Diskussion:Wiederkehrsatz

Einwand

Ich habe einen grundsätzlichen Einwand gegen die Schlussfolgerung, dass eine Entropieerniedrigung prinzipiell nicht ausschliessbar ist: Das Mischungsproblem

Es sei S_1 die Entropie der ungemischten Gase; W_1 die Anzahl der möglichen Mikrozustände der ungemischten Gase; V_1 das zugehörige Phasenraumvolumen mit W_1 möglichen Punkten. Dieses Phaserumvolumen enthält also die Phasenraumpunkte V_1.1., V_1.2 usw. bis V_1.W_1. Es sei ferner S_2 die Entropie des gemischten Gases; W_2 die Anzahl der möglichen Mikrozustände des gemischten Gases; V_2 das zugehörige Phasenraumvolumen mit W_2 möglichen Punkten. Dieses Phaserumvolumen enthält also die Phasenraumpunkte V_2.1., V_2.2 usw. bis V_2.W_2. Die Mischung ist ein irreversibler Prozess: S_1 = kB * ln (W_1) wird irreversibel in den Zustand S_2 = kB * ln(W_2) überführt. Folglich wird auch das Phasenraumvolumen V_1 irreversibel nach V_2 abgebildet. Da es ein irreversibler Vorgang ist, gilt S_2 > S_1, weil eben W_2 > W_1 ist. Da die Thermodynamik von der Dynamik der Mikrozustände absieht und sich lediglich die Anzahl der möglichen Variationen interessiert, müssen wir nun zwei Fälle unterscheiden. Fall A: Einige oder alle Phasenraumpunkte V_1.1., V_1.2 usw. bis V_1.W_1 sind in V_2.1., V_2.2 usw. bis V_2.W_2 enthalten. Fall B: Alle Phasenraumpunkte V_2.1., V_2.2 usw. bis V_2.W_2 unterscheiden sich vom ungemischten Zustand. Das Wiederkehrargument trifft nur den Fall A. Aber auch in diesem Fall wäre das temporäre Erreichen von „ungemischten“ Zuständen keine erneute Selbstbeschränkung des Systems auf W_1 mögliche Mikrozustände. Von der eventuellen temporären Wiederkehr bliebe die Anzahl der Variationen W_2, und damit selbstverständlich auch S_2 völlig unberührt. Eine Abnahme der Entropie = Abnahme der Variationen der Mikrozustände ist und bleibt also prinzipiell unmöglich. In der Regel (ich kann das jetzt nicht streng mathematisch beweisen) sollte jedoch ohnehin der Fall B vorliegen. Wenn man z.B. das Volumen eines Gases nur infinitesimal erhöht, so dass sich lediglich die Anzahl der möglichen Variationen um 1 erhöht, sollten sich alle nun möglichen Phasenraumpunkte ebenfalls infinitesimal von den vorhergehenden unterscheiden. Eine Erhöhung der möglichen Phasenraumpunkte sollte m.E. keine maßerhaltende Abbildung sein. Rolf_Koehne@web de --121.203.64.145 14:57, 6. Aug. 2012 (CEST)

Das ist ja toll - ich dachte bisher immer, für meine Wohnung ist die Chaostheorie ausschlaggebend, aber das sind ja ganz neue Erkenntnisse ;-) Mich würde interessieren, ob dieser Satz auch "stimmt", soll heißen: ist das eine Exotentheorie oder anerkannte Wissenschaft? In welchem Kontext findet er Verwendung? --elya 07:52, 27. Jan 2005 (CET)

Das ist Wissenschaft um 1900, aber heute noch relevant. Es geht um Zeit, Determinismus, Zufall und andere gewichtige Dinge. Das Spannungsfeld ist ungefähr klassische Dynamik (Newton), Thermodynamik, Quantenphysik, deterministisches Chaos, Selbstorganisation. Letztendlich geht es darum, ob gerichtete Zeit existiert oder eine Illusion ist. Die Gesetze der klassischen Physik (einschließlich Relativitätstheorie) sind zeitlich reversibel, die der Thermodynamik nicht.

Ich bin bei dem Thema nur ein interessierter Laie. Ich habe einen neuen Artikelanfang formuliert, mir fehlt aber die Kompetenz, ihn vernünftig weiterzuschreiben. Ich stelle das mal zur Diskussion:

Nach dem Poincaréschen Wiederkehrsatz, den Henri Poincaré 1899 aufstellte, kehren geschlossene dynamische Systeme innerhalb endlicher Zeit wieder in ihren Ausgangszustand zurück. Beispielhaft lässt sich das an einem idealisierten Billardtisch veranschaulichen, auf dem sich eine Kugel reibungsfrei nach den Regeln der klassischen Mechanik bewegt. Nach einer abzählbaren Anzahl von Bandenberührungen wird sie wieder exakt die erste wiederholen, wodurch der vorherige Verlauf theoretisch unendlich oft wiederkehrt.

Da das Universum als ganzes ein geschlossenes System darstellt, wiederholt sich seine Geschichte dem Poincaréschen Wiederkehrsatz zufolge zyklisch und der Verlauf der Geschehnisse ist vollkommen determiniert (siehe auch Laplacescher Dämon).

Vielleicht taugt das als Einleitung, aber für die Details müssen Fachleute ran. Rainer 18:10, 27. Jan 2005 (CET)

Da sind viele Details zu berücksichtigen, ich schreibe erst einmal hier ins unreine:

• Die exakte Wiederkehr gilt nur für diskrete Systeme. Ansonsten nur Wiederkehr beliebig nahe an den Ausgangszustand.
• Die extrem lange Zeit, die es bis zur Wiederkehr dauert muss klargestellt werden. D.h. für alle praktsichen Zwecke gilt der 2. HS
• Historische Perspektive, dass es eine gewisse Auseinandersetzung um Anerkennung und Deutung gab
• Eventuell Querverbindung zu kosmologischen Prototheorien (Susskind er. al.)

Pjacobi 22:36, 27. Jan 2005 (CET)

• Ist dieses "diskret" absolut zu setzen?, also über Materie und Energiequanten hinaus? So eine Vorstellung setzt ja eine vollständige, exakte Bestimmtheit der Anfangsbedingungen voraus.
• Ich habe hier eine Schätzung vorliegen, nach der es in der Welt etwa 10²⁴ "unabhängige Teilchen" gibt und die Wiederkehrzeit das Alter der Welt um mehrere Zehnerpotenzen übersteigt. (Quelle: Coveney/Highfield: Anti-Chaos)
• Was wären die zentralen Begriffe bei der historischen Perspektive und Kritik? Nach meinem Verständnis sind Vorstellungen wie die der Wiederkehr oder des Dämons daher obsolet geworden, weil vollständige Genauigkeit nach heutiger Kenntnis nicht nur praktisch, sondern prinzipiell nicht zu erreichen ist und daher die Wahrscheinlichkeit identischer Situationen gegen unendlich geht.
• Kosmologische Prototheorien? Erzähl mal.

Rainer 01:07, 28. Jan 2005 (CET)

Caveat: Oberflächliches Drittelwissen aus Resterinnerungen aus dem Studium und gelegentlichem Querlesen auf arxiv.org

• Ob der Ausgangszustand exakt oder "nur" mit beliebige großer Genauigkeit wiedererreicht wird, ist wohl mehr eine mathematische Spitzfindigkeit. In einem klassischem System gibt es immer kontinuierliche Koordinaten, und man hat den einen Fall. Im Quantensystem beschränkter Größe (z.B. bis zum kosmologischen Horizont) und Energie sollte letztendlich alles diskret sein und man hat den anderen Fall.
• Viel mehr, schau mal nach Avogadrozahl. Die Wiederkehrzeit ist wirklich von einer ganz anderen Zeitskala als alle anderen Zeiten im Universum.
• Ich habe eine Boltzmann Facsimile Ausgabe, wenn ich sie wiederfinde kann ich mehr sagen.
• Das Protouniversum wartet eine Googol Jahre bis eine Fluktuation auftritt, die die kosmische Inflation auslöst. Dann alles wie im Standardmodell, dann einige Billionen Jahre nach uns sieht das Universum wieder ganz so aus wie das Proto-Universum ("Verdünnung" durch starke Expansion durch kosmologische KOnstante) und sitzt wieder auf der Wartebank für die Fluktuation die den nächsten Zyklus auslöst.

Pjacobi 01:23, 28. Jan 2005 (CET)

Weia! Da kuckt man in die Löschdiskussion und landet beim Anfang und Ende des Universums und dem ganzen Rest. Hast Du einen Vorschlag für einen vernünftigen Stub oder, falls der was taugt, für eine Fortsetzung meines Textes? Es fehlt ja noch vollständig die mathematische Seite, zu der ich leider nichts beitragen kann, und es stellt sich die Frage, was alles hier in den Artikel gehört. Das Ding betrifft ja die grundlegendsten Angelegenheiten. Rainer 02:38, 28. Jan 2005 (CET) PS: Ich gestehe, mit der Avogadrozahl bin ich nicht zurechtgekommen. Da steht nicht, welche Größenordnung die Zahl der Atome in 12 Gramm Kohlenstoff hat. Ein Mol ist also N_A = 6,0221415 × 10²³ mol^-1. Zehn hoch wieviel kommt dabei raus?

Irgendetwas stimmt mit dem folgenden Satz nicht: "Er sagt aus, dass jedes dynamische System irgendwann beliebig nach zu seinem Anfangszustand zurückkehrt. " Ich bin mir nicht sicher, wie es richtig wäre. Ist gemeint: "beliebig nahe zu seinem Anfangszustand"?

Ja. "nahe". Aber eine bessere Formulierung wäre noch schöner. --Pjacobi 10:12, 27. Sep 2005 (CEST)

Anmerkung / Frage

Auf den englischen und französischen Artikel bin ich durchaus vom englischen Artikel über die ewige Wiederkunft Nietzsches gestoßen; aber eine mehr als oberflächliche Verbindung sehe ich nicht. Daher würde ich darum bitten, hier den Verweis zu entfernen. - Ich habe auch eine Frage zu dem Abschnitt "diskreter Fall". Vorweg: Ich habe so gut wie keine Ahnung von Physik, etwas von mathematischer Maßtheorie, aber die hilft ja in diesem Fall nicht viel. - Also, ich sehe nicht, wieso das System trivialerweise zu seinem Anfangszustand zurückkehren muß. Ich weiß aber auch noch nicht einmal, ob ich mir die Zeit diskret oder stetig vorzustellen habe. Mal für den ersten Fall: Was mir sofort klar ist, ist, daß irgendwann eine Periodizität einkehren muß. Die Möglichkeit, die ich sehe, ist, daß es zunächst einige Zustände durchläuft und dann, sagen wir bei Zeitpunkt n > 1, in einen Kreislauf mit Periodizität k eintritt. Dann müßten unter den von nun an angenommenen Zuständen n, n+1, ... , n+k-1 ja nicht unbedingt die Zustände bei 1, ..., n-1 vorkommen. Also triviales Beispiel: Die abzählbar-unendliche Zahlenfolge 1, 2, 2, 2, 2, ... besteht nur aus endlich vielen Zahlen ("nimmt nur endlich viele Zustände an"), aber ihr erstes Element tritt nur einmal, dann nie wieder auf. Als "physikalisches" Gegenargument fällt mir ein, daß vielleicht ein Zustand auch seinen vorhergehenden Zustand eindeutig bestimmt: wenn also der Zustand n+k gleich dem Zustand n ist, dann muß auch Zustand n+k-1 gleich Zustand n-1 sein, und man kann rückwarts schließen, daß der Kreislauf schon zum ersten Zeitpunkt beginnt. Ist das so? Ich bitte aber um Verzeihung, wenn ich völligen Unsinn verzapfe.--Pangloss Diskussion 20:31, 23. Sep. 2007 (CEST)

die Verbindung zur Philosophie Nietzsches ist insofern etwas mehr als oberflächlich, als Nietzsche sich mit Natruwissenschaft auseinandergesetzt und tatsächlich versucht hat, diesen Satz zu beweisen. Dazu gibt es einen Abschnitt in Der Wille zur Macht, sowie eine Arbeit von Paul Mongré. - Was den diskreten Fall angeht, hast Du recht, die Argumentation ist einfach falsch; ich habe sie entfernt. --Wickie1681 07:31, 13. Mai 2008 (CEST)

Hallo, die Verbindung zur naturwissenschaftlichen Debatte jener Zeit und die Rezeption Hausdorffs sind mir bekannt, der Artikel ewige Wiederkunft – wo einiges dazu steht – stammt größtenteils von mir. Inhaltlich sehe ich aber zwischen dem Poincaréschen Satz der Hypothese Pythagoras' / Nietzsches immer noch nur wenig Übereinstimmung. Aber Du scheinst den Artikel ja noch weiter verbessern zu wollen, vielleicht könnte man das doch genauer klären?--Pangloss Diskussion 18:04, 13. Mai 2008 (CEST)

Habe jetzt den Artikel überarbeitet und viel Information hinzugefügt. Nach meinem Eindruck sind das, was Nietzsche mit seiner ewigen Wiederkunft meinen könnte, und die Aussage des poincaréschen Satzes ziemlich das Gleiche: Man könnte vielleicht sogar Poincarés Formulierung als damals zeitgemäße, naturwissenschaftliche, Präzisierung der Hypothesen von Pythagoras und Nietzsche auffassen - wie siehst Du das? --Wickie1681 08:08, 19. Mai 2008 (CEST)

M.E. etwas zu weit gegriffen. Die Ähnlichkeit von Nietzsches ewiger Wiederkunft und Poincarés Wiederkehrsatz hat mich erst hier her geführt, ich bin dort (bei Nietzsche) über die Formulierung "Das Konzept der Wiederkunft hat in der modernen Naturwissenschaft keinen Vertreter gefunden." (Ende des Abschnitts) gestolpert und dachte: "Poincarè, noch nie gehört?". Der Wiederkehrsatz gilt streng wohl nur für Newtonsche Systeme, inwieweit dieser mit der (bisher noch nicht gefundene) TOE vereinbar sein wird bzw. inwieweit dieser in einer solchen eine physikalisch reale Interpretation haben wird, ist offen... Ein Verweis dort hierher halte ich für sinnvoll, ob ein Verweis hier dorthin wirklich sinnvoll ist scheint mir diskussionswürdig. Habe dort mal geändert. DDd 20:33, 21. Jul. 2008 (CEST)

Beispiel Sonnensystem

Es kann durchaus sein dass ein Teilchen in endlicher Zeit ins Unendliche entkommt beim gravitativen N-Körperproblem (siehe Zhihong Xia, bei Problem 1 der Simon-Probleme zitierte Resultate), bewiesen für N=5 und höher. Das Sonnensystem ist ja grundsätzlich chaotisch. Die Wechselwirkung einiger Körper untereinander (Resonanzen....) kann sich ja so aufschaukeln dass sie eines der Teilchen aus dem System schleudern. Der Phasenraum ist dann nicht mehr beschränkt.--Claude J (Diskussion) 06:25, 21. Nov. 2022 (CET)