Diskussion:Vorzeichenwechsel

Extremum

Hallo Quartl,

du hast geschrieben: "Weist $f'$ bei $x_{0}$ keinen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt $f$ dort auch kein Extremum." mit Verweis auf Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, 2004, S. 144. Das steht da wirklich so, ist aber ziemlich sicher falsch. Leider wird die Aussage im Buch nicht bewiesen. Und leider ist die Seite in dem Buch, auf der Definition von "lokales Minimum" und "lokales Maximum" steht, nicht zugänglich. Möglicherweise benutzen Luh und Stadtmüller ja eine sehr unübliche Definition, so dass die Aussage richtig wird. Die Aussage ist aber ganz sicher falsch, wenn man die übliche Definition von "lokales Minimum" bzw. "lokales Maximum" verwendet, wie sie auch bei uns in Wikipedia steht:

$f$ hat an der Stelle $x_{0}\in U$ ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall $I=(a,b)$ gibt, das $x_{0}$ enthält, so dass $f(x_{0})\leq f(x)$ für alle $x\in I\cap U$ gilt;

Nach dieser Definition hat zum Beispiel die Nullfunktion an jeder Stelle ein lokales Minimum. Ihre Ableitung ist aber konstant Null, hat also sicher keinen Vorzeichenwechsel.

Die Aussage ist aber auch dann falsch, wenn man für ein lokales Minimum fordert

"... wenn es ein Intervall $I=(a,b)$ gibt, das $x_{0}$ enthält, so dass $f(x_{0})<f(x)$ für alle $x\in I\cap U$ mit $x\neq x_{0}$ gilt."

Ein Gegenbeispiel ist die Funktion $f$ mit

$f(x)=0$ für $x=0$ und $f(x)=x^{2}(2+\sin(1/x))$ für $x\neq 0$.

Diese Funktion hat an der Stelle 0 ein lokales Minimum weil für alle $x\neq 0$ gilt: $f(x)\geq x^{2}>0$. Die Ableitung hat an der Stelle 0 den Wert 0 und für $x\neq 0$ gilt:

$f'(x)=2x(2+\sin(1/x))+x^{2}\cdot (-1/x^{2})\cos(1/x)=2x(2+\sin(1/x))-\cos(1/x)$.

Diese Funktion hat sicher keinen Vorzeichenwechsel bei 0, weil der erste Summand für $x\to 0$ beliebig klein wird, während der Kosinus-Term in jeder Umgebung der 0 unendlich oft zwischen -1 und +1 wechselt.

Man müsste also selbst bei dieser unüblichen Definition zusätzliche Bedingungen stellen. Möglicherweise genügt es, wenn man zusätzlich voraussetzt, dass $f'$ stetig ist und bei $x_{0}$ eine isolierte Nullstelle hat. Möglicherweise meinen die Autoren aber auch mit der Voraussetzung nicht wirklich "$f'$ hat bei $x_{0}$ keinen Vorzeichenwechsel", sondern so etwas wie einen "Vorzeichen-Nicht-Wechsel" von plus nach plus oder von minus nach minus, also:

• es existiert ein $\varepsilon >0$, sodass $f(x)>0$ für alle $x\in (x_{0}-\varepsilon ,x_{0})$ und $f(x)>0$ für alle $x\in (x_{0},x_{0}+\varepsilon )$ gilt, oder
• es existiert ein $\varepsilon >0$, sodass $f(x)<0$ für alle $x\in (x_{0}-\varepsilon ,x_{0})$ und $f(x)<0$ für alle $x\in (x_{0},x_{0}+\varepsilon )$ gilt.

Aber das ist Spekulation. --Digamma (Diskussion) 15:24, 14. Mär. 2014 (CET)

Ja, du hast recht. Ich habe die Aussage ersatzlos gestrichen (siehe auch die QS). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:42, 14. Mär. 2014 (CET)

@Digamma:"Möglicherweise genügt es, wenn man zusätzlich voraussetzt, dass $f'$ stetig ist und bei $x_{0}$ eine isolierte Nullstelle hat." Das reicht natürlich. Und das ist auch mE des Pudels Kern: Die Definition eines Vorzeichenwechsels an einer Stelle ist nur sinnvoll, wenn die Stelle kein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Ist sie das nämlich, dann kann dort alles passieren. Da in der Schul- und Ökonomenmathematik solche Funktionen nicht vorkommen, wird meiner Vermutung nach auch nur dort der VW an einer Stelle definiert.--Frogfol (Diskussion) 17:46, 14. Mär. 2014 (CET)

Das Kriterium für ein lokales Minimum bzw. Maximum selbst kommt durchaus auch in Analysis-Büchern vor, z.B. in Barner; Flohr: Analysis I (in meiner Ausgabe. der 4. Auflage von 1991 auf Seite 271). Dort steht als Satz:

Eine differenzierbare Funktion $f$ hat in einem inneren Punkt $a$ von $D$ ein lokales Maximu, wenn es eine Umgebung $U$ von $a$ gibt derart, daß gilt

$f'(x)\geq 0$ für $x\in U$ und $x<a$

$f'(x)\leq 0$ für $x\in U$ und $x>a$.

Das Kriterium als solches macht schon auch allgemein Sinn. Es ist halt nur hinreichend und nicht notwendig. Und es ist halt nicht anwendbar, wenn die Nullstelle der Ableitung nicht isoliert ist. Genauso ist es mit dem Begriff "Vorzeichenwechsel". Er impliziert eben, dass die Nullstelle isoliert ist.

Nett ist, was Barner/Flohr in der nachfolgenden Bemerkung schreiben: "Ob an einer kritischen Stelle $a$ tatsächlich ein Extremum vorliegt, hat man letzten Endes durch Zurückgehen auf die Definition zu entscheiden. Oft erlaubt auch die Fragestellung selbst aufgrund ihrer geometrischen oder physikalischen Herkunft eine unmittelbare Antwort. Dagegen ist die (sehr beliebte) formale Anwendung hinreichender Kriterien nicht selten recht aufwendig und deshalb wenig empfehlenswert." --Digamma (Diskussion) 20:11, 14. Mär. 2014 (CET)

Also das Schulbuch Lambacher-Schweizer fordert, dass die Fungktion beliebig oft differenzierbar sein muss, wodurch zumindest schon einmal die Stetigkeit der Ableitung gesichert ist. Im Übrigen habe ich das VZWK in Schülbüchern immer so verstanden, dass implizit unterstellt wird, dass sich die Funktion bzw. ihre Ableitung in einer Umgebung von $x_{0}$ "hinreichend gutartig" verhält, d.h. in dieser Umgebung keine weiteren kritischen Punkte vorliegen und/oder die Schwankung begrenzt ist, da das Kriterium offensichtlich keinen Sinn macht.--Kmhkmh (Diskussion) 20:18, 14. Mär. 2014 (CET)