Diskussion:Umordnung von Reihen

Umordnung von Reihen

Erstmal Danke für das Anlegen dieses Artikels. Ich denke, wir sollten ihn aber nach Umordnung (Reihen) o.ä. verschieben, da es auch für mich als Mathematiker etwas anmaßend ist das Lemma "Umordnung" nur aus Sicht der Reihen (oder sogar der Mathematik) darzustellen.

Du schreibst weiter: der Schwerpunkt dieses Artikels ist die Umordnung von Reihen in unendlich-dimensionalen Räumen. OK, aber dies ist eine sehr starke Einschränkung und zu einseitige Darstellung. Es fehlt jede Darstellung über Umordnung reeller bzw. komplexer Reihen, besonders der weit entwickelten und fruchtbaren Umordungstechniken von Euler, Markov und Kummer.--Skraemer 23:48, 30. Mai 2008 (CEST)

Für den reellen und endlich-dimensionalen Fall verweise ich bereits in der Einleitung auf die Artikel Riemannscher Umordnungssatz und Steinitzscher Umordnungssatz, und diese sind auch im Siehe auch Abschnitt aufgeführt. Ferner gehe ich in einem eigenen Abschnitt ja auch kurz auf den endlich-dimensionalen Fall ein. Eine Trennung dieses Artikels von den anderen beiden halte ich für geboten, da dieser Artikel einen funktionalanalytischen Schwerpunkt hat, während die erstgenannten eher zur klasssichen Analysis gehören. Ich habe die Einleitung erweitert, um das noch einmal klar zu sagen. Ich hoffe, dass die Einordnung dadurch schlüssiger geworden ist.--FerdiBf 10:53, 1. Jun. 2008 (CEST)

OK, aber trotzdem sollte der Artikelname von "Umordnung" nach "Umordnung XXX" verschoben werden, da du ja nicht alle Aspekte der Umordung in diesem Artikel behandeln möchtest. Ein ganz wesentlicher Aspekt fehlt: Umordnung von Reihen (bes. über R und C) beschäftigt sich nicht nur mit der Frage der Umordnung bei bedingt konvergenten Reihen (verschiedene Reihensummen möglich), sondern zu großen Teilen auch mit der Umordnung von absolut konvergenten Reihen. z.B. um die Konvergenz zu beschleunigen, die Summe der Reihe in symbolischer Form zu gewinnen oder Querverbindungen mit Kettenbrüchen herzustellen. Techniken der Umordnung spielen daher in der Zahlentheorie und Differenzenrechnung eine beachtliche Rolle. Durch Umordnungs-Methoden gelang es Roger Apéry 1978 die Irrationalität von

$\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots$

zu beweisen.--Skraemer 11:40, 1. Jun. 2008 (CEST)

OK: Umordnung (Reihen) --FerdiBf 19:48, 2. Jun. 2008 (CEST)

OK, die Verschiebung ist so erstmal OK. Trotzdem sollte der Artikel ausgebaut werden. Der Satz Es geht dabei um die Frage, welche Grenzwerte der Reihen sich durch Umordnung der Summanden, d.h. durch Änderung ihrer Reihenfolge, ergeben können ist nur ein Aspekt der Umordnung, siehe oben. Wichtig ist auch die Frage, wie bedingt konvergente Reihen unter Beibehaltung ihrer Summe umgeordnet werden können. Der Aspekt der Umordnung wird unter Reihe (Mathematik) bislang nicht behandelt. In der englischen Wikipedia ist dieses Lemma zwar wesentlich ausführlicher dargestellt, aber auf Umordnung wird hier (noch) nicht eingegangen.--Skraemer 22:53, 2. Jun. 2008 (CEST)

Die Umordnung bedingt-konvergenter Reihen mit dem Ziel der Konvergenzbechleunigung betrifft wohl in erster Linie reelle oder komplexe Reihen. Daher gehört eine solche Erweiterung vielleicht eher in Steinitzscher Umordnungssatz. Ich habe leider keine passende Literatur zur Hand. Ich würde mich freuen, wenn Du da etwas machen könnetst.--FerdiBf 21:56, 3. Jun. 2008 (CEST)

Artikelkopf

Der Begriff unendliche Summen ist nicht erklärt, nicht selbsterklärend und nicht verlinkt. Im verlinkten Artikel Reihe (Mathematik) sind Reihen dagegen nicht als unendliche Summen bzw. Summen mit abzählbar unendlich vielen Summanden, sondern als Folgen von Partialsummen einer Folge definiert.--Sigma^2 (Diskussion) 12:06, 17. Sep. 2022 (CEST)

Hallo Sigma^2, die Begriffe unendliche Summe und Reihe sind äquivalent. Sollte man das im Artikel Reihe (Mathematik) besser darstellen? Eine unendliche Summe meint also auch blos den Grenzwert einer Folge von Partialsummen.--Christian1985 (Disk) 12:29, 17. Sep. 2022 (CEST)

Es gibt eine Weiterleitung von 'unendliche Summe' auf den Artikel Reihe, in dem aber der Begriff 'unendliche Summe' nicht auftaucht. Solche Weiterleitungen sind völlig wertlos. Mathematiker, die in der Wikipedia schreiben, müssen berücksichtigen, dass es auch Nichtmathematiker gibt. 'Unendliche Summe' könnte aus naiver Sicht auch Summe mit 'unendlichem Wert' bedeuten. Ja, man sollte es im Artikel Reihe besser darstellen und man könnte im Artikelkopf von 'Summen mit abzählbar unendlich vielen Summanden' sprechen. --Sigma^2 (Diskussion) 12:57, 17. Sep. 2022 (CEST)

Ich habe zumindest mal die Weiterleitung unendliche Summe in der Einleitung erwähnt. --Christian1985 (Disk) 13:56, 17. Sep. 2022 (CEST)

Konvergenzbegriffe

• Im Artikel Reihe (Mathematik) ist das Symbol $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ nicht als Symbol für die Summe mit abzählbar unendlich vielen Summanden, sondern nur für den Grenzwert der Partialsummen eingeführt, falls dieser existiert, insofern passen die Artikel nicht zusammen.
• Die verkürzte Notation $(x_{n})_{n}$ für $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist nicht erklärt.
• Das Symbol $S(\mathbb {N} )$ ist nicht erklärt. (nicht signierter Beitrag von Sigma^2 (Diskussion | Beiträge) 12:45, 17. Sep. 2022 (CEST))

• Das Symbol $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ meint in beidne Artikeln sowohl die Folge der Partialsummen als auch deren Grenzwert, falls er existiert.
• Das Symbol $S(\mathbb {N} )$ bezeichnet die Permutationsgruppe über den natürlichen Zahlen.

Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 14:01, 17. Sep. 2022 (CEST)

.Danke für das Aufdecken der fehlenden Informationen und danke für das Einfügen!--FerdiBf (Diskussion) 09:00, 18. Sep. 2022 (CEST)

Weiterleitung von "Bedingte Konvergenz"

Es gibt eine Weiterleitung von "Bedingte Konvergenz" auf diesen Artikel, ohne dass dieser Artikel den Begriff der bedingten Konvergenz klärt oder erklärt. Die Verneinung von "unbedingter Konvergenz" in der jetzigen Beschreibung ist es jedenfalls nicht, sonst wäre z. B. eine Reihe, die für keine Umordnung konvergiert, eine bedingt konvergente Reihe. Es muss wohl richtig heißen: Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, falls ... , anderenfalls heißt sie bedingt konvergent.--Sigma^2 (Diskussion) 13:21, 11. Okt. 2022 (CEST)

Was soll bedingte Konvergenz denn eigentlich sein? Dieser Artikel beantwortet die Frage nicht und suggeriert, wie von Sigma^2 erwähnt, das sei "nicht unbedingt". Das ist sicher Quatsch. Ich würde "Bedingte Konvergenz" löschen.--FerdiBf (Diskussion) 19:41, 11. Okt. 2022 (CEST)

Ich habe eben die Weiterleitung Bedingte Konvergenz umgebogen. Sie zeigt nun wie bedingt konvergent schon länger auf Steinitzscher Umordnungssatz. Dort wird der Begriff erklärt. In anderen Sprachversionen der Wikipedia gibt es eigene Artikel zu dem Begriff. --Christian1985 (Disk) 20:05, 11. Okt. 2022 (CEST)

Ok. Ich habe noch einmal nachgelesen, "bedingt konvergent" bedeutet "konvergent und nicht unbedingt konvergent". Du hast Recht, das wird in "Steinitzscher Umordnungssatz" erklärt, hätte natürlich auch hier aufgenommen werden können. Allerdings: In anderen Wikipedien ist "bedingt konvergent" definiert als "konvergent und nicht absolut konvergent". In endlichdimensionalen Räumen ist das dasselbe, wie aus dem steinitzschen Umordnungssatz folgt, in unendlichdimensionalen hingegen nicht (Satz von Dvoretzky-Rogers). Daher ist der Link bis auf weiteres gut gewählt. Danke dafür! Ein eigener Artikel wäre sicher auch sinnvoll, trotz der zu befürchtenden Redundanzen zu anderen Artikeln.--FerdiBf (Diskussion) 07:43, 12. Okt. 2022 (CEST)