Diskussion:Wohlordnung

Dies ist eine wohlgeordnete Menge, sie wird üblicherweise mit ω + ω bezeichnet.

Worauf bezieht sich denn "Dies"? Außerdem würde ich als Beispiel für eine wohlgeordnete Menge, in der nicht jedes Element einen Vorgänger hat, einfach die natürlichen Zahlen selber nehmen. 1 hat nämlich keinen Vorgänger.

MfG, Olaf

Irritierend. Was ist ein "kleinstes Element"? Ein Element, sodaß alle anderen größer sind, oder eins, zu dem es kein kleineres gibt? Das Beispiel vermag dies nicht zu klären. Außerdem: In einer wohlgeordneten Menge gibt es stets ein Element ohne Vorgänger (nämlich das kleinste Element von S).. Vielleicht "ein kleinstes" statt "das kleinste"? Angeblich ist der Nachfolger eines Elements eindeutig bestimmt, aber was ist ein Nachfolger? Ein bißchen mehr Erklärung würde dem Artikel wohl guttun... - anonym.

Okay, die Frage mit dem kleinsten Element war unnötig, da es sich um eine totale Ordnung handelt. Verstehe ich, daß ein Nachfolger eines Elements x definiert ist als $\min \left\{y\mid y>x\right\}$, und der Vorgänger analog?

Beispiele anhand der ganzen Zahlen und der reellen Zahlen

Im Artikel steht: "[...] weder die normale Anordnung der ganzen Zahlen noch die der positiven reellen Zahlen ist eine Wohlordnung." Eine Wohlordnung für die ganzen Zahlen kann man sich ja noch leicht vorstellen (z.B. "die betragsmäßig kleinste Zahl der Menge, falls die nicht eindeutig bestimmt ist, dann die negative"). Überhaupt ist ja eine Wohlordnung bei jeder abzählbaren Menge sehr einfach konstruiert, indem einfach die Abzählung zur Bestimmung des kleinsten Elementes verwendet wird. Ich fänd es daher äußerst interessant, die Wohlordnung an einem nicht ganz so naheliegenden (überabzählbaren) Beispiel zu sehen, wie etwa den reellen Zahlen. Wie da die Wohlordnung funktionieren soll erschließt sich mir jedenfalls nicht direkt, ein Beispiel wäre da sehr hilfreich. --81.173.153.20 23:24, 19. Okt. 2007 (CEST)

Es wäre außerdem interessant, warum eine Wohlordnung auf einer überabzählbaren Menge überhaupt möglich sein soll, denn könnte man nicht eine Abzählung definieren allein dadurch, daß aus der Menge nacheinander jeweils das kleinste Element (im Sinne der Wohlordnung) entnommen wird? --81.173.184.183 14:41, 23. Okt. 2007 (CEST)

Dass man die reellen Zahlen wohlordnen kann folgt aus dem Auswahlaxiom, es gibt also soweit ich weiß leider keinen konstruktiven Beweis dafür. Ich habe auch noch nie eine Wohlordnung auf $\mathbb {R}$ gesehen.

Ein Beispiel für eine überabzählbare Wohlordnung ist jede Ordinalzahl α $\geq$ ω₁ mit der normalen Ordnung. (Also zB $\in$) --Smep 11:23, 29. Okt. 2011 (CEST)

Ich kann zwar leider meine Behauptung ad hoc nicht belegen, aber ich habe gehört, dass sogar gezeigt worden ist, dass es unmöglich ist eine Wohlordnung der reellen Zahlen explizit anzugeben (= die Axiome von ZFC lassen keine Konstruktion einer Wohlordnung einer überabzählbaren Menge zu). Diese Erkenntnis muss damals den Kritikern des Auswahlaxioms (aus dem sich ja die Existenz einer Wohlordnung auf $\mathbb {R}$ folgern lässt) mächtig Auftrieb gegeben haben.

@81.173.184.183: Eine Menge wird nicht dadurch abzählbar, dass sie sich wohlordnen lässt: Das Verfahren der Minimum-Entfernung, das du ansprichst, "entnimmt" dann eben einfach überabzählbar viele Elemente. Btw.: Dass damit dann die gesamte Menge ausgeschöpft wird, lässt sich wiederum nur über transfinite Induktion zeigen, die selbst eine existierende Wohlordnung als Vorausssetzung benötigt.

--82.119.29.173 13:40, 20. Feb. 2013 (CET)

Auswahlaxiom und Wohlordnungssatz

Der Artikel enthält zwei Referenzen auf das Auswahlaxiom. Dafür wird der Wohlordnungssatz nur indirekt erwähnt.

Ich würde sagen, folgender Satz sollte beide ersetzen:

Unter Verwendung des Auswahlaxioms gilt der Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden. (nicht signierter Beitrag von 141.30.71.249 (Diskussion) 19:46, 6. Okt. 2010 (CEST))

Die erste Erwähnung des Auswahlaxioms hat nichts mit dem Wohlordnungssatz zu tun. Bei der zweiten

Das Wohlordnungsprinzip, welches äquivalent zum Auswahlaxiom ist, besagt, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.

sehe ich nicht, dass der Wohlordnungssatz nur indirekt erwähnt würde. Davon abgesehen spricht aus meiner Sicht auch nichts gegen Deine Formulierung. -- Digamma 06:46, 7. Okt. 2010 (CEST)

Natürliche Zahlen und die 0

Es gibt zwar keine konkrete Definition ob die 0 zu den natürlichen Zahlen gehört, aber in dem angegeben Beispiel würde ich die 0 hinzufügen, insbesondere da ja die Menge selbst mit ω + ω verglichen wird und ω ist nunmal mit 0 definiert. (siehe hier --Smep 11:23, 29. Okt. 2011 (CEST)

Ich persönlich würde ebenfalls die 0 hinzu nehmen, einfach weil ich die natürlichen Zahlen als die kleinste induktive Menge auffasse und da gehört eben $0=\emptyset$ schlicht dazu.

Dass die Ordinalzahl $\omega$ mit 0 definiert sei (was übrigens nur für die Definition von $\omega$ als Menge nach von Neumann gilt!), ist nun aber gerade kein Argument dafür, die 0 in diesem Artikel zu ergänzen: Die Abbildung $n\mapsto n+1$ ist ein Ordnungsisomorphismus zwischen den beiden Wohlordnungen $\{0<1<2<3<\dots \}$ und $\{1<2<3<4<\dots \}$, beide haben daher die gleiche Ordinalzahl (im Sinne von: Ordnungstyp einer Wohlordnung), nämlich gerade $\omega$.

--82.119.29.173 13:58, 20. Feb. 2013 (CET)