Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/004

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Warum die einfache Erklärung falsch ist

Ok, ich werde erklären woran sie scheitert. Und ich hoffe jeder versucht auch wirklich das zu verstehen. Also:

Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat noch nicht ein Tor geöffnet. Der Wahrscheinlichkeit daß das Auto sich hinter Tor 1 befindet ist 1/3. Gleichfalls für die Tore 2 und 3.

Jetzt öffnet der Moderator Tor 2 und es zeigt sich eine Ziege. Es ist eine neue Situation eingetreten. Das versteht auch jeder, denn die Wahrscheinlichkeit daß das Auto sich hinter Tor 3 befindet ist nun 2/3. Aber weshalb? Die "einfache Erklärung" sagt: weil die Wahrscheinlichkeit daß das Auto sich hinter Tor 1 befindet 1/3 ist und es nur diese zwei Möglichkeiten gibt. Aber dann ist die Frage: wieso ist in diese Situation die Wahrscheinlichkeit daß das Auto sich hinter Tor 1 befindet 1/3? Das ist nicht automatisch der Fall und muss hochgerechnet werden.

Der Fehler liegt also darin daß die "einfache Erklärung" davon ausgeht daß die Wahrscheinlichkeit sich nicht geändert hat. Aber wieso? Die Wahrscheinlichkeit für das andere Tor hat sich doch auch geändert! Hier zeigt sich die Verwirrung zwischen zwei Wahrscheinlichkeiten die den gleichen Wert haben, aber grundsätzlich verschieden sind. Nijdam 15:05, 20. Feb. 2009 (CET)

Wir reden von diesem Text hier?

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Wählt er am Anfang Tor 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, als auch, wenn es hinter Tor 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tor 3 oder Tor 2 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend das andere dieser beiden Tore.

Da steht nichts von dem, was Du behauptest. Da steht nicht weil die Wahrscheinlichkeit daß das Auto sich hinter Tor 1 befindet 1/3 ist und es nur diese zwei Möglichkeiten gibt und da steht nicht daß die Wahrscheinlichkeit sich nicht geändert hat. Das interpretierst Du falsch hinein. --AchimP 15:23, 20. Feb. 2009 (CET)

Man kann die einfache Erklärung auch so vereinfachen: Möchtest Du ein Tor oder zwei Tore wählen? Wenn Du zwei Tore wählst, musst du mir aber eine Ziege abgeben. Das Auto darfst Du behalten. - Ich denke, das ist dann klar wie Klosbrühe. --Hutschi 15:30, 20. Feb. 2009 (CET)

(BK)Man kann sicher die Frage stellen, warum die Wahrscheinlichkeit 1/3 beträgt, daß sich das Auto hinter Tür 1 befindet (Antwort: Weil die Türen gleich wahrscheinlich sind), aber das ist noch kein Fehler. Im übrigen kritisierst Du Deine eigene Erläuterung und nicht die "einfache Erklärung". Der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ taucht in der einfachen Erklärung nämlich nicht auf, kann also auch nicht der Fehler sein. Erläutere doch bitte, was an der "einfachen Erklärung", so wie sie jetzt im Artikel steht, falsch ist. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:35, 20. Feb. 2009 (CET)

Ok. Die einfache Erklärung zeigt nur das man mit 2/3 Chance gewinnt, wenn man beide andere ungeöffnete Tore wählen darf, und sagt nichts von der Situation wenn eins der Tore geöffnet worden ist. Stillschweigend aber wird aber unterstellt dass die Wahrscheinlichkeit des Tors 1 aufs Auto unverändert 1/3 bleibt. Sonst kan man keine Konklusion ziehen. Und darin liegt das von mir gezeigte Problem. Nijdam 17:19, 20. Feb. 2009 (CET)

Du zeigst ein Problem mit Deiner Interpretation der "einfachen Erklärung" auf, nicht eines, das in der Erklärung selbst läge. Dadurch wird aber die Erklärung nicht falsch, insbesondere im Lichte der Tatsache nicht, daß Du - selbst unterstellst, Deine Interpretation ergäbe sich zwingend aus der "einfachen Erklärung"! - nicht darlegst, wieso sich die Wahrscheinlichkeit, daß man vor dem Öffnen irgendeiner Tür die richtige Tür getroffen hat, durch das Öffnen einer anderen Tür ändern sollte. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:48, 20. Feb. 2009 (CET)

Es wird nicht stillschweigend unterstellt, dass die Wahrscheinlichkeit des Tors 1 aufs Auto unverändert 1/3 bleibt. Das interpretierst Du hinein und Du machst es falsch. Es stimmt auch offensichtlich nicht, dass die Erklärung sagt nichts von der Situation wenn eins der Tore geöffnet worden ist; heisst es doch in den wenigen Sätzen durchaus "Denn der Moderator muss dann entweder Tor 3 oder Tor 2 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend das andere dieser beiden Tore". Beschränke Dich doch bitte mal auf den Text, der vorliegt. --AchimP 18:31, 20. Feb. 2009 (CET)

Ich dachte, ihr hattet das verstanden. Der Fehler liegt darin, dass was da geschrieben steht, auf sich betrachtet, nicht falsch ist, aber dass es nicht zutrifft auf das Problem. Und deshalb ist es keine Erklärung dafür. Man kann aus was da argumentiert wird nicht konkludieren was die Wahrscheinlichkeit ist das beim geöffnete Tor 2, das Auto hinter Tor 3 steht. Versuch mal sie zu berechnen. Nijdam 19:34, 20. Feb. 2009 (CET)

Du weigerst Dich offensichtlich nach wie vor, Deine Kritik zu formulieren. Wenn Dein Gedankengang so offensichtlich ist, dann müßte es doch möglich sein darzulegen, was „nicht zutrifft auf das Problem“. Hilfreich dazu wäre, wenn Du in diesem Zusammenhang aufhören würdest, von irgendwelchen „Wahrscheinlichkeiten“ zu reden, denn dieses Wort kommt in der "einfachen Erklärung" nicht vor. Ebensowenig beschäftigt sich die "einfache Erklärung" mit der Frage, ob nun Tor 2 oder Tor 3 geöffnet wird. Daraus ergibt sich zwingend, daß sie sich schon gar nicht mit der Frage beschäftigt, „was die Wahrscheinlichkeit ist das beim geöffnete Tor 2, das Auto hinter Tor 3 steht.“ Vielleicht solltest Du nochmals versuchen, die einfache Erklärung sinnentnehmend zu lesen. Daß sie das Problem anders erklärt, als Du es vielleicht erklären würdest, heißt nämlich nicht, daß die Erklärung falsch ist. Falsch ist sie dann, wenn sie in sich widersprüchlich ist - nicht, wenn sie Deinen Überlegungen widerspricht. Letzteres gälte auch dann, wenn Deine Überlegungen zutreffend wären. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:45, 21. Feb. 2009 (CET)

Der Kandidat berechnet in wie viele der Fälle mit Tor 2 geöffnet, sich das Auto hinter Tor 3 befindet. Man kann aus der 'einfache Erklärung' nicht konkludieren in wie viele der Fälle beim geöffnete Tor 2, das Auto hinter Tor 3 steht. Nijdam 19:34, 20. Feb. 2009 (CET)

Hier ist alles ausgeschrieben:

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle.

Mit die möglichen Fälle ist hier gemeint:

Wahl=1 und Auto=1 
Wahl=1 und Auto=2 *
Wahl=1 und Auto=3 *
Wahl=2 und Auto=1 *
Wahl=2 und Auto=2
Wahl=2 und Auto=3 *
Wahl=3 und Auto=1 *
Wahl=3 und Auto=2 *
Wahl=3 und Auto=3

Mit * diejenige die bei Wechsel das Auto gewinnen. Und in 2/3 dieser Fälle gewinnt der kandidat beim Wechslen daas Auto. Aber es ist kein Tor geöffnet, und die Frage bezieht auf eine Lage worin ein Tor geöffnet ist.

Am Beispiel: Wählt er am Anfang Tor 1,

Wir beschränken uns auf:

Wahl=1 und Auto=1 
Wahl=1 und Auto=2 *
Wahl=1 und Auto=3 *

gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, als auch, wenn es hinter Tor 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tor 3 oder Tor 2 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend das andere dieser beiden Tore.

<reinquetsch> An dieser Stelle ist die einfache Erklärung zuende, und wir sehen, daß in Deiner Aufstellung von drei (gleichwahrscheinlichen!) Fällen in zweien die Wechselstrategie gewinnt. Alles weitere gehört nicht mehr zur "einfachen Erklärung", kann demzufolge auch keinen Fehler in der einfachen Erklärung nachweisen. Danke fürs Gespräch. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 14:51, 21. Feb. 2009 (CET)

Also hier zeigt sich dann daß die einfache Erklärung nicht zutrifft auf das Problem. Denn kein Tor ist geöffnet worden bisher. Danke fur dein Verständnis. Nijdam 16:24, 21. Feb. 2009 (CET)

Das „Problem“ lautet: „Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?“ Die richtige Strategie (und nach der ist hier gefragt, nicht danach, hinter welcher Türe das Auto steht!) ergibt sich bereits aus der Problemstellung, nicht erst in dem Moment, wo tatsächlich eine Tür geöffnet wird. Bei Einhaltung der Regeln ist auch völlig egal, welche Türe geöffnet wird - Wechseln ist immer richtig. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 18:23, 21. Feb. 2009 (CET)

Du bist fast dabei es zu verstehen. Den Kandidaten wird gefragt sich zu entscheiden nachdem Tor 3 geöffnet worden ist. Und erst dann kann er die richtige entscheidung treffen. Natürlich kann er schon zuvor sich entscheiden was er machen werde, aber auch dann muss er für die beide Fälle berechnen wie die Chancen liegen. Und bis jetzt weiss er nur was die Chance ist wenn er wechselt und gewinnt was hinter der beiden anderen Toren ist. Leider, es geht nicht anders. Nijdam 20:58, 21. Feb. 2009 (CET)

Ich habe es bereits verstanden. Deine Behauptungen jedoch ergeben sich nicht aus der Aufgabenstellung. Es scheint sich mehr um eine Art freies Assoziieren zu handeln. Der Kandidat muß jedenfalls nichts berechnen, sondern nur angeben, welche der beiden Möglichkeiten er wählen muß, „um seine Gewinnchance zu maximieren“. Selbst wenn sich in Deinen Ausführungen etwas sinnvolles verbergen sollte, was mit der "einfachen Erklärung" in Zusammenhang steht: „Und bis jetzt weiss er nur was die Chance ist wenn er wechselt und gewinnt was hinter der beiden anderen Toren ist.“ Wenn er weiß, daß diese Chance 2/3 ist, dann muß die Chance für „Nicht-Wechseln“ 1/3 sein, da die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ist. q.e.d. Nicht einmal, aus dem Wenigen, was Du zur Sache beizutragen bereit bist, läßt sich also eine fundierte Kritik an der "einfachen Erklärung" ableiten. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:44, 22. Feb. 2009 (CET)

Der Moderator öffnet ein Tor:

Wahl=1 und Auto=1 und Offen=2
Wahl=1 und Auto=1 und Offen=3
Wahl=1 und Auto=2 und Offen=3 *
Wahl=1 und Auto=3 und Offen=2 *

Es gibt nun 4 Möglichkeiten, wovon nur 2 eingetreten sein können, denn Tor 3 ist geöffnet worden:

Wahl=1 und Auto=1 und Offen=3
Wahl=1 und Auto=2 und Offen=3 *

Und jetzt? Ich weiss es nicht. Welche 2/3 der Fälle ist nun gemeint?Nijdam 14:29, 21. Feb. 2009 (CET)

Es sind in Wahrheit nur drei Fälle:

Wahl=1 und Auto=1 und Offen=2 oder 3 (Hier steckt die Falle: Das scheinen zwei Fälle zu sein, sie müssen aber zusammengefasst werden: Es wird ja nur eine Tür geöffnet, wenn auch eine beliebige von Tür 2 und 3. Es ist also nur ein Fall.)

Wahl=1 und Auto=2 und Offen=3 *

Wahl=1 und Auto=3 und Offen=2 *

Das ergibt sich daraus, dass nur eine Tür geöffnet wird.

Man sieht sehr gut, dass man im ersten Fall beim Wechseln verliert, während man in den zwei anderen gewinnt. "Immer wechseln" ist also die richtige Strategie bei reinen Strategien unter den gegebenen Voraussetzungen, dass der Moderator immer eine Tür öffnen muss, dass es eine Ziegentür sein muss, dass es nicht die vom Teilnehmer gewählte ist, dass Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit vorliegt, dass die Regeln nicht willkürlich geändert werden und dass man die Regeln kennt. --Hutschi 08:43, 23. Feb. 2009 (CET)

Es gibt 4 Fälle, vorausgesetzt Wahl=1. Die sind jedoch nicht alle 4 gleich wahrscheinlich. Aber wenn ein Tür geöffnet ist, egal ob es Tür 2 oder 3 ist, bleiben nur noch 2 Fälle, auch unterschieden wahrscheinlich. Dies ist gerade warum es sich handelt. Betrachte es mal so: Von 3000 Mal spielen und immer wechslen, werden (im Durchsnitt) 2000 Kandidaten das Auto gewinnen. Das besagt die 'einfache Erklärung'. Aber wieviele dieser 3000 Kandidaten haben Tür 1 gewählt? Das ist unbekannt! Aber man kann agumentieren daß das unwichtig ist. Nehmen wir an 36 haben Tür 1 gewählt. Auch davon gewinnt 2/3 das Auto, also 24 Kandidaten. Aber wieviele dieser 36 sehen Tür 3 geöffnet? Man kann argumentieren: die Hälfte, also 18. Die Antwort die wir brauchen ist nun: wie viele dieser 18 gewinnen das Auto? Was hat daß noch mit den 2000 ursprüngliche Gewinner der 'einfache Erklärung' zu tun? Nijdam 12:19, 23. Feb. 2009 (CET)

Wenn wir das als vier Fälle annehmen, dann wissen wir über zwei davon lediglich, dass sie zusammen eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 haben.

>>> richtig

Mehr brauchen wir aber auch nicht zu wissen.

>>> Doch, wir müssen auch wissen was die einzelne Wahrscheinlichkeit ist.

Der Moderator kann in diesem Fall immer die zweite Tür öffnen oder immer die dritte,

>>> richtig

oder er könnte einen Text zugrundelegen und ihn im Dualsystem übermitteln (2,3,3,3,2 usw.)

>>> ???

Es ist vollkommen ihm überlassen.

>>> In so ferne er die Spielregeln folgt.

wir sind also einig, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei für den Teilnehmer bei Wechsel 2/3 ist und bei Beharren 1/3.

>>> Nur bevor ein Tür geöffnet ist.

Die Frage, wieviele die Tür 3 geöffnet sehen, ist nicht relevant für den Gewinn.

>>> Ist sie doch, denn der Kandidat befindet sich in einer Lage worin die Tür 3 geöffnet ist!

Ich gewinne ja nicht, weil ich Tür drei geöffnet sehe.

>>> Aber das ist auch nicht die Frage. Die Frage ist wie oft ich gewinne wenn Tür 3 geöffnet ist!

Für die einfache Erklärung ist sie irrelevant.

>>> Das ist zwar richtig, aber das zeigt sich erst hinterher, oder die einfache Erklärung soll erweitert werden und auch dies erklären.

Wir gehen dabei immer von prinzipieller Symmetrie aus. Deshalb kann man, welche Tür auch immer der Kandidat wählt, sie auf den Fall zurückführen, dass er Tür 1 wählt. Wir können natürlich für jede der Türen analoge Überlegungen anstellen. Die einfache Erklärung geht von der Symmetrie aus. Man könnte auch sagen: Der Teilnehmer wählt eine der drei Türen 1, 2 und 3, nennen wir die Tür A. Dann bleiben die Türen B und C.

>>> Richtig, das habe ich auch gesagt. Und der Symmetrie geht weiter und bezieht sich auch auf der geöffnete Tür, aber auch hierüber spricht die einfache Erklärung sich nicht aus. Deshalb ist sie zu einfach, und unzureichend.

--Hutschi 14:17, 23. Feb. 2009 (CET)

Ich habe oben mit '>>>' Kommentar hineingefügt. Nijdam 15:29, 23. Feb. 2009 (CET)

Danke. Hier ist die Situation symmetrisch, bis der Moderator die Tür öffnet. Das Öffnen stellt einen Symmetriebruch dar. Auch im Falle, dass das Auto hinter Tor 1 steht, wählt der Moderator genau eine Tür aus. Man kann dafür keine Wahrscheinlichkeit für eine Einzeltür angeben, sie ist auch nicht entscheidend. Das liegt daran, dass er eine beliebige Tür von beiden öffnen kann. Ich habe bei Beobachtungen mit einem Experiment festgestellt, dass das gleiche Ergebnis entsteht, wenn er in diesem Fall immer die gleiche Tür wählt, zum Beispiel "2". Aber auch "3" kann vom Moderator gewählt werden. Die Möglichkeit der Auswahl ist hier völlig symmetrisch und führt bei einem Wechsel des Tores durch den Spieler zum Verlust. Das ist aber völlig offensichtlich. Im Moment verstehe ich nicht, wo das Problem liegt. --Hutschi 19:39, 23. Feb. 2009 (CET)

Weiss du Hutschi, vielleicht denkst du daß ich die Antwort 2/3 bestreite, weil du sagst: ich habe experimentell ... Keinenfalls. Trotzdem könnte dein Experiment auch falsch sein, obwohl es die richtige Antwort liefert. Bist du mir einig? Die richtige Antwort ist keine Garantie fur ein richtiges Experiment. Eine falsche Antwort bedeutet zwar das Experiment sei falsch, aber die logische Umkehrung ist nur das ein richtiges Experiment zu einem richtigen Ergebnis fuhrt, und nicht ein gutes Antwort zu ein richtiges Experiment. Und das ist mit die einfache Erklärung das Problem. Die Antwort ist richtig, aber das sagt nichts über die sogenannte Erklärung. Und leider ist sie mangelhaft. Das habe ich jetzt schon in viele Bewortungen deutlich gemacht. Schau mal hier unten, und folge die Schritte. Wir betrachten nur Kandidaten die Tor 1 gewählt haben. Der Punkt wo es schief geht, ist wo das Tor geöffnet wird. Nur Kandidaten denen Tor 3 geöffnet wird, dürfen wir weiter mitzahlen. Denn daß "unser" Kandidat eine Gewinnchance hat von 2/3 wenn er wechselt, bedeutet nur daß von 3000 Kandidaten in derselbe Lage, also auch Tor 1 gewählt und Tor 3 geöffnet, ca. 2000 gewinnen wenn sie wechslen. Und die einfache Erklärung sagt nichts über solche Kandidaten, sondern nur über alle Kandidaten die Tor 1 gewählt haben. Und die kann man teilen in welche mit Tor 2 offen und "unsere" mit Tor 3 offen. Und wie es mit diese Teilgruppen steht, darüber sagt die einfache Erklärung leider nichts. Das bedeutet nich die Antwort sei falsch, nein die ist richtig, aber die Erklärung reicht nicht aus. Also, erstens muss du verstehen daß es nur um "unsere" Kandidaten geht, und zweitens das die einfache Erklärung darüber nichts erklärt. Viel spaß. Nijdam 00:21, 26. Feb. 2009 (CET)

Ein Experiment kann immer falsch sein. Wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht, gibt es auch eine Wahrscheinlichkeit, dass man beim Würfeln eine Milliarde Mal hintereinander eine 4 würfelt. Allerdings würde ich dann annehmen, der Würfel sei gezinkt. Trotzdem ist es möglich. Im "Normalfall" tritt das aber nicht auf. AU-ERDEM KANN DAS Experiment das Problem falsch abbilden. So kann die falsche Abbildung darin bestehen, dass das Auto nicht zufällig plaziert wird, sondern die Psychologie berücksichtigt wird. Oder (wie in der originalen Frage) es kann suggeriert werden, dass der Spielmeister immer eine Tür öffnet. In den hier vorliegenden Fällen aber wird das durch Zusatzregeln ausgeschlossen.

"... daß von 3000 Kandidaten in derselbe Lage, also auch Tor 1 gewählt und Tor 3 geöffnet, ca. 2000 gewinnen wenn sie wechslen." Das gilt nur unter Bedingungen. Die Bedingung ist: Sie sind nicht wirklich in der gleichen Lage. Wenn sie in der gleichen Lage sind, gewinnen entweder 3000 beim Wechseln oder 3000 verlieren. Die Bedingung wäre: Es wird jeweils neu verteilt. --Hutschi 10:29, 6. Apr. 2009 (CEST)

Noch ein letzter Versuch der Erklärung

Nijdam behauptet: „Die Frage ist wie oft ich gewinne wenn Tür 3 geöffnet ist“ Das ist falsch. Die Frage ist: „Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?“

Um sich einen Lösungsweg für diese Frage (und nicht für andere, die man im Zusammenhang mit dem Ziegenproblem sicher auch stellen kann) zu erschließen, ist es notwendig, sich einige grundlegende Gedanken über die praktische Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie ins Gedächtnis zu rufen: Die Kunst hierbei besteht darin, das Problem auf den richtigen Ereignisraum abzubilden und innerhalb dieses Ereignisraumes die richtigen „positiven Ereignisse“ zu identifizieren. Dabei ist es von Vorteil, wenn sich die Versuchsanordnung auf ein Laplace-Experiment abbilden läßt, weil man dann mit einem meist überschaubaren Aufwand an Anwendungen der Grundrechenarten ans Ziel kommt, ohne sich bsplsw. um Wahrscheinlichkeitsmaße kümmern zu müssen.

Bei Deiner Analyse der einfachen Erklärung ist es Dir zunächst auch gelungen, einen passenden Ereignisraum zu finden und in ihm die positiven Ereignisse zutreffend zu identifizieren. Du schriebst:

„Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle.

Mit die möglichen Fälle ist hier gemeint:

Wahl=1 und Auto=1 
Wahl=1 und Auto=2 *
Wahl=1 und Auto=3 *
Wahl=2 und Auto=1 *
Wahl=2 und Auto=2
Wahl=2 und Auto=3 *
Wahl=3 und Auto=1 *
Wahl=3 und Auto=2 *
Wahl=3 und Auto=3

Mit * diejenige die bei Wechsel das Auto gewinnen. Und in 2/3 dieser Fälle gewinnt der kandidat beim Wechslen daas Auto.“

Was Dir leider entgangen ist: Du hast damit die Frage bereits erschöpfend beantwortet. Die Fortsetzung der "einfachen Erklärung" ist nur noch Erläuterung dieser Erkenntnis am Beispiel, was sich durch einfachen Nachlesen unmittelbar erschließt. Alle weiteren Anforderungen, die Du für die Aufgabenstellung ersinnst, existieren nur in Deiner Phantasie. Die Frage ist bereits beantwortet. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 16:34, 23. Feb. 2009 (CET)

Es gelingt einfach nicht dir deutlich zu machen das der Kandidat eine Entscheidung treffen muss in der Lage worin er sich befindet. Die Chancen wovon die Rede ist, haben die Bedeutung von relative Häufigkeiten bei solche Wiederholingen des Spiels, wobei der Kandidat in der gleiche Lage ist wie im Problemformulierung. Auch beim Simulieren wird oft nicht daran gedacht, und zwar bekommt man die Antwort 2/3, aber auf falsche Grunde. Wenn das Spiel simuliert wird, muss man nur die Möglichkeiten mitzählen, wobei Tür 1 angewiesen ist und Tür 3 geöffnet. Nijdam 18:36, 23. Feb. 2009 (CET)

Das gelingt deshalb nicht, weil es nicht stimmt. Niemand kann den Kandidaten daran hindern, bereits bei Bekanntgabe der Regeln zu sagen: „Ich werde mich auf jeden Fall für Wechseln entscheiden“, und es dann auch zu tun. Bei den hier in Rede stehenden Regeln ist es nämlich so, daß sich durch das Öffnen irgendeiner Tür nichts mehr am Spielablauf oder an den Chancen des Kandidaten ändert. Sobald feststeht, ob der Kandidat sich beim ersten Versuch für die Tür mit dem Auto oder eine mit einer Ziege entschieden hat, läuft der Rest automatisch ab, unabhängig davon, welche Türe der Spielleiter öffnet. Und daher muß die Frage, welche Türe der Spielleiter öffnet, bei der Ermittlung der richtigen Strategie gerade nicht berücksichtigt werden. Das erkennt man unschwer an der von Dir ins Spiel gebrachten Tabelle, aus der bereits vor dem Öffnen irgendeiner Türe eindeutig hervorgeht, in welcher Situation Wechseln gewinnt, und in welcher nicht. Es würde also völlig ausreichen, wenn Du Deinen eigenen Vortrag verstehen würdest. Es ist gar nicht nötig, daß Du einen der anderen Beteiligten oder gar meinen verstehst. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 20:01, 23. Feb. 2009 (CET)

Niemand kann den Kandidaten daran hindern, bereits bei Bekanntgabe der Regeln zu sagen: „Ich werde mich auf jeden Fall für Wechseln entscheiden“, und es dann auch zu tun. Bei den hier in Rede stehenden Regeln ist es nämlich so, daß sich durch das Öffnen irgendeiner Tür nichts mehr am Spielablauf oder an den Chancen des Kandidaten ändert. Dieser Darstellung stimme ich zu, sofern das Öffnen den Regeln entspricht. Es gibt übrigens noch weitere Spiele, bei denen es nicht nötig ist, alle Einzelheiten zu kennen, das Streben nach einer Erkenntnis aller Zustände ist dabei unmöglich, aber auch nicht nötig. In der Darrstellung von M.ottenbruch steckt auch eine erstaunlich schöne Symmetrie. Die anderen Lösungen lassen sich darauf abbilden. --Hutschi 21:25, 23. Feb. 2009 (CET)

Wenn man von Zuhause weg geht, und man entscheidet zu wechslen, scheint das der richtige Entscheidung zu sein. Jedenfalls wenn es keine weitere Information gibt. Im Durschnitt werden 2 von 3 Kandidaten gewinnen wenn sie wechslen. Das betrifft aber alle Kandidaten, also diejenigen denen Tür 3 und auch diejenigen denen Tür 2 geöffnet worden ist. Aber der Kandidat sieht Tür 3 offen. Es geht nun darum ob auch beim geöffneten Tür 3, wechslen noch der richtige Entscheidung ist. Es könnte der Fall sein daß wenn Tür 3 geöffnet ist, wechslen nur mit Chance 1/3 gewinnt, und wenn Tür 2 geöffnet ist wechslen mit Sicherheit gewinnt (oder auch in einem anderen Verhältnis). Auch dann gewinnt man im Allgemeinen beim wechslen in 2 von 3 Fälle, aber ist wechslen für den Kandidaten im Spiel ungünstig. Wegen der Symmetrie, die du auch erwähnst, gewinnt man auch wenn Tür 3 geöffnet ist. Und darum handelt es sich. Und sogar auch noch in 2/3 der Fälle. Aber die einfache Erklärung erklärt das nicht. Deshalb ist sie mangelhaft. Nijdam 23:33, 23. Feb. 2009 (CET)

Die einfache Erklärung ist in dieser Beziehung tatsächlich mangelhaft, da sie voraussetzt, dass man die Symmetrie intuitiv sieht und dass man nicht meint, durch Wechseln zu gewinnen. Natürlich ist Wechseln ungünstig, wenn man am ANfang das richtige Auto gewählt hat. Man erhöht durch Wechseln nur die Gewinnwahrscheinlichkeit von Seiten des Teilnehmers im Sinne des "Wissens" bzw. Ahnens. Ich hatte ursprünglich versucht, noch Zahlen einzufügen, die es verdeutlichen. Nach Diskussion habe ich sie wieder entfernt. Der eigentlich wichtige Punkt, der der "normalen" Intuition entgegensteht, ist, dass die Wahl des Moderators zwischen zwei Türen, die jeweils eine Ziege enthalten, nur ein Fall ist, also unabhängig, welche er wählt, nur 1/3 und nicht 2/4=1/2 darstellt. --Hutschi 10:00, 24. Feb. 2009 (CET)

Dieser Mangel besteht nicht, da die "einfache Erklärung" explizit darlegt, daß man durch Wechseln nur in zwei von drei Fällen (also gerade nicht grundsätzlich) gewinnt. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 14:39, 24. Feb. 2009 (CET)

Ich hoffe doch du siehst ein daß der Mangel darin liegt, daß die einfache Erklärung zwar erklärt warum wechslen im Allgemeinen vorteilhaft ist, aber nicht erklärt warum wechslen vorteilhaft ist in der Situation in der sich der Kandidat befindet. Zwar ist es auch in dieser Situation von Vorteil zu wechslen, das lässt sich leicht nachprüfen, aber die einfache Erklärung sagt nichts darüber. Nijdam 11:52, 24. Feb. 2009 (CET)

Was ich nicht verstehe, ist, dass es im Allgemeinen von Vorteil sei, zu wechseln, nicht aber in einer konkreten Situation - wenn man dabei dei Wahrscheinlichkeiten betrachtet. Von Seiten des Veranstalters sehen sie anders aus und betragen entweder 0 oder 1. Die "einfache" Erklärung setzt einiges voraus, was nicht genannt ist. Man sieht auch deutlich, dass sie nicht jedem einleuchtet, also nicht wirklich intuitiv ist. Zum Beispiel muss der Teilnehmer die Regeln kennen. ... --Hutschi 11:58, 24. Feb. 2009 (CET)

Im Allgemeinen ist die Hälfte der Deutschen eine Frau. Aber in einer konkreten Situation, z.B. Personal in einem deutschen Altersheim, wie sieht es da aus? Nijdam 17:15, 24. Feb. 2009 (CET)

Die "konkrete Situation" liegt dann vor, wenn der Kandidat von Anfang an vor der "richtigen" Türe steht. Doch der Kandidat hat nun einmal keinen Röntgenblick, siehe Spielregel.
Gruß Gerhardvalentin 15:40, 24. Feb. 2009 (CET)

Ich sehe immer noch keinen Mangel. Wechseln ist in der Situation, in der sich der Kandidat befindet, günstig, weil er dabei in zwei von drei Fällen ein Auto gewinnt. Und das sagt die "einfache Erklärung" auch explizit aus. So what? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 14:39, 24. Feb. 2009 (CET)

Erstens, der Kandidat muss die Spielregeln kennen. Am sonsten kann man das Problem auch so betrachten daß wir entscheiden. Zweitens: was bedeutet Wahrscheinlichkeit, und was bedeutet "vom Vorteil"? Wie du sagst, der spezifische Kandidat kann nicht richtig entscheiden, denn das Auto ist hinter Tor 1 oder es steht hinter Tor 2. Gemeint ist also bei solche Probleme, was durchschnittlich bei Wiederholung geschieht. Also es bezieht sich nicht auf den einzelnen Kandidaten, sondern durchscnittlich auf alle Kandidaten die in der gleiche Lage sind als im Problem. Nijdam 12:31, 24. Feb. 2009 (CET)

Daß die Regeln dem Kandidaten bekannt sind, muß nicht in der einfachen Erklärung stehen, da es bereits in der Problemstellung steht. Mit Wahrscheinlichkeit bezeichnet man bei Laplace-Experimenten das Verhältnis von günstigen zu insgesamt möglichen Ausgängen. „Von Vorteil“ bedeutet in diesem Zusammenhang, daß man mit höherer Wahrscheinlichkeit ein Auto gewinnt. Daß es einen Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und Gewißheit gibt, darf als bekannt vorausgesetzt werden und muß in der einfachen Erklärung nicht thematisiert werden. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 14:39, 24. Feb. 2009 (CET)

Es steht jetzt alles ausführlich erklärt. Aber ich wiederhole.

• Ein Kandidat der zu Hause entscheidet zu wechslen, hat 2/3 Chance aufs Auto. Aber was bedeutet das? Folgendes: Wenn man das Spiel viele Malen wiederholt werden 2 von 3 Kandidaten die wechslen das Auto gewinnen. Welche Kandidaten sind das? Alle, d.h. alle die wechslen. Darunter welche die Tor 3 wählen und Tor 1 offen sehen mit 'ne Ziege und welche die Tor 1 wählen und Tor 2 offen sehen mit 'ne Ziege. Und allerhand andere Kombinatione.
• Ein Kandidat die zu Hause entscheidet Tor 1 zu wählen und zu wechslen, hat auch 2/3 Chance aufs Auto. Darunter welche die Tor 2 offen sehen mit 'ne Ziege und welche die Tor 3 offen sehen mit 'ne Ziege. Von all diesen Kandidaten gewinnen 2 von 3 das Auto.

Obenstehendes besagt die einfache Erklärung. Aber das genügt nicht.

• Die Kandidaten die Tor 1 wählen bestehen aus zwei Gruppen. Eine Gruppe mit Tor 2 offen, und eine Gruppe mit Tor 3 offen. Und die einfache Erklärung spricht sich nicht aus wie es ist für die einzelne Gruppen, insbesondere nicht für die Kandidaten die Tor 1 wählen und Tor 3 offen sehen mit 'ne Ziege, denn um solche Kandidaten handelt es sich.

Es ist nicht schwer zu beweisen daß auch für solche Kandidaten gilt das beim Wechslen 2 von 3 das Auto gewinnen. Aber!!! die einfache Erklärung erklärt es nicht, und ist deshalb keine Erklärung. Nijdam 17:07, 24. Feb. 2009 (CET)

Ich verstehe kein Wort von dem, was Du da schreibst. Es ist mir auch nicht ersichtlich, was es mit der einfachen Erklärung zu tun haben sollte. Die Kandidaten, die wechseln, gewinnen in zwei von drei Fällen ein Auto, weil in sechs von neun möglichen Ausgangssituationen Wechseln zum Gewinn des Autos führt. Das ist zutreffend, und das geht genau so aus der einfachen Erklärung hervor. Also ist sie korrekt. Wenn jemand mit dem Auto von Köln nach Düsseldorf fährt, wirkt zweifellos die Coriolis-Kraft auf Fahrer und Auto. Trotzdem kann ich jemandem eine korrekte Beschreibung geben, wie er von Köln nach Düsseldorf kommt, ohne die Coriolis-Kraft auch nur zu erwähnen. Diese Beschreibung wird dadurch auch nicht falsch. Genausowenig wird die einfache Erklärung falsch, weil sie Deine sicherlich hochinteressanten, aber völlig unverständlichen Überlegungen nicht berücksichtigt. Im übrigen magst Du gerne noch unterscheiden zwischen einer „Gruppe mit Tor 2 offen, und eine[r] Gruppe mit Tor 3 offen.“ Die einfache Erklärung rät beiden zu wechseln, da sich dadurch ihre Gewinnchancen erhöhen. Mehr braucht es nicht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:42, 25. Feb. 2009 (CET)

Vielleicht das anderen es verstehen können. Aber für M.ottenbruch: Man muss ja unterscheiden zwischen den beiden Gruppen, denn "unser" Kandidat gehört zu der Gruppe mit Tor 3 offen. Zwar rät die einfache Erklärung solche Kandidaten auch zu wechslen, und es lässt zich zeigen daß das auch richtig ist, aber die einfache Erklärung zeigt es nicht. Oder kannst du mir zeigen wo das steht? Du meinst vielleicht daß, weil es im Durschnitt für 2 von 3 Kandidaten günstig ist zu wechslen, es deshalb auch für "unseren" kandidaten gilt, aber das stimmt nicht. Wenn meine zwei Füsse im Durchschitt herrlich warm sind, könnte ein Fuss eine Temperatur von -10 Grad und der andere +70 Grad haben. Ganz angenehm, meinst du nicht? Nijdam 15:31, 25. Feb. 2009 (CET)

Der Großteil dieser Diskussionsseite (mit zum Teil sinnfreien Beiträgen) sollte nun archiviert werden, um Übersicht zu gewährleisten. Zu Nijdam: Hier geht es um Wahrscheinlichkeit und entsprechende Strategien, um nicht weniger, aber auch nicht um mehr. Ein Wechsel kann für den Kandidaten fatal sein, wenn er zufällig zuerst die "richtige Tür mit dem Auto dahinter" gewählt hatte, doch darüber fehlt ihm leider jede objektive Information. Das wird im Artikel gezeigt. Der Rat, die Türe zu wechseln, würde dann ja zum Verlust führen. Nochmals: Das gilt nur dann, wenn er von Anfang an die "richtige Türe mit dem Auto" gewählt hatte. Deine Suche nach einem Weg dies festzustellen sind nicht Thema dieses Lemmas. Hier wird weder Telepathie noch Hellsehen beschrieben, sondern lediglich simple Wahrscheinlichkeitsrechnung angewendet, und mancher Kandidat zieht eine Gewinnchance von 66 Prozent (mehr ist nicht drin) einer solchen von 33 Prozent eben vor. Welche Gewinnchance er aber bevorzugt, bleibt in jedem Fall seine persönliche Entscheidung. Damit: EOD. Gruß Gerhardvalentin 18:20, 25. Feb. 2009 (CET)

@Gerhardvalentin: Du hast völlig recht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 19:47, 25. Feb. 2009 (CET)

Ich weiss wirklich nicht wo du alles hindenkst, aber meine Erklärung hast du anscheinend nicht gelesen, oder jedenfalss nicht verstanden. Ich weiss nicht wie viel du von Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehst, aber ich schlage vor: beweis mir, mit hilfe der einfache Erklärung daß von 3000 Kandidaten die alle Tor 1 gewahlt haben und Tor 3 offen sehen mit dahinten eine Ziege, 2000 das Auto gewinnen wenn sie wechslen. Wenn es dir so offensichtlich deutlich ist, müsste das kein problem sein. Nijdam 23:42, 25. Feb. 2009 (CET)

Dazwischen: 3000 Kandidaten, die alle Tor 1 gewählt haben und Tor 3 offen mit einer Ziege sehen? Das kommt statistisch in 1/6 aller möglichen Fälle vor (Größenordnung der Versuchsreihe also etwa 18.000). Falls die 3000 Kandidaten in dieser Situation nicht wechseln, verlieren sie statistisch in 2/3 dieser 3000 Fälle, denn dann steht auch hinter ihrem ursprünglich gewählten Tor in 2000 Fällen eine Ziege. Und sie gewinnen statistisch in nur 1/3 der 3000 Fälle, weil statistisch in nur 1000 Fällen das Auto hinter ihrem ursprünglich gewählten Tor steht.
Sollten jedoch die 3000 Kandidaten alle das Tor wechseln, so verlieren sie nur in 1/3 der 3000 Fälle, weil statistisch in nur 1000 Fällen das Auto hinter ihrem ursprünglich gewählten Tor stand. Sie gewinnen statistisch aber in 2/3 der 3000 Fälle, weil das Auto in 2000 Fällen hinter einem der beiden nicht gewählten Tore stand und sie auf eben dieses noch geschlossene Tor, das sie als Alternative angeboten erhielten, gewechselt haben.
Was wolltest Du mit der Behauptung, dass eine solche statistische Aussage nicht möglich sei, eigentlich ausdrücken? LG -- Gerhardvalentin 20:18, 4. Apr. 2009 (CEST)

Erstens ist nicht gesagt dass der Kandidat auch in 1/3 der Fälle das Tor 1 wählt. Aber nehmen wir an das sei der Fall. Insgesamt also 18000 Fälle. Davon 6000 mit Tor 1 vom Kandidaten gewählt. 2000 davon habe das Auto hinterm Tor 1. Nicht wechslen: 1/3 chance aufs Auto. Wechslen 2/3. Laut der vereinfachte Erklärung. Aber wie ist es nun mit der 3000 Fälle worin das Tor 3 offen ist? Du sagst: sie gewinnen nur in 1000 Fälle das Auto. Das ist ja richtig, aber ich fragte: beweis mir das mit Hilfe der vereinfachte Erklärung. Und das hast du nicht gemacht. Kannst du auch nicht, weil sie sich darüber nicht ausspricht. Nijdam 22:07, 4. Apr. 2009 (CEST)

Danke für die Antwort. Ich weiß nicht, welche Version der "einfachen" oder "vereinfachten" Erklärung vor Augen hast. Als Du sagtest, das gehe nicht daraus hervor, lautete die einfache Erklärung noch auszugsweise "Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Wählt er am Anfang Tor 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, als auch, wenn es hinter Tor 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tor 3 oder Tor 2 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend das andere dieser beiden Tore." Ist sie heute besser?
Aber bitte nicht verwirren. 3000 Kandidaten haben Tor 1 gewählt und sehen Tor 3 offen. Darum geht es, und nicht um jene 2000, die das Auto hinter der gewählten Türe haben, denn nur die Hälfte "jener 2000" (also 1000 davon) sehen Tor 3 offen, die andere Hälfte, die anderen 1000, sehen bekanntlich Tor 2 offen. Bitte nicht verwirren. Also zurück zu den ursprünglichen 3000 Kandidaten, die Tor 1 gewählt haben und Tor 3 offen sehen. Davon sind 1/3 (1000) Glückspilze, die das Tor mit dem Auto gewählt hatten und nun Tor 3 offen sehen. Doch diese "Glückspilze" gewinnen bei einem Wechsel NICHT. Sie würden mit einem Wechsel VERLIEREN. Ohne Wechsel gewinnen also nur SIE (1/3 der Fälle). Die restlichen 2000 "Pechvögel" sehen auch Tor 3 offen, das Auto ist dabei hinter Tor 2. Nur diese 2000 Kandidaten (2/3 von 3000) gewinnen bei einem Wechsel. Bei einem Wechseln des Tores gewinnen zwar doppelt soviele als ohne Wechseln, doch es gewinnen nur jene, die nicht von Anfang an die Tür mit dem Auto gewählt hatten. Nur diese zwei Drittel gewinnen bei einem Wechsel. Das stand in der "Einfachen Erklärung". Ist die heutige "Vereinfachte Erklärung" in ihrer Diktion und klarer? Was sollte anders ausgedrückt werden? LG -- Gerhardvalentin 00:09, 5. Apr. 2009 (CEST)

Ich weiss wirklich nicht warum du mir immer wieder beweist dass wechslen zum 2/3 Gewinn des Autos führt. Brauchst du wirklich nicht. Das ist so, das weiss ich auch, kann ich auch beweisen, mehrfach sogar. Also bitte, bleibe bei der Sache. Und der ist: wie kann man mit Hilfe der "einfachen Erklärung" diese Schlussfolgerung ziehen. Also bitte, wo in der "einfachen Erklärung" wird von Kandidaten geredet, die das Tor 1 gewählt haben und das Tor 3 offen sehen, und dann nicht nur konkludiert dass sie 2/3 Chance haben beim Wechslen zu gewinnen, aber argumentiert wird warum das so ist?Nijdam 16:06, 5. Apr. 2009 (CEST)

Wow, tatsächlich: Eben könnte bei mir der Groschen gefallen sein. In der "Erklärung" wird von Dir vermutlich die "zweifache Bedeutung", beanstandet, der Doppelsinn des deutschen Wortes "gewinnen, er gewinnt". In der Tat bedeutet das sowohl "empfangen, er empfängt", als auch schwingt dabei die zweite Bedeutung mit: "er gewinnt hinzu', "er vergrößert seinen Gewinn". In der Formulierung sollte hier tatsächlich besser die exakt gemeinte Bedeutung des Wortes "gewinnen" stehen, also genau zu sehen sein, welcher Aspekt von "gewinnen" gemeint ist: erhalten oder "im Unterschied zur bestehenden Chance hinzugewinnen". LG -- Gerhardvalentin 11:58, 5. Apr. 2009 (CEST)

Ich habe nie behauptet, daß die "einfache Erklärung" zu diesem Spezialfall eine Aussage macht. Sie behauptet nur, daß von 3000 Kandidaten, die irgendein Tor gewählt haben und irgendein anderes Tor geöffnet sehen, 2000 ein Auto gewinnen, wenn sie wechseln. In Kenntnis der Tatsache, daß alle Kombinationen gleichwahrscheinlich sind, ergibt sich daraus auch das von Dir behauptete, es ist jedoch zur Lösung der in Rede stehenden Aufgabe nicht notwendig, denn diese Fragt nur „Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?“ Sie fragt nicht nach irgendwelchen Spezialfällen, insbesondere nicht nach dem Spezialfall „Tor 3 geöffnet“. Darauf, daß Deine diesbezügliche Behauptung falsch ist, habe ich Dich bereits in meinem ersten Beitrag unter dieser Zwischenüberschrift hingewiesen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 09:55, 26. Feb. 2009 (CET)

Ich behaupte nicht daß du solches behauptet hast, aber ich behaupte daß die "einfache Erklärung" zu diesem (Spezial)fall eine Aussage machen soll. Und du könntest es (Spezial)fall nennen, aber es ist der einzige Fall zu dem sie eine Aussage machen soll. Willst du das nicht verstehen? Der Kandidat im Problem ist ein solcher Fall und es ist ihm egal ob im Durschnitt alle Kandidaten beim wechslen ihre Gewinnchancen erhöhen, er will wissen ob das auch auf ihm zutrifft. Und ich bestreite nicht daß das auch für ihn gilt, aber das wird nicht erklärt. Nijdam 11:51, 26. Feb. 2009 (CET)

Ich finde es dienlich, dass es nicht dort erklärt wird, sondern erst weiter unten im Artikel, denn die "Einfache Erklärung" ist m. E. in erster Linie für Leser, die wenig von Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen, aber steif und fest behaupten: "[Nach dem Öffnen der Ziegentür sind] 2 Türen zur Auswahl? Das ist 50:50, was denn sonst?". Genau die Leute lesen und verstehen die Einfache Erklärung, so wie sie jetzt ist, aber diese Leute würde es nicht mehr verstehen, wenn Du denen schon dort mit Deinen weitergehenden Wahrscheinlichkeitsdetails kommst (von denen ich die in den letzte Tagen geschriebenen BTW alle für korrekt und zutreffend halte). Diese zum vollständigen Beweis nötigen Details findet der geneigte Leser weiter unten im durchaus größeren Teil des Lemmas. --AchimP 12:02, 26. Feb. 2009 (CET)

Die "einfache Erklärung" soll einfach erklären, warum es in der durch die Problemstellung beschriebenen Situation günstiger ist zu Wechseln. Dazu muß sie gerade nicht jeden Einzelfall durchhecheln. Das sollte insbesondere daran zu erkennen sein, daß in der Problemstellung ja auch gerade nicht von einem konkreten Tor die Rede ist. Oder kannst Du mir die Stelle in der Problemstellung zeigen, wo die Rede ist von „Kandidaten die Tor 1 wählen und Tor 3 offen sehen mit 'ne Ziege“? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 12:47, 26. Feb. 2009 (CET)

@ Nijdam: Ich kann Dir die Stelle zeigen, wo das steht. Es steht im Absatz Einfache Erklärung:
„Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Wählt er am Anfang Tor 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, als auch, wenn es hinter Tor 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tor 3 oder Tor 2 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend das andere dieser beiden Tore.
Analoges gilt aus Symmetriegründen für die anderen Türen.“
HTH, HAND -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 19:47, 25. Feb. 2009 (CET)

Ich sehe nirgends auch nur etwas erwähnt über Kandidaten die Tor 1 gewählt haben und Tor 3 offen sehen mit dahinten eine Ziege. Du? Bitte markiere den Text.Nijdam 23:42, 25. Feb. 2009 (CET)

Ich versuche es mal mit einer Tabelle:

Formulierung Benutzer Nijdam	Formulierung Problemstellung	Formulierung Einfache Erklärung
über Kandidaten die Tor 1 gewählt haben		Wählt er am Anfang Tor 1,
und Tor 3 offen sehen		Denn der Moderator muss dann entweder Tor 3 oder Tor 2 öffnen,
mit dahinten eine Ziege.	Aus Punkt 4. und 5. geht hervor, daß sich hinter der geöffneten Türe eine Ziege befinden muß.

HTH -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 09:55, 26. Feb. 2009 (CET)

Nach langem Nachdenken muss ich Nijdam rechtgeben. Eine Erkärung muss die Bedingungen der Aufgabenstellung verwenden. Die einfache Erklärung verwendet nicht die Bedingung, dass der Moderator die Türen zufallsverteilt öffnet, sofern er kann. Wenn die Zufallsverteilung nicht berücksichtigt wird, entsteht ein anderes Ergebnis. Man muss auf jeden Fall beachten, dass es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt. Wenn der Moderator eine winzige Regeländerung vornimmt, die man von Außen kaum sieht, entsteht eine völlig andere Verteilung. Nehmen wir an, ich wähle Tor 1 und er öffnet immer die Tür mit der höchsten Nummer. Er öffnet zum Beispiel Tor 2. Das heißt dann: Ich weiß, dass er Tor 3 nicht öffnen konnte, also keine Wahl hatte. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 1 steht, ist dann Null. Ich kann also tatsächlich erst etwas zur Wahrscheinlichkeit sagen, wenn ich die bedingten Wahrscheinlichkeiten berücksichtige. Es reicht nicht aus, nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Autos zur Begründung heranuziehen, man bebötigt auch die anderen Bedingungen der Aufgabenstellung. Nijdam hat recht. Man kann nicht voraussetzen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 1/3 bleibt, ohne die weiteren Bedingungen zu beachten. Da schon eine so winzige Änderung der Aufgabe zu so starken Änderungen im Ergebnis führt, ist es nicht offensichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit in den weiteren Stufen bei 1/3 bleibt. --Hutschi 14:09, 19. Apr. 2009 (CEST)

Ich weiß nicht mehr, zum wievielten Mal ich das jetzt schreibe: Es ist völlig unstreitig, daß andere Probleme andere Lösungen haben. Dieses hier in Rede stehende Problem ist mit viel Bedacht aus der ursprünglichen Leserbriefaufgabe so abgewandelt worden, daß sich eben aus der Tür, die der Moderator öffnet, nichts über die Position des Autos entnehmen läßt. Dazu muß ich zunächst einmal die Spielregeln berücksichtigen, die eben gerade nicht so sind, wie Du sie hier beispielhaft anführst. Die Tatsache, daß der Moderator die beiden nicht gewählten Tore gleichwahrscheinlich öffnet, wird also sehr wohl in der einfachen Erklärung verwendet, und zwar an ganz zentraler Stelle.
Auch bei den von Dir genannten, von den tatsächlich in Rede stehenden abweichenden Regeln ist es übrigens so, daß der Kandidat in einem Drittel der Fälle das Auto gewinnt, wenn er nicht wechselt, und in zwei Drittel der Fälle, wenn er wechselt. Es gibt aber eine Unzahl weiterer minimaler Modifikationen der Ausgangssituation, die zu völlig anderen Lösungen führen, selbst wenn der Moderator die nicht gewählten Tore gleichwahrscheinlich öffnet: Ersetzt man beispielsweise in der ursprünglichen Aufstellung nur ein einziges Auto durch eine weitere Ziege, hat der Kandidat ebenfalls keinerlei Chance, ein Auto zu gewinnen. Um derartige Problemstellungen geht es beim Ziegenproblem in der hier in Rede stehenden Form aber nicht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 09:01, 20. Apr. 2009 (CEST)

Vorschlag

Ich habe darüber nachgedacht wie man die einfache Erklärung anpassen kann damit sie richtig ist. Sie soll etwa wie folgendes lauten.

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Denn das Auto steht in 1/3 der Fälle hinter dem gewählten Tor. Auch wenn der Kandidat am Anfang Tor 1 wählt und sich entscheidet zu wechslen ist das richtig. Und es gilt auch noch für den Fall worin Tor 3 offen ist und eine Ziege aufweist. Denn wegen der Symmetrie im Problem, ist der Fall mit das Auto hinter Tor 2, nicht wirklich verschieden vom Fall mit das Auto hinter Tor 3. Und deshalb ist auch in 1/3 jeder dieser Fälle das Auto hinter Tor 1, und hat der Kandidat bei einem Wechsel eine Gewinnchance von 2/3.

Nijdam 00:06, 24. Feb. 2009 (CET)

Es ist Dir bis jetzt nicht gelungen, den von Dir behaupteten Fehler in der einfachen Erklärung in ihrer ursprünglichen Form darzustellen. Also laß sie bitte so, wie sie ist. Ganz unabhängig davon ist Deine vorgeschlagene Erklärung - zumindest mir - völlig unverständlich. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 14:45, 24. Feb. 2009 (CET)

Gemischte Strategien

Ich bin nicht ganz sicher, wie es sich bei "gemischten" Strategien verhält. (Man könnte auch würfeln.) Ist dann eine Strategie mit 2/3 wechseln und 1/3 bleiben gleichwertig zur Immer-Wechseln-Strategie? --Hutschi 08:40, 23. Feb. 2009 (CET)

Dann gewinnst Du in 2/3 der Fälle mit p=2/3 und in 1/3 der Fälle mit p=1/3. 2/3 * 2/3 + 1/3 * 1/3 = 5/9 ist 1/9 kleiner als 2/3. --AchimP 10:20, 23. Feb. 2009 (CET)

@Hutschi: Nein. So etwas wie Gemischte Strategie macht m.E. nur dann einen Sinn, wenn mind. 2 Personen gegeneinander spielen und eine Reine Strategie vom Gegner erraten und durchkreuzt werden könnte. (siehe etwa auch: Lösungskonzepte (Spieltheorie), Minimax-Algorithmus). Hier beim Ziegenproblem hat der Kandidat gar keinen Gegenspieler im Sinne der Spieltheorie. Die reine Strategie zu verlassen, bringt also einfach nur ein suboptimales Ergebnis. - Mischen/Würfeln ist hier also etwa so, wie wenn man mal mit dem Auto zum Briefkasten fährt und dann auch wieder mal zu Fuß geht: Das ist besser für die Umwelt, als wenn man immer mit dem Auto fährt, oder? Nur eben doch suboptimal... (Hoffe, ich hatte Deine Frage richtig verstanden.) Gruß -- Talaris 12:25, 23. Feb. 2009 (CET)

Ich denke, Du hast sie richtig verstanden. Trotzdem kann ich mindestens einen Fall nennen, bei dem eine gemischte Strategie in einem leicht abgewandelten Spiel 50% sichert, während eine reine Strategie zum Verlust führt: Der Teilnehmer kenne die Regeln nicht. Damit kann er nicht wissen, dass immer eine Tür geöffnet wird. In diesem Fall könnte der Moderator versuchen, ihn vom richtigen Punkt wegzulocken. Das ist insbesondere der Fall, wenn er nur Wechsel anbietet, wenn richtig geraten wurde. Nehmen wir an, dass es beide Spielarten gebe oder auch weitere, dass es also im Ermessen des Moderators liege ... Da dann beide Spiele gespielt werden könnten, sichert eine gemischte Strategie zumindest 50% Wahrscheinlichkeit. wenn man würfelt, ob man wechselt oder nicht. Unklar ist mir vor allem, ob es eine Strategie gibt, bei der man beim "normalen" Ziegenproblem ebenfalls auf 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit kommt. Aber das hat AchimP beantwortet.--Hutschi 14:00, 23. Feb. 2009 (CET) --Hutschi 14:00, 23. Feb. 2009 (CET)

Aktuelle Ergänzungen - zwei weitere Erklärungen

Der Artikel hat in den vergangenen Tagen freundlicherweise zwei neue Abschnitte bekommen: [1], hauptsächlich durch Gerhardvalentin. Beide stellen die bekannte und natürlich stets gleiche Lösung jeweils noch einmal etwas anders dar. Ich finde die Erläuterungen durchaus interessant und eingängig, will aber folgende Punkte zur Diskussion stellen.

• Wieviele verschiedene Lösungswege wollen wir im Artikel darstellen?
• Die Lösungswege sollten sich klar unterscheiden und keine endlosen Wiederholungen darstellen. (Hier habe ich revertiert, weil ich nicht in jeder Begründung im Artikel die wiederholte Floskel „Gewinnchance 1/3“ lesen möchte)
• Der Abschnitt 2.2. Detaillierte Begründung sollte sprachlich überarbeitet und m.E. stark gestrafft werden. (Der einleitenden Satz „Das Problem ist zwar nicht einfach zu durchschauen, doch hilft das konsequente Verständnis der Spielregel“ ist zwar eine nette Stilblüte, aber komplett entbehrlich, usw.)

ACK -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:30, 26. Feb. 2009 (CET)

• Gibt es evtl. für die jeweiligen Lösungswege (z.B. die Wertetabelle) Quellen oder Literaturstellen oder sind die hier entstanden?

Die Wertetabelle hat Nijdam entwickelt. Auch für die anderen Lösungen sind in der Regel keine Quellen im Text angegeben. Die Gesamtzahl von zwei Einzelnachweisen halte ich für ein so umfassend diskutiertes Thema in einem exzellenten Artikel auch für etwas gering. Andererseits ist die Schöpfungshöhe bei den meisten Erklärungen nicht so überwältigend, daß sich da jemand mit Exklusivität schmücken könnte. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:30, 26. Feb. 2009 (CET)

Ich wünsche mir lediglich, dass die Lösungswege einfach und klar dargestellt sind, und verschiedene Zielgruppen unter den Lesern jeweils bei ihren unterschiedlichen Mathe-Kenntnissen etwas Geeignetes finden. Gruß -- Talaris 22:19, 25. Feb. 2009 (CET)

Ich fange jetzt auch an die detaillierte Begründung zu überprüfen. Ich starte mit dem zweiten Teil: Begründung über Wahrscheinlichkeiten. Als erste nehme ich dieser Satz: In 1/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 1. (1) In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, in einem weiteren Sechstel Tor 3. (4). Das stimmt nicht, denn in 1/2 der Gesamtzahl der Fälle öffnet der Moderator Tor 2. Nijdam 00:31, 26. Feb. 2009 (CET)

Da steht: „In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle …“ (Fettung von mir) Das ist korrekt. Das sind zwar nicht sämtliche Fälle, in denen Tor 2 geöffnet wird − das behauptet der Satz aber auch nicht. Er sagt vielmehr aus, daß in 1/6 der Fälle sich der Wagen hinter dem zunächst gewählten Tor befindet und dann Tor 2 geöffnet wird (analog für Tor 3). Bist Du wirklich sicher, daß Du für die Überprüfung der sprachlichen Korrektheit eines deutschen Textes die geeignete Person bist? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:20, 26. Feb. 2009 (CET)

Hör mal Ottenbruch, lasse solche Bemerkungen hinterwege. Ich stelle doch auch nicht im Frage ob du die geeignete Person bist dich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu beschäftgen, oder? Du versuchst immer Falsches zu rechtfertigen. Warum eigentlich? Was steht oben: also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, und das stimmt nicht. Ich, und hoffentlich du auch, weiss was gemeint ist, aber es steht da nicht.Nijdam 11:29, 26. Feb. 2009 (CET)

Es stimmt tatsächlich nicht. Der Moderator kann, wenn der Teilnehmer Tor 1 wählt und das Auto dahinter steht, ein beliebiges Tor von 2 oder 3 öffnen, also immer Tor 2 oder immer Tor 3 oder eine andere beliebige andere Verteilung. Festgelegt ist er nur, wenn der Teilnehmer das Tor 1 wählt und das Auto nicht dahinter steht. Das ist ganz wesentlich. Nur die Summe der Fälle ist 1/3. Sie kann sich willkürlich nach Wahl des Moderators zusammensetzen. Eine Möglichkeit ist, dass der Moderator es zufällig wählt mit Gleichverteilung. PS: Wenn das anders wäre, wäre die "einfache Erklärung" sehr problematisch. 1/6 + 1/6 ist lediglich eine Möglichkeit, aber kein Muss. x+(1/3-x)=1/3

1/6 ist eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung. Hinreichend und notwendig ist, dass die Summe 1/3 beträgt. --Hutschi 11:41, 26. Feb. 2009 (CET)

Das ist eine andere Sache. Der Satz: also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, stimmt deshalb nicht weil der Moderator Tor 2 in 1/2 der Gesamtzahl der Fälle öffnet. Gemeint ist: also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, steht das Auto hinter Tor 1 und wird vom Moderator Tor 2 geöffnet. Nijdam 12:07, 26. Feb. 2009 (CET)

Das von Dir zitierte ist kein Satz, sondern nur ein Teil eines Satzes. Dieser lautet vollständig: „In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, in einem weiteren Sechstel Tor 3.“ Die „Hälfte dieser Fälle“ sind „1/6 der Gesamtzahl“, und in diesen Fällen „wird vom Moderator Tor 2 geöffnet“. Der Satz ist also nicht falsch. Man könnte ihn vielleicht durch ein „unter anderem“ o.ä. anreichern, aber falsch ist er nicht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:37, 26. Feb. 2009 (CET)

Ich bin gespannt welche "Gesamtzahl der Fälle" du denn meinst. Nijdam

Wie meinen? Über den Begriff „Gesamtzahl der Fälle“ hat doch bis jetzt nie eine Unklarheit bestanden. Oder vestehst Du nicht, was mit „dieser Fälle“ gemeint ist? Das bezieht sich auf den vorhergehenden Satz: „In 1/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 1.“ Und die Hälfte von einem Drittel ist ein Sechstel. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:30, 26. Feb. 2009 (CET)

Die Gesamtzahl der Fälle ist:

Auto = 1 offen = 2
Auto = 1 offen = 3
Auto = 2 offen = 3
Auto = 2 offen = 3  
Auto = 3 offen = 2 
Auto = 3 offen = 2 

In 1/3 ist das Auto hinter Tor 1, und in die Hälfte davon ist Tor 2 Offen. Aber in 1/2 ist Tor 2 offen und nicht in 1/6. Nijdam 22:54, 26. Feb. 2009 (CET)

Bitte lies noch einmal, was ich über die Bedeutung der Worte „dieser Fälle“ im Deutschen geschrieben habe. Ich bestreite nicht, daß insgesamt in der Hälfte der Fälle Tor zwei geöffnet ist. Aber auch in diesem Sechstel der Fälle ist Tor 2 geöffnet. Es handelt sich um eine sogenannte Untermenge. Falsch wäre der Satz dann, wenn in diesem Sechstel der Fälle Tor 2 nicht geöffnet würde. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:35, 27. Feb. 2009 (CET)

Ich weiss genau wie es ist. Richtig ist der Satz dann, wenn sie lautet: also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, ist nicht nur das Auto hinter Tor 1, aber wird vom Moderator auch noch Tor 2 geöffnet. Da könnte man ihm nicht missverstehen. Denn das ist in Worten, was in einer Formel P(A=1 und Offen=2) = 1/6 wäre. Nijdam 09:29, 27. Feb. 2009 (CET)

„Ich weiss genau wie es ist.“ Diese Überzeugung merkt man Dir häufiger an. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 18:41, 27. Feb. 2009 (CET)

Was hältst du von dieser Behauptung: Wenn ich Berlin besuche, mache ich in der Hälfte der Fälle einen Botsfahrt auf der Spree und schaue mir das Brandenburger Tor an. In der andere Hälfte mache ich eine Stadtbummel. In der Hälfte dieser letztere Fälle, also in einem Viertel der Fälle dass ich in Berlin bin, schaue ich mir das Brandenburger Tor an. Könnte doch leicht missverstanden werden. Nijdam 00:19, 2. Mär. 2009 (CET)

Ich habe keine Lust mehr auf diese Art von „Diskussion“, bei der Du jedesmal, wenn Du gegen ein Argument nichts vorzubringen hast, eine lustige Geschichte erfindest, die mit der Sache nichts zu tun hat. Es geht hier nicht um Stadtbummel in Berlin, sondern um die "Begründung über Wahrscheinlichkeiten" der Lösung des Ziegenproblems. Für diese Albereien kannst Du Dir jemanden anderen suchen. Und lies bitte endlich die Einleitung dieser Diskussionsseite! -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:28, 2. Mär. 2009 (CET)

---

Der nachfolgende Beitrag bezieht sich auf den obigen Beitrag von Hutschi 11:41, 26. Feb. 2009 (CET) - Leider wurden die Einrückungen nicht beachtet. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 18:41, 27. Feb. 2009 (CET)

Dieser Einwand ist tatsächlich berechtigt, aber ein völlig anderer als der von Nijdam vorgetragene, daß die Hälfte von einem Drittel kein Sechstel sei. Theoretisch könnte der Moderator tatsächlich bsplsw. jedesmal, wenn das Auto hinter Tor eins steht, Tor 2 öffnen, wobei dann jedesmal, wenn Tor 3 geöffnet wird, Wechseln gewinnt, aber nur in der Hälfte der Fälle, wenn Tor 2 geöffnet wird. Insgesamt wären das aber immer noch zwei Drittel aller Fälle, weswegen die einfache Erklärung korrekt bleibt. (Natürlich deshalb, weil der Kandidat durch Wechseln sowieso nicht gewinnen kann, wenn das Auto hinter dem Tor steht, daß er ursprünglich gewählt hat.) -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 12:15, 26. Feb. 2009 (CET)

Es ist mir bewusst, dass es ein anderer Einwand ist. Er führt allerdings dazu, dass man gar nicht mehr sagen kann, wie oft der Moderator welche Tür öffnet. Er kann tatsächlich in 50% aller Fälle Tor 2 öffnen (die Differenz ergibt sich aus seiner Wahlmöglichkeit - die dann aber bei den anderen Toren nicht mehr gegeben ist.) Dann bleiben für die anderen Fälle weniger Prozente. Aber es ist gar nicht relevant, wie oft der Moderator welches Tor öffnet. Das hat keinen Einfluss auf das Endergebnis und man braucht es auch nicht zu wissen. Relevant ist, ob Wechseln gewinnt. Und das ist bei 2/3 der Fälle der Fall. --Hutschi 12:54, 26. Feb. 2009 (CET)

Eben, und deswegen finde ich alles herumhacken auf den Sonderfällen, in denen Wechseln sowieso nicht zum gewinn führen kann, kontraproduktiv. Es läßt sich leicht zeigen, daß die positiven Ergebnisse dem hier mehrfach geschilderten Automatismus folgen. Ansonsten gilt p(~A)= 1-p(A). Und gut ist ... -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:20, 26. Feb. 2009 (CET)

Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil! In der Problemstellung heißt es:„Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines zufällig aus und öffnet es.“ Das „zufällig“ hatte ich bisher übersehen. Also stimmt die Halbierung. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:37, 26. Feb. 2009 (CET)

Wie bereits angedeutet, ist das keine wirkliche Einschränkung und in diesem Falle ist auch die Verteilung egal. Aber wenn wir gleichverteilten Zufall annehmen, dann entsteht 1/6 für jedes der beiden Tore. Die Zufalls-Regel hat Sinn, weil sie vermeidet, dass der Moderator Informationen an Folgespieler übertragen kann. --Hutschi 16:04, 26. Feb. 2009 (CET)

Hör mal, Nijdam, Du machst derartige Bemerkungen in einer Tour, seit dem Du hier aufgetaucht bist: „besser studiere mal Wahrscheinlichkeitsrechnung“, „Entweder du kennst dich aus in Wahrscheinlichkeitsrechnung, und verstehst dann jedenfalls das von mir genannte Unterschied, oder du lasst die Finger davon.“ „Ich weiss nicht wie viel du von Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehst,…“ Also halt besser den Ball flach! Im Übrigen versuche ich nicht, „immer Falsches zu rechtfertigen.“ Ich versuche nur, Deinem mangelnden Verständnis (wohl auch der deutschen Sprache) auf die Sprünge zu helfen. Der inkriminierte Erklärungsansatz versucht, durch Addition von einem Drittel hier, einem Sechstel da, einem weiteren Sechstel dort usw. die Gesamtzahl der Fälle zu erschließen und so dann den Anteil der positiven an den ionsgesamt möglichen Ausgängen zu ermitteln. Dabei muß er zu Formulierungen wie „Die Hälfte dieses Drittels“ o.ä. greifen. Daß er dabei die Möglichkeiten bei gewähltem Autotor als gleichwahrscheinlich ansieht ist allerdings tatsächlich eine Ungenauigkeit, aber nicht die von Dir kritisierte. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 12:37, 26. Feb. 2009 (CET)

Verbesserung der Begründung über Wertetabelle

Ich habe folgende Verbesserung im Artikel angebracht. Das wurde aber sofort von Ottenbruch entfernt. Vielleicht schauen die Anderen mal danach.

Nach Schritt zwei der Problemstellung ergeben sich neun mögliche Kombinationen aus der ersten Wahl des Kandidaten und der Position des Autos:

Wahl=1 und Auto=1 
Wahl=1 und Auto=2 
Wahl=1 und Auto=3 
Wahl=2 und Auto=1 
Wahl=2 und Auto=2
Wahl=2 und Auto=3 
Wahl=3 und Auto=1 
Wahl=3 und Auto=2 
Wahl=3 und Auto=3

Nach Schritt drei der Problemstellung ergeben sich aus diesen neun möglichen Kombinationen nach der ersten Wahl des Kandidaten drei mögliche Situationen mit je drei möglichen Positionen des Autos:

Kandidat: Wahl=1      Kandidat: Wahl=2      Kandidat: Wahl=3
Wahl=1 und Auto=1     Wahl=2 und Auto=1     Wahl=3 und Auto=1 
Wahl=1 und Auto=2     Wahl=2 und Auto=2     Wahl=3 und Auto=2 
Wahl=1 und Auto=3     Wahl=2 und Auto=3     Wahl=3 und Auto=3 

Nach Schritt fünf der Problemstellung ergeben sich in jeder dieser drei Situationen nach dem Öffnen eines Tores sechs neue Situationen mit je zwei möglichen Kombinationen, die jedoch nicht gleich wahrscheinlich sind:

Kandidat: Wahl=1      Kandidat: Wahl=2      Kandidat: Wahl=3
Auto=1 und offen=3    Auto=1 und offen=3    Auto=1 und offen=2
Auto=2 und offen=3    Auto=2 und offen=3    Auto=3 und offen=2 

Kandidat: Wahl=1      Kandidat: Wahl=2      Kandidat: Wahl=3 
Auto=1 und offen=2    Auto=2 und offen=1    Auto=2 und offen=1 
Auto=3 und offen=2    Auto=3 und offen=1    Auto=3 und offen=1  

Wegen der Symmetrie der Tore und Kombinationen sind alle sechs Situationen äquivalent zur ersten. Deshalb genügt es, die erste Situation näher zu analysieren:

Kandidat: Wahl=1    bei dieser Wahl:    
Auto=1 und offen=3  Wahrscheinlichkeit = 1/6
Auto=2 und offen=3  Wahrscheinlichkeit = 1/3  *

Mit dem Stern ist die Kombination markiert, bei der Wechseln zum Gewinn des Autos führt. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln ist also (1/3)/(1/6+1/3)= 2/3.

Nijdam 15:40, 26. Feb. 2009 (CET)

Mir erscheint es korrekt zu sein. (Ich sehe keinen mathematischen Fehler) Darf ich Tippfehler entfernen? --Hutschi 16:06, 26. Feb. 2009 (CET)

Gerne, und wenn du mein deutsch verbessern kannst, bitte. Nijdam 17:07, 26. Feb. 2009 (CET)

Welche Mathematik? Wie soll man - wenn man die Lösung nicht schon kennt - aus diesem Konvolut ersehen, daß die Wahrscheinlichkeit für den einen Fall 1/6 und für den anderen 1/3 ist? Das wird nur behauptet, ergibt sich aber nicht. Ursprünglich wurden bei diesem Erklärungsweg neun offensichtlich gleichwahrscheinliche Möglichkeiten aufgezeigt, von denen sechs zum Gewinn des Autos führten. DAS kann jeder nachvollziehen. Die Verschlimmbesserung jedoch nicht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:16, 26. Feb. 2009 (CET)

Es ist schwierig, etwas verständlich darzustellen. Ich bin nicht sicher, ob es in den Artikel gehört. Für mich war es nicht schwierig, Nijdam hier zu folgen. Man sieht aus der Symmetrie, dass die Wahrscheinlichkeit 1/6 beträgt, man kann das auch leicht beweisen, wenn man beachtet, dass die Regel vorschreibt, dass der Moderator die Tür zufallsverteilt mit Gleichverteilung wählt, wenn er eine Wahl hat. --Hutschi 17:29, 26. Feb. 2009 (CET)

Natürlich. Wenn man es sowieso schon weiß, ist es einfach. Der Gedankengang ist derjenige der Erklärung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes wo man sehr schön die Drittel und Sechstel sehen kann. Er hat nur nichts mit dem Ansatz über die Wertetabelle zu tun. Diesen würde ich lassen wie er ist, da er sehr schnell und einleuchtend über das Wesentliche informiert. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:41, 26. Feb. 2009 (CET)

Kleines Spielchen

Spiele doch bitte mal dieses Spielchen.

Dir werden wieder 3 Tore gezeigt, mit hinter eins der Tore 1000 Euro und hinter den andern nichts. Du wählst Tor 1, und der Moderator öffnet eins der Andere und bietet dir an zu wechslen.

Geld = 1 Offen = 2 Wahscheinlichkeit = 1/3
Geld = 2 Offen = 3 Wahscheinlichkeit = 1/3
Geld = 3 Offen = 2 Wahscheinlichkeit = 1/3

Zuhause darft du entscheiden wie viel du zahlen willst um das Spiel zu spielen. Stecke den Betrag in ein Briefumschlag und nimm es mit. Wie viel, bitte? Nijdam 22:23, 26. Feb. 2009 (CET)

In diesem Fall hängt es davon ab, welches Risiko ich eingehen kann. Das Risiko besteht darin, alles zu verlieren. Im Durchschnitt gewinne ich 2/3 bei mehrmaligem Spiel, wenn es dem Ziegenproblem in der jetzigen Fassung entspricht. Die Standardabweichung bei einmaligem Spiel ist aber dabei sehr groß. Wenn ich genügend Geld habe, ist jeder Einsatz unterhalb von 666 Euro gewinnversprechend. Da aber ein Risiko besteht, alles zu verlieren, würde ich mindestens einen Gewinn von etwa 100% haben wollen, also 333 Euro setzen.

Wenn mir das Risiko egal ist, sind aber auch zum Beispiel Einsätze von 660 Euro gerechtfertigt. Als Zocker kann ich auch mehr einsetzen. Ich muss aber bei einem Einsatz von mehr als 666 Euro eher erwarten, zu verlieren.

Übrigens ist das fast die Spielart von "Geh aufs Ganze". Du bekommst zum Beispiel 300 Euro angeboten und darfst Dich entscheiden, ob du sie mitnehmen oder weiterspielen möchtest. Ich nehme an, aus gefühlten Symmetriegründen würde ein Vorzugswert bei 500 Euro liegen. Ein anderer (bei Risiko-Aversion) bei etwa 100 Euro. Wenn keine Regeln angegeben werden, liegt allerdings das Gleichgewicht nicht bei 2/3 sondern wahrscheinlich bei 1/2 und würfeln.

Mein Einsatz läge bei maximal 100 Euro oder bei "nicht mitspielen". --Hutschi 11:59, 27. Feb. 2009 (CET)

Mein Tipp: Als nächstes sagt Dir Nijdam: "Nun bist Du im Spiel und siehst, dass Tor 2 geöffnet ist. Du darfst Deinen Einsatz ändern. Tust Du es? Warum? ... Folglich ist es nicht immer egal, welches von 2 Toren geöffnet wird. qed. Dass es beim Ziegenproblem doch egal ist, muss unbedingt noch in der einfachen Erklärung detailliert bewiesen werden." ;-) --AchimP 14:05, 27. Feb. 2009 (CET)

Du hast es verstanden Achim! Aber warum es dann bestritten?Nijdam 17:00, 28. Feb. 2009 (CET)

Es wird (von mir) nicht bestritten. Ich halte es nur nicht für dienlich, in der einfachen Erklärung darauf einzugehen. Hatte ich vorgestern weiter oben schon mal geschrieben, ist wahrscheinlich im Trubel untergegangen. Ich kopier's nochmal hier drunter. Des weiteren hatte ich Dir ja auch schon mal erklärt, dass nach meinem Dafürhalten die "Einfache Erklärung" eine "(Ver-)einfach(t)e Erklärung" ist, und kein "einfacher Beweis". Also nicht "einfach", nach dem Motto: "Warum so kompliziert? So kann man's auch beweisen", sondern "vereinfacht" zunächst als Widerlegung von "2 Türen zur Auswahl sind immer 50:50". Nachfolgend noch der Text von vorgestern. --AchimP 17:13, 28. Feb. 2009 (CET)

Ich finde es dienlich, dass es nicht dort erklärt wird, sondern erst weiter unten im Artikel, denn die "Einfache Erklärung" ist m. E. in erster Linie für Leser, die wenig von Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen, aber steif und fest behaupten: "[Nach dem Öffnen der Ziegentür sind] 2 Türen zur Auswahl? Das ist 50:50, was denn sonst?". Genau die Leute lesen und verstehen die Einfache Erklärung, so wie sie jetzt ist, aber diese Leute würde es nicht mehr verstehen, wenn Du denen schon dort mit Deinen weitergehenden Wahrscheinlichkeitsdetails kommst (von denen ich die in den letzte Tagen geschriebenen BTW alle für korrekt und zutreffend halte). Diese zum vollständigen Beweis nötigen Details findet der geneigte Leser weiter unten im durchaus größeren Teil des Lemmas. --AchimP 12:02, 26. Feb. 2009 (CET)

Entschuldige, hätte ich nicht bemerkt. Einerseits kann ich das verstehen, aber andererseits stelle ich immer wieder fest das auch Schullehrer und Schüler, die sich mit Wahscheinlichkeiten beschäftigen, die "Einfache Erklärung" als Beweis auffassen und sich damit begnügen. Deshalb möchte ich daß deutlich ist daß die "Einfache Erklärung" zwar zum verstehen beiträgt, aber als Beweis nicht ausreichend ist. Wie macht man das? Nijdam 17:28, 28. Feb. 2009 (CET)

Letzter Satz der "einfachen Erklärung": "Dies ist allerdings noch kein vollständiger Beweis für die Lösung des Ziegenproblems. Dazu muss noch näher auf bedingte Wahrscheinlichkeiten eingegangen werden, wie es in den folgenden Abschnitten geschieht." --AchimP 17:44, 28. Feb. 2009 (CET)

Alles klar, einverstanden. Das wird aber auch bedeuten, daß die weitere Erklärungen mit bedingter Wsh. rechnen, vielleicht ohne es jedesmal so zu nennen, und stattdessen z. B. von Chancen in veränderte Situatione zu sprechen. Nijdam 20:17, 28. Feb. 2009 (CET)

Ich war ja ursprünglich auch davon überzeugt, der Schlüssel zur Lösung läge ausschließlich in bedingten Wahrscheinlichkeiten, aber Nijdams Begründung über Wertetabelle − die mir um so besser gefällt, je länger ich mich damit beschäftige − scheint doch ganz ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten auszukommen, oder übersehe ich da etwas? Eine der Pointen des Ziegenproblems besteht ja darin, daß es keine „Leerlösung“ gibt: Entweder Wechseln oder Bleiben gewinnt auf jeden Fall. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 09:19, 2. Mär. 2009 (CET)

@Ottenbruch: Unglaublich, ich traue meine Augen nicht! Diese ganze Diskussion habe ich angefangen weil ich behaupte man kann das Problem nur erklären mit Hilfe von bedingter Wahrscheinlichkeiten (obwohl man das in anderer Bewortungen machen kann). Schön für dich dass dir die Tabelle gefällt, aber sie ist nicht von mir und die Erklärung stimmt nicht. Ich habe stattdessen eine Verbesserung Verbesserung vorgeschlagen, worin man genau sehen kann wie die Bedingugen entstehen. Du übersiehst nicht etwas, du übersiehst alles. Nijdam 19:17, 2. Mär. 2009 (CET)

Du brauchst bedingte Wahrscheinlichkeit wegen des Zeitpunktes von Punkt 6 der Aufgabenstellung. Der Kandidat wird nach dem Öffnen eines der Tore gefragt, ob er wechseln will - die Wertetabelle berechnet aber die Gewinnwahrscheinlichkeit vor dem Öffnen eines Tores.

Nun wissen alle, die die Lösung kennen, dass sich die Wechselgewinnwahrscheinlichkeit beim Öffnen eines der Tore nicht ändert, aber das ist ja nicht zwangsläufig der Fall. Unten hat Nijdam ein anderes Spiel konstruiert, bei dem zwar vor dem Öffnen eines der Tore die Wechselgewinnwahrscheinlichkeit 2/3 ist, nach dem Öffnen eines der Tore aber nicht mehr. Diese "2." Wechselsgewinnwahrscheinlichkeit ist es auch, die beim Ziegenproblem interessiert. Sie ist aber eine bedingte Wahrscheinlichkeit, oder besser: sie sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, nämlich (bei ursprünglicher Wahl Tor 1) einmal unter der Bedingung, dass Tor 2 geöffnet wird, und einmal unter der Bedingung, dass Tor 3 geöffnet wird.

Es mag ja vielleicht sogar offensichtlich sein, dass beim Ziegenproblem in beiden Fällen die Wechselgewinnwahrscheinlichkeit nach wie vor 2/3 ist. Es handelt sich dennoch nunmehr um bedingte Wahrscheinlichkeiten, und nur die sind letztendlich für den Kandidaten interessant, wenn er ein guter Mathematiker ist. ;-) --AchimP 12:11, 2. Mär. 2009 (CET)

Mit anderen Worten: Es ist eine Frage der Betrachtungsweise. Wenn man Symmetrie als Regelfall betrachtet, kommt man ohne bedingte Wahrscheinlichkeit aus, betrachtet man Symmetrie als Spezialfall, muß man die bedingte Wahrscheinlichkeit für den Regelfall der Asymmetrie berücksichtigen, nur im Spezialfall fällt er nicht ins Gewicht. Mit Nijdams Ansatz könnte man natürlich auch den Satz des Pythagoras für falsch erklären, weil er Teile des Cosinussatzes leichtfertig unterschlägt. :-) -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:52, 2. Mär. 2009 (CET)

Es ist tatsächlich, wie immer, eine Frage der Betrachtungsweise. Aber der richtige Betrachtungsweise! Und nie kommt man ohne bedingte Wahrscheinlichkeit aus. Das sollte inzwischen doch klar sein. Mit meinem Ansatz könnte ich natürlich keinen Satz für falsch erklären. Dazu sind es Sätze. Es könnte gelegentlich so sein dass ein Beweis falsch wäre. Aber das hat nichts mit meinem Ansatz zu tun. Falsch ist falsch. Und auch ein unvollständiges Beweis ist falsch, denn kein Beweis. Nijdam 22:58, 4. Mär. 2009 (CET)

Nijdam 22:58, 4. Mär. 2009 (CET)

Dein Trugschluß besteht in Deiner schon öfter vorgetragenen Überzeugung, Deine Betrachtungsweise und die richtige Betrachtungsweise müßten zwingend identisch sein. Hier zum Beispiel geht es erstens um Erklärungen einer Lösung, nicht zwingend um Beweise im strengen Sinne. Und zweitens befreit einen die Erkenntnis, daß der Gewinn unabhängig von der Frage ist, welches Tor geöffnet wurde, zwanglos von der Notwendigkeit, sich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu beschäftigen. Das ergibt sich unmittelbar aus der Definition von „Unabhängigen Ereignissen“. Dazu muß man allerdings die Aufgabenstellung sorgfältig lesen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:46, 5. Mär. 2009 (CET)

Ich kann nur sagen: “Schuster bleib bei Deinen Leisten” Nijdam 00:33, 7. Mär. 2009 (CET)

Es ist schön, daß Du einsiehst, daß Du dem inhaltlich nichts entgegenzusetzen hast. Eine andere Kinderstube hätte allerdings vielleicht auch zu einer anderen Art und Weise geführt, dies auszudrücken. Hilfsweise hätte es auch eine wenigstens ansatzweise Auseinandersetzung mit den Grundprinzipien der Wikipedia getan. Aber was nicht ist, kann ja noch werden. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 16:37, 8. Mär. 2009 (CET)

Ich weiß nicht so recht, was und warum ihr diskutiert, aber die Tabelle müsste lauten (wenn der Moderator im Fall Geld in Tor 1 beide Türen gleichwahrscheinlich aufmacht.)

Geld in 1, Offen ist 2: Wahrscheinlichkeit 1/6
Geld in 1, Offen ist 3: Wahrscheinlichkeit 1/6
Geld in 2, Offen ist 3: Wahrscheinlichkeit 1/3
Geld in 3, Offen ist 2: Wahrscheinlichkeit 1/3

--Erzbischof 12:46, 27. Feb. 2009 (CET)

Er macht sie hier aber offenbar nicht gleichwahrscheinlich auf. --AchimP 14:17, 27. Feb. 2009 (CET)

Ah, dann weiß ich jetzt, worauf es hinausläuft... ;-) --Erzbischof 14:22, 27. Feb. 2009 (CET)

Wenn ich Moderator beim Ziegenproblem wäre, würde ich wie folgt handeln: Wenn der Kandidat auf die richtige Tür deutet, würde ich eine der falschen öffnen und ihm das Wechseln nahelegen, und vorrechnen, das da seine Chancen höher sind. Wenn er auf eine falsche deutet, wäre von Wechseln nicht die Rede, und ich würde ihn seine aufmachen lassen. Mit mir als Moderator wäre Wechseln grundverkehrt. -- Martin Vogel 14:29, 27. Feb. 2009 (CET)

Damit würdest Du Dich aber einer Verletzung der in der Problemstellung genannten Regeln schuldig machen und würdest mit Ziegenhüten nicht unter 2 Jahren bestraft. ;-) --AchimP 14:46, 27. Feb. 2009 (CET)

Der Verletzung welcher Problemstellung? Der hier genannten oder der durch Kenntnis des Ziegenproblems suggerierten? Darf man mehr annehmen, als in der Aufgabenstellung steht? --Hutschi 17:30, 27. Feb. 2009 (CET)

Natürlich der unter dem Lemma "Ziegenproblem" genannten Problemstellung. Martin schrieb ja "Wenn ich Moderator beim Ziegenproblem wäre". Nijams Spielchen hier hat ja damit kaum etwas gemein. --AchimP 18:48, 27. Feb. 2009 (CET)

Jetzt sehe ich das. Du hast recht. In der Diskussion wurden zwei Probleme vermengt. Meine Antwort bezieht sich auf das "originale" Ziegenproblem bei Frau Savant, bei dem der Moderator Freiheiten hatte. --Hutschi 20:46, 27. Feb. 2009 (CET)

Bitte Spielregel beachten

Geld = 1 Gewählt = 1 Offen = 2 oder 3 (völlig, völlig, völlig belanglos mit welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung)
Geld = 1 Gewählt = 2 Offen = 3
Geld = 1 Gewählt = 3 Offen = 2

Obige Türnummern können (jeweils "im Kreis", egal in welche Richtung) auf jeweils die nächste Türnummer geändert werden:

Geld = 2 Gewählt = 2 Offen = 3 oder 1 (völlig, völlig, völlig belanglos mit welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung)
Geld = 2 Gewählt = 3 Offen = 1
Geld = 2 Gewählt = 1 Offen = 3

und schließlich:

Geld = 3 Gewählt = 3 Offen = 1 oder 2 (völlig, völlig, völlig belanglos mit welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung)
Geld = 3 Gewählt = 1 Offen = 2
Geld = 3 Gewählt = 2 Offen = 1

Wenn der Kandidat die Gewinn-Türe gewählt hat ist es völlig gleichgültig, welche der beiden "Ziegen-Türen" geöffnet wird: Es spielt absolut keine Rolle, also sinnfreie Diskussion. Okay?
Viel wichtiger, als um diese von vornherein klare Regel herumzudiskutieren ist, im Artikel klarzumachen: Worauf beruht die evidente hochgradige Verführung zur Fehleinschätzung der hier zwangsläufigen auftretenden Konstellation, die das "Dilemma" darstellt:
Eine Türe wurde vom Kandidaten gewählt, eine Nieten-Türe steht nun offen, eine andere geschlossene Türe wird als Alternative angeboten. Hinter einer der geschlossenen Türen verbirgt sich der Gewinn, hinter der zweiten geschlossenen Türe eine Niete. Zwei geschlossene Türen, das sieht so leicht nach 50:50 aus.
Schön ist die Hilfestellung (weiter unten) mit der "Million" Türen. Doch schon zu Beginn könnte als wertvolle Hilfe zum Verständnis beitragen, wenn gleich zu Anfang die Analogie zu lesen wäre: 100 Türen, eine wird gewählt, 98 Nieten werden geöffnet, die zweite noch geschlossene Türe wird als Alternative angeboten. Bitte in diese Richtung gehen. LG Gerhardvalentin 15:31, 27. Feb. 2009 (CET)

Bitte beachtet: Dieses Spielchen sagt nichts über einige der Grundregeln aus. Es entspricht der originalen Anfrage an Frau Savant und mit dem Zusatz des Geldes - also der Risiko-Aversion. Es steht weder da, dass der Moderator immer eine Tür öffnet,noch dass der Teilnehmer die Regeln kennst. Deshalb kann man eigentlich nicht mehr als 50% erzielen ... - Es ist ein anderes als das Ziegenproblem in der jetzigen Fassung. Wenn der Moderator nur die Tür öffnet, wenn du gewonnen hast, dann verlierst du mit Sicherheit. Es steht auch gar nicht da, was mit "Wahscheinlichkeit = 1/3" gemeint ist. Welche Wahrscheinlichkeit ist es?

Die Aufgabenstellung erlaubt hier auch:

Bitte Spielregel beachten

Geld = 1 Gewählt = 1 Offen = 2 oder 3 (völlig, völlig, völlig belanglos mit welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung)

Geld = 1 Gewählt = 2 Offen = keine (oder manchmal 3)

Geld = 1 Gewählt = 3 Offen = keine (oder manchmal 2)

Auch andere Konstellationen sind möglich. Ebendeshalb wurde im Wikipediaartikel die Aufgabenstellung so erweitert, dass die 2/3-Lösung entsteht.

--Hutschi 17:17, 27. Feb. 2009 (CET)

Lese oben was AchimP als Antwort schreibt, oder nenne mir einen Betrag. Nijdam 17:00, 28. Feb. 2009 (CET)

Ich würde vielleicht bis 10 Euro mitspielen oder gar nicht. Das liegt daran, dass ich grundsätzlich nicht um größere Beträge spiele. --Hutschi 17:29, 28. Feb. 2009 (CET)

Nehmen wir an, Du hättest Dich entschieden, für 10 Euro mitzuspielen. Nun bist Du im Spiel und der Moderator öffnet Tor 3. Er bietet Dir an, die 10 Euro wieder mitzunehmen und auszusteigen. Tust Du es? --AchimP 17:44, 28. Feb. 2009 (CET)

Da ich in diesem Fall schon dort bin, würde ich mitspielen. Unter den gegebenen Bedingungen würde ich würfeln, wenn ich die weiteren Spielbedingungen nicht kenne. --Hutschi 17:41, 1. Mär. 2009 (CET)

Wozu würfeln? Wechseln und Abkassieren. Mit Tor 3 offen ist das Auto doch zu 100% hinter Tor 2 und zu 0% hinter Deinem Tor 1. --AchimP 18:41, 1. Mär. 2009 (CET)

Ich verstehe dann die Darstellung nicht. Ich kann es ja nicht wissen, oder? Sind die Regeln, einschließlich der Tabelle, bekannt? Ich ging davon aus, dass sie das nicht sind. --Hutschi 20:19, 1. Mär. 2009 (CET)

Nijdam hat Dir doch die Regeln dargelegt incl. Tabelle und fragt Dich daraufhin, wieviel Du dann vor dem Spielstart einsetzt. Du kennst also Regeln und Tabelle, wie beim Ziegenproblem. Er will Dir zeigen, dass, obwohl - wie beim Ziegenproblem - bei noch geschlossenen Türen die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Wechsel bei 2/3 liegt, nach dem Öffnen der Tür durch den Moderator das nicht mehr der Fall ist, sondern dass die Gewinnwahrscheinlichkeit fürs Wechseln davon abhängt, welche Tür der Moderator öffnet. --AchimP 20:46, 1. Mär. 2009 (CET)

Das ist jetzt klar. Ich habe nur nicht gewusst, dass es um ein Spiel geht, bei dem mir die Tabelle vorher bekannt ist. --Hutschi 22:10, 1. Mär. 2009 (CET)

Genau wie beim Ziegenproblem, da ist sie Dir ja auch vorher bekannt.

Nijdams Punkt war aber, darzulegen, dass die "einfache Erklärung" im Ziegenproblem unvollständig ist, weil man es offenbar nicht einfach voraussetzen kann, dass es egal ist, welche von beiden Türen der Moderator tatsächlich öffnet.. --AchimP 22:35, 1. Mär. 2009 (CET)

Für das Ziegenproblem schon, aber zugegeben nicht bei jedem denkbaren Problem, in dem die Worte „Tor“ und „Kandidat“ vorkommen. In dem hierzu frisch erfundenen Problem kommt ja nicht einmal eine einzige Ziege vor. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:59, 2. Mär. 2009 (CET)

Ich schlage vor die nächste anschauliche Erklärung der Lösung als erstes nach die vereinfachte Erklärung aufzunehmen. @AchimP: Bitte verbessere die sprachliche Ungenauigkeiten.

Erklärung der Lösung

Als Ausgangslage wird angenommen der Kandidat wählt anfangs Tor 1 und der Moderator öffnet Tor 3. Andere Kombinatione lassen sich auf ähnlicher Weise analysieren, und führen zum gleichen Ergebnis. Nachdem der Kandidat Tor 1 gewählt hat, gibt es die nachfolgende Möglichkeiten.

Auto hinter Tor 1		Auto hinter Tor 2	Auto hinter Tor 3
Der Kandidat wählt Tor 1
Der Moderator öffnet eins der Tore mit einer Ziege		Der Moderator kann nur Tor 3 öffnen	Der Moderator kann nur Tor 2 öffnen
Wahrscheinlichkeit 1/6	Wahrscheinlichkeit 1/6	Wahrscheinlichkeit 1/3	Wahrscheinlichkeit 1/3
Dieser Fall ist nicht eingetreten	Dieser Fall wäre eine Möglichkeit	Dieser Fall wäre eine Möglichkeit	Dieser Fall ist nicht eingetreten
	Wechslen gewinnt eine Ziege	Wechslen gewinnt das Auto
	Wechslen gewinnt in 2 von 3 Fälle das Auto

Nijdam 21:07, 3. Mär. 2009 (CET)

Ich sehe keine Notwendigkeit für noch eine Erklärung, zumal mir diese hier für Nicht-Mathematiker an mehreren Punkten eher verwirrend als erhellend scheint. --AchimP 12:53, 4. Mär. 2009 (CET)

ACK! Zumal das im Großen und Ganzen die Idee der Erklärung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes mit dem Bildern aus dem Schema für die „Wechselstrategie“ ist. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:33, 4. Mär. 2009 (CET)

Es handelt sich nicht um noch eine Erklärung, sondern als Ersatz der jetztige falsche Erklärungen. Die detaillierte Begründung ist falsch, die Begründung über Wertetabelle, das Schema für die „Wechselstrategie“, die Erklärung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes ebenso. Nijdam 23:11, 4. Mär. 2009 (CET)

Du schriebst am 16. Feb.:"Ich habe jetzt auch die detaillierte Begründung studiert, die ist richtig!" --AchimP 00:16, 5. Mär. 2009 (CET)

Die detaillierte Begründung von damals ist nich dieselbe als heute. Was damals "detaillierte Begründung" hiess, heisst jetzt "Begründung über Wahrscheinlichkeiten". Und die ist richtig. Auch darin gibt es übrigens noch einige sprachliche Undeutlichkeiten, die leicht zu Missverständnis führen. Und es gibt viel Unnötiges darin.Nijdam 00:30, 7. Mär. 2009 (CET)

Wenn also die "Begründung über Wahrscheinlichkeiten" korrekt ist, dann handelt es sich demzufolge bei Deiner obigen Erklärung _doch_ um "noch" eine richtige Erklärung. Und ich sehe keine Notwendigkeit für noch eine Erklärung, zumal mir diese hier für Nicht-Mathematiker an mehreren Punkten eher verwirrend als erhellend scheint. Für weitere "vereinfachte" Erklärungen, wie sie in den letzten Wochen durch Gerhardvalentin und Wegner8 an der Diskussion hier vorbei in den Artikel einflossen, sah ich die Notwendigkeit natürlich genau so wenig. --AchimP 10:55, 8. Mär. 2009 (CET)

Ok, aber meine "Bildlösung" ist nichts mehr als eine Anschaulichte Vorstellung der Begründung über Wahrscheinlichkeiten. Könnte sie ersätzen, könnte sie illustrieren, könnte sie ergänzen, könnte auch weggelassen. Nijdam 18:20, 8. Mär. 2009 (CET)

"Bloedsinn"

Lieber Benutzer Nijdam, Du hast meine Ergänzung im Artikel gelöscht mit der Begründung "Bloedsinn". Aber nicht alles, was Du nicht verstehst, ist Blödsinn. Vielleicht verstehst Du die Originalfassung von Wilbert hierüber (am Ende des Abschnitts #Unklarheit_bei_mir) leichter als meine Kurzfassung. Dann sollten wir gemeinsam eine bessere Fassung erarbeiten. Schönen Tag, Wegner8 09:34, 7. Mär. 2009 (CET)

Du gehst wohl vorbei an der ganze Diskussion oben. Nicht alles was du meinst zu verstehen ist sinnvoll. Die sogenannte Erklärung von Wilbert, ist nichts anderes als eine Variante der vereinfachte Erklärung, und deshalb keine richtige Erklärung. Und die vereinfachte Erklärung reicht zum Verstehen fur Laien; da braucht man nicht noch tausend andere, die vom verstehen des wirklichen Problems eher ablenken. Nijdam 18:03, 7. Mär. 2009 (CET)

Nijdam, ist dir eigentlich noch nie der Gedanke gekommen, dass alles, was du hier verzapfst, Blödsinn ist? Die einfache Erklärung ist richtig, da kannst du noch so viele Kilobytes absondern. -- Martin Vogel 11:32, 8. Mär. 2009 (CET)

Sie ist unvollständig, wie Nijdam mit dem kleinen Spielchen dargelegt hat. --AchimP 11:47, 8. Mär. 2009 (CET)

Sie ist für die in Rede stehende Aufgabenstellung nicht unvollständig. Das „kleine Spielchen“ beweist lediglich, daß es asymmetrische Aufgabenstellungen geben kann, nicht daß im Ziegenproblem eine vorläge. Man könnte sicher auch eine Aufgabenstellung mit Abseitsregel erdenken - trotzdem wird die einfache Erklärung nicht dadurch unvollständig, daß sie keine Abseitsregel berücksichtigt. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 16:02, 8. Mär. 2009 (CET)

Bei Wahl von Tor 1 beschreibt die vereinfachte Erklärung drei Fälle: Auto hinter Tor 1, hinter Tor 2, hinter Tor 3. In zwei von drei Fällen gewinnt der Kandidat beim Wechsel. p=2/3. Fertig. Das ist unvollständig.

Laut Aufgabenstellung ist nämlich ein Tor geöffnet, wenn der Kandidat sich entscheiden muss. Das sind bei Ausgangswahl von Tor 1 vier mögliche Fälle: Auto hinter Tor 1 und Tor 2 geöffnet, Auto hinter Tor 1 und Tor 3 geöffnet, Auto hinter Tor 2 und Tor 3 geöffnet, Auto hinter Tor 3 und Tor 2 geöffnet. Diesen Fällen sind die Wahrscheinlichkeiten 1/6, 1/6, 1/3 und 1/3 zugeordnet. Jetzt wird ein und nur ein Tor geöffnet. Es kann Tor 2 oder Tor 3 sein. Nehmen wir an, es sei Tor 2. Jetzt und erst jetzt muss der Kandidat sich entscheiden. Berechne dazu die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel: p = (1/3) / (1/6 + 1/3). Nun das ganze noch bei geöffnetem Tor 3: ergibt aus Symetriegründen das gleiche wie bei geöffnetem Tor 2. Das ist vollständig. --AchimP 17:19, 8. Mär. 2009 (CET)

Ich bestreite doch gar nicht, daß das ein Weg ist, das Problem zu lösen. Die einfache Lösung ist aber nicht schon deshalb unvollständig, weil sie nicht diesen Weg geht. Der Knackpunkt ist jedoch: Was darf ich aus der Aufgabenstellung für die Lösung trivialerweise voraussetzen, was muß ich „beweisen“? Wo bsplsw. ist der Beweis, daß das Auto hinter jeder der drei Türen mit gleicher Wahrscheinlichkeit steht? Natürlich ergibt sich das bei kurzem Nachdenken aus der Aufgabenstellung. Genau so ergibt sich aber bei kurzen Nachdenken, daß der Kandidat beim Wechseln den Wagen bekommt, wenn er ursprünglich hinter Tor 2 oder Tor 3 stand, beim Behalten nur, wenn er hinter Tor 1 stand. Dann ergibt sich die Lösung aus dem Vergleich dieser Wahrscheinlichkeiten, und das sind 2/3 zu 1/3. Die Symmetrie des einzigen Falles, in dem sich aus dem Ablauf kein Automatismus ergibt (d.h. das Auto befindet sich hinter vom Kandidaten gewählten Tür), ist ja bereits in der Aufgabenstellung deutlich ausgedrückt. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 20:07, 8. Mär. 2009 (CET)

Sie ist deshalb unvollständig, weil sie, angewendet auf eine andere Problemstellung, die falsche Antwort liefert. Nijdam 08:52, 9. Mär. 2009 (CET)

Sie soll ja auch gar keine andere Problemstellung lösen, sondern die Lösung des Ziegenproblemes anschaulich machen. Sie ist ja auch nicht deshalb falsch, weil man damit keine Bierflaschen öffnen kann - sicherlich eine andere, aber nichtsdestoweniger lösenswerte Problemstellung. So what? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 09:08, 9. Mär. 2009 (CET)

Auch zuvor hast du immer wieder gezeigt wenig von Logik zu verstehen.Nijdam 18:13, 9. Mär. 2009 (CET)

Mein Bedauern über Deine Angewohnheit, das Eingeständnis Deines argumentativen Bankrotts mit Verbalinjurien zu würzen, hatte ich bereits anderswo zum Ausdruck gebracht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 22:23, 9. Mär. 2009 (CET)

Ich glaube der grösste Blödsinn ist dass hier sogenannt diskutiert wird mit eigensinnige Laien die meinen sie haben ein Recht hier zu bestimmen. Es reicht mir almählich. Ich habe auf viele Weisen versucht zu erklären was falsch ist, aber nicht jeder ist im Stande das zu verstehen. Verstände er jedenfalls das. Es wird Zeit Sachkundigen nehmen die Sache in der Hand.Nijdam 18:15, 8. Mär. 2009 (CET)

Ob Du Mathematiker bist oder nicht, ob Du Lehrerfahrung hast oder nicht - das alles macht Dich nicht zu einem bevorzugten Autor in der Wikipedia. Du bist hier Einer unter Vielen, und Deine Edits werden genauso beobachtet, kommentiert, weiterbearbeitet oder gelöscht wie die jeden anderen Mitarbeiters an der WP. Die WP ist schon sehr lange ohne diese Art von „Sachkundigen“ ausgekommen, und das wird sie auch weiterhin. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 20:07, 8. Mär. 2009 (CET)

Da bin ich wieder. Ich moechte doch speziell Ottenbruch auffordern die naechste Frage zu beantworten. Wie gross sind die Wahrscheinlichkeiten p1, p2 and p3 dass das Auto hinter bzw. Tor 1, 2 und 3 steht?

p1 =

p2 =

p3 =

Bitte, mal zu.Nijdam 12:01, 21. Mär. 2009 (CET)

Mein Benutzername ist M.ottenbruch, dies ist keine Seite für private Spielchen, und ich möchte Dich ein weiteres Mal auffordern, endlich die Einleitung zu dieser Seite zu beachten. Dort heißt es: „Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel Ziegenproblem zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Artikelthema gehören nicht hierher.“ -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:06, 21. Mär. 2009 (CET)

@M.ottenbruch: Der Artikel braucht dringend Verbesserung. Darum geht's mir. Weisst du die gefragte Antworte? Trage sie mal ein.Nijdam 15:15, 21. Mär. 2009 (CET)

Das ist genau der Knackpunkt, wenn man von gleichverteilt ausgeht (wie man es allgemein tut) dann immer ein Drittel. Das ist aber eine Annahme, und auf der beruht die Lösung des Ziegenproblems. Daraus läßt sich aber keine allgemeingültige Spielstrategie ableiten. Es Könnte ja sein, dass 9live daraus ein Spiel macht, bei dem das Auto immer bei Tor 1 mit einer W'keit von 1 wäre - dann wäre Wechseln der Tore eine dooofe Strategie. Worauf willst du hinaus? --χario 12:28, 21. Mär. 2009 (CET)

Das wirst Du wohl nicht herausfinden. Vermuten kann man wohl, daß Nijdam als vereinfachte Erklärung einen mathematisch exakten Beweis sehen möchte. Genau ausführen kann er das jedoch nicht. Wenn er mit den Argumenten am Ende ist, fängt er an zu pöbeln und erfindet ein neues „Spiel“. Sehr ermüdend, das! -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:06, 21. Mär. 2009 (CET)

Formulierung der Aufgabenstellung und Hinweis auf konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung

Vorschlag für die Problemstellungs-Formulierung des Artikels:
Einem Kandidaten wird bei einer Spielshow angeboten, eine von drei Türen auszuwählen, und er wird vom Moderator informiert: Hinter einer der Türen befindet ein Auto, hinter den beiden anderen Türen nur Ziegen. Nachdem der Kandidat die von ihm gewählte Türe bezeichnet hat, öffnet der Moderator eine der beiden anderen, vom Kandidaten nicht gewählten Türen, hinter der sich eine Ziege befindet. Daraufhin fragt der Moderator den Kandidaten: "Wollen Sie Ihre Wahl auf die andere noch verschlossene Türe wechseln?" - Ist es nun ein Vorteil für den Kandidaten, das Angebot zum Wechseln der Türe anzunehmen und seine Wahl wie angeboten zu ändern?

Es wird vorausgesetzt, dass der Kandidat lieber das Auto als die "Nieten" begehrt und der Moderator, der als einziger die tatsächliche Position der drei Objekte kennt, von den beiden anderen, vom Kandidaten nicht gewählten Türen stets eine Ziegen-Türe öffnen wird. Da der Kandidat nicht weiß, hinter welcher der beiden nun noch geschlossenen Türen sich der Gewinn befindet, wird landläufig angenommen, dass jede der beiden geschlossenen Türen die gleiche Chance biete und es daher keine Rolle spiele, ob dem Angebot zu wechseln gefolgt werde oder nicht (der berühmte fatale 50:50 -Trugschluss). Tatsächlich aber sollte der Kandidat das Tor wechseln, denn mit dem Wechseln der Türe verdoppelt er seine Gewinnchance von 1/3 auf 2/3.
Ende der Problemstellungs-Formulierung. Alles Weitere ergibt sich daraus. LG --Gerhardvalentin 17:24, 23. Mär. 2009 (CET)

Konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung zwischen gewählter Türe und der Restmenge der nicht gewählten Türen

Das "Ziegenproblem" beruht auf einer allzu menschlichen Schwäche, der Inkonsequenz. Die Wahrscheinlichkeiten sind für eine undifferenzierte Menge von Toren für jedes einzelne Tor zwar gleich. Und es steht fest, dass bei einem Gewinn die Anzahl der Nieten gleich Gesamtzahl der Tore minus 1 beträgt. Sobald jedoch ab einer Tor-Menge >2 (z.B. 3 Tore beim Ziegenproblem) eine klare und endgültige Differenzierung in der Form vorgenommen worden ist, dass ein Tor (egal welches) von der Restmenge der anderen Tore (Rm) endgültig abgetrennt (bezeichnet) worden ist , ändert sich die Situation schlagartig. Denn dann steht mit absoluter Sicherheit fest, dass in der Restmenge (Rm also größer 1) maximal ein Gewinn vorhanden sein kann, und dass somit die Mindest-Anzahl der in der Rm vorhandenen Nieten nun ebenso endgültig und mit absoluter Sicherheit feststeht (Mindestanzahl der in der Rm vorhandenen Nieten=Rm-1). Das gilt für das Ziegenproblem ebenso wie für Varianten mit tausend Toren. Die Mindest-Anzahl von Nieten in der Rm wird zu wenig konsequent fokussiert, sie beträgt bei einer Rm von 999 Toren also 998. Ob diese Mindestanzahl von 998 Nieten in der Rm offen gezeigt wird oder nicht, spielt für die Wahrscheinlichkeitsverteilung zwischen den beiden Mengen keinerlei Rolle, sie beträgt in jedem Fall 1:999.

Die absolute Sicherheit bezüglich der Mindest-Anzahl von Nieten in der Rm ändert die Gesamt-Wahrscheinlichkeitsverteilung in keiner Weise, und ein Offenlegen jener Mindest-Anzahl von Nieten zeigt doch nur, hinter welchen Toren der Rm der Gewinn nicht zu finden ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zwischen den beiden Mengen bleibt dadurch unverändert gleich. Das Offenlegen, das Vorzeigen der in der Rm zwangsläufig vorhandenen Mindest-Anzahl von Nieten (Rm minus 1) führt jedoch dazu, dass in der Rm nur noch ein Tor verschlossen bleibt. Der naheliegende "50:50 -Trugschluss" ist wie gesagt menschlich und fast zwangsläufig vorprogrammiert, denn es wird dabei allzu leicht ausser Acht gelassen, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeitsverteilung hinsichtlich der Rm absolut gleich geblieben ist, trotz Offenlegens der Mindest-Anzahl von Rm-1 Nieten. Die Mindestanzahl der in der Rm zwingend vorhandenen Nieten wird zu wenig konsequent im Blickfeld behalten. Ob es nun tausend oder zehn oder drei Tore sind: Die Mindest-Anzahl der in der jeweiligen Rm zwangsläufig vorhandenen Nieten beträgt konstant Rm-1. Bei einer Rm von 999 Toren überwiegt sicherlich die Hoffnung auf den Gewinn (Gewinnchance beläuft sich in diesem Fall auf 99.9 Prozent), doch die Rm von 999 Toren bedeutet auch, dass sich das einzige Auto hinter maximal irgendeinem dieser 999 Tore befinden kann, wohlgemerkt hinter maximal einem Tor, und damit auch hier sicher ist, dass sich darunter sogar zumindest abschreckende 998 Nieten befinden müssen! Gruß --Gerhardvalentin 15:44, 21. Mär. 2009 (CET)

Ich dachte, der Ansatz verlangt keine Betrachtung der absluten W'keiten, sondern die der Bedingten. Und die ändern sich sehr wohl!!! --χario 17:54, 21. Mär. 2009 (CET)

Noch mal deutlich: die W'keiten hängen vom Vorwissen des Betrachters ab. Bei n Toren (n>2), einem Auto und n-1 Nieten (gleichverteilt) wähle ich ein Tor (wieder gleichverteilt). Hinter den anderen n-1 Toren befinden sich mindestens n-2 Nieten. Das ist auch genau die Anzahl an Nieten, die aufgedeckt wird. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass hinter dem übriggebliebenen, nicht von mir gewählten Tor das Auto ist? Für den neu hinzugekommenen Betrachter: 1/2; für den Showmaster: 0 oder 1 (er weiß es ja); für mich: Nun, die W'keit für mein erstgewähltes Tor betrug und beträgt 1/n, und da alle anderen Zweige des Entscheidungsbaumes zusammengefallen sind durch das Öffnen von n-2 Nieten, bleibt für das übrig gebliebene Tor die W'keit von (n-1)/n. Und das ist schon für n=3 doppelt so groß wie die erste Wahl. --χario 18:20, 21. Mär. 2009 (CET)

Ja, genau. Das sogenannte Monty Hall problem / Ziegenproblem ist bekanntermaßen nur eine Frage der korrekten Betrachtung, der richtigen Herangehensweise (approach) und enthält nur absolute W'keiten, es bietet/enthält an sich keinerlei bedingte W'keiten. Diese kommen allerdings bei zusätzlichen Bedingungen, bei komplexeren Abwandlungen / Varianten der Aufgabenstellung vor. "Einfaches Ziegenproblem": Der Showmaster allein kennt die Position des Autos. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem übriggebliebenen, von dir nicht gewählten Tor befindet, und zwar für jeden Betrachter, der die aktuelle Position des Autos nicht kennt, wohl aber die Spielregel, also für dich ebenso wie einen später hinzukommenden aufmerksamen Betrachter dem die Spielregel bekannt ist, beträgt bei n=3 Toren ohne Wechsel 2/3, mit Wechsel 1/3. Bei n=1000 Toren ohne Wechsel 999/1000, mit Wechsel nur 1/1000, bzw. für das von dir gewählte Tor vice versa. Die Gesamt-Wahrscheinlichkeitsverteilung hinsichtlich der beiden voneinander endgültig separierten Teilmengen bleibt unverändert, gänzlich unabhängig davon, ob von der alternativ angebotenen Restmenge noch keine einzige, die Hälfte oder alle n-2 (Rm-1) Nieten (also die rechnerische Mindestzahl der darin zwangsläufig enthaltenen Nieten) "hergezeigt" worden sind. Das ist ja der Reiz des "einfachen" Ziegenproblems. Sonnenklare Sachlage bei nahezu unwiderstehlicher Verführung zum berühmten "50:50 -Fehlschluss". LG --Gerhardvalentin 19:32, 21. Mär. 2009 (CET)

So ganz sonnenklar ist die Sachlage offenbar ja nicht, denn im Gegensatz zu Deiner Aussage sind auch ohne zusätzliche Bedingungen und komplexere Abwandlungen / Varianten der im Artikel vermerkten Aufgabenstellung sehr wohl bedingte Wahrscheinlichkeiten im Spiel, da der Teilnehmer sich jeweils entscheiden muss, nachdem der Moderator eine Tür geöffnet hat. Gesucht ist also nicht die unbedingte Gewinn-Wahrscheinlichkeit 2 / 3 beim Wechsel bei geschlossenen Türen, sondern die unter der Bedingung jeweils einer geöffneten Tür.

Zum grundsätzlichen Unterschied zwischen bedingter und unbedingter Wahrscheinlichkeit siehe auch Nijdams "kleines Beispiel" (dort zur Verdeutlichung auch im Ergebnis). --AchimP 17:54, 23. Mär. 2009 (CET)

Danke für die Info, habe Nijdam um weitere Info gebeten. Zum Thema "bedingte W'keiten?": Deutlicher ist die Sachlage bei tausend Toren (siehe oben) und der konstant bleibenden Wahrscheinlichkeitsverteilung zwischen bezeichneter Menge (1) einerseits und Restmenge (999) andererseits: 1/1000 für das gewählte Tor, 999/1000 für die gesamte Restmenge der nicht gewählten Tore, also 1:999. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung würde erst durch das Vorzeigen des Gewinns innerhalb der Rm oder das Öffnen der durch ursprüngliche Wahl bezeichneten Tür geändert. Da dies nicht geschehen kann, bleibt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung solange konstant, solange gemäß Spielregel von Null bis nur maximal die Mindestanzahl der in der Restmenge zwingend vorhandenen Nieten offen gelegt wird. Auch das Öffnen von maximal 998 Nietentoren der Restmenge, hinter welchen sich kein Auto befindet, kann diese Wahrscheinlichkeitsverteilung 1:999 nicht ändern.

Wohl aber ändert sich die Wahrscheinlichkeiten innerhalb der Restmenge von ursprünglich 1/1000 pro Tor auf maximal 999/1000 für das letzte verschlossen bleibende Tor, wenn die von vornherein bekannte Mindest-Anzahl von 998 Nietentoren (die in der Rm ja gemäss Spielregel zwingend vorhanden sein müssen) geöffnet worden ist. LG --Gerhardvalentin 21:45, 23. Mär. 2009 (CET)

Die Pointe bei dieser Aufgabenstellung besteht darin, daß die bedingte Wahrscheinlichkeit nach dem Öffnen der Tür gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit ist, daß das Auto von vornherein hinter einer anderen als der gewählten Türe steht - auch wenn Nijdam das nicht einsieht. Von daher reicht es für diese Aufgabe, wenn man sich mit den unbedingten Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. Das berührt nicht die triviale Erkenntnis, daß andere Aufgaben andere Lösungen haben. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 09:40, 24. Mär. 2009 (CET)

Noch Mal

Bitte Schritt für Schritt. Warte bitte immer auf die nächste. Wie gross sind die Wahrscheinlichkeiten p1, p2 and p3 dass das Auto hinter bzw. Tor 1, 2 und 3 steht? Mit W'heiten sind hier die relative Häufigkeiten gemeinnt für Teilnehmer in der gleiche Lage als im Problem.

   p1 =
   p2 =
   p3 =

Bitte, nur diese Frage beantworten.Nijdam 19:09, 23. Mär. 2009 (CET)

<°)))o>< --Unikram 21:13, 23. Mär. 2009 (CET)

Soviel ich das Problem verstehe:

p1 = 1/3

p2 = 1/3

p3 = 1/3

Das gilt natürlich ganz zu Anfang.

--Hutschi 09:28, 24. Mär. 2009 (CET)

Und später?Nijdam 00:14, 28. Mär. 2009 (CET)

Gegen den landläufigen Trugschluss hilft keine Mathematik

Das wahre Dilemma dieser Diskussion: Die bestehende Spielregel wird konsequent missachtet. Hier geht es um das bekannte "Ziegendilemma-Spiel", und es gilt von Anfang an bis zum Schluss ausschließlich und in vollem Umfang die Spielregel. Nochmals: Von Anfang an und bis zum Schluss. Die grundsätzliche Problemstellung der Spielregel darf nicht außer Kraft gesetzt werden. Doch die Problemstellung der klaren Spielregel wird hier fortlaufend "nicht einmal ignoriert". Die Spielregel legt fest, dass es nur vor Spielbeginn die ursprüngliche Anzahl von Toren (z.B. "drei Tore") gibt. Nochmals: Nur vor Spielbeginn. Hat jedoch der Spieler vorab bereits eines der drei verschlossenen Tore gewählt, existieren diese undifferenzierten "drei Tore" nicht mehr. Damit gibt es die undifferenzierten drei Tore nicht mehr, wie hier oft behauptet, sondern es gibt ein durch die Wahl endgültig abgesondertes Tor und es gibt weiters die Restmenge der zwei nicht gewählten Tore. Nochmals: Der Spieler hat ein Tor durch seine Wahl von den beiden nicht gewählten Toren bereits abgesondert. Bitte das endlich bei allen Überlegungen berücksichtigen, sonst liegt der landläufige Trugschluss nahe. Gemäß Spielregel wird eben nicht "eines von drei Toren" geöffnet, auch nicht "eines von zwei Ziegen-Toren". Das wäre dann ein völlig anderes Spiel und nicht mehr das hier behandelte "Ziegenproblem".

Es wird nicht "ein Tor von drei Toren" geöffnet, auch nicht "eines der beiden nicht gewählten restlichen Tore", sondern es wird gemäß Spielregel eben ausdrücklich ein in der Restmenge zwangsläufig vorhandenes Nieten-Tor geöffnet! Damit ist die 1/3-Wahrscheinlichkeit des gewählten Tores eben in keiner Weise, also nicht betroffen, wie hier immer wieder durchklingt, und die Gesamt-Wahrscheinlichkeit der Restmenge (der beiden nicht gewählten Tore) ist damit klarerweise ebenso wenig betroffen. Es hat sich lediglich innerhalb der Restmenge der beiden nicht gewählten Tore durch das Öffnen des darin zwangsläufig vorhandenen Nieten-Tores etwas ganz wesentlich geändert. Bitte endlich die Spielregel lesen. Geändert hat sich nun die Wahrscheinlichkeit des Nieten-Tores, die anstelle ursprünglich 1/3 nun ganz explizit Null beträgt, und damit auch die Wahrscheinlichkeit des zweiten in der Restmenge vorhandenen Tores, dessen Wahrscheinlichkeit sich damit von 1/3 auf 2/3 geändert hat. Zum Mitschreiben: Gemäß Spielregel befindet sich in der Restmenge zumindest eine Niete, sobald der Kandidat seine Wahl getroffen hat. Diese Tatsache bleibt ab der Wahl bis zum Schluss bestehen. Ein Zurück auf "drei undifferenzierte Tore" widerspricht der Spielregel, an die sich auch in der Diskussion alle halten sollten. Alle Diskussionsbeiträge, die diesen Aspekt der Spielregel missachten sollten als "der Spielregel widersprechende Überlegungen" archiviert werden. Gruß --Gerhardvalentin 11:30, 24. Mär. 2009 (CET)

Durch das öffnen eins in der Restmenge zwangsläufig vorhandenes Nieten-Tors ändern sich grundsätzlich alle W'heiten. D.h. es gibt eine neue Bedingung. Und so wie die W'heit das Auto ist hinterm nicht geöffnete Tor, sich ändert, weil sie nun eine bedingte W'heit ist, so ist auch die W'heit des gewählten Tors nun eine bedingte W'heit, aber mit derselben Wert als die unbedingte. Nijdam 12:22, 25. Mär. 2009 (CET)

Nein, Nijdam, das ist nicht korrekt. Das Öffnen eines Ziegentores in der Restmenge der beiden nicht gewählten Tore ändert keinesfalls "grundsätzlich alle W'keiten". Das ist unrichtig. Es hat weder Einfluss auf die Gewinnchance des ursprünglich durch den Kandidaten gewählten Tores (diese bleibt wie von Anfang an 1/3 und ändert sich NICHT) noch auf die Gesamt-Wahrscheinlichkeit der Gruppe der beiden nicht gewählten Tore (diese bleibt wie von Anfang an 2/3 und ändert sich NICHT). Das Öffnen hat auch keinerlei Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb der Gruppe der beiden (2) nicht gewählten Tore, die ja von Anfang an 0/3 für ein dort zwingend vorhandenes Ziegentor und 2/3 für das andere der beiden nicht gewählten Tore betrug und weiterhin beträgt (siehe Spielregel), deren Positionen dem Kandidaten bislang allerdings unbekannt waren. Das Öffnen hat innerhalb der Gruppe der beiden (2) nicht gewählten Tore allerdings die Position eines dort garantierten Nieten-Tores geoffenbart, das von Anfang an ein Ziegen-Risiko von 1 besaß und nun weiterhin besitzt. Und damit ist also auch lediglich die Position des zweiten nicht gewählten Tores mit der von Anfang an gegebenen Gewinnchance von 2/3 gezeigt worden. Und das diese Gewinnchance auch weiterhin besitzt. Bitte nicht schwammig argumentieren, sondern präzise bleiben. LG -- Gerhardvalentin 16:10, 22. Apr. 2009 (CEST)

Verstehst du was bedingte W'keit bedeutet? Der Kandidat wählt Tor 1. Vor dem öffnen ist die W'keit aufs Auto:

fürs Tor 1----2-----3

1/3--1/3--1/3

Ist doch richtig oder? Dies sind die unbedingte W'keiten.

Nach dem öffnen ist die W'keit aufs Auto:

fürs Tor 1----2-----3

-?----?----0

Da hat sich etwas geändert. Einverstanden? Und auch die Zahl unter dem zweiten Fragezeichen wird sich als geändert erweisen. Sind dies noch immer die unbedingte W'keiten? Was meinst du? Und was wird unter den Fragezeichen stehen? Kann man nicht direkt sagen. Nur weiss man das sie zusammen 1 ergeben. Man braucht nur eine Zahl zu berechnen. Aber berechnen muss man sie! Nijdam 01:41, 23. Apr. 2009 (CEST)

Nein, absolut nicht einverstanden. Das einzige Zutreffende ist die Gewinnchance der drei Tore zu Beginn des Spieles, bevor der Kandidat seine Wahl trifft: 1/3 - 1/3 - 1/3. Sobald er jedoch ein Tor gewählt hat, stimmt das eben nicht mehr. Es hat sich dann etwas ganz dramatisch geändert. Denn in der Restmenge der beiden nicht gewählten Tore heißt es dann nicht mehr "1/3 - 1/3", sondern "0 - 2/3". Denn ein Tor der beiden nicht gewählten Tore muss eine Ziege sein. Bitte lesen: Muss! Denn es gibt laut Spielregel nur ein Auto. Eines der beiden Tore (welches ist vor dem Öffnen des "Ziegentores" noch unbekannt) enthält nun mit Sicherheit eine Ziege, das andere nicht, dessen Gewinnchance beträgt damit nun 2/3. Wie gesagt: Die Position des garantierten Nietentores und damit auch die Position des 2/3-Tores wird erst mit dem Öffnen des Ziegentores bekannt. LG -- Gerhardvalentin 02:03, 23. Apr. 2009 (CEST)

Von jeder zwei Tore muss eines eine Ziege sein! Leider wissen wir nicht welches. Deshalb reden wir von Wahrscheinlichkeiten. Dein Denkfehler liegt darin dass du einfach annimmst (ohne Argumente) dass deine Restmenge auch nach dem öffnen 2/3 chance hat aufs Auto. Das erfordert Beweis, denn die Strategie des Moderators spielt dabei eine wichtige Rolle. Nijdam 10:17, 23. Apr. 2009 (CEST)

Der Moderator hat genausowenig eine Strategie wie die Schwerkraft oder ein Würfel. Hat der Kandidat ursprünglich das Tor mit dem Auto gewählt, darf der Moderator eine Münze werfen, hat der Kandidat nicht, trifft er nicht einmal eine zufällige Entscheidung, sondern öffnet das einzige Tor, das er lt. Regeln überhaupt nur öffnen darf. Das erfordert keinen Beweis, sondern steht in der Aufgabenstellung. Und hätte er eine Strategie, würde der Kandidat — sofern der Moderator überhaupt eine Tür öffnen muß — immer noch in zwei Dritteln der Fälle durch Wechseln gewinnen, es sei denn, Du schaffst noch ander Regeln ab oder führst weitere ein. Denn lt. Aufgabenstellung (Regel 1) steht das Auto „zufällig“ hinter einem der drei Tore, weswegen die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat sofort das Tor mit dem Auto trifft, 1/3 ist, er also in einem Drittel der Fälle ohne Wechsel gewinnt. q.e.d. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 10:42, 23. Apr. 2009 (CEST)

@Nijdam:
Gratis-Support zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lieber Nijdam, es ist beeindruckend, mit welchem Engagement Du Dich dem Thema Ziegenproblem mit der Suche nach mathematischen Erklärungsversuchen widmest, und wir sind Dir dafür dankbar. Es fällt aber auf, dass Du repetitiv argumentierst, die Realität sei deshalb nicht existent, weil Deine formale Beschreibung der Realität widerspricht. Wo liegt hier das große Problem? Bitte versuche zu verstehen, dass die Mehrzahl der Diskussionsteilnehmer hier weiß, wie die Aufgabe von Wahrscheinlichkeitsrechnung üblicherweise zu definieren ist. W'rechnung kann Strukturen beschreiben und sogar Prognosen für die Zukunft liefern, toll. Aber sie stützt sich vor allem auf Sachverhalte, auf in Daten festgehaltene Werte der Realität, sie stützt sich auch auf zufällige Ereignisse, basiert also auf realen Fakten. Sie versucht, diese Daten zu untersuchen und zu beschreiben. Dazu ist es unabdingbar, jene zu beschreibenden Daten zu kennen und geeignete Methoden anzuwenden. Sobald Deine Ergebnisse von der Realität abweichen ist nicht die Realität, sondern die angewendete (unzureichende) Untersuchungs-Methode in Frage zu stellen.

Ich hab' Dir zuliebe meinen einhunderttausendfachen Test (Du wirst wie gewohnt argumentieren, Tests können von falschen Voraussetzungen ausgehen, ich wiederspreche dem hiermit von vornherein ausdrücklich und kann bestätigen, dass dieser Test alle Parameter korrekt berücksichtigt), ich habe den einwandfreien Test nun einhundertmillionenfach wiederholt. Das Ergebnis ist immer das gleiche geblieben. Also:

Du behauptest – und führst als Beweis Deine Wahrscheinlichkeitsberechnung an – dass, nachdem der Kandidat im hier behandelten Thema seine Wahl getroffen hat, die Gewinnchancen innerhalb der Gruppe der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore "1/3 - 1/3" und nicht "0 - 2/3 (bei noch unbekannter Position)" betragen. Nun erkläre mir bitte, warum in einhundert Millionen Tests ohne jede Ausnahme stets zumindest eine Niete hinter diesen beiden Toren ist (in 2/3 der Fälle nur eine Niete mit wechselnder Position). Der Test wäre übrigens nicht notwendig gewesen, das gleiche Ergebnis liefert auch die Logik, die Du hier wiederholt eingefordert hast. (Es gibt laut Spielregel nur ein einziges Auto). W'theorie und W'rechnung befassen sich – um dem an sie gestellten Anspruch gerecht werden zu können – als erstes und zuvorderst mit der Beschreibung der Realität. Du solltest das mathematische Theorem dringend so verbessern, dass der reale Sachverhalt wiedergegeben wird. Bis dahin! Liebe Grüße Gerhardvalentin 12:32, 23. Apr. 2009 (CEST)

@Gerhardvalentin:
Gratis-Support zum Thema Logik
Wenn du gut gelesen hattest, hast du gesehen dass meine Behauptung ist, dass nach dem öffnen es sich grundsätzlich um neuen W'keiten handelt. Du zeigst das auch selbst, weil für das geöffnete Tor die Chance aufs Auto von 1/3 nach 0 geht. Das möchtest du doch nicht bestreiten? Dass danach die zwei nicht-gewählte Tore zusammen noch immer 2/3 Chance aufs Auto haben ist zwar richtig - das bestreite ich nicht - aber nicht selbstverständlich. Das habe ich in viele Formulierungen schon geschrieben. Einigen verstehen das auch. Und ich habe auch gezeigt warum das nicht so ist. Aber du verstehst es nicht, leider. Erkläre mir dann warum es deiner Meinung nach selbstverständlich 2/3 ist. Und sage nicht, weil das gewählte Tor noch immer 1/3 Chance hat, denn darauf trifft dasselbe zu. Nijdam 16:18, 23. Apr. 2009 (CEST)

Danke, Nijdam für Deine Antwort. Hast Du gelesen, was ich hier oben unter "Nein, absolut nicht einverstanden" 02:03, 23. Apr. 2009 schrieb.
Stimmst Du zu, dass ursprünglich (vor der Wahl durch den Kandidaten) die Wahrscheinlichkeitsverteilung der drei geschlossenen Tore "1/3 - 1/3 - 1/3" beträgt ?
Stimmst Du auch zu, dass die vom Kandidaten getroffene Wahl eine W'verteilung (gewähltes Tor=1/3, zwei nicht gewählte Tore zusammen=2/3) zur Folge hat?
Diese W'verteilung besteht erst seit der Wahl durch den Kandidaten, also bereits vor dem Öffnen eines Tores. Gleichzeitig mit dieser Wahl ist allerdings für die Gruppe der beiden nicht gewählten Tore ein relevantes Ereignis eingetreten, welches einen enormen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb der Gruppe der zwei nicht gewählten Tore hat und diese nun dramatisch geändert hat, und zwar von
"1/3 - 1/3 symmetrisch" auf nun neu:
"asymmetrisch 0/3 - 2/3 oder 2/3 - 0/3, allerdings ohne Hinweis auf die Position dieser beiden nun plötzlich unterschiedlichen Tore".
Bitte versuche zu verstehen, was ich auszudrücken versuche: Da es nur ein Auto gibt, muss sich in der Restmenge (Gruppe) der beiden nicht gewählten Tore zwangsläufig zumindest eine Ziege befinden. Beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen "Gewähltes Tor zur Gruppe der zwei nicht gewählten Tore: 1/3 - 2/3" und auch "Innerhalb der Gruppe der beiden nicht gewählten Tore 0/3 - 2/3" sind durch die Wahl des Kandidaten gleichzeitig neu entstanden. Bereits durch die Wahl des Kandidaten. Beide gleichzeitig. Also noch vor dem Öffnen eines Tores. Okay? Das ist bereits die aktuelle Situation, nachdem der Kandidat seine Wahl getroffen hat. Nochmals: Noch vor dem Öffnen des Ziegentores durch den Moderator. Wäre schön, wenn wir uns hier treffen können. Liebe Grüße Gerhardvalentin 19:36, 23. Apr. 2009 (CEST)

Die von dir erwähnte Verteilung 0/3 - 2/3 innerhalb der Restgruppe, ist keine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Toren. Es ist nur eine Redensart um zu sagen, dass es jedenfalls ein Tor gibt mit eine Ziege, vielleicht auch zwei. Und dennoch, wenn ein Tor mit Ziege geöffnet wird, tritt eine neue Situation ein, und wie die Verteilung der Chancen dann ist, kann man nicht im Voraus wissen. Warum z.B. sollte das Tor mit 0/3 Chance geoffnet werden? Der Moderator kann auch das andere öffnen wenn da kein Auto steht. Nijdam 22:11, 23. Apr. 2009 (CEST)

Ja, das war vorauszusehen. Die Restgruppe enthält mit Sicherheit eine garantierte Ziege (mit einer Sicherheit von 1). In einem Drittel der Fälle sogar zwei Ziegen, die zweite Ziege nur mit einem "Risiko" von 1/3, also nicht immer. (Wenn Du willst: In einem Drittel der Fälle ebenfalls mit einer Sicherheit von 1, aber darauf kommt es ja nicht an.) Allerdings enthält diese Gruppe wie gesagt in jedem Fall eine garantierte Ziege, also mit absoluter Sicherheit, mit einer Sicherheit von 1. Dieses sichere Ziegentor wird geöffnet. Du hast den Beweis nicht geliefert, dass der Moderator auch die andere Ziegentüre, sofern vorhanden, öffnen könnte. Ich bestreite das entschieden! Liebe Grüße Gerhardvalentin 00:34, 24. Apr. 2009 (CEST)

Ich versuche wirklich es dir deutlich zu machen, aber habe die Idee du möchtest nur deine Anschauung verteidigen. Wie du es beschreibst ist das Tor in der Restmenge mit Chance 0 eigentlich das Tor das später geöffnet werden wird. Aber dann ist es für die Erklärung schon geöffnet. Und wie ich immer wieder betone: nach dem Öffnen entsteht eine neue Situation. Das soll doch klar sein. Und: neue Fürsten, neue Gesetze. Das gilt auch hier. Du siehst doch dass fürs geöffnete Tor die W'keit sich ändert, und auch für das andere Tor in der Restmenge. Aber auch für das gewählte Tor!! Zwar hat die andere W'keit auch den Wert 1/3 - das ist verwirrend - aber es ist eine andere (bedingte) W'keit. Und dass der Wert wieder 1/3 ist muss bewiesen werden. Und dann folgt der Wert 2/3 für das andere Tor in der Restmenge. Nijdam 11:00, 24. Apr. 2009 (CEST)

Danke für Deine Stellungnahme. Du hast Recht, ich verteidige meine Anschauung als (verzeih' meine Präpotenz) als "Abbild der Realität". Ich hoffe, dass es gelingen möge, auch die mathematische Formulierung der Realität anzupassen. In den Werkzeugen dazu bist unbedingt Du der Meister. Liebe Grüße Gerhardvalentin 11:11, 24. Apr. 2009 (CEST)

Besser wir passen deine Realiteit die mathematische Formulierung an. Bitte, bekommentariere doch erstens mal was ich oben geschrieben habe. Nijdam 13:08, 24. Apr. 2009 (CEST)

Es gäbe einen treuhänderisch tätigen Notar, der die Rechtmäßigkeit des Spielverlaufes einhundert Millionen mal verfolgt hat und (nur für sich allein resp. für sein Archiv!) jeweils exakte Ablauf-Protokolle für jedes einzelne Spiel dokumentiert hat. Nur Du hast als Vertrauensperson Zugang zu diesem Archiv. Du weißt genau, was im Archiv dokumentiert zu finden ist.
Nun gilt es nur noch, dies exakt abstrakt mathematisch zu formulieren. In 1/3 der Fälle wählte ein Kandidat das Gewinn-Tor, die Restmenge der 2 nicht gewählten Tore enthalten Ziege+Ziege, (obwohl für 3/3 der Fälle nur eine Ziege garantiert ist). In 2/3 der Fälle wählte ein Kandidat ein Ziegentor, und in der Restmenge der 2 nicht gewählten Tore ist hinter einem Tor eine Ziege und hinter dem anderen Tor ein Auto (da ja für 3/3 der Fälle nur eine Ziege garantiert ist). Siehst Du die Systematik? In jedem Fall befindet sich in dieser Restmenge "zumindest eine ganze Ziege" (und zwar immer zumindest eine ganze Ziege und nicht zwei 0,67%-Ziegen). (Versuch's doch 'mal mit Ganzzahl oder Integer?) Auch wenn sich dort Ziege+Ziege befinden, "eine ganze Ziege ist immer garantiert". Und: Abweichend zu Deiner Darstellung: Nicht erst dann, wenn der Moderator bei der Konstellation "symmetrisch Ziege+Ziege" die garantierte Mindestmenge von nur einem Ziegentor öffnet (er darf ja nur ein Tor, also nur die dort garantierte Mindestmenge von einem Ziegentor !) öffnen, auch wenn zwei Ziegen dort sein sollten, nicht erst dann vereinigen sich zwei 2/3 Ziegen zu "einer ganzen Ziege", nicht erst dann! Siehst Du die Systematik? Und dann hat er ja nur die garantierte Mindestmenge von "einem garantierten Ziegentor" geöffnet. Denn es war ja nur "ein Ziegentor garantiert" gewesen. Siehst Du die Systematik? Ich hoffe darauf, dass dieser Sachverhalt eines Tages adäquat mathematisch repräsentiert werden kann, ohne dass die Behauptung notwendig bleibt, keines der beiden nicht gewählten Tore könne vor dem Öffnen eines der zwei Tore jemals eine ganze Ziege enthalten, sondern immer beide je eine 0,67%-Ziege, "weil das VOR dem Öffnen des Ziegentores mathematisch eben einfach nicht statthaft sei". An dieser Formulierung muss noch fleißig gearbeitet werden. Das ist noch zu lösen. Karl Popper: "Alles Leben ist Problemlösen", und: "Wenn du etwas nicht einfach sagen kannst, arbeite solange daran, bis du es einfach sagen kannst." An der mathematischen Formulierung muss offensichtlich noch gearbeit werden. LG Gerhardvalentin 15:06, 24. Apr. 2009 (CEST)

(outindented)Du hast dich wirklich bemüht. Bist du Notar? Wieder versuchst du die Antwort 2/3 zu rechtfertigen.
Aber es liegt in die Argumentation. Jetzt ein bischen mehr Mathematik, nur ganz einfach. Der Kandidat wählt Tor 1, und es gibt also beim Notar:

Am Anfang:
A: 333333 Fälle mit das Auto hinter Tor 1; Restmenge: Ziege+Ziege
B: 333333 Fälle mit das Auto hinter Tor 2; Restmenge: Auto+Ziege
C: 333333 Fälle mit das Auto hinter Tor 3; Restmenge: Ziege+Auto
{ B+C: 666666 Fälle mit Restmenge: Ziege+Auto }
(1 Fall ist schief gegangen)
Nach dem Öffnen eines Tors:
A: 166666 Fälle mit Tor 2 offen
A: 166666 Fälle mit Tor 3 offen
B: 333333 Fälle mit Tor 3 offen
C: 333333 Fälle mit Tor 2 offen
(wieder sind einige Fälle schief gegangen)

Am Anfang: in eine Fraktion 333333/1000000 ist das Auto hinter Tor 1.
Nach dem Öffnen des Tors 3: in eine Fraktion 166666/499999 ist das Auto hinter Tor 1.
Die Fraktione haben derselbe Wert, aber es sind unterschiedliche Brüche! Sie beziehen sich auf unterschiedliche Mengen.
Gleichfalls nach dem Öffnen des Tors 2: in eine Fraktion 166666/499999 ist das Auto hinter Tor 1. (PS: die 0.67 Ziege kannst du meinetwegen grillen.) Nijdam 17:36, 24. Apr. 2009 (CEST)

Danke, Nijdam, für Deine Mühe. Die 0.67 Ziege werde ich zu Pfingsten im Garten grillen. Nein, ich bin nicht Notar, allerdings an der Uni war Mathematik mein Lieblingsfach, und leider musste ich den Professor laufend auf seine Fehler aufmerksam machen. Nein, ich bin kein Notar, nur Wirtschaftsprüfer und Treuhänder. Wir kommen voran! Ich habe oben den Vorschlag eingesetzt, in der Einzel-Fall-Betrachtung für Ziegenwahrscheinlichkeit>1 Integer einzusetzen, mit Modulo kann das dann ja klappen? So wird doch noch etwas Vernünftiges daraus. Nochmals danke und liebe Grüße Gerhardvalentin 18:01, 24. Apr. 2009 (CEST)

Bitte Vorsicht mit Feuer! Du hast besser bei mir studieren können, dann war al die Aufwand unnötig. Aber es ist nie zu spät! Hast du dich die Zahlen angesehen? Und die Unterschied verstanden zwischen 333333/1000000 und 166666/499999 (abgesehen davon dass sie nicht ganz den gleichen Wert haben)?Nijdam 19:31, 24. Apr. 2009 (CEST)

Leider komme ich keineswegs klar. Oben sollte es wohl nicht "A+C: 666666 Fälle mit Restmenge Ziege+Auto" heißen, sondern B+C ?
"Gewähltes Tor = 1" – Klar ist, dass in einem Drittel der 1 Mio Fälle, in denen Tor 1 gewählt wurde, das Auto auch hinter Tor 1 steht (333333 mal von 1 Mio).
Und klar ist auch, dass in der Hälfte DIESER Treffer (166666 mal in 333333 Fällen) bei Wahl=1, Auto=1, dann Tor 2 geöffnet wird.
Und in der anderen Hälfte DIESER Treffer (166666 mal in 333333) bei Wahl=1, Auto=1, dann Tor 3 geöffnet wird.
Das bedeutet, dass in einem Sechstel aller 1 Mio Fälle zutrifft:
Wahl=1, Auto=1, offenes Tor=3, und in einem weiteren Sechstel aller 1 Mio Fälle zutrifft:
Wahl=1, Auto=1, offenes Tor=2
Jedoch: In weiteren 333333 Fällen, in denen Tor 3 offen steht, hatte der Kandidat das Ziegentor 2 gewählt gehabt. Du addierst die 166666 Treffer, in denen Tor 3 offen steht, und die 333333 Fehlschläge (falsches Tor 2 gewählt), in denen Tor 3 offen steht, zu total 499999 Fällen und sagst, in 166666 Fällen von 499999 Fällen steht Tor 3 offen. Und die gleiche Addition machst Du für gewählt=3, offen=2.
Was willst Du damit deutlich machen ? Ich verstehe den Sinn noch nicht. Bitte sag' mir, wie das gemeint sein könnte! Nehmen wir auf unsere gemeinsame 100'000er-Testtabelle Bezug? Vielleicht verstehe ich dann, was Du ausdrücken willst. Danke und liebe Grüße! -- Gerhardvalentin 21:06, 24. Apr. 2009 (CEST)

Ok- A+C war ein Tippfehler, muss B+C sein - ich sehe nun dass dein Notar sogar 100.000.000 Fälle überarbeitet hat. Der Mann braucht seine Ruhe. Tatsächlich beziehen wir uns auf die von dir erwähnten notariellen Daten. Ich mache eine neue Übersicht, der Kandidat hat das Tor 1 gewählt. Unter 60 Fällen gibt es:

10 x M12 = {Auto hinterm Tor 1, Tor 2 offen}

10 x M13 = {Auto hinterm Tor 1, Tor 3 offen}

20 x M23 = {Auto hinterm Tor 2, Tor 3 offen}

20 x M32 = {Auto hinterm Tor 3, Tor 2 offen}

Die Restmenge ist immer {Tor 2, Tor 3}

In 20 dieser 60 Fällen ist das Auto hinter Tor 1 (M12 und M13), deshalb ist die Chance aufs Auto hinter Tor 1:

Anzahl(M12+M13)/Anzahl(M12+M13+M23+M32) = 20/60.

In 30 dieser 60 Fällen ist das Tor 3 geöffnet (M13 und M23).

In 10 der 30 Fällen mit Tor 3 geöffnet ist das Auto hinter Tor 1 (M13), deshalb ist die Chance aufs Auto hinter Tor 1 wenn Tor 3 geöffnet ist:

Anzahl(M13)/Anzahl(M13+M23) = 10/30.

Gleichfalls wenn Tor 2 geöffnet ist:

Anzahl(M12)/Anzahl(M12+M32) = 10/30.

Verstehst du den Unterschied? Versuche deine Argumentation auch so, mehr mathematisch, zu formulieren. Müsste doch kein Problem sein.Nijdam 10:36, 25. Apr. 2009 (CEST)

Danke! Muss leider rasch weg. Siehst Du inzwischen den aktuellen Stand der Erklärung der Problemlösung und mein Kommentar am Ende der Diskussion Durchaus entbehrlicher "Beweis" an? Gruß Gerhardvalentin 14:29, 25. Apr. 2009 (CEST)

Back again! Hallo Nijdam, gehst Du mit der Diskussion:Ziegenproblem#Erklärung der Problemlösung konform? Was spricht dagegen? Liebe Grüße Gerhardvalentin 19:12, 25. Apr. 2009 (CEST)

Bleibe bei der Sache, deine Antwort bitte. Nijdam 00:11, 26. Apr. 2009 (CEST)

Zuerst hier antworten. Formuliere deine Lösung mit Hilfe von M12, M13, usw. Nijdam 22:42, 28. Apr. 2009 (CEST)

Bin mit Deiner Aufstellung voll einverstanden, alles korrekt, mein Prüfbericht liegt vor. Du hast Recht. Wahrscheinlichkeiten: Es gibt solche und solche. Es gibt die von Anfang an bestehenden Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Tores (Gewinnchance und Nieten-Risiko). Seit der Kandidat seine Wahl getroffen hat, gibt es darüber hinaus die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Gruppe der zwei nicht gewählten Tore (deren gesamte Gewinnchance und gesamtes Nieten-Risiko ist durch die Wahl nicht verändert worden). Seit der Kandidat gewählt hat, ist aber ein wesentlicher Aspekt hinzugekommen, der bei Dir fehlt. Die ursprüngliche undifferenzierte Symmetrie der zwei Tore vor ihrer Wahl ist durch die Abwahl der beiden nicht gewählten Tore nun plötzlich dahin, und seit der Wahl herrscht in dieser Gruppe nun exakt definierte, krasse Asymmetrie. Allerdings ohne Hinweis auf die Positionierung innerhalb der Gruppe. Ich bemängele das völlige Fehlen dieses wesentlichen Aspektes, der seit der Wahl hinzugekommen ist. Denn seine Berücksichtigung sagt deutlich aus: Mit dem Öffnen eines Ziegentores verändert sich nur die Ungewissheit über die Positionierung, denn die Positionierung wird durch das Öffnen gezeigt. Dieser Aspekt sagt deutlich, dass beim Öffnen NUR DIES gezeigt wird: Die Positionierung. Der seit der Wahl hinzugekommene, bei Dir fehlende Aspekt zeigt, dass sich alle übrigen Wahrscheinlichkeiten, insbesondere des ursprünglich gewählten Tores und auch die GESAMTWAHRSCHEINLICHKEIT DER GRUPPE nicht verändert haben, weil diesbezüglich jede neue Info fehlt. Du argumentierst so: Wenn die Wahrscheinlichkeit aller Möglichen Konstellationen dargestellt wird, und durch das Öffnen des Tores einige Konstellationen (weil nun unmöglich) ausscheiden, z.B. weil ein gezeigtes Ziegentor kein Auto mehr enthalten kann, also nur noch eine Untermenge der ursprünglich als "möglich" erachteten Konstellationen ausscheidet, das seien dann neue Wahrscheinlichkeiten. Bitte korrigiere das. Im Übrigen stimme ich Deiner Aufstellung vollinhaltlich zu. Liebe Grüße Gerhardvalentin 00:32, 29. Apr. 2009 (CEST)

Also: Wenn ich richtig verstehe, geht das in die folgende Richtung:
Wenn der Kandidat das Gewinn-Tor gewählt hat, öffnet der Moderator jedes der beiden anderen Tore nur halb so oft, als wenn der Kandidat ein Ziegen-Tor gewählt hat, allerdings öffnet der Moderator, wenn der Kandidat eine Niete gewählt hat, nie jedes der beiden anderen Tore, das andere Tor mit Auto ist ja tabu, sondern er öffnet immer das andere Tor mit Ziege. Also nur immer dasselbe Tor, dieses dafür aber doppelt so oft usw. usw. usw.
Das habe ich ganz unten in der Diskussion als durchaus entbehrlichen "Beweis" apostrophiert. Es hilft wenig zum Verständnis des offensichtlichen "Paradoxons" und wiederholt letztlich immer nur die Tatsache, dass der Kandidat nur in 1/3 der Fälle das Gewinn-Tor wählt. Es liefert darüberhinaus keinen "Beweis", sondern zeigt nur die Konsequenzen der These, dass der Kandidat in 2/3 der Fälle falsch gewählt hat. Bitte sage mir, ob ich das Deiner Meinung nach nicht richtig sehe.
Wirklich gespannt bin ich, was Du zur letzten Version meines Beitrags Diskussion:Ziegenproblem#Erklärung der Problemlösung sagst. Würde mich über Dein Urteil freuen, auch wenn es wieder hart sein sollte, und bin gespannt! Liebe Grüße, Gerhard.

Bitte gib' mir noch ein wenig Zeit. Liebe Grüße! -- Gerhardvalentin 01:07, 26. Apr. 2009 (CEST)

(outindented) Machst du deine obrigen Hausaufgaben, dann werde ich hier noch was erklären. Der einzige Denkfehler, und nur daran musst du arbeiten, ist die Gedanke, die du hier wieder erwähnst: ...die Tatsache, dass der Kandidat nur in 1/3 der Fälle das Gewinn-Tor wählt.... Nur darin liegt der Fehler. Am Anfang sind die Chancen fürs Auto hinter die 3 Türe: p1=1/3, p2=1/3 umd p3=1/3 (pi betrifft Tür i). Wählt der Kandidat die Tür 1, dan ist seine Gewinnchance p1=1/3. Nun öffnet der Moderator die Tür 3. Die Chance fürs Auto hinter Tür 3 ist ab jetzt 0, also nicht p3! Nennen wir sie b3. Also b3=0. Und was ist mit Tür 2? Es wird sich zeigen dass die Chance nicht mehr 1/3 ist, also auch nicht p2. Dass spricht auch für sich. Die Chance ist nun b2, die zu b3 gehört. Wir können beweisen dass b3=2/3, aber bis jetzt wissen wir das nicht. Es folgert wenn wir b1 kennen. Gleich wie p1+p2+p3=1, ist auch b1+b2+b3=1. Die Chance b1 ist die Chance aufs Auto hinter Tür 1, nachdem die Tür 3 geöffnet wurde. Merke auf wie sich die Chancen ändern: p3=1/3 → b3=0; p2=1/3 → b2=?(2/3); p1=1/3 → b1=?(1/3). Zwar weist b1 den gleichen Wert 1/3 auf als p1, aber dass müssen wir noch beweisen. Und dann können wir entscheiden dass b2=1-b1-b3=2/3. Bedenke auch, dass natürlich nicht automatisch p1+b2+b3=1. Die p-Chancen sind ganz andere als die b-Chancen, gleichen sich wie Äpfel und Birnen. (Die p-Chancen sind die Unbedingte, die b-Chancen die Bedingte.) Versuche selbst zu beweisen dass b1=1/3. Ich habe auf viele Weisen versucht den Gedankenfehler ans Licht zu bringen. Eigentlich müsste es nun deutlich sein. Bemühe dich jedenfalls den Unterschied zu verstehen zwischen die p-Chancen und die b-Chancen. Viel Spaß. Nijdam 21:34, 26. Apr. 2009 (CEST)

Entschuldige bitte, dass ich mich noch nicht gemeldet habe, wirklich zu wenig Zeit. Ich habe Deine obigen Diskussionsbeiträge - um mit Bleistift und Tabellen darangehen zu können, der Übersicht halber zwar ausgedruckt, doch noch nicht bearbeitet. Tut mir wirklich Leid. Aber: Unser unterschiedlicher "approach" zeigt sich in dem von mir eben eingesetzten Abschnitt "Nochmals zur Verdeutlichung", es geht um verschiedene, jederzeit alternativ mögliche Betrachtungsweisen / Betrachtungswinkel. Siehst Du einen Bleistift an, kann er sich als Stab / Linie darstellen, oder als kleiner Kreis / Punkt, wenn Du ihn vom oberen stumpfen Ende oder unten von der Minenspitze her ansiehst. Das meinte ich mit den verschiedenen Betrachtungswinkeln. Du kannst zwei Tore jederzeit als zwei einzelne Tore mit einer Gewinnchance von 1/3 betrachten, du kannst sie auch zu einer Gruppe von zwei Toren mit einer Gewinnchance von je 1/3, also von insgesamt 2/3 ansehen, Du kannst aber auch die Betrachtungsweise anwenden, dass es für eine Gruppe von zwei Toren eigentlich unmöglich zwei Autos geben kann, also zumindest eines der Tore garantiert eine Ziege sein muss! Freilich können auch beide ZIEGEN sein, das kommt in 1/3 der Fälle vor, und in jedem Fall wird das vom Moderator geöffnete Tor, aus diesem Blickwinkel betrachtet, immer das garantierte Ziegentor sein. Sind zwei Ziegen da, :) (smily) so ist die einzig zulässige "Strategie" des Moderators zu bestimmen, welches der beiden Ziegentore er öffnet. Und nicht einmal hier darf er selbst entscheiden, er muss ja "rechtes Ziegentor" und "linkes Ziegentor" gleich häufig öffnen. Der arme. Nicht einmal da hat er freie Hand. Aber: Egal welches der beiden Ziegentore er dann öffnet, aus diesem Blickwinkel heraus, dass ja eine Gruppe von zwei Toren zumindest eine garantierte Ziege enthalten muss, aus diesem Blickwinkel heraus gilt immer, dass das vom Moderator geöffnete Ziegentor das garantierte Ziegentor ist. Wichtig ist: Es gibt ein zwangsläufig garantiertes Ziegen-Tor. Das macht neue Blickwinkel möglich. Morgen bin ich leider sehr beschäftigt und unterwegs. Ich melde mich so bald ich kann, der Stoß Papier liegt schon bereit. Liebe Grüsse, -- Gerhardvalentin 00:09, 27. Apr. 2009 (CEST)

Bleibe bei der Sache. Es hat nichts zu tun mit Blickwinkel, alternative Anschauungsweise oder was sonst. Ich habe genau angegeben wo es schief geht, und zwar: nach dem Öffnen betrifft es andere W'keiten als zuvor. Wenn du das bestreiten möchtest, dann erklärst du mir zuerst wie das Tor mit der Ziege eine Chance 1/3 aufs Auto haben kann? Bitte. Nijdam 14:28, 28. Apr. 2009 (CEST)

Danke, Nijdam, für das Stichwort. Du hast den Finger genau auf die wunde Stelle gelegt. Exakt auf jenen Punkt, der ja das eigentliche fatale Paradoxon des Ziegenproblems darstellt, auf den Umstand, dass so viele in die 1:1-Falle tappen. Ich erkläre das. Nichts leichter als das. Es waren ursprünglich 3 Tore. Seit der Wahl des Kandidaten ist 1 dieser 3 Tore gewählt worden. Die (nicht gewählte) Restmenge der beiden nicht gewählten Tore umfasst also 2 Tore, und das gemeinsame Ziegen-Risiko dieser beiden Tore beträgt 2/3 + 2/3 = 4/3 (sprich 1 1/3 Ziegen, Risiko also >1) und ihre gemeinsame Gewinnchance beträgt 2/3 (zwei Tore, je 1/3 + 1/3). Es sind zwei Tore. Es gibt nur ein Auto. Ein Tor der Restmenge von 2 Toren ist mit absoluter Sicherheit ein Ziegentor. Der Kandidat weiß noch nicht, welches der beiden Tore das garantierte Ziegentor sein könnte. Außerdem ist ihm bekannt, dass in 1/3 der Fälle sogar alle zwei Ziegen dort versammelt sind. Sind es zwei Ziegen, so ist nur eine davon die garantierte Ziege, die andere NICHT. Jeder der will, kann sich darüber den Kopf zerbrechen, welches dieser beiden Ziegentore dann eigentlich das "garantierte Ziegentor sei" und welches "eher doch ein nicht garantiertes Ziegentor ist", und er kann Berechnungen darüber anstellen. Später öffnet der Moderator dann ein Ziegentor, und das wird aus diesem Betrachtungswinkel immer das garantierte Ziegentor sein. Das seit der Wahl des Kandidaten ein Ziegenrisiko von 1 hat. Das ist ja das eigentliche Paradoxon im Ziegenproblem: Zwei Tore, eines davon enthält "garantiert" eine ganz ganz fest garantierte ganze Ziege, dennoch haben diese beiden Tore eine gemeinsame Gewinnchance von 2/3. Zumindest ein Tor der Restmenge ist ein Ziegentor. Wie ist dann die Gewinnchance von 2/3 überhaupt möglich? Du wirst mir antworten: Die Gewinnchance gilt eben der "Restmenge der Restmenge", also dem anderen der beiden Tore. Auch damit hast Du Recht. Das andere Tor trägt also die Gewinnchance von 2/3 und das restliche Ziegenrisiko von 1/3. Es ist ja in 1/3 der Fälle ebenfalls ein Ziegentor. Diese Chancenverteilung innerhalb der Restmenge ist nicht so ohne Weiteres plausibel. Wie kann es sein, dass zwei Tore, von denen sogar sicher ist, dass hinter einem von ihnen eine Ziege steht, eine Gewinnchance von 2/3 haben? Und damit sogar eine doppelt so hohe Gewinnchance wie das zuvor einzeln gewählte Tor? Das ist nicht so ohne Weiteres einsehbar, und genau das bildet ja das bekannte Dilemma. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 22:02, 28. Apr. 2009 (CEST)

Was könnte nur der Grund dafür sein, dass Du einmal so sagst, und dann wieder das Gegenteil. Du sagst heute: [Nijdam] Also: Eins der nicht gewählten Toren enthält eine Ziege. Wussten wir doch schon längst. (nicht signierter Beitrag von Nijdam (Diskussion | Beiträge) 14:28, 28. Apr. 2009 (CEST))

Und wenn Du das ohnehin wusstest, und Dir ohnehin bekannt war, dass sich durch die vom Kandidaten getroffene Wahl zwangsläufig die absolute Sicherheit ergibt, dass in der Gruppe der beiden nicht gewählten Tore zumindest eine Ziege vorhanden sein muss, dann muss Dir zwangsläufig auch bekannt sein, dass sich durch diese Wahl eine ganz neue Ausgangssituation ergeben hat. Diese Situation (Gruppe von zwei nicht gewählten Toren) gibt es erst seit der Wahl: Mit einer Gewinnchance für den Kandidaten von 1/3 und der Gewinnchance für die Gruppe der beiden nicht gewählten Tore von gemeinsam 2/3, wobei durch die stattgefundene Wahl ja gleichzeitig auch gegeben war, dass (trotz der gemeinsamen Gewinnchance dieser Gruppe von 2 Toren von 2/3 !) gleichzeitig bekannt wurde, dass zumindest ein Tor eine Ziege enthalten muss. Dieses Tor enthält also eine Ziege, und das restliche Ziegen-Risiko dieser Gruppe von 1/3 und die restliche Gewinnchance von 2/3 kann sich ergo nicht auf das garantierte Ziegentor beziehen. Worauf kann es sich nur beziehen, wenn keine Wunder geschehen? Selbstverständlich auf den "Rest der Restmenge". Oder wir benötigen ein neues Universum. Wenn Du, wie Du sagst, das ohnehin weißt, dass ein Tor aus der Restmenge eine Ziege enthält, Dir also lediglich unbekannt ist, welches der beiden Tore tatsächlich eine Ziege enthält, dann ist doch mit dem Öffnen des einen Ziegentores doch nur die Position bekanntgegeben worden. Denn dass dort zumindest eine Ziege IST, das hast Du ja bereits seit der Wahl des Kandidaten gewußt. Warum sagst Du dann, dass nicht nur die tatsächliche Position des Ziegentores bekannt geworden ist, sondern darüberhinaus weitere relevante Information geliefert wurde? Warum behauptest Du das? Das sagst Du mit den Worten: "Neue Wahrscheinlichkeiten sind eingetreten". Das sind sie eben NICHT. Nur die Position des Ziegentores ist gezeigt worden. Mehr nicht. Alles andere ist ein Rechenfehler! Bitte prüfe nach. Wenn Du es bereits gewusst hast, dass in der Restmenge ein Ziegentor vorhanden ist. Es kam weiters KEINE neue Info. Es ist eben - abgesehen von der POSITION des Ziegentores - KEINE neue Info gekommen. Warum sagst Du, ALLE Wahrscheinlichkeiten hätten sich verändert? Bitte sieh' Dir dieses Dilemma noch einmal genau an. Liebe Grüße Gerhardvalentin 16:55, 28. Apr. 2009 (CEST)

(outindented)Weil die Wahl des Kandidaten und die Position des Autos unabhängig (unterstellt) sind, fehlt nichts in meine Argumentation. Du bleibt stecken in einen Wortfluß, und nur ein einziges Punkt darin ist wichtig. Das habe ich schon mehrmals betont. Also konzentriere dich nur darauf. Und zwar dass es nach dem öffnen um andere W'keiten handelt als bevor. Du kannst nicht anders als zugeben dass es für das Ziegentor zutrifft. Und auch für das andere Tor in deiner Restmenge. Die Summe dieser zwei ist also die Summe zwei neuer W'keiten. Schon logischerweise kann diese Summe selbst nur eine neue W'keit sein. Dein Problem ist dass sie als Wert 2/3 aufweist, gleich wie die alte W'keit. Und es wäre natürlich schön wenn dafür kein Beweis benötigt sei, aber leider ist das nicht so. Es ist nicht schwer, es ist nicht kompliziert, aber ohne Beweis geht's nicht. Nijdam 11:48, 29. Apr. 2009 (CEST)

Nijdam: Das behauptest Du immer wieder, bleibst aber jeden Beleg für diese wilde Behauptung schuldig. Warum sollte sich die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto von vornherein nicht hinter der ursprünglich gewählten Türe steht, durch das Öffnen einer Nietentüre ändern? Diese Ereignisse sind unabhängig voneinander, und daher muß die Wahrscheinlichkeit per definitionen gleich bleiben. Man muß nur in der Lage sein, diese Unabhängigkeit zu erkennen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 10:53, 28. Mär. 2009 (CET)

@M.ottenbruch: Du hast mit dem obrigen Recht! Diese Ereignisse sind tatsächlich unabhängig voneinander, und daher muß die bedingte Wahrscheinlichkeit per definitionen derselbe Wert aufweisen als die Unbedingte!! Man sagt so, umgangssprächlich, "gleich bleiben", damit ist aber "derselbe Wert aufweisen" gemeint. Formell: A,B unabhängig, dann ist P(A|B)=P(A). Endlich hast du es verstanden. Nijdam 16:30, 23. Apr. 2009 (CEST)

Es freut mich, daß wir diesbezüglich endlich Einigkeit erzielen können. Über die Frage, wer es „endlich [...] verstanden“ hat, kann man allerdings geteilter Meinung sein. Schließlich ist meine obige Bemerkung vier Wochen alt, und mein erster Versuch, Dich auf die Definition von stochastischer Unabhängigkeit hinzuweisen, ist weitere drei Wochen älter. Deine damalige Antwort zeugte noch nicht von tiefem Verständnis. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 18:03, 23. Apr. 2009 (CEST)

Man kann über alles geteilter Meinung sein. Aber zuvor behauptest du man käme ohne bedingter W'keit aus. Und jetzt kann, laut deiner Bemerkung, nur konkludiert werden, man brauche unbedingt (!) bedingter W'keiten. Nijdam 10:45, 24. Apr. 2009 (CEST)

Schade. Für einen Moment hatte ich geglaubt, Du hättest tatsächlich verstanden, was Du liest und schreibst. Aus keiner meiner Anmerkungen läßt sich schließen, es sei nötig, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu betrachten. Vielmehr lege ich dar, daß die einzige Wahrscheinlichkeit, auf die es bei der gegebenen Aufgabenstellung ankommt (nämlich die, ob Wechseln zum Gewinn führt oder nicht), durch das regelkonforme Öffnen einer Türe unbeeinflußt bleibt und daher die Betrachtung der ursprünglichen Wahrscheinlichkeit ausreicht. Das Öffnen der Türe hat darauf so wenig Einfluß wie ob in China ein Sack Reis platzt - mathematisch ausgedrückt: Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist stochastisch unabhängig davon, welche Türe geöffnet wird. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 11:12, 24. Apr. 2009 (CEST)

Zusatz (Welche Türe geöffnet wird): Es ist eine Ziegentüre, und in jedem Fall die garantierte Ziegentüre, denn es ist nur die "Mindestanzahl" von "einer garantierten" Ziegentüre, die geöffnet wird. Laut Spielregel wird nur "eine" Ziegentüre geöffnet. Die Existenz einer anderen Möglichkeit ist nicht bewiesen. LG Gerhardvalentin 11:20, 24. Apr. 2009 (CEST)

Zusätzlich ist eine Bedingung in den jetzigen Spielregeln, dass immer ein solches Tor geöffnet wird, also niemals kein Tor. Eine weitere relevante Bedingung ist, dass der Mitspieler diese Regel kennt. Das hat Bedeutung für eine sinnvolle Strategiewahl. Alle Bedingungen sind (nachträglich gegenüber der ursprünglichen Aufgabenstellung) mit aufgenommen worden. Wenn in der Restmenge zwei Nieten sind, spielt es keine Rolle, welche dieser Türen geöffnet wird. Deshalb reicht aus, wenn gesagt wird, "Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines zufällig aus und öffnet es." Die Zufallsverteilung spielt hier keine Rolle (sie ist deshalb auch nicht angegeben), da in diesem Falle (und nur in diesem Falle) der Teilnehmer bei Wechsel immer verliert, unabhängig von der Zufallsverteilung, mit der der Moderator die Tür öffnet. --Hutschi 14:20, 24. Mär. 2009 (CET)

Die Zufallsverteilung ist angegeben: „4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines zufällig aus und öffnet es.“
Sobald wir übrigens Einigkeit darüber erzielt haben, daß in dieser speziellen Aufgabenstellung die bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht berücksichtigt werden müsen, würde ich gerne den etwas verwirrenden Nachsatz aus der „vereinfachten Erklärung“ wieder streichen: „Dies ist allerdings noch kein vollständiger Beweis für die Lösung des Ziegenproblems. Dazu muss noch näher auf bedingte Wahrscheinlichkeiten eingegangen werden, wie es in den folgenden Abschnitten geschieht.“ Daß eine „vereinfachte Erklärung“ kein vollständiger Beweis ist, sollte sich sowieso jedem erschließen. Dann könnte man die „vereinfachte Erklärung“ auch wieder in „einfache Erklärung“ umbenennen, wie es ehedem der Fall war. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:01, 24. Mär. 2009 (CET)

Dass es sich sowieso jedem erschließen sollte, dass eine „vereinfachte Erklärung“ kein vollständiger Beweis ist, könnte man zwar vermuten – offenbar ist dies aber nicht der Fall, wie Nijdam schrieb: "andererseits stelle ich immer wieder fest das auch Schullehrer und Schüler, die sich mit Wahscheinlichkeiten beschäftigen, die "Einfache Erklärung" als Beweis auffassen und sich damit begnügen." Schon für diese Leute sollte der Satz drin bleiben. Er schadet ja nicht. --AchimP 15:19, 24. Mär. 2009 (CET)

Vorschlag: Problemstellung wieder dem Original annähern: Diskussion:Ziegenproblem#Formulierung der Aufgabenstellung und Hinweis auf konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung --Gerhardvalentin 17:11, 24. Mär. 2009 (CET)

Noch'n Vorschlag: Wenn jemand mit dem Wort "zufällig" in Schritt 4 der Regel Probleme hat, laßt uns doch dieses Wort einfach streichen -- ersatzlos, oder ersetzen durch "nach Belieben". -- Wegner8 17:32, 24. Mär. 2009 (CET)

Da man (mit oder ohne "zufällig") die bedingte Wahrscheinlichkeiten für jeden Fall einer geöffneten Tür berechnen muss, ist die Aufgabe nicht lösbar, wenn der Moderator die Türen nach einem nicht oder nur ihm selbst bekannten Algorithmus öffnet, falls ihm zwei Tore zur Auswahl stehen. Beliebt er nämlich im Fall von Wahl Tor 1, Auto Tor 1 häufiger z. B. das Tor 2 zu öffnen, ist die Wechselgewinnwahrscheinlichkeit des Kandidaten bei gewähltem Tor 1 unter der Bedingung, dass Tor 2 geöffnet wird, nicht mehr 2/3. Unter der Bedingung, dass Tor 3 geöffnet wird, natürlich auch nicht mehr. Das "zufällig" ist also entscheidend für die Lösung. --AchimP 17:42, 24. Mär. 2009 (CET)

(BK)Das Wort „zufällig“ ist da insofern wichtig, als ohne dieses Wort von interessierter Seite eingewandt wird, daß bei einem hinreichend schrägen Verhalten des Spielleiters die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln möglicherweise auch irgendwo unterhalb von 2/3 liegen könnte. Darauf stellt das Problem aber nicht ab. Deswegen sollte man hier nicht zusätzliche - wenigstens theoretische - Stolpersteine einbauen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:54, 24. Mär. 2009 (CET)

In der Aufgabenstellung halte ich maximale Präzision durchaus für wünschenswert. Daher bin ich mit der jetzigen Formulierung sehr zufrieden. Verstehe ich Dich richtig, daß Du mit dem „Original“ die Leserbrief-Variante meinst? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:54, 24. Mär. 2009 (CET)

Ich halte private Erfahrungen, so glaubwürdig sie auch vorgetragen werden, nicht für enzyklopädisch relevant, und ich habe so etwas ähnliches auch schon mal irgendwo gelesen. Im übrigen ist der Satz ja auch inhaltlich strittig: Daß sich eine schlüssige Lösung des Ziegenproblems finden läßt, ohne auf bedingte Wahrscheinlichkeiten einzugehen, sehe ich ja mittlerweile wirklich nicht mehr nur alleine so. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:54, 24. Mär. 2009 (CET)

Mit dem Hinweis auf WP:TF hast Du natürlich außerordentlich recht. Das stört mich hier eigentlich schon seit Monaten / Jahren, dass im Artikel anscheinend jeder (incl. mir) seinen persönlichen Erklärungsversuch einbringt. Das gehörte eigentlich im Sinne von WP:TF allesamt gestrichen und auf die in der Literatur auffindbaren Erklärungen und Beweise reduziert. --AchimP 18:03, 24. Mär. 2009 (CET)

„Klassisch“ sind AFAIK mindestens die „einfache Erklärung“, die Tausend-Tore-Variante, und die über Bayes' Theorem. Die finden sich doch schon bei Frau vos Savant. Und auf Nijdams Wertetabelle ist doch bestimmt auch schon einer vor ihm gekommen, oder etwa nicht? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 18:10, 24. Mär. 2009 (CET)

An M.ottenbruch: Was ist Zufallsverteilung? Angegeben ist, dass der Moderator eine Zufallsverteilung verwendet, aber nicht, welche. Und genau das habe ich geschrieben. Es steht in den Regeln nichts von "Gleichverteilung" - das ist eine implizite Annahme. Aber man kann leicht feststellen, dass das bei einem einfachen Spiel ohne Vergangenheit keine Rolle spielt. Wenn dagegen wiederholte und beobachtbare Spiele vorliegen, könnte es eine Rolle (bei "schrägem Verhalten" des Moderators )spielen, wie leicht zu beweisen ist.

Zu den "klassischen" Varianten gehört noch das Experiment. Das kommt auch schon bei Frau Savant vor. --Hutschi 09:06, 25. Mär. 2009 (CET)

Mit Experimenten soll man, gleich wie mit Erklärungen, vorsichtig sein. Es gibt viele Variante, die zwar alle die richtige Antwort produzieren, aber oft nicht das richtige Problem beeinhalten.Nijdam 00:22, 26. Mär. 2009 (CET)

Das ist wahr. Allerdings kann man ein Experiment so aufstellen, dass es das tut. Absolute Sicherheit liefert ein Experiment nicht. Das zeigt die Frage: Bei zehn zufällig gewählten ganzen Zahlen aus der Menge (1,2,3) ergibt sich folgende Folge: 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung? Man kann sie nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit angeben. Es kann also durchaus eine Gleichverteilung sein. Ein Problem ist, dass in dos Savants Aufgabe die Bedingungen nicht klar definiert sind. Deshalb kann man ein Experiment aufstellen, dass klar zu sein scheint, es aber nicht ist. --Hutschi 09:45, 26. Mär. 2009 (CET)

Das meine ich aber nicht so. Es gibt Simulatione die das Spiel ganz nachahmen, und aufzahlen wie oft man beim Wechslen gewinnt. Das Ergebnis liegt bei 2 aus 3. Trotzdem ist das Experiment nicht richtig. Nijdam 00:14, 28. Mär. 2009 (CET)

Ich tue bestimmt nicht an TF, versuche nur hier deutlich zu machen was man im Artikel von Morgan et al., das ausfuhrlich das Problem analyziert, finden kann. Nijdam 11:46, 25. Mär. 2009 (CET)

Es ist äußerst bedauerlich, dass dieser Artikel bis auf die erste Seite online nicht frei verfügbar ist. Das könnte hier m. E. einiges an Klarheit schaffen. --AchimP 14:46, 25. Mär. 2009 (CET)

hier ist es als PDF: [2] Gruß --Gerhardvalentin 16:54, 25. Mär. 2009 (CET)

Danke! Ich werde es mir mal durchlesen (dauert sicher mindestens bis zum Wochenende) und dann ggf. für die eine oder andere Stelle im Artikel als Einzelnachweis einfügen. Als Einzelnachweis müsste es ja sogar gar nicht online verfügbar sein, es gehen ja auch Bücher - aber gelesen sollte man es haben. ;-) --AchimP 13:33, 26. Mär. 2009 (CET)

(BK) Herzlichen Dank! Nun bekommt man wenigstens eine Ahnung davon, worauf Nijdam die ganze Zeit hinaus will: In diesem Artikel wird die in unserem Artikel unter „Sprachlich einfache Erklärungen“ dargestellte (die Nijdam wohl mit der „vereinfachten Erklärung“ verwechselt hat), als „Solution F1“, also als „falsche Erklärung Nr. 1“ bezeichnet, und zwar mit folgender Begründung: „F1's beauty as a false solution is that it is a true statement! It just does not solve the problem at hand. F1 ist a solution to the unconditional problem, which may be stated as follows: ‚You will be offered the choice of three doors, and after you choose the host will open a different door, revealing a goat. What is the probability that you win if your strategy is to switch?‘ The distinction between the conditional and and unconditional situations here seems to confound many, from whence much of the pedagogic and entertainment value is derived.“ Das klingt auf den ersten Blick sehr überzeugend - so lange man im Auge behält, daß der Artikel sich mit der Leserbrief-Aufgabe beschäftigt (man beachte die Erscheinungsdaten der Kolumnen und des Artikels!), nicht mit der seitdem etablierten „exakten“ Aufgabenstellung des Ziegenproblems. Letztere ist der hier dargestellten Alternativformulierung logisch äquivalent, weswegen die hier so genannte „Solution F1“ sehr wohl eine zulässige Lösung des Ziegenproblems in der hier in Rede stehenden Fassung ist. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:53, 26. Mär. 2009 (CET)

Obwohl das problem nicht genau in der gleiche Bewortungen formuliert ist, trifft die Kritik auch hier zu. "F1", d.h. die vereinfachte Erklärung, ist falsch (unvollständig). Nijdam 23:49, 26. Mär. 2009 (CET)

Die Lösung beruht auf der (offensichtlichen) Symmetrie des Problems. Man kann davon ausgehen, dass das bekannt ist, denke ich. Es müssen nicht unbedingt alle Tatsachen beschrieben werden. (So bedeutet ja implizit auch "zufällig auswählen", dass eine Gleichverteilung vorausgesetzt werden kann.) --Hutschi 09:19, 27. Mär. 2009 (CET)

Erstaunlich, daß der Artikel sagt: „F1 […] is a true statement!“ Ganz so falsch kann sie also nicht sein. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 09:44, 27. Mär. 2009 (CET)

Erstaunlich, 1+1 = 2 ist auch eine ware Aussage.Nijdam 00:05, 28. Mär. 2009 (CET)

Sehr witzig. „1 + 1 = 2“ erklärt aber nicht, warum man durch Wechseln doppelt so häufig ein Auto gewinnt wie ohne Wechseln. Die oben genannte „Solution F1“ tut das. (Auch wenn es, wie ich bereits versucht habe, Dir verständlich zu machen, nicht die „vereinfachte Erklärung“ ist.) Und es ist weder dem Artikel noch Dir bisher gelungen, darzustellen, was an dieser Erklärung unvollständig im Bezug auf die heutige, exakte Formulierung des Ziegenproblemes sein soll. (Daß sie bezüglich der Leserbriefaufgabe unvollständig ist, ist unstreitig.) Wenn Du die Wahl hast, entweder alle Gewinne hinter dem ursprünglich von Dir gewählten Tor zu bekommen oder alle Gewinne hinter den übrigen Toren, dann stehen Deine Chancen bei insgesamt mehr als zwei Toren besser, wenn Du die Gewinne hinter den übrigen Toren wählst. Das ist völlig unabhängig davon, ob und wieviele Tore der Spielleiter öffnet, solange die Aufgabenstellung der geschilderten logisch äquivalent bleibt. Wäre es anders, könntest Du ja langsam mal angeben, inwiefern die Erklärung unvollständig ist. (Nein, das ist weder eine Aufforderung, mich zu beleidigen, noch eine Aufforderung, Dir eine neue Geschichte auszudenken.) -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 10:53, 28. Mär. 2009 (CET)

Erkläre mir doch Folgendes: das Auto wird zufällig verteilt, also ist die Wahrscheinlichkeit 1/3 es ist hinterm Tor, auch 1/3 es ist hinterm Tor 2 und auch 1/3 es ist hinterm Tor 3. Aber was bedeutet dann das das Auto mit Wahrscheinlichkeit 2/3 hinterm ungeöffneten Tor steht? Das kann nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit sein, oder? Nijdam 22:05, 28. Mär. 2009 (CET)

Wir halten fest, daß Du auch auf mehrfaches Befragen nicht erklären kannst, inwiefern die Erklärung unvollständig ist. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 16:55, 29. Mär. 2009 (CEST)

Nein, 2/3 ist nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit dieses Tores hat sich von 1/3 auf 2/3 verdoppelt, da in der Menge der beiden nicht gewählten Tore, die beide je eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 hatten (obwohl sich ja gemäß Spielregel zumindest eine Niete hinter diesen beiden Toren verbergen muss), jetzt genau eine Niete offengelegt worden ist. Zuvor: Die beiden nicht gewählten Tore enthalten (weil es zwei sind und nur ein Auto existiert) also zumindest eine Niete. Obwohl sie (als nicht gewählte Restmenge) zumindest eine Niete enthalten müssen, bezifferst Du die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser beiden Tore mit je 1/3. Das ist auch korrekt.

Auch nachdem aber jenes Tor, das eine (diese besagte sichere?) Niete enthält (Mindestzahl von Nieten-Toren, die kein Auto enthalten können), gezeigt wird und nun unverändert weiterhin mit Sicherheit kein Auto enthalten kann, behält die Restmenge der zwei nicht gewählten Tore (oder tausend oder eine Million, Zahl kann bei gleicher Problematik beliebig hoch angesetzt werden) aber ihre Gesamt-Wahrscheinlichkeit.

Übrigens: Die Verteilung der drei Objekte war bereits VOR der Wahl des Kandidaten erfolgt, nach dem Öffnen des Nieten-Tores hat keine "Neu-Verteilung von zwei Objekten" hinter den zwei noch geschlossenen Toren stattgefunden. Die Perspektive geht vom ursprünglich gewählten Tor aus! You got mail (SPAM?). Gruß --Gerhardvalentin 01:21, 29. Mär. 2009 (CET)

Weil nach dem öffnen eins der Toren sich etwas geändert hat, ist 2/3 die bedingte Wahrscheinlichkeit vorausgesetzt die Nummer des geöffneten Tors. Die unbedingte ist (noch immer) 1/3. Und auch ist jetzt 1/3 die bedingte Wahrscheilichkeit unter der gleiche Voraussetzung das Auto ist hinterm gewählten Tor. Der numerischer Wert hat sich nicht geändert, aber die Art der Wahrscheinlichkeit. Nijdam 18:12, 29. Mär. 2009 (CEST)

Wenn dem so wäre (es ist natürlich nicht so!), dann wäre entweder die Wahrscheinlichkeit, daß die sichtbare Ziege das Auto ist, ebenfalls 1/3, oder die Summe der Wahrscheinlichkeiten wäre nicht eins, sondern 2/3. In der mir geläufigen Welt sind Ziegen keine Autos, und in der mir geläufigen Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten stets eins. Irgendetwas stimmt mit Deiner Welt oder Deiner Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 08:27, 30. Mär. 2009 (CEST)

Huh? Nijdam schrieb doch: "Unbedingt", d.h. mit allen Toren geschlossen, ist p(Auto Tor 1) = p(Auto Tor 2) = p(Auto Tor 3) = 1/3. Nach dem Öffnen eines Tores gelten andere Wahrscheinlichkeiten, nämlich bedingte. Dann gilt bei z. B. Wahl von Tor 1 und Öffnen von Tor 3 ("2/3 [...] vorausgesetzt die Nummer des geöffneten Tors") p(Auto Tor 2|Tor 3 geöffnet) = 2/3 und ("1/3 die bedingte Wahrscheilichkeit unter der gleiche Voraussetzung das Auto ist hinterm gewählten Tor") p(Auto Tor 1|Tor 3 geöffnet) = 1/3.

Die Summe p ist also 2/3 + 1/3 = 1 und die sichtbare Ziege ist Auto mit der Wahrscheinlichkeit p(Auto Tor 3|Tor 3 geöffnet) = 0. --AchimP 11:21, 30. Mär. 2009 (CEST)

Vielleicht verstehe ich einfach sein Deutsch nicht, aber wie verstehst Du in diesem Zusammenhang die Aussage:„Die unbedingte ist (noch immer) 1/3.“? Wenn sich zwei unbedingte Wahrscheinlichkeiten von 1/3 nicht geändert haben und eine dritte null geworden ist, dann bleibt für mich als Summe 2/3. Oder die dritte ist auch 1/3 geblieben, was hier bedeuten würde, daß die Ziege mit einer Wahrscheinlichkeit von 33 % ein Auto ist. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:45, 30. Mär. 2009 (CEST)

"Unbedingt", dass heisst ohne die Bedingung, dass Tor 3 geöffnet ist, ist die dritte nicht null "geworden", da das Tor (noch) zu ist. Die Bedingung "Tor 3 geöffnet" ist (noch) nicht erfüllt. Wir wissen (noch) nicht, dass dahinter eine Ziege steht.

Auch wenn wir in Gedanken das Tor schon mal geöffnet hatten, können wir immer noch die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit mit geschlossenem Tor berechnen (=1/3). Die ändert sich nicht. --AchimP 14:18, 30. Mär. 2009 (CEST)

Ach so. Auf den Gedanken, daß er mit „nach dem öffnen eins der Toren“ gemeint haben könnte, daß „das Tor (noch) zu ist“, bin ich in der Tat nicht gekommen. Unter diesen Umständen ist der Vortrag natürlich sehr überzeugend. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 16:59, 30. Mär. 2009 (CEST)

:-)) Hatter doch nicht geschrieben und nicht gemeint. Auch nach dem Öffnen eines der Tore ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit die von vor dem Öffnen. Deswegen heisst sie unbedingt. Sie ist die Wahrscheinlichkeit für Auto bei geschlossenem Tor. Sie (=die unbedingte W'keit) ändert sich nicht dadurch, dass ich ein Tor öffne. Sie sagt nichts aus über den Fall des geöffneten Tores. Es gibt aber eine andere Wahrscheinlichkeit (die bedingte), die Aussagen macht über den Fall des geöffneten Tores. --AchimP 19:18, 30. Mär. 2009 (CEST)

Geschrieben hat er es schon, und was er meint, versuche ich ja gerade herauszufinden. Wenn ich so Sachen lese wie: „Nach dem Öffnen eines der Tore“ (und Betrachtung der dahinter stehenden Ziege) „ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit“ (daß die Ziege, die ich sehe, tatsächlich ein Auto ist) „die vor dem Öffnen“, habe ich leichte Schwierigkeiten, den praxisorientierten Ansatz des Gedankenganges nachzuvollziehen. Praktisch ist es nämlich vielmehr so, daß die Wahrscheinlichkeit, daß hinter mindestens einer der beiden nicht gewählten Türen sich eine Ziege verbirgt, sich durch das Öffnen einer dieser Türen und Präsentation der Ziege nicht ändert. Sie war vorher eins und ist hinterher immer noch eins. Die Wahrscheinlichkeit, daß sich hinter derjenigen anderen Türe, die nicht geöffnet wird, ein Auto verbirgt, ist ebenfalls die gleiche wie vorher, nämlich 2/3 (*). Nur nach diesen Wahrscheinlichkeiten ist aber in der Aufgabenstellung (implizit!) gefragt. Insbesondere ist nicht gefragt, hinter welcher der vom Kandidaten nicht gewählten Türen sich das Auto gegebenenfalls verbirgt. Die Frage lautet vielmehr: „Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?“ -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 08:30, 31. Mär. 2009 (CEST)

PS: (*) Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit funktioniert über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: p(A)= 1 - p(~A). Die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto hinter der ursprünglich gewählten Türe steht, ist unstreitig 1/3, also ist die Wahrscheinlichkeit, daß es hinter einer anderen Türe steht: 1 - 1/3 = 2/3. Weitere Erkenntnisse hierzu verlangt die Aufgabenstellung nicht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 08:42, 31. Mär. 2009 (CEST)

Du hast es noch immer nicht verstanden. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto hinter der ursprünglich gewählten Türe steht, ist unstreitig 1/3, und auch für den beiden anderen Türen ist sie unstreitig 1/3! Das möchte doch inzwischen klar sein. Es kommt darauf an dass auch die bedingte Wahrscheinlichkeit (d. h. in der neue Situation), daß das Auto hinter der ursprünglich gewählten Türe steht, 1/3 ist. Erst als das bewiesen ist, folgt dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß es hinter der anderen Türe steht: 1 - 1/3 = 2/3 ist. Und daher ist die vereinfachte Erklärung unvollständig, und deshalb keine Erklärung. Nijdam 15:03, 31. Mär. 2009 (CEST)

Die Situation für die ursprünglich gewählte Türe ist unabhängig davon, welche der anderen Türen geöffnet wird. Lies endlich die Defintion von stochastischer Unabhängigkeit und die Spielregeln! Eine rückwärts gerichtete Kausalität gibt es nur in der Quantenmechanik (und auch da nur möglicherweise), nicht in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:40, 31. Mär. 2009 (CEST)

Nijdam, Du hast oben geschrieben (annähernd zitiert):
Durch das Öffnen eines in der Restmenge zwangsläufig vorhandenes Nieten-Tors ändern sich grundsätzlich alle Wahrscheinlichkeiten. D.h. es gibt eine neue Bedingung. Und so, wie sich die Wahrscheinlichkeit ändert, dass das Auto hinter dem nicht geöffneten alternativen Tor steht, weil sie nun eine bedingte W'keit ist, so ist auch die W'keit des gewählten Tors nun eine bedingte W'keit, aber mit demselben Wert wie die unbedingte. 12:22, 25. Mär. 2009 (Zitat-Ende)
Habe ich sinngemäß richtig zitiert? Und kann ich das so verstehen:
Unbedingte Wahrscheinlichkeit aller drei Tore je 1/3. Nach der Bezeichnung des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores:
Unbedingte Wahrscheinlichkeit des gewählten Tores 1/3, unbed.W'keit der beiden nicht gewählten Tore je 1/3 (beide zusammen 2/3)
Nach dem Öffnen eines in der Restmenge lt. Spielregel vorhandenen Nietentores:
Unbedingte und gleichzeitig nun bedingte W'keit des gewähltes Tores 1/3
Unbedingte und gleichzeitig nun bedingte W'keit der gesamten Restmenge der beiden nicht gewählten Tore total 2/3 – und zwar:

Unbedingte W'keit des geöffneten Nieten-Tores 1/3, dessen bedingte W'keit nach dessen Öffnen jedoch Null
Unbedingte W'keit des zweiten nicht gewählten, noch verschlossenen Alternativ-Tores 1/3, dessen bedingte W'keit nun nach dem Öffnen des Nieten-Tores 2/3

Habe ich das so richtig verstanden? Gruß --Gerhardvalentin 18:29, 30. Mär. 2009 (CEST)

Nur teilweise. Es lautet nicht: Unbedingte und gleichzeitig nun bedingte W'keit des gewähltes Tores 1/3, sondern: Gleichzeitig ist die unbedingte und die bedingte W'keit des gewähltes Tores 1/3. Und das braucht bewiesen zu werden. Die unbedingte und die bedingte sind nicht die gleiche W'keiten, haben aber für dieses Ereignis den gleichen Wert. Und es hat wenig Zweck von einer Restmenge zu reden. Es betrifft bloß das nicht geöffnete andere Tor. Nijdam 15:23, 31. Mär. 2009 (CEST)

Wenn Du nun bitte noch belegen könntest, warum jedes beliebige Ereignis die Wahrscheinlichkeit jedes beliebigen anderen Ereignisses beeinflussen sollte, könnte man die Prächtigkeit Deiner Argumentation erst vollends ermessen, Hilfsweise würde es ausreichen, zu erläutern, warum die Öffnung eines Nietentores, das per definitionem nicht das vom Kandidaten gewählte Tor sein kann, die Wahrscheinlichkeit beeinflussen soll, daß der Kandidat vorher das richtige Tor gewählt hat. Um die Unsinnigkeit dieser Theorie zu erkennen, braucht man nicht einmal etwas von Wahrscheinlichkeitsrechnung zu verstehen. Es reicht die Lebenserfahrung, daß man durch gegenwärtige Handlungen nicht die Vergangenheit verändern kann. Ansonsten hätte ich eine interessante Versuchsanordnung mit einem Lottoschein und einem Fernsehgerät anzubieten, um Deine Weltsicht experimentell zu überprüfen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 16:49, 31. Mär. 2009 (CEST)

Huh? Selbstverständlich bezieht sich Nijdam beim "das" in "Und das braucht bewiesen zu werden." nur auf die bedingte W'keit, nicht auf die unbedingte. Er behauptet also keineswegs, dass "jedes beliebige Ereignis die Wahrscheinlichkeit jedes beliebigen anderen Ereignisses beeinflussen sollte". Und versuch doch bitte sachlich zu bleiben. Du kannst auch bei Nijdam davon ausgehen, dass er vom Fach ist. ;-) --AchimP 19:41, 31. Mär. 2009 (CEST)

Der einzige von Nijdam genannte Grund, warum sich Wahrscheinlichkeiten ändern sollten, ist das Öffnen des Tores. Da muß doch die Frage erlaubt sein, warum sich durch das Öffnen des Tores Wahrscheinlichkeiten ändern sollten. Ich habe diese Frage schon mehrfach gestellt, aber nie eine Antwort darauf bekommen. Es gibt meines Erachtens nur zwei Möglichkeiten: Entweder jedes Ereignis ändert durch seinen bloßen Eintritt beliebige Wahrscheinlichkeiten, oder irgendetwas am Öffnen dieses Tores ist so besonders, daß gerade dieses Ereignis Wahrscheinlichkeiten vorhergehender Ereignisse nachträglich ändert. Mir ist das Eine so recht wie das Andere, nur erklärt möchte ich es haben. Ich versuche übrigens durchaus, sachlich zu bleiben, auch wenn es mir bei dem Aufwand, den man betreiben muß, um wenigstens ein kleines Fitzelchen Information zu bekommen, zunehmend schwerer fällt. Ich war beispielsweise bisher davon überzeugt, Nijdam wolle darauf hinaus, daß sich durch das Öffnen der Tür etwas an der Wahrscheinlichkeit für die tatsächliche Position des Autos in dem Falle ändert, daß der Kandidat zunächst eine falsche Türe gewählt hat (dem ist natürlich so, es ist aber für die Lösung des Problemes irrelevant). Daß er tasächlich glaubt, das Öffnen der Türe würde nachträglich die Wahrscheinlichkeit für die ursprüngliche Richtigkeit der zufälligen Wahl des Kandidaten ändern, konnte man ja aus seinen anfänglichen Einlassungen nicht entnehmen, und dauf Rückfragen antwortet er nicht (zumindest nicht so, daß die Antwort einen Zusammenhang zur Frage hätte). Im übrigen ist ja längst nachgewiesen, daß die Frage, ob der Kandidat durch Wechseln oder durch Behalten das Auto gewinnt, völlig unabhängig davon ist, welches Tor der Spielleiter öffnet (siehe Nijdams Wertetabelle). -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 20:23, 31. Mär. 2009 (CEST)

@M.ottenbruch: "inference is concerned with logical connections, which may or may not correspond to causal physical influences" (ET Jaynes in Probability Theory: The Logic of Science, Kap. 3, Abschnitt Logic Versus Propensity).

Danke für diese Quelle! Mit Jaynes hatte ich mich bisher nicht beschäftigt. Das bestärkt aber nur meine Überzeugung, daß man darüber intensiv nachdenken sollte. Die doch eher zurückhaltende Formulierung („inference is concerned […] may or may not correspond to causal physical influences“) belegt jedenfalls nicht die Idee, jede „einfache Erklärung“ müsse einen exakten mahtematischen Beweis abbilden. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 00:28, 6. Apr. 2009 (CEST)

Ansonsten bin ich der Meinung von Achim und Nijdam, dass in der Vereinfachten Erklärung erwähnt werden sollte, dass das noch kein Beweis ist. Es muss m.E. weiter unten erwähnt werden, dass unbedingte und bedingte W. nicht denselben Wert haben müssen, hier für Tor 1 aber haben, und dass genau das der Kern des Beweises ist, egal in welcher Form er dann gebracht wird (Baum, Baum in Kastenform von Nijdam, Symmetrieargument, Restmenge). LG – Rainald62 18:41, 5. Apr. 2009 (CEST)

??? Für die Tore 2 und 3 hätten sie ebenfalls den gleichen Wert, wenn der Kandidat dieses zuerst gewählt hatte. Das ist AFAIU mit „Symmetrie“ gemeint. Die Gleichwertigkeit (oder eben nicht) der verschiedenen Argumentationen liegt IMHO nicht darin, daß sie denselben „Kern“ haben müssen. Die „Schönheit“ eines Beweises liegt IMHO subjektiv vor allem in seinem „Aha“-Effekt, also darin, daß ich eine mir bis dahin unbekannte Folgerung aus einem mir vorher schon bekannten Zusammenhang ziehen kann. Deswegen sind aber andere Wege nicht „falsch“ oder „unvollständig“.
Ich war sehr überrascht, als ich irgendwann bemerkt habe, daß man den Satz des Pythagoras über die binomischen Formeln beweisen kann, und noch komischer fand ich es, als die Wikipedia mir gezeigt hat, daß es auch über ähnliche Dreiecke geht. Trotzdem wäre ich nie auf die Idee gekommen, daß jedes einzelne mathematische Konzept, daß man verstanden hat, einem das Recht gibt, jedes andere Konzept als „falsch“ oder „unvollständig“ zu diffamieren.
Mich erinnert das alles sehr stark an die alte Weisheit: „Wenn man nur einen Hammer hat, dann sieht die ganze Welt wie ein Nagel aus.“ So sollte man aber keine Wissenschaft betreiben - und erst recht keine Enzyklopädie -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 23:55, 5. Apr. 2009 (CEST)

@Jaynes: Zurückhaltende Formulierung wäre untypisch für ihn (wenn ein Kollege sich irrt, wird das klar ausgedrückt und ebenso klar gezeigt). Für mich sagt der Satz, dass die Richtung der logischen Schlussfolgerung der Richtung der physikalischen Kausalität entgegengerichtet sein kann. Was wird da zurüchgehalten?

„Inference is concerned“ würde ich nicht übersetzen mit: "Ich bin davon überzeugt, daß …", sondern eher mit: „Es wird erwogen, daß möglicherweise ein Zusammenhang …“ Nur das meinte ich mit „zurückhaltend“. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 23:17, 6. Apr. 2009 (CEST)

@???: Dass das zuerst gewählte Tor als Tor Nummer 1 bezeichnet wird, hatte ich angesichts der vorangegangenen Diskussion einfach angenommen.

Dann hatte ich Dich falsch verstanden. Deswegen die Fragezeichen, da ich mir nicht sicher war. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 23:17, 6. Apr. 2009 (CEST)

@Pythagoras-Beweis über binomische Formeln: Dass man die Formeln in einem Beweis verwenden kann, ist klar. Falls jemand aber behauptet, eine binomische Formel wäre schon das Wesentliche seines Beweises, würde ich ihn fragen, wie denn die geometrischen Voraussetzungen des Satzes (insbes. der rechte Winkel) in seinen Beweis Eingang finden. Vielleicht solltest Du dir den von dir erwähnten Beweis noch einmal daraufhin ansehen – das schult den Blick fürs Wesentliche – statt andere zu diffamieren (von wegen "nur einen Hammer haben"). LG – Rainald62 17:57, 6. Apr. 2009 (CEST)

Nun, die rechten Winkel bsplsw. finde ich in der Defintion des Quadrates. Ich habe auf die Erkenntnis angespielt, daß man einem Quadrat mit der Kantenlänge (a+b) sowohl zwei Quadrate mit den Kantenlängen a und b sowie vier rechtwinklige Dreiecke mit den Kantenlängen a, b und c einbeschreiben kann, als auch ein Quadrat mit der Kantenlänge c sowie vier rechtwinklige Dreiecke mit den Kantenlängen a, b und c. (a+b)² = a²+2ab+b² = c²+2ab => a²+b²=c² Da ich bis zu meiner Abiturprüfung in Mathematik deutlich mehr Wahrscheinlichkeitsrechnung als Beweise geometrischer Sätze (if any!) genießen durfte, war das für mich ein überraschender Gedanke, von dem ich heute noch weiß, daß er mir (Jahrzehnte später) irgendwann in der Badewanne gekommen ist.
Was den „Hammer“ angeht, so halte ich meine Formulierung für (wiederum) eher zurückhaltend und keinesfalls für „diffamierend“. Sie war vor allem aber nicht auf Dich gemünzt. Wäre sie diffamierend oder von mir so gemeint, würde ich allerdings mit einem weiteren Sprichwort bezüglich der Akustik in den Wald hinein usw. antworten (natürlich auch nicht auf Dich bezogen). Um das zu verstehen, müßtest Du allerdings einmal die komplette Diskussion lesen, was ich Dir nicht ruhigen Gewissens empfehlen könnte, falls Du es nicht schon getan hast. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 23:17, 6. Apr. 2009 (CEST)

Analyse

Ich hoffe jeder möchte etwas vom Wahrscheinlichkeitstheorie lernen. Das kann anhand dieses Problems. Ich werde jetzt einige Sachen auflisten, und sage mir bitte was man davon nicht versteht.

1. Die Wahrscheinlichkeit bevor etwas geschehen ist heisst (unbedingte) Wahrscheinlichkeit. "Unbedingte" steht dabei zwischen Klammern, denn man braucht es nur zum Unterschied mit "bedingte".
2. Die Nummer des Tors mit dem Auto and die Nummer des gewählten Tors sind unabhänging.
3. Deshalb dürfen wir als unbedingte Situation nehmen dass der Kandidat das Tor 1 gewählt hat.
4. Für jedem Tor ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit 1/3 das Auto ist dahinten.
5. Also ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit das Auto ist hinterm gewählten Tor 1/3.
6. Der Moderator wird jetzt eins der Tore 2 und 3 öffnen und eine Ziege zeigen.
7. Wenn er dabei eine Wahl hat, wählt er zufällig eins aus.
8. Jetz müssen wir unterscheiden ob der Moderator das Tor 2 oder das Tor 3 öffnet.
9. Nehmen wir an er öffnet das Tor 3 und wir sehen eine Ziege,
10. Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht (warum sollten sie auch?), also ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit das Auto steht z. B. hinterm Tor 3 1/3.
11. Die bedingte Wahrscheinlichkeit aber von diesem Ereignis ist selbstverständlich 0, wir sehen ja deutlich 'ne Ziege.
12. Ab nun interessieren uns eigentlich nur noch bedingte Wahrscheinlichkeiten.
13. Und deshalb auch die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinterm Tor 1. Unbedingt galt: 1/3, aber ist unter die Bedingung der Wert auch 1/3? Das muss bewiesen werden, denn es ist nicht automatisch der Fall!
14. Man kan beweisen das die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinterm Tor 1 auch 1/3 ist. Und folglich ist die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinterm Tor 2 gleich: 1 - "Tor 1" - "Tor 3" = 1 - 1/3 - 0 = 2/3. Alles bedingt, vorausgesetzt der Moderator hat das Tor 3 geöffnet.
15. Man kan das Beweis auf verschieden weise liefern, durch berechnen, oder mit Argumenten der Symmetrie, aber ohne Beweis geht's nicht.
16. Wie auch, es sind die bedingte Wahrscheinlichkeiten worauf die Entscheidung des Kandidaten stützt.

Fehlt noch was? Nijdam 11:48, 1. Apr. 2009 (CEST)

8. Wieso müssen wir „unterscheiden ob der Moderator das Tor 2 oder das Tor 3 öffnet“?

12. Wieso „ interessieren uns [ab nun] eigentlich nur noch bedingte Wahrscheinlichkeiten“?

13. Wieso sollte sich die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein die Türe mit dem Auto wählt, dadurch ändern, daß eine andere Türe geöffnet wird? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 12:17, 1. Apr. 2009 (CEST)

8. Ich kann auch fragen: welches Tor wird geöffnet? Denn eins der Tore wird doch geöffnet.

12. Sobald etwas geschehen ist, d. h. wenn ein Ereignis eingetreten ist, ist ein Teil der Ereignissen mit Sicherheit bekannt, und diese Information möchte man doch nützen. Bestimmt wird der Kandidat überprüfen ob dieser Information ihm nützlich ist. Es könnte sein dass die bedingte Wahrscheinlichkeit ein anderer Wert hat als die Unbedingte. Nimm als Beispiel du würfelst ein Mal. Und ich sage dir das Ergebnis sei gerade. Was ist die Wahrscheinlichkeit du hast 2 geworfen?

13. Die Frage ist: "Warum hat sie sich nicht geändert?" D. h. warum hat die bedingte W'heit den gleichen Wert als die Unbedingte. Es handelt sich sowieso um andere W'heiten. Man kan zuvor nicht wissen ob die bedingte W'heit den gleichen Wert hat als der Unbedingte. Im Beispiel mit eine andere Strategie des Moderators, ändert sich die W'heit des gewählten Tors durch das öffnen eins der anderen Toren tatsächlich.

Nijdam 14:32, 1. Apr. 2009 (CEST)

8. Für die Beantwortung der in Rede stehenden Frage ist es völlig unerheblich, welches Tor der Moderator öffnet. Siehe Deine Wertetabelle.

12. Es gibt hier nichts zu nützen, weil die Ereignisse keinen Einfluß auf die optimale Strategie haben.

13. „Warum nicht?“ ist sicherlich eine der originelleren Beweisstrategien. „Beweisen Sie den Satz des Pythagoras!“ „Die Fage ist: ‚Warum sollte der Inhalt des Hypotenusenquadrates nicht gleich der Summe der Kathetenquadrate sein?‘“ Wenn es so offensichtlich wäre, daß die Wahrscheinlichkeiten sich ändern müssen, dann sollte es Dir doch nicht so schwer fallen, das auch darzustellen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 11:08, 2. Apr. 2009 (CEST)

8. Deine Aussage braucht ein Beweis.

12.Wie weisst du das?

13.In der neue Situation hat sich bestimmt etwas geändert, namentlich die W'keit das Auto ist hinterm Tor 2. Unbedingt 1/3, bedingt 2/3. In einer neue Situation ist prinzipiell alles anders. Sowieso berechne ich nun bedingte W'keiten. Und es ist nicht selbstverstandlich dass die unbedingte un die bedingte W'keit auf das Auto hinterm Tor 1 gleich sind. Das braucht Beweis. <br /.Nijdam 14:21, 2. Apr. 2009 (CEST)

8. Ich schrieb doch: Siehe Deine Wertetabelle. Der Ausgang des Spieles hängt einzig und allein davon ab, ob der Kandidat zu Beginn die Tür mit dem Auto gewählt hat oder nicht. Falls ja, verliert Wechsel, ansonsten gewinnt Wechsel - völlig egal, welche Türe der Spielleiter öffnet.

12. Indem ich sie Spielregel sinnentnehmend lese und die Möglichkeiten durchdenke.

13. Meine Frage lautete: „Wieso sollte sich die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein die Türe mit dem Auto wählt, dadurch ändern, daß eine andere Türe geöffnet wird?“ Ich hatte bereits an anderer Stelle darauf hingewiesen, „daß sich durch das Öffnen der Tür etwas an der Wahrscheinlichkeit für die tatsächliche Position des Autos in dem Falle ändert, daß der Kandidat zunächst eine falsche Türe gewählt hat (dem ist natürlich so, es ist aber für die Lösung des Problemes irrelevant).“ Es wäre schön, wenn Du endlich einmal die Frage beantworten würdest, die ich jetzt AFAIR zum fünften Mal gestellt habe. Die „W'keit das Auto ist hinterm Tor 2“ ist jedenfalls für die gestellte Aufgabe völlig wumpe. Diese Aufgabe lautet lediglich: „Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?“ Dazu muß nicht die „W'keit das Auto ist hinterm Tor 2“ kennen, sondern nur die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto hinter einem anderen als dem ursprünglich vom Kandidaten gewählten Tor steht. Diese Wahrscheinlichkeit ist 2/3, und zwar von Anfang an, ohne jede bedingte Wahrscheinlichkeit. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:20, 2. Apr. 2009 (CEST)

8. Schriebst du, aber was soll es. Meiner Wertetabelle kann ich doch nicht entnehmen welches Tor der Moderator öffnet, oder? Du verstehst offensichtlich nicht dass für beiden Tore die Losung zwar equivalent ist, aber dass der Kandidat nur ein bestimmtes Tor geöffnet sieht. Und der ist es der entscheiden muss.

12. ?????

13. Alles was man behauptet und nicht von vornehin bekannt ist, braucht Beweis. Meinetwegen nimmst du Tor Nummer 3, wenn es du lieber ist, aber wenn der Kandidat das Tor 1 gewählt hat, kann der Moderator nur Tor 2 oder Tor 3 öffnen. Spielst du für Moderator und öffne eins der Tore. Sagst du mir welches du geöffnet hast? (nicht signierter Beitrag von Nijdam (Diskussion | Beiträge) 19:02, 2. Apr. 2009 (CEST))

8. Ich habe auch nicht behauptet, daß man Deiner Wertetabelle entnehmen könnte, welches Tor der Moderator öffnet. Man kann Deiner Wertetabelle aber entnehmen, daß es genau neun gleichwahrscheinliche Ausgangssituationen nach Schritt drei der Aufgabenstellung gibt, von denen jede einzelne nach dem regulären „Abspiel“ zu genau einem relevanten Ergebnis im Sinne der Fragestellung führt, und zwar sechs zu Gewinn bei Wechsel und drei zu Verlust bei Wechsel. Insbesondere kann man feststellen, daß jede Ausgangssituation immer zu dem gleichen Ergebnis führt, unabhängig davon, welches Tor der Moderator (bei regelkonformem Abspiel!) öffnet. Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Abspiele bei gleicher Ausgangssituation sich zur Wahrscheinlichkeit dieser Ausgangssituation addieren müssen (auch wenn Du das bestreitest), ergibt sich daraus die Gesamtwahrscheinlichkeit für Gewinn bei Wechsel von 2/3. Da es insgedsamt nur neun Ausgangssituationen nach Schritt drei mit insgesamt nur zwölf möglichen Abspielen gibt, ist es übrigens legitim, diesen „Beweis“ schlicht durch Abzählen zu führen. („Beweise, daß bei einem regulären Würfel gleichwahrscheinlich ist, mit einem Wurf eine gerade oder eine ungerade Zahl zu würfeln!“ „Beweis: 1,3,5 sind ungerade, 2,4,6 sind gerade, Wahrscheinlchkeit für beide: 3/6 = 1/2. q.e.d.!“)

12. !!!!!

13: Eben. Und Du behauptest, durch das Öffnen einer Türe könne sich nachträglich die Wahrscheinlichkeit ändern, daß der Kandidat von vornherein die Türe gewählt hat, hinter der das Auto steht. Dann beweise es bitte auch! -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 08:43, 3. Apr. 2009 (CEST)

X. Bevor der Moderator ein Tor öffnet, gibt es 9 Möglichkeiten. Die sind übrigens nicht notwendig gleich Wahrscheinlich, denn wir wissen nicht wie der Kandidat seinen Wahl trifft. Das ist aber nicht so wichtig. Wichtiger ist das im nächsten Schritt laut der Spielregel der Moderator ein Tor öffnen muss. Und erst danach wird den Kandidaten gefragt ob er wechslen will. Man kann beweisen das in jeder Situation die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto ist hinterm gewählten Tor, 1/3 ist. Das muss aber bewiesen werden, es ist nicht selbsverständlich. Es handelt sich nicht um die Unbedingte, sondern um die Bedingte. Die Unbedingte ist 1/3. Aber warum soll die Bedingte auch 1/3 sein? Naturlich ist die Summe der W'keiten gleich 1, aber nur wenn mann derselbe Art W'keiten addiert. D. h. die Summe der unbedingte W'keiten ist 1/3+1/3+1/3=1, und auch die Summe der Bedingte: 1/3+2/3+0=1. Mit Hilfe der letztere Summe kann man eine der bedingte W'keiten berechnen wenn man der Andere kennt. Aber eine braucht man zu berechnen. Die Summe der bedingten W'keiten folgt nicht automatisch aus die Summe der Unbedingten. Und daher ist die vereinfachte Erklärung falsch, d. h. sie reicht nicht aus als Erklärung. Die Antwort ist richtig, aber man weist nicht ob sie richtig berechnet ist. Ich bestreite nicht die Schlussfolgerung, sondern die Argumentierung. Die vereinfachte Erklärung würde auch in anderen Fällen zur Schlussfolgerung führen, dass die W'keit das Auto ist hinterm gewählten Tor, 1/3 ist. Aber es gibt Fälle, mit einer anderen Strategie des Moderators, wo das nicht stimmt. Und das bedeutet logischerweise dass die Erklärung nicht stimmt.Nijdam 11:16, 3. Apr. 2009 (CEST)

Du bist offensichtlich nicht in der Lage oder nicht willens, auf gestellte Fragen zu antworten oder auf vorgetragene Argumente einzugehen. Wenn Du nun auch noch die Gleichwahrscheinlichkeit der Alternativen vor Öffnung eines Tores bestreiten willst, frage ich mich, wie Du danach überhaupt weiterrechnen willst. Aber es soll mir auch egal sein, solange Du die Finger vom Artikel läßt. Festzuhalten bleibt, daß Du keinerlei Argument dafür vorbingst, daß die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein die richtige Tür gewählt hat, sich im nachhinein noch ändern soll. Für mich ist hier EOD mit Dir, was aber nicht heißt, daß ich Änderungen am Artikel durch Dich, die auf Deinen unbelegten Phantasien beruhen, nicht weiterhin bis zu einem Beleg revertieren werde. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 11:44, 3. Apr. 2009 (CEST)

Du siehst nicht das deine Frage schon mehrmals beantwortet worden ist, aber hier nochmals. Deine Frage lautete: Wieso sollte sich die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein die Türe mit dem Auto wählt, dadurch ändern, daß eine andere Türe geöffnet wird? Sie andert sich weil es von vornherein um eine unbedingte W'keit handelte und nachdem ein Tor geöffnet ist, um eine bedingte W'keit. Das sind verschiedene W'keiten, oder man kann sagen die unbedingte W'keit hat sich geändert in eine bedingte W'keit. Nijdam 14:50, 3. Apr. 2009 (CEST)

Jetzt geht das wieder los! Auf Deine verquere Definition von Wahrscheinlichkeit habe ich vor sechs Wochen schon geantwortet: „Du magst Dinge definieren, wie es Dir beliebt. Im allgemeinen Sprachgebrauch (insbesondere dem der Mathematiker) bezeichnet der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ oder „Erwartungswert“ jedoch eine Zahl p mit 0 ≤ p ≤ 1 - und keinen Versuchsaufbau. Ebenso besteht in der Mathematik weitgehende Einigkeit darüber, wann zwei Zahlen „gleich“ („=“) sind. Insbesondere gilt: 1/3 = 1/3. (Nach dieser Übereinkunft gilt sogar 9/9 = 1.) Wir beziehen uns in dieser Diskussion auf die in der Mathematik üblichen Konventionen, nicht auf Deine privaten.“ Wenn eine Wahrscheinlichkeit vor einem Zeitpunkt x 1/3 ist und ab diesem Zeitpunkt immer noch 1/3 ist, dann hat sie sich nicht geändert, insbesondere dann nicht, wenn zum Zeitpunkt x lediglich ein Ereignis eingetreten ist, von dem das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir betrachten, unabhängig ist. Geändert hätte die Wahrscheinlichkeit sich nur dann, wenn sie nicht mehr 1/3 wäre. Einen Grund für eine solche Änderung (und nur das wäre eine Änderung) hast Du trotz mehrfacher Nachfrage nicht angegeben. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 16:53, 3. Apr. 2009 (CEST)

Ich würfle ein Mal. Die Wa'keit das Ergebnis sei 2 ist doch 1/6, oder? Bevor ich mein Ergebnis gesehen habe sagt jemand: das Ergebnis ist gerade. Ist die W'keit auf 2 noch immer 1/6? Nijdam 20:40, 3. Apr. 2009 (CEST)

13. Bitte Spielregel und Relevanz beachten.
Sowohl das gewählte Tor $W$ als auch die beiden nicht gewählten Tore sind Elemente der Obermenge $n$=3 Tore, die den Gewinn $G$ mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 enthält.
Das gewählte Tor $W$ ist "Teilmenge von von $n$", die Alternativmenge $A$ dazu wird durch die beiden nicht gewählten Tore gebildet.
Die unbedingte Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Tores beträgt 1/3.
Auf das gewählte Tor $W$ entfällt eine unbedingte Wahrscheinlichkeit von 1/3 (Tor $W$ enthält gemäß Spielregel eine Ziege oder einen Gewinn),

auf die Alternativmenge $A$ der beiden nicht gewählten Tore (die gemäß Spielregel zwei Ziegen oder eine Ziege und einen Gewinn enthalten) eine unbedingte Wahrscheinlichkeit von 2/3.

Verteilung der unbedingten Wahrscheinlichkeit ${W}:{A}=$ 1/3 : 2/3.

Die Spielregel besagt: Es gibt nur einen einzigen Gewinn $G$ und zwei Nieten $N$. Damit kann die Alternativmenge $A$ (zwei Tore), wenn überhaupt, gemäß Spielregel maximal nur einen einzigen Gewinn $G$ enthalten. Die Alternativmenge $A$ (die beiden nicht gewählte Tore) enthält somit mit absoluter Sicherheit zumindest eine durch die Spielregel garantierte Niete $N$. Die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass $A$ zumindest eine Niete enthält, beträgt zweifelsfrei 1. Der erbrachte (für den weiteren Spielverlauf im übrigen völlig irrelevante) "Beweis", dass die Alternativmenge $A$ tatsächlich zumindest eine Niete $N$ enthält, führt zwar leicht zu dem Trugschluss, es sei (hinsichtlich der Wahrscheinlichkeitsverteilung ${W}:{A}=$ 1/3 : 2/3) eine "neue Situation" entstanden. Dieser Trugschluss beruht aber auf einer unzutreffenden Schlussfolgerung. Der erbrachte (unnötige) "Beweis", dass die Alternativmenge $A$ tatsächlich zumindest eine Niete $N$ enthält, stellt (hinsichtlich der Wahrscheinlichkeitsverteilung ${W}:{A}=$ 1/3 : 2/3) "keinerlei neue Situation" dar, er bringt keinen relevanten neuen Aspekt, keinerlei relevante zusätzliche Erkenntnis. Der erbrachte (an sich irrelevante) Beweis, dass die Alternativmenge $A$ tatsächlich zumindest eine Niete $N$ enthält, bedeutet somit keinerlei neue Situation. Im Gegenteil. Er ändert nichts daran, dass sowohl die unbedingte als auch jetzt die bedingte
Wahrscheinlichkeitsverteilung ${W}:{A}=$ 1/3 : 2/3 unverändert geblieben ist. -- Gerhardvalentin 21:58, 1. Apr. 2009 (CEST)

Leider gibt es da ein Problem: A enthält zwar zwei Tore, aber welches davon ist geöffnet? D. h. was meinst du mit "bedingte W'keit", was ist die Bedingung? Nijdam 14:12, 2. Apr. 2009 (CEST)

Das ist kein Problem, da für die Lösung der Aufgabe irrelevant: es ist völlig egal, welches Tor der Spielleiter öffnet. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:20, 2. Apr. 2009 (CEST)

Maßgeblich ist bei der hier relevanten Fragestellung die Wahrscheinlichkeitsverteilung ${W}:{A}$. Diese beträgt, nachdem der Kandidat seine Wahl getroffen hat, 1/3 : 2/3 (und das, obwohl die Spielregel besagt, dass ${A}$ zumindest eine Niete ${N}$ enthalten muss). Die innerhalb von ${A}$ bestehende Wahrscheinlichkeitsverteilung beträgt ursprünglich 1/3 : 1/3, was wohlgemerkt lediglich als Basis für die Feststellung dient, dass ${A}$ eine Gesamt-Wahrscheinlichkeit von 2/3 besitzt. Nochmals: Obwohl ${A}$ zumindest eine Niete ${N}$ enthält. Die Gesamt-Wahrscheinlichkeit von ${A}$ beträgt 2/3. Weitere Bedeutung: keine. Bitte Irrwege vermeiden. Nach der Beweisführung, dass ${A}$ tatsächlich zumindest eine Niete ${N}$ enthält, hat sich hinsichtlich dieses Aspektes – wie dargestellt – erwiesenermaßen nichts geändert. Es ist aus diesem grundlegenden Aspekt heraus völlig unmaßgeblich, welches der beiden Tore von ${A}$ eine Niete ist, ebenso ist aus diesem Aspekt heraus unmaßgeblich, ob das zweite Tor von ${A}$ ebenfalls eine Niete ${N}$ oder den Gewinn ${G}$ enthält oder nicht oder vielleicht doch. Das ist hier nicht gefragt. Es kommt hier auf die einzige hier relevante Fragestellung an, und diese fragt nach der Gesamtwahrscheinlichkeit von ${A}$. Und hinsichtlich dieser Fragestellung – nochmals – hat sich durch die "Beweisführung" erwiesenermaßen absolut nichts geändert, auch nachdem der Beweis geführt worden ist, beträgt die – nenne es die bedingte – Wahrscheinlichkeit von ${A}$ unverändert 2/3. Welche Farbe die beiden Tore von ${A}$ haben, und welches Tor zur "Beweisführung" diente oder nicht, ist aus diesem Aspekt heraus, für die hier einzig relevante Fragestellung, schlicht irrelevant und eine Frage danach ist deshalb müßig und führt bekanntermaßen in die Irre. LG -- Gerhardvalentin 15:25, 2. Apr. 2009 (CEST)

Du benutzt immer viele Worte, aber das Kernproblem ist damit nicht aufgehoben. Das liegt darin das du sprichst von "Gesamtwahrscheinlichkeit" und "unveränderte" Wahrscheinlichkeit, ohne anscheinend zu verstehen was das alles bedeutet. Formuliere deine Lösung in korrekten Formeln und wir reden weiter. Nijdam 18:51, 2. Apr. 2009 (CEST)

Danke, Nijdam, dass Du immer wieder auf den entscheidenden Punkt, eben auf das Kernproblem hinweist. Die Beweisführung für die nicht zu bestreitende Tatsache, dass das fatale "Herzeigen einer in der Alternativmenge ${A}$ gemäß Spielregel ja ohnehin sicher vorhandenen Niete" nur für die Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb von ${A}$ relevant sein kann, in keiner Weise jedoch für die Wahrscheinlichkeitsverteilung ${W}:{A}$ (die bekanntlich 1/3 : 2/3 bleibt), bedarf dringend einer schlüssigen Formulierung, am besten eines mathematischen Theorems. Dass es sich tatsächlich um eine nicht zu bestreitende Tatsache handelt, ist – wie jedem bekannt ist – längst bewiesen (siehe auch unten: "Beweisführung durch Mathematiker"). Was also fehlt, ist die schlüssige Formulierung dieser Tatsache. Ich vermute, Du kannst den Artikel in diese Richtung weiter bringen. Allerdings dürfte es notwendig sein, die Existenz der Alternativmenge ${A}$ zu berücksichtigen und sich vom Zwang zur "Unterscheidung der beiden Elemente von ${A}$" zu befreien. Die ursprüngliche Spielregel findest Du unter "Formulierung der Aufgabenstellung und Hinweis auf konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung". LG -- Gerhardvalentin 20:26, 2. Apr. 2009 (CEST)

Es ist doch trivial, daß die Summe der Wahrscheinlichkeiten bei mehreren Alternativen sich exakt zur Wahrscheinlichkeit der Ausgangssituation addieren muß - nicht mehr und nicht weniger. Im Übrigen bedeutet ein Zweifeln daran nicht eine Kritik am Beweis, sondern ein Leugnen der Aufgabenstellung, in der es heißt: „4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.“ Daß die Wahrscheinlichkeiten für beide Tore in dieser Situation gleich groß sein müssen und sich zur Wahrscheinlichkeit addieren müssen, daß „der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt“ hat, ist Sinn und Inhalt dieser Formulierung, also Voraussetzung des Beweises, die Ihrerseits nicht mehr bewiesen werden muß. Hat der Kandidat nicht „das Tor mit dem Auto gewählt“, ergibt sich automatisch, welches Tor der Spielleiter öffnet. Die Wahrscheinlichkeit für das Öffnen jedes Tores ist in diesem Falle also genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto hinter dem anderen nicht vom Kandidaten gewählten Tor steht, also ebenfalls 1/3. Daraus ergibt sich übrigens zwanglos, daß der Moderator jedes nicht vom Kandiaten gewählte Tor mit der gleichen Wahrscheinlichkeit öffnet, was die Symmetrie des Problemes beweist. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 10:29, 3. Apr. 2009 (CEST)

Klären wir erst mal diesen Punkt: wenn der Kandidat seine Entscheidung trifft, weist er dann welches Tor geöffnet ist? Nijdam 11:25, 3. Apr. 2009 (CEST)

Das ist völlig irrelevant. Der Kandidat kann sich auch die Augen verbinden lassen, darauf warten, daß der Moderator sagt: „Ich habe jetzt eine Tor geöffnet. Möchten Sie bei dem von Ihnen gewählten Tor bleiben, oder zu dem anderen geschlossenen Tor wechseln?“, und dann sagen: „Ich möchte gerne wechseln.“ Er verdoppelt damit auf jeden Fall seine Gewinnwahrscheinlichkeit, sofern bis dahin alles regelkonform gelaufen ist. Das ist unabhängig davon, ob Du es verstehst oder nicht. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 11:44, 3. Apr. 2009 (CEST)

Deine Aussage stimmt nur unter der (hier gegebenen, aber nicht grundsätzlich voraussetzbaren) Prämisse, dass der Moderator beide Tore gleichwahrscheinlich öffnet. Dieser stets notwendige Schluß in der Argumentation fehlt Nijdam vielleicht an manchen Stellen. --AchimP 12:47, 3. Apr. 2009 (CEST)

Dass der Moderator beide Tore gleichwahrscheinlich öffnet, stimmt nur für viele Spiele. Bei einem einzelnen Spiel öffnet er ein Tor entweder mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 (das zweite Tor enthält das Auto) oder 1/2 (Nach Spielregel) Man kann sogar sagen: Der andere Teinehmer verliert genau in dem Fall, wenn es gleichwahrscheinlich ist, welches Tor geöffnet wird. Wenn der Moderator zum Beispiel den Hinweis gibt: "Ich öffne jetzt ein beliebiges der beiden Tore" wird die Symmetrie gebrochen. Der Teilnehmer darf nicht wechseln, sofern die anderen Bedingungen noch gelten. --Hutschi 13:24, 3. Apr. 2009 (CEST)

Ich meinte, dass der Moderator beide Tore gleichwahrscheinlich öffnet, wenn er beide öffnen dürfte. --AchimP 13:47, 3. Apr. 2009 (CEST)

Wieso ist das eine Voraussetzung für M.ottenbruchs Argument? Die Verteilung ist zunächst egal, weil der Teilnehmer in dem Fall immer verliert, wenn er wechselt. Voraussetzung ist, dass sie keinen Zusammenhang mit der Position des Autos hat und dass der Teilnehmer sie nicht kennt, wenn sie von 50% abweicht. Sonst könnte es komplizierter werden, weil zusätzliche Informationen ableitbar wären. --Hutschi 13:55, 3. Apr. 2009 (CEST)

Ich vermute ich weiss wo dein (und anderer) Denkfehler liegt. Du sagst häufig "es ist irrelevant" oder ähnliches. Aber wofür ist es irrelevant? Deine Gedanke ist wohl: irrelevant für die Antwort; und tatsächlich ist die Antwort beim gegebenen Spielregeln gleich für alle Fälle. Aber damit ist "es" noch nicht irrelevant für die Weise wie man zur Antwort kommt. D. h. für die Argumentierung. Und darauf kommt es bei einer Erklärung an. Da kommt es auf den richtigen Argumenten an. Nijdam 14:11, 3. Apr. 2009 (CEST)

Auch darauf habe ich schon mehrfach geantwortet: Hier geht es um Erklärungen für das Ziegenproblem in seiner exakt definierten Form. Dafür gibt es mehrere korrekte Erklärungen. Das berührt nicht die triviale Erkenntnis, daß andere Aufgaben andere Lösungen haben. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 16:53, 3. Apr. 2009 (CEST)

Mathe

Es scheint bis jetzt nicht zu gelingen verständlich zu machen wo das Problem liegt. Öfters meint man mit seiner Worten anders als vom Leser verstanden wird. Darum jetzt in formelle Notation.

Es sei

A = Nummer des Tors mit dem Auto

K = Nummer des Tors gewählt vom Kandidaten

M = Nummer des Tors geöffnet vom Moderator

Die Spielregeln bezeichnen:

P(A=1)=P(A=2)=P(A=3)=1/3 (Auto gleichverteilt)

A und K sind unabhängig (der Kandidat weiß nicht wo das Auto ist)

P(M=K)=0 (Moderator öffnet nicht das vom Kandidaten gewählte Tor)

P(M=A)=0 (Moderator öffnet nicht das Tor mit dem Auto)

P(M=2|K=1,A=1)=1/2 (die W'keit von M=2, vorausgesetzt K=1 und A=1, beträgt 1/2)

P(M=3|K=1,A=1)=1/2 (usw.)

P(M=3|K=1,A=2)=1

P(M=2|K=1,A=3)=1

P(M=3|K=2,A=1)=1

P(M=1|K=2,A=2)=1/2

P(M=3|K=2,A=2)=1/2

P(M=1|K=2,A=3)=1

P(M=2|K=3,A=1)=1

P(M=1|K=3,A=2)=1

P(M=1|K=3,A=3)=1/2

P(M=2|K=3,A=3)=1/2

Was wird der Kandidat nun berechnen um zu entscheiden? Nijdam 14:51, 3. Apr. 2009 (CEST)

P(A=K) und P(A≠K). Wenn P(A=K) < P(A≠K), dann sollte er wechseln. Wenn P(A=K) > P(A≠K), dann sollte er nicht wechseln. Das - und nur das - ist das Ziegenproblem. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:03, 3. Apr. 2009 (CEST)

Mich als Kandidat würde im Moment meiner zu fällenden Entscheidung bei Schritt 6 der Aufgabenstellung vor geöffnetem Tor 2 ja viel brennender P(A=K|M=2) und die Gegenwahrscheinlichkeit P(A!=K|M=2) interessieren. --AchimP 17:16, 3. Apr. 2009 (CEST)

Gilt gleichfalls für mich. Ich möchte sicher sein alle Info zu benutzen. In ein solcher Problem ist das sogar notwendig. Nur wenn ich alles was bis dem Moment der Entscheidung bekannt ist, benutze, bin ich sicher der richtige Entscheidung. Also berechne ich, genau wie der Kandidat im Problem, für gegeben k: P(A=K|K=k,M=2) Nijdam 18:09, 7. Apr. 2009 (CEST)

Das ist doch endlich mal ein tragfähiger Kompromißvorschlag! So lange es nur darum geht, daß Du die bedingte Wahrscheinlichkeit deshalb berechnest, weil Du das „möchtest“ und damit Du Dir „sicher“ bist, besteht doch zwischen uns gar kein Dissens. Ich bestreite ja nicht, daß man auf diese Weise zu einem korrekten Ergebnis kommt. Es hat für mich bisher nur so geklungen, als hieltest Du die anderen Wege, zu einem korrekten Ergebnis zu kommen, zwingend für falsch oder unvollständig, sofern und weil sie ohne Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten auskommen. Wenn ich Dich da mißverstanden habe, ist das Problem gelöst. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:34, 8. Apr. 2009 (CEST)

P(A=K|M=2) = P(A=K); P(A≠K) = P(A≠K|M=2) HTH, HAND -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 17:31, 3. Apr. 2009 (CEST)

"Ja, wieso das denn?" fragt sich da Hoecker der Kandidat zu recht. "Wegen der Symmetrie" antwortet M.Ottenbruch. "Da isser ja, der fehlende Teil in der Beweiskette", schmunzelt Nijdam. Dann schreiben wir das noch dazu und alle gehen zufrienden nach Hause und gucken Let's make a deal die Sportschau. --AchimP 18:48, 3. Apr. 2009 (CEST)

Jetzt natürlich meine Frage: Warum ist P(A=K|K=1,M=2)=P(A=K)? Aber ohne diese Frage zeigt sich hier schon, das es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkit handelt. Nijdam 18:09, 7. Apr. 2009 (CEST)

Von der Wahrscheinlichkeit P(A=K|K=1,M=2) war bisher in diesem Teil der Diskussion gar nicht die Rede. Daß es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, sieht man aber tatsächlich bereits an der Notation - auch ohne die Frage. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:34, 8. Apr. 2009 (CEST)

Moral: ohne Mathe geht es nicht!? Nijdam 20:31, 3. Apr. 2009 (CEST)

Trifft's das nun nach Deiner Meinung, oder nicht? --AchimP 00:31, 4. Apr. 2009 (CEST)

Natürlich, du hast doch schon längst verstanden wie es läuft. Nijdam 13:04, 4. Apr. 2009 (CEST)

Das hat nur wenig mit „Symmetrie“ zu tun. Unstreitig ist - auch wenn Nijdam das sicher auch noch bestreiten würde -, daß vor dem Öffnen irgendeines Tores die Tore gleichwahrscheinlich sind. Da ausschließlich Tore geöffnet werden dürfen, die nicht vom Kandidaten gewählt wurden und kein Auto zeigen können, kann sich an der Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein das richtige Tor gewählt hat, durch das Öffnen eines anderen Tores nichts ändern. Wenn das Auto vorher nicht hinter dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tor gestanden hat, kann es danach auch nicht dahinter stehen - und umgekehrt. Das Auto müßte sich anderenfalls zwischen der ursprünglichen Wahl des Kandidaten und dem Öffnen des Tores bewegt haben können. Das sehen die Regeln aber nicht vor. Deswegen kann sich die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Auto hinter dem ursprünglich vom Kandidaten gewählten Tor befindet, durch das regelkonforme Öffnen eines Tores durch den Moderator nicht ändern. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 01:56, 4. Apr. 2009 (CEST)

+ Erfreulich, M.ottenbruch, selten begegnet einem hier eine so klare Sicht der Dinge, mühsam die Diskussion um des Kaisers Bart. Alle Deine Argumente treffen. Zusätzlich gilt, dass Wahrscheinlichkeit nur dann verändert wird, (schreibe bewusst nicht "bedingte", werde sonst postwendend wieder gefragt: Was verstehst du Stümper schon von "bedingt"), dass Wahrscheinlichkeit also nur dann beeinflusst/verändert wird, wenn neue, bisher unbekannte, problemrelevante Informationen hinzugekommen sind, die neue, bisher nicht eindeutig zulässige, problemrelevante logische Schlussfolgerungen zulassen. Das regelkonforme Öffnen eines Nietentores bringt eben, wie Du treffend darlegst, keinerlei relevante Info hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit des ursprünglich gewählten Tores, es lässt auch keine neuen problemrelevanten logischen Schlussfolgerungen zu. Selbst wenn manche dies beleglos noch so repetitiv behaupten mögen. Leider sehr, sehr mühsam. -- Gerhardvalentin 04:31, 4. Apr. 2009 (CEST)

Egal ob Du es nun mit Symmetrie oder wie auch immer berechnest. Der Punkt ist, dass der Kandidat bei geöffnetem Tor 2 P(A=K|M=2) berechnet muss, um sich zu entscheiden. Das ist der Punkt. Können wir uns auf den einigen?

<dazwischenquetsch> Der Kandidat muß das nicht berechnen. Er kann auch einsehen, daß es für die Beantwortung der relvanten Frage nur darauf ankommt, ob er von vornherein die Türe mit dem Auto gewählt hat, oder eben nicht. Die hier vorgebrachten Argumente gegen diese ziemlich banale Erkenntnis können allein schon deshalb nicht überzeugen, weil ohne die hier „Symmetrie“ genannte Eigenschaft der Aufgabenstellung nicht einmal die ursprüngliche Gleichwahrscheinlichkeit der drei Tore gegeben wäre. Man muß also entweder diese Symmetrie schon „beweisen“, um überhaupt nur den ersten Schritt der Betrachtung machen zu können (lange bevor irgendein Tor geöffnet wird), oder man gibt zu, daß diese Symmetrie existiert – dann braucht man aber auch nicht mehr mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu hantieren. Die Symmetrie einerseits vorauszusetzen, damit man auf die „unbedingte“ Wahrscheinlichkeit von 1/3 kommen kann, andererseits aber zu leugnen, damit man zur bedingten Wahrscheinlichkeit kommen kann, erscheint mir nicht folgerichtig. Ich bestreite ja mit alldem keineswegs, daß man mit bedingten Waghrscheinlichkeiten und Bayes' Theorem das Ziegenproblem sehr hübsch lösen kann – ich wehre mich nur dagegen, daß deshalb alle anderen Lösungen als „falsch“ und „unvollständig“ hingestellt werden. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:28, 5. Apr. 2009 (CEST)

In Deiner Argumentation oben bedarf der Satz "Da ausschließlich Tore geöffnet werden dürfen, die nicht vom Kandidaten gewählt wurden und kein Auto zeigen können, kann sich an der Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein das richtige Tor gewählt hat, durch das Öffnen eines anderen Tores nichts ändern." noch einer weiteren Erläuterung. Denn es gibt natürlich trivialerweise beliebig viele Tor-Spiele, wo auch "ausschließlich Tore geöffnet werden dürfen, die nicht vom Kandidaten gewählt wurden und kein Auto zeigen können," und wo sich trotzdem "an der Wahrscheinlichkeit daß der Kandidat von vornherein das richtige Tor gewählt hat, durch das Öffnen eines anderen Tores" etwas ändert. Warum das hier nicht der Fall, muss gezeigt, oder zumindest erwähnt werden, sonst fehlt etwas. --AchimP 12:18, 4. Apr. 2009 (CEST)

Ich habe mehrfach darauf hingewisen, daß sich diese Wahrscheinlichkeit nicht ändert, und trotz mehrfacher Aufforderung ist bis jetzt nicht einmal angedeutet worden, warum sie sich ändern sollte. Ich habe auch an keiner Stelle geleugnet, daß andere Probleme andere Lösungen haben. Diese Aufgabenstellung aber ist symmetrisch und kennt keine Abseitsregel. Deswegen braucht man nicht zwingend auf Abseitsregeln und bedingte Wahrscheinlichkeiten einzugehen. Wer es mag, darf es tun, aber er soll dafür nicht andere Lösungswege diffamieren. Ein Blick nach WP:TF zeigt übrigens, daß es für den Artikel völlig irrelevant ist, ob Nijdam glaubt, die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein die richtige Türe gewählt hat, würde sich durch das regelkonforme Öffnen einer anderen Türe ändern. Er müßte es trotzdem belegen. Und daran fehlt es wie gesagt bisher. Des weiteren und nebenbei bemerkt ist auch der Hinweis auf den Artikel von Morgen et al. kein Beleg für eine derartige Kritik. Er ist lediglich ein Beleg für die unstreitige Tatsache, daß nach Veröffentlichung der Leserbrief-Fragestellung verschiedene – auch hochkarätige! – Autoren diese Veröffentlichung – größtenteils irrend! – kritisiert haben. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 13:28, 5. Apr. 2009 (CEST)

Jetzt fangen die ausführliche texuelle Beschreibungen und Erklärungen wieder an, aber die Absicht dieser Abschnitt ist gerade in klaren Formeln zu sagen was man meint. Bis jetzt haben wir: der Kandidat braucht, wenn K=1 und M=2 für seine Entscheidung: P(A=1|K=1,M=2) zu berechnen. Ist jeder einverstanden? Nijdam 13:04, 4. Apr. 2009 (CEST)

Ja, die korrekte Formulierung des mathematischen Beweises ist wünschenswert. Es sollte daraus hervorgehen, dass sich an der Gewinnchance des gewählten einen Tores durch das Öffnen des Nietentores nichts ändert (Das Öffnen des Nietentores bildet hiefür eben kein relevantes Ereignis), und es sollte damit darstellen, warum dieses Öffnen des Nietentores für die Gewinnchance des gewählten Tores bedeutungslos ist. LG -- Gerhardvalentin 00:33, 5. Apr. 2009 (CEST)

@M.ottenbruch: Komme doch bitte mit eine anständige Formulierung mit Hilfe der obenstehende Terminologie, oder studiere die untenstehende Analyse.

Die erste Antwort auf Deinen drölfzigsten Neubeginn war von mir, und es war genau die von Dir vorgeschlagene Terminologie - ausnahmsweise war es ja mal eine auch unter Mathematikern bekannte Terminologie. Ich fand die Formulierung meiner Antwort auch nicht unanständig. So what? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 01:45, 6. Apr. 2009 (CEST)

Die Sache hat AchimP doch schon geklärt. Die erste Antwort ist falsch, und die nächste ist unbewiesen. Also was? Nijdam 14:23, 7. Apr. 2009 (CEST)

AchimP hat eine persönliche Präferenz geäußert, die erste Antwort ist richtig, und die zweite ist auch richtig. Unbewiesen ist lediglich Deine Theorie, durch das regelkonforme Öffnen eines Tores durch den Moderator ändere sich nachträglich die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein die Tür mit dem Auto gewählt hat. Du hast bisher nicht einmal einen Grund angegeben, warum dies so sein sollte - und zwar trotz mehrfacher Aufforderung nicht.
Es ist hier übrigens leicht nachweisbar, daß bereits vor dem Öffnen irgendeiner Türe klar ist, daß dieses Öffnen der Türe keinen Einfluß darauf haben kann, ob der Kandidat vorher die richtige Tür gewählt hat oder nicht: Wir wissen, daß sowohl in diesem als auch im anderen Fall in jeweils 50% der Fälle das eine oder eben das andere der möglichen Tore geöffnet wird. Das steht explizit in den Regeln. Und wie schon gesagt: Wenn der konkrete Fall vor dem Öffnen der Türe zu dem Drittel aller möglichen Fälle gehört, in denen der Kandidat von vornherein die Tür mit dem Auto gewählt hat, dann gehört er nach dem Öffnen der Türe immer noch zu diesem Drittel der Fälle. Da beißt die Maus keinen Faden ab. Zwischen den Ästen des Entscheidungsbaumes wird nicht hin- und hergesprungen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 15:23, 7. Apr. 2009 (CEST)

@Gerhardvalentin: Hierunter steht der wünschenswerter Beweis. Nijdam 23:09, 5. Apr. 2009 (CEST)

Die Stufen Im Problem

1. Bevor der Kandidat ein Tor wählt

Die W'keit er trifft das Auto ist: P(K=A)=1/3. Das bedeutet dass im Durchschnitt 1 von 3 Kandidaten das Tor mit dem Auto wählen. Man kann von hierab weiter argumentieren das beim Wechseln nachdem ein Tor gewählt und ein Tor geöffnet worden ist, im Durchschnitt 2 von 3 aller Kandidaten das Auto gewinnen.

2. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, aber bevor der Moderator ein Tor öffnet

Wenn der Kandidat das Tor k gewählt hat, müssen wir das Ereignis {K=k} als Bedingung nehmen. Für jede k ist die (bedingte) W'keit, dass der Kandidat das Auto getroffen hat: P(A=k|K=k)=P(A=k)=1/3 (denn K und A sind unabhängig und das Auto ist zufällig hingestellt). Man kann von hierab weiter argumentieren das für jeden Wahl k beim Wechseln nachdem ein Tor geöffnet worden ist, im Durchschnitt 2 von 3 Kandidaten die das Tor k gewählt haben, das Auto gewinnen.

3. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt und der Moderator ein Tor geöffnet hat

Wenn der Kandidat das Tor k gewählt und der Moderator das Tor m (≠k) geöffnet hat, müssen wir das Ereignis {K=k, M=m} als Bedingung nehmen. Für jede k und m (≠k) ist die (bedingte) W'keit, dass der Kandidat das Auto getroffen hat:

P(A=k|K=k,M=m)=1/3. Warum ist das so?

Wir können direkt berechnen:

P(A=k|K=k,M=m) = P(M=m|K=k,A=k)P(A=k|K=k)/P(M=m|K=k) = {1/2.1/3}/{1/2.1/3+1.1/3+0/1/3}=1/3

Oder die Symmetrie benutzten. Für k,m,n alle unterschieden, ist:

P(A=k|K=k,M=m)=P(A=k|K=k,M=n)=(sage)t

Nun ist:

P(A=k)=P(A=k|K=k)=P(A=k|K=k,M=m)P(M=m|K=k)+P(A=k|K=k,M=n)P(M=n|K=k)=

=t{P(M=m|K=k)+P(M=n|K=k)} = t

also ist:

t=P(A=k)=1/3

Für jede Wahl k und offenes Tor m (≠k) werden 2 von 3 Kandidaten in dieser Lage beim Wechseln das Auto gewinnen.

Wirklich unbedingt ist der Fall 1. Fall 2 kann man, obwohl formell bedingt vorausgesetzt die Wahl des Tors, wegen der Unabhängigkeit der Wahl und dem Tor des Autos, auch als unbedingt auffassen. Fall 3 ist zweifelsfrei eine bedingte Situation, und nur in diesem Fall hat der Kandidat seine Wahl gemacht und der Moderator ein Tor geöffnet. Ich kann mir nicht vorstellen dass jemand mit diesen Überlegungen nicht übereinstimmt. Der Meinungsunterschied liegt darin das auch die Fälle 1 und 2 als Lösung des Ziegenproblems betrachtet werden. Sind wir uns insoferne einig? Nijdam 15:41, 5. Apr. 2009 (CEST)

Ich denke, das stimmt. Die Frage ist tatsächlich, ob man es so darstellen kann, wie in den Fällen 1 und 2. Die Gültigkeit von 3 bestreite ich nicht. Ich sehe aber nicht, was an 1 und 2 falsch ist, wenn man sie zur Veranschaulichung verwendet. --Hutschi 11:27, 6. Apr. 2009 (CEST)

Was veranschaulichen sie dann?Nijdam 16:08, 6. Apr. 2009 (CEST)

Und, die Fälle 1 und 2 sind nicht falsch, sie sind nur Stufen im Problem. Falsch ist es zu meinen das Problem sei gelöst bevor Stufe 3 eingetreten ist. Nijdam 10:42, 7. Apr. 2009 (CEST)

Zur Symmetrie:

Die Symmetrie erlaubt, statt aller drei Fälle der Wahl durch den Teilnehmer nur einen zu betrachten. Sie vereinfacht lediglich das Aufschreiben.

Zitat: "Die Spielregeln bezeichnen:

P(A=1)=P(A=2)=P(A=3)=1/3 (Auto gleichverteilt)

A und K sind unabhängig (der Kandidat weiß nicht wo das Auto ist)

P(M=K)=0 (Moderator öffnet nicht das vom Kandidaten gewählte Tor)

P(M=A)=0 (Moderator öffnet nicht das Tor mit dem Auto)

P(M=2|K=1,A=1)=1/2 (die W'keit von M=2, vorausgesetzt K=1 und A=1, beträgt 1/2)

P(M=3|K=1,A=1)=1/2 (usw.)

P(M=3|K=1,A=2)=1

P(M=2|K=1,A=3)=1

P(M=3|K=2,A=1)=1

P(M=1|K=2,A=2)=1/2

P(M=3|K=2,A=2)=1/2

P(M=1|K=2,A=3)=1

P(M=2|K=3,A=1)=1

P(M=1|K=3,A=2)=1

P(M=1|K=3,A=3)=1/2

P(M=2|K=3,A=3)=1/2

Was wird der Kandidat nun berechnen um zu entscheiden?" (Nijdam)

Ohne Symmetrie müssten wir alle Fälle betrachten.

Wegen

P(A=1)=P(A=2)=P(A=3)=1/3 (Auto gleichverteilt)

A und K sind unabhängig (der Kandidat weiß nicht wo das Auto ist)

gilt Symmetrie - kein Tor ist bevorzugt.

>>>[Nijdam] Was bedeutet "kein Tor ist bevorzugt" in Formeln?Nijdam 16:06, 6. Apr. 2009 (CEST)

Wegen der Symmetrie kann man sich das Aufschreiben vereinfachen. Ich kann statt K=2 schreiben K=T mit T={1,2,3} (T ist 1, 2 oder 3) Durch zyklisches Vertauschen ergeben sich die anderen Lösungen.

>>>[Nijdam] Was ist T? und was bedeutet K=T?Nijdam 16:06, 6. Apr. 2009 (CEST)

Der Beweis ist einfach zu führen, indem ich die Werte der Reihe nach einsetze. Bis auf die Reihenfolge entstehen die gleichen Bedingungen.

P(M=2|K=T,A=1)=1/2 (die W'keit von M=2, vorausgesetzt K=1 und A=1, beträgt 1/2)

P(M=3|K=T,A=1)=1/2 (usw.)

P(M=3|K=T,A=2)=1

P(M=2|K=T,A=3)=1

>>>[Nijdam] Ich verstehe das nicht. Nijdam 16:06, 6. Apr. 2009 (CEST)

--- Es gilt dabei P(T=1)+P(T=2)+P(T=3)=1

>>>[Nijdam]Ist T eine Zufallsvariable? Welche?Nijdam 16:06, 6. Apr. 2009 (CEST)

Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung ist:

P(K=T=1)=1/3,

P(K=T=2)=1/3,

P(K=T=3)=1/3

Hier würde der Kandidat nicht nur eine beliebige Tür auswählen, sondern eine beliebige Tür mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

--Hutschi 11:27, 6. Apr. 2009 (CEST)

Schritt 4

Der Text lautet:

Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines zufällig aus und öffnet es.

Solange nichts über die Zufallsfunktion bzw. die Zufallsverteilung da steht, sagt der Satz nicht allzuviel aus. Ich nehme an, dass Gleichverteilung gemeint ist. Das steht aber da nicht. Man kann es nur implizit annehmen. Wenn eine andere Zufallsfunktion als Gleichverteilung vorhanden ist und diese dem Mitspieler bekannt ist, kann Zusatzinformation übermittelt werden. Das ist sehr leicht zu zeigen.

Mein Textvorschlag: Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines zufällig bei einer Wahrscheinlichkeit von 50% für jedes Tor aus und öffnet es.

Wenn diese Funktion nicht angegeben wird, könnte man gleich schreiben: Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines aus und öffnet es.

Übrigens ist Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines zufällig aus und öffnet es. sprachlich nicht exakt, denn es kann auch bedeuten: Er wählt zufällig ein Tor oder kein Tor aus - das führt zu vollkommen anderen Lösungen.

Ich habe darauf bereits hingewiesen, es ist aber nicht klar verstanden worden, was ich sagen wollte. Deshalb habe ich es hier explizit dargestellt.--Hutschi 10:02, 26. Mär. 2009 (CET) --Hutschi 10:02, 26. Mär. 2009 (CET)

Zufällig wählen aus n Objekte bedeutet ganz allgemein mit gleicher W'heit, also 1/n für jedes Objekt. Die andere Bemerkung ist mir unverständlich. Nijdam 12:38, 26. Mär. 2009 (CET)

Übrigens hätte ich ... von den beiden anderen Toren ... geschrieben. Und auch noch: ... von den beiden anderen Toren eins zufällig aus ..., aber da bin ich mir nicht sicher.Nijdam 12:44, 26. Mär. 2009 (CET)

Wenn ich sage: "Ich wähle zufällig ein Tor aus." dann kann das bedeuten: Ich wähle es durch Zufall aus. Das heißt etwas völlig anderes. Es schließt nicht aus, dass man gar nichts auswählt.

Fachsprachlich heißt also: "Ich wähle ein Objekt von drei Objekten zufällig aus" automatisch, dass es sich dabei um Gleichverteilung handelt? Das war mir nicht bewusst. Es ist also eine übliche Abkürzung für "von den beiden anderen Toren eins zufällig aus, wobei Gleichverteilung zutrifft". Das bedeutet aber zugleich, dass implizite Annahmen in der Aufgabenstellung zulässig sind.

Was heißt "W'heit"? Ich verstehe die Abkürzung nicht richtig. "Wahrheit" - oder "Wahrscheinlichkeit" - wobei "h" durch "k" ersetzt ist? Ist es eine übliche Abkürzung?

Sorry, ich meinte W'keit. (NL: Waarschijnlijkheid.) (nicht signierter Beitrag von Nijdam (Diskussion | Beiträge) 18:20, 27. Mär. 2009 (CET))

... von den beiden anderen Toren eins zufällig aus ... ist stilistisch besser, denke ich. Die Bedeutung ist aber gleich. "eins" oder "eines" sind beide möglich. Ich habe den Satz umgestellt. --Hutschi 13:28, 26. Mär. 2009 (CET)

Nonsense-Beitrag von Benutzer:Albtal 09:51, 31. Aug. 2008 entfernen / revertieren

Benutzer Albtal schrieb am 31.08.2008 (nicht korrekte Widergabe des englischen Textes von "Solution F6"): "In jenen 2/3 der Fälle, in denen das Auto hinter Tür 2 oder 3 steht" und der Moderator das andere Ziegentor öffnet (also 3 oder 2), vermindere sich die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der ursprünglich gewählten Tür 1 befindet auf 1/6 (sic!).
Wörtlich: "Außerdem reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tür 1 steht, ebenfalls um die Hälfte, also auf 1/6 der Gesamtzahl der Fälle." Das steht noch immer im Artikel: Begründung über Wahrscheinlichkeiten. Die von ihm damals gelöschte Erklärung war sinnvoller.
Gruß --Gerhardvalentin 17:10, 26. Mär. 2009 (CET)

Es ist richtig! Die W'heit dass das Auto hinter der ursprünglich gewählten Tür 1 befindet und Tür 3 geöffnet ist, betragt 1/6. Das ist hier gemeint.Nijdam 23:55, 26. Mär. 2009 (CET)

Das kann doch nicht wahr sein? Was hier gemeint ist und was hier steht, sind zwei verschiedene Dinge. Es steht dort nichts von Wahrscheinlichkeit. Es steht dort unbeanstandet wörtlich "Außerdem reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tor 1 steht, ebenfalls um die Hälfte, also auf 1/6 der Gesamtzahl der Fälle." Die Zahl der Fälle reduziert sich nicht. Wenn Wahrscheinlichkeitsrechnung gemeint ist, muss adäquat formuliert werden. Schwammige und damit falsche Formulierungen werden hier wie selbstverständlich in Kauf genommen? Gerhardvalentin 02:44, 27. Mär. 2009 (CET)

Kanz kurz: Wahl Kandidat 1: 6 gleich Wahrscheinliche Fälle: agG, aGg, gaG, gaG, gGa, gGa. Auto hinter Tor 1: Fälle: agG, aGg. Tor 3 offen: 3 gleich Wahrscheinliche Fälle: agG gaG, gaG. Auto hinter Tor 1: Fall: agG. Nijdam 11:34, 27. Mär. 2009 (CET)

Änderungen von Benutzer:Gerhardvalentin an der vereinfachten Erklärung

Täusche ich mich, oder stellt die Vereinfachte Erklärung in ihrer jetzigen Form gar nicht mehr die ursprüngliche vereinfachte Erklärung dar, sondern eine Doublette der unter „Sprachlich einfache Erklärungen“ dargestellten Erklärung (siehe oben als Solution F1)? - (nicht signierter Beitrag von M.ottenbruch (Diskussion | Beiträge) 10:30, 27. Mär. 2009 (CEST))

Hallo M.ottenbruch! Es ist exakt die ursprüngliche vereinfachte Erklärung, nur wird ergänzend die aus der Spielregel resultierende Zwangsläufigkeit betont. Grundsätzlich sind ja alle Erklärungs-Versuche, die zur Übersicht beitragen, einander ähnlich. Zur besseren Übersicht sollte sogar gleich zu Anfang sehr deutlich die aus der Spielregel resultierende Tatsache herausgestellt werden, dass es im Grunde ja überhaupt nur 2 (in Worten: zwei) Konstellationen gibt:

1. Auto hinter der ursprünglich gewählten Türe, dann zwangsläufig zwei Ziegen hinter den beiden nicht gewählten Türen.
2. Ziege hinter der ursprünglich gewählten Türe, dann zwangsläufig zweite Ziege und Auto hinter den beiden nicht gewählten Türen (Symmetrie!).

Diese simple Tatsache wird allerdings bei trübem Blick oft wortreich vernebelt, diese Gefahr ist offensichtlich. LG --Gerhardvalentin 12:29, 27. Mär. 2009 (CET)

Beispiel

Ich gebe ein Beispiel zum verstehen der Probleme mit dem Problem.

Ich werfe ein Mal einen ehrlichen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses?

1. Man könnte argumentieren: Das Ergebnis ist eins der Zahlen 1 ... 6, also ist die Wahrscheinlichkeit dass "das Ergebnis eins der Zahlen 1 ... 6 ist" gleich 1.
2. Normalerweise wird gemeint: Für jedes der Zahlen 1 ... 6 ist die Wahrscheinlichkeit dass "das Ergebnis eins dieser Zahlen ist" gleich 1/6.
3. Stelle dich neben mir und schaue zu: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit meines Ergebnisses? Und wie gross ist die Wahrscheinlichkeit auf ein gleiches Ergebnis?

Nijdam 11:43, 27. Mär. 2009 (CET)

Wie Du es wohl meinst, ist sie zeitabhängig: Vor dem Wurf ist sie 1/6. Nach dem vollendeten Wurf ist sie entweder 1 oder 0. Das gilt zumindest in einem Universum, das nicht streng determiniert ist, sondern Zufall beinhaltet. Anderenfalls könnte man sagen: das Ergebnis steht bereits vorher fest. (Dann wäre auch determiniert, was ich hier schreibe und die Antworten darauf. Bei einem ehrlichen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit auch vollkommen unabhängig von vorhergehenden Würfen.) Außerdem ist auch das Werfen ehrlich, sonst könnte man nicht von einem ehrlichen Würfel sprechen. Sie ist genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit, aus einer Menge von 6 verschiedenen Zahlen eine herauszupicken. (Wie in einem anderen Punkt bemerkt wurde, wird dabei Gleichverteilung vorausgesetzt.) Bei einem einzelnen Wurf kannst Du sie aber nicht sinnvoll als relative Häufigkeit für dieses Ereignis definieren im Verhältnis zu allen Ereignissen. --Hutschi 13:24, 27. Mär. 2009 (CET)

Ergänzung:: 1/6 gilt nur unter Bedingungen. Die Bedingung ist, dass der Würfel auch ordnungsgemäß geworfen wird. Wenn er ankantet, oder herunterfällt, oder wenn er so weit geworfen wird, dass man ihn nicht sehen kann, wenn das berücksichtigt wird, ist die Wahrscheinlichkeit nicht bestimmbar, also auch nicht 1/6. 1/6 ist also eine bedingte Wahrscheinlichkeit. PS: Die Wahrscheinlichkeit eines gleichen Ergebnisses bei zwei Würfen ist natürlich 1/6, wenn beide gültig sind. Ich hatte vergessen, dass zu erwähnen. --Hutschi 18:43, 1. Apr. 2009 (CEST)

Ich meine; Man kann sagen P(mein Ergebnis)=1. Aber meistens meint man: "Ein Ergebnis wie meines", und darauf ist fur jede möglichkeit k die W'heit P(k)=1/6. Siehst du die Ähnlichkeit mit dem Problem?Nijdam 14:57, 3. Apr. 2009 (CEST)

Ich denke, die Ähnlichkeit besteht: Ich kann jedes beliebige Tor auswählen (wie es bei der Erklärung ja auch gemacht wird), ähnlich kann ich jede beliebige Zahl auswählen, sie also auch würfeln, im Schritt 1. Aus Symmetriegründen gilt im Schritt 2 für jede beliebige Wahl im 1. Schritt das gleiche Prinzip, die gleiche Wahrscheinlichkeit. Man kann die Prozesse aufeinander abbilden. --Hutschi 15:39, 3. Apr. 2009 (CEST)

Aber auch dass man beim Ziegenproblem für jede Kombination der Tore die Frage einzeln beantworten muss. Nijdam 16:45, 3. Apr. 2009 (CEST)

Reicht es dabei nicht, auf die Symmetrie hinzuweisen? (Zumindest in einer vereinfachten Erklärung sollte das doch genügen. In einer exakten Erklärung müsste ich sie beweisen, das ist klar. Aber es soll ja verständlich bleiben.)--Hutschi 12:53, 4. Apr. 2009 (CEST)

Doch, aber man darf nicht sagen dass eine Wahrscheinlichkeit selbstverständlich ungeändert geblieben ist. Man muss erwähnen dass in der neue Situation die W'keit auf das Auto hinterm Tor 2 wegen der Symmetrie auch 1/3 ist wie vor dem öffnen. Dann ist es richtig. Und man sollte hinzufügen dass eine vollständige Erklärung ein Beweis erfordert.Nijdam 13:13, 4. Apr. 2009 (CEST)