Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/003

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Kurz

Ein Wechsel (egal, ob bei 3 oder 1 Mio. Toren) macht aus einer Ziege ein Auto und aus einem Auto eine Ziege; Daher vertauschen sich mit dem Wechsel auch die Wahrscheinlichkeiten. --134.93.51.62 11:36, 22. Jan. 2008 (CET)

Unveränderlichkeit der Wahrscheinlichkeiten für die 1. Tür

Nachdem ich lange hier nicht mehr hereingeschaut habe, tue ich das heute deshalb mal wieder, weil ich vor ein paar Tagen zufällig mit einem Bekannten ins Gespräch kam, der kürzlich in einer Zeitschrift auf das Ziegenproblem gestoßen war, nachdem er zuvor noch nie davon gehört hatte – das gibt’s! – , und, wie konnte es wohl anders sein, prompt mit dem Brustton der Überzeugung die Chancengleichheit vor der zweiten Wahl propagierte.

Das Hauptproblem derjenigen, die – sei es mit irgendeiner (scheinbar) logischen Begründung oder nur aus einem unüberwindlichen Bauchgefühl heraus – an die 50/50-Verteilung der Chancen nach dem Öffnen der Ziegentür glauben, liegt wohl weniger in der Erkenntnis, daß die Chancen bei der blinden Wahl der ersten Tür bei 1/3 für das Auto und 2/3 für eine Ziege liegen, sondern in erster Linie in der Blockade, zu erkennen, daß diese Wahrscheinlichkeiten auch im weiteren Verlauf des Spiels zwingend konstant bleiben, so daß allein deswegen ihre nachträgliche Veränderung auf ½ nicht möglich ist. Und dies, obwohl es doch logisch zwingend zu sein scheint, daß die Chancen pari sein müssen, wenn ich im Ergebnis zu einem bestimmten Zeitpunkt zwei Türen vor mir habe, hinter einer ein Auto und hinter der anderen eine Ziege steht, ich aber nicht weiß, was sich hinter welcher Tür verbirgt. Über diese frappierende Logik kam mein Bekannter lange einfach nicht hinweg, und es gibt halt viele, denen es genauso ergeht.

In der Diskussion fiel mir dann nach dem Scheitern mit den üblichen Argumenten kurz vor dem Aufgeben ein schrittweise aufgebautes Erklärungsmuster für die Konstanz der Chancen auf der ersten Tür ein, mit dem es mir schließlich doch noch gelang, bei meinem Bekannten ein ausreichendes Aha-Erlebnis zu erzeugen. Der Ansatz könnte also grundsätzlich didaktisch geeignet sein, Zweiflern und Leugnern ein Licht aufgehen zu lassen. Es kam – ein bißchen frei „übersetzt“, aber inhaltlich sinngemäß richtig - zu folgendem Dialog:

„Stell dir folgende 1.Variante vor: Du wählst eine Tür, der Showmaster öffnet sie sofort und du bekommst den dahinter stehenden Gewinn. Wie sind in diesem Fall deine Chancen verteilt?“

„Na, dann ist es ja klar: 2/3 für Ziege und 1/3 für Auto! Aber das ist doch ein völlig anderer Fall!“

„Wart’s ab… Jetzt stell dir als 2.Variante vor, der Showmaster hätte überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür geöffnet und erst dann deine gewählte Tür geöffnet und dir den Gewinn gegeben. Hätte das deine Chancen von 2/3 zu 1/3 bei deiner gewählten Tür verändert?“

„Natürlich nicht! Ob eine Ziegentür offensteht, bevor er mir meinen Gewinn gegeben hat oder erst danach, oder überhaupt nicht, kann sich doch nicht auswirken und spielt für die Gewinnchancen bei meiner gewählten Tür keinerlei Rolle.“

„Richtig. Und zu guter Letzt stell dir noch als 3. Variante vor, der Showmaster hätte, bevor er deine gewählte Tür öffnete und dir den dahinter stehenden Gewinn übergab, dir nach dem Öffnen einer Ziegentür (Situation wie in der 2. Variante) zusätzlich noch angeboten, statt deiner gewählten Tür jetzt die dritte verbleibende Tür zu öffnen und dir den dahinter stehenden Gewinn zu geben. Du hättest das aber abgelehnt, so daß auch in diesem Fall wieder dieselbe Tür mit demselben Inhalt geöffnet wurde wie in den beiden ersten Varianten - wobei eine Ziegentür offenstand wie in der 2.Variante. Für diese 2.Variante hattest du ja bereits richtig erkannt, daß sich durch das bloße Offenstehen einer Ziegentür die für die 1.Variante ermittelten Wahrscheinlichkeiten für deine gewählte Tür nicht ändern können. Solltest du dieses Ergebnis nun etwa allein dadurch beeinflussen können, daß du zwischendurch noch ein Angebot zum Türwechseln ablehnst?! Könnte der Dialog <„Wollen Sie wechseln?“ – „Nein!“> etwa andere Auswirkungen auf Inhalt und Chancen deiner gewählten Tür zeitigen können als ein Dialog wie zB <“Sind Sie scharf auf das Auto?“ – „Ja, irre scharf!“>? Nein, das kann er nicht, das alles sind nur Worte, reine akustische Wellen, die wirkungslos im Raum verhallen… Denn durch die Ablehnung läßt du das Angebot ja völlig leerlaufen und machst es praktisch ungeschehen, d.h. du stellst dadurch auch für die 3.Variante wieder exakt dieselbe Situation wie in der 2.Variante her, und für die 2. Variante galten ja dieselben Wahrscheinlichkeiten wie für die 1.Variante. Also gelten auch für die 3.Variante unverändert die Wahrscheinlichkeiten von 2/3 zu 1/3 für deine gewählte Tür.“

„Das leuchtet mir ein! Und jetzt ist der Groschen endlich gefallen! Die 3.Variante entspricht ja genau der Situation beim Ziegenproblem. Jetzt habe ich verstanden, daß die Wahrscheinlichkeiten für die erste gewählte Tür und die zum Wechsel angebotene Tür tatsächlich NICHT bei 50/50 liegen können, weil sie auch vor der zweiten Wahl für die anfangs gewählte Tür unverändert bei 2/3 zu 1/3 liegen.“

Nach dem Abhaken dieser Vorfrage blieb nur noch zu erklären, daß das Öffnen einer Ziegentür sich wie gezeigt zwar nicht auf die Werte der ersten Tür auswirken kann, wohl aber auf anderer logischer Ebene eine höchst segensreiche Wirkung entfaltet: Die sichtbar gewordene Ziege ist nämlich nunmehr als Objekt einer möglichen Wahl ausgeschieden, d.h. es ist eine der beiden Nieten aus dem Spiel genommen worden. Dadurch wurde ein Zustand hergestellt, der jetzt den zwingenden Schluß erlaubt, daß sich in diesem Stadium des Spiels hinter den beiden noch geschlossenen Türen mit Sicherheit Auto und Ziege, also Gewinn und Niete bzw. Chance und Gegenchance befinden. Der Kandidat sollte folglich, um seine Gewinnchancen für das Auto zu fördern, auf die im ersten Schritt gesicherte Erkenntnis zurückgreifen, daß sich hinter der Tür der ersten Wahl auch jetzt noch mit 2/3-Wahrscheinlichkeit eine Ziege befindet. Da sich hinter der anderen Tür – und zwar nicht mit irgendeiner Wahrscheinlichkeit, sondern mit absoluter Sicherheit - die Gegenchance zur ersten Tür befindet, ist dies also mit gleicher Wahrscheinlichkeit von 2/3 das Auto, und das macht ein Wechseln der Tür so überaus empfehlenswert.

Wilbert, 29. 2. 2008

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. -- Martin Vogel 22:11, 21. Feb. 2009 (CET)

Hervorragende Erklärung, Wilbert! Die trotz meines gemessenen IQs von 125 anfangs aufgetretenen Zweifel an der höheren Trefferwahrscheinlichkeit durch das Wechseln der Tür sind nunmehr verflogen. Dich als Mathelehrer zu haben hätte mir einiges an schulischen Irrwegen erspart. Danke!

Ulli 6.3.2009

Mein Kommentar: ich hätte lieber ein besserer Lehrer. Jemand die Ahnung hat von Wahrscheinlichkeitstheorie. Denn in der Variante 2 ist es wichtig zu wissen welche Tür der Showmaster öffnet, und was seine Strategie ist. Nijdam 14:17, 4. Apr. 2009 (CEST)

??? Der Lehrer wird sagen: Die Strategie des Showmasters ist durch die Spielregel festgelegt und er öffnet eine Ziegen-Tür. Genau das steht in Variante 2: eine Ziegentür wurde geöffnet. Wichtig zu wissen welche? Nicht in der Realität. (Falls hinter den beiden anderen Toren je eine Ziege stehen sollte: Es spielt dann in der Realität absolut keine Rolle, welche der beiden Ziegentüren er öffnet). Finde doch einfach das passende mathematische Theorem, das eben diesen bekannten Sachverhalt anschaulich beschreibt. LG -- Gerhardvalentin 19:08, 4. Apr. 2009 (CEST)

@Wilbert:

Zu Ihren Varianten 2 und 3:

Wart’s ab… Jetzt stell dir als 2.Variante vor, der Showmaster hätte überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür geöffnet und erst dann deine gewählte Tür geöffnet und dir den Gewinn gegeben. Hätte das deine Chancen von 2/3 zu 1/3 bei deiner gewählten Tür verändert?..

Richtig ist:

Wenn dem Kandidaten der eventuelle Gewinn hinter der Tür seiner Wahl garantiert ist, gewinnt er nach Variante 2 in einem Drittel der Fälle, egal, was der Moderator vor der Auflösung noch alles unternimmt und in welcher Weise er die Lösung präsentiert.

Wenn er beispielsweise die vom Kandidaten gewählte Nietentür sofort öffnet, ist schon alles klar.

Er kann auch die nicht gewählte Autotür sofort öffnen; selbstverständlich auch die gewählte Autotür.

Eine weitere Möglichkeit ist das Öffnen einer nicht gewählten, gefolgt von der gewählten oder einer weiteren nicht gewählten Ziegentür.

Der Moderator kann z.B. auch vor dem Spiel eine Tür bestimmen, die er als erstes öffnen wird.

Auch kann er seine Aktion von dem abhängig machen, was hinter der gewählten Tür steht.

Zahlreiche Varianten befinden sich im Einklang mit dem Ablauf, dass der Moderator "überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür" öffnet.

Richtig ist aber auch Folgendes:

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür unmittelbar vor der Auflösung hängt in jedem konkreten Fall von der Strategie des Moderators ab.

Beispielstrategie 1 (s.o.):

Der Moderator bestimmt vor dem Spiel, dass er nach der ersten Wahl Tür 3 öffnen wird. Falls dahinter eine Ziege steht und der Kandidat Tür 1 oder 2 gewählt hat, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen jeweils 50%. Steht hinter Tür 3 das Auto oder hat der Kandidat Tür 3 gewählt, ist das Spiel nach Öffnen von Tür 3 zu Ende.

Hat der Moderator also mit dieser Strategie aus der Sicht des Kandidaten "überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür" geöffnet, ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit größer, als er (nach Ihrer Lehrstunde) denkt, nämlich 1/2.

Was ist aber bei dieser Strategie aus der doch gesicherten Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 geworden?

Antwort: Sie ergibt sich als "Durchschnittswahrscheinlichkeit" unter Berücksichtigung der weiteren Fälle, bei denen das Auto hinter Tür 3 steht oder der Kandidat Tür 3 gewählt hat. Hier eine Tabelle aller Fälle (W = gewählte Tür, A = Autotür):

W: 1 1 1  2 2 2  3 3 3
A: 1 2 3  1 2 3  1 2 3

"Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit" bei Beispielstrategie 1:

4/9 * 1/2 + 2/9 * 0 + 2/9 * 0 + 1/9 * 1 = 1/3

Beispielstrategie 2:

Der Moderator möchte in dem Fall, dass der Kandidat richtig gewählt hat, die Spannung erhöhen, indem er vor dem Öffnen der Autotür eine Ziegentür öffnet.

Auch bei dieser "Strategie" öffnet der Moderator aus der Sicht des Kandidaten "überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür".

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür beträgt in diesem Fall 100%, nachdem der Moderator die Ziegentür geöffnet hat.

"Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit" bei Beispielstrategie 2:

1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 0 = 1/3

Die Behauptung, bei Variante 2 ändere sich die 1/3-Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür nach Öffnen einer Ziegentür nicht, ist also falsch. Entsprechend ist auch die 2/3-Wahrscheinlichkeit bei Variante 3 falsch. Dazu kommt aber noch, dass bei Variante 3 auch nicht von einer "2/3-Durchschnittswahrscheinlichkeit" gesprochen werden kann. Denn ein Wechsel ist ja nur möglich, wenn es der Ablauf bei der entsprechenden Strategie zulässt. Und dann ist die Gewinnwahrscheinlichkeit z.B. bei den Beispielstrategien 1 und 2 keineswegs 2/3 ...

Noch eine Bemerkung:

Aus Ihren Beiträgen habe ich bisher geschlossen, dass Sie das Buch "Das Ziegenproblem" von Gero von Randow gut kennen (siehe erste Literaturangabe im Wikipedia-Artikel). Nachdem er dort auf den ersten 50 Seiten die 2/3-Lösung an Hand einer falschen Aufgabenstellung zu begründen versucht, beschreibt er auf S. 52 unter "Mein Irrtum", wie er bei dem von Bijan Sabzevari formulierten Problem zunächst auf eine 2/3-Lösung kam, obwohl dort die entsprechenden Spielregeln, die Voraussetzung für diese Lösung sind, explizit fehlen.

Warum heben Sie bei Ihren Erklärungen nicht den Zwang durch die Spielregeln hervor, die dem Moderator keinerlei Spielraum lassen und zwingende Voraussetzung für die 2/3-Lösung sind?

Schade, dass Sie offensichtlich keine Bekannten haben, die fragen, nachdem Sie Ihnen erklärt haben, dass die Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür selbstverständlicherweise bei 1/3 bleibt und die 1/3-Wahrscheinlichkeit der geöffneten Ziegentür auf die andere geschlossene Tür "übergeht":

"Wenn der Moderator noch eine weitere Ziegentür öffnet, ändert sich die Wahrscheinlichkeit doch auch; sogar auf 100%. Warum darf sie dann beim Öffnen nur einer Ziegentür nicht auf 1/2 steigen?"

Auch als Voraussetzung für einen guten Wikipedia-Artikel wäre es nützlich zu erkennen, dass es sich bei der ursprünglichen Aufgabenstellung (Marilyn vos Savant, Gero von Randow, ZEIT-Artikel 1991/2004 ...) in Verbindung mit einer 2/3-Lösung um eine Scherzaufgabe von folgendem Typ handelt:

"Ich denke mir eine der Zahlen 1, 2 oder 3; und ich verrate, welche der beiden Zahlen 2 oder 3 es nicht ist: die 3."

--Albtal 13:37, 19. Apr. 2009 (CEST)

Simulation und kurze Erklärung

Am Anfang konnte ich das Problem kaum glauben. Also habe ich mit Excel eine kleine Simulation mit 500 Durchläufen gemacht und tatsächlich führte die Strategie wechseln zu 2/3 zum Sieg und nicht wechseln nur zu 1/3 zum Sieg. Das Gesetz der großen Zahlen ist der Held des Tages.

Meine kleine und simple Erläuterung: man unterscheidet erstmal in zwei getrennte Fälle:

1. Spieler wählt die Tür mit dem Auto (1/3 Wk) --> Die Strategie wechseln führt damit zu 0% zum Sieg, die Strategie nicht wechseln zu 100% zum Sieg.
2. Spieler wählt nicht die Tür mit dem Auto (2/3 Wk) --> Die Strategie wechseln führt damit zu 100% zum Sieg, die Strategie nicht wechseln mit 0% zum Sieg.

Alternative Darstellung: Extensivform (Spieltheorie)

Das ganze ist angewandte Spieltheorie. Da der zweite Fall häufiger vorkommt (2/3) und die Strategie wechseln hier zu 100% siegt, bringt die Strategie im Schnitt mehr. In kurzer Tabellenform:

Fall	Strategie 1: wechseln	Strategie 2: nicht wechseln
Auto gewählt (1/3)	0 % Sieg	100% Sieg
Auto nicht gewählt (2/3)	100 % Sieg	0% Sieg

So far so good. --Unify 04:23, 19. Mär. 2008 (CET)

Warum schreibst Du statt "0 % Sieg" nicht einfach verloren? --Jeremy 09:04, 19. Mär. 2008 (CET)

In der Spieltheorie ist es üblich, immer die Wahrscheinlichkeit der Auszahlung (Sieg) anzugeben. Man kann natürlich statt 0% Sieg auch verloren oder 100% Niederlage o.ä. schreiben. --Unify 14:46, 19. Mär. 2008 (CET)

Hallo Unify, es freut mich, dass Du jetzt von der Richtigkeit der Aussage überzeugt bist, aber eigentlich stehen Deine ganzen Ausführungen schon im Artikel, und zwar hier und hier. -- Sdo 19:21, 21. Mär. 2008 (CET)

Klein Fritzchens Lösung

Ich bin neu im Geschäft und habe den Beitrag von Klein Fritzchen nicht signiert! --Prof. Rolf Tiedge 23:26, 9. Apr. 2008 (CEST)

(der die Finessen der Wahrscheinlichkeitsrechnung noch nicht kennt).

Abkürzungen: W für Gewählt, A für Auto, O für offene Tür, Z für Ziege hinter der Tür. Wenn der Moderator eine Tür geöffnet hat können folgende Konstellationen vorliegen:

	Tür1	Tür2	Tür3
1.	W	A	O
2.	W	O	A
3.	A	W	O
4.	A	O	W
5.	O	W	A
6.	O	A	W
7.	W,A	O	Z
8.	W,A	Z	O
9.	O	W,A	Z
10.	O	Z	W,A
11.	Z	W,A	O
12.	Z	O	W,A

Bei den Fällen 1 bis 6 ist "Wechseln" angesagt, bei den Fällen 7 bis 12 dagegen "Nicht Wechseln" Alle Fälle sind gleich wahrscheinlich aber voneinander verschieden und müssen auch so behandelt werden! (vgl. "Kopf/Zahl" und "Zahl/Kopf" bei zwei Münzen. Wo bleibt da denn nun die Bevorzugung des Wechselns der Tür? Es gilt doch 50% zu 50% !! Bei allen anderen "Beweisen" ist von den Fallpaaren 7/8, 9/10 und 11/12 immer jeweils ein Fall dem "Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit" zum Opfer gefallen und schlicht vergessen worden! Auch das "beweisende Programm" von Herrn von Randow in seinem Buch hat diesen Fehler! Korrigiert man ihn, so ergibt sich das gleiche 50%/50%!! (Ich habe es für 10 Millionen Fälle ausprobiert!) Wenn allerdings der Moderator sich bei den Fällen 7 bis 12 etwas Zeit zum Aussuchen der Tür, die er diesmal öffnen will, nimmt, dann gäbe es einen Hinweis, wie man zum richtigen Ziel kommt. Das ist aber bei der Aufgabe doch wohl nicht vorgesehen! In der Mathematik ist es eben doch besser in schwierigen Fällen an den Fingern abzuzählen statt mit unverstandenen Formeln zu rechnen! Das Öffnen der Tür hat nicht mehr Bedeutung für die Entscheidung zum Wechseln der Auswahl wie der Hinweis "Der Himmel ist blau"!

Wie bei jedem Gegenbeweis empfehle ich zuerst die nochmalige intensive Lektüre des Artikels und hoffe, dass der angegebene Professorentitel nicht einer Naturwissenschaft zugeordnet wird. Insbesondere empfehle ich Punkt 4.7 mit der Million Tore. Dort müssen keine komplizierten Formeln missverstanden werden, sondern es wird versucht das kontraintuitive des Ziegenproblems zu reduzieren. MfG, --Unikram 06:45, 10. Apr. 2008 (CEST)

Neben der intensiven Lektüre des Artikels sollte der Einsteller vor allem über seine oben an den Anfang seiner Erörterung gestellte (falsche) Grundannahme „Alle Fälle sind gleich wahrscheinlich“ nachdenken. Tatsächlich sind seine "Fälle" 7 bis 12 halb so wahrscheinlich wie 1 bis 6. Siehe auch die Darstellung Ziegenproblem#Erklärung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes im Artikel. Gruß -- Talaris 11:21, 10. Apr. 2008 (CEST)

Geehrter Unikram,ich muss sie leider enttäuschen: Mein Studium in Göttingen lag zwar vor der Zeit der Computer, nannte sich aber Mathematik und lesen kann ich auch noch recht gut (aber nur aus Texten heraus, nicht hinein)! Ihnen und Talaris würde ich empfehlen mit einem Programm die Fälle 7 bis 12 einmal getrennt zu zählen! Mit einer Handvoll 'IF's ist das leicht getan! Sie werden sehen, dass sie alle "gleich" oft auftreten. Bei mir ergaben sich bei 10000000 Durchläufen Werte zwischen 82861 und 83845. Gesamt war die Wahrscheinlichkeit für 'Tür wechseln' 50,00514%! Wenn Sie diesen Fällen 7 bis 12 jeweils nur halbe Wahrscheinlichkeit zugestehen dann ist das Willkür und durch nichts begründet. - Dafür, dass ich mich mit Titel und Namen vorgestellt habe ist eine Panne. Ich bin es halt gewohnt in eine Gruppe nicht unter falschem Namen einzutreten und glaubte eine Deckbezeichnung für Veröffentlichungen noch wählen zu können! Ich hoffe das noch irgendwie ändern zu können! --Prof. Rolf Tiedge 18:44, 10. Apr. 2008 (CEST)

Hi, bitte zusammenhängende Diskussionen unter einer Überschrift führen und nicht für jeden Beitrag eine neue einfügen. Wenn Du Mathematik studiert hast, liegt Deine Fehleinschätzung der Lösung sicher nur daran, dass Du die Problembeschreibung nicht vollständig erfasst/berücksichtigt hast. Du wärest damit ja nicht der erste, es ist also keine Schande. --AchimP 19:48, 10. Apr. 2008 (CEST)

Lieber Herr Tiedge. Wenn Ihre Annahme und ihr Programm die richtigen Ergebnisse liefern würde, dann müsste dies ja bedeuten, dass alle Beweise der 1/3-zu-2/3-Variante falsch wären. Auch müsste jeder praktische oder computergestützte Versuch fehlerhaft gewesen sein. Von der schockierend hohen Unwahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses, dass es in dieser Breite in der Mathematik meiner Meinung nach noch nie zuvor gegeben hätte, einmal abgesehen, könnten sie mir ja dann bitte auch den Fehler im Pfaddiagramm erklären. Dieses erscheint mir, auf einem nur bescheiden formelhaften Niveau, doch recht richtig zu sein...--Unikram 00:13, 11. Apr. 2008 (CEST)

Sehr geehrter Professor Tiedge, es freut mich, dass Sie an der Diskussion teilnehmen. Da die Lösungen unterschiedlich sind, gibt es nur drei Möglichkeiten: 1. Die Voraussetzungen sind unterschiedlich (Sie nehmen implizit etwas an, was in der Aufgabe nicht enthalten ist, oder nicht ausgeschlossen wurde), oder 2. Sie haben sich verrechnet oder 3. Die Autoren des Artikels haben sich verrechnet (was allerdings im Widerspruch zu meiner Auffassung zur klassischen Mathematik und zum kleinen Einmaleins stünde). Das Ergebnis ist nicht auf den ersten Blick offensichtlich und es gibt ein paar Vorraussetzungen: Der Moderator darf nicht das Tor mit dem Auto öffnen. (Im Prinzip muss er also wissen, wo es steht.) Der Moderator darf nicht das Tor öffnen, dass der Teilnehmer gewählt hat. Es findet kein nachträglicher Tausch statt. (Das ist ganz wesentlich, weil sonst tatsächlich eine andere Verteilung entsteht.) Für mich war es am Anfang undurchsichtig, bis ich es mit drei Toren, einer Münze, die das Auto verkörpert, zwei Schnipseln, die die Ziege verkörpern und einem Würfel probiert habe. Dabei reicht es ohne Einschränkung der Allgemeinheit aus, immer zunächst Tor A zu wählen (aus Symmetriegründen), zu würfeln, um festzulegen, wo sich das Auto befindet, (im wirklichen Spiel steht das vorher fest, es spielt aber keine Rolle, weil ich das Tor zunächst ohne dieses Wissen auswähle) - anschließend öffne ich Tor B oder C, und zwar so, dass ein Schnipsel dahinter liegt. (Das könnte auch eine Hilfsperson machen, es schränkt ebenfalls nicht die Allgemeinheit ein, weil es von hier ab automatisch erfolgt). Das Ergebnis trage ich in eine Strichliste ein. Beim Beobachten des Vorganges stellt man fest, was passiert. --Hutschi 08:54, 11. Apr. 2008 (CEST)

@Prof. Tiedge

Ihre Auflistung ist doch unvollständig, denn es gibt nicht 12, sondern 18 Fälle! Beschränken wir uns auf die Fälle der Wahl von Tür 1 (in Ihrer Liste insgesamt 4 Fälle, nämlich 1,2, 7 u. 8). Wenn hinter Tür 1 eine Ziege steht, gibt es aber 4 mögliche Fälle, und nicht, wie bei Ihnen, nur 2 (Fäl> Aber Frank, > le 1 u. 2 Ihrer Lste). Denn hinter Tür 1 kann Ziege 1 und Ziege 2 stehen, es sind also auch diese beiden Möglichkeiten einzustellen. Für Ziege 1 hinter Tür 1 gibt es aber 2 Fälle, nämlich Ziege 2 hinter Tür 2 und Ziege 2 hinter Tür 3. Und entsprechend gibt es 2 Fälle für Ziege 2 hinter Tür 1.

So what?

Die vollständige(!) Liste mit allen 18 möglichen Fällen wäre übrigens gut geeignet, die Richtigkeit der Wechselstrategie zu beweisen!

--Wilbert 87.187.84.220 08:51, 15. Apr. 2008 (CEST)

Parallele zu Hütchenspielen?

Wie weit gibt es Parallelen bzw. Unterschiede zu Hütchenspielen? (nicht signierter Beitrag von Drilax (Diskussion | Beiträge) 15:37, 25. Apr. 2008)

Lies Dir doch mal Hütchenspiel durch. Ich sehe keine signifikanten Parallelen. --AchimP 17:17, 25. Apr. 2008 (CEST)> Aber Frank,

>

Noch eine Erklärung

Man spielt das Spiel 999 mal. Man wählt dabei immer die linke Tür aus. Der Moderator öffnet eine weitere Tür, man bleibt jedoch immer bei der linken Tür. Im Mittel ist bei jedem dritten mal das Auto hinter der linken Tür, man hat also am Ende 333 Autos. Wo aber sind die restlichen 666?

Mit dieser Erklärung habe ich damals kapiert gehabt, dass das Wechseln klüger sein "muss", und jemand anderes, dem ich das Erklärt habe, hat es auch damit verstanden. Sollte man diese mit in den Artikel schreiben? --Niko 23:22, 12. Mai 2008 (CEST)

Nein, steht schon drin: Ein Kandidat, der sich immer gegen den Wechsel entscheidet, gewinnt nur, wenn er auf Anhieb das richtige Tor trifft. Dies geschieht in einem Drittel der Fälle. [...] --AchimP 15:44, 13. Mai 2008 (CEST)

Zufällig oder absichtlich?

Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig eines der beiden anderen Tore.

Er öffnet es nicht zufällig, sondern absichtlich. Welches er wählt, ist zufällig. Deshalb hatte ich es zu "beliebig" geändert: Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator ein beliebiges der beiden anderen Tore. Das wurde zurück geändert. Für die Aufgabe spielt es aus Symmetriegründen solange keine Rolle, ob der Moderator in diesem speziellen Fall immer das gleiche Tor nimmt, wie der Mitspielende keine Regeln ableiten kann. (Informationen durch die Wahl erhält). --Hutschi 08:40, 29. Mai 2008 (CEST)

Dass das Tor zufällig gewählt wird, ist wichtig, um zu einer eindeutigen Beschreibung des Problems zu gelangen. --Stefan Birkner 10:14, 29. Mai 2008 (CEST)

Mein Problem war hier eher die Mehrdeutigkeit von "etwas zufällig wählen". Ich denke zwar nicht, dass der Zufall an dieser konkreten Stelle wichtig ist, zumindest nicht bei einmaligem Spiel, aber er schadet nicht. Allerding muss der Moderator ein Tor wählen, sonst ist das Spiel sinnlos. Er öffnet also nicht zufällig eines der beiden anderen Tore, sondern er öffnet absichtlich eines der beiden anderen Tore auf zufällige Weise. Mir fiel hierfür keine bessere Redewendung ein als "er öffnet ein beliebiges der beiden Tore." --Hutschi 10:22, 29. Mai 2008 (CEST)

Die Bedeutung des Zufalls kann man im Artikel von Marc Steinbach nachlesen. Ich empfehle allen, die Formulierungen in der Problemstellung ändern wollen, zuerst diesen zu lesen.

Unabhängig davon habe ich den Satz nochmal abgeändert und hoffe dass dadurch die von dir erkannte Mehrdeutigkeit behoben ist. Ich bin zwar noch nicht ganz zufrieden mit der Formulierung, doch fällt mir im Moment nichts besseres ein. Wenn du noch einen Vorschlag hast, wäre ich dankbar. --Stefan Birkner 11:21, 29. Mai 2008 (CEST)

Ich denke, so ist es in Ordnung. --Hutschi 11:24, 29. Mai 2008 (CEST)

Einfache Erklärung

Eine einfache Erklärung für die Lösung des Ziegenproblems scheint mir die folgende zu sein:

Wahrscheinlichkeit ist die Zahl der günstigen Möglichkeiten geteilt durch die Zahl der vorhandenen Möglichkeiten.

Möglichkeiten, wenn der Kandidat nicht wechselt: (1) Er tippt auf die Autotür, bleibt dabei: gewonnen. (2) Er tippt auf die erste Ziegentür, bleibt dabei: verloren. (3) Er tippt auf die zweite Ziegentür, bleibt dabei: verloren. Eine aus drei Möglichkeiten günstig. Siegchance 1:3.

Möglichkeiten, wenn der Kandidat wechselt: (1) Kandidat tippt auf die Autotür, Moderator öffnet eine Ziegentür, Kandidat wechselt auf die andere Ziegentür: verloren. (2) Kandidat tippt auf die erste Ziegentür, Moderator öffnet - etwas anderes bleibt ihm nicht übrig, wenn er eine Ziege zeigen will - die zweite Ziegentür, Kandidat wechselt - unweigerlich - auf die Autotür: gewonnen. (3) Kandidat tippt auf die zweite Ziegentür, Moderator öffnet - etwas anderes bleibt ihm nicht übrig - die erste Ziegentür, Kandidat wechselt - unweigerlich - auf die Autotür: gewonnen. Zwei aus drei Möglichkeiten günstig. Siegchance 2:3.

2:3 ist doppelt so viel wie 1:3. Doppelte Siegchance, wenn der Kandidat wechselt.

--Harry Nützel 20:14, 30. Mai 2008 (CEST)

Da fehlt eine Möglichkeit...

Sorry, vllt hab ich was übersehn…

Guckt ma her> Aber Frank, >

-Tor1: Auto

-Tor2: Ziege

-Tor3: Ziege

-Kandidat nimmt Tor 1, Moderator öffnet Tor 2:

-Kandidat wechselt nicht, gewonnen -Kandidat wechselt, verloren

-Kandidat nimmt Tor1, Moderator öffnet Tor3:

-Kandidat wechselt nicht, gewonnen -Kandidat wechselt, verloren

-Kandidat nimmt Tor 2, Moderator öffnet Tor 3:

-Kandidat wechselt nicht, verloren -Kandidat wechselt, gewonnen

-Kandidat nimmt Tor 3, Moderator öffnet Tor 2:

-Kandidat wechselt nicht, verloren -Kandidat wechselt, gewonnen

-Der Moderator öffnet in keinem Fall das Tor mit dem Auto, deswegen die Zwei Toröffnungen bei „Kandidat nimmt Tor1“

-Durch das wegnehmen eines falschen Tors durch den Moderator geht die Gewinnwahrscheinlichkeit des Kandidaten auf 50/50

-Er entscheidet ja völlig neu, so gesehen, es würde keinen unterschied machen, ob er von Anfang an wüsste, hinter welchem Tor eine Niete (oder Ziege) ist

Bitte den Artikel genau lesen. --Stefan Birkner 08:59, 17. Jun. 2008 (CEST)

Sei mir nicht böse, aber welchen abschnitt genau? Ich komme auf das gleiche ergebnis. Bei der anführung der zwei drittel mehrheit wird eine vierte möglichkeit einfach außer acht gelassen....

Marcel Walter; 17.06.08;22:57

Sieh dir beispielsweise den Abschnitt mit dem Entscheidungsbaum an. --Stefan Birkner 08:17, 18. Jun. 2008 (CEST)

"-Durch das wegnehmen eines falschen Tors durch den Moderator geht die Gewinnwahrscheinlichkeit des Kandidaten auf 50/50" Das ist die entscheidende Denkfalle. In diese tappt man sehr leicht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt bei 1/3 für das zunächst gewählte Tor. Sie ändert sich nicht. --Hutschi 09:14, 18. Jun. 2008 (CEST)

Der entscheidende Punkt ist, dass deine ersten beiden Varianten nur mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auftreten, die anderen beiden aber jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3, siehe auch Entscheidungsbaum im Artikel. -- Sdo 11:46, 18. Jun. 2008 (CEST)

Mit Verlaub: Die ersten beiden Varianten sind nur eine einzige. Der Kandidat kann nur einmal auf Tor 1 tippen. Lediglich der Moderator kann daraufhin Tor 2 oder Tor 3 öffnen. Das ganze Spielchen besteht nur aus sechs Möglichkeiten. Drei, wenn der Kandidat nicht wechselt, und drei, wenn er wechselt. --Harry Nützel 18:10, 18. Jun. 2008 (CEST)

Während Prof. Tiedge (der sich nach meinem ihn eindeutig widerlegenden Beitrag vom 15. 4. 08 bezeichnenderweise nicht mehr gemeldet hat) durch Unterschlagen von 6 aus 18 Fällen Verwirrung stiften wollte, haben wir es bei dem namenlosen User nun mit dem umgekehrten Fall zu tun: Er konstruiert mehr Fälle als es nach seinem Ansatz tatsächlich zulässig ist. Kinder, es ist doch alles vergebene Liebesmüh', denn wie man es auch dreht und wendet - Wechseln erhöht die Gewinnchance. Alles andere ist Schwarze Magie... ;-)

--Wilbert 87.187.118.131 19:33, 18. Jun. 2008 (CEST)

Noch'n Versuch...

Der Kandidat, der bei einer offenen Ziegen-Tür nie wechselt, bekommt immer dasselbe hinter der Tür seiner 1. Wahl befindliche Objekt, das er auch erhalten hätte, wenn diese Tür sofort (ohne das zusätzliche Öffnen einer Z.-Tür) geöffnet worden wäre - oder etwa nicht? Sofortöffnen und Nichtwechseln führen also zu identischen Ergebnissen bezüglich des Gewinns/Verlusts.

Wäre die 50/50-Theorie richtig, würde die auf die Tür der 1. Wahl bezogene Ergebnisidentität von Sofortöffnen und Nichtwechseln (s. o.) folglich bedeuten, daß genau wie beim Nichtwechseln für die Tür der 1. Wahl auch dann eine Chance von 1/2 für das Auto besteht, wenn diese Tür sofort (ohne das zusätzliche Öffnen einer Z.-Tür) geöffnet würde. Daß für diesen Fall die Chance auf das Auto jedoch bei nur 1/3 liegt, gehört allerdings doch wohl zu den Prämissen, die auch die Vertreter der 50/50-Theorie (bislang) nie bestritten haben. Also kann allein schon aus diesem Grunde jedenfalls die 50/50-Theorie nicht richtig sein (was für sich genommen zunächst noch nichts darüber besagt, welche Lösung denn stattdessen die richtige ist).

Das anstelle der pari-Lösung richtige Ergebnis ergibt sich dann in der bekannten Weise aus dem zwingenden Umkehrschluß zur 1/3-Wahrscheinlichkeit für das Auto bezgl. der Tür der 1. Wahl.

-- Wilbert 87.187.119.118 09:15, 23. Jun. 2008 (CEST)

Ziegenproblem 1990-2008

Die wundersame Geschichte eines mathematischen Problems

Als Gero von Randow am 19. Juli 1991 in der ZEIT unter der Überschrift "Eingebung nützt nichts" einen Artikel zum "Ziegenproblem" (im Amerikanischen: "Monty Hall Problem" nach dem Namen eines Showmasters) schrieb, schien die Sache nach viel Wirbel in den USA schon gelaufen.

Doch die hitzige Debatte über eine Mathematikaufgabe, die auf den ersten Blick recht einfach erscheint, ging auch in Europa weiter. Einen Monat später schrieb von Randow schon den größeren Artikel "Eine überzeugende Logik", in dem er die Richtigkeit der umstrittenen Lösung Marilyn vos Savants, der intelligentesten Frau der Welt, begründete. Später schrieb er ein ganzes Buch mit dem Titel "Das Ziegenproblem" (Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, 10. Auflage März 2001). Es folgten viele weitere Veröffentlichungen zum Thema, in denen die Lösung vos Savants verteidigt wird; darunter das Buch "The Power of Logical Thinking" von Marilyn vos Savant selbst (St. Martin's Press, New York, 1996), in dem das "Monty Hall Dilemma" einen großen Raum einnimmt.

Verlauf und aktuellen Stand der öffentlichen Debatte kann man folgendermaßen zusammenfassen: In der amerikanischen Zeitschrift "Parade" werden im September 1990 nach einer Leseranfrage das Problem und seine angebliche Lösung von Marilyn vos Savant vorgestellt. Tausende von Leserbriefen widersprechen dieser Lösung. Überall, wo die Aufgabe seither gestellt wird, läuft die Debatte nach diesem Muster ab: Veröffentlicht wird das Problem von Vertretern der Lösung vos Savants, und die erneut folgenden zahlreichen Proteste werden nur als Bestätigung dafür genommen, dass die "menschliche Intuition" in diesem Fall präziser mathematischer Begründung nicht standhalte.

Worum geht es?

"Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten 'Ich zeige Ihnen mal was' öffnet er eine andere Tür, zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: 'Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?'"

So formuliert Gero von Randow die Aufgabe in seinem Buch (S. 7); und in einem weiteren ZEIT-Artikel vom 18. November 2004 wird das analoge Problem gestellt. Auch diesem Artikel folgte bald ein weiterer von Gero von Randow, in dem er Marilyn vos Savants Lösung verteidigte:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür zwei steht, beträgt zwei Drittel."

Gleich nach dem ersten ZEIT-Artikel im Jahr 1991 habe ich vos Savant sowohl mit mathematischen Begründungen als auch mit anschaulichen Argumenten recht gegeben. Meinen Vorschlag, man spiele mit hundert anstatt nur mit drei Türen, hat von Randow damals in seinen zweiten Artikel und später in sein Buch (S. 10) übernommen.

Allerdings hatte ich damals hinzugefügt und in einem weiteren Brief ausführlich begründet, dass die Zwei-Drittel-Lösung nur richtig ist, wenn der Moderator nach der ersten Wahl durch die Spielregel zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür gezwungen ist.

Da das Problem im Jahr 1991 mit der Zwei-Drittel-Lösung als endgültig gelöst vorgestellt wurde, hatte ich angenommen, dass in der Original-Problemstellung, die Marilyn vos Savant veröffentlicht hatte, die erwähnte Spielregel enthalten war. Als ich vor einigen Jahren erneut auf das "Ziegenproblem" gestoßen bin, war ich überrascht zu sehen, dass das nicht der Fall gewesen war.

Ohne ausführlich zu werden, kann man leicht begründen, weshalb die Zwei-Drittel-Lösung ohne diese Spielregel falsch ist:

Man nehme an, dass der Moderator eine andere Tür nur dann öffnet, wenn der Kandidat mit der ersten Wahl recht hatte. Wenn dann die Show in der üblicherweise geschilderten Weise abläuft, verliert der Kandidat bei einem Wechsel hundertprozentig.

Auf diese Gedanken sind natürlich auch andere gekommen; und auch die Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung haben davon erfahren. Und damit wären wir bei der eigenartigsten Phase der Debatte angelangt:

In Fußnoten, weiteren zusätzlichen Abschnitten oder bei der Begründung der Lösung wird inzwischen oft mitgeteilt, dass die Lösung vos Savants nur korrekt ist, wenn die erwähnte Spielregel gilt. In die Aufgabenstellung selbst, wie sie beispielsweise von Bildungsforschern Schülern vorgelegt wird (siehe DIE ZEIT, 18.11.2004), wird die Regel aber nicht aufgenommen. Trotzdem wird die Zwei-Drittel-Lösung als einzig richtige Lösung vorgestellt.

Das ist umso erstaunlicher, als schon am 21. Juli 1991 - zwei Tage nach dem ersten ZEIT-Artikel Gero von Randows - ein Artikel von John Tierney in der Sonntagsausgabe der New York Times erschien mit der Absicht, das Problem ein für alle Mal zu klären. Es wurden dazu die vier Personen befragt, denen man diese Klärung am ehesten zutraute: Martin Gardner, der bekannte Autor mathematischer Knobelaufgaben; Persi Diaconis, Professor für Statistik an der Stanford University; Marilyn vos Savant selbst sowie der Showmaster Monty Hall, von dem das Problem seinen Namen hat.

DER SPIEGEL beispielsweise bezieht sich zwar in der Ausgabe vom 19. August 1991 auf diesen Artikel, lässt jedoch folgende Einwände einfach weg:

"'The problem is not well-formed,' Mr. Gardner said, 'unless it makes clear that the host must always open an empty door and offer the switch. Otherwise, if the host is malevolent, he may open another door only when it's to his advantage to let the player switch, and the probability of being right by switching could be as low as zero.' Mr. Gardner said the ambiguity could be eliminated if the host promised ahead of time to open another door and then offer a switch.

Ms. vos Savant acknowledged that the ambiguity did exist in her original statement. She said it was a minor assumption that should have been made obvious by her subsequent analyses, and that did not excuse her professorial critics. 'I wouldn't have minded if they had raised that objection,' she said Friday, 'because it would mean they really understood the problem. But they never got beyond their first mistaken impression. That's what dismayed me.'

Still, because of the ambiguity in the wording, it is impossible to solve the problem as stated through mathematical reasoning. 'The strict argument, ' Dr. Diaconis said, 'would be that the question cannot be answered without knowing the motivation of the host.'

Which means, of course, that the only person who can answer this version of the Monty Hall Problem is Monty Hall himself. Here is what should be the last word on the subject:

'If the host is required to open a door all the time and offer you a switch, then you should take the switch,' he said. 'But if he has the choice whether to allow a switch or not, beware. Caveat emptor. It all depends on his mood.'"

Es ergibt sich nun die Frage, warum eine Problemstellung, die für jahrzehntelange Auseinandersetzungen sorgt, trotz solcher Einwände nicht so formuliert wird, dass die angebliche Lösung auch zur Aufgabe passt.

Mir fällt nur eine plausible Antwort ein: "Die meisten Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung haben das Problem zunächst nicht verstanden."

Je klarer die Bedeutung der Spielregel in der "Zwei-Drittel-Fraktion" wird, desto mehr scheint man sich in den "Forschungen" zum Ziegenproblem der Frage zu widmen:

"Wie können wir den Fehler in der Aufgabenstellung vertuschen?"

Marilyn vos Savant beginnt in ihrem Buch die Einleitung zum Thema mit der oben formulierten Aufgabe (übrigens ohne den Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was"), die ihr von einem Leser gestellt worden war. Ihre erste Antwort lautete: "Yes, you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, the second door has a 2/3 chance. Here's a good way to visualize what happened: Suppose there are a million doors, and you pick door number 1. Then the host, who knows what's behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door number 777,777. You should switch to that door pretty fast, wouldn't you?"

Aus ihrer Beschreibung der sich anschließenden Phase, während der sie zehntausend Leserbriefe erhielt, von denen 90 Prozent ihre Lösung für falsch hielten, geht an einigen Stellen hervor, dass es Leser gab, die Kritik an der Aufgabenstellung übten. Aber weit davon entfernt, diesen Einwänden den Stellenwert einzuräumen, den sie verdienten, hebt vos Savant lediglich ihre These hervor, dass die große Mehrheit die Aufgabe so verstanden habe, dass die Zwei-Drittel-Lösung richtig gewesen wäre. Damit kann sie auch bei ihrem Leitgedanken zum Ziegenproblem bleiben: Dass es ein ideales Beispiel für eine Fragestellung sei, bei der die menschliche Intuition versagt.

Interessanterweise enthält das Buch vos Savants einen 25-seitigen Anhang von Donald Granberg von der University of Missouri, der die zehntausend Leserbriefe näher analysierte. Am Anfang fasst er den Stand der Diskussion zustimmend so zusammen, dass Marilyns Antwort unter sieben "hoch plausiblen Annahmen" im wesentlichen korrekt sei. Die vierte Annahme beinhaltet die Verpflichtung des Moderators, nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen, die letzte, dass der Showmaster vertrauenswürdig sein muss.

Auch einige der von Granberg vorgestellten Leserbriefe beinhalten durchaus stichhaltige Argumente gegen die Lösung vos Savants für die gestellte Aufgabe. Aber auch Granberg kann sich nicht zu der Forderung durchringen, dass die Spielregeln in die Aufgabenstellung gehören und nicht in die Begründung der Lösung.

Denselben Fehler enthält die erste Version aus dem Jahr 2002 zum Ziegenproblem im Internet-Lexikon Wikipedia. Bemerkenswert ist dann der kleine, etwas verloren wirkende Zusatz zur Aufgabe, der sich vom 18. auf den 19. Januar 2005 hineingeschlichen hat: "Der Ablauf ist dabei immer wie folgt." Eine spätere Version in Wikipedia enthielt dann einen separaten Abschnitt zur "Unschärfe" der ursprünglichen Problemstellung. Die neueste Version (21.8.2008) enthält jetzt sowohl wie bei Granberg eine Aufgabenstellung aus sieben Einzelpunkten als auch die "originale Problemstellung". Im Artikeltext werden die beiden Aufgaben allerdings so behandelt, als seien sie gleichwertig. Und das "Verständnisproblem" wird nach wie vor nur bei denen diagnostiziert, die der Zwei-Drittel-Lösung widersprochen haben (http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem).

Meiner Ansicht nach wurde in der Zwei-Drittel-Fraktion nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung.

Während die große Mehrheit zwischen der ersten Wahl des Kandidaten und der Handlung des Moderators offensichtlich überhaupt keine Kopplung sieht und deshalb - bei der vorgelegten Aufgabenstellung durchaus akzeptabel - auf gleichen Chancen für beide verbleibenden Türen besteht, ging die Zwei-Drittel-Fraktion offenbar von einer Kopplung aus, die aber im Nebel geblieben und deshalb in der Aufgabe nicht explizit formuliert worden ist.

Diesen von mir vermuteten Denkfehler habe ich in meinem Brief 1991 so formuliert: "Ich denke mir Tür eins. Der Moderator öffnet Tür drei. Also habe ich jetzt mit Tür zwei eine Zwei-Drittel-Chance." Auf der Basis dieses Fehlers, der sich natürlich auch nicht so "explizit" zeigt wie in meiner Formulierung, lassen sich einleuchtend scheinende Fallunterscheidungen, dekoriert mit Bildern von Autos und Ziegen, zur Begründung der Zwei-Drittel-Lösung aufstellen. Und dieser Denkfehler dürfte der Grund dafür sein, dass die erforderliche Spielregel nicht in die Aufgabenformulierung aufgenommen worden ist.

Eine Bestätigung für diese Vermutung liefert ungewollt Gero von Randow, ein prominenter Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung:

Auf S. 52 seines Buchs "Das Ziegenproblem" schildert er unter "Mein Irrtum" eine Spielvariante von Dr. Bijan Sabzevari. Diese Variante enthält analog zu dem von mir beschriebenen "Denkfehler" auch einen Gedanken als ersten "Spielzug". Das Sabzevari-Spiel lässt von Randow zunächst glauben, dass die Zwei-Drittel-Lösung auch ganz ohne den Zwang einer Spielregel folgt.

Wäre für von Randow die erwähnte Spielregel tatsächlich eine "Selbstverständlichkeit" und entscheidende Voraussetzung für die Zwei-Drittel-Lösung gewesen, hätte er in dem bei der Sabzevari-Varianten "explizit" fehlenden Zwang sofort den entscheidenden Unterschied und den Grund für eine 50:50-Lösung gesehen. Nach seinem "Irrtum" schreibt er schließlich - auf Seite 57; d.h. 50 Seiten nach der oben wiedergegebenen Leitaufgabe des Buchs:

"Die Savant'sche Lösung ist also nur richtig, wenn der Moderator weder die Autotür noch die erstgewählte Tür aufmachen darf."

Nachdem er also die richtige Aufgabenstellung aus seiner Lösung hergeleitet hat, fordert er seltsamerweise nicht die explizite Formulierung dieser Spielregel für das Ziegenproblem, sondern weicht der Kritik an der fehlenden Spielregel mit Mathematikerwitzen aus.

In dem ZEIT-Artikel vom 18. November 2004 und in dem von Gero von Randow persönlich geschriebenen Folgeartikel fällt die Problematik der Aufgabenstellung jedoch völlig unter den Tisch.

Verständlich, dass sich beim Schulbesuch von Bildungsforschern an einem Berliner Gymnasium ausgerechnet die Schüler des Leistungskurses Mathematik der 13. Klasse dem Unterjubeln der Zwei-Drittel-Lösung am stärksten widersetzten (DIE ZEIT, 18.11.2004). Beim zweiten Versuch haben die "Mathe-Cracks" dann die Bildungsforscher durch Zustimmung zufriedengestellt.

Was die Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung - auch ohne die erwähnte Spielregel - so sicher gemacht hat, ist die scheinbar ebenso einfache wie "einleuchtende" Begründung, die übrigens auch Donald Granberg allein nicht anerkennt. Sie lautet:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 steht, beträgt 1/3. Wenn ich bei meiner ersten Wahl bleibe, gewinne ich also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Bei einem Wechsel beträgt daher meine Gewinnchance 2/3."

Diese Argumentation ist bei der vorgelegten Aufgabenstellung falsch. Zwar beträgt am Anfang die Wahrscheinlichkeit für "Tür 2 oder 3" zwei Drittel. Nach Öffnen von Tür 3 ist aber die Wahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen jeweils gleich 1/2 - egal, ob der Kandidat vorher auf Tür 1 oder sonstwohin gezeigt hat oder auch nicht. Tür 2 "erbt" nur dann die Zwei-Drittel-Wahrscheinlichkeit, wenn das Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür durch den Moderator von der Spielregel erzwungen worden ist.

Ein entscheidender Grund dafür, dass von vielen aus der "Zwei-Drittel-Fraktion" dieser entscheidende Fehler nicht erkannt worden ist, dürfte auch gewesen sein, dass man durch häufiges "Nachspielen" oder entsprechende Computerprogramme die Zwei-Drittel-Lösung scheinbar "beweisen" kann. Dass dabei aber die nicht formulierte Spielregel als unausgesprochene Voraussetzung in den "Beweis" einfließt, wurde nicht erkannt.

Die Reaktion der großen Mehrheit auf die angebliche Zwei-Drittel-Lösung für das "Ziegenproblem" kann man durchaus so interpretieren, dass sie "intuitiv" richtig erkannte, dass an der Sache etwas faul ist - nur dass sie nicht genau sagen konnte, wo der Haken liegt.

Zur weiteren Klärung mag auch folgender pragmatische Aspekt beitragen: Sie stellen im Bekanntenkreis die Aufgabe und versuchen, die Zwei-Drittel-Lösung zu begründen. Dabei sagen Sie u.a.: "Der Moderator muss ja eine andere Tür öffnen." Darauf kommt die Frage: "Warum muss er das?". Dann sind Sie mit Ihrem Latein am Ende.

Mit der erwähnten Spielregel ergibt sich folgende Aufteilung:

1. Auto hinter Tür 1 - Moderator öffnet Tür 2  : p = 1/6

2. Auto hinter Tür 1 - Moderator öffnet Tür 3  : p = 1/6

3. Auto hinter Tür 2 - Moderator öffnet Tür 3  : p = 1/3

4. Auto hinter Tür 3 - Moderator öffnet Tür 2  : p = 1/3

Wahrscheinlichkeit für Tür 2 nach Öffnen von Tür 3: p = 2/3

Versuchen wir's doch mit folgender Aufgabe; auch auf die Gefahr hin, dass dann der ganze Spuk verschwindet:

"Sie sind Kandidat einer Fernsehshow und stehen vor drei verschlossenen Türen. Hinter einer der Türen, die nach dem Zufallsprinzip bestimmt wurde, befindet sich der Hauptgewinn; hinter den beiden anderen jeweils eine Niete. Der Showmaster weiß, hinter welcher Tür sich der Gewinn befindet. Sie müssen nun zwei Türen bestimmen, aus denen der Showmaster eine Nietentür auswählen und öffnen muss. Bleibt dem Showmaster dabei eine Wahlmöglichkeit, so bestimmt er die von ihm zu öffnende Tür nach dem Zufallsprinzip. Danach dürfen Sie eine der beiden verbleibenden Türen auswählen. Geben Sie für jede der beiden Türen die Gewinnchance an.

Beispiel: Sie lassen den Moderator zwischen Tür 2 und Tür 3 auswählen, und er öffnet die Nietentür 3. Geben Sie jeweils die Gewinnchance für Tür 1 und Tür 2 an."

--Albtal 11:36, 20. Aug. 2008 (CEST)

Was ist denn nun die Kritik am Inhalt unseres Artikels? Was soll verbessert werden? --Stefan Birkner 11:40, 20. Aug. 2008 (CEST)

Das Ziegenproblem hat seinen Weg durch die weltweite Öffentlichkeit zusammen mit einer angeblichen Lösung gemacht, die zur Aufgabenstellung nicht passt.

Je klarer das geworden ist, umso mehr hat sich auch die Formulierung der Aufgabe in Wikipedia der "richtigen" Aufgabestellung angepasst, die dort jetzt aus sieben Einzelpunkten besteht.

Da durch meinen Beitrag sowohl die fachliche Problematik als auch die "Geschichte" des Ziegenproblems in der Öffentlichkeit in einem völlig anderen Licht ercheint als im aktuellen Wikipedia-Artikel zum Ziegenproblem, ist es mit einzelnen Verbesserungsvorschlägen nicht getan.

Das richtig formulierte Ziegenproblem wird zurecht in eine Reihe mit schon seit langem bekannten mathematischen Problemen gestellt, und ohne die unvollständige Formulierung hätte es sicher auch in Wikipedia nur einen Platz in einer "mathematischen Ecke".

In der Formulierung, in der es durch die Medien ging, ist es aber eine Scherzaufgabe, wenn dies auch von den Publizisten anders gesehen wurde.

Ich denke, dass mein Beitrag sowohl für alle von Interesse ist, die sich mit dem Ziegenproblem befasst haben, als auch für diejenigen, die in Zukunft damit konfrontiert werden.

Er sollte allen bekannt gemacht werden, die über Wikipedia auf das Ziegenproblem stoßen.

Ich weiß nicht, ob es in Wikipedia "Alternativbeiträge" gibt.

Vielleicht genügt ein Link auf der Hauptseite des Artikels auf meinen Diskussionsbeitrag "Das Ziegenproblem 1990-2008", z.B. versehen mit dem Hinweis "Ein kritischer Beitrag zur Darstellung des Ziegenproblems in der Öffentlichkeit".

--Albtal 14:56, 20. Aug. 2008 (CEST)

Dein Text sieht stark nach einem Artikel aus einem Buch oder einer Zeitschrift aus. Ist der Text von Dir oder gemeinfrei? Ansonsten ist das eine Urheberrechtsverletzung. --AchimP 12:24, 20. Aug. 2008 (CEST)

Der Beitrag ist zu 100% von mir erstellt worden. Das Urheberrecht liegt bei mir.

(Übrigens war der ausschlaggebende Grund für mich, diesen Artikel zu schreiben, genau die Tatsache, dass es (meines Wissens) noch keinen Artikel zu den von mir dargestellten Zusammenhängen gab.)

--Albtal 14:56, 20. Aug. 2008 (CEST)

Guck mal oben auf diese Seite. Da steht: "Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel Ziegenproblem zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Artikelthema gehören nicht hierher." --AchimP 15:45, 20. Aug. 2008 (CEST)

Verbesserungsalternative I

• Gleich im einleitenden Absatz sollte klargestellt werden, auf welches der beiden im folgenden formulierten Probleme sich die Aussagen beziehen: Auf die "Originalproblemstellung" oder auf die siebenteilige "aktuelle" Problemstellung. (Übrigens ist noch eine dritte Aufgabenstellung im Spiel, und zwar die Formulierung unter den drei Türen rechts oben: Denn "ein Tor, hinter dem sich eine Ziege verbirgt", könnte ja auch die vom Kandidaten gewählte Tür sein. Wenn der Moderator diese Tür zwar öffnen dürfte, in diesem Fall aber eine andere Tür vorzieht, ergibt sich auch keine Zwei-Drittel-Lösung bei einem späteren "Wechsel".)

Der Verbesserungsversuch zeigt schon, dass die "Verbesserungsalternative II" (s.u.) wohl die bessere ist. Denn der erste Absatz zum Ziegenproblem müsste eigentlich lauten:

Das Ziegenproblem ist eine Aufgabe, die ein Leser im Jahr 1990 Marilyn vos Savant in der Kolumne "Fragen Sie Marilyn" der Zeitschrift "Parade" gestellt hat.

Diese Aufgabe wird unten als "originale Problemstellung" vorgestellt.

Allgemein bekannt geworden ist das Ziegenproblem durch die Lösung Marilyn vos Savants, die von Befürwortern in den Medien verbreitet wurde, wobei jeweils die große Mehrheit des Publikums diese Lösung für falsch hielt.

Am 21. Juli 1991 versuchte die New York Times in ihrer Sonntagsausgabe mit einem Artikel von John Tierney, das zunächst einfach scheinende Problem ein für alle Mal zu klären und die heftige Kontroverse zu beenden. Es wurden dazu die vier Personen befragt, denen man diese Klärung am ehesten zutraute: Martin Gardner, der bekannte Autor mathematischer Knobelaufgaben; Persi Diaconis, Professor für Statistik an der Stanford University; Marilyn vos Savant selbst sowie der Showmaster Monty Hall, von dem das Problem seinen Namen hat.

Alle vier waren sich einig, dass es unmöglich ist, aus der formulierten Aufgabe die behauptete Lösung abzuleiten. Auch vos Savant selbst gab den Fehler in der Aufgabenstellung zu und bescheinigte denen, die Kritik an der Aufgabenstellung geübt hatten, dass sie damit zeigten, dass sie das Problem verstanden haben.

Die New York Times hatte sich aber getäuscht. Denn die Aufgabe zusammen mit der nicht zu ihr passenden Lösung war gerade in Europa bekannt geworden, wo sie in fast allen führenden Medien und in der Folge auch in anderen Bereichen wie z.B. in der Mathematik-Didaktik zustimmend verbreitet wurde.

usw. usf.

• Die Abschnitte "Auflösung der verbreiteten Fehlargumentation" und "Fehleinschätzung durch Fehlinterpretation der Rolle des Moderators" sollten völlig umbenannt und umgeschrieben sowie mit dem klaren Hinweis versehen werden, dass sich die Ablehnung der Lösung vos Savants auf die "Originalproblemstellung" und nicht auf die hier vorgestellte siebenteilige Aufgabe bezogen hatte.

Die im aktuellen Artikel behaupteten "Fehlargumentationen", "Fehleinschätzungen" und "Fehlinterpretationen" sind bei der unvollständigen bzw. falschen Aufgabenstellung gegenstandslos.

Trotzdem verdienen diese beiden Abschnitte noch besondere Beachtung:

• • Wenn der Moderator den Kandidaten in der Weise "irreführen" würde, dass er ihm eine zweite Wahl anbietet, weil der Kandidat bei seiner ersten Wahl richtig getippt hat, würde der Kandidat 100%ig das Auto gewinnen, wenn er bei seiner ersten Wahl bliebe.

(Das ist übrigens eine der Argumentationen gegen die Zwei-Drittel-Lösung, die ich der ZEIT im Jahr 1991 geschrieben habe und die auch Martin Gardner in der New York Times vorbrachte (s.o.))

• • Die Annahme einer "Irreführung" wäre tatsächlich plausibel für einen Kandidaten, der entsprechend der "Originalproblemstellung" (ohne Kenntnis der nicht formulierten Spielregel) vor der zweiten Wahl steht.

• • Was dabei herauskommt, wenn der Kandidat eine der beiden verbleibenden Türen "zufällig" auswählt, steht nirgends zur Debatte. Die Frage ist doch nur: Mit welcher Tür hat er die größeren Chancen? Und wenn das Spiel nach der "aktuellen" siebenpunktigen Spielregel abläuft, hat jeder bei der Wahl der zweiten Tür eine Zwei-Drittel-Chance, egal, was er denkt. Eine Zwei-Drittel-Chance bei Tür 2 hätte auch jemand, der erst in diesem Augenblick den Raum betritt und die Vorgeschichte und die Spielregeln nicht kennt.

usw. usf.

Verbesserungsalternative II

Der aktuelle Wikipedia-Artikel zum Ziegenproblem ist völlig verkorkst, was sicher auch daran liegt, dass kein klarer Schnitt gemacht wurde, als doch einigen klargeworden ist, dass sie im falschen Zug sitzen. So liegen nun allen Ernstes zwei Aufgabenversionen vor, die verschiedene Lösungen haben. Aber damit der ganze Schwindel nicht auffliegt, hält man einfach in der Schwebe, auf welche der beiden Aufgaben sich die einzelnen Aussagen beziehen.

Damit es überhaupt so weit kommen konnte, liegt daran, dass Marilyn vos Savant als "intelligenteste Frau der Welt" im Jahr 1990 einen "kleinen Fehler" gemacht hat, den sie (wie könnte es auch anders sein) inzwischen durchaus einräumt. Hätte sie damals die Aufgabenstellung des Lesers um die für ihre vorgestellte Lösung erforderlichen Spielregeln ergänzt, hätte nie ein Hahn nach dem "Ziegenproblem" gekräht.

Der Schnitt, der in der New York Times zusammen mit Gardner, Diaconis, Monty Hall und vos Savant schon im Jahr 1991 versucht wurde (s.o.), sollte jetzt in Wikipedia vorgenommen werden.

Jeder wird einsehen, dass der Weg nach "Verbesserungsalternative I" angesichts meines "Verbesserungsbeitrags" "Ziegenproblem 1990-2008" (s.o.) nur Stückwerk bleiben kann.

Deshalb schlage ich vor, meinen obigen Beitrag "Ziegenproblem 1990-2008" vollständig als Wikipedia-Artikel zu übernehmen.

Ich habe ihn angesichts der mehrschichtigen Problematik recht kompakt gehalten. Trotzdem enthält er aus meiner Sicht alles Wesentliche.

--Albtal 23:53, 20. Aug. 2008 (CEST)

Die originale Version ist: Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door #2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors??"

Tatsächlich steht hier nicht, dass der Spielmeister gezwungen ist, ein Tor zu öffen. Das ist eine implizite Annahme, die aus der Kenntnis der Spielshow folgt. Wenn sie nicht gilt, gelten völlig andere Zusammenhänge. Das ist aber offensichtlich. Ich denke aber, der entsprechende Hinweis sollte in den Artikel. Ich habe ihn eingebaut. Es ist ein offensichtlicher und trivialer Fall. Ich hätte nichts dagegen, den Artikel prinzipiell mit zu übernehmen, wenn die entsprechenden anschaulichen Bilder und Lösungen aus dem Artikel mit übernommen werden, ebenso die Geschichte des Problems und das Ganze neutraler und weniger polemisch gehalten wird. Außerdem gehört natürlich hinein, worum es überhaupt geht. "Vertuschen" und Ähnliches konnte ich in der Realität nicht finden. --Hutschi 09:47, 21. Aug. 2008 (CEST)

JFTR: Ich halte den obigen "Artikel" "Ziegenproblem 1990-2008", falls Du den meintest, für gänzlich ungeeignet für die Wikipedia. Hier ist keine Essay-Sammlung. Da ist es mit einem "neutraler und weniger polemisch" Halten nicht getan. Das ist grundsätzlich stilistisch falsch aufgesetzt für die Wikipedia. Wikipedia ist auch kein Raum für Selbstdarstellung ("Mein Vorschlag wurde von Gero von Randow übernommen ..."). Der Autor möge den Artikel in ein Buch einfassen oder in einer Kolumne veröffentlichen, da passt das besser hin. Ggf. können wir hier dann darauf verweisen und / oder daraus zitieren.

Es genügt IMO die von Dir eben im Artikel eingefügte Ergänzung. Ich halte sie zwar nicht für notwendig, da trvial, aber schaden tut sie auch nicht.

Es ist dem Autor Benutzer:Albtal aber natürlich unbenommen, seinen "Artikel" in die Wikipedia einzustellen, und beim ggf. folgenden LA mit zu diskutieren. --AchimP 10:23, 21. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe es wohl zu höflich ausgedrückt. Ich meinte damit: Alle persönliche Meinung entfernen, Polemik entfernen, geschichtliche Darstellung und Darstellung der Fakten mit in den Artikel bringen (es wird dann wesentlich kürzer und muss mit dem Artikel geeigent verarbeitet werden). Man vergisst oft triviale Fälle. Nicht ganz so trivial ist allerdings, wenn sich der Moderator zufallsverteilt entscheidet, ob er eine weitere Tür anbietet. Deshalb habe ich den extremen Fall nur als Beispiel genannt. Übrigens könnte (nichttrivialerweise) der Moderator, wenn die Vergangenheit mit beachtet wird, durch entsprechendes Verhalten codierte Information übermitteln für einen Kandidaten, der zum Beispiel als Dritter dran ist. (Anbieten, Anbieten: dritter Tor A, Anbieten, Nicht anbieten, Tor B usw.) --Hutschi 10:37, 21. Aug. 2008 (CEST)

Ich möcht darauf hinweisen, dass ich die Problemstellung vor einiger Zeit überarbeitet habe. Die jetzige Problemstellung entspricht dem, wie das Ziegenproblem in der Literatur vorkommt. (Damit sind auch einige polemische Behauptungen von Albach nicht mehr gültig.) Dies ist meines Erachtens auch das, was man unter Ziegenproblem versteht, wenn man in der Stochastik-Literatur davon liest. Über die Probleme mit der Originalformulierung und daraus entstehende Varianten gibt der Artikel von Steinbach einen sehr guten Überblick. Eein Abschnitt, der darauf eingeht, eine gute Ergänzung des Artikels. Ich werde morgen eine erste Version erstellen. Hier halte ich jedoch den Artikel von Steinbach für eine bessere Ausgangsbasis, als das Essay von Albach. --Stefan Birkner 10:43, 21. Aug. 2008 (CEST)

Hier zunächst meine Antwort zu Hutschi:

Als erstes möchte ich wiederholen, was ich oben schon geschrieben habe: Die Spielregeln gehören in die Aufgabenstellung und nicht in die Begründung der Lösung. Sobald es damit Probleme gibt, muss man doch die Aufgabenstellung anpassen und "neu beginnen". Dass das beim "Ziegenproblem" anders sein soll als z.B. bei "Schwarzer Peter", kann ich nicht nachvollziehen. Und wenn ein weltweiter Wirbel auf der Basis von "Aufgabe 1" entsteht, kann man doch nicht so tun, als hätte es diesen Wirbel um "Aufgabe 2" gegeben.

Die jetzt hinzugefügte Bemerkung trägt meiner Ansicht nach weiter zur Verwirrung bei. Denn aus ihr folgt direkt, dass man aus der "originalen Formulierung" keine Zwei-Drittel-Lösung bei einem Wechsel ableiten kann. Und "trivial" wäre doch nur die Lösung für den Fall, dass man sicher davon ausgehen könnte, dass der Moderator diese "Irreführung" genau dann vornimmt, wenn der Kandidat mit der ersten "Wahl" recht hatte.

Zur "Kenntnis der Spielshow":

Es war u.a. Monty Hall selbst, der (s.o.) die Zwei-Drittel-Lösung für die gestellte Aufgabe für falsch erklärte.

Auch im Wikipedia-Artikel wird von der ersten und zweiten "Wahl" gesprochen. Bei der Aufgabe, die zur Zwei-Drittel-Lösung führt, ist die erste Aktion des Kandidaten aber überhaupt keine "Wahl" (der Tür, hinter der hoffentlich das Auto steht). Es ist vielmehr eine Anweisung an den Moderator, eine der beiden anderen Türen (mit einer Niete) zu öffnen. Ganz klar wird diese Unklarheit im Kopf mancher Aufgabensteller in der Aufgabenformulierung von Gero von Randow in seinem Buch, der ersten Literaturangabe im Artikel. Dort heißt es: "... mit den Worten 'Ich zeige Ihnen mal was' öffnet er eine andere Tür...". Diese Formulierung wäre völlig sinnlos, wenn der Moderator nach den allen bekannten Spielregeln sowieso eine der beiden anderen Türen (mit einer Niete) öffnen müsste. Vielmehr deutet er mit dieser Formulierung an, dass er der Auffassung ist, dass allein das Zeigen einer anderen Nietentür schon zur Zwei-Drittel-Lösung führt. In meinem Beitrag "Die wundersame Geschichte eines mathematischen Problems" (s.o.) gehe ich auch ausführlich auf diesen Aspekt ein.

Man merkt doch auch jetzt, dass es nicht sinnvoll ist, den vorliegenden Artikel nur zu "verbessern". Das wird doch nur eine völlig verwirrende Flickschusterei.

Selbstverständlich bin ich dafür, dass "anschauliche Bilder und Lösungen aus dem Artikel" weiter verwendet werden, wenn auch im Lauf der letzten 18 Jahre ganz andere Aspekte bedeutend geworden sind (s.o.). (Ich selbst habe in meinen Darstellungen auch stets sowohl anschauliche Beispiele als auch präzise mathematische Begründungen verwendet. Z.B. hat ja Gero von Randow mein Argument mit den 100 Türen so gut gefallen, dass er es im Jahr 1991 in den Artikel "Warum die intelligenteste Frau der Welt recht hatte" und auch in sein späteres Buch (S. 10) übernahm. Erst vor einigen Jahren habe ich erfahren, dass dies auch das Argument Marilyn vos Savants in ihrer ersten Antwort auf jene Leseranfrage gewesen war. Allerdings muss ich darauf hinweisen, dass ich schon damals, ebenfalls mit anschaulichen und präzisen mathematischen Argumenten, die Bedeutung der Spielregeln hervorgehoben hatte. Es war dann schon frappierend, Jahre später zu sehen, dass in dem erwähnten Artikel der New York Times von Gardner, Diaconis und Monty Hall dieselben Argumente vorgebracht wurden (im Gegensatz zu anderen Publikationen). Aber im wesentlichen steht das ja eigentlich auch schon in meinem Artikel.)

"Neutral" kann ein Artikel zu dieser Problematik nicht sein.

Ich vermute: Wenn mein Beitrag zu polemisch sein sollte, haben mich meine Mama und mein Pfarrer falsch erzogen. Und ich denke, man sollte einen Beitrag nur dann abwertend "polemisch" nennen, wenn Tonfall und Inhalt nicht zusammenpassen. (Für entsprechende Hinweise wäre ich dankbar.)

Zur "Vertuschung": Vertuscht wird in zahlreichen Medien (auch in Wikipedia und sogar in Veröffentlichungen, die eigentlich zur "Wissenschaft" gehören), dass die Aufgabe nachträglich angepasst werden musste, damit die Lösung stimmt. Auch hierzu steht in meinem Artikel einiges (mein Hinweis zum Wikipedia-Artikel dort ist jetzt auf dem neuesten Stand). Zum Beispiel schreibe ich zu Gero von Randows Buch: "Nach seinem "Irrtum" schreibt er schließlich - auf Seite 57; d.h. 50 Seiten nach der oben wiedergegebenen Leitaufgabe des Buchs: "Die Savant'sche Lösung ist also nur richtig, wenn der Moderator weder die Autotür noch die erstgewählte Tür aufmachen darf."" Und ich weise darauf hin (s.o.), dass in den beiden ZEIT-Artikeln von 2004 die Problematik der Spielregel überhaupt nicht erwähnt wird.

Zentral dabei ist auch das Verhalten Marilyn vos Savants: Sie hat durch das Ziegenproblem (auf der Basis einer falschen Aufgabenstellung) eine riesige Popularität erlangt. Und als scharfsinnnige Ideologie- und Politikkritikerin weiß sie ja sehr gut, wie man den Kern der Sache vernebelt. Zum Erfolg kann man ihr gratulieren.

"Worum es überhaupt geht": Aus meiner Sicht steht das natürlich in meinem Artikel. Für gegenteilige Hinweise wäre ich dankbar.

--Albtal 11:54, 21. Aug. 2008 (CEST)

Da Du um Hinweise auf von Dir verwendete Polemik batest: "Vertuschung" ist hier erneut stark polemisch, da es ein absichtliches Handeln zum Zwecke der Verheimlichung wider besseres Wissen um die Wahrheit unterstellt, welches aber nicht gegeben ist. Es wird sich lediglich um unterschiedliche Auffassungen zum Thema handeln, schlimmstenfalls um Fahrlässigkeit. Bitte unterlasse solche Unterstellungen unlauterer Motive, solange Du sie nicht belegen kannst.

Polemisch ist weiterhin Deine Formulierung "Sie hat durch das Ziegenproblem (auf der Basis einer falschen Aufgabenstellung) eine riesige Popularität erlangt. Und als scharfsinnnige Ideologie- und Politikkritikerin weiß sie ja sehr gut, wie man den Kern der Sache vernebelt. Zum Erfolg kann man ihr gratulieren." Du unterstellst polemisch unterschwellig Marilyn vos Savants, dass sie wohlbewusst den "Kern der Sache vernebelt" hätte, um zum "Erfolg" zu gelangen. Das ist absurd. --AchimP 12:54, 21. Aug. 2008 (CEST)

Zitat von Albtal: Die jetzt hinzugefügte Bemerkung trägt meiner Ansicht nach weiter zur Verwirrung bei. Denn aus ihr folgt direkt, dass man aus der "originalen Formulierung" keine Zwei-Drittel-Lösung bei einem Wechsel ableiten kann. Und "trivial" wäre doch nur die Lösung für den Fall, dass man sicher davon ausgehen könnte, dass der Moderator diese "Irreführung" genau dann vornimmt, wenn der Kandidat mit der ersten "Wahl" recht hatte. Das stimmt genau. Man kann daraus keine Zwei-Drittel-Mehrheit ohne Zusatzannahmen ableiten. Die (implizite) Zusatzannahme ist, dass immer eine Tür vom Showmaster geöffnet wird. --Hutschi 13:15, 21. Aug. 2008 (CEST)

Zu den weiteren Beiträgen nach meinen vorletzten Bemerkungen:

zur "Selbstdarstellung": Nicht ich habe mich selbst dargestellt, sondern Gero von Randow hat mich dargestellt mit meiner "100-Türen-Argumentation", und zwar in dem ZEIT-Artikel "Warum die intelligenteste Frau der Welt recht hatte" im Jahr 1991 und in seinem Buch (S. 10). Soweit ich es sehe, dient die Erwähnung meiner Person der Sache, und es wäre doch eher unfair zu verschweigen, dass ich "von Anfang an" an der "Debatte" beteiligt war, und zwar mit anschaulichen und mathematischen Argumenten zu Marilyns Lösung sowie zur Bedeutung der Spielregeln.

Überrascht hat mich folgende Bemerkung von Hutschi: "Nicht ganz so trivial ist allerdings, wenn sich der Moderator zufallsverteilt entscheidet, ob er eine weitere Tür anbietet". Auch auf diese Variante habe ich in meinem Leserbrief an die ZEIT im Jahr 1991 hingewiesen. (Ich schreibe das, um zu verdeutlichen, dass ich die Bemerkung sehr wohl verstanden habe.) Nur ist eben die Schlussfolgerung, dass die Zwei-Drittel-Lösung ohne die erwähnte Spielregel falsch ist und dass es keineswegs nur um eine "Unschärfe" oder gar um eine "Fehlinterpretation" "der anderen" handelt.

Dass das Problem "in der Literatur" z.T. (und im Lauf der Zeit immer mehr) auch korrekt behandelt wird, ist mir bekannt. Andererseits gingen z.B. die ZEIT-Artikel vom Jahr 2004 mit der "Originalaufgabe" ohne jeglichen Hinweis auf deren Problematik anstandslos durch. Und auch die Bildungforscher haben den Schülern damals die falsche Aufgabenstellung vorgelegt.

Aber man merkt schon wieder: Das alles steht in meinem Artikel schon drin, und zwar in einem Zusammenhang, wie ich ihn sonst nirgends vorgefunden habe.

"Taugt der Artikel für Wikipedia?"

Zu "Neutralität", "Polemik", "Selbstdarstellung" usw. habe ich mich oben schon geäußert.

Zur Thematik halte ich den Artikel für wichtig. Auch Inhalt, Form und Stil stellen eine Einheit dar und sollten nicht verändert werden. Er würde dadurch meiner Ansicht nach nur verlieren.

Gegen eine Übernahme in Wikipedia würde sprechen, dass er keinen "Lexikon-Stil" hat. (Die geschilderte Problematik hat eben auch keinen "Lexikon-Stil".) Es stellt sich dann einfach die Frage, ob es in Wikipedia möglich ist, einen solchen Artikel in einem extra Abschnitt zum Artikel hinzuzufügen.

Ich bin Neuling bei Wikipedia. Ich gehe mal meiner Vermutung nach, dass es möglich ist, meinen Artikel in meinem eigenen Diskussionsforum zu veröffentlichen und zugänglich zu machen.

Zur Übernahme in den Hauptartikel also mein Vorschlag: Entweder ganz und in seiner jetzigen Form oder gar nicht.

Und zum vorläufigen Schluss noch einmal zusammenfassend meine Auffassung zum Kern der Sache:

Die Zwei-Drittel-Lösung für die "Originalaufgabe" ist falsch. Der Hinweis, man habe die Regel, dass der Moderator eine nichtgewählte Ziegentür öffnen muss, implizit angenommen (und was ist mit den anderen, denen man diese Aufgabe vorlegt?), ist unglaubwürdig und für eine allgemeine Behandlung sowieso unbedeutend. Vielmer deuten zahlreiche Argumente der "Zwei-Drittel-Fraktion" darauf hin, dass sie auf folgende "Scherzaufgabe" hereingefallen sind:

Es liegen drei Türen vor, eine mit dem Preis. Tür 3 mit einer Niete wird geöffnet. Nun beträgt die Wahrscheinlichkeit für Tür 2 zwei Drittel, da sie vorher für Tür 2 und 3 zusammen ebenfalls zwei Drittel betrug.

Aber auch dazu steht ja einiges in meinem Artikel.

Das wär's erst mal.

--Albtal 13:44, 21. Aug. 2008 (CEST)

Zitat von Albtal "Ich vermute: Wenn mein Beitrag zu polemisch sein sollte, haben mich meine Mama und mein Pfarrer falsch erzogen. Und ich denke, man sollte einen Beitrag nur dann abwertend "polemisch" nennen, wenn Tonfall und Inhalt nicht zusammenpassen. (Für entsprechende Hinweise wäre ich dankbar.)" "Polemisch" ist nicht abwertend. Gute Polemik hat oft einen sehr guten Sinn, besonders in der Diskussion. Nur ein Lexikon-Artikel sollte nicht polemisch sein. Hier sollten die Ergebnisse dargestellt werden. Dazu gehört auch, die Erkenntnisse darzustellen, die Gegenbeispiele liefern. Frau Savant hat solche sowohl herausgefordert als auch akzeptiert. Die meisten aber gingen nicht von der ungenauen Aufgabenstellung aus, sondern von der impliziten Annahme, dass der Showmaster immer eine Tür öffnet, und dass es nicht die ist, die der Teilnehmer gewählt hat. (Die letztere Möglichkeit war die, mit der Monty Hall ein Gegenbeispiel zeigte.) "Ich bin Neuling bei Wikipedia" Herzlich willkommen. --Hutschi 13:39, 21. Aug. 2008 (CEST)

http://www.marilynvossavant.com/forum/viewtopic.php?t=64&postdays=0&postorder=asc&start=15 Zitat (MARILYN VOS SAVANT): So let's look at it again, remembering that the original answer defines certain conditions, the most significant of which is that the host always opens a losing door on purpose. (There's no way he can always open a losing door by chance!) Anything else is a different question. --Hutschi 13:55, 21. Aug. 2008 (CEST)

Na ja, da sagt sie ja selbst, dass erst die Antwort einige Bedingungen definiert. "Anything else" wäre demzufolge eher "a different answer" als "a different question" ... --AchimP 14:42, 21. Aug. 2008 (CEST)

Danke, AchimP.

Ich selbst habe soeben "parallel" dazu formuliert:

Auf Seite 6 ihres Buchs "The Power of Logical Thinking" von 1996 stehen die ursprüngliche Leserfrage und Marilyns Antwort.

In der Frage steht sowieso nichts vom Zwang durch die erwähnte Spielregel. In der Antwort schreibt Marilyn, der Moderator "will always avoid the one with the prize". Von einem "Zwang" steht auch hier nichts. Außerdem geht weder aus der Frage noch aus der Antwort hervor, dass es die Spielregel verbietet, die vom Kandidaten "gewählte" (Nieten)Tür zu öffnen.

Danach druckt sie zahlreiche z.T. durchaus "polemische" und abfällige Leserbriefe ab. Auf S. 14 schreibt sie dann im Text:

"And a very small percentage of readers feel convinced that the furor is resulting from people not realizing that the host is opening a losing door on purpose. (But they haven't read my mail. Thje great majority of people understand the conditions perfectly.)"

Ob sie an dieser Stelle die Einwände richtig wiedergibt, sei dahingestellt.

Aber dazu, dass zu diesem sehr kleinen Prozentsatz auch Martin Gardner, Persi Diaconis, Monty Hall (und letztlich auch sie selbst) gehören, schreibt sie nichts.

Das ist allerdings nur eine der Stellen, in denen sie sich "durchmogelt". Übrigens werfe ich ihr das nicht vor. Aber verschweigen muss ich meine Meinung ja nicht. Und es sind ja auch sonst noch genügend erwachsene Leute da, die ihr widersprechen könnten ...

--Albtal 15:05, 21. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe mittlerweile eine Artikelversion vorliegen, die auch die 50/50-Befürworter befriedigen sollte. Allerdings bin ich im Moment unterwegs und habe erst wieder am Sonntag Zugriff auf meinen Wikipedia-Zugang. Dann werde ich meine Verbesserungen in der Artikel einbringen, die auch explizit auf die Original-Problemstellung eingehen. ----87.175.220.106 16:32, 22. Aug. 2008 (CEST) (Stefan Birkner)

Interessant wäre in diesem Zusammenhang vielleicht noch, dass der von mir angesprochene Artikel in der Sonntagsausgabe der New York Times am 21. Juli 1991 erschien, zwei Tage nach der ersten (?) Veröffentlichung zum Ziegenproblem in Deutschland durch Gero von Randow am 19. Juli 1991 in der ZEIT, der hier Ausgangspunkt der Auseinandersetzungen war. Von Randow hat demnach die Einwände gegen die Zwei-Drittel-Lösung für die gestellte Aufgabe von Gardner, Diaconis und Monty Hall selbst noch nicht gekannt. Sonst hätte er vermutlich darauf hingewiesen, und die Debatte in den USA wäre in einem ganz anderen Licht erschienen. Er hätte dann auch die Chance gehabt, die Aufgabenstellung in der "korrekten" Form auf den Weg zu bringen. Wie dann die Reaktionen ausgesehen hätten, wissen wir nicht ... Stattdessen hat er ("zu allem Übel", müssten die strengen Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung jetzt sagen) die Aufgabenstellung genau "in die verkehrte Richtung" verändert, indem er den Moderator vor dem Öffnen der Nietentür sagen lässt: "Ich zeige Ihnen mal was." Dieser Satz wäre ziemlich sinnlos, wenn das Spiel laut Spielregel immer in der geschilderten Form stattfinden würde. Der Satz deutet ja eher darauf hin, dass das Öffnen der Tür durch den Moderator selbst eine Art "Spielzug" ist.

Dieser Auffassung ist auch Marc Steinbach, der in der im aktuellen Artikel als Nummer 2 angegebenen Quelle schreibt: "Nach meinem Sprachverständnis ist aber O2 (das ist die von mir erwähnte Stelle bei von Randow (Albtal)) so zu lesen, dass der Kandidat die Regel nicht kennt: andernfalls sind die Worte des Moderators aus seiner Sicht unsinnig, denn er erwartet ja bereits, eine Ziege gezeigt zu bekommen."

Und in der ZEIT vom 18. November 2004 können wir im Artikel "Das Rätsel der drei Türen" lesen:

"Frohgemut zeigen Sie auf eine der Türen, sagen wir Nummer eins. Doch der Showmaster, der weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet, lässt sie nicht sofort öffnen, sondern sagt geheimnisvoll: 'Ich zeige Ihnen mal was.' Er lässt eine andere Tür öffnen, sagen wir Nummer drei - und hinter dieser steht eine Ziege und glotzt erstaunt ins Publikum. ..."

(Wie mir gerade einfiel, gibt es auch auf diesen ZEIT-Artikel sogar schon einen WebLink im aktuellen Wikipedia-Ziegenproblem-Artikel.)

(Falls der angesprochene Artikel in der Sonntagsausgabe der New York Times von 1991 im Wikipedia-Artikel zitiert werden soll: Mit einigen Stichworten wie "New York Times", "1991", "Gardner", "Diaconis", "Monty", "Hall" o.ä. ist leicht eine Version zu finden; und die Wikipedia-Profis können ja entscheiden, auf welche Version ggf. ein Link gesetzt werden soll (und darf (?))

--Albtal 13:03, 23. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe jetzt einen Vorschlag erarbeitet, der aus meiner Sicht komplett als Artikel übernommen werden könnte. Ich zeige hier schon mal den Inhalt (ohne Formatierungen usw.) zur Kommentierung und Verbesserung. Die Begründung der Lösung bei korrekter Spielregel am Ende des Artikels habe ich so gehalten, dass sie sowohl von Laien nachvollzogen als auch von Mathematikern akteptiert werden kann. Aus meiner Sicht enthält der Artikel dadurch alles Wesentliche, und er sollte nur sehr sparsam erweitert werden.

Natürlich Hinweise auf geeignete Quellen, soweit dies noch nicht geschehen ist: Originalaufgabe, Artikel in der New York Times, Steinbach-Artikel usw. usf. ...

Hier also mein Vorschlag:

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow „Let's make a deal“, Monty Hall) ist im September 1990 in den USA bekannt geworden als Frage von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland, an Marilyn vos Savant, einer Kolumnistin der Zeitschrift Parade. Dort lautete die Aufgabenstellung:

„Nehmen Sie an, Sie sind in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer der Türen steht ein Auto, hinter den anderen Ziegen. Sie wählen eine Tür, sagen wir, Tür Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was sich hinter den Türen befindet, öffnet eine andere Tür, sagen wir, Nummer 3, hinter der eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie die Tür Nummer 2 wählen?' Ist es von Vorteil, auf Tür Nummer 2 zu wechseln?“

Die Antwort vos Savants war: "Ja, Sie sollten wechseln. Die Gewinnchance der ersten Tür beträgt 1/3, die der zweiten 2/3. Man kann sich den Ablauf folgendermaßen gut veranschaulichen: Angenommen, es gibt eine Million Türen, und Sie wählen Tür 1. Dann öffnet der Showmaster, der weiß, was sich hinter den Türen befindet, nacheinander alle Türen außer Tür 777777, wobei er es stets vermeidet, die Tür mit dem Preis zu öffnen. Sie sollten ganz schnell zu dieser Tür wechseln, oder nicht?"

Nach dieser Antwort erhielt sie eine Flut von Leserbriefen, von denen weitaus die meisten ihrer Lösung widersprachen. Die große Mehrheit war der Auffassung, dass die Gewinnchancen für beide verbleibenden Türen gleich sind.

Nach einer heftigen Debatte in den USA wurde die Aufgabenstellung durch einen Artikel von Gero von Randow in der ZEIT vom 19. Juli 1991 unter dem Titel "Eingebung nützt nichts" in Deutschland bekannt. Auch er stellte das Problem mit der Zwei-Drittel-Lösung als endgültig gelöst vor. Dabei hatte von Randow der ursprünglichen Aufgabenstellung noch hinzugefügt, dass der Moderator mit den Worten "Ich zeige Ihnen mal was" die andere Tür öffnet.

Die Debatte verlief hier ähnlich wie in den USA: Viele Leserbriefe widersprachen der Lösung, und auch nach weiteren Veröffentlichungen lief die Diskussion nach diesem Muster ab.

Dabei gelangten zunächst die Einwände gegen die vorgestellte Kombination aus Aufgabenstellung und Lösung nicht an die Öffentlichkeit, die in einzelnen Leserbriefen vorgebracht worden waren. Das änderte sich erst, als die New York Times in ihrer Sonntagsausgabe vom 21. Juli 1991 vier Personen zu Wort kommen ließ, denen sie die endgültige Klärung des Problems zutraute: Martin Gardner, den bekannten Autor mathematischer Knobelaufgaben, Persi Diaconis, Professor für Statistik sowie Monty Hall und Marilyn vos Savant. Nach einem genauen Blick auf die Aufgabenstellung waren sich Gardner, Diaconis und Monty Hall auch unter Zustimmung vos Savants einig, dass es unmöglich ist, allein mit mathematischen Überlegungen die Zwei-Drittel-Lösung zu begründen. Das stand ganz im Gegensatz zu den meisten bisherigen Befürwortern der Zwei-Drittel-Lösung, die sich gerade auf den "mathematischen Sachverstand" im Gegensatz zur "Intuition" der großen Mehrheit bezogen hatten.

Die Einwände in der New York Times bezogen sich darauf, dass in der Aufgabenstellung überhaupt nicht klar wird, welche Regeln bei diesem Spiel gelten. Beispielsweise wurde darauf hingewiesen, dass der beschriebene Ablauf unter vielen anderen auch folgende Interpretation zulässt:

"Angenommen, der Moderator öffnet nur dann eine andere Tür mit dem Angebot eines Wechsels, wenn der Kandidat mit der ersten Wahl recht hatte. Dann verliert der Kandidat bei einem späteren Wechsel sogar mit Sicherheit."

Die Zwei-Drittel-Lösung ist in der Tat nur dann richtig, wenn der Moderator nach der ersten "Wahl" durch die Spielregel zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür gezwungen ist.

Denn es besteht ein entscheidender Unterschied zwischen der bloßen Tatsache, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe.

Dazu ist noch zu bemerken, dass die Formulierung der Aufgabe sogar eher noch nahelegt, dass eine solche vorher festgelegte Spielregel auch "implizit" nicht existiert. Für den Kandidaten bzw. den Leser, die durch die Formulierung "You" bzw. "Sie" gleichgesetzt werden, sieht es eher so aus, als sei seine erste Aktion tatsächlich eine "Wahl" mit der Hoffnung, damit das Auto zu gewinnen, und als sei ihm zunächst noch nicht klar, was der Moderator vorhat.

So deutet Gero von Randow durch seinen Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was" sogar explizit an, dass er gerade keine allgemein bekannte Spielregel annimmt. Stattdessen geht er offensichtlich davon aus, dass der Moderator durch diese Bemerkung klar macht, dass er jetzt nach dieser Regel spielt. Diese Annahme ist aber falsch, da z.B. auch die oben beschriebene Strategie, bei der der Kandidat bei einem Wechsel der Tür mit Sicherheit verliert, völlig kompatibel zu dieser Bemerkung ist.

Wer bei der vorliegenden Aufgabenstellung keinen Unterschied zu einem "Spiel" sieht, bei dem von vornherein nur zwei Türen vorhanden sind, denkt durchaus plausibel.

Ein wesentlicher Denkfehler ist in der Phase der heftigen Debatte also der Gruppe unterlaufen, die davon ausging, die Zwei-Drittel-Lösung sei eine mathematisch ableitbare Lösung der Aufgabenstellung.

Das Beispiel mit der Million Türen von vos Savant stellt bei korrekter Fragestellung tatsächlich eine sehr gute Veranschaulichung der Zwei-Drittel-Lösung des Ziegenproblems dar, indem es auf ein vollständig analoges Problem übertragen wird, nur eben mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 99,9999 %.

Aber auch der Fehler, der im Fehlen der zugehörigen Spielregel in der Aufgabenstellung besteht, ist gut nachvollziehbar: Spielt der Moderator nach der oben beschriebenen Strategie, bei der der Kandidat bei einem Wechsel stets verliert, hat er die 999998 Ziegentüren eben nur deshalb geöffnet, weil der Kandidat bei seiner ersten Wahl einen Volltreffer gelandet hatte.

Als angeblich überzeugender Beleg für die Richtigkeit der Zwei-Drittel-Lösung waren häufig auch Computersimulationen angeführt worden. Sie kamen aber nur deshalb zu diesem Ergebnis, weil die in der Aufgabe nicht vorhandene Spielregel als unausgesprochene Voraussetzung in die Programme eingeflossen ist.

Gilt die erwähnte Spielregel, dürfte folgende Begründung der Zwei-Drittel-Lösung auch für Laien verständlich sein:

"Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Zeigt er am Anfang auf Tür 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, als auch, wenn es hinter Tür 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tür 2 oder Tür 3 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend die andere dieser beiden Türen."

Das kann man auch durch "Nachspielen" leicht erkennen.

--Albtal 11:18, 25. Aug. 2008 (CEST)

Meine Artikelversion ist jetzt aus meiner Sicht komplett, und ich habe die letzte Version des Hauptartikel damit ersetzt.

Die Änderungen, die heute morgen eingebaut worden waren, kommen auch bei meiner Version "zu ihrem vollen Recht" ...

(Der Link Let's Make a Deal funktioniert (noch) nicht. Es muss wohl ein externer Link auf die englische Wikipedia-Seite sein. Aber im Moment habe ich gerade keine Rechte mehr zur Änderung (wg. Sichtung usw. ...))

Unter "Siehe auch" wollte ich noch einen Hinweis auf das "Drei-Kasten-Problem" des Mathematikers Joseph Bertrand einbauen. Das einfachste wäre ein Link auf den entsprechenden Wikipedia-Artikel Drei-Kasten-Problem. Die Seite dort ist aber offensichtlich noch "leer" ...

Übrigens: Man vergleiche die Internetseite Marilyn vos Savant mit dem jetzigen Hauptartikel zum Ziegenproblem.

--Albtal 13:44, 26. Aug. 2008 (CEST)

Artikelumstrukturierung

Kann es wirklich sein, dass ein als exzellent ausgezeichneter Artikel von einem Benutzer on a Mission komplett verändert wird?--Unikram 17:22, 26. Aug. 2008 (CEST)

du meinst diesen exzellenten artikel? diff 2005-2008 --80.136.144.10 17:40, 26. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe die Artikelumstrukturierung rückgängig gemacht. Wiewohl der bisherige Artikel noch start verbesserungswürdig ist, ist die neue Version auch nicht besser. Man muss klar unterscheiden zwischen dem Ziegenproblem, wie man es heute in der Literatur findet und der Aufgabenstellung des Leserbriefs. Des Weiteren sollte man auch noch bedenken, dass nicht der Leserbrief das Monty-Hall-Problem definiert hat, sondern ein Paper im American Statistican aus den Siebzigern. Es ist leider so, dass ich seit Aufkommen der berechtigten Kritik am jetzigen Artikel noch kaum Zeit hatte, diesen entsprechend zu ändern. Allerdings sehe ich am ersten Septemberwochenende wieder Land um den Artikel zu überarbeiten. --Stefan Birkner 09:01, 27. Aug. 2008 (CEST)

Gibt es eine Möglichkeit zu einem Kompromiss? Da beide Teile ja relativ in sich abgeschlossen sind, könnte man beide in je einem separaten Abschnitt unterbringen, ohne sie zu mischen. Beide geben zudem wesentliche Informationen. (Quellen und Literaturangaben sowie die Einleitung sollten allerdings gemeinsam sein.) --Hutschi 12:16, 27. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe mir mittlerweile schon ein Konzept überlegt, wie ich den Artikel ausbauen will. Dabei sollen auch der Aspekt mit der 50-Prozent-Lösung berücksichtigt werden. Ich habe diese Woche allerdings noch sehr viel zu tun und deshalb erst wieder am Wochenende ausreichend Zeit. --Stefan Birkner 13:41, 27. Aug. 2008 (CEST)

Albtal schreibt:

Ich wollte eigentlich in dem jetzt wieder entfernten Artikel einige Ergänzungen anbringen:

Den Link Let's Make a Deal auf die englische Wikipedia-Seite legen.

Den Fettdruck der beiden zentralen Sätze zur Spielregel wieder entfernen, da sie zwar sehr wichtig sind, aber so doch etwas wie ein "Zaunpfahl" wirken.

Einen Literaturhinweis auf den Anhang von Donald Granberg im Buch Marilyn vos Savants als Beleg für Leserbriefe, die auf die Problematik der Aufgabenstellung hingewiesen hatten.

Ein (wieder einzufügender) Hinweis (jetzt unter "Siehe auch") auf den Mathematiker Joseph Bertrand wegen des "Drei-Kasten-Problems" sowie auf eine Variante davon im Buch Gero von Randows.

Zusätzlich zu der Strategie, die beim Wechsel stets eine Ziege liefert, noch die Variante, dass der Moderator stets das Spiel fortsetzt, indem er (zufällig) eine der beiden Nietentüren öffnet und eine erneute Wahl anbietet.

(Vielleicht gehören die letzten Bemerkungen in die "Diskussion" der früheren Version. Ich werde mal nachschauen ... auch danach, ob man an einer älteren Version weiterarbeiten kann für den Fall, dass sie wieder verwendet wird ...)

Es gibt zahlreiche Varianten zum korrekt gestellten Ziegenproblem. Den American Statistican kann man ja z.B. unter "Siehe auch" hinzufügen.

Diese anderen Varianten sind viel schöner und einfacher zu formulieren als das siebenpunktige Ziegenproblem, das sich "in der Literatur" herausgebildet hat nach der Kritik an der falschen Aufgabenstellung. Donald Granberg kommt im Anhang von vos Savants Buch auch auf "sieben hoch plausible Annahmen", wobei bei ihm die siebte lautet: "Der Showmaster muss vertrauenswürdig sein."

Im Hauptteil des Buchs (1996) steht aber auf Seite 6 die Aufgabenstellung des Paradelesers von 1990. Gero von Randow (10. Auflage 2001) stellt auch auf Seite 6 seine Aufgabe von 1991 in unveränderter Form. Kritik an der Aufgabenstellung begegnet er mit Mathematikerwitzen (und einem generösen Zugeständnis von der Art "Hier! dann habt ihr halt eure Spielregeln"). Sein Buch ist die erste Literaturangabe im aktuellen (und vorletzten) Artikel. Der Link "Das Rätsel der drei Türen" führt auf einen ZEIT-Artikel von 2004, in dem ebenfalls das "alte" Problem gestellt wird (sogar noch in "gesteigerter" Form).

Mit Hinweisen dieser Art möchte ich aber jetzt aufhören. Es gäbe eine (recht langweilige) Lebensaufgabe ...

Gibt es unter den Wikipedianern jemanden, der den Prozentsatz derer, die erst im Rahmen der beschriebenen Debatte und den entsprechenden Veröffentlichungen auf das "Ziegenproblem" gestoßen sind, unter 99% schätzt?

Der Satz "Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht." würde ja auch nicht am Anfang des aktuellen Artikels stehen, wenn es diese Debatte nicht gegeben hätte. Und wer ist eigentlich damit gemeint?

Wie die einzelnen Autoren "heute" "in der Literatur" auf die unterschiedlichen Aufgabenversionen eingehen, möchte ich hier auch nicht beschreiben. Dazu nur noch der Hinweis: Es gibt ein Lexikon, das sich, obwohl es blitzschnell neue Auflagen herausbringen kann, noch auf dem Stand von 1990 befindet: Marilyn vos Savant (Im "Unterhaltungsteil" kommt es wohl nicht so genau darauf an ...)

Ich habe mit meinem Artikel versucht, die Lexikonleser in kompakter Form möglichst vollständig zu informieren, sowohl den Fachmann als auch den Laien (auch mit Hilfe einer grafischen Darstellung, die schon vorher im Artikel enthalten war).

Und der Artikel ist so gehalten, dass auch diejenigen, die immer noch mehr oder weniger falsche Aussagen zum Thema machen, etwas davon haben ... Natürlich auch diejenigen, die schon länger ähnliche Gedanken zum Thema hatten wie im Artikel ...

Die Darstellung der "Debatte" habe ich so gehalten, dass dort gleich auch entscheidende Hinweise zum Verständnis des "korrekten" Problems zu finden sind.

Sollen Sätze wie die folgenden nicht in Wikipedia stehen? Habe ich sie nicht begründet? (Das könnte ich natürlich noch viel ausführlicher und mit mehr "Facetten" machen, aber dadurch würde meiner Ansicht nach die Kompaktheit und die Klarheit verlorengehen.)

Wer bei der vorliegenden Aufgabenstellung keinen Unterschied zu einem "Spiel" sieht, bei dem von vornherein nur zwei Türen vorhanden sind, und zu einer "50 zu 50"-Lösung kommt, denkt durchaus plausibel.

Ein wesentlicher Denkfehler ist in der Phase der heftigen Debatte der Gruppe unterlaufen, die davon ausging, die Zwei-Drittel-Lösung sei eine mathematisch ableitbare Lösung der Aufgabenstellung.

(Scherz: Sollte man vielleicht hier den Satz von oben so einfügen: "Daher wird das Ziegenproblem oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht." Passen würde der Satz ja sehr gut; aber mein Artikel ist so gehalten, dass solche Sätze überflüssig sind ... Überhaupt wäre es interessant zu erfahren, wem der im wesentlichen von mir verfasste Artikel neue Informationen und Aspekte geliefert hat ...)

Mir wäre es natürlich recht, wenn sich noch andere hier zur jetzt wieder herausgenommenen Version melden würden.

Zu einem Kompromiss, wie ihn Hutschi vorschlägt, bin ich natürlich bereit.

Ich warte jetzt erst einmal ab ...

--Albtal 15:28, 27. Aug. 2008 (CEST)

Ich peile mal kühn über den Daumen, daß (mindestens) 9/10 aller Leute, die die 50:50-Lösung vertreten, dabei von der "richtigen" Regel (Zwangsöffnung Ziegentür) ausgehen und dennoch dem bekannten Fehlschluß erliegen. Die Rolle der objektiv unpräzisen Spielregel im historischen Ausgangsfall sollte daher m. E. auch nicht allzusehr überbewertet werden, denn ich glaube nicht daran, daß die wesentliche Ursache für 50:50-Lösungen hier zu suchen ist.

Das Ziegenproblem ist nach meinen Beobachtungen erstaunlich vielen Menschen überhaupt nicht bekannt. Ich habe es in den letzten 15 Jahren ca. 10 (mindestens durchschnittlich intelligenten) Personen gestellt, und zwar jeweils unter ausdrücklicher Nennung der Regel "Zwangsöffnung". Nur drei Personen kamen auf die richtige Lösung, alle anderen waren nur unter einigen Mühen schließlich von der 2/3-Lösung zu überzeugen. Das Argument, das stereotyp von den Zweiflern zunächst vorgebracht wurde, lautete sinngemäß immer so: "Ich kann zwischen zwei Türen mit einem Auto und einer Ziege wählen und weiß nicht, hinter welcher der beiden Türen das Auto steht - also 50:50." DIESER selbst in Kenntnis der vollständigen Regeln von vielen liebevoll gepflegte (intuitiv bedingte) Irrtum und seine Widerlegung sollten m. E. im Vordergrund des Artikels stehen.

Das Aufbröseln der Historie ist interessant und lehrreich, es sollte daher in der Tat den Artikel ergänzen und bereichern, aber es sollte nicht den Schwerpunkt bilden.

-- Wilbert 87.187.64.182 21:48, 27. Aug. 2008 (CEST)

Der Artikel im „The American Statistican“ ist die ursprünglich Aufgabenstellung aus dem Jahr 1975. Dort bzw. in einem Folgeartikel wurde auch der Begriff Monty-Hall-Problem geprägt. Der Leserbrief hat die Fragestellung dann wiederaufgewärmt und durch die kontroverse Diskussion das Problem in den Aufmerksamkeitsbereich der Medien gebracht. Unter anderem deshalb sollte die ungenaue Fragestellung nicht überbewertet werden. Die „Hauptanwendung“ des Ziegenproblems ist, das es in Wahrscheinlichkeitstheoriebüchern als Beispiel für bedingte Wahrscheinlichkeiten dient. Um zu einer eindeutig interpretierbaren Aufgabenstellung zu gelangen sind nun mal die sieben bzw. acht Punkte nötig.

Ich habe bei irgendwelchen Unterhaltungen im Zug anderen Menschen gerne dieses Problem gestellt und viele haben trotz der ausführlichen Beschreibung auf eine 50-prozentige Chance getippt. Auch habe ich dabei festgestellt, dass das Ziegenproblem nicht wirklich bekannt ist. (Nur mal so zum Realitätsabgleich.)

Zur Frage

Gibt es unter den Wikipedianern jemanden, der den Prozentsatz derer, die erst im Rahmen der beschriebenen Debatte und den entsprechenden Veröffentlichungen auf das "Ziegenproblem" gestoßen sind, unter 99% schätzt?

Ich schätze, das mittlerweile ein nicht kleiner Teil der Leserschaft erstmals vom Ziegenproblem in der Stochastikvorlesung beim Kapitel Bedingte Wahrscheinlichkeiten hört. Zumindest war es bei mir so.

Die ersten Schritte zu eine Überarbeitung des Artikel habe ich nun gemacht. Der Abschnitt „Hintergrund“ wurde gelöscht und ein neuer Abschnitt „Ähnliche Aufgabenstellungen“ geschaffen. Am Wochenende will ich dann auch die Problematik mit dem Leserbrief ausbauen. --Stefan Birkner 22:51, 27. Aug. 2008 (CEST)

Albtal schreibt doch schon wieder:

Zu Wilbert und Stefan Birkner:

Als ich 1990 zwei Leserbriefe an DIE ZEIT schrieb, in denen ich sowohl die Lösung vos Savants bei korrekter Spielregel begründete, u.a. mit einem 100-Türen-Beispiel, als auch darauf hinwies, dass die Zwei-Drittel-Lösung ohne diese Spielregel falsch ist (übrigens: "neutraler" geht es wohl kaum), habe ich meine Gedanken auch im Bekanntenkreis erläutert. Die Reaktion war: "Dann ist die Lösung in der ZEIT ja falsch."

Gero von Randow hat dann in einem Folgeartikel und in seinem Buch zwar mein 100-Türen-Beispiel gebracht, nicht aber meine Hinweise auf die Spielregeln. Meine Einwände waren z.T. übrigens völlig identisch mit denen von Gardner und Monty Hall in der New York Times.

Anderen Bekannten (auch in der Kneipe usw. ..) konnte ich jetzt eigentlich schlecht die "falsche" Aufgabe mit der Behauptung einer Zwei-Drittel-Lösung stellen, da diese Kombination aus meiner Sicht eigentlich eine Scherzaufgabe war. Ich versuchte es trotzdem und sagte beim "Durchspielen" nach der ersten "Wahl" des Kandidaten: "Der Moderator muss ja jetzt eine andere Tür öffnen." "Warum muss er das?", war die Antwort, die das "Ziegenproblem" in der ursprünglichen Form wie ein Kartenhaus zusammenfallen ließ.

Gegen die Zwei-Drittel-Lösung bei korrekter Aufgabenstellung gab es dann keine ernsthaften Einwände mehr (warum auch immer ...).

Das "Experiment" Wilberts mit seinen 10 Bekannten ist eigentlich ein Beleg dafür, dass bei der korrekten Aufgabenstellung keine dauerhaften Einwände mehr bleiben, schon gar nicht von mehreren tausend Akademikern, die sich untereinander absprechen können, bevor sie ihre Leserbriefe schreiben. (Und diese Proteste 1990 waren ja erst der Anfang ...)

In vielen Veröffentlungen zum Thema wird darauf hingewiesen, dass es einen vergleichbaren Wirbel um ein derartiges Problem noch nie gegeben hat. (Dass der Anteil der Bevölkerung, der es bewusst wahrgenommen hat, vielleicht trotzdem unter einem Prozent oder so liegt, kann ja sein. (Das Magazin Parade soll 50 Millionen Leser erreichen; die Sonntagsausgabe der New York Times, wo über das Problem auf Seite 1 berichtet wurde, sicher auch Millionen ...)

Dass das Ziegenproblem inzwischen in Stochastik-Vorlesungen verwendet wird, liegt doch nur an diesem Wirbel. (Seit wann wird es in den Vorlesungen eigentlich in der "korrekten" Form gebracht? ... Die Wissenschaftler im pädagogisch-didaktischen Bereich waren wohl nicht so schnell, wie man im ZEIT-Artikel 2004 lesen kann ...)

Warum wird statt des Ziegenproblems (zur Einführung) nicht das Drei-Kasten-Problem genommen, z.B. in seiner Form mit 3 Spielkarten (rot/rot, rot/weiß, weiß/weiß)? Das ganze Gebirge an Unschärfen, Hinweisen auf Spielregeln, Debatte, Mutmaßungen (über die Reaktion der Leute) usw. gibt es da doch gar nicht ...

[1]

Das Ziegenproblem hat seinen Namen erst nach der Veröffentlichung vos Savants bekommen (im Amerikanischen: "Marilyn and the Goats").

Die Bezeichnung "Monty Hall Problem" hat Steve Selvin im Zusammenhang mit einem Brief an die Zeitschrift "American Statistician" im Jahr 1975 wohl zu ersten Mal verwendet.

Die ursprüngliche Aufgabe, die er formuliert hatte, ist wohl recht schwer aufzufinden, im Gegensatz zu einer Antwort Monty Halls.

Auch die Selvins Lösung zu seiner Aufgabe soll übrigens heftige Proteste ausgelöst haben, allerdings nur in der Fachwelt; Auch er hat mit einer Aufgabenkorrektur geantwortet.

Das Spiel, das er geschildert hatte, spielt sich auf einem Tisch ab. Statt des Autos sind symbolisch die Autoschlüssel zu gewinnen.

In [2] (April 2008) wird, wenn ich das richtig sehe, die ursprüngliche Darstellung Selvins wiedergegeben. Den 62-seitigen Artikel des mathematikprofessors Jason Rosenhouse möchte ich nach dem ersten Durchlesen nicht abschließend kommentieren. Aber bei der Darstellung der Aufgabe Selvins bin ich sicher nicht der einzige, der nach den ganzen Diskussionen aus dem Staunen nicht mehr herauskommt ...

Bei dieser Gelegenheit möchte ich auch darauf hinweisen, dass die Spielshow, die 1990 in der Aufgabe beschrieben wurde, so offensichtlich überhaupt nie stattgefunden hat. (Was im Widerspruch zu dem oft vorgebrachten Einwand steht, die Spielshow und ihre Regeln seien ja bekannt gewesen.)

Was ich eigentlich schreiben wollte, und was zum Einwand Wilberts gut passt:

Es ist meiner Auffassung nach keineswegs so, dass der Schwerpunkt "meines" Artikels für Wikipedia-Leser recht uninteressant sein dürfte.

Vielmehr dürfte er dieses Mal bei einer "anderen Fraktion" Protest hervorrufen. Deshalb kommt es darauf an, dass er inhaltlich gut abgesichert ist. (Wo gibt es da Kritik?)

Zu einem "Kompromiss" (Hutschi):

Die Frage wäre, ob das dem Artikel guttun würde. Der Gesamteindruck der Leserin könnte dann leicht sein: "Ja, was ist nun eigentlich ..."

Man sollte hier klar herausstellen, dass sich meine Darstellung sowohl in der Grundstruktur als auch bei den einzelnen Argumenten bewusst stark von den bisherigen Versionen unterscheidet. Auch die Marilyn-Lösung am Anfang gehört dazu.

Z.B. ist Wilberts Auffassung mit meinem Artikel nicht kompatibel. Er schrieb:

"Die Rolle der objektiv unpräzisen Spielregel im historischen Ausgangsfall sollte daher m. E. auch nicht allzusehr überbewertet werden, denn ich glaube nicht daran, daß die wesentliche Ursache für 50:50-Lösungen hier zu suchen ist."

Auf der Basis dieser Auffassung kann meiner Ansicht nach nur ein völlig verschwommener Artikel entstehen. Die Auffassung ist meiner 180 Grad entgegengesetzt.

Soll ein Artikel allen Ernstes auf der Basis des "Glaubens" geschrieben werden, dass es die massiven, inzwischen jahrzehntelangen Proteste auch bei richtiger Aufgabenstellung gegeben hätte?

Im Artikel und in diesem Forum habe ich dazu schon viel geschrieben.

Die Auffassung, die genauen Spielregeln seien nicht so wichtig, habe ich widerlegt (oder nicht?)

Wiederholung einer zentralen Aussage (siehe mein "Essay" "Ziegenproblem 1990-2008" oben):

Meiner Ansicht nach wurde in der Zwei-Drittel-Fraktion nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung. ...

Interessant ist auch:

Die neueste Version (21.8.2008) enthält jetzt sowohl wie bei Granberg eine Aufgabenstellung aus sieben Einzelpunkten als auch die "originale Problemstellung". Im Artikeltext werden die beiden Aufgaben allerdings so behandelt, als seien sie gleichwertig. Und das "Verständnisproblem" wird nach wie vor nur bei denen diagnostiziert, die der Zwei-Drittel-Lösung widersprochen haben.

Deutlich wird auch hier, dass (bis zum 21.8.2008, verglichen mit meiner) zwei völlig unterschiedliche Grundauffassungen vorliegen. Das ist ja als solches eigentlich nichts Schlechtes.

Aber klarstellen sollte man:

Die Grundhaltung Wikipedias (bis zum 21.8.2008) und Wilberts erscheint in "meiner" Artikelversion als nicht haltbar.

Bei dieser Gelegenheit sollte man auch auf etwas Anderes hinweisen: Soweit ich es überblicken kann, wurde das Ziegenproblem zusammen mit der Zwei-Drittel-Lösung fast ausschließlich von Vertretern dieser Lösung (der Originalaufgabe) veröffentlicht. Sie haben auch den "Diskurs" nach der Kritik an der Aufgabenstellung bestimmt; und zwar so, dass von dieser Kritik in wichtigen Bereichen der Gesellschaft wie z.B. in Schulen überhaupt nicht die Rede ist.

Machen wir uns nichts vor: Gerade die ernsthaften Wikipedia-Versionen werden ebenfalls vollständig von dieser Grundhaltung bestimmt.

Und es ist genau diese "seriöse" und mathematisch gebildete Gruppe, die einen entscheidenden Fehler gemacht hat.

"Mein" Artikel, der das aus meiner Sicht aufzeigt, wird vermutlich viele Gegenreaktionen hervorrufen (Wikipedia ist ja wohl als Lexikon häufig "in Gebrauch"); nicht weil er "Unwesentliches", inzwischen "Uninteressantes" in den Vordergrund stellt, sondern aus dem gegenteiligen Grund.

Übrigens ist in Bezug auf die "Gruppenarbeit" zu erwähnen, dass die Argumente zum Ziegenproblem schnell falsch werden, wenn man sie verändert. (Wenn das nicht der Fall wäre, säßen wir nicht hier ...)

Wer zur Zwei-Drittel-Lösung "Ja" gesagt hat, ohne auf die Spielregel zu verweisen, hat das Problem nicht verstanden; auch wenn er sein Ergebnis mit einem Computerprogramm "beweisen" konnte.

(Marilyn sagt ja selbst zumindest umgekehrt, dass diejenigen, die diese Kritik üben, das Problem verstanden haben ...)

Und hier noch etwas Konstruktives, was wegen der vorangehenden Ausführungen erst jetzt drankommt:

Aus mehreren Gründen, die ich noch näher erläutern kann, bin ich dafür, in meiner Version vor dem Abschnitt mit den Begründungen der Lösung noch den Abschnitt "Eine korrekte Formulierung der Aufgabe" (o.ä) einzufügen. Ich bin für die Version aus meinem "Essay" oben, die ich der Einfachheit halber hier noch mal hinschreibe:

Sie sind Kandidat einer Fernsehshow und stehen vor drei verschlossenen Türen. Hinter einer der Türen, die nach dem Zufallsprinzip bestimmt wurde, befindet sich der Hauptgewinn; hinter den beiden anderen jeweils eine Ziege als Zeichen einer Niete. Der Showmaster weiß, hinter welcher Tür sich der Gewinn befindet. Sie müssen nun zwei Türen bestimmen, aus denen der Showmaster eine Nietentür auswählen und öffnen muss. Bleibt dem Showmaster dabei eine Wahlmöglichkeit, so bestimmt er die von ihm zu öffnende Tür nach dem Zufallsprinzip. Danach dürfen Sie eine der beiden verbleibenden Türen auswählen. Geben Sie für jede der beiden Türen die Gewinnchance an.

Beispiel: Sie lassen den Moderator zwischen Tür 2 und Tür 3 auswählen, und er öffnet die Nietentür 3. Geben Sie jeweils die Gewinnchance für Tür 1 und Tür 2 an.

--Albtal 13:38, 28. Aug. 2008 (CEST)

Die Verständnisprobleme liegen bei beiden Problemen vor. Sie sind aber sehr unterschiedlich geartet. Im einen Problem geht es um die Frage der Interpretation der Aufgabe. Wenn keinerlei zusätzliche Annahmen getroffen werden, gibt es eine 50/50 Lösung, allerdings nur, wenn gewürfelt wird. Ohne Würfeln wäre es ein psychologischer Kampf wie bei dem Spiel "Brunnen-Papier-Schere". Mit zusätzlichen Annahmen: Eine Tür muss vom Moderator geöffnet werden, bei zwei Möglichkeiten wird sie immer zufallsverteilt geöffnet (das sichert zugleich, dass das Spiel unabhängig von vorhergehenden Spielen ist und der Moderator keine zusätzlichen Informationen einbauen kann), die Spielregeln sind bekannt - dann ergibt sich die 2/3 Lösung. Übrigens wurde in den Computersimulationen offensichtlich nicht die "originale" sondern die "präzisierte" Aufgabenstellung simuliert. Ich denke immer noch, dass es möglich sein sollte, beide Teile angemessen unterzubringen, weil das Wort "Ziegenproblem" in der Zwischenzeit eine Entwicklung durchgemacht hat. Der Mitspieler muss übrigens (für die 2/3-Option) die Spielregeln kennen, weil er sonst keine Entscheidungsgrundlage hat. Das scheint eine notwendige Voraussetzung zu sein, um sich rational für diese Lösung entscheiden zu können. (Man müsste es aber durchrechnen.) --Hutschi 13:16, 28. Aug. 2008 (CEST)

Albtal zu Hutschi:

Ich habe gerade meinen Aufgabenvorschlag oben eingefügt, den ich schon in meinem "Essay" gebracht hatte. Da gibt es meines Erachtens keine "Verständnisprobleme" mehr.

Wer bei der "Originalaufgabe" auf jegliche "Annahmen" verzichtet (Warum soll er sie auch machen? (Übrigens wäre, wenn schon, die Annahme, der Moderator wolle ihn von seinem Preis ablenken, recht plausibel.)), handelt nach dem Prinzip: "Vorher waren's drei Türen; jetzt sind es nur noch zwei; also halbe-halbe." Eine recht elegante "Annahme", die eigentlich viele Folgediskussionen ersparen sollte. Und wenn der Aufgabensteller etwas Anderes gemeint hat, sollte er schnell noch mal in der Zeitung nachlesen, ob er vielleicht etwas falsch wiedergegeben hat. Warum er für die 50:50-Chance würfeln soll, habe ich nicht verstanden. (Soll er sich dadurch gegen eine "Strategie" bei der Aufstellung des Autos absichern?)

Wenn man davon ausgeht, dass der Moderator immer dann, wenn er Wahlfreiheit hat, "Signale" aussenden kann, wird das ganze natürlich völlig unubersichtlich. Solche Informationen könnte er übrigens "in Hülle und Fülle" geben, z.B. durch Bemerkungen, Gesten usw. (oder sehe ich das falsch?)

Dass die Aufgabe erst vollkommen korrekt gestellt ist, wenn sowohl am Anfang das Auto "per Zufall" hinter eine Tür gestellt wird, als auch der Moderator bei Wahlfreiheit nach dem Zufallsprinzip eine "nicht gewählte Ziegentür" öffnet, ist auch nach meiner Auffassung richtig.

Die Aufgabe ist dann "abgesichert" gegen Einwände der Art, dass auch dann, wenn es überhaupt keinen Grund für eine Bevorzugung gibt, eine bewusste oder unbewusste "Strategie" vorliegen könnte.

Meiner Ansicht nach ist es bei Aufgaben dieses Typs völlig "üblich", in diesen Fällen das "Zufallsprinzip" anzunehmen. (Z.B. Münzwurf: Wappen oder Zahl? Wo sind die Chancen größer? - Wenn der Werfer nun ziemlich geschickt und nicht ganz vertrauenswürdig ist, bevorzugt er womöglich Zahl ... oder auch Wappen? Vielleicht ändert er seine Strategie von Wurf zu Wurf? ...)

Die "Verletzung des Zufallsprinzips" beim Öffnen der Tür durch den Moderator kann z.B. folgende Auswirkungen auf die Lösung der Aufgabe haben:

Angenommen, der Moderator öffnet bei Wahlfreiheit, falls dies möglich ist, immer die Tür rechts von der Tür, auf die der Kandidat zunächst gezeigt hat ("rechts von Tür 3 sei wieder Tür 1"). Dann ergibt sich, wenn der Der Kandidat zunächst Tür 1 gewählt hat, Folgendes:

Öffnet der Moderator Tür 3, gewinnt der Kandidat bei einem Wechsel (auf Tür 2) mit Sicherheit. Das trifft auf ein Drittel der Fälle zu. Öffnet der Moderator Tür 2, gewinnt der Kandidat (bei Wechsel oder nicht) mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Das trifft auf zwei Drittel der Fälle zu.

Das hat folgende interessante Konsequenz:

Wird das Spiel "genügend oft" bei dieser Moderatorstrategie gespielt, gewinnt der Spieler in 2/3 der Fälle durch einen Wechsel.

Im konkreten Fall kann man aber nicht sagen, ob die Wahrscheinlichkeit jetzt 1/2 ist oder 1.

Wird dieses Zufallsprinzip verletzt, ist die 2/3-Lösung bei der üblichen Aufgabenstellung (auch bei der mit der zentralen Spielregel) falsch.

Übrigens war es wohl u.a. dieses Zufallsprinzip beim Öffnen der Tür durch den Moderator (bei Auswahlmöglichkeit), das Steve Selvin 1975 nach Kritik an seinem "Monty Hall Problem" "nachgeliefert" hat. Es sieht fast so aus, als sei das aus der Sicht Selvins die entscheidende Regel gewesen. Bzgl. der Regel, dass Monty Hall den "nichtgewählten leeren Becher" hebt, geht Selvin offensichtlich davon aus, dass es eine spontane Entscheidung Monty Halls ist, jetzt nach dieser Regel zu handeln (ohne übrigens einen Wechsel anzubieten). Die Proteste gegen die Zwei-Drittel-Lösung waren demnach auch damals vorprogrammiert und fanden auch (in der Fachwelt) statt. (Quellen noch etwas unsicher ...)

Marilyn vos Savant soll übrigens in der Fachwelt vermutlich wegen des in der Aufgabe fehlenden Zufallsprinzips ernsthafte Probleme bekommen haben, die aus ihrer Sicht zu der eigentlichen unschönen und zermürbenden Auseinandersetzung geführt haben. (Die dummen Sprüche in anderen Leserzuschriften konnte sie ja ganz gut verkraften ...)

Im Artikel von Steinbach, der als Artikelquelle angegeben ist, werden diese Dinge unter "Haarspaltereien" abgehandelt. Ich möchte ihm da nicht widersprechen. Aber ich habe (schon seit langem) in meiner alternativen Aufgabenstellung (s.o.) zweimal das Zufallsprinzip eingebaut. Ich habe auch vor, eine Bemerkung voranzustellen, die (mit weiterführendem Literaturhinweis) auch diese "Haarspalterei" (?) als ernsthaften Einwand ernst nimmt.

Spieler und "Denksportler" werden, wie ich in meiner Artikelversion kurz erwähne, durch die Anrede "You" bzw. "Sie" gleichgesetzt. Es ist dadurch klar, dass niemand davon ausgeht, dass der Kandidat etwas nicht weiß, was andere (außer der Moderator usw.) wissen. D.h. der Kandidat muss die Regeln kennen bzw. aus dem Ablauf 100%ig erschließen können.

In meiner Artikelversion habe ich geschrieben:

Als angeblich überzeugender Beleg für die Richtigkeit der Zwei-Drittel-Lösung waren häufig auch Computersimulationen angeführt worden. Sie kamen aber nur deshalb zu diesem Ergebnis, weil die in der Aufgabe nicht vorhandene Spielregel als unausgesprochene Voraussetzung in die Programme eingeflossen ist.

Wer das macht, hat eine gestellte Aufgabe falsch gelöst.

Die Computerprogramme haben das, was auf der Bühne vorgeht, wiederholt ablaufen lassen. "Ohne es zu merken", haben sie dadurch eine Regel ins Spiel gebracht. Es wurde "versehentlich" eine andere Aufgabe gelöst als die gestellte.

Die Einschätzung der Computerprogramme ist für das Problem zentral.

Meinen zentralen Satz zur ganzen Problematik wiederhole ich noch einmal:

Meiner Ansicht nach wurde in der Zwei-Drittel-Fraktion nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung.

Der erste Fall lässt sich nicht durch Computerprogramme der vorgelegten Art simulieren.

Natürlich würde ich mich freuen, wenn sich andere Mathematiker dazu äußern würden.

--Albtal 14:45, 28. Aug. 2008 (CEST)

Das "Würfeln" sichert gegen eine Strategie ab (beispielsweise, dass der Moderator das Auto immer hinter Tor 3 plaziert). Es ermöglicht ein Nash-Gleichgewicht in gemischter Strategie. Wenn diese Strategie (immer Tor 3) bekannt wäre, würde eine "reine" Strategie des Mitspielers möglich sein. (Ähnliches trifft auf andere Fälle zu.) Wenn man würfelt, hat man, egal, was der Moderator macht, und welche Strategie er wählt, eine Wahrscheinlichkeit von 50%. Das ist zugleich die größte mit Sicherheit erreichbare in der originalen Version, wenn die Spielregeln nicht weiter geändert werden. PS: Mit "Verständnisproblemen" habe ich gemeint, dass bei korrekt gestellter Aufgabe Verständnisprobleme sowohl in der originalen als auch in der angepassten Aufgabe auftreten. In der originalen, weil einige nicht bemerken, dass es eine andere als die angepasste ist, bei der angepassten, weil sie da ebenfalls auftraten. In beiden Fällen werden viele nicht verstehen, was vorgeht. --Hutschi 15:29, 28. Aug. 2008 (CEST)

Wenn ich diese überlangen Ergüsse richtig verstanden haben, werden der originalen Aufgabenstellung drei fehlende Informationen vorgeworfen:

1. Es stehe nicht drin, daß der Host eine Tür öffnen müsse und dem Kandidaten eine zweite Wahl geben.
2. Es stehe nicht drin, daß der Host - falls der Kandidat im ersten Schritt die Türe mit dem Hauptgewinn gewählt hat - zwischen den übrigen Türen frei wählen könne.
3. Es stehe nicht drin, daß der Kandidat die Spielregeln kennen müsse.

Keiner der drei Punkte überzeugt mich.

1. In der mir vorliegenden Fassung der Aufgabenstellung heißt es: „You pick a door, say #1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat.“ Das ist der Spielablauf. Eine weitergehende Annahme wäre, daß der Spielablauf auch anders sein kann - davon ist aber nicht die Rede. Nicht die korrekte Lösung verlangt hier also eine zusätzliche Angabe, sondern der Versuch, sie zu widerlegen.
2. Es macht für die Wahrscheinlichkeit, wie sich ein Wechsel auswirkt, keinen Unterschied, nach welchen Kriterien der Host in diesem Fall die zu öffnende Tür wählt - Wechsel ist dann in jedem Falle falsch. Im übrigen ist auch die Forderung, der Host müsse „gutwillig“ oder „fair“ sein, überflüssig, solange er tut, was im Ablauf vorgegeben ist: Eine Frage stellen, eine Türe öffnen und noch eine Frage stellen. Solange nicht noch weitere Annahmen hinzukommen(!), hat der Host keinerlei Einfluß auf Wahrscheinlichkeiten oder Ergebnis.
3. Daß der Kandidat die Spielregeln kennt, ergibt sich zwanglos aus der Tatsache, daß sie ihm mitgeteilt werden, und zwar durch die Fragestellung. Schließlich richtet sich die Frage ja an jemanden, der sich vorstellen soll, er sei der Kandidat eines Spiels, bei dem Folgendes passiert ...

Befremdlich finde ich, daß der Vertreter dieser Änderung als Beleg hauptsächlich Quellen anführt, die anderer Meinung sind als er. -- M.ottenbruch 20:32, 28. Aug. 2008 (CEST)

An Stefan Birkner:

Den Artikel in der jetzigen Form finde ich gut. --Albtal 23:10, 28. Aug. 2008 (CEST)

Danke. Ich dachte, dass sich deine Kritik auch auf den aktuellen Artikel bezieht. Nichtsdestotrotz stecke ich noch einige Arbeit rein, um auch der Leserbriefaufgabenstellung und den von dir aufgeführten Kritikpunkten gerecht zu werden. --Stefan Birkner 08:29, 29. Aug. 2008 (CEST)

An Stefan Birkner:

Die "Debatte", die als Ausgangspunkt die Leseranfrage 1990 hatte, kommt ja auch bei dir "implizit" vor, indem du eben diesen Ausgangspunkt klar in das Fachliche einordnest. Die richtige Einordnung dieser Leseranfrage war ja letztlich auch das Anliegen meiner Darstellungen. Und vielleicht ist es sogar besser, auf diese "dezente" Weise auf die Debatte hinzuweisen (und an ihr teilzunehmen ...), anstatt sie ausführlich darzustellen.

Zwei Bemerkungen zum Artikel:

In einem Satz: Kann man durch eigene Wahl nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 erreichen, verbleiben nach Aufzeigen der Niete die anderen 2/3 beim dritten Tor, welches man wählen sollte.

Ich hatte mir als einfache Erklärung mal gedacht:

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Zeigt er am Anfang auf Tür 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, als auch, wenn es hinter Tür 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tür 2 oder Tür 3 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend die andere dieser beiden Türen.

"In einem Satz" (auch für Laien gut verstehbar):

Zeigt er am Anfang auf Tür 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, als auch, wenn es hinter Tür 3 steht.

(Dieser Satz ist deinem ersten Satz dieses Abschnitts ähnlich, nur vielleicht (für Laien) noch leichter verstehbar.)

Vielleicht passt der Satz auch zu "Sprachlich einfache Erklärungen"; dort dann auch unter "In einem Satz" ...

Das als Alternative ...

Weiterer Punkt: Auflösung der verbreiteten Fehlargumentation

Eigentlich ist diese "Fehlargumentation" durch den vorangehenden Abschnitt ja schon "aufgelöst". Und die Erläuterungen zur 50:50-Lösung führen aus meiner Sicht eigentlich eine neue Fragestellung ein. Denn die Frage der Aufgabe lautet ja: "Bei welcher Tür sind seine Chancen besser?" (Und nicht: "Wie kann er seine evtl. erkannte Chance durch schlechte Wahl verringern?")

Oder sehe ich da etwas falsch?

Noch eine allgemeine Bemerkung (nicht unbedingt ein Änderungsvorschlag):

Man merkt der 7-punktigen Aufgabenstellung und den Erläuterungen dazu an verschiedenen Stellen noch an, dass sie die "Korrektur" einer falschen Aufgabenstellung darstellt.

Denn von einer echten ersten "Wahl", von "Beharren" und "Wechsel" kann bei dieser (sonst korrekten) Aufgabe eigentlich nicht mehr die Rede sein (schon gar nicht für den "klugen" Kandidaten, der sowieso von vornherein den "Wechsel" anstrebt). Und die "Mitarbeit des Moderators" ist jetzt Bestandteil der Spielregel. Usw.

Aber wenn diese Aufgabenformulierung inzwischen "Standard" ist, sollte man sie ja vielleicht so lassen und nicht gleich durch eine "bessere" ersetzen wie z.B. deine:

Der Kandidat wählt zwei Türen aus und bittet den Moderator, eine Niete sicher auszuschließen, ...

oder meine (s. o.), die die gesamte Aufgabenformulierung an diesem korrekten Spielgedanken ausrichtet (und nicht sieben Punkte (schon in der Aufgabenstellung) einzeln auflistet).

--Albtal 11:14, 29. Aug. 2008 (CEST)

An Stefan Birkner zu "Aufgabe des Leserbriefs":

(Ich weiß, dass du da noch Ergänzungen vornehmen möchtest; hier meine Ideen ...)

Ich schlage hier noch folgende mehr ins Detail gehende Ergänzungen vor, die ich im wesentlichen meiner Artikelversion vom ??? entnommen habe. Damit schlage ich übrigens auch vor, die Frage, ob der Kandidat die Spielregeln kennt, einfach wegzulassen, da schon durch die Aufgabenstellung durch "You" bzw. "Sie" alle irgendwie "Beteiligten" (außer dem Moderator usw. ...) gleichgesetzt werden. Dadurch käme meiner Ansicht nach eine Verästelung ins Spiel, die der Klarheit der Aussage nur schaden würde.

Hier der Text ("Fußnoten" müssten noch angepasst werden):

Gegenüber der in diesem Artikel besprochenen Aufgabenstellung des Ziegenproblems fehlt unter anderem die für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung entscheidende Spielregel, die den Moderator nach der ersten "Wahl" des Kandidaten zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür zwingt.

Die bloße Tatsache, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, sagt nichts über seine Strategie aus.

So könnte der Moderator zum Beispiel nur dann eine andere Tür mit dem Angebot eines Wechsels öffnen, wenn der Kandidat mit der ersten Wahl recht hatte. Dann verliert der Kandidat bei einem späteren Wechsel sogar mit Sicherheit.

Dazu ist noch zu bemerken, dass die Formulierung der Aufgabe sogar eher noch nahelegt, dass eine solche vorher festgelegte Spielregel auch "implizit" nicht existiert. Für den Kandidaten und den Leser, die durch die Formulierung "You" bzw. "Sie" gleichgesetzt werden, sieht es eher so aus, als sei die erste Aktion tatsächlich eine "Wahl" mit der Hoffnung, damit das Auto zu gewinnen, und als sei zunächst noch nicht klar, was der Moderator vorhat.

So deutet Gero von Randow durch seinen Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was"[2][4] sogar explizit an, dass er gerade keine allgemein bekannte Spielregel annimmt (siehe auch[5]). Stattdessen geht er offensichtlich davon aus, dass der Moderator durch diese Bemerkung klar macht, dass er jetzt nach dieser Regel handelt. Diese Annahme ist aber falsch, da z.B. auch die oben beschriebene Strategie, bei der der Kandidat bei einem Wechsel der Tür mit Sicherheit verliert, völlig kompatibel zu dieser Bemerkung ist.

Wer ohne Kenntnis einer Strategie des Moderators vor der zweiten Wahl steht, muss zufällig eines der beiden verbleibenden Tore öffnen, um mindestens eine 50-prozentige Chance auf den Gewinn zu haben.[2].

Was meinst du dazu?

--Albtal 21:53, 29. Aug. 2008 (CEST)

An Stefan Birkner und Hutschi:

Aus wichtigen fachlichen Gründen (und aus Gründen des Verständnisses), die ich selbstverständlich noch näher erläutern kann (und die man auch erkennen wird), werde ich Änderungen im Bereich "Einfache Erklärung" und "Auflösung der verbreiteten Fehlargumentation" usw. vornehmen.

--Albtal 09:47, 31. Aug. 2008 (CEST)

An Stefan Birkner und Hutschi:

Ich habe die Änderungen jetzt vorgenommen; außerdem noch der Bayesschen Formel die gegebenen Voraussetzungen auf Grund der Aufgabenstellung vorangestellt.

Am "Schema für die Wechselstrategie" könnte es fachliche Kritik geben. Es stellt nicht genau die Aufgabenstellung und die entsprechende Beweisführung dar (wie die unter "Detaillierte Begründung", sondern entspricht meines Erachtens eher der Darstellung analog zur "Einfachen Erklärung".

Wenn das Bildchen oben rechts mit der etwas "saloppen" Aufgabenbeschreibung bleiben soll, sollte man wenigstens schreiben: " ... ein anderes Tor, hinter dem sich eine Ziege verbirgt (hier Tor 3)...", also das Wort "anderes" einfügen.

(Soll man einheitlich "Tor" oder "Tür" schreiben? ...)

--Albtal 13:05, 31. Aug. 2008 (CEST)

Am Ende von "Alternativen und Erweiterungen" habe ich die von mir schon erwähnte Textaufgabe ohne Einzelpunkte eingefügt. Ich denke, dass sie tatsächlich "wasserdicht" ist (?). Sie hat meiner Ansicht nach neben ihrer geschlossenen Form den Vorteil, dass sie von der "Originalaufgabe" nicht mehr "infiziert" ist. Warum soll Wikipedia diesen "Service" für Schulen usw. nicht leisten? ...

--Albtal 16:34, 31. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe die Aufgabenstellung wieder entfernt. Mit der Problemstellung liegt schon eine wasserdichte Formulierung vor. Die Wikipedia ist eine Enzyklopädie und keine Lehrmittelsammlung. --Stefan Birkner 17:52, 31. Aug. 2008 (CEST)

Übrigens gibt es das von Albtal angesprochene Problem nur, wenn es sich um ein Einzelspiel handelt oder um so kurze Serie, dass man das Verhalten des Moderators nicht ableiten kann. Wenn es eine sich wiederholende Fernsehshow ist, entfällt die Möglichkeit, dass der Moderator die Tür nur öffnet, wenn der Teilnehmer eine Tür mit Auto gewählt hat (weil das Spiel sonst trivial und nicht sinnvoll ist.) Wenn man die implizite Annahme trifft, dass es sich um eine Serie handelt und dabei einfache Regeln gelten, folgt die Lösung von Frau Savant im angegebenen Fall. Die entsprechende Annahme folgt aus dem Seriencharakter dann implizit. --Hutschi 09:13, 1. Sep. 2008 (CEST)

Siehe meine Bemerkungen oben im Abschnitt "Zur Kenntnis der Spielshow" vom 21. August, 11:54

Das Wort "trivial" müsste man in diesem Zusammenhang anders verwenden: Durch den Hinweis auf die (sogar recht plausible; aber das müsste sie gar nicht sein) 100%-Verluststrategie wird gezeigt, dass die zwei-Drittel-lösung trivialerweise falsch ist.

Und warum geht eigentlich hier niemand darauf ein, dass auch Monty Hall selbst sowie Martin Gardner die Zwei-Drittel-Lösung für falsch halten?

Übrigens ist es nicht verwunderlich, dass die "Ziegenshow" in der inzwischen "korrekten" Form nie stattgefunden hat. Denn sie wäre ja schlicht das "Spiel", zwei aus drei Türen auswählen zu dürfen.

Meine Bemerkungen hier in diesem Forum sind von denen, die sich bisher dazu gemeldet haben, nicht verstanden worden. Und deshalb übrigens auch nicht der Grund, weshalb es den ganzen Wirbel gegeben hat.

Sinnvoll wäre jetzt nur noch eine Diskussion auf der Höhe des Artikels von Steinbach.

Als ein Mosaikstein dazu:

Gero von Randow ging offensichtlich davon aus, dass in der Aufgabe ein Problem vom Typ "Gefangenenparadoxon" & Co, eingebettet in eine Spielshow, gestellt wird. (Die Kenntnis der Spielshow bzw. deren festgelegte Regeln spielen bei ihm überhaupt keine Rolle.) Er hat dann in Wirklichkeit versucht, mit dem geschilderten Ablauf der Show diese "Denksportaufgabe" (s.a. Steinbachartikel) zu lösen. Dazu folgende "Spielvariante" (von einem späteren "Wechsel" der Tür sei bisher überhaupt nichts bekannt):

Monty Hall lässt sich in seiner Show heute mal Folgendes einfallen: Bevor der Kandidat seine Auswahl trifft, sagt er: "Heute wollen wir, nachdem unser Kandidat seine Wahl getroffen hat, aber bevor ich ihm zeige, ob er gewonnen hat, zusammen eine Denksportaufgabe lösen. Ich werde eine der beiden verbleibenden Türen öffnen, hinter der eine Ziege steht. Sie sollen dann herausfinden, ob sich seine Gewinnchancen dadurch erhöhen. Der Kandidat wählt daraufhin Tür 1, und Monty Hall sagt: "Wir wissen ja alle, dass seine Gewinnchance 1/3 beträgt." Und er öffnet jetzt Tür 3. "Wie groß ist seine Gewinnchance jetzt?" Aus dem Publikum kommen Rufe "1/2", "immer noch 1/3". Monty Hall fragt den Kandidaten: "Haben Sie jetzt eine größere Chance?" Der Kandidat: "Eigentlich nicht ..." Schließlich einigt man sich auf 1/3, und Monty Hall bestätigt noch mal, dass er versichern kann, dass dieses Ergebnis stimmt, dass die Chance des Kandidaten also nach wie vor 1/3 ist. "Soll ich unserem Kandidaten heute mal ausnahmsweise die Möglichkeit geben, die Tür zu wechseln?" Schließlich bietet er dem Kandidaten den Wechsel an. Der Kandidat blickt skeptisch, und aus dem Publikum rufen gerade auch die, die vorher der Zwei-Drittel-Lösung 100%ig zugestimmt haben: "NEIN!" ...

Fast in allen "Beweisen" der Zwei-Drittel-Lösung, die mir bekannt geworden sind, kommt nicht zum Ausdruck, wie streng die Voraussetzungen bei einem Problem vom Typ "Gefangenenparadoxon" sein müssen, damit eine 2/3-Lösung folgt.

Und weil das nicht klar ist, wurde die Aufgabenstellung vos Savants akzeptiert.

Folgende Aussage ist falsch: "Wenn ich bei insgesamt drei Möglichkeiten von den Möglichkeiten '2 oder 3' die Möglichkeit 3 ausschließe, bleibt die 2/3-Wahrscheinlichkeit bei 2". Sie gilt eben nur unter strengen Voraussetzungen, auf die im Beweis explizit Bezug genommen werden muss.

--Albtal 12:39, 2. Sep. 2008 (CEST)

Warum man die 0% bzw. 100%-Lösung bei wiederholtem Spiel praktisch ausschließen kann, wenn der Moderator einer Regel folgt, bei der er dann und nur dann eine Tür öffnet, wenn der Teilnehmer sie gewählt hat: Nach wenigen Wiederholungen ist diese Regel bekannt. Wenn der Spielmeister ständig die Regeln wechselt, geht das natürlich nicht mehr. Eine Regel mit vollständig determinierter Lösung widerspricht dem Gedanken des Spiels. Man kann auch beobachten, ob er eine Regel verwendet, bei der er manchmal eine Tür mit Ziege öffnet und manchmal nicht. Im Falle, dass er immer (in jedem Spiel) eine Tür mit Ziege öffnet, folgt die 2/3-Lösung sofort, zumindest, wenn man einfache Spielregeln annimmt, wie Zufallsverteilung der Autos und Festlegen, wo sie stehen, bevor das Spiel beginnt. Die Wahrscheinlichkeit, bei festen, aber unsymmetrischen Spielen zu gewinnen, ist ebenfalls nicht notwendigerweise 2/3 Bei einfachen Regeln und der Betrachtung, dass es sich um ein Spiel handelt, folgt die 2/3-Regel auch, wenn der Spielmeister in wenigen Spielen eine andere Regel verwendet. --Hutschi 13:21, 2. Sep. 2008 (CEST)

Monty Hall hat ständig seine "Regeln" gewechselt. Einen "Wechsel" hat es bei ihm aber nie gegeben. Die Frage "Sollte er wechseln" wurde vom Leser in der Anfrage hinzugefügt (wie vermutlich schon 1975 in dem erstmals von Steve Selvin formulierten "Monty-Hall-Problem" (s.o.)). In der Show selbst hat Monty-Hall verschiedene Möglichkeiten angewendet, die Sache spannend zu machen. U.a. hat er ja auch Geldbeträge dafür angeboten, für die der Kandidat auf seinen möglichen Gewinn verzichten sollte. Dabei kam es manchmal auch vor, dass Monty Hall eine andere Tür (oder eine Schachtel) mit einer Niete öffnete, um ihn weiter zu verunsichern. Diese Situation war dann vermutlich der Ausgangspunkt sowohl für Selvins "Monty-Hall-Problem" als auch für die Leserfrage an Marilyn vos Savant. (Weiß jemand etwas Genaueres?)

Vor kurzem habe ich ja im Artikel die Abschnitte "Einfache Erklärung" und "Detaillierte Begründung" eingebaut bzw. geändert. Falls hieran jemand Kritik oder Verbesserungsvorschläge hat: Sie sind willkommen.

Leider hat sich hier niemand gemeldet, der meine Argumente richtig einordnen kann oder will. Vermutlich haben die Leute, die das könnten, nur "gelesen" oder es gemacht wie Math-ulk (s.o.). Auch ich werde mich erst mal von Wikipedia verabschieden. (nicht signierter Beitrag von Albtal (Diskussion | Beiträge) )

Wenn Monty Hall nur manchmal eine Tür öffnete und wechselnde andere Strategien anwendete, kann man die Aufgabe nicht so einfach lösen. Die Computersimulationen lösen eine andere Aufgabe. Gegebenenfalls wäre ein Würfeln mit einer 50%/50% Wahrscheinlichkeit dann optimal, sicher bin ich nicht, ohne es nachzurechnen. Das Ziegenproblem ist aber ein mathematisches Problem und kann sich, wenn die Aufgabe klar definiert wird, von der Show unterscheiden. PS: die "einfache Erklärung" und die "detaillierte Begründung" erscheinen mir korrekt für die weiter oben angegebene AUfgabenstellung. --Hutschi 15:09, 2. Sep. 2008 (CEST)

Artikelergänzung unter "Aufgabenstellung aus dem Jahr 1990 und Marilyn vos Savants Lösung"

Ich habe jetzt die Änderungen und Erweiterungen im Artikel zu "Aufgabenstellung aus dem Jahr 1990 und Marilyn vos Savants Lösung" vorgenommen, da sie wichtige Informationen zum Thema darstellen, die aus meiner Sicht unbegingt in eine Enzyklopädie gehören.

Ich denke, dass meine Darstellung gut begründet ist und auch durch Quellen belegt. Falls dies trotzdem nicht ausreichend erscheint, kann ich den Abschnitt natürlich noch ergänzen, auch durch zahlreiche zusätzliche Quellenangaben. Aus meiner ersten Sicht ist die Darstellung aber klar und kompakt.

--Albtal 08:25, 3. Sep. 2008 (CEST)

Meine oben erwähnten Änderungen und Erweiterungen zu "Aufgabenstellung aus dem Jahr 1990 und Marilyn vos Savants Lösung", die ich heute um 8 Uhr 12 in den Artikel eingebaut hatte, wurden um 8 Uhr 19 von M.ottenbruch mit folgendem Kommentar wieder rückgängig gemacht:

"Änerungen von Albtal rückgängig gemacht: ausufernd, feuilletonistisch, tzeilw. POV. Die angebliche Schwäche der Formulierung war nicht alleiniger Grund der Diskussion"

Für alle Interessierten:

Meine Version kann unter "Versionen/Autoren" eingesehen werden. Sie ist vom 3. September 2008, 8 Uhr 12.

Ich werde, nachdem ich mir schon die Mühe gemacht habe, selbstverständlich die Möglichkeiten wahrnehmen, die Wikipedia bietet, damit diese wichtigen Informationen wieder in den Artikel kommen.

Ich habe zu Steinbachs Auffassung Bemerkungen gemacht, die meiner Ansicht nach gut begründet und für das Thema zentral sind.

--Albtal 08:47, 3. Sep. 2008 (CEST)

Die von Dir beschriebenen Edits erschließen sich dem Sachkundigen bereits aus der Versionsgeschichte. Es ist nicht nötig, jeden Edit auf der Diskussionsseite separat nachzuerzählen. -- M.ottenbruch 09:44, 3. Sep. 2008 (CEST)

Hätte M.ottenbruch das Revert nicht gemacht, wäre es von mir gekommen - mit der sinngemäß gleichen Begründung. --AchimP 12:03, 3. Sep. 2008 (CEST)

Im Artikel der englischen Wikipedia zum "Monty Hall problem" befindet sich unter "External links" ein Link auf eine Simulation des Spiels, die auf einfache und klare Weise zeigt, dass es sich beim ursprünglichen "Ziegenproblem", in Kombination mit der Behauptung der Zwei-Drittel-Lösung, um eine Scherzaufgabe handelt.

--Albtal 18:14, 4. Sep. 2008 (CEST)

Es finden sich dort aber auch folgende Aussagen:

"Some [Hervorhebung von mir] of the controversy was because the Parade version of the problem is technically ambiguous since it leaves certain aspects of the host's behavior unstated, for example whether the host must open a door and must make the offer to switch.

(...)

Even when given a completely unambiguous statement of the Monty Hall problem, explanations, simulations, and formal mathematical proofs, many people still meet the correct answer with disbelief."

So what?

-- Wilbert 87.187.73.8 18:39, 4. Sep. 2008 (CEST)

Nachtrag @ Albtal:

Ihre Bemühungen, "das Ziegenproblem" letztlich auf die mehrdeutige Version von MvS zu reduzieren und der bereinigten Fassung einen vergleichsweise marginalen Stellenwert einzuräumen, schießen m. E. deutlich über das Ziel hinaus. Mir fehlen jedenfalls bislang überzeugende Belege dafür, daß das (damalige) Negieren der 2/3-Lösung in einem hinreichend relevanten Zusammenhang mit der damaligen Fassung der Aufgabe stand/steht. Wie ich an anderer Stelle schon schrieb, sind meine persönlichen praktischen Erfahrungen bei der Diskussion (ausschließlich der bereinigten Fassung) des Problems ganz andere. Sie haben Ihre eigenen gegenläufigen Erfahrungen den meinen gegenübergestellt, und das kann ich nur zur Kenntnis nehmen. Wenn Sie so wollen, steht hier "Aussage gegen Aussage". Über solche tatsächlichen Grundlagen wird man sich wohl auch schlecht einigen können. Die vorhin von mir zitierten Passagen aus der englischen Wikipedia sprechen aber wohl eher für mich, oder?

-- Wilbert 87.187.73.8 19:01, 4. Sep. 2008 (CEST)

zu Wilbert:

Es kann doch nicht Ihr Ernst sein, dass die von Ihnen "zitierten Passagen" für Sie sprechen. Passagen gibt es viele auf der Welt.

Bisher ist zu allen meinen Ausführungen noch kein einziges Gegenargument gekommen.

Obwohl es eigentlich für die Sache unbedeutend ist, möchte ich hier noch einmal klarstellen, dass Sie hier eine Diskussion mit jemandem führen, der zu denen gehört, von denen Marilyn vos Savant sagt, "that they really understand the problem". Und der sofort nach Bekanntwerden des "Ziegenproblems" 1991 in Deutschland durch die ZEIT als Beleg für die Richtigkeit der Lösung Marilyns das 100-Türen-Beispiel gebracht hat. Wie ich 10 Jahre später feststellte, in frappierender Übereinstimmung mit der "intelligentesten Frau der Welt", die diese anschauliche Begründung ja auch in ihrer ersten Antwort auf die Leseranfrage gebracht hatte.

Allerdings habe ich damals auch sofort darauf hingewiesen, dass die Zwei-Drittel-Lösung nur bei entsprechenden Spielregeln gilt. Und ich habe ebenfalls sowohl mit anschaulichen als auch mit exakten mathematischen Darstellungen begründet, weshalb die Zwei-Drittel-Lösung ohne diese Regeln falsch ist

Ich hatte übrigens 1991 als selbstverständlich angenommen, dass die Originalaufgabe Marilyns die richtigen Spielregeln enthalten hatte. Als ich um 2000 mal im Internet nachgeschaut habe, was eigentlich aus dem "Ziegenproblem" geworden ist, war ich sehr überrascht und natürlich auch etwas enttäuscht, da mein veröffentlichtes Argument mit den 100 Türen (das inzwischen auch zur "zitierten Passage" geworden war) ja ohne "die andere Hälfte" eine falsche Grundlage hatte.

Diejenigen, die bei Wikipedia zum "Ziegenproblem" bisher das Sagen hatten, kann man nicht einmal als die "blinden Könige der Einäugigen" bezeichnen.

Wir sind uns alle wenigstens darin einig, dass ich zu der Problematik hier schon genug geschrieben habe.

Ich werde jetzt die Diskussion anderen überlassen.

--Albtal 10:17, 5. Sep. 2008 (CEST)

Keine persönlichen Angriffe, bitte. --AchimP 11:40, 5. Sep. 2008 (CEST)

Das Bild beschreibt meine Auffassung der Konstellation der beiden beteiligten Gruppen (die dritte Gruppe kommt darin nicht vor). Übrigens: Die angeblich Einäugigen sind ja bisher bei Wikipedia nicht gerade nobel behandelt worden.--Albtal 14:21, 5. Sep. 2008 (CEST)

Wilbert schrieb: "Mir fehlen jedenfalls bislang überzeugende Belege dafür, daß das (damalige) Negieren der 2/3-Lösung in einem hinreichend relevanten Zusammenhang mit der damaligen Fassung der Aufgabe stand/steht." - Man kann sie nicht finden, weil die Aufgabe in der Form verstanden wurde, die der bereinigten Fassung entspricht (korrigiert) (gibt es Gegenbeweise?). Kein mir bekanntes veröffentlichtes Argument wies zunächst darauf hin, dass die Aufgabenstellung mehrdeutig ist. Erst bei späteren Argumenten wurde daruf hingewiesen. ("Mehrdeutig" übrigens nur, wenn man sie nicht "scharf" interpretiert, also alle Möglichkeiten zulässt. Das wurde aber erst später gemacht.) Wenn das Spiel im Sinne von Wiederholungen sinnvoll sein soll, ergeben sich nur zwei Möglichkeiten für den Spielmeister: 1. ständig wechselnde Strategien oder die für die 2/3-Mehrheit. Die Möglichkeit, stets nur eine Tür anzubieten, wenn der Teilnehmer eine Auto-Tür geöffnet hat, würde sehr schnell erkannt werden und ist möglich, aber nicht sinnvoll, da streng determiniert. --Hutschi 12:17, 5. Sep. 2008 (CEST)

@ Hutschi: „[…] weil die Aufgabe in der Form verstanden wurde, die der bereinigten Fassung widerspricht“. Soll das nicht eher „enspricht“ heißen? -- M.ottenbruch 16:01, 5. Sep. 2008 (CEST)

PS: An Wilbert: Einen schönen Gruß an Wilbert!

--Albtal 14:16, 5. Sep. 2008 (CEST)

Danke. Ganz klar: entspricht. Es war ein Typo, vielleicht Wortfindungsstörungen. Gedacht habe ich "entspricht" und das geht auch klar aus dem Kontext hervor. Ich habe es im Text korrigiert. --Hutschi 14:50, 8. Sep. 2008 (CEST)

@ Albtal:

Ich habe aus Ihren bisherigen Beiträgen den Eindruck gewonnen, daß für Sie der allein interessierende Aspekt des sog. "Ziegenproblems" sich auf den Nachweis reduziert, daß die 2/3-Lösung für die Ursprungsversion von MvS falsch ist, also die 2/3-Verfechter damals allesamt selbst Opfer eines Denk- bzw. Verständnisfehlers geworden sind, so daß ihre teilweise zu beobachtende Überheblichkeit gegenüber den Vertretern der 50/50-Fraktion also völlig unangebracht war.

Die Darstellung der Lösung zur bereinigten Version scheint für Sie, so jedenfalls mein Eindruck, dann eher eine lästige Pflichtübung, jedenfalls völlig sekundär zu sein.

Schwerer fällt aber m. E. ins Gewicht, daß Sie im Rahmen Ihres eigenen Ansatzes nach der Erörterung der Unrichtigkeit der 2/3-Lösung die doch wohl sehr interessante und sich jedem bohrend aufdrängende Anschlußfrage, welche Lösung denn nun anstelle der 2/3-Lösung die richtige für die Mvs-Fassung sei, ausgesprochen stiefmütterlich behandeln. Das wird in den Artikelversionen unmißverständlich deutlich, die Sie als kompletten Ersatz [sic!] für den bisherigen Artikel vorgeschlagen haben, die also doch wohl klar widerspiegeln dürften, worum es Ihnen geht.

So heißt es zBsp in Ihrer Version vom 26. 8., 13:31 unter "Fazit" lapidar:

Wer bei der vorliegenden Aufgabenstellung keinen Unterschied zu einem "Spiel" sieht, bei dem von vornherein nur zwei Türen vorhanden sind, und zu einer "50 zu 50"-Lösung kommt, denkt durchaus plausibel.

Und damit ist bei Ihnen bezüglich der Erörterung irgendeiner 50/50-Lösung unvermittelt schon wieder "Ende der Durchsage", denn dies ist der einzige Satz in Ihrem Artikel, in dem das Thema überhaupt angesprochen wird. Diese Formulierung, die schon in Ihrem ersten Beitrag enthalten war, kam mir auf Anhieb verdächtig diplomatisch vor - leider ist sie aber in ihrer Unschärfe durchaus geeignet, in puncto "Strategiefähigkeit" fälschlich eine Gleichstellung von 2/3-Lösung und 50/50-Lösung zu insinuieren. Tatsächlich käme das aber dem legendären Vergleich von Äpfeln mit Birnen gleich. Denn während die 2/3-Lösung (wo sie zutrifft) strategiefähig ist, ist diejenige "50/50-Lösung", die für die MvS-Aufgabe in Betracht kommt, gerade nicht strategiefähig. Wäre sie das, könnte der Kandidat sich nämlich für "Nie-Wechseln" entscheiden (naürlich auch für Immer-Wechseln, er kann auch Würfeln), und würde mit diesem Verhalten in 50% aller Fälle das Auto gewinnen. Davon, daß dies aber für die MvS-Variante so nicht zutrifft, gehen Sie selbst noch in Ihrer letzten Artikelfassung aus: der Kandiat muß zufällig wählen (also Würfeln/Münzwurf o. aä.). So gänzlich "egal", wie es bei einer echten 50/50-Lösung der Fall wäre, ist es eben in diesem Falle nicht, was der Kandidat tut oder nicht tut.

Ich denke, somit sind jetzt Sie am Zug, zu belegen, daß diejenigen, die im Verlauf der historischen Debatte für eine 50/50-Lösung plädiert haben, damit die "Zufällig-Wählen-Lösung" und nicht etwa schon damals eine strategietaugliche 50/50-Lösung gemeint haben, wie sie heute unter Geltung der bereinigten Version immer noch von der Mehrzahl der Rater spontan vertreten wird (so, wie gesagt, meine Erfahrungen), und zwar genau aus den von Harry Nützel so schön herausgearbeiteten Gründen.

-- Wilbert 87.187.126.169 20:35, 5. Sep. 2008 (CEST)

Ich werde jetzt das Spielfeld natürlich nicht verlassen, wo die Gegenargumente und Gegenfragen tatsächlich an meinen Beiträgen ansetzen. (Gut, dass ich nochmal reingeschaut habe.)

Die Darstellung der Lösung zur bereinigten Version scheint für Sie, so jedenfalls mein Eindruck, dann eher eine lästige Pflichtübung, jedenfalls völlig sekundär zu sein.

Ja. Und ich kann sagen, dass die Änderungen, die ich (z.T. auch mit neuen Überschriften) vor einigen Tagen unbeanstandet unter "Einfache Erklärung" und "Detaillierte Begründung" in den Artikel eingebaut habe (vielleicht haben Sie diese Änderungen jetzt u.a. auch schon mit der "Pflichtübung" gemeint), tatsächlich nur eine "Pflichtübung" waren, die "aus wichtigen fachlichen Gründen", wie ich die Änderungen hier angekündigt habe, aus meiner Sicht erforderlich waren. (Diese Änderungen betrafen, nebenbei bemerkt, indirekt sehr wohl auch den "Hauptstrang" meiner Beiträge, aber darauf möchte ich im Moment nicht näher eingehen.)

Wer bei der vorliegenden Aufgabenstellung keinen Unterschied zu einem "Spiel" sieht, bei dem von vornherein nur zwei Türen vorhanden sind, und zu einer "50 zu 50"-Lösung kommt, denkt durchaus plausibel.

Meine Überlegungen beinhalten in der Tat zwei "Hauptlinien", die auf folgende Thesen hinführen:

• Die Zwei-Drittel-Lösung für die gestellte Aufgabe (wofür auch sonst?) ist falsch.

• Die Halbe-Halbe-Lösung für die gestellte Aufgabe (wofür auch sonst?) ist richtig.

Die erste These ist vollkommen richtig, da es für die Korrektheit der Zwei-Drittel-Lösung keine korrekte Begründung ("Beweis") gibt. Es liegt ein in der Mathematik ganz normaler Fehlertyp vor, nämlich eine Behauptung, die nicht durch die Voraussetzungen gedeckt ist.

Streng genommen könnte man jetzt die gesamte Debatte für beendet erklären, und ob die Aufgabensteller ihre Aufgabe jetzt noch einmal überdenken oder nicht, ist für die Hauptfrage ("Hat die Aufgabe eine Zwei-Drittel-Lösung"?) eigentlich egal.

Die Gruppe, die die Zwei-Drittel-Lösung nicht anerkennt, hat also recht. Aber Frage: Ist auch die in der Regel damit verbundene Behauptung richtig, die korrekte Lösung laute fifty-fifty? Z.B. mit der Begründung, vorher musste man eine aus drei Türen bestimmen, danach eben nur noch eine aus zwei.

Nehmen wir an, diese Behauptung beruhe lediglich auf "Intuition". Wir können dann dieser "Intuition" bescheinigen, dass sie sogar fast perfekt mit dem Resultat spieltheoretischer Analysen der Aufgabe übereinstimmt. Denn die Aussage "Es ist nicht anders, als sei die dritte Tür nie dagewesen" entspricht genau den spieltheoretischen Gedanken, die man auch so zusammenfassen kann: "Lässt man alle möglichen mit dem beschriebenen Ablauf kompatiblen Spielregeln bzw. Strategien zu, ist es "fast" genau so, als wäre die dritte Tür nie dagewesen."

Natürlich jetzt gleich zum "fast": Die so begründete "Halbe-Halbe-Lösung" muss nur noch an einer "Nebenstelle" korrigiert werden, und zwar unter Betretung einer Präzisionsebene, an die die Aufgabensteller nie und nimmer gedacht haben: Wenn der Moderator, obwohl in der Aufgabe davon überhaupt nicht die Rede ist, tatsächlich nach einer bestimmten Strategie(mischung) spielt, "spaltet" er die grundsätzliche "Halbe-Halbe-Chance" im konkreten Fall evtl. in zwei Fälle auf, wodurch sich bei der einen verbleibenden Tür eine Gewinnchance größer als 1/2, bei der anderen eine Chance entsprechend unter 1/2 ergibt. Mit einer "systematischen" Strategie könnte der Kandidat genau die verkehrte Tür wählen (allerdings auch die "bessere"). Das "Zentrum" 1/2 trifft er eben nur durch "zufällige" Auswahl aus den beiden Türen.

Diese Darstellung sehe ich als fast analog an zu dem Fall bei "'fast' korrekt formulierter Aufgabenstellung", bei dem der Moderator, weil das Auto hinter der Tür der ersten Wahl steht, bei der von ihm zu öffnenden Nietentür eine Auswahlmöglichkeit hat: Steht nicht in der Aufgabe, dass er die Tür in diesem Fall "nach dem Zufallsprinzip" auswählt, kann der Moderator die 2/3-Chance durch eine Strategie "aufspalten", beispielsweise so, dass in 1/3 der Fälle eine 100%ige Gewinnchance bei einem Wechsel vorliegt, in 2/3 der Fälle aber nur eine 50%ige.

Auch wenn man an die "Halbe-Halbe"-Antwort einschließlich Begründung sehr hohe mathematische Ansprüche stellt (warum eigentlich?), gilt meiner Ansicht nach immer noch: "Sie kommt der mathematisch exakten Antwort am nächsten."

Zu anderen Aspekten der "Strategietauglichkeit":

Die offensichtlich sehr kleine Gruppe, die sich nicht nur an die gestellte Aufgabe heranmachte, sondern auch schon zu einem frühen Zeitpunkt eine (benachbarte?) Aufgabe präsentierte, die tatsächlich eine 2/3-Lösung hat, hat als "Beweis durch Gegenbeispiel" z.T. auch die "Strategie" angeführt, dass der Moderator nur dann eine andere Nietentür mit dem Angebot eines Wechsels öffnen könnte, wenn der Kandidat zunächst die richtige Tür gewählt hat.

Dieser Einwand wurde fast immer völlig missverstanden, so, als habe jemand gesagt: "Ich sehe das Problem aber anders, nämlich so, dass der Moderator den Kandidaten vom Auto abbringen will. Der Kandidat, der dann bei seiner ersten Wahl, bleibt, gewinnt unter dieser Voraussetzung 100%ig."

Die logische Rolle war aber nur die eines Gegenbeispiels, das die behauptete Zwei-Drittel-Lösung als falsch erweist.

Wenn ich Sie richtig verstehe, würden Sie eine "strategietaugliche" Begründung akzeptieren, auch wenn sie nicht zu einer Zwei-Drittel-Lösung führt.

Die Reaktionen auf die Halbe-Halbe-Lösung haben übrigens nicht den Zwang herausgestellt, unter dem der Moderator durch die Spielregel oder durch deren "Offenbarung" gestellt ist. Aber ohne diesen Bezug bleiben alle "Beweise" der Zwei-Drittel-Lösung falsch.

Und wie oft wurde beim "Durchspielen" von den "Wissenden" gesagt: "Er öffnet jetzt eine andere Tür". Antwort: "Ja und?" - "Sonst hätte das Spiel ja keinen Sinn." Frage: "Warum nicht?"

Das Licht wäre beim Aufgabensteller wohl spätestens aufgegangen, wenn er schließlich gesagt hätte: "Er muss ja eine andere Tür öffnen." Frage: "Warum muss er das?" Hier muss doch spätestens auffallen, dass dieser entscheidende Punkt gar nicht in der Aufgabe steht.

Ich kürze jetzt ein bisschen ab, weil ich denke, dass meine Gedankengänge durch meine Ausführungen einigermaßen klar geworden sind. Ich kann sie natürlich jederzeit noch näher ausführen. Und durch die "Entwicklung in die Breite", die für das Problem in den letzten 18 Jahren stattfand, ist das Reservoir an Argumenten fast unerschöpflich.

Ich komme jetzt gleich zur zentralen Schlussfolgerung zur gesamten "Debatte", die in meiner folgenden These klar zum Ausdruck kommt, die ich hier wiederhole:

Meiner Ansicht nach wurde in der Zwei-Drittel-Fraktion nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung.

Sie ist aus folgenden Gründen ein "heißer Kandidat" für den Schlüssel des Ganzen (auch diese Gründe kann ich natürlich noch viel weiter unterteilen; evtl. auch neue hinzufügen):

• Sie erklärt alles.

• Sie ist plausibel.

• Sie ist minimal.

• Sie ist stark fachzentriert.

• Die dort angesprochene Differenz ist schwer zu verstehen.

Das soll es erst einmal sein ...

--Albtal 12:30, 8. Sep. 2008 (CEST)

Eine Frage gäbe es: gibt es rationale Lösungen für die originale Lösung ohne Zwang? Existiert zum Beispiel ein Nash-Gleichgewicht? Meines Erachtens nach gibt es mehrere: 1. Der Moderator will dem Kandidaten helfen (d.h., der Kandidat soll gewinnen.) Dann zeigt er nur eine Tür, wenn der Kandidat die falsche Tür gewählt hat. 2. Er will ihm nicht helfen. Der Kandidat soll verlieren. (Dann zeigt er nur eine Tür, wenn der Kandidat die richtige Tür gewählt hat.) 3. Es soll für das Publikum interessant sein. Dann muss er eine andere Strategie wählen, wenn das Spiel oft wiederholt wird. Diese ist zum Beispiel die "immer-Öffnen-Strategie", die zur 2/3-Lösung führt. (Immer helfen könnte zum Beispiel heißen, dass der Moderator auch die dritte Tür anbietet, nachdem der Teilnehmer den zweiten Zug gemacht hat, wenn der Teilnehmer im zweiten Zug falsch gewählt hat.) Für das Publikum interessant ist diese Strategie nicht, weshalb man sie ausschließen kann. Es bleiben nur die Möglichkeiten in reinen Strategien (ohne dass der Moderator würfelt): 1. Der Moderator öffnet die Tür, um den Kandidaten zu verwirren, er würde nicht öffnen, wenn der Kandidat richtig gewählt hat. 2. er öffnet sie, um zu helfen oder um die Spannung zu verstärken. Der Kandidat weiß aber bei einem Einzelspiel nicht, welche Strategie der Spielmeister anwendet. Er hat also zwei (reine) Strategien zur Auswahl: die Immer-Wechsel-Strategie und die Nicht-Wechsel-Strategie. Bei der Nicht-Wechsel-Strategie ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 1, wenn der Spielmeister den 1. Fall anwendet. Bei der Immer-Wechselstrategie ist sie 0, wenn der Spielmeister den 1. Fall anwendet. Wenn der Spielmeister dagegen den 2. Fall anwendet, der der 2/3-Lösung entspricht, anwendet, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit = 1/3 bei Nicht-Wechsel bzw. 2/3 bei Wechsel. Wir haben also, wenn man unabhängig von den Ideen des Spielmeisters wählt, beim Nichtwechseln eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1 oder von 1/3, beim Wechseln eine von 0 oder von 2/3. Ich würde wahrscheinlich eine gemischte Strategie wählen und würfeln. Mir ist im Moment nicht völlig klar, ob der Würfel eine Wahrscheinlichkeit von 50% liefern soll oder eine andere, wenn man reale Spiele annimmt, bei denen man von einem Interesse an Einschaltquoten ausgehen kann. Wir müssen in jedem Fall berücksichtigen, dass der Spielmeister eine Tür bereits geöffnet hat. Wir können leider daraus nicht ableiten, welche Strategie er verfolgt. Wenn man die Notwendigkeit von Einschaltquoten berücksichtigt und wiederholte Spiele ansetzt, bleibt bei einfach gehaltenen Regeln nur die, die zur 2/3-Lösung führt. Bei komplexeren bleibt ein öfteres Wechseln oder eine zufällige Wahl der Regeln, wann und welche Tür und ob überhaupt etwas zu öffnen ist. Für den Artikel bedeutet es, dass die Konzentration auf die "korrigierte" Regel richtig ist und dass die Kritik mit erwähnt wird. Deshalb war ich mit dem gefundenen Kompromiss zufrieden. --Hutschi 17:28, 8. Sep. 2008 (CEST)

An alle:

Die Verlängerung ist jetzt auch zu Ende. Ich werde das Spielfeld verlassen.

Auch an alle, aber vor allem an Wilbert:

Im Buch "Das Ziegenproblem" von Gero von Randow (10. Auflage 2001, S. 52), das in fast allen deutschsprachigen Veröffentlichungen zum Thema als Literatur angegeben wird, schildert er unter "Mein Irrtum" seine Gedanken zu einer Spielvariante von Dr. Bijan Sabzevari, wie ich auch schon oben in meinem "Essay" erwähnt habe.

Ein besserer "empirischer" Beleg für die Richtigkeit meiner These ist nicht denkbar.

Nur hätte eben die Überschrift über die gesamte Debatte zum "Ziegenproblem" lauten müssen:

"Unser Irrtum"

--Albtal 11:35, 9. Sep. 2008 (CEST)

Zugabe, die auch exemplarisch erklärt, weshalb es richtig ist, dass ich von jetzt an die Diskussion anderen überlasse:

Mögliche Frage an Albtal:

Sie schreiben: "Die dort angesprochene Differenz ist schwer zu verstehen." Sie fordern dieses Verständnis aber offensichtlich nur von den Vertretern der "Zwei-Drittel-Lösung", nicht aber von denen der "Halbe-Halbe-Lösung". Warum?

Antwort von Albtal:

Für die Vertreter der "Halbe-Halbe-Lösung" besteht nicht die geringste Notwendigkei, diese Differenz zu erkennen, da sie ja ihre Antwort korrekt und geradlinig auf die gestellte Aufgabe geben.

Dagegen müssen die Vertreter der "Zwei-Drittel-Lösung" diese Differenz erkennen, um sich aus der Falle zu befreien, in die sie, u.a. durch allzu eingängige, aber falsche Beweise geraten sind.

Man kann es auch so ausdrücken:

Die Vertreter der "Zwei-Drittel-Lösung" haben einen wohlschmeckenden Giftpilz gegessen, der eine lang anhaltende Wirkung hat, u.a. mit der Nebenwirkung eines starken Wohlbefindens und einer Selbstsicherheit, die sogar so weit geht, dass sie ausgerechnet bei denen den Doktor spielen wollen, die einen essbaren "Zwillingspilz" gegessen haben.

--Albtal 11:02, 10. Sep. 2008 (CEST)

---

"..., dass ich von jetzt an die Diskussion anderen überlasse"

Na, wer weiß....? ;-)

"Für die Vertreter der "Halbe-Halbe-Lösung" besteht nicht die geringste Notwendigkei, diese Differenz zu erkennen, da sie ja ihre Antwort korrekt und geradlinig auf die gestellte Aufgabe geben."

Ich unterstelle, daß Sie das auf die historische Frage beziehen: "Ist es von Vorteil, zu wechseln?", die nach Ihrem Ansatz mit "nein" zu beantworten ist, womit das Problem in seiner spezifischen Gestalt korrekt gelöst ist (und sich alle denkbaren Folgeüberlegungen vollständig erübrigen).

Unter dieser Prämisse bedingt die Erkenntnis, daß eine 2/3-Lösung falsch ist, allerdings für sich genommen noch nicht die Antwort "nein", denn mit "ja" wäre bei jeder korrekt berechneten Quote zu antworten, die über 1/2 liegt. Von daher scheint es schon angezeigt, präzise zu prüfen und zu verstehen, welche Quote(n) bei den verschiedenen denkbaren Verhaltensmustern des Mods in Frage kommen, denn erst wenn ich darüber Klarheit gewonnen habe, kann ich wissen, daß nicht nur 2/3, sondern auch jede andere Chance über 1/2 nicht begründbar ist. Dann habe ich aber gleichzeitig auch bereits erkannt, welche konkrete Art von 50/50-Lösung hier allenfalls zur Debatte steht.

Gruß --Wilbert 87.187.92.113 21:50, 10. Sep. 2008 (CEST)

Vielleicht ist es hilfreich den Bereich der Mathematik zu verlassen und sich mit Anforderungsermittlung zu beschäftigen, denn dort finden sich Ideen, warum die Aufgabenstellung so unterschiedlich gedeutet wurde. --Stefan Birkner 08:27, 11. Sep. 2008 (CEST)

Soviel ich es sehe, kann bei einer 50/50 Lösung nur Würfeln optimal sein. Ich bin deshalb nicht sicher, ob es eine bessere Lösung als 50/50 geben kann, weil durch das vorgegebene Öffnen der Tür die Symmetrie gebrochen ist und einige sonst mögliche Strategien des Spielmeisters ausscheiden. 50/50 ist die mindeste Chance in gemischter Strategie (Würfeln). --Hutschi 10:05, 11. Sep. 2008 (CEST)

Die große Frage: Wie kann man mit 2/3 Chance bei nur zwei Toren gewinnen?

Ich versuch sie mal anders zu beantworten!

Es liegt einfach an den krummen Spielregeln! Das Auto ist mit Zweidrittelchance natürlich unter Tor 2 und 3! Aus einem völlig unverständlichen Grund, darf der Moderator in genau diesen beiden Fällen, die Tor 1 Ziege aber nicht aufdecken! Ergo ergibt sich das Gewinntor in konkret diesen beiden Fällen ganz zwangsläufig, aus: Aufgedecktes Ziegetor (2 oder 3) + verbotenes Ziegentor (immer 1) = Auto im Rest-Tor (2 oder 3)

Ohne dieses "Tor-1-Ziegen-Aufdeck-Verbot" wäre die Chance auf das Tor 2 und Tor 3 Auto aber nur noch 50%! Die krumme Logik das man mit 2 Toren eine zweidrittel Chance produzieren kann wie der Artikel noch meist suggeriert, stimmt also nicht. Der Showmaster schummelt halt nur, zugunsten des Spielers, durch dieses zusätzliche Ausschlusskriterium der zensierten Tor-1 Ziege! :) --Atomblume 15:57, 4. Dez. 2008 (CET)

Die Spielregeln sind nicht krumm. Lies Dir bitte nochmal die Problemstellung durch, insbesondere Punkt 4.--Unikram 16:10, 4. Dez. 2008 (CET)

Ja da steht: "Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines zufällig aus und öffnet es."

Der Kandidat kann das Tor genaugenommen ja nicht wählen, er kann es nur raten, der Mod öffnet die Ziege die da drin sein könnte aber zwangsweise nie, sondern immer nur eine aus den verbliebenen Toren, das ist das selbe in Grün, jedenfalls schließt der Mod die Ziegenaufklärung für das 1. Wahltor faktisch ja immer aus, das verrät in 2 von 3 Tor-Möglichkeiten dann aber auch immer das Auto-Tor.

Kurz: Der Mod darf nur eine Ziege enttarnen aber nicht irgendeine, sondern nur eine 100%-Ziege auf der Basis das diese nicht im Wahltor 1 liegt. Im Wahltor lebt damit im Grunde dann aber immer eine mit 66%-Wahrscheinlichkeit und nur zu 33% nicht, jedenfalls nicht faktisch draußen. So schenkt man dem Spieler relativ gesehen den Gewinn (bzw. stets eine ganze Ziege und eine 66%-wahrscheinliche) also ich fand das schon ziemlich krumm! --Atomblume 16:34, 4. Dez. 2008 (CET)

Wenn der Spielleiter das Tor öffnen, das der Kandidat gewählt hat, und ihm die dort befindliche Ziege präsentieren würde, dann wäre die Frage: "Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?", trivialerweise mit: „Natürlich wechseln!“, zu beantworten, da er sonst mit 100%iger Wahrscheinlichkeit die deutlich sichtbar hinter seinem gewählten Tor befindliche Ziege, also gar nichts erwischt. Daran ist nichts „krummes“. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 18:11, 4. Dez. 2008 (CET)

Das ist auch (trivialerweise) ein Fall, in dem nach dem Wechsel eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50% besteht. --Hutschi 10:30, 8. Dez. 2008 (CET)

Absatzsystematik

Ich finde den Artikel echt gut, aber ich habe da zwei Anmerkungen:

• 1. Die "sprachlich einfache Erläuterung" ist meiner Meinung nach schwach - benötigen wir sie wirklich?
• 2. Da das Ziegenproblem speziell durch den Leserbrief Beachtung fand, würde ich vorschlagen diesen Abschnitt nach oben zu verschieben - direkt nach der Einleitung. Schließlich wird auf den Leserbrief verwiesen (bei der Million Tore), bevor er überhaupt erwähnt wurde. Ich würde die Erläuterung im Leserbrief ruhig stehen lassen, aber aus Gründen der Genauigkeit die exakten Spielregeln danach erläutern. Wer teilt meine Meinung? Gruß --lemidi 17:31, 4. Dez. 2008 (CET)

Dass auf den Leserbrief verwiesen wird, bevor er erwähnt wurde, ist natürlich behebenswert. Ich würde aber den Verweis umformulieren und nicht die Leserbriefabschnitt nach oben ziehen. Vermutlich stand er mal weiter oben, führte dann aber regelmäßig zur Verwirrung, weil die Leser sich dann oft die darin beschrieben Aufgabenstellung einverleiben, die sich von den exakten Spielregeln durch Ungenauigkeiten unterscheidet, und dann gehen die Diskussionen wieder los ("Lösung falsch!", "Nur 50:50 ist richtig", etc.). So wohlbewusst ganz oben sollten die exakten Spielregeln m. E. schon bleiben. --AchimP 17:49, 4. Dez. 2008 (CET)

Ich hab den Abschnitt mal nach oben geschoben und etwas umformuliert. Wenn es nicht gefällt, macht es rückgängig. Ich finde es aber so sinnvoll, schließlich ist damit die erste Erwähnung des Problems am Anfang gleich erwähnt. Die "sprachlich einfache Erläuterung" habe ich jetzt erstmal nicht gelöscht, würde es aber noch empfehlen. Gruß --lemidi 23:04, 4. Dez. 2008 (CET)

Habe revertiert. Ich halte auch gar nichts von Deinem Vorschlag (ad 2.). Der Leserbrief hat zwar viel Echo ausgelöst (auch das Buch von G. von Randow). Das Problem ist aber im Leserbrief schlecht formuliert und war an sich schon älter. Der Artikel sollte die korrekte Problemstellung in den Vordergrund stellen. Nur so kann das Paradoxon verständlich dargestellt werden. Und führt dennoch bereits zu genug Missverständnissen. (Siehe die Einlassungen von Benutzer Albtal und Atomblume auf dieser Seite, um nur zwei aktuelle Diskussionen zu nennen.) Danke und Gruß -- Talaris 00:25, 5. Dez. 2008 (CET)

JFTR: Dem ist vollständig zuzustimmen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 09:40, 5. Dez. 2008 (CET)

Unveränderlichkeit der Wahrscheinlichkeiten für die 1. Tür

Nachdem ich lange hier nicht mehr hereingeschaut habe, tue ich das heute deshalb mal wieder, weil ich vor ein paar Tagen zufällig mit einem Bekannten ins Gespräch kam, der kürzlich in einer Zeitschrift auf das Ziegenproblem gestoßen war, nachdem er zuvor noch nie davon gehört hatte – das gibt’s! – , und, wie konnte es wohl anders sein, prompt mit dem Brustton der Überzeugung die Chancengleichheit vor der zweiten Wahl propagierte.

Das Hauptproblem derjenigen, die – sei es mit irgendeiner (scheinbar) logischen Begründung oder nur aus einem unüberwindlichen Bauchgefühl heraus – an die 50/50-Verteilung der Chancen nach dem Öffnen der Ziegentür glauben, liegt wohl weniger in der Erkenntnis, daß die Chancen bei der blinden Wahl der ersten Tür bei 1/3 für das Auto und 2/3 für eine Ziege liegen, sondern in erster Linie in der Blockade, zu erkennen, daß diese Wahrscheinlichkeiten auch im weiteren Verlauf des Spiels zwingend konstant bleiben, so daß allein deswegen ihre nachträgliche Veränderung auf ½ nicht möglich ist. Und dies, obwohl es doch logisch zwingend zu sein scheint, daß die Chancen pari sein müssen, wenn ich im Ergebnis zu einem bestimmten Zeitpunkt zwei Türen vor mir habe, hinter einer ein Auto und hinter der anderen eine Ziege steht, ich aber nicht weiß, was sich hinter welcher Tür verbirgt. Über diese frappierende Logik kam mein Bekannter lange einfach nicht hinweg, und es gibt halt viele, denen es genauso ergeht.

In der Diskussion fiel mir dann nach dem Scheitern mit den üblichen Argumenten kurz vor dem Aufgeben ein schrittweise aufgebautes Erklärungsmuster für die Konstanz der Chancen auf der ersten Tür ein, mit dem es mir schließlich doch noch gelang, bei meinem Bekannten ein ausreichendes Aha-Erlebnis zu erzeugen. Der Ansatz könnte also grundsätzlich didaktisch geeignet sein, Zweiflern und Leugnern ein Licht aufgehen zu lassen. Es kam – ein bißchen frei „übersetzt“, aber inhaltlich sinngemäß richtig - zu folgendem Dialog:

„Stell dir folgende 1.Variante vor: Du wählst eine Tür, der Showmaster öffnet sie sofort und du bekommst den dahinter stehenden Gewinn. Wie sind in diesem Fall deine Chancen verteilt?“

„Na, dann ist es ja klar: 2/3 für Ziege und 1/3 für Auto! Aber das ist doch ein völlig anderer Fall!“

„Wart’s ab… Jetzt stell dir als 2.Variante vor, der Showmaster hätte überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür geöffnet und erst dann deine gewählte Tür geöffnet und dir den Gewinn gegeben. Hätte das deine Chancen von 2/3 zu 1/3 bei deiner gewählten Tür verändert?“

„Natürlich nicht! Ob eine Ziegentür offensteht, bevor er mir meinen Gewinn gegeben hat oder erst danach, oder überhaupt nicht, kann sich doch nicht auswirken und spielt für die Gewinnchancen bei meiner gewählten Tür keinerlei Rolle.“

„Richtig. Und zu guter Letzt stell dir noch als 3. Variante vor, der Showmaster hätte, bevor er deine gewählte Tür öffnete und dir den dahinter stehenden Gewinn übergab, dir nach dem Öffnen einer Ziegentür (Situation wie in der 2. Variante) zusätzlich noch angeboten, statt deiner gewählten Tür jetzt die dritte verbleibende Tür zu öffnen und dir den dahinter stehenden Gewinn zu geben. Du hättest das aber abgelehnt, so daß auch in diesem Fall wieder dieselbe Tür mit demselben Inhalt geöffnet wurde wie in den beiden ersten Varianten - wobei eine Ziegentür offenstand wie in der 2.Variante. Für diese 2.Variante hattest du ja bereits richtig erkannt, daß sich durch das bloße Offenstehen einer Ziegentür die für die 1.Variante ermittelten Wahrscheinlichkeiten für deine gewählte Tür nicht ändern können. Solltest du dieses Ergebnis nun etwa allein dadurch beeinflussen können, daß du zwischendurch noch ein Angebot zum Türwechseln ablehnst?! Könnte der Dialog <„Wollen Sie wechseln?“ – „Nein!“> etwa andere Auswirkungen auf Inhalt und Chancen deiner gewählten Tür zeitigen können als ein Dialog wie zB <“Sind Sie scharf auf das Auto?“ – „Ja, irre scharf!“>? Nein, das kann er nicht, das alles sind nur Worte, reine akustische Wellen, die wirkungslos im Raum verhallen… Denn durch die Ablehnung läßt du das Angebot ja völlig leerlaufen und machst es praktisch ungeschehen, d.h. du stellst dadurch auch für die 3.Variante wieder exakt dieselbe Situation wie in der 2.Variante her, und für die 2. Variante galten ja dieselben Wahrscheinlichkeiten wie für die 1.Variante. Also gelten auch für die 3.Variante unverändert die Wahrscheinlichkeiten von 2/3 zu 1/3 für deine gewählte Tür.“

„Das leuchtet mir ein! Und jetzt ist der Groschen endlich gefallen! Die 3.Variante entspricht ja genau der Situation beim Ziegenproblem. Jetzt habe ich verstanden, daß die Wahrscheinlichkeiten für die erste gewählte Tür und die zum Wechsel angebotene Tür tatsächlich NICHT bei 50/50 liegen können, weil sie auch vor der zweiten Wahl für die anfangs gewählte Tür unverändert bei 2/3 zu 1/3 liegen.“

Nach dem Abhaken dieser Vorfrage blieb nur noch zu erklären, daß das Öffnen einer Ziegentür sich wie gezeigt zwar nicht auf die Werte der ersten Tür auswirken kann, wohl aber auf anderer logischer Ebene eine höchst segensreiche Wirkung entfaltet: Die sichtbar gewordene Ziege ist nämlich nunmehr als Objekt einer möglichen Wahl ausgeschieden, d.h. es ist eine der beiden Nieten aus dem Spiel genommen worden. Dadurch wurde ein Zustand hergestellt, der jetzt den zwingenden Schluß erlaubt, daß sich in diesem Stadium des Spiels hinter den beiden noch geschlossenen Türen mit Sicherheit Auto und Ziege, also Gewinn und Niete bzw. Chance und Gegenchance befinden. Der Kandidat sollte folglich, um seine Gewinnchancen für das Auto zu fördern, auf die im ersten Schritt gesicherte Erkenntnis zurückgreifen, daß sich hinter der Tür der ersten Wahl auch jetzt noch mit 2/3-Wahrscheinlichkeit eine Ziege befindet. Da sich hinter der anderen Tür – und zwar nicht mit irgendeiner Wahrscheinlichkeit, sondern mit absoluter Sicherheit - die Gegenchance zur ersten Tür befindet, ist dies also mit gleicher Wahrscheinlichkeit von 2/3 das Auto, und das macht ein Wechseln der Tür so überaus empfehlenswert.

Wilbert, 29. 2. 2008

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. -- Martin Vogel 22:11, 21. Feb. 2009 (CET)

Hervorragende Erklärung, Wilbert! Die trotz meines gemessenen IQs von 125 anfangs aufgetretenen Zweifel an der höheren Trefferwahrscheinlichkeit durch das Wechseln der Tür sind nunmehr verflogen. Dich als Mathelehrer zu haben hätte mir einiges an schulischen Irrwegen erspart. Danke!

Ulli 6.3.2009

Mein Kommentar: ich hätte lieber ein besserer Lehrer. Jemand die Ahnung hat von Wahrscheinlichkeitstheorie. Denn in der Variante 2 ist es wichtig zu wissen welche Tür der Showmaster öffnet, und was seine Strategie ist. Nijdam 14:17, 4. Apr. 2009 (CEST)

??? Der Lehrer wird sagen: Die Strategie des Showmasters ist durch die Spielregel festgelegt und er öffnet eine Ziegen-Tür. Genau das steht in Variante 2: eine Ziegentür wurde geöffnet. Wichtig zu wissen welche? Nicht in der Realität. (Falls hinter den beiden anderen Toren je eine Ziege stehen sollte: Es spielt dann in der Realität absolut keine Rolle, welche der beiden Ziegentüren er öffnet). Finde doch einfach das passende mathematische Theorem, das eben diesen bekannten Sachverhalt anschaulich beschreibt. LG -- Gerhardvalentin 19:08, 4. Apr. 2009 (CEST)

@Wilbert:

Zu Ihren Varianten 2 und 3:

Wart’s ab… Jetzt stell dir als 2.Variante vor, der Showmaster hätte überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür geöffnet und erst dann deine gewählte Tür geöffnet und dir den Gewinn gegeben. Hätte das deine Chancen von 2/3 zu 1/3 bei deiner gewählten Tür verändert?..

Richtig ist:

Wenn dem Kandidaten der eventuelle Gewinn hinter der Tür seiner Wahl garantiert ist, gewinnt er nach Variante 2 in einem Drittel der Fälle, egal, was der Moderator vor der Auflösung noch alles unternimmt und in welcher Weise er die Lösung präsentiert.

Wenn er beispielsweise die vom Kandidaten gewählte Nietentür sofort öffnet, ist schon alles klar.

Er kann auch die nicht gewählte Autotür sofort öffnen; selbstverständlich auch die gewählte Autotür.

Eine weitere Möglichkeit ist das Öffnen einer nicht gewählten, gefolgt von der gewählten oder einer weiteren nicht gewählten Ziegentür.

Der Moderator kann z.B. auch vor dem Spiel eine Tür bestimmen, die er als erstes öffnen wird.

Auch kann er seine Aktion von dem abhängig machen, was hinter der gewählten Tür steht.

Zahlreiche Varianten befinden sich im Einklang mit dem Ablauf, dass der Moderator "überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür" öffnet.

Richtig ist aber auch Folgendes:

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür unmittelbar vor der Auflösung hängt in jedem konkreten Fall von der Strategie des Moderators ab.

Beispielstrategie 1 (s.o.):

Der Moderator bestimmt vor dem Spiel, dass er nach der ersten Wahl Tür 3 öffnen wird. Falls dahinter eine Ziege steht und der Kandidat Tür 1 oder 2 gewählt hat, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen jeweils 50%. Steht hinter Tür 3 das Auto oder hat der Kandidat Tür 3 gewählt, ist das Spiel nach Öffnen von Tür 3 zu Ende.

Hat der Moderator also mit dieser Strategie aus der Sicht des Kandidaten "überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür" geöffnet, ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit größer, als er (nach Ihrer Lehrstunde) denkt, nämlich 1/2.

Was ist aber bei dieser Strategie aus der doch gesicherten Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 geworden?

Antwort: Sie ergibt sich als "Durchschnittswahrscheinlichkeit" unter Berücksichtigung der weiteren Fälle, bei denen das Auto hinter Tür 3 steht oder der Kandidat Tür 3 gewählt hat. Hier eine Tabelle aller Fälle (W = gewählte Tür, A = Autotür):

W: 1 1 1  2 2 2  3 3 3
A: 1 2 3  1 2 3  1 2 3

"Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit" bei Beispielstrategie 1:

4/9 * 1/2 + 2/9 * 0 + 2/9 * 0 + 1/9 * 1 = 1/3

Beispielstrategie 2:

Der Moderator möchte in dem Fall, dass der Kandidat richtig gewählt hat, die Spannung erhöhen, indem er vor dem Öffnen der Autotür eine Ziegentür öffnet.

Auch bei dieser "Strategie" öffnet der Moderator aus der Sicht des Kandidaten "überraschend vorher noch schnell im Vorübergehen eine Ziegentür".

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür beträgt in diesem Fall 100%, nachdem der Moderator die Ziegentür geöffnet hat.

"Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit" bei Beispielstrategie 2:

1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 0 = 1/3

Die Behauptung, bei Variante 2 ändere sich die 1/3-Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür nach Öffnen einer Ziegentür nicht, ist also falsch. Entsprechend ist auch die 2/3-Wahrscheinlichkeit bei Variante 3 falsch. Dazu kommt aber noch, dass bei Variante 3 auch nicht von einer "2/3-Durchschnittswahrscheinlichkeit" gesprochen werden kann. Denn ein Wechsel ist ja nur möglich, wenn es der Ablauf bei der entsprechenden Strategie zulässt. Und dann ist die Gewinnwahrscheinlichkeit z.B. bei den Beispielstrategien 1 und 2 keineswegs 2/3 ...

Noch eine Bemerkung:

Aus Ihren Beiträgen habe ich bisher geschlossen, dass Sie das Buch "Das Ziegenproblem" von Gero von Randow gut kennen (siehe erste Literaturangabe im Wikipedia-Artikel). Nachdem er dort auf den ersten 50 Seiten die 2/3-Lösung an Hand einer falschen Aufgabenstellung zu begründen versucht, beschreibt er auf S. 52 unter "Mein Irrtum", wie er bei dem von Bijan Sabzevari formulierten Problem zunächst auf eine 2/3-Lösung kam, obwohl dort die entsprechenden Spielregeln, die Voraussetzung für diese Lösung sind, explizit fehlen.

Warum heben Sie bei Ihren Erklärungen nicht den Zwang durch die Spielregeln hervor, die dem Moderator keinerlei Spielraum lassen und zwingende Voraussetzung für die 2/3-Lösung sind?

Schade, dass Sie offensichtlich keine Bekannten haben, die fragen, nachdem Sie Ihnen erklärt haben, dass die Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür selbstverständlicherweise bei 1/3 bleibt und die 1/3-Wahrscheinlichkeit der geöffneten Ziegentür auf die andere geschlossene Tür "übergeht":

"Wenn der Moderator noch eine weitere Ziegentür öffnet, ändert sich die Wahrscheinlichkeit doch auch; sogar auf 100%. Warum darf sie dann beim Öffnen nur einer Ziegentür nicht auf 1/2 steigen?"

Auch als Voraussetzung für einen guten Wikipedia-Artikel wäre es nützlich zu erkennen, dass es sich bei der ursprünglichen Aufgabenstellung (Marilyn vos Savant, Gero von Randow, ZEIT-Artikel 1991/2004 ...) in Verbindung mit einer 2/3-Lösung um eine Scherzaufgabe von folgendem Typ handelt:

"Ich denke mir eine der Zahlen 1, 2 oder 3; und ich verrate, welche der beiden Zahlen 2 oder 3 es nicht ist: die 3."

--Albtal 13:37, 19. Apr. 2009 (CEST)

Unklarheit bei mir

Wenn der Moderator ein Tor mit einer Niete geöffnet hat, ist doch bei allen anderen Toren die Chance 50%, oder nicht? Denn das Auto kann nur in einem der anderen Tore sein. Es ist aber nicht klar, in welchem das Auto ist. Die Chance war am Anfang 1/3. Klar. Aber mit dem Öffnen eines Tores, welches garantiert nicht das Auto ist, sind doch nur noch zwei Tore übrig. Und damit sind die Chancen gleich. Oder sehe ich da was falsch? Ich habe den Text oben gelesen, würde mich aber auch, wenn wirklich kein Fehler im Artikel ist, über eine Erklärung freuen.(nicht signierter Beitrag von 87.172.214.19 (Diskussion) )

Du machst den gedanklichen Fehler, eine Auswahl aus zwei Möglichkeiten reflexartig mit einer 50/50-Chance gleichzusetzen. Zur Verdeutlichung: Beim Werfen einer Münze hast Du idealerweise eine 50/50-Chance von Kopf zu Zahl. Wenn Du Dir einen Würfel präparierst, so dass der auf 5 Seiten einen Kopf und auf einer Seite eine Zahl zeigt, dann ist das Ergebnis immer noch Kopf oder Zahl, aber halt mit einer Verteilung von 1/6 zu 5/6. Genauso ist es bei den drei Toren: Beim "Behalten" wählst Du eines aus drei Toren, beim "Wechseln" hast Du zwei aus drei Chancen auf den Gewinn. Dass der Moderator eine davon eliminiert, kann Dir egal sein, er darf ja nicht den Gewinn aus dem Spiel nehmen. --Jeremy 16:37, 26. Mär. 2008 (CET)

Probiere einfach mal alle Möglichkeiten durch. Du wirst sehen, was dabei rauskommt. Es wurde hier (bzw. im Artikel) schon richtig erklärt. --84.156.53.32 13:54, 25. Mär. 2008 (CET)

(BK) Genau über deine Vermutung haben sich schon unzählige Personen (u.a. ich) stundenlang den Kopf zerbrochen. Der Artikel ist richtig, am Ende gibt es keine 50%-Chance; aber anscheinend ist das nicht gerade die intuitivste Lösung. Lies dir bitte die Erklärung noch mal ganz in Ruhe durch, irgendwann versteht man das schon (war bei mir jedenfalls so ;-)) --Church of emacs ツ ⍨ 13:56, 25. Mär. 2008 (CET)

OK, danke! (nicht signierter Beitrag von 87.172.229.179 (Diskussion) 14:44, 26. Mär. 2008)

Ich fand das Argument mit den 1 Mill. Türen am anschaulichsten (Ziegenproblem#Eine Million Tore). Es sollte deshalb im Artikel viel weiter oben erscheinen. Die Anfrage zu dieser Diskussion (immer wieder in schöner Regelmäßigkeit) zeigt doch, dass der Artikel nicht verständlich genug ist. Trotz aller lesensweren Sternchen. --Ost38 16:01, 26. Mär. 2008 (CET)

Diese Anfragen resultieren meistens daraus, dass die Anfrager den Artikel nicht gründlich gelesen haben. Die Million Tore haben mir auch nicht zum Verständnis geholfen; einen simplen Entscheidungsbaum, wie er als erste Erklärung angebracht ist, finde ich wesentlich klarer. Aber da hilft jedem eine andere Erklärung besser. -- Sdo 17:59, 26. Mär. 2008 (CET)

Ich fand das Beispiel mit den eine Million Toren am wenigsten anschaulich. Am anschaulichsten fand ich einen Selbstversuch mit Würfeln, der mich vom Saulus zum Paulus bekehrte, wenn man so sagen darf. Aber das alles ist Ansichtssache. --Hutschi 16:59, 26. Mär. 2008 (CET)

Der Artikel hat den Status "exzellent". Da gibt es gehobene Qualitätsansprüche. Dein heute eingefügter Abschnitt "Paradoxon" ist recht wirr geschrieben und hat extrem viele Rechtschreibefehler. Vielleicht nimmst Du den erstmal wieder raus? --AchimP 17:10, 26. Mär. 2008 (CET)

Davon abgesehen ist das Ziegenproblem weder paradox, noch spielen Randbedingungen eine echte Rolle...--Unikram 17:12, 26. Mär. 2008 (CET)

Sehe ich auch so. Es sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die Schwierigkeiten bereiten, und nicht irgendein Paradoxon. -- Sdo 17:59, 26. Mär. 2008 (CET)

Ich habs mal entfernt.--Unikram 18:12, 26. Mär. 2008 (CET)

Das Geburtstagsparadoxon nennt sich aber auch Paradoxon, obwohl 'nur' Wahrscheinlichkeiten vorkommen 212.91.246.21 17:07, 15. Dez. 2008 (CET)

Wie wäre es hiermit:

a) Hinter der Tür der 1. Wahl steht in 2 von 3 Fällen eine Ziege.

b) Nach dem Öffnen einer Ziegentür (Aussortieren einer Niete) steht in allen Fällen hinter der restlichen Tür die Gegenchance zur Tür der 1. Wahl. In allen Fällen, in denen hinter der Tür der 1. Wahl eine Ziege steht, steht also hinter der restlichen Tür das Auto.

c) Da hinter der Tür der 1. Wahl in 2 von 3 Fällen eine Ziege steht (a), steht in 2 von 3 Fällen hinter der restlichen Tür das Auto (b).

--Wilbert 87.187.96.139 09:16, 28. Mär. 2008 (CET)

Das ist korrekt, steht aber auch schon in verschiedenen Varianten im Artikel, beispielsweise hier, hier und hier. -- Sdo 11:34, 28. Mär. 2008 (CET)

Es ist ja vielleicht müßig, immer wieder dasselbe mit anderen Worten zu sagen, aber manchmal erleichtert ja schon eine etwas andere Formulierung, die eine andere Facette des Problems betont, das Verständnis bzw. das Fallen des Groschens. Also:

Man stelle sich folgende Variante vor:

Nach der 1. Wahl des Kandidaten bietet der Spielleiter ihm an, statt dieser Tür nunmehr beide anderen Türen zu öffnen und das Auto zu gewinnen, falls es hinter einer dieser beiden anderen Türen steht. Wenn der Kandidat sich dafür entscheidet, öffnet der Spielleiter nacheinander beide Türen. Hier ist auch für den größten Skeptiker einsichtig, daß in diesem Fall der Kandidat die doppelte Chance hätte. Denn er darf 2 von 3 Türen „ausprobieren“ statt 1 von 3. Auch die Intuition (= vermeintliche 50/50-Situation bei offener Ziegentür) kann hier niemand aufs Glatteis führen.

Nichts anderes geschieht substantiell aber auch bei der regulären Variante des Spiels: der einzige Unterschied besteht darin, daß der Spielleiter eine der beiden anderen Türen schon mal vorab geöffnet hat, bevor er den Wechsel zur „Doppeltür“ anbietet. Dieser Unterschied kann aber das Ergebnis nicht beeinflussen.

--Wilbert 87.187.63.150 10:25, 29. Mär. 2008 (CET)

Ich würd die Erklärung von Wilbert unbedingt für den Artikel vorschlagen! Sie ist wirklich offensichtlich und genial einfach. Damit kapierts wirklich jeder. --KFlash 10:20, 9. Feb. 2009 (CET)

Ich habe sie dort eingebaut. -- Wegner8 18:26, 6. Mär. 2009 (CET)

Ziegenproblem?

Welches ist das Ziegenproblem? Es könnte sein das ihr eine andere Auffssung hat von was bezeichnet werden soll als Ziegenproblem. Darum folgendes:

Wir, das Publikum, sehen auf der Bühne 3 Tore, und daneben stehen der Kandidat und der Moderator. Die Spielregeln werden erklärt.

A: Bevor noch etwas geschieht, fragt der Moderator das Publikum was der Kandidat schlussendlich machen soll.

B: Der Moderator fragt den Kandidaten das Gleiche.

B': Der Kandidat trifft sein Wahl, und erst dann, aber bevor er ein Tor öffnet, fragt der Moderator den Kandidaten was er am Ende machen wird.

C: Der Moderator öffnet ein Tor mit einer Ziege, und bietet dann dem Kandidaten die Möglichkeit zu wechseln.

Bemerkungen

Es gibt Leute die A als Ziegenproblem auffassen. B un B' sind gleichwertig, und können auf bestimmter Weise als gleichwertig mit A aufgefasst werden. Meiner Meinung nach ist C das Ziegenproblem. Was meint ihr? Nijdam 12:21, 15. Jan. 2010 (CET)

Nein, C ist nicht das Ziegenproblem, sondern nur der äußerlich wahrnehmbare Ablauf einer Partie, der aber nicht über die wahre innere Struktur des Problems hinwegtäuschen sollte. Das Ziegenproblem besteht - richtig verstanden - in der Frage:

Wie sind die Gewinnchancen bei

a) freier Wahl von 1 aus 3 Türen und deren Öffnung?

vs.

b) freier Wahl von 2 aus 3 Türen (also eines Paares) und deren Öffnung?

Auch wenn der K nicht "wechselt", stehen zwar am Ende ebenfalls 2 von 3 Türen offen, aber der K hat nicht diese beiden Türen im Voraus frei gewählt, wie dies aber beim richtigen Verständnis der geplanten Vorgehensweise "Ausschluß der Tür X durch Darauftippen und Bejahung der M-Frage zwecks Öffnung der Türen Y u. Z" sehr wohl der Fall ist.

Das Ziegenproblem betrifft eben nur scheinbar eine "Wahl" des K zwischen zwei einzelnen Türen bzw. einen "Wechsel" von einer Tür zu einer anderen. Dieser Schein wird vor allem durch die Gestaltung des äußeren Ablaufs und die in der Aufgabenstellung verwendete Formulierung "Wechsel zu der (Einzahl) anderen Tür" genährt. Daher kann man das Ziegenproblem nur verstehen, wenn man sich vom äußeren Ablauf löst und die Formulierungen als Etikettenschwindel entlarvt, indem man die dahinter stehenden Strukturen durchschaut.

-- Wilbert 92.79.172.140 14:45, 15. Jan. 2010 (CET)

Struktur des Ziegenproblems

Hallo Nijdam. Ob ein begabter Musiker das Ziegendilemma in einem Musikstück bewegend zum Ausdruck zu bringen versucht, oder ob ein Mathematiker das Ziegenproblem auf seine Weise darstellen versucht, welche Instrumentierung bzw. welche Methodik und welches Schreibgerät dabei bevorzugt wird, das alles ist – was das zentrale "Ziegendilemma" anbelangt – ohne jede Bedeutung, ist für das bestehende "Ziegenproblem" ohne jede direkte Relevanz, denn es besitzt keinerlei direkte "Rückwirkung" auf das "Ziegenproblem". Beides interessiert ja nur isoliert innerhalb der jeweiligen Disziplin, beides tangiert die Problematik des Ziegendilemmas "an sich" direkt nicht. Das Dilemma selbst kommt ohne Musik und ohne Mathematik aus. Das Verständnis ist leicht zu erreichen und die Problematik mit klarem Blick für das Wesentliche leicht zu durchschauen und einsehbar und diese Einsicht gut vermittelbar.

Im Artikel Ziegenproblem kann allenfalls (nebenbei) schlicht darauf hingewiesen werden, dass "übrigens" mathematische Darstellungsversuche stattfanden und stattfinden. Und ob es bei solchen methodischen Darstellungsversuchen sinnvoll ist, nur eine kleine Untermenge der bekannten Informationen/Parameter/Gegebenheiten zu verwenden, und welche Kontroversen dabei zwischen Mathematikern schon ausgetragen worden sind. Und dass es Mathematikern (leider) immer gelungen ist, solch mathematische Darstellungsversuche als "zwingend notwendige Voraussetzung" für die Darstellung des Ziegenproblems zu deklarieren. Obwohl das Gegenteil zutrifft: Das Ziegenproblem benötigt solches nicht. Das Ziegenproblem mag hingegen allenfalls und ohneweiteres innerhalb des Fachgebietes der Mathematik ein beliebtes "Übungsfeld" für methodische Formulierungsversuche sein. Für "unbedingte" und "bedingte" Wahrscheinlichkeiten und so weiter. Das ist dann aber auch schon alles. Eine behauptete "Rückwirkung" solch mathematischer Betätigung auf die zentrale Problematik des Ziegendilemmas besteht hingegen nicht.

Die Struktur des Ziegenproblems ist "aus einem Guss", ist eine unteilbare Gesamtheit. Es ist "als Ganzes" zu sehen und auch "als Ganzheit" zu verstehen. Alle zur Beurteilung nötigen Informationen liegen bereits von Anfang an vor, sind schon durch die Spielregel definiert.

Das Bemühen von Mathematikern, dieses "Gesamtbild" nachzuvollziehen beschränkte sich bislang auf Ignoranz des durch die Spielregel definierten Gesamtbildes. Nur einzelne Teilaspekte davon werden verwendet, und diverse "Einzelschritte" in "zeitlicher Abfolge" betrachtet, ohne die auch für die "zeitliche Abfolge" jeweils relevanten Informationen zu berücksichtigen. Zum Beispiel, dass jede Trennung der drei Tore in ein Einzeltor einerseits und ein Torepaar andererseits (oder umgekehrt) dramatische Konsequenzen hat. Dass jegliches Torepaar immer (egal wo!) zumindest eine Ziege birgt, obwohl seine Gewinnchance während des Spieles von Beginn an (!) und bis zum Schluss, also bis direkt vor der Offenlegung (!) dennoch unveränderlich 2/3 beträgt. Unzutreffende Behauptungen werden dabei verwendet, die Wahrscheinlichkeiten des gewählten Einzeltores und die Wahrscheinlichkeiten des abgelehnten Torepaares würden sich dadurch ändern, dass das dort zwingend vorherbestimmte Vorhandensein eines Ziegentores auch anschaulich bewiesen wird. Alles sei jetzt für Mathematiker plötzlich "gänzlich anders", obwohl damit keinerlei relevante neue Information dazukommen ist. Unsinnige Behauptungen wurden also aufgestellt. Das alles ist jedoch für das eigentliche "Ziegenproblem" bedeutungslos und nur innerhalb mathematischer Zirkel interessant. Mathematik hat wie gesagt für das Ziegenproblem keinerlei Bedeutung, wohl aber hat das Ziegenproblem seine Bedeutung für junge Mathe-Studenten als willkommenes Trainingsfeld. Fortschritte über Bayes hinaus sind dabei offensichtlich leider noch nicht gemacht worden. Nur Uni-Professoren weisen in ihren Vorlesungen darauf hin, dass Mathematik hier nicht mehr kann als das zu bestätigen, was von Beginn an bei klarem Blick einsehbar ist.

Es hat also keinerlei Sinn, außerhalb mathematischer Zirkel über das innerhalb der Mathematik vielseitige Thema "Ziegenproblem" und die dabei zu verwendenden mathematischen Hilfsmittel und anzuwendenden Methoden zu diskutieren. Diese Bemühungen sind für das eigentliche "Ziegenproblem" ohne jegliche Rückwirkung und damit für das eigentliche Ziegendilemma letztlich vollkommen bedeutungslos. Gruß -- Gerhardvalentin 19:18, 15. Jan. 2010 (CET)

Aus "Diskussion:Ziegenproblem" auch hierher kopiert: Gerhardvalentin 20:59, 17. Jan. 2010 (CET)

Story

Mir kam noch eine kleine Story in den Sinn, die ich zum Besten geben möchte:

Wir befinden uns im Jahre 1989 in der legendären Monty-Hall-Show. Nachdem ein neuer Kandidat von Monty die Regeln erklärt bekommen und ein Weilchen darüber nachgedacht hat, fordert er den berühmten Moderator keck auf: "Öffnen Sie bitte die Türen 1 und 3."

Darauf Monty: "Haben Sie mir denn nicht zugehört?! Sie sollen auf eine Tür tippen, nicht auf zwei!"

Der K erwidert mit leicht genervtem Gesichtsausdruck und ebensolchem Tonfall: "Mister Hall, Sie unterschätzen mich offenbar. Aber gut, wenn Sie unbedingt darauf bestehen, können wir auch gerne Ihre Regeln einhalten, aber warum sollten wir eigentlich kostbare Zeit verschwenden? Na schön, dann werde ich gleich auf Tür 2 tippen, und nachdem Sie eine Ziegentür geöffnet haben, werde ich Ihre Frage bejahen und von Tür 2 zur anderen dann noch verschlossenen Tür wechseln, die Sie dann öffnen müssen - und dann haben Sie die Türen 1 und 3 geöffnet, stimmt's? Also warum nicht gleich?! Wollen wir uns diese umständliche und überflüssige Prozedur nicht vielleicht doch lieber ersparen?!"

Da beugt sich Monty mit Schweißperlen auf der Stirn zu K und raunt ihm ins Ohr, so daß niemand von den Umstehenden es hören kann: "Mister, Sie haben ja völlig recht - aber machen Sie mir bitte nicht meine schöne Show kaputt! Ich verrate Ihnen mal was: Mister Whitaker liegt auf der Lauer, Marilyn vos Savant ebenso, und auch alle Bayes-Theorem-Fans kauern schon in den Startlöchern - Mann, Sie setzen das Monty-Hall-Problem aufs Spiel, ist Ihnen das eigentlich klar?! Also c'mon, die letzte Minute müssen wir später rausschneiden, und jetzt lassen Sie uns bitte das Ganze von vorne wiederholen - ich flehe Sie an!"

Davon ließ sich der K erweichen, hielt sich an die Regeln und gewann eine Ziege. Und die Welt gewann das Ziegenproblem.

-- Wilbert 87.187.70.78 19:32, 15. Jan. 2010 (CET)

Recht lustig! Kannte ich nicht! Nijdam 00:30, 16. Jan. 2010 (CET)

Man braucht übrigens wirklich gut nach zu denken um den Unterschied mit der richtige Lösung zu verstehen.Nijdam 12:36, 17. Jan. 2010 (CET)

Wilbert, ganz ernsthaft: Danke! Wieder ein wichtiger Schritt, ein weiterer "erhellender" Aspekt, der unnütze Fachsimpelei ad absurdum führt. Für den weiteren Fortschritt des Artikels ungleich schwergewichtiger als unnützes "der M kann dann nur in 1/6 der Fälle das linke Tor öffnen" etc. etc. etc. Er charakterisiert anschaulich die Voraussetzung für das Entstehen, das Erblühen und Wuchern von verzichtbarer Fachliteratur und deren "unverzichtbaren Bayes'schen Verständnishilfen". Gratuliere. Gruß -- Gerhardvalentin 11:18, 16. Jan. 2010 (CET)

Drei Tore, dahinter nur ein Auto aber zwei Ziegen, alle drei Objekte in Zufallsverteilung

In dem abgelehnten Torepaar wird eine dort vorhandene Ziege vorgezeigt, und der Kandidat darf seine Wahl auf das andere noch verschlossene Tor ändern. Ist es für ihn von Vorteil, diesem Angebot zu folgen oder nicht?

Nochmals: Struktur des Ziegenproblems

Hallo Nijdam: Du sprichst als Mathematiker hier oben vom Unterschied zur "richtigen Lösung". Zum Nachdenken:

Zwei Tore haben hier immer eine doppelte Gewinnchance (2/3) gegenüber nur "einem einzigen Tor" (1/3). Das ist in jedem aller möglichen Fälle so und gilt immer.

• Zwei Tore bergen hier zwar in 1/3 der Fälle sogar "zwei Ziegen", egal welche von beiden Ziegen links oder rechts steht! (Zumindest EINE zwangsläufige Ziege)
• Zwei Tore bergen hier in 1/3 der Fälle jedoch nur "die eine" Ziege, dafür aber auch das einzige Auto, (Zumindest EINE zwangsläufige Ziege)
• Zwei Tore bergen hier in einem weiteren 1/3 der Fälle nur "die andere" Ziege, dafür aber auch das einzige Auto. (Zumindest EINE zwangsläufige Ziege)

Links oder recht spielt dabei absolut keine Rolle, völlig egal wo "im Torepaar" das in 2/3 der Fälle dort befindliche einzige Auto auch stehen mag, und völlig egal wo auch immer eine Ziege stehen mag! Sämtliche "Positionen im Torepaar" sind beim Ziegenproblem ja bekanntermaßen absolut belanglos.

Da es nur ein einziges Auto gibt, gilt für jegliche Gruppe von zwei Toren: Zumindest eines davon birgt zwangsläufig eine Ziege. (Zumindest EINE zwangsläufige Ziege)
Solange über den jeweiligen tatsächliche Inhalt der beiden Tore eines Torepaares nichts Weiteres bekannt geworden ist, beträgt die Gewinnchance des Torepaares immer 2/3, trotz zumindest EINER gemäß geltender Spielregel dort befindlichen "zwangsläufigen" Ziege.

Die Gewinnchance eines jeglichen Torepaares beträgt 2/3 (es sind immer zwei Tore), obwohl bekannt ist, dass zumindest eines der beiden Tore zwangsläufig ein Ziegentor sein muss, denn es gibt nur ein Auto. Die Position der "zwangsläufig" dort vorhandenen Ziege spielt dabei keinerlei Rolle, ihre Position ist belanglos. Wird bewiesen, dass sich in dem Torepaar tatsächlich eine Ziege befindet (nochmals: Nur eine einzige Ziege befindet sich "zwangsläufig" dort, und alle Positionen im Torepaar sind beim Ziegenproblem definitiv belanglos), so ändert das an der Gewinnchance des Torepaares (2/3) absolut nichts. Nochmals: An der gemeinsamen Gewinnchance des Torepaares (2/3) ändert das absolut nichts: Dass sich zwangsläufig zumindest 1 Ziege dort befinden muss, legt schon die Spielregel fest. Befinden sich dort sogar 2 Ziegen, so ist in jedem Fall nur eine davon "zwangsläufig" dort, niemals die zweite auch!

Wird aus einem Torepaar, das gemäß Spielregel zwangsläufig zumindest eine Ziege bergen muss, eine Ziege ausgesondert, ist das dort zwangsläufige Vorhandensein zumindest einer "zwangsläufigen" Ziege bewiesen. Für das andere Tor, das Partnertor, besteht nun keinerlei weitere "Zwangsläufigkeit" mehr.

Nochmals: Die "Positionen" der beiden Objekte hinter den zwei Toren eines Torepaares sind beim Ziegenproblem definitiv belanglos. Zumindest eines davon muss laut Spielregel zwangsläufig ein Ziegentor mit einer Gewinnchance von 0 sein. Das andere Tor, für das eine solche "Zwangsläufigkeit" niemals gelten kann, vereinigt damit bereits laut der hier geltenden Spielregel seit der ersten Torwahl des Kandidaten von vornherein die gesamten Gewinnchance des Torepaares auf sich allein. Und die "Positionen im Torepaar" sind beim Ziegenproblem völlig belanglos. Noch bevor sich die Frage danach überhaupt stellen könnte, wird sie gemäß Spielregel in jedem Spiel durch den Moderator immer bereits vorausgehend beantwortet.

Jetzt zu Wilberts "schlauem Kandidaten", der sich von Anfang an anstatt eines Tores gleich von vornherein "zwei Tore" wählt. So gut wie jeder andere weiß freilich auch er, dass sich in dem von ihm gewählten Torepaar zwangsläufig zumindest eine Ziege befinden muss. Keine Frage. Doch mit zwei gewählten Toren hat er bekanntlich die doppelte Chance. Bei geltender Spielregel ist er tatsächlich dazu in der Lage, "seine zwei Tore" zu wählen. Er wählt seine beiden Tore aus, und er braucht dem Moderator sodann nur das eine von ihm "abgelehnte Tor" anzugeben. (Nijdam: Du bist den Gegenbeweis schuldig geblieben.)

In seinem gewählten Torepaar wird sich zumindest eine Ziege befinden. Das ist ihm bekannt. Sie wird ihm gezeigt, er wechselt und hatte diesmal leider Pech. LG -- Gerhardvalentin 20:59, 17. Jan. 2010 (CET)

Siehe auch: "Das grundsätzliche Problem", hier endlich Klarstellung: Trennung des "Ziegenproblems" von historischen Auffassungsdifferenzen und "mathematischen Lösungsvarianten der Auffassungsdifferenzen", dargestellt durch kompetente Mathematiker der englischen WP. Gruß -- Gerhardvalentin 04:31, 26. Jan. 2010 (CET)

Da, wo Rick klarstellt, dass Deine Sicht ein Problem beschreibe, das lediglich "verwandt" mit dem Ziegenproblem sei? --AchimP 09:12, 26. Jan. 2010 (CET)

Achim: Bitte dort alles lesen. -- Gerhardvalentin 02:43, 27. Jan. 2010 (CET)

Albtal: Wilberts Variante ist die folgende. Der Kandidat will nicht "wechseln". Er will vielmehr von Anfang an gleich zwei von ihm bestimmte Tore wählen. Das lässt die Spielregel nicht zu. Doch er kommt mit einem "Umweg" zum gleichen Ziel: Er sucht das von ihm gewünschte Torepaar aus, nennt aber "als seine Wahl" das dritte, von ihm nicht gewünschte Tor, das ihn ja eben nicht interessiert. Damit hat er das von ihm eigentlich gewünschte Torepaar abgesondert. Er will ja letztlich jenes Torepaar. Dem Moderator nennt er als seine "erste Wahl" deshalb das dritte, von ihm nicht gewünschte Tor. Der Moderator öffnet in dem vom Kandidaten "eigentlich gewünschten" Torepaar ein Ziegentor. Das "Wechseln" auf das als Alternative angebotene noch verschlossene Tor ist also kein eigentliches "Wechseln" sondern nur die Verwirklichung seines ursprünglichen Zieles, unterstreicht Wilbert. Der Kandidat "bleibe ja eigentlich bei seiner ersten Wahl von gleichzeitig zwei von ihm bestimmten Toren". Denn er weiß, dass die Gewinnchance eines Torepaares 2/3 beträgt, obwohl jedes Paar von zwei Toren (da es nur ein einziges Auto gibt) unvermeidlich zumindest eine Ziege enthalten muss. Daraufhin werden (mit der doppelten Gewinnchance) die beiden anderen von ihm ja gewünschten Tore geöffnet: Der Moderator öffnet gemäß Spielregel dort zuerst ein (unvermeidliches) Ziegentor (das ist ja schon "das eine" der beiden Tore, auf die der Kandidat in Wirklichkeit reflektiert hat), daraufhin "wechselt" der Kandidat auf das noch verschlossene Tor jenes von ihm von vornherein gewünschten Torepaares. Dieses vereinigt nun, nachdem aus dem Torepaar mit 2/3-Gewinnchance eine zwangsläufig dort vorhandene Ziege ausgesondert worden ist, die gesamte Gewinnchance jenes Torepaares von 2/3 auf sich allein. Zwar ist die Summe des Ziegenrisikos jenes Torepaares (2/3 + 2/3 =4/3) durch das Vorzeigen einer 3/3-Ziege für das andere dort befindliche noch verschlossene Tor auf 1/3 gesunken, das ist noch nicht Null. Also: In 1/3 der Fälle wird leider auch das zweite Tor jenes Torepaares eine (allerdings nicht mehr unvermeidliche) Ziege verbergen, doch ist das nur noch das halbe Risiko gegenüber einem "einzeln" aus drei Toren gewählten Tor, dessen Ziegenrisiko ja 2/3 beträgt. Ob nun der Kandidat "beide Tore öffnen darf" und ob zuerst eine Ziege zum Vorschein kommt oder ob das der Moderator vornimmt ist hier gleichgültig. Hätte er eines der beiden Tore jenes Torepaares selbst zum "ersten Öffnen" aussuchen dürfen und es hätte eine (unvermeidliche) Ziege enthalten, wäre die Chance des zweiten Tores dort ebenfalls 2/3, auch wenn es eine weitere Ziege enthalten sollte (die allerdings niemals "unvermeidlich" sein kann). Wichtig ist zu wissen: Das zweite Tor des vom Kandidaten "ausgesuchten Torepaares" wird nun eine Chance von 2/3 besitzen. In 1/3 der Fälle wird es dennoch eine Ziege verbergen, doch in 2/3 der Fälle das Auto. Gruß -- Gerhardvalentin 02:43, 27. Jan. 2010 (CET)

Und wenn der K, falls er wie in Albtals Frage selbst die beiden Türen des Paars öffnen darf und dies - anders als der M beim "regulären" Spiel - im Bezug auf das Treffen einer Ziege rein "zufällig" tun muß, aus dem Paar 1 + 3 sogleich die Autotür (1) öffnet, mag es zwar sein, daß dann die Chance für die Tür 3 nunmehr 0 beträgt (ebenso wie jetzt für die von ihm gleich ausgeschiedene Tür 2), aber wen könnte dies noch interessieren?! Es sind genau solche redundanten abstrakt-theoretischen Erkenntnisse, von denen das Ziegenproblem tunlichst befreit werden sollte, da sie zur richtigen Lösung nichts, aber auch gar nichts, beitragen und nur geeignet sind, das Verständnis für die wahre Struktur des Problems bei vielen Menschen zu erschweren.

-- Wilbert 87.187.52.84 09:03, 27. Jan. 2010 (CET)

@Gerhardvalentin, Wilbert: Wie lautet nun also die kurze Antwort auf meine kurze Frage? (Übrigens: Dass man mir das Ziegenproblem erklären muss, hat bei Wikipedia noch niemand ernsthaft behauptet. Ich hatte auch nicht vor, die Diskussion wieder aufzunehmen, die schon längst mit allen wichtigen Argumenten und zahlreichen Spielvarianten geführt worden ist. Diese Varianten sollten natürlich der Abgrenzung des Problems und dadurch auch dem besseren Verständnis dienen. Ich selbst hatte mich ab August 2008 ausführlich an der Diskussion und auch an der Artikelgestaltung beteiligt. Aus meiner Sicht ist die Thematik ausgeschöpft. Allerdings lässt der aktuelle Artikel vor allem, was die "Geschichte" des Ziegenproblems und der Bezug zu den Quellenangaben angeht, sehr zu wünschen übrig. Aber ich möchte mich wirklich nicht wiederholen. Auf jeden Fall sei denjenigen, die neu hinzukommen, empfohlen, im "Archiv" nachzuschauen, was sich hier schon alles getan hat. Für sie könnte auch hilfreich sein, was unter Ziegenproblemsteht.)--Albtal 11:09, 27. Jan. 2010 (CET)

@Albtal

Zitat von Albtal: (Übrigens: Dass man mir das Ziegenproblem erklären muss, hat bei Wikipedia noch niemand ernsthaft behauptet.)

Ich habe nicht behauptet und wollte bestimmt auch nicht andeuten, daß man Dir das Ziegenproblem erklären müsse. Diese Bemerkung bezog sich selbstverständlich auf Otto-Normal-Denksportler, der hier oder anderswo nach brauchbaren Erklärungen sucht.

Zitat von Albtal: Wie lautet nun also die kurze Antwort auf meine kurze Frage?

Wenn K erst Tür 1 mit einer Ziege und dann Tür 3 öffnet, beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei dieser (im Voraus geplanten) Vorgehensweise 2/3. Wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Öffnen eines Türpaars bei 2/3 liegt, ist das Rätsel damit gelöst. Die Frage nach isolierten Wahrscheinlichkeiten für einzelne bezifferte Türen, ggfs. auch noch in Abhängigkeit vom Inhalt der zuerst geöffneten Tür und der Frage, welche Person sie öffnet, beantworte ich demonstrativ nicht, um damit deutlich zu machen, daß wir uns von diesen für die Lösung irrelevanten Nebenschauplätzen endlich befreien müssen.

-- Wilbert 87.187.64.151 19:18, 27. Jan. 2010 (CET)

An Wilbert und an Ludwig Wauer: Super Fortschritt. Ludwigs Aspekt und Dein Aspekt "Von Anfang an zwei Türen wählen" wurde zwar schon oft und oft angesprochen, aber leider meist nur "nebenbei" angedeutet und erwähnt. Genau dieses simple Argument muss zum zentralen Argument werden, danke Euch! Habe die überzeugende Wirkung dieses zentralen Argument bisher vernachlässigt, jedoch heute auch in der engl.Wikipedia verwendet:

Yes Martin, that's my focus. It was so easy to understand if the guest could chose "one door", or alternatively "two doors". In effect that's the fundament of the game. Confusion results just from not opening these two doors simultaneously. That's all. Everyone knows that a goat is unavoidably given in each and every pair of two doors, this pair of doors having a chance of 2/3, though. Double chance! But not opening those two doors simultaneously, and showing there only the one unavoidably given goat, leaving the privileged "partner"-door still closed, gives birth to confusion. This confusion could easily be rectified, if facts were represented clearly. And if math would stop nebulizing :) Of course you can show mathematics and its peculiar attempts, but just as an unnecessary historical performance :)   -- Gerhardvalentin (talk) 18:50, 27 January 2010 (UTC)

Genau auf diesem "einfachen Weg" wird es gelingen, Absurdes als absurd nachzuweisen und den jahrzehntelangen Mathematiker-Streit samt Spielregel- Umdeutungen, Spekulationen über unerlaubte Moderator-Hilfen etc. als historische Kuriosität einordnen zu helfen. Der Artikel wird dadurch hoffentlich profitieren. Die italienische Version ist übrigens der englischen und der deutschen in dieser Hinsicht schon heute überlegen. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 21:56, 27. Jan. 2010 (CET)

@Nijdam:

Ich hatte früher einmal eine alternative Konfiguration als mit dem Ziegenproblem äquivalent, aber für die meisten Menschen leichter "faßlich" bezeichnet, bei dem mit einer weißen Gewinnkugel und zwei schwarzen Nietenkugeln in einem Beutel operiert wird: Der K zieht blind eine Kugel, behält sie in seiner ungeöffneten Hand, der M zieht und zeigt eine schwarze Kugel und bietet den "Wechsel" zur letzten noch im Beutel befindlichen Kugel an.

Auch auf die "Türpaar"-Sichtweise läßt sich diese Analogie gut und "greifbar" übertragen, indem man sich klarmacht, daß der K einfach eine von drei Kugeln aus dem Spiel (Beutel/"Urne") entfernt, dann die beiden anderen "bekommt" und das Auto gewinnt, wenn unter diesen restlichen zwei Kugeln die weiße ist, wofür eine 2/3-Wahrscheinlichkeit besteht.

Nijdam, wenn ich mich recht entsinne, hattest Du die Äquivalenz der Urnen-Variante von vornherein mit dem Argument bestritten, daß dabei die beiden schwarzen Kügeln (die Nieten) nicht unterscheidbar seien, während im eigentlichen Spiel den Ziegentüren jeweils eine bestimmte mit einer Nummer bezifferte Tür zugeordnet ist - oder habe ich das falsch in Erinnerung? Wenn dies Dein Einwand war: Ändert sich etwas, wenn nicht beide Nietenkugeln schwarz sind, sondern zB eine schwarz und die andere rot (also: Gewinn weiß, Nieten schwarz und rot), so daß die Wechselfrage gestellt wird, nachdem der M dem K eine schwarze oder eine rote Kugel gezeigt hat?

-- Wilbert 87.187.67.198 09:07, 28. Jan. 2010 (CET)

Nicht nur dass sie nicht unterscheidbar waren, auch wie der M einen Kugel zieht, spielt eine wichtige Rolle. Wenn z.B. der K der rote Kugel gezogen hat, koennte der M den Weisse ziehen. Darf er das? Nijdam 20:03, 28. Jan. 2010 (CET)

@Nijdam:

Solange man nicht die Regeln ändert, darf er das nicht.

Mal eine andere Frage: Jede der beiden Ziegen ist ja ein unterscheidbares einzelnes Individuum. Man könnte sie zB als Z1 und Z2 bezeichnen. Das entspräche für sich genommen den Kugeln schwarz und rot im Urnenbeispiel. Z1 und Z2 haben "Niete" gemeinsam, Schwarzkugel und Rotkugel ebenfalls. Den Kugeln fehlt es allerdings an bestimmten durch die Türbezifferung gegebenen unterscheidbaren "örtlichen Positionen", sie liegen im Beutel ungeordnet nebeneinander. Spielt es für Dich bei den Überlegungen eigentlich für das Ziegenspiel eine Rolle, welche der beiden Ziegen Z1 und Z2 jeweils hinter welcher Tür steht bzw. vom M gezeigt wird?

-- Wilbert 92.79.172.140 12:34, 29. Jan. 2010 (CET)

Gleich noch eine weitere Frage dazu, wenn sie auch laut Wilbert den mühsam aufgebauten Sachverstand zum Ziegenproblem wieder zu zersetzen droht: Wenn statt des Moderators M der Wikipedia-Diskutant W, der den Inhalt des Beutels nicht kennt, eine schwarze Kugel zieht und zeigt: Wie groß ist dann K's Gewinnwahrscheinlichkeit?--Albtal 08:08, 29. Jan. 2010 (CET)

Jede Variante, bei der K weiß, daß nach seiner "1. Wahl" zunächst eine der beiden jetzt noch im Beutel befindlichen Kugeln herausgeholt wird (durch wen und auf welche Weise auch immer), er (oder wer auch immer) danach noch die andere (letzte) herausholen darf und er gewinnt, wenn eine der beiden nicht bei der "1. Wahl" gezogenen Kugeln weiß ist, führt zu der Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3. Das ist doch klar.

-- Wilbert 87.187.101.87 09:27, 29. Jan. 2010 (CET)

Das ist aber keine Beantwortung der Fragen. Sie sind ja auch dann noch sinnvoll, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit am Anfang 2/3 beträgt. Vielleicht sind die Fragen auch trivial ... - Lustigerweise könnte man den M, nachdem er oder W oder K aus den gewählten Kugeln zunächst eine Niete gezogen hat, sogar noch fragen lassen: "Wollen Sie noch wechseln?" --Albtal 10:15, 29. Jan. 2010 (CET)

Die Beantwortung Deiner Frage setzt die Kenntnis voraus, von welcher Regelkonfiguration Du ausgehst. Die Zufallswahl durch den außenstehenden Wikipediadiskutanten W [ ;-) ] entspricht ja bereits nicht den im Artikel zugundegelegten Regeln. Daher habe ich einfach mal vorausgesetzt, daß der K jedenfalls weiß, daß nach seiner "1. Wahl" ein Dritter zufällig ziehen wird, und danach die Wechselfrage gestellt werden wird, d. h. bei Licht betrachtet auf den Punkt formuliert: am Ende auch die letzte Kugel aus dem Beutel gezogen und gezeigt wird und das Auto gewonnen wird, wenn eine der beiden nach der "1. Wahl" noch verbliebenen Kugeln weiß ist. Weiter ist stillscheigend vorausgesetzt, daß der K das Auto auch dann gewinnt, wenn schon die Zufallsziehung durch W (oder eine solche durch M) die weiße Kugel hervorbringt, so daß sich der nachfolgende "Wechsel" als überflüssig gewordene (aber dessen ungeachtet sehr wohl noch 'technisch' mögliche) Pflichtübung darstellt.

Wenn dies die Regeln dieser Variante sind, beträgt die Gewinnchance 2/3 für das Paar. Mehr muß man nicht wissen, um die Aufgabe zu lösen.

-- Wilbert 92.79.172.140 11:05, 29. Jan. 2010 (CET)

@alle: zu den "historischen Kuriositäten" siehe Ziegenproblem.--Albtal 10:51, 28. Jan. 2010 (CET)

"Richtige Lösung"

Es gibt eine richtige Lösung, das ist aber nicht die im Artikel am Ende vorgestellte. Ich bin von den Paradoxon-Artikeln auf diesen gestoßen und es scheint mir ein typisches Scheinparadoxon zu sein. Ich will hier keine pseudoexakte mathematische Herleitung anbieten oder die hier angebotene korrigieren, sondern einfach die Lösung korrigieren:

1. Vor dem Spiel

1.1. Die Wahrscheinlichkeit dass der Gewinn sich hinter einem Tor befindet, ist 1/3.

2. Nach der Öffnung eines Tores ohne Gewinn

2.1. Das Öffnen eines Tores schafft eine neue Situation. Aber:

2.2. Das Wissen über das Tor mit der Ziege, beeinflusst die die Tatsachen in keiner Weise. Das heißt:

2.2.1. Es handelt sich nicht um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

2.2.2. Also: Die Anwendung der Bayes-Theorems ist falsch.

2.3. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Gewinn hinter einem der beiden Tore befindet, ist nun 1/2.(Oder: immer noch 1/3, aber dann gilt das gleiche für die Ziege und dann ist 1/3 zu 1/3 = 1/1.

2.4. Oder: Die Wahrscheinlichkeiten für beide Tore sind völlig gleich.

Es ist dieselbe Geschichte wie die mit dem Passagier, der immer eine Bombe im Gepäck hat, weil die Wahrscheinlichkeit für 2 Bomben in einem Flugzeug sehr gering sind. Oder: Die Wahrscheinlichkeit mit dem Würfel eine 6 zu würfeln ist 1/6. Die Wahrscheinlichkeit bei einem zweiten Wurf eine 6 zu würfeln, ist wieder 1/6. Die Wahrscheinlichkeit dafür, zweimal hintereinander eine 6 zu würfeln, ist 1/36. Man hat rechnerisch zwei Wahrscheinlichkeiten gleichzeitig zu erwarten, aber eben auch für zwei Ereignisse: Das eine Ereignis ist "eine 6", das zweite Ereignis ist "zwei mal 6". So ist es auch mit dem Ziegenproblem: Das Öffnen der Türen ist unabhängig von einander, die erste Wahl verändert doch nicht die Tatsache, wo das Auto steht. Vermutungen über die Absichten des Moderators sind völlig irrelevant. Bei der Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten geht doch letztendlich immer um die Realität und nicht um abstrakte Mahematik. -- Armin 20:32, 13. Nov. 2011 (CET)

Dein Irrtum liegt in Punkt 2.2. Wenn Du weißt, wie der Moderator sich verhält, kannst Du sein Wissen nutzen, um Deine Chancen zu erhöhen. Dieses Wissen erfährst Du, so seltsam es klingen mag, aus der Betrachtung der "Geschichte" der Tore. Um mal einen anderen Blickwinkel zu nutzen (ich hoffe, ich konstruiere dabei nicht versehentlich ein verwandtes Problem): die Wahrscheinlichkeit, dass Du zuerst (Punkt 1.1) das Auto gewählt hast, ist 1/3. Die, dass Du eine Ziege gewählt hast 2/3. In 2/3 der Fälle gewinnst Du also durch Umentscheiden.

Das ganze wird leichter erkennbar, wenn man sich mehr als 2 Ziegentore (100 von mir aus) vorstellt: Am Anfang hast Du bereits die Information, dass der Moderator Dir gleich 98 Tore mit Ziegen öffnet. Nur eben nicht das von Dir gewählte und ein weiteres. Die Wahrscheinlichkeit, dass Du aus den 100 eine Ziege wählst, ist groß, die Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator das Tor mit dem Auto für Dich erkennbar macht, also auch. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto unter den 99 Toren ist, die Du nicht gewählt hast, ist nicht 1/2, sondern 99/100.

Die Umformulierung des Problems im Artikel macht es ebenfalls klar: Du hast eben nicht die Wahl zwischen zwei Türen, sondern - wenn Du das gesamte Spiel betrachtest - eine 2-aus-3-Wahl. Deine Gewinnchance ist also 2/3. (Wichtig ist dabei zu beachten, dass man gewinnt, wenn nur eines der beiden Tore, die man gewählt hat, das Auto enthält! Irritierend ist möglicherweise die Tatsache, dass das andere vom Moderator geöffnet wird. Das ist aber egal.)

Die Gewinnchance von 1/2 ergibt sich nur, wenn man das Wissen über die ("Geschichte" der) Tore ignoriert und so tut, als habe man von vornherein nur die Wahl zwischen zwei Toren gehabt. Hat man aber nicht, sondern zwischen einem Tor und einer Gruppe von 2. Die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter der zuerst ausgewählten Tür steht, 1/3 ist, lenkt davon nur ab.

Rasterzeileninterrupt 12:36, 7. Jan. 2012 (CET)

Die Entscheidung des Spielers

Da eine Nicht-Gewinn-Tür der drei Türen immer geöffnet wird, bleibt dem Spieler real nur die Wahl zwischen einer einzelnen Tür und einer Gruppe von zwei Türen.

Die beiden nicht gewählten Türen nach der ersten Wahl des Spielers bilden eine Gruppe, in der die Gewinn-Wahrscheinlichkeit bei 2/3 liegt.

Durch die Öffnung einer Nicht-Gewinn-Tür aus dieser Gruppe hat der Spieler bei der Wahl der geschlossenen Tür dieser Gruppe eine Gewinn-Wahrscheinlichkeit von 2/3.

-- Viliv 13:57, 20. Jan. 2012 (CET)