Diskussion:Wärmeleitungsgleichung

Diese Seite soll die mathematischen Aspekte behandeln. Sie soll die DGL als mathematisches Objekt behandeln (natuerlich mit der Anwendung)

Matthy Fri Jul 23 11:35:43 CEST 2004

Was sich sehr gut machen würde, wäre eine kleine Graphen-Serie zur zeitlichen Entwicklung einer Theta-Funktion als Ausgangszustand, um den "Temperaturfluss" anschaulicher zu machen. --Nightstalker 15:16, 23. Jul 2004 (CEST)

Ich beschäftige mich von Berufs wegen mit Thermografie und werde aus der schön bunten Abbildung nicht schlau? Was ist das Heizungsrohr im Bild, welche Temperaturen, welche Zeiten? Wahrscheinlich sieht man auf die Wandung von innen und außen ist die viereckige Verstrebung fixiert und wirkt als Wärmesenke? superzar 19.1.2012 (nicht signierter Beitrag von 141.63.77.171 (Diskussion) 13:29, 19. Jan. 2012 (CET))

"inhomogen"

im Abschnitt "nichthomogene Gleichung" geht es um Medien, in denen Wärmequellen/-senken vorhanden sind, daher ist die rechte Seite der Gleichung nicht null. Die Bezeichnung "nichthomogenes Medium" ist dabei irreführend, man könnte denken es ginge darum dass a nicht konstant ist. Das ist wieder ein anderer Fall! (nicht signierter Beitrag von 130.89.211.63 (Diskussion) 13:53, 17. Okt. 2011 (CEST))

Laplace Gleichung???

Am Ende des ersten Absatzes: "geht die Gleichung in die Laplace-Gleichung über.", ist hier vielleicht eher das Fouriersche Gesetz gemeint? Das ist jedenfalls das was rauskommt, wenn man die WLG im stationären Zustand betrachtet.--Der ronny 21:33, 7. Dez. 2009 (CET)

Darstellung Fundamentallösung

Die Fundamentallösung sollte, um mit dem Artikel über die Fundameltallösung überein zu stimmen, besser G(x,t) statt u(x,t) genannt werden.

Kausalität

Es fehlt der Hinweis zur Akausalität. --217.65.27.16 15:53, 27. Jul 2005 (CEST)

Betrag bei 1-dim Fundamentallösung

Kann man den Betrag im 1-dim Fall nicht auch weglassen? Es ist doch IxI^2 = x^2 ?

link

Dieser Artikel ist für den mathematisch versierten Nutzer relativ nichtssagend. Hier wäre ein Link ins enlische Wikipedia angebracht (z.B. Dieser Artikel ist sehr knapp. Eine ausführliche Version gibt es im englischen Wikipedia ). Dieser sollte relativ prominent (ich schlage den Beginn der Seite vor) Plaziert werden, so dass er den Nachschlagenden sofort ins Auge fällt.

Frage an Schlesinger: Warum hast du ihn entfernt?????

Lösungen

Es sind Lösungen K(x, t) aufgeführt. Müßten es nicht Lösungen u(x, t) sein? Oder übersehe ich das etwas (was ggf. auch nicht aufgeführt ist)?

Herleitung der Wärmeleitungsgleichung

Eine Herleitung der Wärmeleitungsgleichung wäre interessant. --131.246.227.67 18:10, 29. Mär. 2009 (CEST)

Ist im englischen WP [1] gut dargestellt.--Herbertweidner 17:28, 28. Apr. 2009 (CEST)

Quellterm

So wie ich das im Studium der Thermodynamik gelernt habe, besitzt die allgemeine Form der Gleichung noch einen Quellterm ${\tilde {\dot {q}}}$.

$\rho c{\frac {\partial t}{\partial \tau }}=div(\lambda \,grad\,t)+{\tilde {\dot {q}}}$

mit den Variablen

• $\tau$ Zeit [s]
• $t$ Temperatur [K]
• $\lambda$ Wärmeleitfähigkei [W/(mK)]
• ${\tilde {\dot {q}}}$ Wärmequelldichte [W/m³]
• $\rho$ Dichte [kg/m³]
• $c$ Wärmekapazität [J/(kgK)]

In dieser Formulierung kann die Wärmeleitfähigkei prinzipiell auch temperaturabhängig sein und was ich für sehr wichtig halte, sie ist unabhängig von der Dimension (Geometie) des Körpers. (nicht nur eindimensional im Ort) --Visualiza 14:28, 14. Aug. 2009 (CEST)

Ich finde es auch wichtig, zumindest zu erwähnen, dass hier der Spezialfall mit konstanter Wärmeleitfähigkeit behandelt wird. Besser wäre eine allgemeine Formulierung. Hennui (Diskussion) (16:28, 29. Jul 2015 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Erfinder?

Wer hat denn diese Gleichung erfunden/als erstes hergeleitet?--Firechris 22:10, 25. Aug. 2011 (CEST)

Das wird wohl Fourier gewesen sein. --Rosentod 13:58, 17. Okt. 2011 (CEST)

Numerik

Zur numerischen Lösung seien vor allem zwei Methoden genannt: (Entsprechende eigenständige Wikipedia- Artikel existieren glaub ich schon, also reicht es ev. nur auf diese zu verlinken.)

Ein explizites Schema: FTCS (Forward in time, central in space)

${\frac {u_{j+1}^{i}+u_{j-1}^{i}-2u_{j}^{i}}{(\Delta x)^{2}}}=k{\frac {u_{j}^{i+1}-u_{j}^{i}}{\Delta t}}$

wobei der obere Index den Zeit- und der untere den Raumschritt bezeichnet. Stabil, falls $\Delta t/(\Delta x)^{2}\leq 1/2$.

Alternativ dazu: CTCS (Central in time, central in space), ebenfalls explizit

${\frac {u_{j+1}^{i}+u_{j-1}^{i}-2u_{j}^{i}}{(\Delta x)^{2}}}=k{\frac {u_{j}^{i+1}-u_{j}^{i-1}}{2(\Delta t)}}$ (nicht signierter Beitrag von 86.32.120.24 (Diskussion) 23:08, 2. Feb. 2012 (CET))

Dimension von H

Welche Dimension hat H?

Eigentlich sollte ein gebildeter Laie nach Lesen dieses Artikels in der Lage sein, die Frage zu beantworten, wie lange es z.B. dauert, bis ein stationärer Wasserkörper mit einem Volumen V und einer homogenen Temperatur T einen benachbarten stationären Wasserkörper gleichen Volumens mit einer homogenen Temperatur T-x um y K erwärmt hat. Hier habe ich jedoch erhebliche Zweifel. --Korrektor-170453 (Diskussion) 00:10, 22. Mär. 2013 (CET)

Meinst Du mit H die Fundamentallösung? Eine Funktion hat doch gar keine Dimension.--Christian1985 (Disk) 00:21, 22. Mär. 2013 (CET)

Ich bin auch gerade über die Dimensionsfrage gestolpert, sie ist teilweise berechtigt. Natürlich kann die Lösung beliebige Dimensionen haben, welche von den Anfangsbedingungen vorgegeben sind. Jedoch ergibt sich in der im Artikel gezeigten Darstellung ein Problem, das wohl auch in den meisten Quellen vernachlässigt wird. Der Koeffizient $a$ (Temperaturleitfähigkeit) hat die Dimension ${\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} }}$. Damit wird in der Lösung der Exponent der Exponentialfunktion richtigerweise dimensionslos. Der Ausdruck $(4\pi at)^{n/2}$ jedoch nicht! Nachdem wir die Thematik gerade in der Vorlesung behandelt haben, lässt sich das Problem einfach beheben: man geht von den Größen $t$ und ${\vec {x}}$ zu den dimensionslosen Größen ${\hat {t}}$ und ${\hat {\vec {x}}}$ mit $t=\tau {\hat {t}}$ und ${\vec {x}}=l{\hat {\vec {x}}}$ über. Wählt man $\tau$ und $l$ so, dass ${\frac {\tau a}{l^{2}}}=1$, dann verschwindet $a$ komplett aus der Differentialgleichung und damit auch aus der Lösung (mit dimensionsloser Zeit und Ort). Beim Übergang zu richtiger Zeit und Ort folgt wieder der bekannte Exponent, statt $(4\pi at)^{n/2}$ erhält man jedoch den Ausdruck $(4\pi {\frac {a}{l^{2}}}t)^{n/2}$, der nun (sinnvollerweise) dimensionslos ist. Natürlich kann man immer $l=1\mathrm {m}$ wählen, so dass $\tau ={\frac {1\mathrm {m} ^{2}}{a}}$ ist und ${\frac {a}{l^{2}}}$ den gleichen Zahlenwert wie $a$ hat, aber die Einheit ${\frac {1}{\mathrm {s} }}$. Kann das vielleicht jemand anschaulich in den Artikel einbauen? Denn ich vermute (oder weiß aus Erfahrung), dass viele die Lösungsformel einfach als gegeben nehmen und Werte einsetzen. Dann ist es nicht verwunderlich, wenn die Dimensionen am Schluss nicht passen. (nicht signierter Beitrag von 88.65.28.45 (Diskussion) 19:05, 10. Dez. 2013 (CET))

Ich verstehe das Problem nicht ganz. Der Faktor $(4\pi at)^{n/2}$ hat die Dimension $\mathrm {m} ^{n}$. Damit haben die Funktionswerte von $H$ die Dimension $1/\mathrm {m} ^{n}$. Das passt auch, weil $H$ eine Dichte ist. Wenn man dann die Fundamentallösung $H$ mit der Anfangswertfunktion $u_{0}({\vec {x}})$ multipliziert und dann über den Raum integriert, kürzen sich die $\mathrm {m} ^{n}$ im Nenner mit den $\mathrm {m} ^{n}$ des Volumenelements weg und das Integral hat dieselbe Dimension wie $u_{0}$.

Stimmt sorry, mein Fehler. (nicht signierter Beitrag von 88.65.28.45 (Diskussion) 22:05, 10. Dez. 2013 (CET))

Ungeniessbar

Die meisten Wärmeleitungsprobleme werden von Ingenieuren bearbeitet, und dort sind sie auch viel besser beschrieben. Speziell in amerikanischen Büchern. Wesentliche Teile der zugehörigen Physik (Randbedingungen) werden hier schnoddrig übergangen. Wiki ist einmal mit dem Anspruch angetreten, ein Volkslexikon zu sein. Hier lachen nur noch die Mathematiker. Der Artikel ist grauselig. (nicht signierter Beitrag von 84.128.85.164 (Diskussion) 02:08, 25. Mär. 2016 (CET))

Der Artikel heißt auch nicht "Wärmeleitung", sondern "Wärmeleitungsgleichung". Es geht also nicht um Wärmleitung (Physik), sondern um die Differentialgleichung, die "Wärmeleitungsgleichung" genannt wird, also um Mathematik. Reale Probleme der Wärmeleitung sollten dort behandelt werden und nicht hier.

Das soll nicht bedeuten, dass diese Artikel hier nicht verbessert werden kann. --Digamma (Diskussion) 11:15, 25. Mär. 2016 (CET)

Wobei man aber schon zugeben muss, dass die wichtigen Randwertprobleme im Artikel leider noch gar nicht angesprochen werden. Als Gebiet gibt es nur den $\mathbb {R} ^{n}$. -- HilberTraum (d, m) 15:54, 25. Mär. 2016 (CET)

Zur vierten Gleichung fehlt eine wesentliche Voraussetzung

Die vierte Gleichung lautet dT/dt = a(T)*Laplace(T). Ich schreibe sie mal eindimensional, d. h. ich ersetze den Vektor r durch die Ortsvariable x (eindimensional) dann wird es verständlicher. Jetzt lautet sie dT/dt = a(T)*d^2T/dx^2. Die Größe a(T) heißt Temperaturleitfähigkeit, und kann aus der Dichte rho, der Wärmeleitfähigkeit Lambda und der Wärmekapazität cp wie folgt berechnet werden: a(T) = lambda/(rho*cp(T)). Bezeichnenderweise darf in dieser Gleichung die Wärmeleitfähigkeit nicht von der Temperatur T (und auch nicht vom Ort x) abhängen. Wenn sie es dennoch tut, wird obige Gleichung falsch und verletzt den Energiesatz. Ich mache ein Beispiel, um das zu erklären. Wir betrachten eine Styroporschicht, die auf eine gleich dicke Stahlschicht zur Isolierung aufgeklebt sei. Wir wissen, dass Styropor eine niedrige Wärmeleitfähigkeit hat. Da es sehr leicht ist, hat es auch eine niedrige Dichte. Stahl hat eine deutlich höhere Wärmeleitfähigkeit, aber auch die Dichte ist deutlich höher. Die Temperaturleitfähigkeit beider Werksstoffe hat daher eine ähnliche Größenordnung. Wir wollen für das Beispiel annehmen, dass sie exakt gleich sei, und es sei auch keine weitere Temperaturabhängigkeit vorhanden. Damit entsteht sogar dT/dt = a*d^2T/dx^2. In unserem Beispiel sei die Stahlunterseite mit 100°C und die Styroporoberseite mit 0°C durch äußere Randbedingungen fixiert. Nun wollen wir den eingeschwungenen Zustand betrachten und die Temperatur in der Mitte an der Grenzschicht zwischen Stahl und Styropor berechnen. Die linke Seite obiger Gleichung wird dann 0, d. h. die zweite Ableitung der Temperatur nach dem Ort verschwindet identisch. Die Lösung ist also eine lineare Funktion in x mit konstantem Temperaturgradienten, die bei T=100°C auf der Stahlunterseite beginnt und bei 0°C auf der Styroporoberseite endet. In der Mitte herrschen also genau 50°C. Interessant ist, dass der Wärmestrom in den Stahl hinein jetzt sehr viel größer ist als der Wärmestrom aus dem Styropor heraus. Diese Lösung verletzt daher offensichtlich den Energiesatz. Sie widerspricht auch der praktischen Erfahrung, denn jeder weiß aus Erfahrung, dass an der Grenzschicht zwischen Stahl und Styropor wegen der Isolierwirkung des Styropors eine Temperatur sehr nahe bei 100°C herrschen muss. Die Voraussetzung einer konstanten und überall gleich großen Wärmeleitfähigkeit ist für die Gültigkeit der eingangs genannten Formel also wesentlich, und die Ergebnisse, die sie produziert, werden falsch, wenn man dies nicht beachtet. --Elektrony (Diskussion) 10:29, 4. Dez. 2017 (CET)

Welche Gleichung meinst du? Soweit ich sehe, wird im ganzen Artikel $a$ als konstant vorausgesetzt? -- HilberTraum (d, m) 12:06, 4. Dez. 2017 (CET)

Stimmt. Ich habe mich verklickt und bin versehentlich unter Wärmeleitungsgleichung gelandet. Der Fehler ist im Artikel Wärmeleitung. Ich kopiere den Beitrag dorthin. Hier kann es entfernt werden. --Elektrony (Diskussion) 14:08, 6. Dez. 2017 (CET)