Diskussion:Verbindungsgerade

Begriffsklärung

Es handelt sich hier nicht wirklich um 3 verschiedene Begriffe, sondern die ersten beiden Beispiele sind Anwendungen des dritten und sollten deshalb als Beispiele in den Artikel Verbindungsgerade (Geometrie) eingebaut werden, den man dann zu Verbindungsgerade verschieben kann.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 10:43, 3. Jul. 2015 (CEST)

Dazu kann ich nichts sagen. Die BKL war nicht meine Idee.--Schojoha (Diskussion) 18:58, 3. Jul. 2015 (CEST)

Die BKS wurde nun entsprechend überschrieben. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:03, 7. Jul. 2015 (CEST)

(V2)

Die Formulierung der Eindeutigkeit durch die Formulierung

$\operatorname {card} (\{h\in G\colon p_{1}Ih\land p_{2}Ih\})\leq 1$,

die mit Mächtigkeiten von Mengen arbeitet, kommt mir seltsam vor. Wird dies in der Literatur so gehandhabt? Normalerweise versucht man in der Sprache der verwendeten Struktur zu bleiben. Dass es höchstens ein solches h gibt, würde man normalerweise eher z.B. so ausdrücken:

$\forall h_{1},h_{2}\in G:((p_{1}Ih_{1}\land p_{2}Ih_{1})\land (p_{1}Ih_{2}\land p_{2}Ih_{2}))\rightarrow h_{1}=h_{2}$

oder, da g nach (V1) schon gegeben ist:

$\forall h\in G:(p_{1}Ih\land p_{2}Ih)\rightarrow h=g$.

--Digamma (Diskussion) 16:18, 7. Jul. 2015 (CEST)

Antwort auf die obige Frage: Doch! Dies kann man so sagen. Zumindest wird es in einigen Quellen der neueren Zeit so gehandhabt. Bei Schröder (Bd. 2, S. 2) etwa wird das Verbindungsaxiom durch die Forderung beschrieben, dass für zwei Punkte $A,B$

$|A^{*}\cap B^{*}|=1$

gelten soll, wobei mit $A^{*}$ für einen Punkt $A$ die Menge der $g$, die mit ihm inzidieren, bedeutet.

Natürlich muss man sehen, dass das heutige Verständnis von Geometrie weitaus umfassender ist als (etwa) noch zu Hilberts Zeiten, mE nicht zuletzt durch die Entwicklung in der endlichen Geometrie. Hier drängt sich das Hantieren mit Mächtigkeiten geradezu auf: Bspw. gelangt man mit Mächtigkeitsbetrachtungen - oft unter Anwendung der Methode der doppelten Abzählung - sofort zu notwendigen Anzahl- und Teilbarkeitsbedingungen für die behandelten Inzidenzräume. Als klassisches Beispiel hierfür kann etwa der Satz gelten, dass ein Blockplan mit den Parametern $v,r,b,k$ die Gleichung $vr=bk$ erfüllen muss. Oder auch, dass ein endlicher Inzidenzraum höchstens dann eine projektive Ebene sein kann, wenn er $n^{2}+n+1\;(n=2,3,4,\ldots )$ Punkte und genauso viel Geraden hat.

Allerdings verstehe ich Deine Frage auch als Hinweis, (V1) und (V2) noch einmal in Worte zu kleiden. Werde ich dann in Bälde machen!

--Schojoha (Diskussion) 19:36, 8. Jul. 2015 (CEST)

Erstmal danke für das Ergänzen der Formulierungen in Worten.

Zum andern: Ich bezweifle nicht, dass es sinnvoll ist, mengentheoretische Überlegungen anzuwenden. Es ist aber eine andere Sache, in welcher Sprache die Axiome formuliert werden. Irgendwie bin ich da anscheinend puristisch. Liegt wohl an meiner "Sozialisation" in der mathematischen Logik. --Digamma (Diskussion) 22:19, 8. Jul. 2015 (CEST)

Ja, da kann ich nicht widersprechen: Nicht immer sehen die Geometer dies serh puristisch und ich bin ein wenig davon angesteckt. Allerdings denke ich, aus dem Artikel wird dann im Kontext klar, was gemeint ist.

Mehr stört mich eine Sache, die mir soeben noch auffiel, nämlich die Doppelverwendung des Buchstaben $P$: Oben - auch im Bild - für einen euklidischen Punkt, dagegen unten für die Trägermenge der Inzidenzstruktur. Was meinst Du: Sollen wir das so lassen oder wird das einen weniger kundigen Leser, etwa jenen in der Diskussion erwähnten Siebtklässler, doch zu sehr irritieren?

--Schojoha (Diskussion) 23:05, 8. Jul. 2015 (CEST)

Ich kann die Punkte – auch im Bild – problemlos umbenennen. Sollen wir, wie derzeit im Abschnitt zum hilbertschen Axiomensystem, $A$ und $B$ verwenden oder hättest du lieber $p_{1}$ und $p_{2}$ (wobei in der euklidischen Geometrie Punkte normalerweise groß geschrieben werden, also $P_{1}$ und $P_{2}$)? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:06, 9. Jul. 2015 (CEST)

Hallo Kollegen! Also wenn ich es recht bedenke und mir die üblichen Bezeichnungen in Geometriebüchern anschaue, wäre vermutlich am besten, die Punkte einheitlich in Großbuchstaben wie $A,B,P,Q,P_{1},P_{2},\ldots$, die Geraden in Kleinbuchstaben wie $a,g,h,g_{1},g_{2},\ldots$ und die Punktmenge selbst etwa mit Sonderbezeichnern wie $\mathbb {E} ,\mathbb {P} ,\ldots$ oder ${\mathcal {E}},{\mathcal {P}},\ldots$ o. ä. zu bezeichnen. Oder?--Schojoha (Diskussion) 18:10, 10. Jul. 2015 (CEST)

$\mathbb {E}$ und $\mathbb {P}$ würde ich jetzt nicht nehmen, weil die in der Stochastik vorbelegt sind. Ich weiß nicht, welche Notationskonventionen in der Inzidenzgeometrie vorherrschen. Mach einfach, wie du für am besten hältst, ich passe dann ggf. die Beschriftung im Bild an. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:47, 11. Jul. 2015 (CEST)

Ich habe mich nun entschlossen, die Punkte in Großbuchstaben zu überführen, die Punktmenge selbst - gemäß dem Skript von Eric Moorhouse , das im Artikel Inzidenzgeometrie verlinkt ist - mit ${\mathfrak {P}}$ und Teilmengen daraus mit ${\mathfrak {P}}_{0}$ bezeichnet, das Hüllensystem der Teilräuume mit $\tau$. Bei dem Hüllensystem habe ich keine Vorlage gefunden. Schaut bitte mal drüber, ob alles konsistent ist. Die Beschriftung im Bild braucht mE nicht angepasst werden. Die Bezeichnung der Gerademenge habe ich belassen, da sie mW durchaus üblich ist, wobei man oft auch ein fettgedrucktes $G$ findet. --Schojoha (Diskussion) 21:20, 12. Jul. 2015 (CEST)--Schojoha (Diskussion) 21:41, 12. Jul. 2015 (CEST)

Berechnung

Wenn die Punkte $P$ und $Q$ heißen, wäre es dann nicht logischer, ihre Koordinaten mit $(x_{P},y_{P})$ und $(x_{Q},y_{Q})$ zu bezeichnen statt mit $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$? --Digamma (Diskussion) 16:30, 7. Jul. 2015 (CEST)

Kein Problem. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:35, 7. Jul. 2015 (CEST)

Das ging ja fix. Danke und Grüße zurück. --Digamma (Diskussion) 16:47, 7. Jul. 2015 (CEST)

Nachdem das geklärt ist, würde ich die erste Gleichung, Gleichheit der Quotienten, weglassen, denn hier hätte man das Problem, dass im Falle von x_P=x_Q durch 0 geteilt wird. Diese Gleichung benötigt man nicht, die zweite ist völlig ausreichend und auch für den Fall x_P=x_Q richtig.--FerdiBf (Diskussion) 15:41, 15. Jul. 2015 (CEST)

Ok. Ich hatte auch schon mit diesem Gedanken gespielt, sie aber aufgrund der besseren Anschaulichkeit noch drinnen gelassen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:48, 15. Jul. 2015 (CEST)