Diskussion:Totale Funktion

Wir müssen hier nochmal genauer klären, wie sich der Begriff bei Mathematikern und Informatikern unterscheidet. --Marc van Woerkom 13:48, 21. Jan 2005 (CET)

warum nicht Abbildung ?

Ich dachte, man nennt Abbildung eine Funktion bei der Definitions- = Urmenge ist. In analogie zu "application" vs "fonction" im französischen.

Scheinbar ist diese Ansicht veraltet(?)... MFH 07:45, 10. Mär 2005 (CET)

Definitionsbereich beim Beispiel der Partiellen Funktion

Im Original steht

$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad g(x):={\sqrt {x}}$

Allgemein gilt

Eine Funktion_(Mathematik) wird durch eine Definitionsmenge, die auf eine Wertemenge unter Berücksichtigung einer bestimmten Abbildungsvorschrift abbgebildet wird, charakterisiert. Also $f:D\to W,\;\;x\mapsto f(x)$

Die Definitionsmenge bezeichnet dabei die Menge aller Werte, für die f(x) definiert ist, sowie die Wertemenge alle Werte bezeichnet, die durch Anwendung der Abbildungsvorschrift auf die einzelnen Elemente der Definitionsmenge entstehen.

Anwendung auf die zitierte Stelle

Im besprochenen Fall der Funktion g(x) wird die Menge der Rellen Zahlen auf die Menge der Reellen Zahlen abgebildet. Kann dies nach obiger Definition sein? Nein, da die Wurzelfunktion - wie richtig im Original beschrieben - nicht für negative Einsetzungen definiert ist. Es ist also nicht $\mathbb {R}$ sondern $\mathbb {R} _{0}^{+}$ die richtige Definitionsmenge. Ebenso entsteht als Wertemenge nicht $\mathbb {R}$ sondern $\mathbb {R} _{0}^{+}$.

Fazit

Die Funktion g(x) muss so definiert werden: $g:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},\quad g(x):={\sqrt {x}}$

Damit kann man aber nicht mehr über eine partielle Funktion sprechen, da es für alle Elemente der Definitionsmenge einen zugordneten Wert in der Wertemenge gibt. Weiter lässt sich sagen: Es gibt in der Mathematik grundsätzlich keine Funktionen, die zwar eine Definitionsmenge haben, jedoch mindestens ein Element der Definitionsmenge keinem Element der Wertemenge zugeordnet ist. Der Begriff der partiellen Funktion ist somit in der Mathematik nicht gerechtfertigt.

Der Begriff der Partiellen Funktion

Man sollte bei der Definitionsart einer Funktion folgende grundsätzliche Unterscheidungen bedenken:

- Zum einen wäre da der maximale Definitionsbereich $D_{\max }$, der zu einer Funktion eine eindeutige Urmenge beschreibt. Diese Menge besteht aus allen Elementen, mit denen die Abbildungsvorschrift so durchgeführt werden kann, dass keine mathematisch undefinierte Operation auftritt. Beispielsweise ist das Ziehen einer Wurzel aus einer negativen Zahl im Reelen mathematisch ebenso undefiniert wie die Division durch Null.

- Zum anderen muss man sich über das Anwendungsgebiet, in dem mit Hilfe der Mathematik ein Problem gelöst werden soll, Gedanken machen. Betrachtet man das Beispiel der Flächenberechnung eines Quadrates durch eine gegebene Seitenlänge x, so liefert die Mathematik folgende Funktion A(x), mit der man dieses Problem löst: $A(x)=x^{2}$ Zwar gilt hier, losgelöst von der Anwendung, $D_{\max }=\mathbb {R}$, jedoch kommen in der Realität keine negativen Seitenlängen vor. Sinnvollerweise definiert man A(x) dann mit $D=\mathbb {R} _{0}^{+}$. In diesem Fall weicht also der maximale Definitionsbereich vom auf das Problem bezogenen Definitionsbereich ab.

Im Hinblick auf diese beiden unterschiedlichen Definitionsarten kann man die Funktion A(x) als partiell bezeichnen, da sie sich nicht ganz $D_{\max }$ bedient sondern vielmehr Teilmenge davon ist.

Redirect?

Da dieser Artikel nur einen Aspekt partieller Funktionen zum Thema hat, schlage ich vor, ihn in den Artikel Partielle Funktion einzuarbeiten, und dann zu einem redirect zu machen. Das ist auch in Anbetracht der Kürze beider Artikel gerechtfertigt.

Die saubere Wortwahl ist in diesem Zusammenhang besonders wichtig. Wir wollen ja nicht Verwirrung stiften, sondern Begriffe klären. Ich bin also dafür, immer von einer partiellen Funktion zu sprechen, wenn eine gemeint ist, und die Schreibweise für Funktionalitäten nicht zu mißbrauchen. Eine Funktion ist total per Definitionem. Es hat also keinen Zweck, eine Funktion als total zu bezeichnen. Eine partielle Funktion ist nicht eine Funktion, die partiell ist, sondern etwas anderes. Eine partielle Funktion kann total sein, das heisst eine Funktion sein. Das ist dann der Fall, wenn sie überall definiert ist.

Wer meint, der Begriff partielle Funktion sei überflüssig, möge gerne mal den Begriff der Partiell-rekursiven Funktion mit (totalen) Funktionen modellieren. Viel Spass!--AlfonsGeser 19:12, 12. Mai 2008 (CEST)

Wurzelfunktion - modifizieren ?

Ich würde vorschlagen bei der Wurzelfunktion auch noch den Betrag hinzuzufügen, dann ist es vielleicht eindeutiger. Isomorphismus 16:11, 21. Mai 2008 (CEST)

Danke, Isomorphismus. Du bestätigst, was ich oben gesagt habe. Die Notation wird mißbraucht, und das rächt sich. Tatsächlich war hier nicht eine Funktion mit ganz $\mathbb {R}$ als Definitionsbereich gemeint, sondern eine partielle Funktion. Was aber da steht, ist eine nicht-wohldefinierte Definition für eine (totale) Funktion.--AlfonsGeser 22:39, 23. Mai 2008 (CEST)