ich schiebe die Linie [0; 1] an die Position [-0,5; 0,5]
2. t = 0,5: ich schiebe die Linie von Position [-0,5; 0,5] an die Position [-0,75; 0,25]
3. t = 0,75: ich schiebe die Linie von Position [-0,75; 0,25] an die Position [-0,875; 0,125]
4. ...

Dies ist eine Liste mit unendlich vielen Schritten. Wo befindet sich die Linie nach Ausführung aller Schritte, also zum Zeitpunkt t = 1? Gibt es einen Schritt, der die Linie an die Position [-1; 0] schiebt? --Netzweltler (Diskussion) 17:18, 8. Jul. 2012 (CEST)

Auflösung des Paradoxons: Unabsichtlich?

Im Artikel steht "zeigt er unabsichtlich selbst, dass umgekehrt eine Summe aus unendlich vielen endlichen Summanden einen Wert haben kann." Ist belegt, dass das unabsichtlich war? Wenn nicht, schlage ich vor, das Wort "unabsichtlich" zu streichen. (Es könnte ja z. B. auch sein, dass er auf den Widerspruch zwischen offensichtlich endlicher Summe und der Annahme, eine Summe unendlich vieler positiver Summanden sei unendlich, hinweisen wollte.) --Wilhelm-Conrad (Diskussion) 12:33, 18. Jan. 2014 (CET)

zum Abschnitt "Der dahinterliegende Fehlgedanke"

vorgefunden:

"Das Paradoxon beruht auf der Unkenntnis der Tatsache, dass unendliche Reihen mit positiven Gliedern konvergieren können."

Unter der Voraussetzung $0<a_{n}\in \mathbb {R} ,\sum _{k=0}^{\infty }a_{n}=a$ ist $\sum _{k=0}^{\infty }-a_{n}=-a$; unendliche Reihen mit negativen Gliedern konvergieren ebensogut wie solche mit positiven Gliedern, weiter gibt es konvergierende alternierende Reihen wie etwa $\sum _{k=0}^{\infty }({\frac {-1}{2}})^{n}={\frac {1}{2}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }({\frac {1}{4}})^{n}={\frac {2}{3}}$ . Die vorgefunden Formulierung war insoweit irreführend (und wurde verändert).

--Psychironiker (Diskussion) 19:29, 28. Nov. 2017 (CET)

zum anschaulichen Beispiel

Anschaulich scheint mir das Beispiel dann, wenn eine Person, die mit der mathematischen Fassung der Begriffe Konverenz (konvergieren, konvergente Reihe), Grenzewert und Reihe (noch) nicht vertraut ist, aber z.B. Bruchrechnung beherrscht und das Summenzeichen kennt, den Artikel verstehen kann. - Das ist in der gerade vorfindlichen Form nicht zu erwarten, denn es ist in keiner Weise klar, wie die Grenzwerte $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{k}}}={\frac {4}{3}}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}=2$ denn nun zustandekommen; sie wirken auf die (den) unbefangene(n) Leser[in] wie die willkürliche Behauptung eines erwartbaren Resultats.

Ich fügte deswegen die "Anmerkung" ein, bin aber mit dem Aufbau insgesamt noch nicht zufrieden. Vielleicht ist es auch sinnvoller, als verstehbaren Zwischenschritt eine vollständige Induktion der Formel

$\sum _{k=0}^{n}({\frac {1}{2}})^{k}=2-{\frac {1}{2^{n+1}}}$

niederzuschreiben (die angegebene Umformung lässt sich mit wenigen Ergänzungen als Induktiosnsschritt verwenden). - Kommentare? Weiß übrigens jemand, wie Archimedes tatsächlich (gegenüber den Zeitgenossen, die den Grenzwertbegiff auch nicht kannten) argumentierte, und wie er das niederschrieb?

P.S. Die Anmerkung sollte ein Anmerkung werden und kein Weblink - aber das gelang nicht. Besserung erfolgt, sobald möglich.

--Psychironiker (Diskussion) 22:59, 28. Nov. 2017 (CET)