Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/011

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richtige Lösung: 50:50

Die letztlich konkrete Berechnung erfolgt durch Atomisierung, also Prüfung aller(!) Einzelfälle. Es gibt ja sowieso nur 6 mögliche Verteilungen. (!!! es sind eben nicht 3 Varianten wie im Artikel und in der Literatur aufgeführt!!!, die beiden "gleichen" Nieten sind ja individuell zu unterscheiden!)

a=0 und b=0 seien die Nieten und z=6 der Hauptgewinn:

Tor#	1	2	3
Var1	a=0	b=0	z=6
Var2	a=0	z=6	b=0
Var3	b=0	a=0	z=6
Var4	b=0	z=6	a=0
Var5	z=6	a=0	b=0
Var6	z=6	b=0	a=0
Sum:	6+6=12	6+6=12	6+6=12

Summe = 12 für jedes einzelne Tor
Gew: 12/6 = 2 für jedes einzelne der 3 Tore, in Summe 3x2 = 6.

1) Ich wähle (zB) Tor 1, die Gewinnerwartung ist naturgemäß (a+a+b+b+z+z)/6=2. (Dies ist offensichtlich äquivalent zu jeder anderen Wahl).

2) Nun kann der Showmaster Tor 2 oder Tor 3 öffnen. Er wird in Variante 1 und 3 das Tor 2 öffnen und in Variante 2 und 4 das Tor 3, bei Variante 5 und 6 spielt es keine Rolle, ob er Tor 2 oder 3 öffnet, das kommt auf das gleiche heraus.

3) Nun wurde gesagt, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für mein Tor !nicht! geändert hätten (2==2) sondern sich die Restchancen der beiden anderen Tore auf das verbliebene konzentriert hätten ?2+2=4? bzw ?6-2=4?. Das ist zwar grundsätzlich richtig, doch wird !!übersehen!!, dass ich auch !!!neue Information!!! über !!!mein eigenes Tor!!! erhalten habe. Es können(müssen) nämlich die Varianten !!!eliminiert!!! werden, die berücksichtigen, dass das von mir gewählte Tor die Niete beinhaltet, die ja nun bereits offen vorliegt! Daher kann (muss) ich die Gewinnerwartung meines eigenen Tores neu berechnen!!!.

4) also..., sofern nun die Niete a zu sehen ist, kann (muss) ich die Varianten 1 und 2 streichen, sofern Niete b zu sehen ist, kann/muss ich Varianten 3 und 4 streichen, sofern ich die Nieten a und b nicht unterscheiden kann, ist es ja egal, welche der Variantenpärchen ich gedanklich streiche, es kommt ja aufs gleiche heraus (die Varianten für Nieten a bzw b sind im Endeffekt gleich):

zB wenn die Niete b zu sehen ist:

Tor#	1	2	3	X übrig	O offen
Var1	a=0	offen	z=6	z=6	b=0
Var2	a=0	z=6	offen	z=6	b=0
Var3	ungültig
Var4	ungültig
Var5	z=6	a=0	offen	a=0	b=0
Var6	z=6	offen	a=0	a=0	b=0
Sum:	6+6=12	6+	+6=12	6+6=12	0

Summe 12 für jedes der beiden verbliebenen Tore (meins:Tor1 bzw das andere: TorX), und 0 für das geöffnete Tor(O) ist die Summe gleich
Gew: 12/4 = 3 für jedes der verbliebenen Tore, in Summe 2x3 = 6,
sowohl für mein Tor (0+0+6+6)/4=3 als auch für das letzte (2 V 3 bzw X) Tor (6+6+0+0)/4=3

{man kann es auch anders herum deuten: wenn Tor 2 mit Niete b (Var1) geöffnet wird, muss auch die korrespondierende Variante, nämlich Tor 2 mit Hauptgewinn z (Var4) gestrichen werden und wenn Tor 3 mit Niete a geöffnet wird (Var2) dann muss auch die korrespondierende Variante Tor 3 mit Hauptgewinn z (Var3) gestrichen werden.}

5) es spielt keine Rolle, welches Tor (1, 2 oder 3) ich am Anfang wähle, da die anfängliche Gewinnerwartung und der Fortgang des Spiels immer gleich sind. Es pielt auch keine Rolle, ob der Showmaster sodann in Variante 5 bzw 6 das Tor mit Niete a oder das Tor mit Niete b öffnet, auch diese beiden Varianten sind vollkommen äquivalent. Sofern man will, kann man aber auch diese Fälle modellhaft unterscheiden: sofern der Showmaster also Tor 2 aufdeckt, verbleiben nur noch die Varianten 2 und 5 mit Gewinnerwartung (0+6)/2=3 für mein Tor1 und im Falle des Tauschs ebenfalls (6+0)/2=3 für das verbliebene Tor3, und natürlich ganz genauso im umgekehrten Fall der Öffnung von Tor 3....

Es bringt also DOCH NICHTS zu tauschen, was ich Anfangs, als ich das Rätsel erstmals hörte, wie fast jeder intuitiv ja sofort richtig vermutet hatte.

Besonders deutlich wird die Sache, wenn wir den Nieten a und b unterschiedliche Werte von zB 0 bzw 6 zuweisen und dem Hauptgewinn 60. Selbst in diesem Fall spielt es (für die Wahl zu tauschen) keine Rolle, ob der Showmaster in Variante 5 und 6 das Tor (0) oder das Tor (6) öffnet. Es spielt natürlich keine Rolle, ob wir die Varianten a und b optisch unterscheiden können oder überhaupt sehen. Es kommt nur darauf an, dass die Varianten (theoretisch) physisch individuell unterscheidbar sind.

Die Varianten Var5 und Var6 haben im Allgemeinen eine kleinere Wahrscheinlichkeit als die anderen Varianten, weil der Moderator zwei Möglichkeiten hat, ein Tor zu öffnen. -- HilberTraum (Diskussion) 08:29, 19. Feb. 2013 (CET)

ja ich habe auch gerade bemerkt, dass es sich nur um eine Pseudoinformation handelt. Aber die Konsequenz wäre, die Varianten 3 und 4 nach der Wahl des Moderators von b=0 in a=0 abzuändern .... so bleibt die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn 1/3 und die andere Niete bekommt die ihr zustehende Wahrscheinlichkeit 2/3! --RA-Raisch (Diskussion) 18:36, 19. Feb. 2013 (CET) Allerdings ist das arg willkürlich, welches Gesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung berechtigt mich dazu?

ich denke ich habe die Lösung: womöglich berechtigt mich die freie Wahl des Moderators, die Tore 2 und 3 umzusortieren....nur im Fal 1 und 3 eben, so dass durch diese freie Wahl die Nieten A und B quasi ununterscheidbar werden....erinnert mich jetzt irgendwie an das Doppelspaltexperiment..... bzw ich darf bei der Wahl des Moderators die Fälle nicht unerscheiden, welche Niete nun wo landet, also stur das jeweilige Tor öffnen, genau so wie es der Moderator macht:

Dann bekommen wir:

Tor#	1	2	3	X übrig
Var1	a=0	offen	z=6	z=6
Var2	a=0	z=6	offen	z=6
Var3	b=0	offen	z=6	z=6
Var4	b=0	z=6	offen	z=6
Var5	z=6	a=0	offen	a=0
Var6	z=6	offen	a=0	a=0
Sum:	6+6=12	6+6+	+6+6=24	4x6=24

Gew: 12/6 = 2 für mein Tor, doch für das restliche Tor nunmehr 24/6=4, in Summe 2+4=6 Hurra (Anm. bei Var 5 und 6 spielt die Wahl des Moderators nach wie vor keine Rolle) --RA-Raisch (Diskussion) 19:24, 19. Feb. 2013 (CET)

Ich könnte zwar jetzt wieder einwenden, dass nicht alle sechs Varianten die gleiche Wahrscheinlichkeit haben müssen, aber nachdem ich sowieso nicht alle deine Ausführungen verstanden habe, sage ich einfach mal: Schön, dass du jetzt mit deiner Rechnung glücklich bist :-) -- HilberTraum (Diskussion) 20:17, 19. Feb. 2013 (CET)

wie kommst Du darauf, dass eine Möglichkeit weniger oft kommen würde als andere? Aber ich bin so glücklich über die Lösung, dass ich sie auf jeden Fall (in verschönerter Form vielleicht) in den Artikel aufnehmen würde. --RA-Raisch (Diskussion) 20:18, 20. Feb. 2013 (CET)

Zum Beispiel hat Var2 immer die Wahrscheinlichkeit 1/6, weil der Moderator dann immer Tor 3 öffnen muss. Aber bei Var5 und Var6 kommt es auf seine Strategie an, vielleicht öffnet er ja wenn er die Wahl hat, lieber das Tor mit der Niete a als das Tor mit der Niete b (weil a seine Lieblingsziege ist :). -- HilberTraum (Diskussion) 21:09, 20. Feb. 2013 (CET)

Annahmen herausarbeiten

Ich hab mir den Hauptartikel durchgelesen und bin gleich auf die Aussage gestossen, daß die Lösung 2/3 nur unter bestimmten Annahmen richtig sei. Könnte man an dieser Stelle nicht gleich angeben, welche Annahmen das sind (evtl. auch durch einen Link nach weiter unten in Artikel, falls eine längere Erklärung erforderlich sein sollte). Ich nehme an, daß das die folgenden sind:

- Der Inhalt der Tore wird am Anfang des Spiels festgelegt und nicht mehr verändert - Der Spieler hat keinerlei Kenntnis darüber, ob der Moderator Präferenzen bezüglich der Wahl des Tors hat, hinter dem er den Hauptgewinn versteckt (in anderen Worten: am Anfang des Spiels hätte der Spieler bei der Auswahl jedes Tores genau die selbe Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3).

Habe ich irgend etwas vergessen?

Übrigens habe ich hier auf der Diksussionsseite eine Berechnung gesehen, die m.E. unnötig verkompliziert wurde, indem man die beiden Nieten unterscheidbar gemacht hatte. Wenn man sich nur für den Gewinn interessiert und nicht dafür, welche der beiden Nieten gezogen wird, muss man diese Nieten auch nicht unterscheiden. Außerdem wurde sie noch zusätzlich verkompliziert, indem alle möglichen Verteilungen der Nieten und Gewinne aufgelistet wurden. Das ist m.E. nicht erforderlich. Wenn ich ausrechnen möchte, mit welcher Wahrscheinlichkeit ich im Lotto einen sechser erhalte, würde ich ja schließlich auch nicht alle (49 über 6) möglichen Ziehungen mal alle (49 über 6) Möglichkeiten Kreuze zu machen in betracht ziehen. Es reicht nämlich nur die möglichen Ziehungen zu betrachten, wenn beides gleichverteilt ist. --217.254.140.222 11:54, 22. Mär. 2013 (CET)

Eine wichtige Voraussetzung (siehe Artikel), ist, dass der Moderator gezwungen ist eine Tür zu öffnen. Man kann schlecht von „den Voraussetzungen“ sprechen, da mehrere Interpretationen zum 2/3-Ergebnis für die Wechselstrategie führen. Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit über mehrere Runden hinweg, reicht das schon als Voraussetzung. Betrachtet man dagegen die konkrete Situation in einer Runde, muss man strenger sein, und ausschließen, dass irgendwelche Zusatzinformationen durch das Verhalten des Moderators vorliegen. --Chricho ¹ ² ³ 12:18, 22. Mär. 2013 (CET)

Kurz und bündig: Solche Zusatzinformationen liegen nicht vor. Spekulationen über Vermutungen und Annahmen darüber anzustellen sind wichtiger Stoff für den Unterricht in bedingter Wahrscheinlichkeitsrechnung, sind jedoch völlig irrelevant für die konkrete Situation in der aktuellen Runde. Für die aktuelle Entscheidung sind solche Überlegungen, soferne sie zu einem von der Norm abweichenden Wert führen sollten, schlichtweg "generell falsch" und deshalb irreführend. Wie gesagt: Thema nur für den Mathe-Unterricht und keinesfalls mehr. Der Artikel bringt diesen grundsätzlichen Unterschied trotz im Überfluss verfügbarer moderner Literatur noch immer nicht deutlich genug zum Ausdruck und verwirrt damit. Zum Schaden der Leser. Gerhardvalentin (Diskussion) 17:45, 10. Apr. 2013 (CEST)

Dass solche nicht vorliegen, geht aus vielen verbreiteten Formulierungen des Problems nicht hervor. Und die angegebene moderne Literatur geht durchaus auf verschiedene Interpretationen ein. --Chricho ¹ ² ³ 19:55, 19. Apr. 2013 (CEST)

Ziegenproblem in Wikipedia Englisch

Das Ziegeproblem (Monty Hall problem) hat in der englischsprachingen Wikipedia eine neue "Einführung". Zitiert wird der weltberühmte Physiker Leonard Mlodinow ("Wenn Gott würfelt / The Drunkard's Walk") und auf youtube. – Mmn ist der Artikel in der Englisch-Version dadurch verständlicher geworden. Gerhardvalentin (Diskussion) 00:00, 10. Apr. 2013 (CEST)

1. Mlodinow nimmt in seinem Buch (in deutscher Übersetzung Wenn Gott würfelt) nicht die Originalformulierung von vos Savant als Grundlage seiner Argumentation, sondern eine veränderte Formulierung, die dafür sorgt, dass der Leser darauf hingelenkt wird, das Verhalten des Moderators als Folge vorher bekannter Spielregeln zu interpretieren. Genau solche Spielregeln werden im Abschnitt "Das Monty-Hall-Standard-Problem" ausführlich besprochen.
2. Die Englisch-Version krankt vor allem daran, dass die Mehrdeutigkeit der Originalformulierung von vos Savant nicht thematisiert und keine unterschiedlichen Lösungsmöglichkeiten aufgezeigt werden. Stattdessen werden nur die immer gleichen Phrasen wiederholt:"Because the host knows where the car is hidden he always can reveal a goat behind a different door to the door chosen by the player; we are supposed to assume that he always does do this." Solch eine logisch unhaltbare Schlussfolgerung ist unerquicklich und mathematisch unakzeptabel, und sie sorgt in der Folge dafür, dass der englischsprachige Artikel ein unleserlicher Wust von "Beweisen" der angeblich ausschließlichen Richtigkeit von vos Savants Lösung ist. --Geodel (Diskussion) 19:08, 19. Apr. 2013 (CEST)

Die Zweidrittelberechnung ist Augenwischerei

Denn sie trifft genau so gut auch auf die andere der beiden noch nicht geoeffneten Tueren zu. Die erste Wahl war zwischen drei unbekannten Tueren, aber nach dem Ausfall einer Tuer durch Oeffnen bleibt nur noch die Wahl zwischen zweien. Auf welche von beiden ich zuerst in der Annahme einer Drittelaussicht blind getippt habe, hat gar keinen Einfluss auf die 1:2 Wahrscheinlichkeit jeder der verbleibenden Moeglichkeiten. Ob der Spielleiter weiss, wo der Wagen steht, und ob er mir helfen oder mich reinlegen will, kann ich nicht wissen, auch ein Verhalten bei frueheren Spielgaengen ist kein Beweis fuer allgemeine konsequente Boes- oder Gutwilligkeit. Vielleicht kann er ja gerade mich gut leiden oder nicht riechen, und vielleicht zielt er mit so oder anders veraenderlichem Verhalten auf abwechslungsreiche Spannung oder Unterhaltung der Zuschauerschaft ab. Da ich die Nuetzlichkeit oder Schaedlichkeit seines Gelabers weder erkennen noch wahrscheinlichkeitsmaessig abwaegen kann, ist was er sagt und ob er ueberhaupt etwas sagt ganz bedeutungslos fuer meine Entscheidung fuer die vorher gewaehlte oder die andere Tuer, und wie oben dargelegt ist auch diese Entscheidung von keiner Bedeutung fuer meine Gewinnaussicht. --89.139.164.166 13:46, 5. Feb. 2013 (CET) --89.139.164.166 13:46, 5. Feb. 2013 (CET)

Es gibt zwei Arten von Missverständnissen, die zu anderen Gewinnwahrscheinlichkeiten als 2/3 führen können: 1. mathematisch falsche Schlussweisen, 2. ein abweichendes Verständnis der Aufgabenstellung. Die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 für einen Wechsel der Tür erhält man dann, wenn der Moderator gemäß der Spielregeln gezwungen ist, immer ein nichtgewähltes Ziegentor zu öffnen und daraufhin einen Wechsel anzubieten. Wenn der Moderator die Freiheit hat, auch kein Tor zu öffnen, dann stimmt wie du sagst die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 beim Wechsel nicht. Dann ist aber die Gewinnwahrscheinlichkeit ohne Wechsel nicht wie du behauptest 1/2, sondern 1/3, zuzüglich mathematisch nicht erfaßbarer Einblicke in die Psyche des Moderators. --Mixia (Diskussion) 18:09, 5. Feb. 2013 (CET)

Steht doch alles ausführlich im Artikel. --Chricho ¹ ² ³ 19:29, 5. Feb. 2013 (CET)

Nicht klar genug, finde ich. Der Artikel ist aus meiner Sicht viel zu lang für solch ein triviales Problem. --Mixia (Diskussion) 21:56, 5. Feb. 2013 (CET)

Dem kann man nur zustimmen. Eigentlich ist mit dem Abschnitt "Strategische Lösung" alles gesagt, um das Problem auf den Punkt zu bringen. (nicht signierter Beitrag von 79.194.66.252 (Diskussion) 10:21, 12. Feb. 2013 (CET))

Nachtrag: Unter "Strategische Lösung" heißt es: "Demnach wäre es für einen Kandidaten, der mehrmals an dieser Spielshow teilnehmen dürfte, von Vorteil, die Wahl des Tors immer zu ändern." Auch der Kandidat, der nur einmal teilnimmt, sollte natürlich aus dem gleichen Grunde wechseln, denn was im Durchschnitt aller Fälle richtig ist, muß auch in jedem einzelnen Fall richtig sein. --79.194.66.9 17:17, 13. Feb. 2013 (CET)

Das Problem ist aber nunmal unklar gestellt und war Auslöser für zahlreiche Diskussionen. Dem versucht der Artikel gerecht zu werden. --Chricho ¹ ² ³ 21:15, 12. Feb. 2013 (CET)

Das breitet der Artikel auf 32 K Text aus. Um das Problem der unklaren Aufgabenstellung und die mathematischen Lösungen dazu zu beschreiben sollte ein Zehntel davon genügen. Alles andere ist Blendwerk, das nur vom Inhalt ablenkt. Dann könnte noch ein beliebig langer Teil zur Rezeption des Problems folgen. Es geht vor allem um die Struktur: Der Leser sollte zunächst in einem knappen Teil den an sich trivialen Inhalt geschildert bekommen, und dann in einem unterhaltsamen Teil bei Interesse die Geschichte der Missverständnisse darum nachlesen können. --Mixia (Diskussion) 22:09, 12. Feb. 2013 (CET)

Es gibt aber nunmal nicht das Ziegenproblem als mathematisch klar definierte Angelegenheit. Da darf der Artikel auch nicht so tun, als gäbe es das. --Chricho ¹ ² ³ 22:37, 12. Feb. 2013 (CET)

Anders herum: Eine mathematisch klar definierte Angelegenheit ist das Ziegenproblem dann und nur dann, wenn der Moderator keinen gewinnrelevanten Einfluss auf den Ablauf hat und deshalb der Gewinn nur von der Entscheidung des Kandidaten und der Zufallsfunktion abhängt. Andere Ziegenproblem-Interpretationen, bei denen der Ablauf auch von der Entscheidung des Moderators abhängt, sind aus Sicht des Kandidaten mathematisch nicht vollständig beschreibbar, wobei man auch hier Laien schwer verständliche Teilaspekte mathematisch beschreiben kann. --Mixia (Diskussion) 15:26, 14. Feb. 2013 (CET)

Das ist Quatsch, schau dir den Artikel an, auch Interpretationen, in denen der Moderator Präferenzen hat oder wählen kann, ob er eine Tür öffnet, sind mathematisch „vollständig“ beschreibbar und führen dann eben zu anderen Ergebnissen. --Chricho ¹ ² ³ 16:33, 14. Feb. 2013 (CET)

Sorry, ich bin erschrocken über die falsche oder zumindest missverständliche Darstellung der Gewinnwahrscheinlichkeit bei den angeblich verschiedenen Varianten des Problems. Hier muss der Artikel dringend überarbeitet werden.

Die Lösung des mathematischen Problems ist viel einfacher als dargestellt: Wenn der Moderator durch die Regeln gezwungen ist, nach der ersten Wahl des Kandidaten stets eine Ziegentür zu öffnen, und der Kandidat dann immer wechselt, dann gewinnt der Kandidat immer mit Wahrscheinlichkeit 2/3, unabhängig von der Strategie des Moderators zur Auswahl der Tür. Der Moderator hat nämlich nur dann eine Wahl, wenn der Kandidat zuerst die Tür mit dem Gewinn ausgewählt hat. Das ist in genau 1/3 der Fälle so, und in genau diesen Fällen verliert der Kandidat mit der Wechselstrategie. Die Wahl des Moderators hat dann keinen Einfluss auf das Ergebnis. In allen anderen Fällen (also in 2/3 aller Fälle) gewinnt der Kandidat mit der Wechselstrategie. Dieses Argument ist mit anderer Perspektive im Absatz „strategische Lösung“ dargestellt.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 gilt auch für die beiden angeblichen „Varianten“ des „faulen“ und allgemeiner des „unausgeglichenen“ Moderators. Die im Artikel benannten abweichenden Wahrscheinlichkeiten von 1/2 und 1/(q+1) sind nur bedingte Wahrscheinlichkeiten, nachdem der Moderator die Tür geöffnet hat. Das ist keine Variante des Problems, sondern eine Detaillierung an einem für die globale Gewinnwahrscheinlichkeit nicht relevanten Punkt. Die spieltheoretische Bedeutung dieser Detaillierung ist: Wenn der Kandidat etwas über die Strategie des Moderators zur Auswahl der zu öffnenden Tür weiß, dann kann er mit der Öffnung der Tür mehr Informationen über die Wahrscheinlichkeit erhalten, mit der er in diesem einen Fall gewinnen wird. An der anfänglichen Wahrscheinlichkeit, mit der er gewinnt, ändert sich nichts, solange er nach der Türöffnung seine Wahl wechselt.

Diese Varianten mit detaillierter Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit gehören m.E. gar nicht in den Artikel. Das sagt dem mathematischen Laien nichts, auch wenn es ein guter Schüler der gymnasialen Oberstufe verstehen sollte (einen Mathematiker braucht man dafür nicht). Im Artikel sollte ein Satz zu Detaillierung und ihrer Bedeutung wie eben formuliert reichen, und ein Hinweis auf Literatur darüber. In dem verlinkten Artikel von Rosenthal ist das korrekt und verständlich dargestellt.

Alles oben Genannte ist mathematisch vollständig erfassbar. Nur wenn der Moderator frei ist, keine Tür zu öffnen, ist das ein anderes und mathematisch nicht vollständig erfassbares Problem, das aber oft auch als Ziegenproblem bezeichnet wird. Dazu sollte ein Abschnitt im Artikel bleiben. --Mixia (Diskussion) 20:45, 14. Feb. 2013 (CET)

Es betrifft immer bedingte Wahrscheinlichkeiten. Nijdam (Diskussion) 13:06, 15. Feb. 2013 (CET)

Wozu hilft diese Sichtweise? Die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit verwendet natürlich implizit bedingte Wahrscheinlichkeiten. Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten sind 0, wenn der Kandidat mit seiner ersten Auswahl die Gewinntür gewählt hat, und 1, wenn nicht. Es sind also sehr triviale Wahrschienlichkeiten - eigentlich gar keine. Daraus ergibt sich eine totale Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3, und diese ist keine bedingte Wahrscheinlichkeit (zumindest keine echte). In der derzeitigen Artikelfassung sind dagegen bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet, die überhaupt nicht zur Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit benötigt werden. Und sie werden noch nicht mal als solche bezeichnet. Das ist irreführend. --Mixia (Diskussion) 13:35, 15. Feb. 2013 (CET)

Die totale Gewinnwahrscheinlichkeit ist nicht (direct) relevant. Nijdam (Diskussion) 09:27, 17. Feb. 2013 (CET)

Auf jeden Fall mehr relevant als bedingte Wahrscheinlichkeiten bei zusätzlichen Annahmen, die in der ursprünglichen Aufgabenstellung nicht vorkommen. --Mixia (Diskussion) 10:53, 18. Feb. 2013 (CET)

Die Antwort 2/3, die zur Entscheidung fuehrt, ist jedenfalls, ob sie dir gefaellt oder nicht, eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Nijdam (Diskussion) 11:38, 18. Feb. 2013 (CET)

Meinst du? Unter Bedingung welchen Ereignisses gilt sie denn nach deiner Ansicht? --Mixia (Diskussion) 12:30, 18. Feb. 2013 (CET)

Die zwei Ereignisse "Kandidat waehlt Tuer 1" und "Moderator oeffnet Tuer 3". Das solltest du eigentlich das wissen. Nijdam (Diskussion) 22:22, 18. Feb. 2013 (CET)

Selbstverständlich kann man das Problem ganz ohne expliziten Bezug auf bedingte Wahrscheinlichkeiten lösen. Aber auch Laien können sich natürlich die Frage stellen, ob die anfangs zweifellos bestehende 2/3-Chance auch bis zur zweiten Wahl bestehen bleibt. Die nächstliegende Antwort ist natürlich die Gegenfrage, weshalb sich diese Wahrscheinlichkeit ändern sollte, wo doch zweifellos feststeht, dass die Wechselstrategie am Ende in (etwa ...) 2/3 der Fälle gewinnt. Darin steckt aber die selbstverständliche und deshalb vielleicht leicht zu übersehende Annahme, dass die Aussage über die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht davon abhängt, ob der Moderator Tür 2 oder Tür 3 öffnet. Die ursprüngliche Aufgabenstellung macht über eine Asymmetrie des Moderatorverhaltens in dem Fall, dass der Kandidat die Autotür gewählt hat, für jedermann erkennbar keinerlei Aussage. Deshalb ist es in der Tat unangemessen, diesen Fällen in dem Artikel so viel Raum zu geben. Das extreme Aufblähen dieses Aspekts geht offentsichtlich auf den Artikel von Morgan et al. aus dem Jahr 1991 zurück. Sie haben ihre Sichtweise noch dadurch unterstrichen, dass sie die Aufgabenstellung so verfälschten, als ob ausschließlich nach dem Fall gefragt wäre, dass der Kandidat zunächst Tür 1 wählt und der Moderator daraufhin Tür 3 öffnet. Aber selbst bei dieser lächerlichen Einschränkung ändert sich überhaupt nichts daran, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der der Moderator seine Tür öffnet, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat, schlicht nicht bekannt ist, weshalb die Annahme einer Asymmetrie sinnlos ist. Der Hauptaspekt des Ziegenproblems geht dabei völlig unter. Es ist die Spielregel, dass der Moderator nach der ersten "Wahl" verpflichtet ist, eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen, und einen Wechsel anzubieten. Die ursprüngliche Aufgabenstellung ist auch in diesem Punkt unmissverständlich: Sie sagt über den Grund für die Aktion des Moderators nichts aus. Was, wie ich schon öfter bemerkt habe, das eigentliche Ziegenproblem ist. So haben wir jetzt zahllose Stellungnahmen, die belegen, dass allein aus der Tatsache, dass der Moderator eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, auf die 2/3-Lösung geschlossen wird; was ein Witz ist. Aus meiner Sicht wird bei folgender Spielshow-Variante vollkommen klar, worum es geht:

Angenommen, Sie sind bei einer Spielshow und haben die Auswahl zwischen drei Türen: Hinter einer Tür befindet sich ein Auto, hinter den andern Ziegen. Der Moderator kennt die Autotür. Sie haben die Auswahl zwischen zwei Jokern:

1. Vor Ihrer Wahl dürfen Sie den Moderator auffordern, eine Ziegentür zu öffnen.

2. Vor Ihrer Wahl dürfen Sie zwei Türen bestimmen, von denen der Moderator eine mit einer Ziege öffnen muss.

Welchen Joker sollten Sie wählen?

--Albtal (Diskussion) 15:04, 15. Feb. 2013 (CET)

Bei faulen Moderatoren hat man eine $2/3$-Gewinnchance, wenn man die Information, welche Tür der Moderator gewählt hat, ignoriert, diese Information ist aber in der realen Situation natürlich gegeben, weshalb man diese Annahme explizit machen muss. Schau dir die Literatur an, auf die verwiesen wird: Die umfassenden Darstellungen gehen stets auf den realen Kontext des Problems und die verschiedenen Interpretationen hinaus. Ich wollte es auch erst nicht glauben und kannte nur die einfache Variante, aber das andere gehört nunmal dazu. --Chricho ¹ ² ³ 15:21, 15. Feb. 2013 (CET)

Auch wenn der Kandidat bei bekannt „faulem“ Moderator nach der Öffnung der Ziegentür diese zusätzliche Information über die Strategie des Moderators verwendet, kann er seine Gewinnwahrscheinlichkeit nicht durch Abweichen von der Wechselstrategie nicht erhöhen. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nur irrelevante Teilergebnisse einer schlechten Beweisführung. Auch wenn es zahlreiche Veröffentlichungen gibt, die solche beliebig komplizierte Berechnungen anstellen, verdienen es diese nicht, hier im Artikel dargestellt zu werden. Der Beweis des ursprünglichen Problems ("Joker 2" in der Darstellung von Albtal) ist elementar und in einer Zeile möglich: Der Kandidat gewinnt genau dann, wenn hinter der zuerst von ihm gewählten Tür eine Ziege steht, und die Wahrscheinlichkeit dafür ist 2/3. Eine Referenz auf diese Veröffentlichungen reicht aus. Einzig das Phänomen der hohen Zahl solcher Veröffentlichungen und deren Rezeption verdient Erwähnung. --Mixia (Diskussion) 18:30, 15. Feb. 2013 (CET)

Doch, natürlich kann er sie durch Abweichen von der Wechselstrategie erhöhen (indem er nur wechselt, wenn der Moderator die benachteiligte Tür wählt), nur eben nicht durch die Nicht-Wechsel-Strategie. Was ist denn das „ursprüngliche Problem“? Die Situation in der Spielshow? Das Problem aus dem Leserbrief? Beide jedenfalls erlauben verschiedene mathematische Beschreibungen. Wir halten uns hier eben an die Literatur. Zu den bedingten Wahrscheinlichkeiten: Sie sind kein Unsinn, weil dadurch geklärt wird, dass durch die gezeigte geöffnete Tür sich nichts an den Wahrscheinlichkeiten ändert, dass kann man sich auch anders klar machen, bedarf wohl aber eines Beweises. --Chricho ¹ ² ³ 18:49, 15. Feb. 2013 (CET)

Sorry, beim faulen Moderator gibt es leider keine Möglichkeit zur Erhöhung der Gewinnwahrscheinlichkeit durch Kenntnis der Information, welche Tür der Moderator öffnet. Wenn der faule Moderator den weiten Weg geht, gewinnt der Kandidat mit der Wechselstrategie sicher – andernfalls mit Wahrscheinlichkeit 1/2, egal ob er wechselt oder nicht. Die totale Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt 2/3. Was meinst du übrigens mit einer "benachteiligten Tür"?. --Mixia (Diskussion) 00:00, 16. Feb. 2013 (CET)

Die „benachteiligte Tür“ ist die, die weiter weg liegt. Die Sache ist eben die, dass du von einer „totalen Gewinnwahrscheinlichkeit“ ausgehst, geht man dagegen vom Einzelfall aus, in dem der Moderator eben den langen Weg wählt, ist eben die andere Strategie besser (da hat der Moderator es einem ja quasi gesagt). Wenn man „totale Gewinnwahrscheinlichkeiten“ betrachtet und den Moderator zu einem Angebot zwingt, dann ist das Ergebnis stets 2/3 mit der Wechselstrategie. Steht auch so im Artikel. Es sagt nur keiner, dass man „totale Gewinnwahrscheinlichkeiten“ betrachten muss und dass der Moderator ein Angebot machen muss. --Chricho ¹ ² ³ 00:29, 16. Feb. 2013 (CET)

Ich habe genau wie du stets betont, dass der Moderator nicht unbedingt ein Angebot machen muss. Das ist die entscheidende Trennlinie und der wichtigste Grund für Missverständnisse zum Ziegenproblem: 1. Der Moderator öffnet immer eine Ziegentür, 2. Der Moderator kann selbst entscheiden, ob er eine Ziegentür öffnet oder nicht. Dennoch ist eine andere Strategie als der Wechsel auch beim faulen Moderator nicht erfolgreicher, wenn wir im Problem 1 sind. Sind wir uns da einig? --Mixia (Diskussion)

Beim faulen Moderator ist, wenn man es nicht auf den Einzelfall bezieht sondern eine Mittelung, keine Strategie besser als die 2/3-Lösung. Steht ja auch im Artikel. --Chricho ¹ ² ³ 01:13, 16. Feb. 2013 (CET)

Ja, aber bei bekanntem "faulen" Moderator ist sogar in jedem Einzelfall die Wechselstrategie optimal. Öffnet der "faule" Moderator eine andere als seine Lieblingstür, gewinnt der Kandidat sicher durch den Wechsel. Öffnet er seine Lieblingstür, so hat der Kandidat keinerlei Information, hinter welcher der beiden geschlossenen Türen das Auto mit größerer Wahrscheinlichkeit steckt, also ist der Wechsel nicht zu seinem Nachteil. --Mixia (Diskussion) 11:01, 16. Feb. 2013 (CET)

Ach so meinst du das, ja. Sorry, wir haben aneinander vorbei geredet. Wie gesagt, der faule Moderator ist nicht sonderlich wichtig. Ändert aber natürlich nichts daran, dass unter gewissen Interpretationen, die in der Literatur verfolgt werden, an die wir uns hier halten, ein Nichtwechsel vorteilhaft ist. --Chricho ¹ ² ³ 11:09, 16. Feb. 2013 (CET)

Ok ;-) Wie du sagst, ist der "faule" Moderator ist nicht sonderlich wichtig. Das gilt aber auch für den derzeit im Artikel dargestellten "unausgeglichenen" Moderator (der den ausgeglichenen und den faulen verallgemeinert). Auch hier ist es selbst im Einzelfall nie ein Nachteil für den Kandidaten, seine erste Wahl nach Öffnung der Moderatortür zu wechseln. Die von dir angedeutete Situation, wo ein Nichtwechsel vorteilhaft ist, kommt da nicht vor. Deshalb ist die Darstellung dieser Detaillierungen um Kenntnis gewisser Vorlieben des Moderators für die eine oder andere Tür ohne Belang für den Artikel. Dagegen sollte ausführlicher dargestellt werden, wie die Gewinnchancen aussehen, wenn der Moderator die Freiheit hat, keine Tür zu öffnen. Da sind nämlich durchaus Situationen plausibel, wo ein Wechsel nicht ratsam ist. --Mixia (Diskussion) 21:54, 16. Feb. 2013 (CET)

Die bekannte intuitive falsche Lösung, die es schonmal gibt (findet sich auch schonmal hier in der Diskussion) sagt ja gerade auch, dass es egal ist, ob man wechselt oder nicht. Und das kann im Einzelfall eben auch beim faulen Moderator stattfinden. --Chricho ¹ ² ³ 19:47, 18. Feb. 2013 (CET)

Zu Varianten wie der mit dem faulen Moderator habe mich weiter oben sehr detailliert geäußert. Das ändert aber nichts daran, dass es sich angesichts eines angeblichen Paradoxons, bei dem es um eine 2/3- oder um eine 1/2-Lösung geht, um ein völlig unnötiges Nebenproblem handelt, das nicht nur vom Wesentlichen ablenkt, sondern auch in die Irre führt. Wenn ich weiß, dass der Moderator Tür 2 nur öffnet, wenn er es unbedingt muss, weiß ich natürlich auch, dass ich mit dem Wechsel 100%ig gewinne, wenn er Tür 2 öffnet; und es ist auch leicht zu zeigen, dass die Chance 1/2 beträgt, wenn er Tür 3 öffnet. Aber was ist damit gewonnen? Wenn ich ein Spiel gewinne, wenn ich errate, ob mein Mitspieler ein Streichholz in seiner Hand hat oder nicht, ist es nicht unbedingt ein genialer Hinweis, dass er ja eventuell in solchen Fällen stets ein Streichholz in die Hand nimmt oder aber womöglich nie; oder dass er vielleicht vorher würfelt und das Streichholz nur bei einer Sechs in die Hand nimmt usw.. Der größte Witz beim Ziegenproblem ist aber, dass dabei untergeht, dass nur die "Joker 2"-Variante zu einer 2/3-Lösung führt. Da können Morgen et al. und auch andere "reputable" Autoren schreiben, was sie wollen. --Albtal (Diskussion) 19:46, 15. Feb. 2013 (CET)

Vergiss halt den faulen Moderator. Jedenfalls macht es einen Unterschied, ob der Moderator ein Wechseln anbieten muss. Das ist weder bei der realen Show der Fall, noch geht es aus dem viel beachteten Leserbrief hervor. Das mit den 2/3 ist nicht voraussetzungslos und schonmal gar nicht, dass diese Strategie optimal ist. Auch wenn dir andere Interpretationsmöglichkeiten nicht gefallen, das ist für die Wikipedia nicht weiter von Belang. Der Artikel folgt der Literatur. Was hast du also einzuwenden? --Chricho ¹ ² ³ 19:51, 15. Feb. 2013 (CET)

Dieser Beitrag ist nun wirklich eine echte Überraschung. Ich denke, nicht nur für mich.--Albtal (Diskussion) 21:17, 15. Feb. 2013 (CET)

Ich wollte mit dem „vergiss halt“ nur sagen, dass man beim faulen Moderator eben noch argumentieren kann, dass das nicht so wichtig ist (auch wenn es auch nicht zu ignorieren ist), und wenn man das erst einmal beiseite lässt, immer noch gewichtige Gründe verbleiben. --Chricho ¹ ² ³ 21:23, 15. Feb. 2013 (CET)

Können wir uns einigen, den Artikel radikal zu überarbeiten? Der nächste Schritt wäre, die Arbeit zu verteilen ... --Mixia (Diskussion) 00:04, 16. Feb. 2013 (CET)

Nein, natürlich nicht. --Chricho ¹ ² ³ 00:25, 16. Feb. 2013 (CET)

Schade, es könnte so einfach sein ... --Mixia (Diskussion) 00:29, 16. Feb. 2013 (CET)

Hab dir auch oben geantwortet. --Chricho ¹ ² ³ 00:30, 16. Feb. 2013 (CET)

Ich dir auch, s.o. --Mixia (Diskussion) 00:52, 16. Feb. 2013 (CET)

Es ist völlig egal, wie faul oder fleißig oder unausgeglichen der Moderator ist. Wenn der Kandidat mittels der "strategischen Lösung" 2 von 3 Türen öffnen läßt, indem er zuerst auf die andere tippt, die eben gerade nicht geöffnet werden soll, hat er immer und ausnahmslos und unabhängig von irgendwelchen weiteren Bedingungen eine 2/3-Chance. Denn wenn ich im Ergebnis 2 von 3 Türen öffnen darf, auch wenn ich dieses Ergebnis vielleicht nur auf Umwegen erreiche, habe ich allein deshalb eine 2/3-Chance, ohne daß es irgendwelcher weiterer Begründungen bedarf. Dies gilt für das erste (und vielleicht einzige) Spiel, und es gilt für alle etwa folgenden Spiele jedes Mal aufs neue, allein aus sich selbst heraus. --79.194.66.37 15:43, 18. Feb. 2013 (CET)

Aus der Originalformulierung geht recht eindeutig hervor, dass die Zusatzinformation der Öffnens von Tür 3 mitberücksichtigt werden soll, also dass die bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet werden muss. Oder ganz pragmatisch (und nur halb ironisch): Jedem der das Vergnügen hatte, Aufgaben zur Stochastik im Abitur zu bearbeiten, wurde eingetrichtert, dass es bei solchen Texten IMMER um die bedingte Wahrscheinlichkeit geht ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 17:58, 18. Feb. 2013 (CET)

P.S.: Mit dem Abschnitt "Strategische Lösung" im Artikel müsste dringend was passieren, es müsste zumindest deutlicher werden, dass es hier um totale Wahrscheinlichkeiten vor dem Öffnen des Tores geht, also um eine Strategie, die man sich vor dem Spiel überlegt. Und was soll denn eine "durchschnittliche Gewinnchance" sein? Das ist völlig unverständlich. -- HilberTraum (Diskussion) 18:28, 18. Feb. 2013 (CET)

"Aus der Originalformulierung geht recht eindeutig hervor, dass die Zusatzinformation der Öffnens von Tür 3 mitberücksichtigt werden soll, ..." --> Sorry, ist das jetzt ernst gemeint oder sozusagen milder Zynismus? Bin mir da nicht ganz sicher. "... öffnet eine andere Tür, sagen wir, Tür 3 ..." soll eine Berücksichtigung des Öffnens gerade von Tür 3 implizieren? Die Formulierung bedeutet sprachlich selbstverständlich und ohne den leisesten Ansatzpunkt für abweichende Deutungen nichts anderes als die Nennung eines beliebig herausgegriffenen Beispiels. Ich hoffe im Augenblick noch zuversichtlich, daß ich diesbezüglich Eulen nach Athen trage ... ;-) --212.144.89.78 19:29, 18. Feb. 2013 (CET)

Es geht ja auch nicht darum, welche Nummer die Tür hat, sondern darum, dass die ganz konkrete Lage berücksichtigt wird. --Chricho ¹ ² ³ 19:47, 18. Feb. 2013 (CET)

Das war schon genauso gemeint! Man muss die Aufgabe auch noch fertig lesen: "Er fragt Sie nun", das heißt, die Entscheidung soll eindeutig getroffen werden, nachdem die Information vorliegt, dass der Moderator Tür 3 geöffnet hat. Das "sagen wir" in der Aufgabe ist tatsächlich etwas seltsam, aber ich interpretiere das so, dass nur festgestellt werden soll, dass es für die Überlegung keine Rolle spielt, welche Tür geöffnet wird. Vielleicht auch so, dass der Moderator zufällig wählt, wenn er die Möglichkeit dazu hat, aber das ist wirklich unklar. -- HilberTraum (Diskussion) 19:53, 18. Feb. 2013 (CET)

"Man muss die Aufgabe auch noch fertig lesen: "Er fragt Sie nun", das heißt, die Entscheidung soll eindeutig getroffen werden, nachdem die Information vorliegt, dass der Moderator Tür 3 geöffnet hat." Ja natürlich, wann denn auch sonst?

Die "strategische Lösung" ist völlig unabhängig von der Motivation des Moderators und läßt sich ohne weitere Bedingungen allein aus der vom Kandidaten nach dem Öffnen einer Ziegentür und dem Wechselangebot vorgefundenen einzelnen Situation ableiten, ohne daß es dafür noch auf irgendetwas anderes ankäme als auf die Kenntnis, daß sich hinter einer der drei Türen ein Auto befindet, das ich gewinne, wenn ich den Moderator anweise, diese Tür zu öffnen.

Der intelligente, lösungsfähige Kandidat weiß, daß sich hinter der Tür, auf die er zunächst getippt hat, nur mit 1/3-Wahrscheinlichkeit das Auto befindet. Nach dem aus welchen beliebigen Gründen auch immer erfolgten Öffnen einer Ziegentür, d.h. allein aufgrund der bloßen Tatsache, daß jetzt eine Ziegentür offensteht und der Kandidat eine der beiden anderen Türen zum Öffnen bestimmen darf, ist der Kandidat nun in der Lage, sich folgendes klarzumachen: "Wenn ich jetzt das Wechselangebot annehme, stehen am Ende zwei bestimmte Türen offen und ich bekomme das Auto, wenn es hinter einer der beiden steht. Diese Konfiguration ist identisch mit derjenigen, die sich ergeben hätte, wenn ich von Anfang an diese beiden Türen zum Öffnen hätte auswählen dürfen und wenn ich diese Wahl nach den Regeln durch Ausscheiden der anderen, verbleibenden Tür hätte treffen müssen. Dann hätte ich eine 2/3-Chance gehabt (statt der 1/3-Chance meiner 'ersten Wahl'). Und siehe, dafür ist es durchaus noch nicht zu spät, denn ich brauche in der momentan vorgefundenen Situation einfach nur meine 'erste Wahl' gedanklich umzuwidmen und verstehe diese ab sofort als eine Wahl zur Nichtöffnung dieser Tür und gleichzeitig zur Öffnung der beiden anderen. Damit ersetze ich eine ungünstige Wahl durch eine günstigere."

Diese Überlegungen kann der Kandidat auch dann anstellen, wenn er zunächst völlig ahnunglos war, er also davon ausging, es werde nach seiner Wahl nun sogleich diese Tür geöffnet und er folglich von dem Öffnen der Ziegentür und dem Wechselangebot überrascht wurde. Es ist schnurzpiepegal, was der Moderator sich so denkt, warum er diese Ziegentür geöffnet hat und keine andere, und wie er das früher gehalten hat oder künftig halten wird, solange er sich nur an die Regeln hält. --212.144.89.78 20:33, 18. Feb. 2013 (CET)

Nein, das ist nicht egal. Das 2/3-Ergebnis fürs Wechseln in jedem Einzelfall ist korrekt, wenn man davon ausgeht, dass der Moderator eine Tür wählen muss und dies zufällig, gleichverteilt tut, ohne dass irgendwelche weiteren Informationen herüberkommen. Wählt man Modellannahmen anders, kommt man nicht auf 2/3. Lies doch mal den Artikel. --Chricho ¹ ² ³ 20:46, 18. Feb. 2013 (CET)

@212...: Bei einem Spiel, das vom Zufall und von Strategie abhängt, kann sich die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen natürlich während des Spiels ändern. Mach dir das doch mal anhand von Spielen wie Monopoly oder Poker klar. Wenn jemand im Mittel jede 10. Pokerrunde gewinnt, aber jetzt ein Full House bekommen hat, ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit doch auch nicht mehr 10 %. Beim Ziegenproblem ist der Effekt halt nicht so deutlich, weil Wechseln fast immer vorteilhaft ist, aber er ist natürlich vorhanden wie im Artikel dargelegt. -- HilberTraum (Diskussion) 21:08, 18. Feb. 2013 (CET)

Die Tabelle zum faulen Moderator zeigt doch nichts anderes, als daß der Kandidat nur dann nicht gewinnt, wenn er den ersten Tipp auf das Auto abgegeben hat, in allen anderen Fällen (4 von 6) gewinnt er durch Wechsel, q.e.d. Daß er in den 2 von 4 Fällen verliert, in denen der Moderator die Tür 3 öffnet, weil die Situation es diesem erlaubt, liegt doch nicht am Öffnen der Tür 3 (anstelle einer anderen), sondern ausschließlich daran, daß der Kandidat in diesen tabellarischen Fällen zuerst auf das Auto getippt hat. Der Kandidat ist derjenige, der den Reigen durch sein erstes Tippen eröffnet und damit in Abhängigkeit vom Inhalt dieser Tür die jeweilige objektive Folge eines Wechsels bereits in diesem Moment vorgibt. Allein dieses erste Tippen und keine sonstigen Kausalitäten entscheidet über Gewinn und Verlust bei Wechsel, und auf dieses erste Tippen kann der Moderator durch sein zeitlich nachfolgendes Verhalten keinen Einfluß mehr nehmen. Die erste Wahl ist kausal für die Möglichkeiten des Moderatorenverhaltens, nicht aber kann umgekehrt das Moderatorenverhalten die aus der ersten Wahl folgenden Konsequenzen noch kausal berühren. --212.144.89.78 21:57, 18. Feb. 2013 (CET)

Bedingte Wahrscheinlichkeiten haben nichts mit kausalen Abhängigkeiten zu tun, sondern entstehen durch Einschränkung auf Teilmengen aller möglichen Ergebnisse. Weil der faule Moderator häufiger Tor 3 öffnet, sinkt die Häufigkeit, mit der Kandidat gewinnt, wenn Tor 3 geöffnet wird. ("Anzahl günstiger Ergebnisse" / "Anzahl aller betrachteten Ergebnisse": Wenn der Nenner größer wird, wird die Wahrscheinlichkeit kleiner, auch wenn sich der Zähler nicht ändert.) -- HilberTraum (Diskussion) 22:26, 18. Feb. 2013 (CET)

Die Häufigkeit der Gewinne bei Wechsel sinkt in ausschließlicher Abhängigkeit von der Zahl der Fälle, in denen der Kandidat zuerst auf die Autotür tippt. Nur in diesen Fällen hat der Moderator überhaupt die Wahl zwischen zwei Ziegentüren (bzw. die Möglichkeit, Tür 3 zu öffnen, falls das gerade eine von zwei öffnungsfähigen Ziegentür ist). Der Moderator kann seiner Vorliebe für Tür 3 eben nur in den Fällen entsprechen, in denen der Kandidat durch Wechsel sowieso nicht gewinnen kann. Die Frage, ob der Kandidat durch Wechseln seine Chancen erhöht oder nicht, ist also bereits durch die Qualität der ersten Wahl endgültig entschieden und durch nichts anderes. --212.144.88.151 09:26, 19. Feb. 2013 (CET)

Ich kann mich eigentlich nur wiederholen: Wenn der Moderator häufiger Tor 3 öffnet, aber die Anzahl der Fälle, in denen der Kandidat gewinnt, gleich bleibt, dann sinkt der Anteil, also die relative Häufigkeit/bedingte Wahrscheinlichkeit. Zum letzten Satz: Natürlich ist die Situation durch die erste Wahl des Kandidaten entschieden, wenn er sowieso immer wechselt, aber er weiß halt nicht wie die Entscheidung ausgegangen ist. Nur deswegen wird er ja Überlegungen über die Gewinnwahrscheinlichkeit anstellen. -- HilberTraum (Diskussion) 20:30, 19. Feb. 2013 (CET)

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Was wäre, wenn ... ?

Welches Ergebnis würde ein Computerprogramm auswerfen, in dem der Moderator, jedesmal, wenn er im konkreten Einzelfall die Gelegenheit dazu hat, die vom Kandidaten aus gesehen "rechte äußere (Ziegen)Tür" öffnet und der Kandidat dann wechselt? Ergäben sich hier andere Salden als 2/3 Gewinn bei Wechsel nach Zufallswahl einer der Ziegentüren? -- 79.194.75.24 15:32, 22. Apr. 2013 (CEST)

Gute – weil zielführende – Frage, 79.194.75.24. Es geht letztlich darum, Untermengen erkennen und als solche identifizieren zu können. Das berühmte Paradoxon (Gewinnchancen Beharren:Wechseln nicht "1:1", sondern "1:2") setzt voraus: Die aktuelle Platzierung der Objekte ist uns und dem Kandidaten unbekannt. Weiters ist uns unbekannt, nach welchen (allfälligen) Gesichtspunkten der Kandidat seine erste Wahl getroffen hatte. Hingegen ist bekannt, dass der Moderator nach der ersten Wahl des Spielers eine der beiden ungewählten Türen öffnet, um eine Ziege herzuzeigen und einen Wechsel auf die andere noch verschlossene ungewählte Türe anzubieten. Nochmals: Mehr wissen wir nicht. Der entscheidende Fehler von MCDD: Beliebige "Annahmen" zu treffen und solche "als gegeben" zu behandeln: Alle gegebenen Möglichkeiten damit auf eine "verbleibende Untermenge" zu reduzieren, ohne dies zu bemerken geschweige denn dies auszusprechen.

Situation Trefferwahl (Wahrscheinlichkeit insgesamt 1/3)

Nur wenn der Kandidat in 1 aus 3 möglichen Fällen zufälligerweise den Preis gewählt hat, besitzt der Moderator die Wahl, welche der beiden ungewählten Ziegentüren er öffnet. Die bloße Annahme einer (unbekannten) "Bevorzugung" stellt eine "unzutreffende Annahme" dar, welche die insgesamt bestehenden Möglichkeiten ungerechtfertigterweise auf eine "verbleibende Untermenge" der möglichen Fälle reduzieren würde. Eine solche Untermengen-Annahme scheidet für die konkrete gegebene Situation definitiv aus und ist lediglich im Unterrichtsfach Bedingte Wahrscheinlichkeitsrechnung nützlich. In der dort jeweils verbleibenden Untermenge verändert sich allerdings die Wahrscheinlichkeit dramatisch, in welcher der drei möglichen Situationen der Spieler sich aktuell befindet, von "1/3 : 1/3 : 1/3" auf andere Werte. Nur für den Mathe-Unterricht sinnvoll, für das Ziegenproblem jedoch irrelevant.

Situation Nietenwahl A (Wahrscheinlichkeit insgesamt 1/3)

Hat der Kandidat Ziege A gewählt, wird der Moderator nur die zweite Ziege B "auswählen" um sie herzuzeigen. Durch diese Einschränkung verhilft er dem Kandidaten bei einem Wechseln zum sicheren Gewinn.

Situation Nietenwahl B (Wahrscheinlichkeit insgesamt 1/3)

Hat der Kandidat Ziege B gewählt, wird der Moderator nur die zweite Ziege A "auswählen" um sie herzuzeigen. Durch diese Einschränkung verhilft er dem Kandidaten bei einem Wechseln zum sicheren Gewinn.

Der Moderator wählt also nicht immer "beliebig", sondern in 2 von 3 Fällen eingeschränkt und vorherbestimmt.

Würde er immer beliebig wählen und rein zufällig nicht den Preis sondern eine Ziege gezeigt haben, so wäre auch dies nurmehr eine Untermenge, in der Beharren und Wechseln die selbe Gewinnchance haben. Dies würde dann der üblichen Fehleinschätzung (1:1) entsprechen.

Zu Deiner Frage

In der bei Deiner Annahme verbleibenden Untermenge der zutreffenden Fälle ist die Gewinnchance Beharren:Wechseln 1/2 : 1/2. Sollte der Moderator jedoch "ausnahmsweise" die ansonsten von ihm "vermiedene" Türe öffnen um eine Ziege zu zeigen, so ist die Gewinnchance Beharren:Wechseln in jener Untermenge dann 0/3 : 3/3, mit anderen Worten 0:1. Durch derartiges im konkreten Fall unzulässigen Ausblenden / Weglassen von effektiv bestehenden Möglichkeiten wird die Wahrscheinlichkeit, in welcher jeweiligen "Untermengen-Situation" der Kandidat sich aktuell befindet, von insgesamt 1/3 : 1/3 : 1/3 auf andere, für die jeweiligen "Untermengen-Situation" zutreffende Wahrscheinlichkeiten geändert. Siehe Leonard Mlodinow: Das Monty Hall Problem is schwer zu verstehen, denn ohne ein eingehendes Beobachten erfährt die tatsächliche Funktion des Moderators zu wenig Beachtung. (Mlodinow, Leonard, The Drunkard's Walk – How Randomness Rules Our Lives (2008) Kapitel 3, Seiten 53–56

und Leonard Mlodinow Das Monty Hall Problem (Ziegenproblem) 3 Minuten auf youtube, von min. 25:00 bis min. 28:00 (von total 51:35 min.) Gerhardvalentin (Diskussion) 14:16, 23. Apr. 2013 (CEST)

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Danke für Deine Antwort, aber ganz ausdrücklich ergebnisbezogen beantwortet erscheint mir meine Frage noch nicht. Also vorsichtshalber nochmal: Das Programm ist so gestaltet, daß das Auto vor jedem Durchgang zufällig auf eine der drei Türen gesetzt wird, daß der Kandidat seine sog. erste Wahl aus den drei Türen ebenfalls per Zufallsgenerator trifft, und schließlich, daß der Mod immer und ausnahmslos die rechte äußere Ziegentür öffnet, wenn die Konfiguration des einzelnen Falls ihm dies ermöglicht. Es finden nun 5000 Durchgänge mit jeweiligem Wechseln statt. Ergibt der Saldo nun wegen der hier implizierten "Faulheit" des Moderators nun 1/2 : 1/2 ? Ja oder nein?

--87.152.51.93 15:40, 24. Apr. 2013 (CEST)

Ich hab so ein Programm und kann dir das gerne simulieren, aber du müsstest der Vollständigkeit halber noch festlegen, was der Moderator machen soll, wenn er die Wahl zwischen Tür 1 und 2 hat. Aber erwarte dir keine großen Überraschungen: Wie im Artikel dargelegt wird halt die totale Gewinnhäufigkeit ungefähr 2/3 sein und sie wird auf ungefähr 1/2 sinken, wenn man nur die Fälle betrachtet, in denen der Moderator Tür 3 öffnet ("fauler Moderator") ... ist ja eigentlich schon alles im Artikel ausgeführt. -- HilberTraum (Diskussion) 17:06, 24. Apr. 2013 (CEST)

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Die Wahl zwischen zwei verschiedenen (Ziegen)Türen hat der Moderator ja nur, wenn der Kandidat auf das Auto getippt hat. Das Programm soll so gestaltet sein, daß der Mod dann immer die (aus Sicht des Kandidaten) rechte der beiden (Ziegen)Türen öffnet, diese sei also die jeweils bevorzugte Tür des fußfaulen Moderators, z.Bsp. weil sich sein regulärer Standort aus Sicht des Kandidaten rechts von der Türreihe befindet.

--87.152.51.93 17:59, 24. Apr. 2013 (CEST)

Ok, 5000 Spiele, davon hat der Kandidat (wechselt immer) insgesamt 3279 (= 65,6 %) gewonnen. Der Moderator hat in 2239 Spielen Tor 3 geöffnet (= 44,8 %), davon hat der Kandidat in 1077 Spielen gewonnen (= 48,1 %). Also keine großen Überraschungen. Gerechnet mit dem folgenden Programm in der Statistiksprache R:

monty <- function(car,choice) {
  max((1:3)[-c(car,choice)])
}

player <- function(choice,open){
  (1:3)[-c(choice,open)]
}

n <- 5000
set.seed(4711)
car <- sample(3,n,rep=TRUE)
choice <- sample(3,n,rep=TRUE)
open <- mapply(monty,car,choice)
new.choice <- mapply(player,choice,open)
win <- new.choice==car

-- HilberTraum (Diskussion) 19:00, 24. Apr. 2013 (CEST)

Exakt.  Wir kommen der Lösung näher. Gewinnt der Kandidat doppelt soviel wenn er wechselt, als wenn er beharrt? Danke HilberTraum, Dein Beispiel macht den wahren Unterschied zwischen "im konkreten Einzelfall wechseln" und "Wechselstrategie" deutlich.

Das leidige "Ziegenproblem" ist, dass seit MCDD die Fachliteratur der Mathematiker es noch immer nicht geschafft hat zu zeigen, dass für das berühmte Paradoxon (zwei Türen, doch ihre Chancen sind nicht 1:1 sondern 1:2) kein Unterschied zwishen der berühmten "Strategie" – z.B. "IMMER (!) WECHSELN!" und dem "Wechseln im aktuellen konkreten Spiel" besteht. Dass wir "getäuscht" werden und glauben sollen, dass es in der "konkreten Situation" anders sei als bei der "Strategie".

Allerdings müssen wir wissen wovon die Rede ist, um nicht der landläufigen Täuschung (MCDD) zu erliegen, wir müssen also sehr präzise sein. Es geht schließlich um das weltberühmte Paradoxon.

Wechseln (und nicht beharren): Die Türen sind #1, #2 und #3. Der Kandidat wählt seine Türe jeweils "zufällig" aus, der Moderator öffnet danach eine vom Kandidaten nicht ggewählte Türe, um eine Ziege vorzuteigen und einen Wechsel auf die zweite noch verschlossene Türe anzubieten. Computeranalyse mit 100 Millionen Spielen zeigt folgendes Bild (vollständiges Logbuch von Spiel 1 bis Spiel 100'000'000 steht auf Wunsch zur Verfügung), ich runde hier die Ergebnisse auf 1 Promille:

Gewinn 666'667 mal (Prozentangabe überflüssig)

Verlust 333'333 mal

Präferenzen ?  Bitteschön:

Annahme: der Moderator ist bestrebt, wenn immer möglich die Türe mit der höchstmöglichen Nummer zu öffnen

Das Resultat bleibt dasselbe: 666'667 mal Gewinn und 333'333 mal Verlust des Autos bei Wechseln".

Annahme: Der Moderator ist bestrebt, wenn immer möglich die Türe mit der niedrigstmöglichen Nummer zu öffnen

Das Resultat bleibt dasselbe: 666'667 mal Gewinn und 333'333 mal Verlust des Autos bei Wechseln".

Überrascht? Der Moderator kann nicht immer seinem Bestreben folgen, sondern er muss in exakt einem Drittel der Fälle eine der von ihm normalerweise "gemiedenen Türen" öffnen: Und in exakt diesem Drittel gewinnt der Kandidat mit Sicherheit immer!

Falls jenes Drittel der Fälle, in denen der Moderator seine "bevorzugte Türe" nicht öffnen kann, gemäß Anweisung von MCDD einfach "weggelassen" und ausgeblendet wird ("diese Fälle brauchen nicht beachtet zu werden"), nur dann ist die Chance Berharren:Wechseln 1:1.

Fazit: Das Ergebnis kann nur dann korrekt sein, wenn wir ALLE eintretenden Ergebnisse beachten, und nicht nur eine "Teilmenge" davon. MDCC verkündeten, dass nur ein "Teil" der Ergebnisse berücksichtigt werden müsse, nur sie seien relevant. Doch das ist ein heimtückischer Trugschluss. Es gibt eine "Teilmenge" von Fällen, in denen der Moderator seinem Bestreben nicht folgen KANN und die "vermiedene Türe" öffnen muss, weil sich hinter seiner bevorzugten Türe der Gewinn befindet. Diese Teilmenge beträgt genau ein Drittel aller Fälle. Nur wenn jene Teilmenge, nur wenn jenes Drittel der möglichen Fälle unzulässigerweise "ausgeblendet" und weggelassen wird, beträgt die Gewinnchance in beiden Fällen des "bestrebten Moderators", egal ob er die höchste oder die niederste Nummer bevorzugt, 1/2 : 1/2. In dem "ausgeblendeten" Drittel wie gesagt dafür genau "0 : 1".

Das berühmte Paradoxon erlaubt kein "Weglassen von Teilmengen" nur weil MCDD sagen, sie brauchten "nicht beachtet" zu werden. Ein "Ausblenden" ist nicht vorgesehen, denn das Paradoxon "garantiert" keinen einseitigen Moderator, der - falls er in 1/3 der Fälle eine von zwei Ziegentüren auswählen kann, eine spezielle Türe dann "bevorzugt" öffnet. Nur bei einer solchen "Garantie" wäre das möglich. Mathematiker tun so, als bestünde eine solche Garantie. Da sie nicht besteht, genügt ihnen allein schon die "Annahme" dass eine solche Garantie bestünde für die Rechtfertigung, gegebene Ereignismengen "auszublenden" und wegzulassen.

Die Tatsache, dass beim Paradoxon durch ein Wechseln auf die angebotene zweite verschlossene Türe sich die Gewinnchance in jedem einzelnen Fall von 1/3 auf 2/3 verdoppelt, liegt nicht allein daran, dass der Moderator in jedem Fall eine Ziege vorzeigen kann, sondern auch am Szenario des Paradoxons, das einen "einseitigen" Moderator NICHT GARANTIERT. Falk sagt NICHT dass es genüge zu wissen, dass der Moderator nicht "einseitig" handle, falls er eine aus zwei Ziegen wählen kann, sondern sie sagt im Gegenteil sehr klar, dass ein "einseitiger" Moderator nur dann in Erwägung gezogen werden dürfe, wenn er tatsächlich einseitig IST und seine Präferenz BEKANNT IST. Das ist beim Paradoxon nicht der Fall, es garantiert keinen aus zwei Ziegen "einseitig" auswählenden Moderator. Von einer solchen "Einseitigkeit" zu sprechen ohne zu sagen, dass dies für das gültige "Paradoxon" eben nicht zutrifft, ist abwegig und unaufrichtig.

Für das gültige Paradoxon gibt es keinen Unterschied "bevor" und "nachdem" eine Ziegentüre geöffnet wurde, denn "nachdem" (!) der Moderator des berühmten Paradoxons eine Ziegentüre geföffnet hat, beträgt gemäß Falk beim gültigen Paradoxon die Gewinnhance bei einem Wechseln 2/3.

Das Paradoxon kennt kein 1:1,  0:1  und von "1:2" abweichende Zwischenwerte. Solche treten beim Paradoxon nicht auf. Es gibt sie nur außerhalb des weltberühmten Paradoxon.  Gerhardvalentin (Diskussion) 23:12, 27. Apr. 2013 (CEST)

Dieser Interpretation des Zufallsexperiments stimme ich nicht zu: Die Vorstellung vom "Ausblenden" von Fällen bzw. Übergang zu Teilmengen ist korrekt, allerdings ist dieses Ausblenden beim "weltberühmten Paradoxon" richtig und wichtig: Sowohl der Leser der Aufgabe als auch der Kandidat in der realen Spielsituation bekommt die Information, dass der Moderator Tür 3 öffnet. Der Kandidat sieht das mit eigenen Augen und kann danach(!) selbstverständlich alle Überlegungen zu Fällen ausblenden, in denen der Moderator Tür 1 oder 2 öffnet; einfach weil er gesehen hat, dass diese Fälle nicht eingetreten sind. -- HilberTraum (Diskussion) 09:35, 28. Apr. 2013 (CEST)

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Was ändert dies aber an der Handlungsempfehlung zum Wechsel, wenn der Kandidat eben nicht weiß, ob Tür 3 offen ist, weil der Moderator tatsächlich immer faul ist? Wenn ich aufgrund meiner Informationen (und den daraus als möglich ableitbaren Varianten) entweder eine Chance von mindestens 1/2 (Wechsel wäre "egal") oder eine solche von 2/3 (Wechsel wäre zu empfehlen) sehen darf, entscheide ich mich natürlich nicht für die "Egal"-Lösung mit Nichtwechsel, sondern für den Wechsel, um die bei Wechsel jedenfalls ebenfalls mögliche 2/3-Chance nicht von vornherein auszuschließen und leerlaufen zu lassen, also ohne Not auf sie zu verzichten. Spieltheoretisch betrachtet ist daher die Ausgangsfrage, ob bei Offenstehen von Tür 3 ein Wechsel von Vorteil ist (was ja in keinem denkbaren Fall gleichbedeutend mit der Sicherheit eines Gewinns ist), immer mit "ja" zu beantworten. Dafür, daß der Kandidat die etwa konkret gegebene "Immer-Tür-3-Taktik" des Moderators kennt, gibt die Aufgabenstellung nicht das geringste her.

--79.194.68.180 10:59, 29. Apr. 2013 (CEST)

Im Prinzip hast du recht, dass man hier in etwa zum gleichen Ergebnis kommt, egal ob man sich die Situation vor oder nach dem Öffnen der Ziegentür überlegt, schließlich ist ja in der konkreten Aufgabe, nicht nach genauen Wahrscheinlichkeiten gefragt, sondern nur ob ein Wechseln "von Vorteil" ist. Aber das liegt eben an den speziellen Spielregeln dieser Aufgabe und ist eher ein "didaktisches" Problem. Es sind zahlreiche Abwandlungen solcher Probleme denkbar, wo es eben nicht mehr egal ist, weil der Spieler korrekt auf den konkreten "Zug" des Moderators reagieren muss. Ich habe halt die (wohl ein wenig idealistische) Vorstellung, dass hier der Leser "lernen" soll, wie man grundsätzlich solche von Zufall beeinflussten Situationen untersucht. -- HilberTraum (Diskussion) 13:36, 29. Apr. 2013 (CEST)

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Die Frage ist halt nur, ob man den Artikel mit allzuvielen theoretischen Nebenschauplätzen dieser Art überfrachten (und entsprechend den Leser überfordern) sollte, denn in der gegenwärtigen Form wirkt alles seltsam ausufernd, inkohärent und insgesamt verwirrend. Es fehlt der klare Schwerpunkt auf dem klassischen 08/15-Ziegenproblem, so wie Otto Normalverbraucher es aus den Medien kennt und wie es immer wieder mal, ggfs. in einer geselligen Runde, heiß diskutiert wird. Und dabei geht es nun einmal um nichts anderes als den Konflikt zwischen der spontanen Intuition "50:50", die sich auch bei einem definiertermaßen zufällig wählenden Moderator einstellt, und dem Aha-Erlebnis, warum diese Intuition eben nicht allein deswegen generell richtig ist, weil man die Wahl zwischen zwei Türen hat, hinter denen ein Auto und eine Ziege stehen, ohne daß bekannt ist, wie sie verteilt sind.

--79.194.68.180 15:33, 29. Apr. 2013 (CEST)

Bei dieser Kritik am Artikel kann ich dir im großen und ganzen nur zustimmen. Aber schau dir mal die Diskussionen auf dieser Seite einschließlich der Archive an, dann dürfte klar sein, wie es kommt, dass der Artikel so ausufernd, inkohärent und verwirrend ist. -- HilberTraum (Diskussion) 16:34, 29. Apr. 2013 (CEST)

1. Das "klassische 08/15-Ziegenproblem, so wie Otto Normalverbraucher es aus den Medien kennt" hat nicht unbedingt eine 2/3-Gewinnchance-durch-Wechseln-Lösung. Die Mehrdeutigkeit der vos Savant'schen Fragestellung und dementsprechend unterschiedliche Lösungsvarianten müssen im Artikel dargestellt werden. Diese Darstellung ist nicht "ausufernd" oder "inkohärent" sondern dem Gegenstand entsprechend korrekt.
2. Zur Lösung des Ziegenproblems gehört ja nicht nur die Antwort auf die Frage "Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?" sondern auch eine gute Begründung für diese Antwort. Ohne mathematisch korrekte Begründung ist eine Antwort bedeutungslos. Vos Savant gibt zwar eine bzgl. ihrer Interpretation des Leserbriefs scheinbar schlüssige Antwort, liefert dazu aber auch noch eine fragwürdige Begründung. Ihr Szenario mit 1 Million Toren lässt vermuten, dass sie zu diesem Zeitpunkt noch nicht bemerkt hatte, dass ihre Antwort nur dann richtig wäre, wenn diese Spielhow unter den immergleichen Bedingungen wiederholt worden wäre. Falls der im Leserbrief beschriebene Ablauf der Spielshow nur einmal genauso stattfindet, also auch keinem vorher bekannten Reglement entspricht, ist ihre Antwort einfach falsch.
3. 79.194.68.180 schreibt:" Wenn ich aufgrund meiner Informationen (und den daraus als möglich ableitbaren Varianten) entweder eine Chance von mindestens 1/2 (Wechsel wäre "egal") oder eine solche von 2/3 (Wechsel wäre zu empfehlen) sehen darf, entscheide ich mich natürlich nicht für die "Egal"-Lösung mit Nichtwechsel, sondern für den Wechsel, um die bei Wechsel jedenfalls ebenfalls mögliche 2/3-Chance nicht von vornherein auszuschließen und leerlaufen zu lassen, also ohne Not auf sie zu verzichten." Diese Informationen erhalte ich dadurch, dass das entsprechende Problem zunächst klar und vollständig beschrieben wird ("Das Monty-Hall-Standard-Problem") und dann mithilfe mathematischer Methoden analysiert und gelöst wird. So erfahre ich z.B., dass "die Gewinnwahrscheinlichkeit durch Wechseln nach dem Öffnen eines Ziegentores immer mindestens 1/2, im Durchschnitt sogar 2/3 beträgt." --Geodel (Diskussion) 19:14, 29. Apr. 2013 (CEST)

Geht die Überlegung nicht viel einfacher?

Mit der ersten Wahl hat der Kandidat zu 1/3 das Auto gewählt, zu 2/3 eine Ziege. Wenn er bei seiner Wahl bleibt, ändern sich auch diese Wahrscheinlichkeiten nicht. Wenn der Kandidat seine Wahl ändert, so wechselt er immer

• entweder vom Auto zur Ziege (es gibt ja nur ein Auto) oder
• von der Ziege zum Auto.

Ein Wechsel Ziege --> Ziege ist nicht möglich. Wenn der Kandidat eine Ziege gewählt hat, muss ja der Quizmaster das Tor mit der anderen Ziege öffnen. Damit wechselt der Kandidat also in 1/3 der Fälle von Auto zu Ziege und in 2/3 der Fälle von Ziege zu Auto. Die Gewinnstrategie "Wechseln" bringt 2/3-Chance, die Strategie "Halten" nur 1/3.--Thomas Binder, Berlin (Diskussion) 21:09, 5. Jun. 2013 (CEST)

+1 Sehe ich genauso. Steht zwar, wenn auch nur fast, und damit mit Potenzial zur Verdeutlichung im Lemma:

Das Auto ist mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter dem vom Kandidaten zunächst gewählten Tor 1. Wegen der Symmetrie im Regelwerk, insbesondere wegen der Spielregeln 4 und 5, wird diese Wahrscheinlichkeit durch das Öffnen eines Ziegentors nicht beeinflusst, denn die Torwahl des Moderators kann keinerlei zusätzlichen Hinweis zum aktuellen Standort des Autos liefern. Deshalb ist nach dem Öffnen des Tors 3 das Auto mit 2/3-Wahrscheinlichkeit hinter Tor 2, und ein Wechsel führt mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 zum Erfolg.

--Lefschetz (Diskussion) 21:48, 5. Jun. 2013 (CEST)

@Thomas Binder: Ihre Argumentation kann man auf jeden Fall kürzen: Da sich die Wahrscheinlichkeit, mit der der Kandidat das Auto gewählt hat, sowieso nicht ändert, haben Sie offensichtlich gemeint, dass sich für die gewählte Tür die Gewinnwahrscheinlichkeit während des Spiels nicht ändert. Da diese Wahrscheinlichkeit natürlich auch nicht davon abhängen kann, ob er bei seiner Wahl bleibt, kann man die Aussage Ihres Beitrags aus meiner Sicht so formulieren:

Zu Beginn des Spiels hat die vom Kandidaten gewählte Tür die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für diese Tür ändert sich während des Spiels nicht. Das bedeutet ja schon trivialerweise, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für die andere übriggebliebene Tür 2/3 beträgt.

Aber diese Argumentation enthält keinerlei Abgrenzung gegen einen weit verbreiteten Irrtum: Dass allein die Tatsache für eine 2/3-Lösung ausreiche, dass der Moderator eine nicht gewählte Ziegentür öffnet. Dieser Scherz wird in den Veröffentlichungen zum Ziegenproblem oft dadurch verdeckt, dass auf Simulationen oder Nachspielmöglichkeiten verwiesen wird, in die implizit die entscheidende nicht formulierte Spielregel einfließt, die - ebenfalls in kompakter, präziser Form - lautet: Der Kandidat muss nun zwei Türen bestimmen, von denen der Moderator eine mit einer Ziege öffnen muss.

Die Belege für diesen Irrtum sind zahllos. Erwähnt seien hier nur das Kapitel Mein Irrtum im Buch von Gero von Randow zum Ziegenproblem und Keith Devlin mit seinen Internetbeiträgen zum Monty Hall Problem. Devlin vermutet sogar einen Schock bei denen, die schließlich feststellen, dass die Gewinnchance 1/2 beträgt, wenn der Moderator zufällig eine der beiden nicht gewählten Türen öffnet und sich eine Ziege zeigt.

Mit der entscheidenden Spielregel lässt sich eine ebenso wasserdichte wie einfache Begründung für die 2/3-Lösung formulieren: Zu Beginn des Spiels ist klar, dass der Kandidat durch Wechsel in zwei von drei Fällen gewinnt: Wenn er Tür 1 wählt, offnet der Moderator Tür 2 oder Tür 3 mit einer Ziege, und der Kandidat öffnet die andere dieser beiden Türen. Er gewinnt also, wenn das Auto hinter Tür 2 oder Tür 3 steht.

Um die Behauptung zu widerlegen, dass sich die 2/3-Gewinnwahrscheinlichkeit nach dem Öffnen der Ziegentür noch ändere, z.B. auf 1/2, kann man nun folgendermaßen argumentieren: Ich kann bei der Bestimmung der endgültigen Gewinnwahrscheinlichkeit auf keinen Fall einen Unterschied machen zwischen dem Öffnen von Tür 2 und dem Öffnen von Tür 3 durch den Moderator. Also kann ich bei der Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeit auch auf das Öffnen der Ziegentür verzichten. Denn es ergibt sich ja in jedem Fall 1/2. Also habe ich auch bei drei geschlossenen Türen schon die Chance 1/2 für meine gewählte Tür, was ein Widerspruch ist.

Auch das kann man natürlich kürzer formulieren: Es ist unmöglich, ein Spiel immer mit der Gewinnchance 2/3 zu beginnen und immer bei der Gewinnchance 1/2 zu enden.--Albtal (Diskussion) 13:21, 6. Jun. 2013 (CEST)

Ich verstehe es schon so, dass der Moderator eine Ziegen-Tür öffnen muss. Ohne diese implizite Regel macht das Spiel doch keinen Sinn. Würde der Moderator zufällig die Auto-Tür öffnen, so würde der Kandidat natürlich diese Tür wählen. --Thomas Binder, Berlin (Diskussion) 13:52, 6. Jun. 2013 (CEST)

Reale Shows dieser Art laufen tatsächlich ohne diese Spielregel ab, worauf inzwischen häufiger hingewiesen wird (siehe z.B. Devlin und Drösser). Warum soll denn das Spiel auch gerade dann keinen Sinn haben, wenn der Kandidat im einen Fall sofort das Ergebnis gezeigt bekommt, im anderen aber vor zwei verschlossenen Türen steht ohne Anhaltspunkt dafür, welcher er den Vorzug geben soll? Wichtig für die 2/3-Lösung ist auf jeden Fall, dass der Moderator durch die Spielregel gezwungen ist, eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen; d.h. dass der Kandidat den Ablauf des Spiels bestimmt, nicht der Moderator. Wenn der Moderator die Ziegentür zwar öffnet und einen Wechsel anbietet, aber nicht durch die Spielregel dazu gezwungen ist, ist die 2/3-Lösung falsch, obwohl dann Ablauf und Situation völlig identisch sind mit den von vos Savant und von Randow beschriebenen.--Albtal (Diskussion) 18:42, 6. Jun. 2013 (CEST)

Hast Du Beispiele dafür, daß Moderatoren mal eine Autotür geöffnet haben? --Kängurutatze (Diskussion) 22:43, 6. Jun. 2013 (CEST)

In den USA habe ich noch nie Moderatoren gesehen, seit 20 Jahren weltweit nicht mehr. Die Variante mit dem "zufällig" wählenden Moderator wird inzwischen häufig benutzt, um durch Abgrenzung die Bedeutung der genauen Spielregeln zu unterstreichen. Allein bedeutsam ist bei dieser Variante die Frage, wie groß die Gewinnwahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen ist, wenn der Moderator die Ziegentür öffnet. Auf den Beitrag von Thomas Binder habe ich ja deshalb geantwortet, weil seine einleitende, weit verbreitete Begründung für die 2/3-Lösung ohne weiteres auch für diesen Fall zu passen scheint.

Es kommt offensichtlich auch vor, dass jemand, der glaubt, die 2/3-Lösung der ursprünglich gestellten Aufgabe verstanden zu haben, "aus allen Wolken fällt", wenn er feststellt, dass in folgender Situation die Lösung 1/2 lautet:

Der Moderator muss nach der ersten Wahl des Kandidaten eine Ziegentür öffnen und einen Wechsel anbieten. Wenn nun der Moderator die vom Kandidaten gewählte Ziegentür öffnet, gehen offensichtlich trotz der Verunsicherungen durch das Ziegenproblem alle noch davon aus, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen jeweils 1/2 ist. Aber was ist, wenn er eine nicht gewählte Ziegentür öffnet?

Übrigens ist die Variante mit der "zufälligen Auswahl" in einer Form, wie sie durchaus auch in einer realen Spielshow vorkommen könnte, Gegenstand von Übungsaufgabe 1 in Die wundersame Geschichte eines mathematischen Problems. Die andere oben beschriebene Variante wird dort in einem angehängten Leserbrief betrachtet.--Albtal (Diskussion) 12:34, 7. Jun. 2013 (CEST)

Äquvalente Annahme

Es wäre hilfreich, wenn der Artikel darauf eingeht, warum das Problem nich äquivalent zu folgendem Problem ist: Sie stehen vor drei Toren, eines ist geöffnet, es befindet sich eine Ziege dahinter. Die anderen beiden Tore sind geschlossen. Hinter einem der beiden geschlossenen Tore befindet sich eine weitere Ziege, hinter dem anderen ein Auto. Über einem der beiden geschlossenen Tore leuchtet eine Lampe. Sie können sich für eines der beiden geschlossenen Tore entscheiden.

Das ist zumindest das zentrale Verständnissproblem, das bei mir und den meisten Leute, die ich gefragt habe, besteht. Auch unsere LK-Lehrer in Mathe und Physik konnten das so leider nicht beantworten. Ich weiß, dass das hier kein Forum ist, aber ich denke, es hilft vielen Lesern, die hier nach solchen Antworten suchen, wenn der Artikel darauf eingeht. (nicht signierter Beitrag von 31.18.121.3 (Diskussion) 22:08, 16. Jul 2013 (CEST))

Warum sollte dies ueberhaupt äquivalent sein zum Ziegenproblem?? Nijdam (Diskussion) 23:56, 17. Jul. 2013 (CEST)

@31.18.121.3: Das von dir beschriebene Problem ist äquvalent zu dem "Problem", bei dem es überhaupt keine dritte Tür gibt, und bei dem wohl alle die korrekte Lösung 1/2 angeben. Der entscheidende Unterschied zum korrekt gestellten Ziegenproblem ist, dass hier zunächst drei verschlossene Türen vorliegen und der Kandidat zwei Türen bestimmt, von denen der Moderator eine Ziegentür öffnen muss. Der Kandidat gewinnt also durch anschließenden "Wechsel" in zwei von drei Fällen: Hat er anfangs z.B. Tür 1 "gewählt", wählt er beim zweiten Mal Tür 2, wenn der Moderator Tür 3 öffnet, und Tür 3, wenn der Moderator Tür 2 öffnet. Bei dem von dir gestellten Problem gibt es natürlich überhaupt keinen Grund, einer der beiden verbleibenden Türen den Vorzug zu geben, während beim korrekt formulierten Ziegenproblem eine deutlich erkennbare Asymmetrie vorliegt. Noch besser ist das zu erkennen, wenn mit 100 anstatt mit nur drei Türen gespielt wird: Bestimmt der Kandidat, dass der Moderator beispielsweise von den Türen 2 bis 100 98 Türen mit einer Ziege öffnen muss, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit von 99% bei einem "Wechsel" wohl offensichtlich. Sind dagegen von vornherein 98 Türen mit einer Ziege geöffnet, gibt es natürlich wieder keinen Grund, eine der beiden verbleibenden Türen vorzuziehen. Den entscheidenden Unterschied kann man auch so formulieren: Beim Ziegenproblem hat der Moderator in zwei von drei Fällen beim Öffnen der Ziegentür keinerlei Freiheit. Er ist dann zum Öffnen einer ganz bestimmten Ziegentür gezwungen, weil hinter der anderen der ihm zur "Auswahl" stehenden Türen das Auto steht. (Darauf, dass der Moderator dann, wenn der Kandidat zunächst die Autotür gewählt hat, einer der beiden Ziegentüren den Vorzug geben kann, sie also nicht jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 öffnen muss, möchte ich hier nicht eingehen. Der Artikel tut es ausführlich.)--Albtal (Diskussion) 13:28, 19. Jul. 2013 (CEST)

Ziegenproblem - Die Lösung kann doch nur 50:50 sein....

Die Bezeichnung der ersten Türe gehört zur Spielvorbereitung und ist gar nicht Teil der Aufgabe. Sie dient nur der Verwirrung des Spielers. Machen wir doch das Beispiel anders. Wir haben eine Schüssel mit 9 roten Äpfeln und einem grünen Apfel. Statt 2 Ziegen und einem Automobil. Die Früchte liegen offen in der Schüssel, nicht hinter Türen. Wenn ich jetzt mit verbundenen Augen den grünen Apfel finden müsste, hätte ich 1/10 Wahrscheinlichkeit. Der Moderator sagt, ich solle mir eine Frucht merken - gleich welche. Das tue ich. Analog zur Bezeichnung der ersten Türe. Dann entfernt der Moderator einen roten Apfel. Die Wahrscheinlichkeit, blind den grünen Apfel zu finden wäre jetzt 1/9 (nicht mehr 1/10). Der Moderator entfernt nun einen roten Apfel um den anderen (weitere Türen), bis nur noch zwei Äpfel übrig sind. Nämlich der grüne (Automobil) - den er nicht angefasst hat - und der letzte rote. Welchen Apfel (Türe) ich mir anfangs gemerkt hatte ist dabei völlig egal. Jetzt erst kommt die Wahrscheinlichkeit ins Spiel: Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, blind den grünen Apfel zu erwischen? Von 2 verbleibenden Äpfeln? Natürlich 50 %. Nach sechs entfernten roten Äpfeln wären es 25% gewesen. Die Wahl der ersten Türe ist völlig irrelevant, sie dient nicht einmal dem Moderator. Reine Ablenkung, denn er entfernt sowieso nur rote Äpfel (Ziegen) bis nur noch einer da ist. Die Wahrscheinlichkeitsfrage stellt sich erst dann, wenn man tatsächlich entscheiden muss, weil die Ausgangslage vorher ständig verändert wird.

Meinrad Odermatt

meini.odermatt@bluewin.ch (nicht signierter Beitrag von 178.195.31.115 (Diskussion) 00:37, 2. Aug. 2013 (CEST))

Der "Trick" ist doch, dass der Moderator den Apfel, den du dir gemerkt hast, nicht entfernen darf! Dann ist aber die Wahrscheinlichkeit bei deinem Apfelspiel auch nicht mehr 50:50, sondern ... na, kannst du es selber ausrechnen? -- HilberTraum (Diskussion) 08:13, 2. Aug. 2013 (CEST)

Die Türe --Jobu0101 (Diskussion) 14:41, 2. Aug. 2013 (CEST)

Ist nicht wirklich relevant. Der Moderator darf also entweder einen roten oder den einzigen grünen Apfel nicht entfernen, je nachdem was ich mir gemerkt habe. Alle anderen werden entfernt. Am Schluss stehen so oder so zwei zur Auswahl. Der grüne und ein roter (ein Auto und eine Ziege). Das "Problem" lebt nur von der "Verwirrung" durch eine scheinbare dritte Variante. Tatsächlich ist diese dritte Variante zum Zeitpunkt, wo man entscheiden muss, gar nicht mehr vorhanden.

Nimm mal nicht neun, sondern nur 2 zote Äpfel. Du suchst Dir einen aus. Der Moderator entfernt einen. Und rechne es nochmal durch. --P.C. ✉ 07:40, 20. Aug. 2013 (CEST)

Überlege genau, welche Wahl du hast, und welche besser ist, wenn du einen roten und wenn Du einen grünen Apfel gewählt hast. Dann überlege, welche Wahrscheinlichkeit für die Wahl eines roten Apfels besteht. --P.C. ✉ 07:41, 20. Aug. 2013 (CEST)

Es ist egal wie viele rote Äpfel ich am Anfang habe, es werden sowieso alle entfernt bis auf einen. Das ist ja die eingebrachte "Verwirrung". --188.61.235.61 08:13, 20. Aug. 2013 (CEST)

Wenn man Probleme hat, das durchzurechnen oder theoretisch einzusehen (ist ja keine Schande), kann ich nur empfehlen, das wirklich in der Realität durchzuspielen (mit einem Freund, jeder hält sich genau an die Regeln, ihr wechselt ab, wer Kandidat und wer Moderator ist). Am bestem genau so, wie du zuerst vorgeschlagen hast mit zehn Äpfeln (können natürlich auch Bälle oder sonst was sein), weil dann der Effekt deutlicher wird. Wenn man das ein paar Mal gespielt hat, sollte nicht nur klar sein dass der Effekt eintritt, sondern auch warum. -- HilberTraum (Diskussion) 09:08, 20. Aug. 2013 (CEST)

Die empirische "Überprüfung" ist eigentlich immer angeraten, wenn man jemanden findet, der darauf besteht, die Wahrscheinlichkeit sei 1/2. Mir hat das schon zwei dicke Einladungen zum Essen und drei Flaschen Champagner gebracht :-) -- JoVV ^QUACK 23:32, 28. Aug. 2013 (CEST)

Der Thread-Starter macht einen der typischen Denkfehler, die man im Umfeld des Ziegenproblems immer wieder antrifft: Er übersieht, dass ja nicht in jeder Runde wieder neu ein Apfel zufällig gewählt wird, sondern dass der Kandidat seine Wahl ja ganz zu Beginn trifft, und zwar zu den Bedingungen, die zu diesem Zeitpunkt herrschen. „Dann entfernt der Moderator einen roten Apfel. Die Wahrscheinlichkeit, blind den grünen Apfel zu finden wäre jetzt 1/9 (nicht mehr 1/10).“ Ja, wäre sie, wenn man den vorher gewählten Apfel wieder vergessen und noch einmal ganz neu zufällig wählen würde – aber das tut man ja nicht. Das ist eine falsche Modellierung des Ziegenproblems, denn es wird ja nicht in jeder Runde wieder ein neuer Apfel zufällig unter den jetzt geänderten Bedingungen gewählt. „Welchen Apfel (Türe) ich mir anfangs gemerkt hatte ist dabei völlig egal. Jetzt erst kommt die Wahrscheinlichkeit ins Spiel: Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, blind den grünen Apfel zu erwischen?“ Das ist doch nicht die Frage! Ich wähle doch nicht jetzt noch einmal zufällig (!) einen der beiden Äpfel. Die Wahrscheinlichkeit kam natürlich sehr viel früher ins Spiel: bei der Wahl des zufälligen Apfels zu Beginn des Spiels. Dass die Wahrscheinlichkeit für eine neue zufällige Wahl, quasi einen neuen Start des Spiels zu diesem Zeitpunkt eine andere wäre, ist richtig, aber irrelevant, weil ja nicht neu begonnen und gewählt wird – ich habe ja bereits einen gewählten Apfel, und den hatte ich zu Beginn des Spiels aus allen zum damaligen Zeitpunkt in der Urne befindlichen Äpfeln ausgewählt, und das natürlich zu den Bedingungen und mit den Wahrscheinlichkeiten zu diesem Zeitpunkt.
Das korrekte Urnenmodell des Ziegenproblems geht so: Man zieht blind aus einer Urne mit neun roten und einem grünen Apfel einen zufälligen Apfel. Dann entfernt der Moderator acht rote Äpfel aus der Urne, in der sich jetzt noch ein Apfel befindet – wenn mein zuerst gezogener Apfel ein roter war, dann ist es der grüne, wenn mein gezogener Apfel der grüne war, dann ist es ein roter. Das heißt, wenn ich zuerst den grünen Apfel gezogen hatte, verliere ich beim Wechsel, und wenn ich einen der roten gezogen hatte, gewinne ich. Die Wahrscheinlichkeit, zu Beginn des Spiels den grünen oder einen roten Apfel zu ziehen, richtet sich nach der Wahrscheinlichkeit zu diesem Zeitpunkt, d.h. mit 90 % Wahrscheinlichkeit hatte ich einen roten Apfel gezogen und gewinne jetzt beim Wechsel.
Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   13:15, 19. Okt. 2013 (CEST)

Der Artikel ist extrem verwirrend

Seid mir nicht böse, aber der Artikel ist ein einziges Chaos, er verliert das eigentlich spannende Paradoxon immer wieder aus dem Auge. Er springt immer wieder zwischen zwei völlig verschiedenen Fragen hin und her, nämlich der nach den korrekten Spielregeln und der nach der richtigen Strategie.

Meiner Meinung nach müsste der Artikel viel kürzer und etwa so aufgebaut sein:

1. Vorstellung des exakt formulierten Problems ohne all die Mehrdeutigkeiten des ursprünglichen Leserbriefs
2. Erläuterung und Begründung der korrekten Antwort: 2/3
3. Darstellen und Widerlegen der intuitiven Antwort: 1/2
4. Jetzt erst Eingehen auf die Geschichte des Problems und die verschiedenen Varianten.

79.240.152.172 18:37, 18. Okt. 2013 (CEST)

Ich kann mich dem nur anschließen. Allerdings glaube ich kaum, dass sich so etwas angesichts der vielen Sichtweisen zum Problem (und damit meine ich nur die einigermaßen fundierten) realisieren ließe.--Lefschetz (Diskussion) 06:47, 19. Okt. 2013 (CEST)

Auch ich kann mich dem nur vorbehaltlos anschließen! Der Artikel ist konfus, ein wahres Trauerspiel und letztlich eine Schande für die Wikipedia.

--Wilbert 87.152.49.229 12:23, 23. Okt. 2013 (CEST)

Auch mir scheint es so. Allerdings: Wo ist da ein Paradoxon? -- JoVV ^QUACK 00:18, 17. Nov. 2013 (CET)

Die bisherigen Bearbeiter haben zwar die Tücken des Problems im Griff, aber nicht die Tücken der Sprache. Unter exakt bestimmten Voraussetzungen erhöht der Kandidat durch Wechseln seine Gewinnwahrscheinlichkeit, aber schon eine unexakte Frage wie: "Ist der Wechsel für den Kandidaten von Vorteil?" reißt die ganze bis dahin aufgebaute Exaktheit wieder ein. --Epipactis (Diskussion) 00:49, 17. Nov. 2013 (CET)

Ich kann mich dem Bedauern über den Zustand dieses Artikels nur anschließen. Er wirkt auf mich so, als sei er von lauter kleinen Zugeständnissen an die Fraktion durchdrungen, die die eindeutige Richtigkeit der 2/3-Lösung noch immer nicht einsehen wollen. Oder als sei es dieser Seite gelungen, lauter sophistische Hintertürchen in den Artikel einzubauen, um eine mögliche Richtigkeit von 1/2 irgendwie doch zu retten. Sowohl die sprachlichen Ungenauigkeiten im ursprünglichen Leserbrief wie die Thesen über die verschiedenen Moderatoren-Psychen sind für das Problem, das mit einem einfachen Computerprogramm demonstriert werden kann und dessen richtige Lösung unzählige Male empirisch bewiesen wurde, aber vollkommen irrelevant! (Und wohlgemerkt: Sie sind auch für das Verständnisproblem derjenigen, die auf der intuitiven Lösung beharren, irrelevant. Bis der Groschen fällt, ist deren Protest auch bei einer sprachlich exakten Formulierung des Problems nicht geringer. Das Verständnisproblem liegt allein in dem Irrtum begründet, dass eine Wahl zwischen zwei Möglichkeiten automatisch eine 50:50-Wahrscheinlichkeit bedeute.) Ich finde das umso bedauerlicher, als der Artikel vor ein paar Jahren schon einmal in einem wesentlich besseren Zustand war.

Ich kann mich also der Bitte des Users vom 18.10. nur dringend anschließen. (nicht signierter Beitrag von 78.55.50.132 (Diskussion) 00:35, 4. Dez. 2013 (CET))

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Zitat: "Das Verständnisproblem liegt allein in dem Irrtum begründet, dass eine Wahl zwischen zwei Möglichkeiten automatisch eine 50:50-Wahrscheinlichkeit bedeute.) Ich finde das umso bedauerlicher, als der Artikel vor ein paar Jahren schon einmal in einem wesentlich besseren Zustand war."

Uneingeschränkte Zustimmung zu beiden Sätzen! Das eigentliche Problem, das den Witz dieses 'Rätsels' ausmacht, und für das es seit Jahrzehnten weltweit steht, wird im Artikel mit großem Fleiß und Aufwand fast bis zur Unkenntlichkeit zermanscht und spielt eine unerträglich untergeordnete Rolle. So wird das berühmte Ziegenproblem regelrecht vergewaltigt. Und ja, das war in früheren Versionen noch nicht der Fall.

-- Wilbert 79.194.75.224 15:19, 4. Dez. 2013 (CET)

Wer glaubt, die Zwei-Drittel-Lösung sei richtig, ohne dass der Moderator durch die Spielregel verpflichtet ist, eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen und eine zweite Wahl anzubieten, liegt falsch. Dass das Problem, zusammen mit der Behauptung der Zwei-Drittel-Lösung, ohne diese Spielregel um die Welt gegangen ist, hat zu einem weit verbreiteten falschen Verständnis geführt, wie man an zahllosen Beispielen im Internet sehen kann. Und wer die Bedeutung dieser Spielregel für die Zwei-Drittel-Lösung erkennt, sieht auch sofort, dass sie bei der ursprünglichen Aufgabe fehlte. Dass sich die Zwei-Drittel-Lösung auch bei falschem Verständnis der Aufgabe so gut halten kann, liegt daran, dass man durch "Nachspielen", Computerprogramme usw. die Zwei-Drittel-Lösung scheinbar beweisen kann: Man spielt dabei unbewusst nach der erwähnten Regel, d.h. ein anderes Spiel als das formulierte.

Wenn es in einer Situation zwei Möglichkeiten gibt, kommt es doch darauf an, wie diese Situation entstanden ist. Und wer beim Ziegenproblem den Zwang durch die Spielregel weglässt, verheimlicht genau den Grund, der zur Asymmetrie führt. Es handelt sich dann wahrlich um ein "Paradoxon".

Zur Verdeutlichung noch einmal das Spiel mit zwei Jokern:

Angenommen, Sie sind bei einer Spielshow und haben die Auswahl zwischen drei Türen: Hinter einer Tür befindet sich ein Auto, hinter den andern Ziegen. Der Moderator kennt die Autotür. Sie haben die Auswahl zwischen zwei Jokern:

1. Vor Ihrer Wahl dürfen Sie den Moderator auffordern, eine Ziegentür zu öffnen.

2. Vor Ihrer Wahl dürfen Sie zwei Türen bestimmen, von denen der Moderator eine mit einer Ziege öffnen muss.

Das Spiel mit Joker 2 ist das korrekt formulierte Ziegenproblem.--Albtal (Diskussion) 20:37, 5. Dez. 2013 (CET)

Der vorstehende Beitrag ist ein sehr gutes Beispiel für die Richtigkeit der Bedenken, die die anderen Kollegen wegen des Zustands dieses Artikels artikuliert hatten: Durch das ausführliche Diskutieren von Voraussetzungen, Zusatzannahmen und Sonderfällen wird der Blick auf das Wesentliche völlig verstellt.
Es handelt sich hier um ein *wahrscheinlichkeitstheoretisches Problem*, nicht um ein spieltheoretisches. Selbstverständlich bietet der Moderator in jedem Fall den Wechsel an. Wenn er den Wechsel nicht anbietet, ist die Frage müßig, wie sich die Chancen verändern würden, wenn er es doch täte, und wenn er den Wechsel immer nur dann anbietet, wenn man zufällig die Tür mit dem Auto gewählt hat (um den Kandidaten „wegzulocken“) und sich das nach einer ganzen Reihe von Shows herumgesprochen hat, wird der Kandidat natürlich nicht wechseln. Sonderfälle wie „Monty Crawl“ (der „faule Moderator“, der nach Möglichkeit immer die rechte Tür öffnet, weil er dort seinen Standort hat und dann nicht so weit laufen muss) werden ausführlich diskutiert, obwohl das mit dem wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundproblem gar nichts zu tun hat. Was noch fehlt, wäre die extensive Diskussion des faulen Bühnenarbeiters, der das Auto immer hinter die linke Tür stellt, weil das für ihn am einfachsten ist, oder der Kandidat, der einen Kabelträger bestochen hat. Auch hier könnte man dann diskutieren, dass bestimmte Lösungen nur unter der Zusatzannahme gelten, dass das Auto mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter jeder der drei Türen steht, dass die Kandidaten nicht wissen, hinter welcher Tür das Auto steht und ähnliche Selbstverständlichkeiten.
Der ursprüngliche Leserbriefschreiber hatte diese ganzen Zusatzannahmen nicht weggelassen, weil er das Problem in epischen Breite diskutiert haben wollte, egal wie realitätsfern die Varianten sind („der Moderator weiß, hinter welcher Tür das Auto steht“ – das scheint doch irgendwie sinnvoll zu sein …), sondern weil sie für ihn selbstverständlich waren, genauso wie sie für vos Savant bei ihrer Lösung selbstverständlich waren.
Wir würden bei einem Urnenmodell ja auch stillschweigend davon ausgehen, dass die Kugeln in der Urne gleich groß, gleich schwer und gleich griffig und nicht zuletzt gut durchmischt sind, ohne dass wir bei jedem Zieh-Vorgang jedes Mal dazuschreiben, dass die Wahrscheinlichkeit für jede Kugel in der Urne, gezogen zu werden, nur unter ganz speziellen Zusatzannahmen gleich groß ist. Dieses ständige Betonen von „die Ein-Drittel/Zwei-Drittel-Lösung gilt nur in extremen Ausnahmefällen unter Zugrundelegung geradezu exotischer Zusatzannahmen“ führt völlig in die Irre und hilft dem Leser nicht, die richtige Lösung für den Standardfall zu verstehen. Insofern befürworte auch ich eine deutliche Neugewichtung der Darstellung des Themas in diesem Artikel. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   14:33, 6. Dez. 2013 (CET)

Mit meinem obigen Beitrag, auf den Troubled @sset hier angeblich antwortet, hat das aber nichts zu tun. Schon früher habe ich darauf hingewiesen, dass der Artikel viel zu sehr den Fall behandelt, dass der Moderator dann, wenn er die Wahl hat, d.h. wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat, nicht unbedingt jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 jede der beiden Ziegentüren öffnen muss. (In der englischen Wikipedia hat dieser Aspekt jahrelang einen großen Raum eingenommen. Ich habe dort meine Auffassung dazu, vor allem in Diskussionen mit Rick Block, ausführlich dargelegt.) Im aktuellen Artikel habe ich nicht mitgeschrieben. Ich würde ihn im Sinne meines obigen Beitrags stark straffen.--Albtal (Diskussion) 16:11, 6. Dez. 2013 (CET)

„Dass sich die Zwei-Drittel-Lösung auch bei falschem Verständnis der Aufgabe so gut halten kann, liegt daran, dass man durch "Nachspielen", Computerprogramme usw. die Zwei-Drittel-Lösung scheinbar beweisen kann: Man spielt dabei unbewusst nach der erwähnten Regel, d.h. ein anderes Spiel als das formulierte.“ Das ist nicht richtig, man spielt genau das richtige und gemeinte Spiel. Dass der Moderator eine Ziegentür öffnet und den Wechsel anbietet, ist sozusagen das Herz des Spiels. Ohne diesen Teil (wenn der Moderator einfach die vom Kandidaten gewählte Tür direkt öffnet) macht das Ganze ja gar keinen Sinn. Zu sagen, die Pflicht des Moderators, eine Ziegentür zu öffnen und einen Wechsel anzubieten, sei eine Zusatzannahme, geht am Kern der Sache doch völlig vorbei. Diese Pflicht des Moderators als Teil der Spielregel ist doch nur deshalb nicht explizit erwähnt, weil es eine selbstverständliche Voraussetzung des Spiels ist. Wer dies zur Grundlage nimmt, spielt nicht ein anderes Spiel als das formulierte, sondern genau das richtige und gemeinte. Nur weil dieses entscheidende und selbstverständliche Element nicht explizit verlangt wurde, ist nicht ein ganz anderes Spiel gemeint gewesen. Gemeint war immer das Spiel, wo der Moderator den Wechsel anbietet. Und wer das nachspielt oder vom Computer simulieren lässt, macht genau das Richtige.
In Wahrheit ist es doch genau umgekehrt: Anzunehmen, dass der Moderator tatsächlich auch einmal keinen Wechsel anbietet und deshalb spieltheoretische Aspekte, Bluffen etc. eine Rolle spielen können, *das* ist eine Zusatzannahme, die zu (möglicherweise interessanten) Varianten führen kann. Das ist aber nicht *das* Ziegenproblem. Beim Ziegenproblem geht es darum, dass viele Leute eben im Standardfall Probleme haben, die Zwei-Drittel-Lösung zu akzeptieren. Dann sucht man irgendwelche Sondervarianten mit Zusatzannahmen, die mit der angefragten Wirklichkeit des konkret stattfindenden Spiels nichts zu tun haben, um sagen zu können, dass das mit den zwei Dritteln gar nicht stimmt oder jedenfalls nicht allgemein und nur unter besonderen Zusatzannahmen usw. Der Leserbriefschreiber meinte aber genau diese Standardvariante, und vos Savant hat das genau so verstanden und darauf (richtig) geantwortet. Zusatzannahmen sind für die Sondervarianten nötig (Monty Crawl, Monty Fall und was es da noch so alles gibt) und nicht für den Standardfall. Dass alle Kugeln in der Urne gleich groß sind, ist keine Zusatzannahme, die extra verlangt werden muss. Wer davon ausgeht, dass alle Kugeln gleich groß sind, auch wenn es nicht explizit verlangt wird, tut das Richtige und spielt nicht „ein anderes Spiel als das formulierte“. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   22:22, 6. Dez. 2013 (CET)

Warum soll denn jemand die richtige Spielregel voraussetzen, wenn er auch mit der falschen zu einer Zwei-Drittel-Lösung kommt? Hier noch ein weiteres Zitat aus der Fundgrube, die ihrerseits Monty Hall selbst aus der New York Times zitiert, der nach Betrachtung der ursprünglichen Problemstellung sagte: If the host is required to open a door all the time and offer you a switch, then you should take the switch,' he said. 'But if he has the choice whether to allow a switch or not, beware. Caveat emptor. It all depends on his mood.

Hier also der Beginn einer möglichen Begründung der Zwei-Drittel-Lösung zur ursprünglichen Aufgabenstellung einem Gesprächspartner gegenüber: Der Moderator muss nun eine nichtgewählte Ziegentür... - Warum muss er das? Und schon sind Sie mit Ihrem Latein am Ende. Hilfreich könnte es vielleicht sein, sich der Problematik auf lockere Art mit der unten erwähnten fiktiven Diskussion in der Fundgrube anzunähern.--Albtal (Diskussion) 12:48, 7. Dez. 2013 (CET)

---

Man stelle sich vor, das Spiel würde mit einem undurchsichtigen Sack, zwei durch nichts voneinander unterscheidbaren schwarzen Nietenkugeln (es gibt für den Mod keine als solche isolierbare Kugel-1 und keine Kugel-2) und einer weißen Gewinnkugel durchgeführt: Der Kandidat zieht blind eine Kugel, sieht sie nicht an und behält sie in der verschlossenen Faust. Der Mod blickt in den Sack, zieht eine schwarze Kugel, zeigt sie dem Kandidaten und bietet ihm nun den Wechsel an. Frage: Sollte der Kandidat wechseln?

Wetten, daß alle Rätsellöser, die bei dem ach so mehrdeutigen Ziegenproblem sich sofort für 50:50 entscheiden, sich auch bei dem Kugelproblem für 50:50 entscheiden würden, obwohl es bei letzterem nichts zu deuteln gibt? Dieser Trugschluß ist der ganze Witz des Problems, alles andere ist müßiges Wolkenkuckucksheim.

-- Wilbert 217.227.14.58 18:46, 6. Dez. 2013 (CET)

Also:

Du bist Kandidat einer Spielshow und darfst in einen undurchsichtigen Sack mit zwei schwarzen Nietenkugeln und einer weißen Gewinnerkugel greifen. Du darfst die gezogene Kugel zunächst nicht anschauen. Nachdem du deine Kugel gezogen hast, schaut der Moderator in den Sack und sagt: "Ich zeige Ihnen mal was". Dann holt er sichtbar eine schwarze Kugel heraus und bietet dir einen Wechsel zur Kugel im Sack an. Solltest du wechseln?--Albtal (Diskussion) 20:05, 6. Dez. 2013 (CET)

Findest du eigentlich, dass es bei der Joker-2-Variante oben leichter ist, auf die richtige Lösung zu kommen, als bei den üblichen Formulierungen? - Den Trugschluß, um den es dir geht, wollte ich ja mit der Gegenüberstellung von Joker 1 und Joker 2 genau auf den Punkt bringen. Warum ist wohl der "Sturm der Entrüstung" entstanden, obwohl die Publizisten die ursprüngliche Aufgabenstellung nicht nur zusammen mit der Zwei-Drittel-Lösung veröffentlichten, sondern auch die aus ihrer Sicht besten Erklärungen lieferten? - Bei den zahllosen Veröffentlichungen zum Ziegenproblem steht noch die aus, bei der das Problem vollkommen klar formuliert wurde, aber die behauptete Zwei-Drittel-Lösung trotzdem nennenswerten Widerspruch hervorrief. - Aber wir wiederholen hier frühere Diskussionen.--Albtal (Diskussion) 20:27, 6. Dez. 2013 (CET)

Die Frage "Sollte der Kandidat wechseln?" (sic!) richtet sich nicht an den Kandidaten selbst, sondern an einen Außenstehenden. Das geht so nicht, und daher kommt die ganze Verwirrung. Denn der Außenstehende ist ja nicht am Spiel beteiligt und kann kein Auto gewinnen, sondern soll lediglich die Frage beantworten, eben, ob der Kandidat wechseln solle. Daraus konstruiert sich für ihn aber eine ganz andere Aufgabenstellung, denn er sagt sich: "Entweder der Kandidat hat eine weiße Kugel in der Hand, oder eine schwarze. Im ersten Fall büßt er beim Wechseln ein, im zweiten gewinnt er, ergo 50:50." Es kommt also sehr wohl auf die Zusatzannahmen an, u.a. auf die Exaktheit der Fragestellung. --88.130.161.188 21:46, 6. Dez. 2013 (CET)

Nix 50:50 – das würde nur gelten, wenn der Kandidat mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine weiße oder eine schwarze Kugel in der Hand hätte. In zwei von drei Fällen hat er aber eine schwarze Kugel gezogen (weil zum Zeitpunkt des Ziehens doppelt so viele schwarze wie weiße Kugeln im Sack waren), und deshalb gewinnt er in zwei von drei Fällen beim Wechseln. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   22:34, 6. Dez. 2013 (CET)

Ja, selbstverständlich, der Kandidat. Mein Einwand lautet jedoch, daß eine Frage des Wortlautes: "Sollte der Kandidat wechseln?" eben nicht dem Kandidaten gestellt wird, sondern dem unbeteiligten Zuschauer (bzw. Wikipedia-Leser), der sich in einer ganz anderen Situation befindet als der Kandidat. Deshalb meine ich, daß die Frage in diesem Wortlaut ungeeignet ist, wenn man eine exakte Darstellung des Problems anstrebt. --Epipactis (Diskussion) 00:03, 7. Dez. 2013 (CET)

Die Frage Sollte der Kandidat wechseln? führt doch sofort zu der Frage "Wie groß sind seine Chancen bei einem Wechsel?" und könnte so in jedem Schulbuch oder auch in der Rätselecke irgendeines Blättchens stehen. Das Problem liegt doch woanders; nämlich bei der Frage, ob der Moderator durch die Spielregel zu seinem Verhalten gezwungen ist. Denn allein die Tatsache, dass er eine nichtgewählte Ziegentür öffnet bzw. dass er in den Sack schaut und sichtbar eine schwarze Kugel herausholt und einen Wechsel anbietet, begründet keineswegs die Zwei-Drittel-Lösung. Dass der Moderator im vorliegenden Fall, wie auch in Gero von Randows Problemstellung, sogar noch sagt Ich zeige Ihnen mal was, zeigt, dass der Moderator frei in seinem Handeln ist (außer dass er die erste Wahl anerkennen muss), weshalb die Zwei-Drittel-Lösung falsch ist. Um ein klares Problem mit einer Zwei-Drittel-Lösung zu formulieren, hätte Wiberts Variante an der entscheidenden Stelle z.B. so lauten können: Der Moderator sagt nun zum Kandidaten, dass er in den Sack schauen, eine schwarze Kugel herausholen und einen Wechsel anbieten wird. Dann nämlich erst kann der Kandidat zurecht sagen: Das kannst du auch bleiben lassen. Ich werde auf jeden Fall wechseln.

Auch zu diesem Aspekt können wir die unten erwähnte Fundgrube heranziehen: Heute weiß ich selbst auch nicht, wo das Auto steht. Meine Mitarbeiterin kennt aber die Autotür. Ich fordere sie jetzt auf, eine Tür mit einer Ziege zu öffnen, die von Ihnen gewählte Tür aber noch geschlossen zu lassen. Und zum Kernpunkt des oben von mir erwähnten weit verbreiteten falschen Veständnisses: Meiner Ansicht nach wird bei vielen in der Zwei-Drittel-Fraktion auch heute noch nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung, insbesondere auch für das "Nachspielen" und für "Computer-Beweise". - Ich wollte mich zu diesem "Thread", den ich selber eingeleitet habe, noch einmal melden.--Albtal (Diskussion) 12:06, 7. Dez. 2013 (CET)

„… weshalb die Zwei-Drittel-Lösung falsch ist.“ Sie ist nicht falsch. Sie ist lediglich nicht zwingend richtig bzw. nicht allein richtig. Wir sind uns doch einig, dass bei Annahme einer entsprechenden Regel und einiger weiterer selbstverständlicher (!) Standardvoraussetzungen (wie z.B. die ebenfalls wichtige, aber genauso nie explizit verlangte Voraussetzung „Alle Beteiligten kennen alle Regeln und halten sich daran“) die Zwei-Drittel-Lösung (einzig und zwingend) richtig ist. Wenn man diese eine Regel (der Moderator muss den Wechsel anbieten) oder/und andere Regeln nicht anwendet bzw. abändert, werden weitere Lösungen möglich, je nach den anderen Annahmen, die man stattdessen trifft. Das ist aber nicht *das* Ziegenproblem. *Das* Ziegenproblem beschäftigt sich mit dem weit verbreiteten Fehlschluss vieler Menschen, dass die Wahrscheinlichkeit *in jedem Fall* 50:50 beträgt, auch dann, wenn die Standardkonfiguration gilt. Der Artikel in seiner Fokussierung auf alle möglichen Varianten vernebelt diese Erkenntnis. Nach der Lektüre des aktuellen Artikels hat man den Eindruck, alles andere als Ein-Drittel/Zwei-Drittel sei „eigentlich“ viel „richtiger“ und die Zwei-Drittel-Lösung sein ein extremer Sonderfall, eine Ausnahme, nur unter Annahme exotischer Sonderbedingungen richtig ist. Der Artikel ist nicht „falsch“. Es geht um die nicht optimale Gewichtung der unterschiedlichen Aspekte. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   16:50, 7. Dez. 2013 (CET)

Der von Ihnen zitierte Nebensatz ist Teil des folgenden Satzes: Dass der Moderator im vorliegenden Fall, wie auch in Gero von Randows Problemstellung, sogar noch sagt "Ich zeige Ihnen mal was", zeigt, dass der Moderator frei in seinem Handeln ist (außer dass er die erste Wahl anerkennen muss), weshalb die Zwei-Drittel-Lösung falsch ist. Und die Annahme, der Moderator würde jetzt genau so handeln, als sei er durch die Spielregel dazu gezwungen, ist schon sehr kühn. Und dass man das den Leuten, denen man das Problem vorsetzt, nicht einmal sagt, noch mehr. Auch dazu wieder die Fundgrube: Viel wahrscheinlicher als die "Annahme" der "Strategie" "Ich öffne jetzt eine nicht gewählte Ziegentür" durch die Zwei-Drittel-Fraktion ist ihr Irrtum, der darin besteht, nach oberflächlicher Betrachtung der Aufgabe und der Aufforderung durch die Publizisten zum "Beweis" zu schreiten unter der "Annahme", dass ein wiederholbares Experiment gegeben ist; was bei den vielen Beispielen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie z.B. beim Würfeln oder beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne auch der Fall ist, aber beim Ziegenproblem von Marilyn vos Savant und Gero von Randow eben nicht. - Eine lächerliche Annahme ist auch, dass das von mir beschriebene "Joker-2-Problem" mit einer ganz einfachen "operativen" Erklärung der Zwei-Drittel-Lösung zu weltweiten "Proteststürmen" führen würde. Sie können es ja in Ihrem Bekanntenkreis mal ausprobieren. Und das "Joker-2-Problem" ist exakt das korrekt formulierte Ziegenproblem mit einer Zwei-Drittel-Lösung. An dieser Stelle kann man der unbeabsichtigten Scherzaufgabe Ziegenproblem noch einen weiteren Scherz hinzufügen: Wer bei der ursprünglichen Problemstellung von einem Zwang durch die Spielregel ausgeht, hat das Problem fast schon gelöst. - Ja, das grandiose Paradoxon fällt bei näherer Betrachtung zusammen wie ein Kartenhaus.--Albtal (Diskussion) 17:32, 7. Dez. 2013 (CET)

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@Albtal: Ich habe hier wiederholt die hinter "Joker 2" stehende Überlegung vertreten und halte sie für den besten und überzeugendsten Lösungsansatz. Am 14.1.2010 schrieb ich dazu:

Ich schlage hiermit vor, im Artikel den Abschnitt "Einfache Erklärungen" um folgende Variante zu ergänzen:

"Hätte der K von vornherein das Recht, 2 von 3 Türen zu bezeichnen (also ein bestimmtes Türpaar), die der M sodann gleichzeitig (oder nacheinander in beliebiger Reihenfolge) öffnen müßte, dann betrüge die Gewinnchance für das Auto 2/3.

Dieses Vorgehen ist dem K zwar verwehrt, aber auch unter den geltenden Regeln, die dem K bekannt sind, stellt der vorgeschriebene Ablauf nur einen kleinen Umweg dar, um zu einem exakt gleichen Ergebnis zu gelangen:

Man nehme an, daß der K das Türpaar 1 und 2 zu öffnen wünscht, um eine 2/3-Gewinnchance zu haben. Zu diesem Zweck tippt er auf Tür 3 und verhindert dadurch zunächst deren etwaige Öffnung als Ziegentür. Nach dem Öffnen einer Ziegentür (im Paar 1 und 2 mit Sicherheit vorhanden) bejaht der K sodann die Frage des M nach einem Wechsel und verhindert dadurch endgültig die Öffnung der Tür 3. Im Ergebnis steht dann, wie von K geplant, das Türpaar 1 und 2 offen.

Bei regelkonformem Ablauf wird also durch das erste Tippen auf eine Einzeltür in Verbindung mit der späteren Bejahung der Wechselfrage in Wahrheit die zuerst getippte Tür von der Öffnung ausgeschlossen, d. h. im Umkehrschluß die Öffnung des komplementären Türpaars erzwungen - genau so, als wäre dieses von Anfang an - mit einer 2/3-Gewinnchance - ausdrücklich zum Öffnen ausgewählt worden."

-- Wilbert 217.227.14.58 21:57, 6. Dez. 2013 (CET)

Oder hier, vom 15.1.2010, in eine kleine Story gekleidet ;-):

Wir befinden uns im Jahre 1989 in der legendären Monty-Hall-Show. Nachdem ein neuer Kandidat von Monty die Regeln erklärt bekommen und ein Weilchen darüber nachgedacht hat, fordert er den berühmten Moderator keck auf: "Öffnen Sie bitte die Türen 1 und 3."

Darauf Monty: "Haben Sie mir denn nicht zugehört?! Sie sollen auf eine Tür tippen, nicht auf zwei!"

Der K erwidert mit leicht genervtem Gesichtsausdruck und ebensolchem Tonfall: "Mister Hall, Sie unterschätzen mich offenbar. Aber gut, wenn Sie unbedingt darauf bestehen, können wir auch gerne Ihre Regeln einhalten, aber warum sollten wir eigentlich kostbare Zeit verschwenden? Na schön, dann werde ich gleich auf Tür 2 tippen, und nachdem Sie eine Ziegentür geöffnet haben, werde ich Ihre Frage bejahen und von Tür 2 zur anderen dann noch verschlossenen Tür wechseln, die Sie dann öffnen müssen - und dann haben Sie die Türen 1 und 3 geöffnet, stimmt's? Also warum nicht gleich?! Wollen wir uns diese umständliche und überflüssige Prozedur nicht vielleicht doch lieber ersparen?!"

Da beugt sich Monty mit Schweißperlen auf der Stirn zu K und raunt ihm ins Ohr, so daß niemand von den Umstehenden es hören kann: "Mister, Sie haben ja völlig recht - aber machen Sie mir bitte nicht meine schöne Show kaputt! Ich verrate Ihnen mal was: Mister Whitaker liegt auf der Lauer, Marilyn vos Savant ebenso, und auch alle Bayes-Theorem-Fans kauern schon in den Startlöchern - Mann, Sie setzen das Monty-Hall-Problem aufs Spiel, ist Ihnen das eigentlich klar?! Also c'mon, die letzte Minute müssen wir später rausschneiden, und jetzt lassen Sie uns bitte das Ganze von vorne wiederholen - ich flehe Sie an!"

Davon ließ sich der K erweichen, hielt sich an die Regeln und gewann eine Ziege. Und die Welt gewann das Ziegenproblem.

-- Wilbert 217.227.14.58 22:17, 6. Dez. 2013 (CET)

Ja, aber wir sind in Folgendem unterschiedlicher Meinung:

Bei Joker 2 handelt es sich nicht um einen Lösungsansatz, sondern um eine Aufgabenstellung. Und dass die Lösungschancen dabei einem Spiel "2 aus 3" entsprechen, die Chance bei einem Wechsel also 2/3 beträgt, folgt unmittelbar. Als eine reichhaltige Fundgrube erweist sich hier wieder der Weblink Ein Auto und zwei Ziegen, wo es in einem angehängten Leserbrief aus dem Jahr 1991 heißt:

Die Kandidatin, die die Spielregeln kennt, hat bei dem Spiel von vornherein eine Zwei-Drittel-Gewinnchance, nämlich die Möglichkeit, zwei von drei Türen auszuwählen. Denn indem sie zunächst auf Tür eins zeigt, hat sie in Wirklichkeit 'Tür zwei oder drei' ausgewählt, und das Öffnen der dritten Tür durch den Moderator und der zweiten durch sie selbst bedeutet nichts Anderes als 'Nachschauen', ob sie bei dem Zwei-Drittel-Spiel gewonnen hat oder nicht.

Aber eine Lösung ist nur in bezug auf eine bestimmte Aufgabe korrekt. Und Monty Hall selbst hat wie auch Martin Gardner, Persi Diaconis und Marilyn vos Savant selbst darauf hingewiesen, dass aus dem Problem, das als "Monty Hall Problem" bzw. "Ziegenproblem" um die Welt ging, keine Zwei-Drittel-Lösung abgeleitet werden kann.

Im übrigen verweise ich auf meinen ersten Beitrag in diesem Abschnitt sowie auf meine früheren Beiträge. Wer Argumente statt Nebel sucht, liegt auch mit Ein Auto und zwei Ziegen gut. Seit einiger Zeit gibt es dort einen Zusatz mit einer fiktiven Diskussion zum Ziegenproblem, die als Beitrag in einem Blog abgewiesen wurde, der eigens zu Ein Auto und zwei Ziegen eingerichtet worden war. Wenn ich es sinnvoll finde, werde ich mich hier wieder melden.--Albtal (Diskussion) 00:17, 7. Dez. 2013 (CET)

Zitat von Albtal: "Um ein klares Problem mit einer Zwei-Drittel-Lösung zu formulieren, hätte Wilberts Variante an der entscheidenden Stelle z.B. so lauten können: Der Moderator sagt nun zum Kandidaten, dass er in den Sack schauen, eine schwarze Kugel herausholen und einen Wechsel anbieten wird. Dann nämlich erst kann der Kandidat zurecht sagen: Das kannst du auch bleiben lassen. Ich werde auf jeden Fall wechseln."

Ich habe beim Beitrag vom 14.1.2010 ausdrücklich geschrieben, daß der Kandidat die Regeln kennt, und in der Monty-Story wird einleitend gesagt, daß Monty dem K die Regeln erklärt und der K darüber nachdenkt. Bei der Kugelvariante habe ich das zwar nicht mehr ausdrücklich hervorgehoben, im Kontext meiner Beiträge ist es aber erkennbar als selbstverständlich vorausgesetzt.

-- Wilbert 217.227.28.231 08:15, 8. Dez. 2013 (CET)

Eine weitere Nebelkerze. --Albtal (Diskussion) 12:19, 8. Dez. 2013 (CET)

Warum Nebelkerze?

-- Wilbert 217.227.28.231 13:11, 8. Dez. 2013 (CET)

Hinter der zunächst gewählten Tür steht das Auto		Hinter der zunächst gewählten Tür steht eine Ziege
Wahrscheinlichkeit 1/3		Wahrscheinlichkeit 2/3
Der Moderator öffnet eine der Türen mit einer Ziege (egal welche!)		Der Moderator kann nur die verbliebene Türe mit Ziege öffnen
Wechseln führt zum Gewinn einer Ziege		Wechseln führt zum Gewinn des Autos
Wechseln ist mit Wahrscheinlichkeit 2/3 vorteilhaft und mit 1/3 Wahrscheinlichkeit nachteilig

Ohne (weitere) Worte!--Lefschetz (Diskussion) 18:12, 8. Dez. 2013 (CET)

Das ist doch nur wieder die völlig selbstverständliche Aussage, dass die a-priori-Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei der Wechselstrategie 2/3 ist. Das wird in dem – zugegeben extrem seltsamen – Abschnitt „Strategische Lösung“ vermutlich angesprochen, ist aber so trivial, dass es in der Literatur kaum eine Rolle spielt. Die interessantere Frage ist doch die nach der a-posteriori-Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn bereits die Information vorliegt, dass der Moderator Tür 3 geöffnet hat. Einerseits weil sie (ein kleines bisschen) mathematisch gehaltvoller ist, andererseits weil ja die Aufgabe so formuliert ist, das sowohl der Leser als auch der Kandidat die Zusatzinformation bekommt, dass Tür 3 geöffnet wird. -- HilberTraum (Diskussion) 22:22, 8. Dez. 2013 (CET)

Ich war der Ansicht, dass diese Trivial-Grafik uns hier in keiner Weise weiterbringt, und hatte sie entfernt. Lefschetz war damit nicht einverstanden, er ist der Meinung, diese Grafik würde einen sinnvollen Beitrag leisten, noch dazu „ohne (weitere) Worte“, was zu erkennen wir anderen offenbar alle nicht in der Lage sind, und hat sie wieder hineinrevertiert. Ich bin nach wie vor der Meinung, dass diese Selbstverständlichkeit hier nicht hingehört, aber wenn Lefschetz meint, für ihn sei das eine relevante Erkenntnis und das, was er zu dieser Diskussion beitragen kann oder möchte, dann wollen wir das mal so stehen lassen. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   23:18, 8. Dez. 2013 (CET)

Ich habe mir eben nur mal erlaubt, auf die Einleitung dieses Diskussionsabschnitts

Seid mir nicht böse, aber der Artikel ist ein einziges Chaos, er verliert das eigentlich spannende Paradoxon immer wieder aus dem Auge. Er springt immer wieder zwischen zwei völlig verschiedenen Fragen hin und her, nämlich der nach den korrekten Spielregeln und der nach der richtigen Strategie.

zu antworten. Leider ergibt sich für mich der Eindruck, dass die letzten Diskussionen zu einem reinen Blog mutieren. Wo sind denn bitte konkrete Vorschläge für Überarbeitungen? Und nicht nur HilberTraum findet den Abschnitt „Strategische Lösung“ extrem seltsam, auch wenn er sonst meinen Beitrag nicht für zielführend bzw. trivial hält. Wer er es noch nicht gemerkt haben sollte: Die von mir nur gestalterisch übernommenen Graphiken beziehen sich nicht auf irgendeine Reihenfolge "Tür 1", ..., "Tür 3", so dass die Tabelle im Abschnitt Antwort von Marilyn vos Savant auf 1/3 schrumpft.--Lefschetz (Diskussion) 23:37, 8. Dez. 2013 (CET)

@HilberTraum: Dass genau die Frage nach den Gewinnchancen für den Fall gestellt sei, dass der Kandidat Tür 1 "gewählt" und der Moderator Tür 3 geöffnet hat, ist wohl der größte Blödsinn, der im Zusammenhang mit dem Ziegenproblem produziert wurde. Damit man das einigen Schlaumeiern weismachen konnte, wurde Marilyn vos Savants Aufgabenstellung schlicht gefälscht: J. P. Morgan et al. (siehe "Einzelnachweise" im Artikel), die Marilyn an dieser Stelle einen Fehler nachweisen wollten, haben, obwohl sie die Aufgabenstellung angeblich wörtlich zitierten, die Formulierung You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat folgendermaßen wiedergegeben: You pick door No. 1, and the host, who knows what's behind them, opens No. 3, which has a goat. "Was soll der Quatsch?" werden sich sicher die meisten, vom Durchschnittsschüler bis zum Mathematikprofessor, fragen; zumal der Kern des Problems dadurch völlig verdeckt wird. Auch der aktuelle Artikel krankt hauptsächlich an der unsinnigen (und für die meisten wohl ziemlich unverständlichen) Überbetonung dieses Aspekts. Aber dass es noch viel schlimmer geht, zeigen der Artikel zum "Monty Hall Problem" in der englischen Wikipedia sowie die jahrelange Diskussion dazu. Ich verweise noch einmal auf meine Beiträge dazu auf der dortigen Diskussionsseite, vor allem auf die Diskussion mit Rick Block; aber auch hier habe ich mit Geodel darüber diskutiert. Nachdem nach den zahlreichen Nebelkerzen nun auch diese Nebelbombe wieder gezündet wurde, verabschiede ich mich erst einmal.--Albtal (Diskussion) 13:15, 9. Dez. 2013 (CET)

Ich darf einfach nochmal an WP:Belege erinnern und daran, dass wir hier eine Enzyklopädie verfassen: Wenn genügend viele reputable Quellen etwas schreiben, was in deinen Augen „Quatsch“ ist, dann schreiben wir hier trotzdem darüber. Und wenn es dann genügend viele reputable Quellen gibt, die schreiben, dass die anderen Quellen Quatsch schreiben, dann schreiben wir hier ebenfalls darüber. Aber wir diskutieren hier nicht untereinander aus, was wir persönlich für Quatsch halten. -- HilberTraum (Diskussion) 13:33, 9. Dez. 2013 (CET)

+1 Aber dieses Problem zieht halt "Evangelisten" an wie der Honig die Fliegen.--Kmhkmh (Diskussion) 14:07, 9. Dez. 2013 (CET)

Ja, dass sich jetzt das Mathe-Portal mit einem hochqualifizierten Beitrag melden würde, war so sicher wie das Amen in der Kirche. In der Fundgrube steht übrigens auch was zur Behandlung des Ziegenproblems in Wikipedia.--Albtal (Diskussion) 17:49, 9. Dez. 2013 (CET)

Der ausgegliche Moderator

Ziege vs ...

... Auto. Ist die Gewinnerwartung nicht auch modellabhängig?

50:50-Lösung

Bei Punkt 4 der Annahme (Fall A: Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.) sind Zufälligkeit und Gleichwahrscheinlichkeit entbehrlich. Steht auch so nicht in der Quelle: If the car is actually behind Door 1, then I win by sticking to my first choice, no matter what Monty Hall does (A1). Ich bin für streichen.--Lefschetz (Diskussion) 18:50, 9. Dez. 2013 (CET)

Die Voraussetzung wird in jedem der folgenden Abschnitte benötigt:

Einfache Erklärung: „Wegen der Symmetrie im Regelwerk, insbesondere wegen der Spielregeln 4 und 5, wird diese Wahrscheinlichkeit durch das Öffnen eines Ziegentors nicht beeinflusst“

Tabellarische Lösung: Hier wird die Voraussetzung benötigt, damit alle sechs Fälle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (Laplace-Experiment)

Formelle mathematische Lösung: Hier kommt $P(M_{3}|G_{1})={\frac {1}{2}}$ direkt in der Formel vor.

-- HilberTraum (Diskussion) 21:50, 9. Dez. 2013 (CET)

Absolut richtig. Aber eine solche, nur unter unverhältnismäßig starken Vorausseztungen zu beweisende Lösung ist kaum sinnvoll. Da kann ich dann (fast) verstehen, wenn endlose Diskussionen über die Voraussetzungen geführt werden. Wie gesagt: Das muss nicht sein, weder (viele) Worte noch Formeln braucht man dafür ...

Die Einfache Lösung und die Tabellarische Lösung werden durch die abgeschwächten Voraussetzungen nicht zwangsläufig berührt.

--Lefschetz (Diskussion) 22:25, 9. Dez. 2013 (CET)

In diesem Abschnitt geht es nicht um die – einfach zu berechnende – Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler, der immer wechselt, gewinnt, sondern um die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler, der Tür 1 gewählt hat, gewinnt, wenn er die Information berücksichtigt, dass der Moderator bereits Tür 3 geöffnet hat. Das ist etwas schwieriger zu bestimmen und braucht deshalb stärkere Voraussetzungen an das Verhalten des Moderators. Die beiden fraglichen Wahrscheinlichkeiten sind nur dann gleich, wenn der Moderator durch das Öffnen von Tür 3 dem Spieler keine zusätzliche Information übermittelt. Dass diese Fragestellung relevant ist, zeigt ihre breite Darstellung in der Fachliteratur. -- HilberTraum (Diskussion) 22:48, 9. Dez. 2013 (CET)

@Lefschetz: Ihr Plakat ist besser als die beiden Plakate im Artikel, bei denen die plakative Darstellung mit der willkürlich erscheinenden Verdopplung von Fällen und der zugehörigen verbalen Erklärung von Laplace-Experimenten den Sinn grafischer Darstellungen ins Gegenteil verkehrt. Allerdings fehlt bei Ihnen aus meiner Sicht zur vollständigen Erklärung neben den zwei Hauptspalten noch eine dritte rechts davon: Die, bei der das Auto hinter Tür 3 steht. (Unelegant wäre es sicher auch nicht, gleich o.B.d.A. den Fall Kandidat wählt Tür 1, Moderator öffnet Tür 3 zu behandeln und die linke untere Halbzelle einfach leer zu lassen. Aber leichter zu verstehen ist es wohl mit der dritten Spalte.) Jede Hauptspalte hat dann die Überschrift "Wahrscheinlichkeit 1/3", und man sieht sofort, dass z.B. bei Öffnen von Tür 3 die dritte Spalte "wegfällt"; ebenso scheidet die linke untere "halbe Zelle" aus. Man kann dann leicht erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto hinter Tür 2 ist, doppelt so groß ist wie die, dass es hinter Tür 1 ist. Da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist, haben wir die Zwei-Drittel-Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel ("Bayes light").

Was nun angeblich "in der Fachliteratur" und vor allem in Wikipedia (englisch und deutsch) sehr breit dargestellt wird, ist die Tatsache, dass man den Trennungsstrich zwischen den beiden linken unteren "Halbzellen" verschieben kann: Nach rechts bedeutet, dass der Moderator, wenn er die Wahl hat, Tür 2 bevorzugt (p > 1/2 bzw. > 1/6), nach links, dass er Tür 3 bevorzugt (q > 1/2 bzw. > 1/6); p + q = 1 bzw. = 1/3). Man erkennt leicht, dass im Extremfall die Wahrscheinlichkeit für einen Wechsel 1 oder aber 1/2 beträgt. Beim "Verschieben" der Trennungslinie sieht man aber auch Folgendes: Wenn der Moderator "unausgeglichen" handelt, verkleinert er zwar im einen Fall die Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel, aber im andern Fall vergrößert er sie so, das die "Durchschnittswahrscheinlichkeit" immer noch 2/3 beträgt (s.u.).

Wer nun verstanden hat, womit sich die "Fachliteratur" angeblich so gern beschäftigt, fragt sich natürlich, warum der Moderator völlig ohne Grund einer der beiden Nietentüren den Vorzug geben soll, wenn er die Wahl hat; und klar ist auf jeden Fall, dass wir auf Grund der Aufgabenstellung nichts über eine solche Bevorzugung wissen; dass wir also sinnvollerweise das "Indifferenzprinzip" anwenden und für die beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils 1/2 einsetzen. Ist eigentlich schon jemandem aufgefallen, dass im Artikel an der entsprechenden Stelle steht Ihnen sind die jeweiligen Verhaltensweisen des Moderators natürlich vorher bekannt.? Es werden also dort andere Aufgaben als die gestellte behandelt, bei der nichts über ein "Moderatorverhalten" steht.

Wie gesagt: Wir bewegen uns hier nur links unten in Ihrer Tabelle; und auch ohne viel Wahrscheinlichkeitsrechnung kommen wir zur Anwendung des "Indifferenzprinzips":

Das Spiel gewinnt man durch Wechsel in zwei von drei Fällen. Gilt diese Wahrscheinlichkeit auch noch nach Öffnen der Ziegentür durch den Moderator? Wie könnte sie sich ändern? Gibt es irgendeinen Anlass, dem Wechsel eine unterschiedliche Gewinnwahrscheinlichkeit zuzuordnen, je nachdem ob der Moderator nach Wahl von Tür 1 Tür 2 oder Tür 3 öffnen wird? Natürlich nicht. Also kann ich die Gewinnwahrscheinlichlkeit für einen Wechsel schon bestimmen, bevor der Moderator die Ziegentür öffnet. Also beträgt sie 2/3; denn dass sie vor dem Öffnen 2/3 beträgt, ist gesichert.

Und wie sieht eigentlich die mathematische Behandlung der eventuellen "Unausgeglichenheit" des Moderators aus, die man nicht kennt? Muss der Mathematiker nun seriöserweise das Handtuch werfen und andere die Gewinne einstreichen lassen?

Sinnvollerweise nimmt er die "Durchschnittswahrscheinlichkeit", genauer: Den "Schwerpunkt" der Wahrscheinlichkeit. Er liegt im vorliegenden Fall nicht einfach zwischen 1/2 und 1, sondern bei 2/3:

((1/3)*(1+p))/(1+p) + ((1/3)(2-p))/(2-p) = 2/3

(nähere Ausführungen dazu hier)

Den ganzen Wirbel können wir auf das einfache Spiel reduzieren: Habe ich eine Münze in der Hand? Während die einen sagen, dass sie dieses Spiel mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 gewinnen, sagen die "Fachliteraten": Aber es kann ja sein, dass der Moderator z.B. mit der Wahrscheinlichkeit 3/4 eine Münze in die Hand nimmt, oder auch immer, oder nie. - Ja, aber was soll das. Das kann ich doch nicht wissen. Ich gehe von der Wahrscheinlichkeit 1/2 aus. Ich würde diese Antwort bestätigen mit (1/2)*p + (1/2)*(1-p) = 1/2.

Quellen dazu kenne ich zwar nicht; aber ich glaube eher, weil das für Spieltheoretiker zu trivial ist.--Albtal (Diskussion) 02:44, 10. Dez. 2013 (CET)

@HilberTraum: Richtig. Dort wird etwas anderes berechnet, was zwar nicht der (?) Fragestellung entspricht, aber ok, falls es so in der Literatur stehen sollte (was zumindest in der von mir recherierten Quelle nicht so eindeutig war). Ganz zum Schluss kommt dann erst sehr stiefmütterlich die Lösung des Problems, so wie es in der Regel gestellt wird: Die allgemeine Lösung. Didaktisch wäre es am besten, die langen Darstellungen zu streichen. Da WP aber bekanntlich fundierte Quellen darlegt, scheidet bis zum Beweis des Gegeneteils eine solche Streichaktion aus. Ich tendiere mittlerweile dazu, nach dem Satz

Der Moderator hat die Möglichkeit, frei darüber zu entscheiden, welches Tor er öffnet, wenn er die Auswahl zwischen zwei Ziegentoren hat (Sie haben also zuerst das Auto-Tor gewählt).

einen Einschub zu machen. Danach kämen dann die Lösungen mit Zusatzannahmen.

@Albtal: Ich habe bewusst auf eine Nummerierung der Türen verzichtet: das entspricht dem "OBdA". Ich selbst brauche auch die Bildchen nicht. Oder man könnte die Türen auch übereinander darstellen, aber ...

--Lefschetz (Diskussion) 07:58, 10. Dez. 2013 (CET)

Zur Abrundung meiner Sisyphos-Tätigkeit in diesem Thread noch ein Vorschlag für einen kompakten und vollständigen Artikel aus der Fundgrube, ganz ohne reputablen Salat (siehe dort Abschnitt "Zu den Quellen (genauer: zu deren Inhalt)"). Er ist insbesondere auch für die Leser gedacht, die sich hier nicht zu Wort melden, weder als Autoren noch als Diskussionsteilnehmer:

Begründung der 2/3-Lösung bei korrekter Aufgabenstellung: Mit der erwähnten Spielregel, dass der Moderator nach der ersten Wahl des Kandidaten eine nicht gewählte Ziegentür öffnen und einen "Wechsel" anbieten muss, ergeben sich an dem Beispiel, dass der Kandidat zunächst Tür 1 "wählt", für die einzelnen Ereignisse folgende Wahrscheinlichkeiten. Dabei folgen die Wahrscheinlichkeiten für die Punkte 3. und 4. direkt aus der genannten Spielregel; bei den Punkten 1. und 2. wird zusätzlich angenommen, dass der Moderator, wenn er laut Spielregel die Wahl zwischen zwei Ziegentüren hat, keine gegenüber der anderen bevorzugt (s.u.).

1. Auto hinter Tür 1 - Moderator öffnet Tür 2  : p = 1/6   (Annahme)
2. Auto hinter Tür 1 - Moderator öffnet Tür 3  : p = 1/6   (Annahme)

3. Auto hinter Tür 2 - Moderator öffnet Tür 3  : p = 1/3

4. Auto hinter Tür 3 - Moderator öffnet Tür 2  : p = 1/3

Wahrscheinlichkeit für Tür 2 nach Öffnen von Tür 3: p = (1/3)/(1/3 + 1/6) = 2/3

An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass an der Aufgabenstellung von Fachleuten auch deshalb Kritik geübt wurde, weil aus ihr nicht streng geschlossen werden kann, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Fälle 1. und 2. jeweils 1/6 betragen. Nur, dass deren Summe 1/3 betragen muss, folgt aus der Spielregel. Ohne die entsprechende Zusatzforderung in der Problemstellung wäre beispielsweise für die Wahrscheinlichkeiten der ersten beiden Fälle auch die Kombination 1/3 und 0 denkbar. Dies würde zwar die "durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit" von 2/3 bei einem "Wechsel" nicht ändern, aber diese Wahrscheinlichkeit würde "aufgespalten" in 2/3 der Fälle mit p=1/2 und 1/3 der Fälle mit p = 1.

Begründung dafür, dass die Gewinnchancen bei der von vos Savant und von Randow vorgelegten Aufgabe für beide verbleibenden Türen gleich sind. Es wird das Beispiel betrachtet, dass der Moderator Tür 3 öffnet:

1. Auto hinter Tür 1: p = 1/2
2. Auto hinter Tür 2: p = 1/2

Die Wahrscheinlichkeit p = 1/2 für beide Fälle folgt aus dem Indifferenzprinzip und entspricht dem Sachverhalt, dass der Kandidat keinerlei Information darüber hat, ob ihn der Moderator von seiner richtigen Wahl abbringen oder ihm eine neue Chance geben will.

(Natürlich sind auch tatsächlich reputable Quellen zu finden; aber darauf bin ich schon genug eingegangen. Sehr unbeliebt ist hier z.B. Martin Gardner, weil er zwar der bekannteste Autor mathematischer Spiele sein möge, sich aber zum Monty-Hall-Problem in der New York Times geäußert habe, welche wiederum in Sachen Mathematik keine reputable Quelle sei usw. usf.. Die Leser sollten sich also über seltsame Artikel-Endprodukte in der Wikipedia nicht wundern ...)--Albtal (Diskussion) 12:43, 10. Dez. 2013 (CET)

Sehe ich das richtig, dass du hier in zwei aufeinanderfolgenden Abschnitten den identischen Text eingefügt hast? Vielleicht solltest du ihn auch noch in den anderen vier Abschnitten einfügen? Und in den 367 Abschnitten im Archiv vielleicht auch noch? *kopfschüttel*, Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   17:16, 10. Dez. 2013 (CET) Übrigens, in der Sache hast du unrecht: Auf diese 50:50-Lösung kommt man nur mit Zusatzannahmen, die noch viel radikaler sind als die nicht explizit erwähnten Standardannahmen der Zwei-Drittel-Standardlösung.

Dass der Beitrag auch oben reingerutscht ist, war natürlich ein technisch begründetes Versehen. Ich habe ihn dort wieder entfernt. Trotzdem ist interessent, welche Phantasien er angeregt hat.--Albtal (Diskussion) 19:14, 10. Dez. 2013 (CET)

Zur Auflockerung: Man kann mit solchen „Argumentationen“ übrigens auch sehr schön beweisen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit p = 5/9 sein muss: „Also mal überlegen: Was könnte denn der Moderator für ein Typ sein? Er könnte mich reinlegen wollen und bietet mir den Wechsel nur an, weil ich richtig geraten habe. Oder er will mir helfen und lässt mich wechseln, weil das Auto hinter Tür 2 ist. Oder er hat den Wikipediaartikel gelesen und will natürlich ein fairer Moderator sein, der sich genau an die Spielregeln hält. Als braver Indifferenzprinzipler nehme ich natürlich an, dass alle meine Überlegungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/3 zutreffen. Also gilt insgesamt p = (0 + 1 + 2/3) / 3 = 5/9. -- HilberTraum (Diskussion) 20:05, 10. Dez. 2013 (CET)

Seltsam: Wo ich "keine bestimmte Annahme" sehe, seht ihr sogar "radikale" und beliebige "Zusatzannahmen". Mit Marilyn vos Savant bin ich der Meinung, dass in der ursprünglichen Aufgabenstellung genau eine Regel fehlt: Dass der Moderator nach der ersten Wahl des Kandidaten eine nichtgewählte Ziegentür öffnen und einen Wechsel anbieten muss. In der auflockerndenFundgrube, in der sich das Ziegenproblem sogar als Scherzaufgabe erweist, steht auch einiges zum "Werdegang" der Problemstellung, insbesondere zur pedantischen Aufblähung durch Granberg zum Zweck der Vernebelung und die brave Übernahme durch Wikipedia, was zu einem völlig konfusen Artikel führte; was Wikipedia allerdings nicht daran hinderte, sich dafür den Preis als "exzellenter Artikel" zu verleihen. Den Lesern, die sich über diese Diskussion hier wundern, sei noch einmal gesagt: Das Ziegenproblem ist ohne die entscheidende Regel um die Welt gegangen, und die Publizisten haben nicht nur geglaubt, dass sich die Zwei-Drittel-Lösung ohne sie ableiten ließe; vielmehr kam ihnen diese Regel überhaupt nicht in den Sinn. Deshalb kam diese Regel weder in ihrer Aufgabenstellung noch in den Erklärungsversuchen vor. Das Internet ist voll von Belegen für diese These. Und in der Tat benötigte weder die Zwei-Drittel-Fraktion diese Voraussetzung für ihre falsche Lösung, noch die "Halbe-Halbe"-Fraktion für ihre "richtige", wenn auch völlig triviale. Auch dazu Näheres in der Fundgrube. Dem "Proteststurm" der Verteter dieser Triviallösung hätte man leicht mit der klaren Ergänzung um die entscheidende Spielregel begegnen können. Aber die beiden entscheidenden Quellen für die Verbreitung - Marilyn vos Savant weltweit und Gero von Randow für den deutschsprachigen Raum - beginnen ihre späteren Bücher zum Thema genau mit ihrer ursprünglichen Problemformulierung. Die Leser werden sich nun fragen, weshalb ich hier überhaupt weiterdiskutiere. Das ist das beste Argument, das ich hier gehört habe. Danke!--Albtal (Diskussion) 09:27, 11. Dez. 2013 (CET)

Eine exakte(!) 50:50-Lösung ohne bestimmte Annahmen glaube ich dir erst, wenn du mir Folgendes angibst:

eine Ergebnismenge $\Omega$,

ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $\Omega$,

ein Ereignis $A\subseteq \Omega$ mit $P(A)={\tfrac {1}{2}}$, dass den Gewinn des Autos modelliert.

-- HilberTraum (Diskussion) 10:00, 11. Dez. 2013 (CET)

Als "Evangelist" (s.o.) habe ich natürlich sofort erkannt, dass durch dich der Satan fragt. Aber dich als Schäflein möchte ich trotzdem nicht aufgeben. Du kannst dem Leibhaftigen z.B. erwidern, dass es ja Aufgabe der Mathematik sei, die Theorie dafür zu liefern, wenn ein Kandidat auf der Bühne steht und keinerlei Grund sieht, eine gegenüber der anderen Möglichkeit zu bevorzugen und beiden deshalb jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/2 zuordnet. Falls du ihn damit noch nicht austreiben kannst, wird er nach dem Hinweis auf den reputablen Artikel von Marc Steinbach, in dem auch detailliert die Mathematik für die Halbe-Halbe-Lösung geliefert wird, ganz bestimmt zornig ausfahren. Ein Zitat daraus:

Wie also soll er sich entscheiden? Tür eins oder zwei? Interessanterweise darf er sich weder für die eine noch für die andere Tür (systematisch) entscheiden; vielmehr muß er zufällig und mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der beiden Türen wählen, also z.B. durch Münzwurf. Nur so kann er sicher sein, eine Gewinnchance von 1/2 zu erreichen.

...

Der springende Punkt ist, daß der Kandidat keinerlei Informationen zur Gewinnwahrscheinlichkeit der einzelnen Türen hat; beide liegen irgendwo zwischen null und eins. Je nach Verhalten des Moderators kann er mit jeder Tür Glück oder Pech haben. Er sollte deshalb versuchen, selbst im schlimmsten Fall einen möglichst hohen Gewinn zu erreichen, also gewissermaßen den Moderator als Gegner anzusehen. Es bleibt nur der Münzwurf: so erwischt der Kandidat - unabhängig vom Verhalten des Moderators! - mit Wahrscheinlichkeit 1/2 die richtige Tür. Jegliche Bevorzugung einer bestimmten Tür würde dagegen seine Chance im schlimmsten Fall verringern.

Auf weitere Versuchungen werde ich nicht mehr eingehen. Auch Evangelisten müssen Prioritäten setzen.--Albtal (Diskussion) 11:26, 11. Dez. 2013 (CET)

„Du kannst dem Leibhaftigen z.B. erwidern, dass es ja Aufgabe der Mathematik sei, die Theorie dafür zu liefern“. Ok, wenn ich ihn wieder treffe, richte ich es ihm aus Vorlage:Smiley/Wartung/teufel  -- HilberTraum (Diskussion) 12:15, 11. Dez. 2013 (CET)

update: Hatte Glück und hab ihn in der Mittagspause kurz getroffen. Das Gespräch war leider nicht sehr ergiebig. Er meinte nur, er persönlich fände es schon mal prima, dass es in der Aufgabe um Ziegen gehe, aber er sei grundsätzlich eher für 2/3-Lösungen Offb 12,3-4  (übrigens eine echt coole Textstelle, die er mir da genannt hat. In meinen Augen ist das locker der epischste Endboss seit Sephiroth in FF7.) -- HilberTraum (Diskussion) 13:27, 11. Dez. 2013 (CET)

HilberTraum! --Erzbischof 18:38, 12. Dez. 2013 (CET)

Banalgrafik

Ich kann zwar selber nur hundsmiserabel erklären, aber Lefschetz' Bild finde ich aus didaktischen Gründen sehr sinnvoll. Erklärt den (gemeinten) Normallfall sehr gut IMNSHO. --Kängurutatze (Diskussion) 14:48, 9. Dez. 2013 (CET)

Wenn du die Grafik für gelungen und sinnvoll *für den Artikel* hältst, dann sollten wir darüber diskutieren, ob und gegebenenfalls wo und wie man sie in den Artikel einbauen kann. Wenn Lefschetz sie als Vorschlag zur Verbesserung des Artikels (!) zur Diskussion gestellt (!) hätte, wäre sie vielleicht diskussionswürdig gewesen. Sie „ohne (weitere) Worte“ in einen einzelnen Abschnitt der Diskussion zu knallen mit dem Anspruch, damit sei jetzt alles gesagt und die Diskussion insgesamt erledigt, habe ich vom Anspruch her für verfehlt gehalten. Für die hier diskutierten Fragen bringt diese Grafik nix. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   17:14, 9. Dez. 2013 (CET)

Ich stimme Dir zu, dass die Grafik nichts mit dem aktuellen Stand der "Diskussion" zu tun hat, dessen Niveau, Bezug zur WP-Arbeit und Bezug zu Abschnittsüberschrift und Eingangstatement ich ausdrücklich nicht bewerten möchte (weil ich zu höflich bin). Aber die Provokokation "ohne Worte" musste einfach sein, um dieser folgenlosen Diskussionen entgegenzutreten. Es ist schon sehr bezeichnend, wenn mir vorgehalten wird, ich hätte den Vorschlag zur Verbesserung des Artikels (!) zur Diskussion stellen müssen! Wofür sonst ist die Diskussion da? Für nichts sonst! Wo vorher sind irgendwelche konkreten Vorschläge, etwas zu ändern? Ich kann gut damit leben, dass ich mich damit beschäftige, interessierten WP-Lesern banale Trivialitäten zu vermitteln. Aus eigener Erfahrung meiner Studenten weiß ich nämlich, welche Schwierigkeiten das Ziegenproblem -- jedenfalls das, was allgemein darunter verstanden wird -- bereitet.

Konkret zwei Vorschläge:

Da die Graphik nur fast in den Abschnitt Einfache Erklärung reinpasst, kann ich mir auch auch einen nach- oder vorgelagerten Abschnitt Lösungsvariante fast ohne Worte vorstellen. Nur die Graphik, keine Worte dazu (Dank an Kängurutatze für den Zuspruch).

Der Diskussionszweig wird getrennt. Graphik und Anmerkungen, die dann noch aufrecht erhalten werden, werden über den Strich oberhalb von Zitat: "Das Verständnisproblem liegt ... verschoben. Die nachfolgende Diskussion erhält eine neue Überschrift.

--Lefschetz (Diskussion) 17:58, 9. Dez. 2013 (CET)

Ich habe mich oben etwas zu hart über die Grafik geäußert. Sie erklärt ja etwas richtig (nämlich wie gesagt die a-priori-Gewinnwahrscheinlichkeit eines Spielers der immer wechselt). Es sollte nur nicht der Eindruck entstehen, dass sie dasselbe Problem, wie im Abschnitt „Der ausgeglichene Moderator“ angegeben, „einfacher“ löst. Nein, sie löst ein einfacheres Problem, das aber bisher im Artikel kaum angesprochen wird. Wie gesagt, am ehesten noch im Abschnitt „Strategische Lösung“, der aber überarbeitet werden müsste. Bei „Einfache Erklärung“ passt sie eigentlich nicht, dort ist die Argumentation ja eher so, dass wegen der angenommenen Spielregel sich die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht ändert, wenn bekannt ist, welche Tür geöffnet wird. -- HilberTraum (Diskussion) 18:39, 9. Dez. 2013 (CET)

Ich hätte eigentlich auf diesen Einwand vor oder mit meiner Änderung noch eingehen sollen: Ich glaube nicht, dass die Grafik ein einfacheres Problem löst. Klar ist, dass die gleichen Regeln zugrunde gelegt werden. Richtig ist, dass eimal eine Art Strategie für das Ein-Personen-Spiel (ich mag eigentlich die spieltheoretischen Termini hier nicht: es sind ja zwei Personen, wobei nur einer eine Auszahlung hat und die Aktion des anderen Spielers unter den gemachten Voraussetzungen keine Rolle spielt) untersucht wird und einmal eine Entscheidung in einer (Spiel-)Position. Da die Strategie aber 1:1 mit dieser Entscheidung korrespondiert ("der Strategieraum wird bijektiv durch die Einzelentscheidung parametrisiert"), ist das nichts anderes: mit Wahrscheinlichkeit 1/3 verbessert ein Wechseln meinen Gewinn, mit Wahrscheinlichkeit 2/3 wird mein Gewinn kleiner, auch bezogen auf den Zeitpunkt, wo die (einzige) Entscheidung (des Spiels) konkret ansteht.

Resümee: gleiches Problem, wenn auch eine globale (und allgemeine) Lösung.

--Lefschetz (Diskussion) 07:19, 11. Dez. 2013 (CET)

Ich bleibe dabei, dass die Grafik an dieser Stelle nicht passt, da sie ein anderes Problem löst. Ich habe hier versucht, den Unterschied mit Worten zu beschreiben, vielleicht versuche ich es jetzt noch formal mit den Ereignissen $M_{i}$, $G_{i}$ aus dem Artikel:

Deine Grafik zeigt wie man $P((G_{2}\cap M_{3})\cup (G_{3}\cap M_{2}))$ bestimmt, also die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das Auto hinter Tür 2 ist und der Moderator Tür 3 öffnet oder umgekehrt.

Im Rest des Abschnitts „Das Monty-Hall-Standard-Problem“ geht es dagegen um die Bestimmung von $P(G_{2}|M_{3})$, also die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 ist, wenn der Moderator Tür 3 geöffnet hat.

Man kann wohl bis zu einem gewissen Grad beides als eine Antwort auf die allgemein gestellte Frage „Ist es von Vorteil zu wechseln?“ auffassen, aber es sind unterschiedliche Interpretationen. -- HilberTraum (Diskussion) 09:17, 11. Dez. 2013 (CET)

Es ist kein prinzipieller Unterschied, ob ich mich für eine Handlung entscheide, wenn die Situation eingetreten ist, oder ob ich a priori für jede mögliche Situation, in die ich kommen kann, eine Entscheidung festlege. Natürlich nur im Prinzip. Ein Schachspieler agiert selbstverständlich anders. Bei dem einfachen Spiel der Spielshow ist es aber selbst in der Praxis kein Unterschied. Nicht überzeugt? Ich erlaube, mir zu zitieren:

Imagine now that each player k = 1, ... , n, instead of making each decision as the necessity for it arises, makes up his mind in advance for all possible contingencies; i.e. that the player k begins to play with a complete plan: a plan which specifies what choices he will make in every possible situation, for every possible actual information which he may possess at that moment in conformity with the pattern of information which the rules of the game provide for him for that case. We call such a plan a strategy.

von Neumann, Morgenstern, Theory of Games and economic behavior, S. 79.

Resümée: Die Graphik beantwortet die Frage, dass es unter den genannten Spielregeln nach dem Öffnen einer Tür vorteilhaft ist, die ursprünglich gewählte Tür zu wechseln, weil man sich dann mit 2/3 Wahrscheinlichkeit verbessert und mit 1/3 Wahrscheinlichkeit verschlechtert. Dabei sind die Ursachen (Ziege/Auto hinter Tür n = 1,2,3) für die beiden Wirkungen Verbesserung und Verschlechterung offensichtlich. Also alles äquivalent! Die komplizierten Fallunterscheidungen verwirren eigentlich nur und sorgen dafür, dass Diskussionseite um Diskussionsseite gefüllt wird ...

--Lefschetz (Diskussion) 18:27, 11. Dez. 2013 (CET)

Ein gutes Argument! Nebenbei bemerkt, es ist sehr erfrischend, dass man auf dieser Seite auch mitunter interessante Diskussionen führen kann, die sich nicht immer nur im Kreis drehen. Ja, wenn(!) die Spielregeln bekannt sind, kann man genauso gut auch alle möglichen Fälle in Vorhinein durchspielen und ihre Gewinnaussichten vergleichen. Aber ich behaupte, das tut „deine“ Lösung nicht ausreichend. (Das ist gar nicht einfach zu sehen, weil das Spiel so „symmetrisch“ ist.) Du betrachtest a priori die Strategie „immer wechseln“ und stellst fest, dass es eine gute Strategie ist, weil sie beispielsweise besser ist als „nie wechseln“. Aber dadurch werden nicht alle möglichen Spielsituationen einzeln betrachtet. Zum Beispiel könnte(!) es so sein, dass es noch etwas besser wäre, nur dann zu wechseln, wenn der Moderator Tür 2 öffnet, aber nicht zu wechseln, wenn er Tür 3 öffnet. Wir alle wissen natürlich, dass das nicht der Fall ist, aber das liegt nur an den ganz speziellen Voraussetzungen. Wenn das aber der Fall wäre, dann würde deine Lösung in der konkreten Spielsituation (Kandidat wählt Tür 1, Moderator öffnet Tür 3 mit einer Ziege) eine falsche Vorhersage („wechseln“) machen. Nochmal: Das ist hier nicht der Fall, aber streng genommen weiß man das erst, wenn man tatsächlich $P(G_{2}|M_{3})$ bestimmt hat. -- HilberTraum (Diskussion) 20:57, 11. Dez. 2013 (CET)

Natürlich wäre es kein Problem, anfänglich darauf hinzuweisen, dass die Symmetrie der Regeln in Bezug auf die drei Türen zur Folge hat, dass es keinen Sinn macht, sich nach einem Tipp auf Tür 1 und einem Moderator-Öffnen von Tür 2 anders zu verhalten als bei einem Tipp auf Tür 2 und einem Moderator-Öffnen von Tür 3: Was in einem Fall gut ist, ist auch gut in einem dazu symmetrischen Fall. Deshalb habe ich ja auch immer betont, dass ich eigentlich keine Türen nummeriere. Aber brauche ich diese anfängliche Symmetriebetrachtung wirklich?

Ich als Kandidat wähle eine ganz bestimmte Tür, etwa Tür 1 wie die Graphik zeigt. Dann zeigen Schaublild und „Berechnung“, dass in es in diesem Fall vorteilhaft ist, zu wechseln, sobald der Moderator gemäß der Spielregel eine Ziege zeigt. Streng genommen habe ich natürlich nichts zu den beiden anderen Fällen gesagt, die ich aber gar nicht brauche, weil ich nur den Fall der einen Türe analysiere, die ich anfänglich öffne (eine andere Türe analysiere ich erst, wenn ich nochmals zur Show eingeladen werde – wir wollen den Veranstalter ja nicht auf dumme Gedanken bringen, wenn er meine anfängliche Wahl kennen sollte ...).

So gesehen scheint die Symmetriebetrachtung sogar obsolet!

Worauf es mir ankommt, ist der Verzicht auf zusätzliche, aber letztlich überflüssige Annahmen über das Verhalten des Moderators (die finde ich gräuslich) und möglichst einfache und übersichtliche Argumente (als Mathematiker hasse ich Formeln, wenn es auch ohne besser oder genauso gut geht). Daher finde ich die Lösung aus dem zitierten Buch erstens schön und zweitens auch von mir am richtigen Platz reingebaut. Sie behandelt wirklich dasselbe Problem. Nur werden keine absolulten Ereignisse betrachtet ("Tür 1", ...) sondern relative (gewählte Tür = Tür mit Auto).

--Lefschetz (Diskussion) 22:24, 11. Dez. 2013 (CET)

Ich mache das Spiel mal unsymmetrisch, dann sieht man den Unterschied besser: Wie immer wählt der Kandidat zuerst Tür 1 und wir nehmen an, dass sich der Moderator streng an die Regeln hält und Tür 3 öffnet mit einer Ziege dahinter. Aber was ist, wenn der Bühnenarbeiter, der das Auto hingestellt hat, sich nicht an die Regeln hält? Angenommen, er stellt das Auto mit den Wahrscheinlichkeiten 40 %, 10 %, 50 % hinter die Türen 1, 2, 3. Nach „deiner“ Methode könnte man argumentieren, dass man immer wechseln sollte, denn man gewinnt, wenn das Auto nicht hinter Tür 1 steht, also mit Wahrscheinlichkeit 60 % und das ist größer als die Wahrscheinlichkeit 40 %, wenn man nicht wechselt. Wenn ich mit „meiner“ Methode rechne, komme ich aber zum Schluss, dass der Kandidat nicht wechseln soll: Mit der Formel im Artikel ergibt sich $P(G_{2}|M_{3})={\tfrac {1}{3}}$ als bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 ist, und das ist viel weniger als $P(G_{1}|M_{3})={\tfrac {2}{3}}$, wenn der Kandidat nicht wechselt. -- HilberTraum (Diskussion) 09:30, 12. Dez. 2013 (CET)

Ich hatte diesen Einwand fast erwartet und daher die Bemerkung wir wollen den Veranstalter ja nicht auf dumme Gedanken bringen, wenn er meine anfängliche Wahl kennen sollte .. gemacht. Egal ob Veranstalter oder Spielshow-Kandidat, niemand sollte sein Prozedere der Auswahl anderen mitteilen, es sei denn, er agiert symmetrisch. Das heißt konkret: Ich suche mir meine Tür zufällig mit gleichen Wahrscheinlichkeiten aus. Die dazu angestellte Überlegung gilt ja universell.

--Lefschetz (Diskussion) 12:23, 12. Dez. 2013 (CET)

Das habe ich nicht ganz verstanden. Natürlich wäre es wohl aus spieltheoretischer Sicht (<- übrigens ein Thema, das im Artikel gar nicht angesprochen wird) günstig, wenn alle Beteiligten symmetrisch agieren würden. Aber es zwingt sie ja niemand. Der Kandidat kann ja auch einfach mal analysieren wollen, was passiert, wenn der Autoaufsteller nicht symmetrisch agiert. Oder man sieht es einfach als normale Übungsaufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung an, da ist es ja auch üblich, dass irgendwelche Wahrscheinlichkeiten einfach „vom Himmel fallen“.

Übrigens was mir gerade aufgefallen ist: Eigentlich stellt doch deine Grafik die ersten drei Zeilen der großen Tabelle im Abschnitt „Antwort von Marilyn vos Savant“ anschaulich dar, nicht wahr? Sollte sie also nicht besser dort stehen? Eventuell könnte sie sogar die etwas abschreckende Tabelle ersetzen. -- HilberTraum (Diskussion) 20:41, 13. Dez. 2013 (CET)

Ich hatte schon einmal erwähnt, dass die spieltheoretische Sicht m. E. eher Verwirrung stiftet. Aber ich musste Deinen Einwand, dass der Spielshow-Verantstalter eine gemischte Strategie verwendet ja aufgreifen. Das Ziegenproblem ist ein Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, nicht nur in der Literatur, die wir als WP-Autoren unabhängig von unserer persönlichen Sicht (!) darzustellen haben. Dafür muss natürlich der zufällige Einfluss da sein (wo und wie?) und die Gleichwahrscheinlichkeit als Basis einer Verwendung eines Laplace-Modells muss begründbar sein. Lassen wir mal offen (wir wollen ja eine allgemeine Lösung!), was der Verantstalter bei der Vorbereitung der Show macht (d.h. egal, ob Auslosung der Auto-Position mit gleichen, verschiedenen Wahrscheinlichkeiten oder Auto immer links [entspricht natürlich Wahrscheinlichkeit 1] oder an geraden Kalendertagen links und sonst rechts ...). Unabhängig von diesem offen gehaltenen Verhalten des Veranstalters werden die a-piori-Wahrscheinlichkeiten von 1/3, die die Grundlage jeder Lösung bilden, erreicht, wenn der Kandidatat würfelt: Bei Eins oder Zwei wählt er Tür 1 etc. Mehr braucht Bewersdorff in seinem Buch nicht (ich kante bisher keine weitere Referenz für diesen Ansatz, aber in der englische WP, wo ich jetzt mal reingeschaut habe, werden solche genannt). Dort steht die Tabelle sehr puritanisch ohne Bildchen, was für Zweifler vielleicht klarer ist:

	Ursprüngliche Wahl ist ...	Wahrscheinlichkeit dafür	Änderung der Entscheidung ist ...
1. Fall	richtig	1/3	schlecht
2. Fall	falsch	2/3	gut

Die Originaltabelle zeigt, dass die Graphik eben nicht die ersten drei Zeilen der großen Tabelle im Abschnitt „Antwort von Marilyn vos Savant“ anschaulich darstellt. Sondern sie stellt eine komplette Argumentation dar. Dabei umgeht sie die Fallunterscheidung der immer wieder Verwirrung stiftenden Ereignisse der Art "Kandidat wählt Tür x", "Auto steht hinter Tür y" und "Moderator öffnet Tür z", sondern betrachtet dafür relative Ereignisse "x=y, d.h. ursprüngliche Wahl ist richtig". Das hat aber nichts damit zu tun, dass nicht trotzdem eine Aussage getroffen wird für den Zeitpunkt, wo ich als Kandidat nach einer zufälligen Entscheidung Tür 1 geöffnet habe und nun der Moderator Tür 2 öffnet! Grund ist, dass z.B. die Aussage, die für "x=y" gilt, eben insbesondere auch für "x=y=1" gilt. --Lefschetz (Diskussion) 07:32, 14. Dez. 2013 (CET)

„Sondern sie stellt eine komplette Argumentation dar.“ Ja stimmt, ich hätte auch mal den Text drumherum lesen sollen und nicht nur Bildchen gucken :) Ich habe festgestellt, dass unsere momentane Diskussion im englischen Wikipediaartikel sehr ausführlich dargestellt wird. Zum Beispiel der Abschnitt „Criticism of the simple solutions“ scheint recht neutral, facettenreich und gut belegt, da werde ich mich vielleicht die nächsten Tage hin und wieder darin vertiefen. Zumindest bisher war ich eigentlich eindeutig auf dieser Seite: „Most sources in the field of probability, including many introductory probability textbooks, solve the Monty Hall problem by showing from first principles that the conditional probabilities the car is behind door 1 and door 2 are 1/3 and 2/3 (not 1/2 and 1/2) given the contestant initially picks door 1 and the host opens door 3“

Aber könnte ja sein, dass ich teilweise auch mal umdenken muss. Das sollte ja Mathematikern eigentlich nicht schwerfallen, wenn die Argumente stimmen ;) -- HilberTraum (Diskussion) 18:43, 14. Dez. 2013 (CET)

Besten Dank. Die letzte Diskussion hat Spaß gemacht und hat das Entree kompensiert. In Übereinstimmung mit dem zitierten Buch glaube ich übrigens, dass ein Ziegenproblem mit mindestens vier Türen und mindestens je zwei Autos und Ziegen bei ansonsten gleichen Regeln

Kandidat kennt Regeln, d.h. Anzahl von Ziegen und Autos. Kandidat wählt zuächst Tür. Moderator öffnet eine andere Tür. Kandidat darf umentscheiden

einfacher im Sinne von weniger verwirrend ist. Grund ist, dass man es dann mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ungleich 0 und 1 zu tun bekommt und intuitiv solche Werte eher als Wahrscheinlichkeiten akzeptiert.--Lefschetz (Diskussion) 08:53, 15. Dez. 2013 (CET)

Das "Problem" mit der "einfachen" Lösung ist, dass sie ein "anderes" Problem löst, leider hat Brewersdorf das nicht wirklich herausgearbeitet. Auf en.wp wurde bzw. wird das relativ gut dargestellt, über Google Books lässt sich das in knapper Form unter anderem bei Behrends (siehe Literatursammlung weiter oben) nachlesen. Ansonsten zeigt sich hier wieder wie wichtig es ist die Mehrdeutigkeit des Problems zu betonen bzw. dass man es in unterschiedlichen Kontexten betrachten kann. Je nach Kontextwahl verwendet unterschiedliche (implizite) Voraussetzungen und löst auch gegebenfalls auch sich subtil unterscheidende Probleme.--Kmhkmh (Diskussion) 09:14, 15. Dez. 2013 (CET)

Das "Problem" mit der "einfachen" Lösung ist, dass sie ein "anderes" Problem löst: Um das zu präzsieren, habe ich die Voraussetzungen letzte Woche in den Abschnitt Das Monty-Hall-Standard-Problem vorverlegt. Was wird davon nicht gelöst und was sind die Argumente?--Lefschetz (Diskussion) 10:26, 15. Dez. 2013 (CET)

Zunächst einmal fragt das Problem nicht direkt nach einer Wahrscheinlichkeit bzw, einer auf Wahrscheinlichkeiten beruhenden Lösung. Natürlich ist nahelegend das Problem in einen wahrscheinlichkeitstheoretischen Kontext zu lösen, aber auch da muss man sich noch entscheiden, ob die Wahrscheinlichkeit aufgrund derer man eine Beurteilung vornehmen will eine bedingte sein soll oder eine totale. Erstere gibt an, ob Wechseln unter der Begingung, dass man eine Ziege gezeigt bekommt, besser ist. Letztere gibt, ob Wechseln im Schnitt besser ist (egal was man gezeigt bekommt). Einige Kritiker der einfachen Lösung bestehen allerdings darauf, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit die "richtige" Lösung ist bzw. die "richtige" Fragestellung lösen.--Kmhkmh (Diskussion) 11:32, 15. Dez. 2013 (CET)

Meine Antworten zu Deinen letzten beiden Beiträgen:

• Wird nach Wahrscheinlichkeiten gefragt? Na ja, es wird danach gefragt, ob ein Wechsel von Vorteil ist. Soweit stochastische Prozesse bei der Platzierung und/oder Auswahl eine Rolle spielen, führt das zu einem Vergleich von Wahrscheinlichkeiten. Entsprechend argumentieren alle mir bekannten Autoren, auch der mir gut bekannte und sehr von mir geschätzte Kollege Behrends. Da wir hier die fundierte Literatur darstellen, sollte die Sache damit klar sein.
• Bedingte oder totale Wahrscheinlichkeiten? Der Unterschied ist etwas künstlich, weil spätestens, wenn das Ereignis, zu dem die Wahrscheinlickeit bedingt betrachtet wird, eingetreten ist, wird aus der bedingten Wahrscheinlichkeit eine totale. Man kann das natürlich auch in formaler Mathematik „ertränken“: Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind normale Wahrscheinlichkeiten in einem anderen Maßraum.
• "richtige" Fragestellung? Das sollte einleitend geklärt werden, wo die Voraussetzungen und die Frage wiedergegeben werden. Unterschiedliche Interpretationen aber bitte mit Referenz. Jedenfalls untersuchen die Kollegen Behrends und Bewersdorff das gleiche Problem.
• Erstere gibt an, ob Wechseln unter der Bedingung, dass man eine Ziege gezeigt bekommt, besser ist. Letztere gibt, ob Wechseln im Schnitt besser ist (egal was man gezeigt bekommt): Also ich kenne keine Untersuchung, die den Wechselvorteil unter der Bedingung „egal was man gezeigt bekommt“ untersucht. Das heißt ja konkret, dass der Moderator keine Ziege zeigen muss, sondern auch das Auto zeigen kann. Darf ich dann als Kandidat diese offene Tür wählen und direkt einsteigen oder muss ich mich für die Ziege hinter der geschlossenen Türe entscheiden??? Sehr seltsam!
• über Google Books lässt sich das in knapper Form unter anderem bei Behrends (siehe Literatursammlung weiter oben) nachlesen: Behrends macht zunächst die Annnahme, dass die Wahrscheinlichkeiten a priori je 1/3 betragen, und geht dann von einer gleichverteilten Wahl des Moderators aus. Er argumentiert dann entsprechend dem Abschnitt Der ausgeglichene Moderator. Er erwähnt dann noch eine andere Herangehensweise, die ihm Kollege Puppe mitgeteilt habe: Beim Wechseln wird genau dann gewonnen, wenn die erste Wahl falsch war, also mit Wahrscheinlichkeit 2/3. Das ist genau die von mir eingefügte Lösung ohne weitere Zusatzannahme. Immerhin kenne ich jetzt eine weitere deutschsprachige Referenz, da Behrends schönes Buch zuerst in deutscher Sprache unter dem Titel Fünf Minuten Mathematik erschienen ist und schon lange bei mir im Bücherschrank steht. Dank Deines freundlichen Hinweises habe ich heute nochmals hineingeschaut.

--Lefschetz (Diskussion) 17:16, 15. Dez. 2013 (CET)

Die deutsche Ausgabe von Behrends gibt es leider nicht auf Google Books, deswegen hatte ich die oben nicht aufgeführt. Man findet die einfache Variante in deutscher Literatur unter anderem auch bei Henze (leider auch nicht mehr über Google Books einsehbar). Ansonsten reden wir etwas aneinander vorbei und ich will hier keine Diskussion führen, ob der Unterschied zwischen bedingter oder totaler Wahrscheinlichkeit nun wichtig oder gekünstelt ist oder nicht. Entscheidend ist, das beide leicht unterschiedliche Fragestellungen beantworten, die jedoch beide als Lösung "korrekte" Lösungen des Ziegenproblems angesehen werden können (bzw. von vielen Leuten angesehen werden). Tatsache ist aber auch das einige externe Quellen die Lösung über die totale Wahrscheinlichkeit als "wackelig" bzw. "unvollständig" ansehen (das beginnt spätestens mit Morgan et al., siehe dazu en.wp). Aus meiner Sicht sollte dem Leser zumindest an irgendeiner klar gemacht werden, dass sich hier um zwei leicht unterschiedliche Auslegungen handelt. Oder anders ausgedrückt die Variante mit der totalen Wahrscheinlichkeit löst eben nicht genau die gleiche Fragestellung wie die Variante mit bedingten Wahrscheinlichkeiten nur mit weniger Voraussetzungen, sondern sie löst eben eine sich subtil unterscheidende Fragestellung und kommt genau deswegen auch mit einer Voraussetzung weniger aus.--Kmhkmh (Diskussion) 20:47, 15. Dez. 2013 (CET)

Ich persönlich hätte überhaupt nichts dagegen, wenn jemand entsprechend der en.WP nach der Referierung der unterschiedlichen Lösungen einen Abschnitt analog zu Criticism of the simple solutions einfügt, der die entsprechende Literatur referiert. Das ist die übliche WP-Herangehensweise bei strittigen Themen, meist eher im Bereich Politik. Aber warum nicht mal bei Mathematik? Du scheinst ja die kritische Literatur zu kennen ...--Lefschetz (Diskussion) 23:18, 15. Dez. 2013 (CET)

Welche in den Überschriften genannten Konzepte und Bezeichnungen sind etabliert?

Der Artikel verwendet auf der höchsten Ebene Begriffe und Konzepte, bei denen ich gerne wissen würde, ob sie auf deutsch oder zumindest in englischer Entsprechung in der Literatur etabliert sind, sagen wir von unterschiedlichen Autoren verwendet werden.

• Die „erfahrungsbezogene Lösung“

  wird hier als terminus technicus verwendet, ist das gerechtfertigt?

• Die „strategische Lösung“

  eher keine "strategische Lösung", sondern schlicht eine Strategie, die beinhaltet, die Wahl der ersten Tür zu randomisieren. Das ermöglicht dann eine wahrscheinlichkeitstheoretische Beschreibung.

• Der „ausgeglichene Moderator“

  Klingt wie ein Übersetzungsunfall, etabliert?

• Der „faule Moderator“

  Freie Übersetzung von Monty Crawl, kommt außerhalb Rosenthals Text nicht vor (gemäß google scholar).

--Erzbischof 12:10, 15. Dez. 2013 (CET)

Auch ich habe bei diesen Überschriften ein schlechtes Gefühl (aber leider keine bessere Idee): „Erste Annahme über Moderator-Verhalten“ wäre nichtsagend-neutral, aber kaum erhellend. Die jetzigen Überschriften zum Moderatorverhalten sind wenigstens plakativ. Außerdem kommen die gemachten Annahmen jetzt wenigstens deutlicher rüber.

--Lefschetz (Diskussion) 17:34, 15. Dez. 2013 (CET)

Conny nimmt das Geld und gewinnt 1000 Euro

Nachdem hinter einer der drei Türen sicher ein Auto steht und die Kandidatin völlig unabhängig vom Verhalten des Moderators jedenfalls eine Tür wählen und bei dieser Wahl bleiben kann und sich hinter dieser Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel das Auto befindet, kann man doch sagen, dass der Erwartungswert des Spiels (jedenfalls mindestens) ein Drittel des Werts des Autos beträgt (genauer [Wert des Autos plus Wert der beiden Ziegen] / 3), weil der Moderator nichts tun kann, um der Kandidatin das Auto zu verweigern, wenn sie bei ihrer Wahl die Auto-Tür trifft. Wenn die Kandidatin die 1000 Euro nimmt (was wohl weniger ist als ein Drittel des Erwartungswerts), dann hat sie nicht 1000 Euro gewonnen, sondern einen Betrag von Erwartungswert minus 1000 Euro verloren. Den Erwartungswert hatte sie gewonnen, als sie als Kandidatin für das Spiel ausgewählt wurde.
Noch deutlicher wird das mit anderen Beträgen und einem noch einfacheren Spiel: Eine Kandidatin kann durch einen Münzwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent eine Million Euro gewinnen. Der Moderator bietet ihr alternativ einen Euro an, was sie annimmt. Würden wir da auch sagen, „die Kandidatin hat einen Euro gewonnen“?
Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   22:33, 15. Dez. 2013 (CET)

Unabhängig davon, ob die Stelle im Artikel sinnvoll ist (ich halte sie eindeutig für nicht sinnvoll), scheint es mir schon üblich zu sein, hier von „Gewinn“ zu sprechen, auch wenn dieser unter dem Erwartungswert liegt. Im Allgemeinen ist „Gewinn“ die (zufällige) Auszahlung minus den Einsatz des Spiels (der hier ja 0 ist). Bei einem fairen Spiel ist dann der Erwartungswert des Gewinns 0. -- HilberTraum (Diskussion) 08:54, 16. Dez. 2013 (CET)

Korrekte Antwort auf die eigentliche Fragestellung

Hier wird behauptet, Vos Sants Antwort sei nicht korrekt. Was ist die Begründung dafür? Bisher stand das gleiche im Text, nur wurde nicht geschrieben, dass in ihrem Kontext, der Show Let's Make a Deal und Monty Hall, dies die korrekte Antwort ist. --Kängurutatze (Diskussion) 18:28, 16. Dez. 2013 (CET)

Vos Savants Lösung ist richtig für das was man das "Textbook-Monty-Hall-Problem" nennen könnte und was gemeinhin als "das Monty-Hall-Problem" bekannt ist. Es ist unter Zusatzannahmen die richtige Antwort auf die zitierte Frage, welche gemeinerweise ebenfalls als "das Monty-Hall-Problem" bekannt ist, aber unter anderen Annahmen eben nicht. Die Streitparteien verwenden den Begriff "Monty-Hall-Problem" so, dass jeweils die preferierte Antwort die richtige ist. Der Punkt ist, dass die Annahmen an Monty, unter denen die Antwort 1/2 auf die Frage "Was ist die Gewinnwahrscheinlichkeit unter einem Wechsel?" die jemals richtige ist, ziemlich komisch sind. (Zum Beispiel, wenn ich mich jetzt nicht vertue, dass der Moderator das Auto gleichwahrscheinlich versteckt, und dann dem Spieler ein nichtgewähltes Ziegentor mit bedingter Wahrscheinlichkeit p zeigt und einen Wechsel anbietet, wenn der Spielers ursprünglich ein Auto gewählt hat, und p ist genau doppelt so gross wie die bedingte Wahrscheinlichkeit q, dass Monty eine Ziege zeigt und einen Wechsel anbietet, wenn die ursprüngliche Wahl eine Ziege war, d.h. p = 2q, p <= 1.) --Erzbischof 13:55, 17. Dez. 2013 (CET)

«Vos Savants Lösung ist richtig für das was man das "Textbook-Monty-Hall-Problem" nennen könnte und was gemeinhin als "das Monty-Hall-Problem" bekannt ist.» Eben. Und die impliziten Lehrbuchannahmen sind dem Leser im amerikanischen Kontext auch bekannt. Deswegen ist das die korrekte Lösung des Problems. Alles andere ist bloßes Explizitmachen der impliziten Prämissen bzw. das Variieren mit anderen Prämissen. --Kängurutatze (Diskussion) 18:58, 19. Dez. 2013 (CET)

"Das" Problem bzw. "die" korrekte Lösung gibt es nicht, nur Leute die davon reden. Davon abgesehen ist selbst bei den "üblichen" (impliziten) Zusatzannahmen Vos Savants Lösung umstritten, da einige ihre Erklärung für "unvollständig" halten (totale Wahrscheinlichkeit versus bedingte Wahrscheinlichkeit).--Kmhkmh (Diskussion) 09:39, 20. Dez. 2013 (CET)

Wenn es das «Monty Hall Problem» nicht geben würde, sollte dieser Artikel dann nicht Ziegen-Probleme heißen? Geh mal an eine beliebige amerikanische Uni und guck Dir den Abschluss-Multiple-Choice-Test in Game Theory 101 an. Wenn da das Monty-Hall-Problem abgefragt ist, sieht die Antwort etwa so aus. Die Taschenspielertricks, mit denen eine 50/50-Lösung legitimiert wird, kann man sich da sparen: Wäre 50/50 eine korrekte Antwort, wäre es kein Problem, weil genau diese Antwort «intuitiv» gegeben wird. Geh doch mal didaktisch vor: Wenn Du das Konzept Masse (Physik) erklären möchtest, fängst Du doch auch nicht erst Mal an, Relativitätstheorien zu erklären, sondern erstmal wackelt man mit Newton an. --Kängurutatze (Diskussion) 10:02, 20. Dez. 2013 (CET)

Man erklärt aber Newton eben nicht zur "der" Gravitationtheorie und behauptet nicht dass er "die" richtige Lösung ist. Was nun die vermeidlichen Taschenspielertricks für die 50:50-Lösung betrifft, andere argumentieren hier (insbesondere Albtal und wohl auch Geodel), dass eben gerade die 2/3-Lösung Taschenspielertricks verwendet. Ich für meinen Teil verweise noch einmal auf die Literatur. Zunächst einmal findet man in diverser "101"-Literatur bzw. Kursen zur Stochastik durchaus eine Diskussion beider und weiterer Lösungsvarianten und dann kann man z.B. bei Georgii (siehe Literaturliste oben) auch explizit nachlesen, dass er derzeit keine kanonische Interpretation der ursprünglichen (wörtlichen) Fragestellung gibt. Man kann allerdings von einer (üblichen) Standardvariante des MHP sprechen (bei Rosenhouse heißt das "canonical version" mit den expliziten Zusatzannahmen, dass nur Ziegentüren geöffnet werden und dass der Moderator diese falls möglich zufällig auswählt) für das die 2/3 die korrekte Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln ist. Aber auch in diesem Fall ist vos Savants Lösungsweg nicht ganz unumstritten (der oben bereits erwähnte Streit um totale versus bedingteWahrscheinlichkeit bzgl. einer "vollständig" korrekten Lösung). An der Stelle sei übrigens noch angemerkt, dass bereits in dem (ursprünglich unveröffentlichten Original-)Leserbrief von Whitaker an vos Savant, Whitaker bereits von 2 möglichen Lösungen redet (1/2 u. 2/3).

Du hast natürlich im Prinzip recht, dass man aufgrund der unterschiedlichen Varianten/Deutungen/Modellierung eigentlich von den Ziegenproblemen statt dem Ziegenproblem reden müsste. Allerdings werden sie alle in der Literatur unter der Überschift Ziegenproblem/MHP diskutiert und beziehen auch oft auch auf dieselbe Fragestellung/Formulierung von vos Savant in ihrer Kolumne, insofern ist der singular in der Überschrift durchaus vertretbar.--Kmhkmh (Diskussion) 12:39, 20. Dez. 2013 (CET)

Man sollte diese Vielfalt deutlicher darstellen. Das fängt an mit der Problembeschreibung (kursiv die vorgeschlagene Ergänzung):

Fall A: Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet. Der Moderator hat dabei die freie Wahl. Bei einigen der nachfolgenden Lösungen werden allerdings Zusatzannahmen über die Art des Auswahlprozesses, die der Moderator verwendet, gemacht werden. Beispielsweise kann sich der Moderator bei zwei möglichen Türen gleichwahrscheinlich zwischen beiden entscheiden. Oder er entscheidet sich für die Türe mit der höchsten Nummer, sofern es zwei mögliche Optionen gibt. In Bezug auf eine solche Zusatzannahme wird weiterhin jeweils vorausgesetzt werden, dass der Kandidat diese Entscheidungsprozedur des Moderators kennt. Mit jeder Art einer solchen Zusatzannahme entsteht ein neues Problem, was zu anderen Gewinnchancen des Kandidaten führen kann.

Außerdem sollte das Wissen des Kandidaten über das konkrete Verhaltensprozedere bei den einzelnen Kapiteln nochmals ergänzt werden. Das ist nämlich wichtig.

--Lefschetz (Diskussion) 13:27, 23. Dez. 2013 (CET)

Lösung ohne Berücksichtigung der Tornummern

Allein die Überschrift dieser Verschiebung nach hinten spricht Bände: Natürlich spielt es keine Rolle, ob man Tornummern hat oder nicht. Mal ganz abgesehen von der persönlichen Ansichten sollten WP-Autoren erst mal die Literatur wiedergeben. Dabei ist die jetzt als Lösung ohne Berücksichtigung der Tornummern am Ende titulierte Lösung die am meisten wiedergegebene Interpretation der Problemstellung. Sie gehört damit an den Anfang der wiedergegebenen Interpretationen der Problemstellung und ihrer Lösungen, nicht zuletzt weil Erst-Leser (aber um die scheint es ja hier überhaupt nicht zu gehen) diese Erklärung primär suchen werden.

Nun der Versuch einer Erklärung, auch wenn es wahrscheinlich hoffnungslos ist: Tornummern adressieren die Objekte wie Variablenbezeichner einer Programmiersprache oder Namen bei Personen. Aber natürlich verändern sie nicht die Gesetzmäßigkeiten der Welt. Sie dienen nur der Beschreibung, beispielsweise der unsymmetrischen Verfahrensweise eines Moderators betreffend („wählt Tor mit höchstmöglicher Nummer“).

Die Ursache, dass man beim faulen Moderator als Lösumg die Wahrscheinlichkeit 1/2 erhält, nach der manche Leute fast manisch zu suchen scheinen, liegt in der Asymmetrie der Vorgeschichte. Ich zitere hier einfach aus meinem inzwischen wieder gelöschten Edit (der erste Abschnitt stand bereits vorher da) – hier ist er wenigstens nicht löschbar und jeder kann sich dann selbst ein Urteil erlauben:

Öffnet der Moderator Tor 3 (Fälle 1, 2, 4 und 5), gewinnt der Kandidat nur in zwei von vier dieser Fälle durch Wechseln. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demnach zu diesem Zeitpunkt nur noch p = 1/2. Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass ein Wechsel zum Tor 3 im Fall, dass der Moderator Tor 2 öffnet, zum sicheren Gewinn führt.

Insgesamt führt ein Wechseln des Tors daher in vier der sechs gleichwahrscheinlichen Fällen zum Gewinn. Diese Gewinnwahrscheinlichkeit lässt sich auch aus den beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten 1/2 und 1 berechnen:

${\frac {4}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{6}}\cdot 1={\frac {2}{3}}.$

Unabhängig von der absoluten Wahrscheinlichkeit 2/3 ist aber die bedingte Wahrscheinlichkeit von 1/2 (bzw. 1 unter der komplementären Zusatzannahme) als Lösung desjenigen Problems zu verstehen, das mit dem Eintritt der Situation, die der Fragestellung zugrunde liegt, beginnt und dabei die Zusatzannahme als Teil der asymmetrischen Vorgeschichte berücksichtigt.

Anmerkung: Analoge Umstände würden sich ergeben, wenn ein Kandidat zwar auf einen ausgeglichenen Moderator aber eine unsymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung (1/2, 1/2, 0) für das Auto treffen würde.

Um es klar zu sagen: Man kann die Aufgabe im Sinne eines faulen Moderators interpretieren, auch wenn das natürlich nichts mit den Tornummern zu tun hat. Dann hat die Wahrscheinlichkeit 1/2 als Lösung ihre Berechtigung, wie auch die Wahrscheinlichkeit 1 und jede Zahl dazwischen (je nach Zusatzannahme über die Vorgeschichte). Die tiefere Ursache ist keine andere/richtige/falsche Mathematik, weswegen der Hinweis auf den Zusammenhang zur 2/3-Wahrscheinlichkeit wichtig ist. Ursache ist schlicht eine andere Interpetation der Problemstellung, die eine asymmetrische Vorgeschichte zulässt.

In genereller Hinsicht noch eine abschließende Anmerkung (auch zum QS-Baustein): Leser sollten die Darstellung der englischen WP lesen. Die ist deutlich klarer!

--Lefschetz (Diskussion) 13:54, 27. Dez. 2013 (CET)

In den meisten Problemformulierungen in der Literatur sind die Nummern der betreffenden Tore angegeben. Ob diese denn eine Rolle spielen, hängt von der jeweiligen Text-Interpretation ab. Um der speziellen Spielsituation, dem Wortlaut der Fragestellung folgend, gerecht zu werden, ist eine Berechnung mithilfe bed. W'keit erforderlich. Und dabei sind die Tornummern, die als beliebig aber fest anzunehmen sind, selbstverständlich zu berücksichtigen. Von diesem Lösungsansatz handelt der Abschnitt "Das Monty-Hall-Standard-Problem", wo ja auch schon in der Aufgabenstellung explizit gesagt wird:" Nehmen Sie an, Sie wählen Tor 1, und der Showmaster öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann: ‚Möchten Sie zu Tor 2 wechseln?‘".

Die Lösung ohne Berücksichtigung der Tornummern ist bereits in vos Savants Antwort enthalten, und man könnte ihre Antwort um die entsprechende Grafik ergänzen. Falls allerdings ausführlicher auf diese Interpretation eingegangen werden soll, dann sollte ein neuer Abschnitt mit den dazu passenden Argumenten erstellt werden. Aber eine inhaltliche Vermischung unterschiedlicher Interpretationen des Leserbriefs sollte im Interesse der Nachvollziehbarkeit für den Leser vermieden werden. --Geodel (Diskussion) 18:44, 27. Dez. 2013 (CET)

„Unabhängig von der absoluten Wahrscheinlichkeit 2/3 ist aber die bedingte Wahrscheinlichkeit von 1/2 (bzw. 1 unter der komplementären Zusatzannahme) als Lösung desjenigen Problems zu verstehen, das mit dem Eintritt der Situation, die der Fragestellung zugrunde liegt, beginnt und dabei die Zusatzannahme als Teil der asymmetrischen Vorgeschichte berücksichtigt.“ Das ist ein Musterbeispiel dafür, wie man *nicht* schreiben sollte – selbst dann nicht, wenn man gar nicht verstanden werden will. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   23:13, 27. Dez. 2013 (CET)

Ja, tragisches Beispiel eines durch hochqualifizierte Köche völlig verdorbenen Breies. Sie vergessen im Eifer immer wieder, daß es sich hier nicht um eine wissenschaftliche Abhandlung, sondern um ein Konversationslexikon für jedermann handelt. Nicht umsonst hat der Artikel sein einstiges "Lesenswert" verloren. Es mag zwar alles richtig sein, ist aber des Lesens nicht mehr wert. Die es wissen, wissen es ohnehin, und der Rest, die armen Toren, sind so klug als wie zuvor. Ich hätte nicht übel Lust, den seltenen Unverständlich-Baustein zu setzen. --Epipactis (Diskussion) 23:37, 27. Dez. 2013 (CET)

Sehr guter Hinweis auf den ehemals als exzellent prämierten Artikel, auch wenn die Grafiken damals noch sehr spröde waren. Dieser Vergleich und die Reaktionen der „Gralshüter“ zeigen aber, dass Reformen kaum möglich sein werden.

Konkreter Vorschlag:

Alles streichen, was nicht belegt ist. Reihenfolge und Gewicht der Interpretationen und Lösungen gemäß nachweisbaren Darstellungen in anerkannter Lehrbuchliteratur (bei deutschsprachigen Werken ist die Zahl der Verlage ja sehr überschaubar). Am Schluss kann dann gerne noch für Experten eine Tabelle stehen, wo ein kurzer Überblick über Primärliteratur gegeben wird. Wahrscheinlich nur im Rahmen einer Bitte machbar, aber begleitend sicher hilfreich: Bearbeitung nur durch Autoren, die 2013 dort keine Edits gamacht haben, und das flankiert mit einer Halbsperre für neu angemeldete Autoren.

--Lefschetz (Diskussion) 11:21, 28. Dez. 2013 (CET)

Der ehemals prämierte Artikel (ca 2004/2005 vor den Varianten der letzten Jahre) war allerdings keineswegs besser und krankte lediglich an etwas anders gelagerten Problemen (darunter POV, TF und völlig quellenloses Arbeiten, siehe z.B.: [1]). Allerdings muss man dazu auch bemerken, dass die heutigen Standards bzgl. quellenbasierten Arbeitens damals noch nicht existierten. An einer stärker quellenbasierten Überarbeitung ist aus meiner Sicht nichts auszusetzen, das setzt aber voraus, dass die daran involvierten Autoren, die inzwischen ziemlich umfangreiche Literatur (weit mehr als das weiter oben beispielhaft und online zugängliche aufgelistete) zum Ziegenproblem auch wirklich lesen und nicht etwa nur einige Artikel und dann lediglich "ihr" "richtiges" Verständnis des Ziegenproblems zum besten geben. Da besteht auch ein entscheidender Unterschied zu en.wp. Zumindest ein Teil der dortigen ehemaligen Streithähne und Mitarbeiter, hat ein Großteil der Literatur tatsächlich gelesen.--Kmhkmh (Diskussion) 16:11, 28. Dez. 2013 (CET)

Der ehemals als "exzellent" prämierte Artikel war unvollständig und falsch. Schon die Problemdarstellung war eine einseitige Interpretation des Leserbriefs, welcher noch nicht einmal Eingang in den Artikel fand...

Es gibt nichts zu streichen. Man könnte aber Gesichtspunkte hinzufügen bzw. erweitert darstellen wie z.B. die Lösung ohne Berücksichtigung der Tornummern...

Apropos „Gralshüter“: Seit dem Artikel von Tierney 1991 sollte die Diskussion um das Ziegenproblem eigentlich endgültig abgeschlossen sein:

Gardner sagte, dass das Problem von Marilyn vos Savant schlecht formuliert sei und Zweideutigkeiten enthalte. Diese wiederum pflichtete ihm damals sofort bei. Diaconis sagte, dass man die Fragestellung ohne Wissen der Motivation des Moderators nicht beantworten könne. Und Monty Hall bewies in mehreren Spielrunden, dass er die Gewinnchancen des Kandidaten bis auf 1/3 senken konnte.

Es sind nun aber gerade vos Savant und ihre Apostel, die in den seitdem vergangenen Jahrzehnten nicht aufhören wollen, ihre 2/3-Lösung als einzig richtige darzustellen.

Der englischsprachige Artikel ist von Anfang an einseitig und stellt die bekannten Zweideutigkeiten der Fragestellung überhaupt nicht dar. Im Gegenteil wird dort behauptet, die 2/3-Lösung ergäbe sich zwingend aus der Problemformulierung, was nachweislich falsch ist.

@Epipactis:Die Kritik von Troubled asset bezog sich auf Formulierungen von Lefschetz in dessen Diskussionsbeitrag. Bitte den korrekten Bezug beachten! --Geodel (Diskussion) 13:09, 28. Dez. 2013 (CET)

Die von mir kritisierte und als Negativbeispiel angeführte Formulierung von Lefschetz taucht nicht nur in seinem Diskussionsbeitrag auf, sondern war von ihm zunächst einmal genau so in den Artikel eingefügt worden. Hier auf der Disk versucht er diese Formulierung ja nur zu „retten“, nachdem sie von Geodel wieder aus dem Artikel entfernt worden war.
Schon die sprachlichen Vorstellungen von Lefschetz für die Weiterentwicklung dieses Artikels gehen leider in eine Richtung, die ich nicht für sinnvoll halte. Solche Formulierungen sind Teil des Problems, nicht Teil der Lösung. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   14:33, 28. Dez. 2013 (CET)

Die alte exzellente ausgezeichnete Version war in der Tat sehr problematisch (POV, TF und keine quellenbasierte Arbeit). Allerdings ist der Artikel auf en.wp weder "nachweislich falsch" noch behauptet er, was du ihm hier unterstelltst. Nur nimmt er eben keine Darstellung des Ziegenproblems a la Albtal vor und arbeitet stärker quellenbasiert als de.wp. Vor allem aber ignoriert er nicht einen Teil der (Fach-)Literatur, was de.wp bisher tut. Sachlich korrekt sind übrigens beide Artikel, nur legen sie unterschiedliche Interpretationsschwerpunkte, wobei en.wp eine Gewichtung hat, die die Darstellung in der Literatur besser zusammenfasst. Letzteres liegt wohl auch daran, dass der Artikel mehrfach von einem Statistikprof überarbeitet wurde, der einen Großteil der (inzwischen recht umfanreichen) Literatur tatsächlich gelesen hat.

Die Behauptung seit bzw. durch Tierney sei schon alles gesagt, ist völliger Unsinn und zeigt eben, dass Autoren hier eben ein Großteil der Literatur offenbar eben nicht gelesen haben. Zudem ist Thierney's Publikation ein Artikel in der New York Times und damit alles andere als reputable Fachliteratur. Er ist allerdings nützlich, um einige Mathematiker/statistiker-Menungen zu zitieren, die in ihm nur verkürzt wiedergegeben werden. Sinnvoller wäre es jedoch, sich auch die diversen Fachpublikationen von Mathematikern bzw. anderen Wissenschaftlern anzuschauen. Die beste "reputable" bzw. maßgebliche Publikation ist hier wohl das Buch von Rosenhouse (2009), dass den Stand der Diskussion bis etwa 2008 zusammenfasst. Allerdings ist es nicht ganz auf dem neuesten Stand, da seitdem weitere Publikationen erschienen sind.

Eine stärker Literatur basierte Überarbeitung, die Lefschetz oben vorschlägt ist sicher sinnvoll, aber eine Rückkehr zu der weit mehr problematischen alten exzellenten Version nicht. Die damalige Version wurde ohnehin nur nach den Maßstäben von ca 2004/2005 ausgezeichnet und würde in dieser Form heute niemals eine Auszeichnung erhalten. Schon allein weil sie quasi-quellenfrei erstellt wurde, ohne einen einzelnenen EN und nur mit dem bedingt ungeeignetem Buch von Randow als Literaturangabe.--Kmhkmh (Diskussion) 16:07, 28. Dez. 2013 (CET)

Der englischsprachige Artikel verschweigt schon in der Einleitung, dass sich die 2/3-Lösung nicht zwingend aus der Aufgabenstellung von MvS ergibt und auch andere Lösungen möglich sind. Die für die 2/3-Lösung nötigen Zusatzannahmen werden als quasi selbstverständlich dargestellt, was sie offensichtlich nicht sind. Bei einer vollständigen korrekten Aufgabenstellung hätte es sicher nicht die vielen kritischen Zuschriften an MvS gegeben. Dann wird auch noch der Physiker Mlodinow als Kronzeuge zitiert, der sich in seinem Buch ja gar nicht auf vos Savants Originalformulierung bezieht, sondern eine erweiterte Fragestellung benutzt. Das alleine reicht doch schon, die Darstellung auf en.wp als fehlerhaft zu bezeichnen.

Spätestens seit Tierneys Artikel 1991 sollte allen Lesern klar sein, dass der von MvS veröffentlichte Leserbrief keine 2/3-Lösung erzwingt, was ja selbst MvS damals offen zugab. Insofern sollte man ja heutzutage nicht mehr darüber streiten müssen, was aber leider nach wie vor der Fall ist.

Der von dir erwähnte Statistikprof ist nun nicht gerade ein Ausbund an wissenschaftlicher Redlichkeit. In seinen Veröffentlichungen zum Thema Monty-Hall-Problem versucht er immer wieder, seine Leser an der Nase herumzuführen, und damit jeden Zweifel an der Lösung von MvS im Keim zu ersticken. Auch wenn er einen Großteil der Literatur zu diesem Problem kennen sollte, scheint er eher ein Apostel von MvS zu sein als ein neutraler Wissenschaftler. --Geodel (Diskussion) 20:05, 28. Dez. 2013 (CET)

Die (nötigen) Zusatzannahmen für 2/3 werden von den vielen oder gar den meisten Leuten/Autoren eben als "natürlich"/"selbstverständlich" bzw. beabsichtigt empfunden, zudem sind sie im Originalproblem von Selvin enthalten sind und durch Whitaker's Originaleserbrief (an Savant) als auch Savants Lösung impliziert und werden von en meisten Autoren verwendet bzw. als vertretbar angesehen. Insofern kann man die englische Einleitung durchaus als angemessen betrachten und dass aus der (wörtlichen) Problemformulierung in vos Savants Kolumne sich zwingend die 2/3-Lösung ergäbe behauptet der englische Artikel nicht. Der deutsche Artikel jedoch ignoriert all das und präferiert stattdessen was einzelne WP-Autoren für "richtig" bzw. "selbstverständlich" halten und dabei bestenfalls durch selektive Einzelstimmen in der Literatur spärlich belegt. Allerdings ist die Einleitung des deutschen Artikels im Prinzip in Ordnung, sie setzt halt einen etwas anderen Schwerpunkt bzw. betont die Mehrdeutigkeit stärker. Die Probleme treten erst in den Beschreibungen bzw. Gewichtungen der nachfolgenden Abschnitte auf.

Dass die 2/3-Lösung sich keineswegs zwingend aus der wörtlichen Formulierung in vos Savants Kolumne ergibt, war schon vor Tierny bekannt und dafür gibt es, wie oben schon erwähnt, bessere Quellen als Tierney (und das Ganze ist nebenbei bemerkt auch völlig unumstritten bei jedem der sich mit dem Problem befasst hat und bis Drei zählen kann).

Unverständlich ist mir auch, warum in der Diskussion das Ziegenproblem immer wieder auf die wörtliche Formulierung bei Savant reduziert wird und impliziert wird alles müsste sich auf diesen beziehen. "Das" Ziegenproblem ist die Gesamtdarstellung/Behandlung in der Literatur, das beginnt spätestens mit Selvin und endet mit den letzten aktuellen Publikationen. Die (wörtliche) Darstellung bei vos Savant ist die eine von vielen Varianten, die allerdings von besonderer Bedeutung ist, da sie wesentlich zur Popularisierung des Problems und den mit ihm verbundenenen "kontroversen" beigetragen hat. Immerhin hat sich der Artikel diesbegzl. gerade etwas verbessert, da auf die (ursprüngliche) Variante bei Selvin eingeht.

Die vermeindliche "Redlichkeit" des Statistikkprofs mag sein wie sie will, so groß wie die der hier beteiligten Autoren ist sie wohl noch lange und zudem hält er sich wenigstens an den WP-Projektvorgaben indem (zusammenfassend) beschreibt, was "reputable" Literatur zu MHP schreibt und nicht einfach, was er privat für richtig hält. Genau das fehlt nämlich in Teilen auf de.wp.--Kmhkmh (Diskussion) 20:59, 28. Dez. 2013 (CET)

Dass die 2/3-Lösung sich keineswegs zwingend aus der wörtlichen Formulierung in vos Savants Kolumne ergibt, ist leider manchen Lesern hier offensichtlich nicht klar. Es gibt immer wieder Beiträge hier und Edits im Artikel, die darauf schließen lassen, dass die Betreffenden die nötigen Zusatzannahmen nicht kennen oder es als überflüssig erachten, diese explizit zu benennen. Gerne wird dann auch auf en.wp verwiesen, wo der falsche Eindruck erweckt wird, diese Annahmen seien in der Problemformulierung schon implizit enthalten und derart selbstverständlich, dass darüber gar kein Diskussionsbedarf bestehe. Dass dieser Bedarf doch besteht, zeigen ja nicht nur die vielen Zuschriften an Selvin und MvS. Es ist auch nicht richtig, dass die Lösung von MvS mit einer Million Toren die für die 2/3-Lösung nötigen Annahmen impliziert. Die Verpflichtung des Moderators, ein nicht gewähltes Ziegentor zu öffnen und einen Wechsel anzubieten wird gar nicht thematisiert.

Die Selbstverständlichkeit, mit der manche wissenschaftlichen Autoren die Zusatzannahmen implizit verwenden, sollte nicht darüber hinwegtäuschen, dass den WP-Lesern, die sich noch nicht so intensiv mit dem Problem befasst haben, diese Annahmen zunächst einmal unbekannt sein können und diese deshalb zuerst ausführlich erläutert werden müssen. Um derartigen Missverständnissen, die 2/3-Lösung folge unmittelbar aus Savants Fragestellung, wie sie immer wieder hier zutage treten, entgegenzuwirken, sollte ein Schwerpunkt des Artikels darauf liegen, klar zwischen der Problemformulierung und der zugehörigen Lösung zu trennen. Diese ständige nachträgliche Vermischung von Aufgabenstellung und Lösung, wie sie auch auf en.wp ("the argument relies on assumptions, explicit in extended solution descriptions") sowie von Selvin und MvS betrieben wird, hilft sicher nicht, Klarheit in die Diskussion um das Ziegenproblem zu bringen. Und was sollen Schüler und Studenten, die gelernt haben, dass die Angaben in einer mathematischen Aufgabenstellung alle nötigen Informationen zu ihrer Lösung beinhalten sollen, davon halten, wenn ihnen gesagt wird, sie hätten beim Ziegenproblem nur die Verhaltensregeln des Moderators korrekt erraten müssen? --Geodel (Diskussion) 15:48, 29. Dez. 2013 (CET)

Selvins Problem

Kmhkmh sagt:"Die (nötigen) Zusatzannahmen für 2/3 ... im Originalproblem von Selvin enthalten sind". Dieser Ansicht muss ich widersprechen. Wenn man Selvins 1. Brief auf JSTOR nachliest, stellt man fest, dass seine Problembeschreibung endet mit dem Satz:

"HINT: The contestant knows what he is doing!"

und Selvin die Beschreibung mit seiner Unterschrift abschließt. Damit ist schon mal klar, dass nun alle zur Lösung nötigen Informationen vorliegen müssen. Danach kommt sein Lösungsvorschlag, der überschrieben ist mit "Solution to 'A Problem in Probability'"". Dort erwähnt er als einzigen zusätzlichen Hinweis:

"Certainly Monty Hall knows which box is the winner and, therefore, would not open the box containing the keys to the car."

Anschließend präsentiert er seine Lösungstabelle. Nun ist aber offensichtlich, dass dieser Hinweis nicht ausreicht um seine 2/3-Lösung zu begründen. Denn dafür müsste Monte Hall noch zusätzlich dem Kandidaten vor dem Spiel versprochen haben, auf jeden Fall im Verlauf des Spiels eine von diesem nicht gewählte leere Schachtel zu öffnen. Außerdem müsste Monte Hall verpflichtet sein, auf ein mögliches Wechselgesuch des Kandidaten einzugehen. Aber weder ist aus dem Spielverlauf abzulesen, dass es solche vorherigen dem Leser unbekannten Absprachen gibt, noch ist eine Verpflichtung, dem Wechselgesuch des Kandidaten stattzugeben, erkennbar. Im Gegenteil deutet der gesamte Spielverlauf darauf hin, dass wir es hier mit einem Monte Hall zu tun haben, der völlig frei in seinen Entscheidungen und keinen bestimmten Verhaltensregeln unterworfen ist. Daraus ergibt sich unmittelbar die Fehlerhaftigkeit von Selvins Lösung. --Geodel (Diskussion) 19:43, 29. Dez. 2013 (CET)

Die Vorgaben für das Moderatorverhalten stehen im zweiten Brief nicht im ersten. Und ja aus der wörtlichen Formulierung im ersten Brief folgt nicht zwingend die 2/3-Lösung, nur genau um der Kritik zu begegnen und seine impliziten Annahmen explizit zu machen hat er ja den zweiten Leserbrief geschrieben. Genau deswegen habe ich übrigens auch bei Selvin und nicht bei Selvin im ersten Brief geschrieben. Sich auf die Probleme/Mehrdeutigkeiten im ersten Brief zu fixieren und den zweiten zu ignorieren ist genauso unsinnig, wie sich auf die Formulierung in vos Savants Kolumne zu fixieren und den Rest der Literatur zu ignorieren. ::Nebenbei bemerkt ist das Treffen sinnvoller Annahmen ein typisches Vorgehen um mathematische Modelle zur Lösung unscharfer "realer" Probleme zu entwickeln. Dabei macht man meist eine Menge impliziter Annahmen, die aber meist als "selbstverständlich" angesehen werden. Natürlich sollte man solche Annahmen im Zweifelsfall explizit benennen und nicht unter den Teppich kehren. Gelegentlich ist auch umstritten, welche Annahmen "selbstverständlich" oder "sinnvoll" sind und welche nicht. Im Falle des MHP ist aber so, dass scheinbar die implizite Annahme bzgl. des Nur-Ziegen-Zeigens durch Moderator von den meisten Leuten als "selbstverständlich" angenommen wird (siehe dazu z.B. Krauss/Wang).--Kmhkmh (Diskussion) 00:22, 30. Dez. 2013 (CET)

Im zweiten Brief steht nur:"The basis to my solution is that Monty Hall knows which box contains the keys and when he can open either of two boxes without exposing the keys, he chooses between them at random." Es fehlt auch hier der Hinweis, dass Monte Hall zur Begründung der 2/3-Lösung verpflichtet sein müsste, eine nichtgewählte leere Schachtel zu öffnen. Solch eine Annahme würde aber nicht nur dem Wortlaut von Selvins Problemformulierung sondern auch dem Geist der von ihm in der Einleitung genannten Spielshow widersprechen:

"It is 'Let's Make a Deal' - a famous TV show starring Monte Hall."

Es sollte doch wohl selbstverständlich sein, dass wenn man wie Selvin eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung erfindet und an eine bekannte Zeitschrift zur Veröffentlichung sendet, diese Aufgabe so formuliert sein sollte, dass sie ohne Zusatzannahmen eindeutig lösbar ist. Das Argument eines "unscharfen realen Problems" kann man bei einer komponierten Aufgabenstellung nicht gelten lassen. Darüberhinaus ist die Annahme:"Monte Hall öffnet auf jeden Fall eine nichtgewählte leere Schachtel und bietet dem Kandidaten dann einen Wechsel an." keine sinnvolle Annahme, wenn man sich überlegt, dass es sich hier um eine bekannte TV-Show mit vielen Zuschauern handeln soll. Die Spannung solch einer Show rührt ja vor allem daher, dass man als Zuschauer nie weiß, ob Monte Hall dem Kandidaten helfen oder ihn aufs Glatteis führen will. Eine Spielshow nach dem Muster:"Monte Hall öffnet auf jeden Fall eine nichtgewählte leere Schachtel und bietet dem Kandidaten dann einen Wechsel an." würde spätestens nach dem zweiten Mal abgesetzt, weil der Showmaster überhaupt keine Spannung für das Publikum entstehen lassen kann. Die Kandidaten müssten nur solange warten bis sie wechseln dürfen um dann mit 2/3-W'keit zu gewinnen...

Nochmal zur Klarstellung: In Selvins Originalproblem sind keine Hinweise enthalten, die zur 2/3-Lösung führen. Und selbst die in seiner Lösung vorgestellten Zusatzannahmen sind nicht hinreichend, um die 2/3-Lösung zu begründen. Er unterliegt anscheinend demselben logischen Fehlschluss wie damals Savant, die aus dem bloßen einmaligen Öffnen eines nichtgewählten Ziegentors ihre Lösungstabelle folgerte. --Geodel (Diskussion) 10:30, 30. Dez. 2013 (CET)

Noch einmal: In Selvins Originalproblem (Original MHP, beschrieben in zwei Briefen) sind die Zusatzbedingungen enthalten, nicht aber in seiner Formulierung im ersten Brief (in dem auch die Bezeichnung MHP noch nicht auftaucht). Den Satz "The basis to my solution is that Monty Hall knows which box contains the keys and when he can open either of two boxes without exposing the keys, he chooses between them at random." kann im gegebenen Kontext durchaus so lesen, dass dies bedeutet, dass er nie ein Schlüssel (key) zeigt. Genauso lesen ihn auch die meisten Leute (und halten es für sinnvoll), auch wenn du eine eine solche persönlich für "nicht sinnvoll" halten magst.

Was nun Monty's Verhalten betrifft, meines Wissens nach hat er nie eine Auto/Schlüsseltür geöffnet in einer zweiten Runde, sondern entweder keine zweite Runde gespielt oder eine Ziegentür in der zweiten Runde gezeigt. Denn für das Zeigen einer Auto/Schlüssel-Tür in der zweiten Runde gilt ja erst recht bzw. noch viel mehr, dass "keine Spannung für das Publikum" entsteht. Mit anderen Worten aus deinem Spannungsargument folgt gerade, dass in einer zweiten Runde niemals eine Auto/Schlüssel-Tür gezeigt wird.

Abschließend sei noch einmal gesagt, dass zum Einen Monty's reales Verhalten nicht unbedingt maßgeblich für ein durch ihn unspiriertes Problem/Knobelaufgabe ist und zum Anderen weder deine noch meine Einschätzung zu einen "offensichtlichen" oder "sinnvollen" Moderatorverhalten maßgeblich ist, sondern dessen Behandlung in der Literatur. Dort (jedenfalls basierend auf dem was ich bisher gelesen habe) wird die Bedeutung der erforderlichen (und anderer) Annahmen zwar detalliert diskutiert, aber man scheint weitgehend der Auffassung zu sein, dass die Annahme, das niemals eine Auto/Schüssel-Tür geöffnet wird "sinnvoll" wenn nicht gar "selbstverständlich" ist. Zudem war sie wohl auch von den Urhebern der mehrdeutigen/"fehlerhaften" Problemformulierung letztlich so intendiert. Dass der Artikel die Mehrdeutigkeit und die damit verbundenen Probleme im Detail diskutiert ist gut (findet man ja aich so in der Literatur), aber er sollte nicht so tun als wäre die Monty-öfnnet-nie-eine-Autotür-Annahme völlig an den Haaren herbeigezogen (findet sich so nicht in der Literatur) und auch keine eigenen Begrifflichkeiten/Bezeichnungen einführen.--Kmhkmh (Diskussion) 12:23, 30. Dez. 2013 (CET)

... keine zweite Runde gespielt oder eine Ziegentür in der zweiten Runde gezeigt. q.e.d.--Albtal (Diskussion) 13:16, 30. Dez. 2013 (CET)

Auch Kmhkmh vermischt immer wieder Fragestellung und Lösung. Selvins Originalproblem (Original MHP) wird nicht in zwei Briefen beschrieben, sondern nur im ersten Brief, der zusätzlich noch Selvins Lösung enthält. Der zweite Brief ist eine Reaktion auf die Kritik vieler Leser und enthält keine neue Problemformulierung, sondern nur Ergänzungen zu seiner Lösung. Zum Problemtext gehört nur der Abschnitt im ersten Brief, der überschrieben ist "A Problem in Probability", bis zu Selvins Unterschrift. Danach kommt sein Lösungsabschnitt, überschrieben mit "Solution to 'A Problem in Probability'". Offensichtlicher kann eine Trennung von Problem und Lösung gar nicht sein. Wer das Problem nun zu lösen versucht, wird sicher nicht zwingend zu Selvins Lösung gelangen, im Gegenteil kann man das Problem eher als subjektives Entscheidungsproblem betrachten. Und selbst wenn es für einen Leser selbstverständlich erschiene, dass Monte bei diesem Spielverlauf eine leere Schachtel öffnet und keinen Schlüssel zeigt, so ist damit keinesfalls die zusätzliche Annahme gerechtfertigt, dass Monte überhaupt irgendeine nichtgewählte leere Schachtel öffnen muss und eine entsprechende vorherige Absprache zwischen Monte und Kandidat existiere. Diese Annahme ist aber nötig, um eine 2/3-Lösung zu rechtfertigen. Sie wird aber von Selvin in keinem seiner Briefe explizit genannt, erst recht nicht in der Problemformulierung, wo sie ja eigentlich hingehören würde. Es geht hier nicht um eine Monty-öffnet-nie-eine-Autotür-Annahme, sondern um die Monty-öffnet-immer-eine-nichtgewählte-Ziegentür-und-bietet-daraufhin-immer-einen-Wechsel-an-Annahme. --Geodel (Diskussion) 17:57, 30. Dez. 2013 (CET)

Aber hier haben wir als Leser doch die günstige Situation, dass Aufgabenstellung und Lösung vom selben Autor stammen. Ein als Textaufgabe gestelltes Problem ist eigentlich immer (mehr oder weniger) „unscharf“, aber bei Selvin können wir doch im Nachhinein aus seiner Lösung schließen, wie die Aufgabe gemeint war. -- HilberTraum (Diskussion) 18:29, 30. Dez. 2013 (CET)

Weder sind Textaufgaben i.d.R. unscharf noch können wir aus Selvins Lösung darauf schließen, dass eine andere Aufgabe als die gestellte gemeint war. Es sieht vielmehr danach aus, als habe Selvin wie viele andere Publizisten nach ihm allein aus der Tatsache, dass vom Moderator bewusst eine nichtgewählte Nietenschachtel geöffnet wurde, die Zwei-Drittel-Lösung abgeleitet - was falsch ist.--Albtal (Diskussion) 19:38, 30. Dez. 2013 (CET)

Gib mir doch mal ein Beispiel einer Textaufgabe, am besten natürlich aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die nicht unscharf ist; dann kann ich mir besser vorstellen, wie du das meinst. Aus Selvins Lösung ist für mich klar ersichtlich, dass er annimmt, dass nur die neun Fälle, die er aufzählt, eintreten können und dass alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben sollen. Damit ist für mich klar, was er mit der Aufgabe eigentlich gemeint hat. -- HilberTraum (Diskussion) 20:06, 30. Dez. 2013 (CET)

@Albtal: Wieso postet du mir diese Diskussion hier?--Kmhkmh (Diskussion) 20:07, 30. Dez. 2013 (CET)

Diese Frage verstehe ich nicht.--Albtal (Diskussion) 20:44, 30. Dez. 2013 (CET)

Sorry, das war ein Missverständnis. Ich habe mich von dem neuen Feedback-Mechanismus (Notifications) irritieren lassen und dachte du hättest dass auf meiner Diskussionsseite gepostet.--Kmhkmh (Diskussion) 21:25, 30. Dez. 2013 (CET)

@HilberTraum: Eine Wunschlösung kann niemals eine mangelhafte Aufgabenstellung rechtfertigen. Falls Selvin die Aufgabe so gemeint hätte, dass seine Lösung dazu passte, dann hätte er sie anders formulieren müssen. Vergleiche doch mal seine Aufgabe mit dem Gefangenenparadoxon, welches wesentlich älter (1959) ist und schon zu Selvins Zeit (1975) allseits bekannt war. --Geodel (Diskussion) 22:24, 30. Dez. 2013 (CET)

@Geodel: Niemand behauptet dass eine "Wunschlösung" eine mangelhafte Aufgabenstellung rechtfertigt noch dass die Aufgabenstellung in Selvins ersten Brief nicht mangelhaft wäre. Ebenfalls will niemand Aufgabenstellung und Lösung künstlich vermischen, aber man sollte schon in der Lage sein über den Tellerrand einer wörtlichen Formulierung hinauszuschauen und intendierte Problemstellungen erwägen bzw. erkennen (und dazu zieht man unter Anderem auch Lösungen und spätere Ergänzungen hinzu). Mit dem oben von dir zitierten Satz aus dem zweiten Brief (im Kontext verstanden) liefert Selvin genau die fehlenden Annahmen, auch wenn du ihn partout anders lesen willst. Ich zitiere dazu mal Rosenhouse. Dieser schreibt in seinem Abschnitt zu Selvin, nachdem er zunächst die Probleme im ersten Brief sowie Unterschiede zwischen Monty's realen Verhalten und Monty angenommenen Verhalten diskutiert hat, in Bezug auf den von dir oben zitierten Satz abschließend das Folgende:

"In writing this he had successfully placed his finger on the two central points of the problem. Alter either of those assumptions and the analysis can become even more complex ....". (Rosenhouse, S. 22, Fettdruck von mir).

Ich weise noch einmal darauf hin, das WP-Artikel die Darstellung in der (Fach-)Literatur wiederzugeben haben und nicht was WP-Autoren (persönlich) von diversen Annahmen/Deutungen halten. Solange dieser letzte Satz bei dir nicht ankommt, ist die Diskussion hier aus meiner Sicht weitgehend sinnlos.--Kmhkmh (Diskussion) 22:54, 30. Dez. 2013 (CET)

Kmhkmh sagt:"Niemand behauptet dass eine "Wunschlösung" eine mangelhafte Aufgabenstellung rechtfertigt." Wirklich nicht?

Kmhkmh sagt:"Ebenfalls will niemand Aufgabenstellung und Lösung künstlich vermischen." Warum hast du dann weiter oben geschrieben:"Die (nötigen) Zusatzannahmen für 2/3 ... im Originalproblem von Selvin enthalten sind" (Fettdruck von mir)? Dieser Satz hat mich ja erst veranlasst, diesen Thread zu eröffnen.

Millionen Schüler können endlich erleichtert aufatmen: sie dürfen jetzt alle ihre falschen Lösungen zu den Textaufgaben im Unterricht damit begründen, dass sie die Fragestellung einfach nur anders interpretiert hätten. Und sie können die Lehrer noch darauf hinweisen, dass sie ja schließlich "in der Lage seien über den Tellerrand einer wörtlichen Formulierung hinauszuschauen" und für ihre Kreativität die volle Punktzahl verdient hätten. Da ist es dann auch nicht weiter bedenklich, wenn in der Bildung immer weniger Wert auf geisteswissenschaftlich-sprachliche Fähigkeiten gelegt wird. Wozu braucht man heutzutage noch so antiquierte Fertigkeiten wie Textverständnis...

Aber noch mal ernsthaft: ich gewinne langsam den Eindruck, dass manche Diskutanten den Problemtext von Selvin gar nicht richtig gelesen haben. Hier nochmal zur Erinnerung ein Auszug:

MONTE HALL: I'll do you a favor and open one of the remaining boxes on the table (he opens box A). It's empty! (Audience: applause). Now either box C or your box B contains the car keys. Since there are two boxes left, the probability of your box containing the keys is now 1/2. I'll give you $1000 cash for your box.

WAIT!!!!

Is Monte right? The contestant knows that at least one of the boxes on the table is empty. He now knows that it was box A. Does this knowledge change his probability of having the box containing the keys from 1/3 to 1/2? One of the boxes on the table has to be empty. Has Monty done the contestant a favor by showing him which of the two boxes was empty? Is the probability of winning the car 1/2 or 1/3?

CONTESTANT: I'll trade you my box B for the box C on the table.

MONTE HALL: That's Weird!!

HINT: The contestant knows what he is doing.

Monte:"I'll do you a favor...It's empty! (Audience: applause)" deutet darauf hin, dass es keine vorherige Absprache zwischen Monte und Kandidat gibt bzw. Monte nicht verpflichtet ist, eine nichtgewählte leere Schachel zu öffnen. Dass er eine andere Schachtel öffnet (und diese leer ist), soll für das Publikum und den Kandidaten offenbar eine Überraschung sein.

Monte:"Since there are two boxes left, the probability of your box containing the keys is now 1/2." Monte selbst geht davon aus, dass der Kandidat betreffend Schachtel B und C kein Zusatzwissen besitzt, welches Gleichverteilung der Gewinnchancen ausschließt. Hat er vielleicht die Folgen seiner Geheimabsprache mit dem Kandidaten vor der Show falsch eingeschätzt.? Und ist die ganze Show nur ein gespieltes Theater für das unwissende Publikum? Dem entgegen steht aber der spannungserzeugende Aufbau des Textes, und solche Absprachen müssten ja irgendwo, möglichst am Anfang der Problemformulierung, explizit erwähnt sein.

Hint"The contestant knows what he is doing." Welche zusätzlichen Informationen hat der Kandidat, die weder Leser noch Monte besitzen? Und woher kommen diese Informationen? Monte selbst reagiert ja total überrascht auf das Wechselgesuch des Kandidaten:

Monte:"That's Weird!!" Es deutet alles darauf hin, dass es keine vorherige Vereinbarung mit dem Kandidaten gibt, dass dieser auf jeden Fall zu einer anderen Schachtel wechseln dürfe. Kurz und gut: Selvins Problemformulierung und seine Lösung passen nicht zusammen.

Kmhkmh zitiert Rosenhouse:"In writing this he had successfully placed his finger on the two central points of the problem."

1. Monte weiß, welche Schachtel die Schlüssel enthält.

2. Falls Monte zwei Schachteln öffnen kann ohne die Schlüssel zu zeigen, dann wählt er eine nach dem Zufallsprinzip aus. (Das kann er immer. Er könnte prinzipiell auch zufällig die vom Kandidaten gewählte Schachtel öffnen. Nur weil es in diesem Spielverlauf nicht vorkommt, darf man diese a-priori-Möglichkeit nicht außer Acht lassen.)

Es fehlt aber auch noch mindestens ein weiterer wichtiger Punkt:

3. Monte hat dem Kandidaten vor der Show versprochen, unabhängig von dessen erster Wahl eine andere Schachtel, die auf jeden Fall leer ist, zu öffnen, ohne damit das Spiel zu beenden.

Derselbe Rosenhouse schreibt an anderer Stelle:"It is a pity that more mathematicians were not aware of Selvin's lucid analysis." Tja, warum wohl nicht? --Geodel (Diskussion) 14:11, 31. Dez. 2013 (CET)

<parallel zu Geodels vorangehendem Beitrag erstellt> Dass Monty die Autotür (bzw. die Schachtel mit dem Autoschlüssel) kennt, geht sowohl aus Selvins als auch aus vos Savants Aufgabenstellung klar hervor. Entscheidend für die Zwei-Drittel-Lösung ist in Selvins Aufgabenstellung aber auch die nicht formulierte Annahme, dass der Moderator die Nietenschachtel öffnet völlig unabhängig davon, ob der Kandidat mit seiner Wahl richtig liegt oder nicht. Der ständig taktierende Monty würde sich also in diesem Moment nach der selbst auferlegten Strategie richten: "Ich öffne jetzt eine nicht gewählte Nietenschachtel völlig unabhängig davon, ob der Kandidat richtig oder falsch gewählt hat." Diese Annahme wirkt angesichts des tatsächlich geschilderten Moderatorverhaltens ziemlich künstlich. Wenn das Spiel sogar eine anschließende Wechselmöglichkeit beinhaltet, noch viel mehr. - Übrigens hat Geodel den Abschnitt hier eröffnet, weil er die "Originalquelle" tatsächlich gelesen hatte. Und ausgerechnet an entscheidenden Stellen, bei denen einem keine Argumente mehr einfallen, die Diskussion mit Hinweisen auf WP-Regeln und der Zur-Schau-Stellung von Überdruss abzuwürgen, wirkt ebenso lächerlich wie unglaubwürdig.--Albtal (Diskussion) 14:29, 31. Dez. 2013 (CET)

Aus einer anderen reputablen Nebelquelle (s.o.: Behrends, Ehrhard: Five-Minute Mathematics, S. 55): In words, if the car is behind door 1, what is the probability that the host opens door 3? He could of course also open door 2 (or simply tell which door conceals the car). We are going to assume here that he opens door 2 or door 3 with equal probability... Das steht mehrere Seiten nach der Problemstellung, die an die vos Savants angelehnt ist, und der Aussage Indeed, Marilyn was right. - Wenn aber der Moderator auch einfach die Autotür öffnen kann, so ist, wie wir ja alle wissen, die Zwei-Drittel-Lösung im zur Debatte stehenden Fall falsch.--Albtal (Diskussion) 15:05, 31. Dez. 2013 (CET)

Die Frage ist zunächst einmal, ob die Möglichkeit, dass der Moderator tatsächlich auch die Autotür öffnen könnte, überhaupt eine zu berücksichtigende Variante ist. Wenn die Autotür, die der Moderator öffnet, die Tür ist, vor der der Kandidat bereits steht, wird der natürlich nicht wechseln, wenn eine andere Türe die Autotür ist, wird der Kandidat wechseln. Der gesamte Wahrscheinlichkeitsaspekt fällt bei dieser Situation vollständiger Information ja völlig weg. Der Artikel hier handelt aber vom Ziegenproblem. Wenn der Moderator die Autotür öffnet, haben wir kein Ziegenproblem mehr.
Wenn der Kandidat überlegt, welche Schlüsse er aus dem erfolgten Öffnen einer Ziegentür ziehen kann, spielt es eine Rolle, ob der Moderator dazu verpflichtet war oder nicht, eine Ziegentür zu öffnen. Der Kandidat muss bei seinen Überlegungen je nach seiner Kenntnis der Regeln gegebenenfalls berücksichtigen, dass der Moderator die Türe auch nicht hätte öffnen können. Er muss aber nicht berücksichtigen, dass der Moderator auch die Autotür hätte öffnen können.
Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   16:51, 31. Dez. 2013 (CET)

Ich denke in der Realität dürfte das Öffnen der Autotür äquivalent mit dem Abbruch des Spiels sein, d. h. der Kandidat bekommt das, was hinter seiner Tür ist. Dass Monty erst die Autotür öffnet und danach noch einen Wechsel anbietet, halte ich für extrem unwahrscheinlich :) -- HilberTraum (Diskussion) 18:38, 31. Dez. 2013 (CET)

Falls der Moderator im Spielverlauf überhaupt eine anderes Tor öffnet, um die Spannung zu erhöhen und ohne damit das Spiel zu beenden, dann wird es sehr wahrscheinlich ein Ziegentor sein. Das heißt aber nicht, dass er immer ein anderes Ziegentor öffnen und dem jeweiligen Kandidaten mit Sicherheit einen Wechsel anbieten wird. Beim nächsten Kandidaten kann der Spielverlauf schon ganz anders aussehen. Gerade aus dem Grund, die Show spannend zu halten, wird der Moderator jedesmal anders vorgehen. Seine Handlungsfreiheit ist essentiell für den Erfolg der Show. Diese Freiheit und Unberechenbarkeit sind somit natürliche Annahmen, im Gegensatz zu der Annahme, der Moderator würde nur als "agent of chance" (vos Savant) handeln. --Geodel (Diskussion) 15:49, 2. Jan. 2014 (CET)

Die erfahrungsbezogene Antwort – zwei Fragen

Die diversen Spiel-Varianten

Was ist der Sinn der Aufzählung dieser und genau dieser vier Spielvarianten im aktuellen Artikel?

Spiel 1 – Kandidat Alfred wählt Tor 1, der Moderator öffnet das Tor 1 mit einer Ziege dahinter; Alfred verliert.

Das ist zwar schade für Alfred, aber was hat dieses Spiel mit dem Ziegenproblem zu tun? Wenn der Moderator den Wechsel gar nicht anbietet, gibt es überhaupt kein „Problem“, weil der Kandidat nicht vor einer Entscheidung steht.
Und um eine theoretische Vollständigkeit aller möglichen Spiele geht es offensichtlich auch nicht, denn dazu fehlen viel zu viele Varianten, beispielsweise

Spiel 5 – Kandidatin Evelyn wählt Tor 1, der Moderator öffnet das Tor 1 mit einem Auto dahinter; Evelyn gewinnt.

oder

Spiel 6 – Kandidat Frank wählt Tor 1, der Moderator öffnet das Tor 2 mit einem Auto dahinter und bietet Frank an, zu wechseln. Frank wechselt und gewinnt das Auto.

Es gäbe noch ein paar weitere denkbare, aber genauso absurde Varianten. Bringen solche Spiele, die nicht das Ziegenproblem modellieren, den Leser beim Verständnis des Artikels weiter?
Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   22:33, 15. Dez. 2013 (CET)

Die Aufzählung soll die Handlungsfreiheit des Moderators verdeutlichen, wenn er keinen bestimmten Verhaltensregeln unterworfen ist. Es soll hiermit eine mögliche Interpretation von Savants Fragestellung dargestellt werden, die beweist, dass ein (realer) Moderator das Spiel kontrolliert und den jeweiligen Kandidaten fast nach Belieben manipulieren kann, und dass deswegen die Gewinnchance i.A. nicht 2/3 beträgt. Die Spiele 1 und 2 sind angelehnt an die Runden, die Monty Hall gemäß Tierneys Artikel spielt, Spiel 3 ähnelt Selvins Szenario vor dem Öffnen einer leeren Box und Spiel 4 ist vos Savants Aufgabe. --Geodel (Diskussion) 16:14, 2. Jan. 2014 (CET)

Der erste Absatz des ersten Abschnitts „Erfahrungsbezogene Antwort“ lautet: Wenn man die Frage Personen stellt, die sich noch nicht mit dem Problem beschäftigt hatten, vermuten diese häufig, dass die Gewinnchancen für die Tore 1 und 2 gleich hoch seien. Als Grund dafür wird oft angegeben, dass man ja nichts über die Motivation des Showmasters wisse, das Tor 3 mit einer Ziege dahinter zu öffnen und einen Wechsel anzubieten. Es greife daher das Indifferenzprinzip. Also meine Erfahrung ist ganz eine andere. So gut wie alle Personen, die sich mit dem Problem noch nicht näher beschäftigt hatten, vermuten die 50:50-Variante, aber nicht wegen der von ihnen als Situation unvollständiger Information erkannten mangelnden Kenntnisse der Motivation des Moderators (so weit denken die Leute im ersten Schritt nicht), und auch nicht wegen erkannter prinzipieller Unvollständigkeit der Fragestellung (dass die Regeln hier eine Rolle spielen, erkennen die Leute im ersten Schritt genauso wenig), und vom Indifferenzprinzip haben sie noch nie etwas gehört. Die 50:50-Antwort wird intuitiv regelmäßig so begründet: „Die Wahrscheinlichkeit für das Auto ist bei jeder Türe gleich, und jetzt gibt es nur noch zwei Türen, also ist die Wahrscheinlichkeit 50:50.“ Dass bei mehr Freiheiten für den Moderator hier spieltheoretische Aspekte eine Rolle zu spielen beginnen, die über die rein wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung hinausgehen, wird von den meisten Menschen nicht auf Anhieb erkannt. Entscheidend für den Artikel hier finde ich aber, dass viele Leute sich selbst im „Standardfall“ und unter Zugrundelegung aller notwendigen Annahmen, die die 2/3-Lösung richtig machen, weigern, dies zu akzeptieren. Der Artikel sollte deshalb nicht mit fortgeschrittenen Analysen verschiedenster möglicher Varianten und ihrer Konsequenzen unter Zugrundelegung des Indifferenzprinzips oder Ähnlichem beginnen. Für das Verständnis bringt das nichts. Und die „Analyse“, dass die Leute, die die 2/3-Lösung ablehnen, dies aufgrund eben solcher fortgeschrittener Überlegungen tun würden, ist für die allermeisten Menschen jedenfalls total falsch. Die Leute lehnen die 2/3-Lösung grundsätzlich und in jedem Fall ab, weil sie nicht verstehen, dass 2/3 bei gewissen Zusatzannahmen sehr wohl richtig ist. Dies sollte der Artikel viel besser klarstellen. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   19:19, 2. Jan. 2014 (CET)

Der Text im ersten Abschnitt war vor dieser Änderung ein anderer:

Wenn man die Fragestellung im Leserbrief unvoreingenommenen Personen vorlegt, bekommt man häufig die Antwort: „Die Gewinnchancen für die Tore 1 und 2 sind gleich. Denn ich weiß ja nichts über die Motivation des Showmasters, das Tor 3 mit einer Ziege dahinter zu öffnen und einen Wechsel anzubieten.“ (Indifferenzprinzip)

Es wird den Personen in der älteren Fassung selbst nicht unterstellt, den Begriff "Indifferenzprinzip" zu kennen.

Wenn man nun diesen Personen die Spielregeln des Monty-Hall-Standardproblems genau erklärt, dann wird den meisten sehr schnell klar, dass ihre Chancen beim Wechseln steigen, denn es wird ja immer eine nichtgewählte Niete entfernt. Das setzt bei diesen Personen allerdings voraus, dass sie ein Minimum an mathematischem Verständnis mitbringen, schließlich sollten sie zumindest Wahrscheinlichkeiten abschätzen können.

"Der Artikel sollte deshalb nicht mit fortgeschrittenen Analysen verschiedenster möglicher Varianten und ihrer Konsequenzen unter Zugrundelegung des Indifferenzprinzips oder Ähnlichem beginnen." Diese leichtverständlichen Varianten verdeutlichen doch nur die Unberechenbarkeit des Moderators und die sich daraus ergebende Schwierigkeit, eine exakte Gewinnchance für Doris anzugeben. Das Indifferenzprinzip wird hier nur für den fortgeschrittenen Leser erwähnt.

Der derzeitige Aufbau des Artikels macht insofern Sinn, als zunächst die Lösung von Savants Fragestellung ohne (unnatürliche) Zusatzannahmen, später ihre Lösung mit Zusatzannahmen erläutert werden. Ihre Problemformulierung (manchmal mit kleinen Veränderungen) ist die meines Wissens meistverwendete und deren Analyse sollte deswegen einen prominenten Platz im Artikel einnehmen. Selvins Monty-Hall-Problem z.B. wird fast nie als Grundlage zur Darstellung der 2/3-Lösung benutzt.

Aber was wäre denn dein Vorschlag für die grobe Struktur des Artikels? --Geodel (Diskussion) 22:31, 2. Jan. 2014 (CET)

Spielvarianten und bedingte Wahrscheinlichkeit

Übrigens noch ein (kleiner?) Vorteil der Interpretation mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten, die ich immer noch für angemessener halte: Ja, Monty kann jede Menge „Blödsinn“ machen (das Spiel abbrechen, alle Türen öffnen, dem Kandidaten das Auto schenken usw.) und natürlich kann er dadurch auch die bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit ändern (Extremfall: er bietet nur dann einen Wechsel an, wenn der Kandidat richtig geraten hat). Aber: Wenn er sich unabhängig vom Spielverlauf zufällig dazu entscheidet, „Blödsinn“ zu machen (um die Show abwechslungsreicher zu machen), dann bleibt die bedingte Wahrscheinlichkeit brav bei 2/3, während die absolute Gewinnwahrscheinlichkeit sich natürlich auf einen (im Allgemeinen unbekannten) Wert ändert. -- HilberTraum (Diskussion) 09:05, 3. Jan. 2014 (CET)

Die erfahrungsbezogene Antwort – zwei Fragen

Die diversen Spiel-Varianten

Was ist der Sinn der Aufzählung dieser und genau dieser vier Spielvarianten im aktuellen Artikel?

Spiel 1 – Kandidat Alfred wählt Tor 1, der Moderator öffnet das Tor 1 mit einer Ziege dahinter; Alfred verliert.

Das ist zwar schade für Alfred, aber was hat dieses Spiel mit dem Ziegenproblem zu tun? Wenn der Moderator den Wechsel gar nicht anbietet, gibt es überhaupt kein „Problem“, weil der Kandidat nicht vor einer Entscheidung steht.
Und um eine theoretische Vollständigkeit aller möglichen Spiele geht es offensichtlich auch nicht, denn dazu fehlen viel zu viele Varianten, beispielsweise

Spiel 5 – Kandidatin Evelyn wählt Tor 1, der Moderator öffnet das Tor 1 mit einem Auto dahinter; Evelyn gewinnt.

oder

Spiel 6 – Kandidat Frank wählt Tor 1, der Moderator öffnet das Tor 2 mit einem Auto dahinter und bietet Frank an, zu wechseln. Frank wechselt und gewinnt das Auto.

Es gäbe noch ein paar weitere denkbare, aber genauso absurde Varianten. Bringen solche Spiele, die nicht das Ziegenproblem modellieren, den Leser beim Verständnis des Artikels weiter?
Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   22:33, 15. Dez. 2013 (CET)

Die Aufzählung soll die Handlungsfreiheit des Moderators verdeutlichen, wenn er keinen bestimmten Verhaltensregeln unterworfen ist. Es soll hiermit eine mögliche Interpretation von Savants Fragestellung dargestellt werden, die beweist, dass ein (realer) Moderator das Spiel kontrolliert und den jeweiligen Kandidaten fast nach Belieben manipulieren kann, und dass deswegen die Gewinnchance i.A. nicht 2/3 beträgt. Die Spiele 1 und 2 sind angelehnt an die Runden, die Monty Hall gemäß Tierneys Artikel spielt, Spiel 3 ähnelt Selvins Szenario vor dem Öffnen einer leeren Box und Spiel 4 ist vos Savants Aufgabe. --Geodel (Diskussion) 16:14, 2. Jan. 2014 (CET)

Der erste Absatz des ersten Abschnitts „Erfahrungsbezogene Antwort“ lautet: Wenn man die Frage Personen stellt, die sich noch nicht mit dem Problem beschäftigt hatten, vermuten diese häufig, dass die Gewinnchancen für die Tore 1 und 2 gleich hoch seien. Als Grund dafür wird oft angegeben, dass man ja nichts über die Motivation des Showmasters wisse, das Tor 3 mit einer Ziege dahinter zu öffnen und einen Wechsel anzubieten. Es greife daher das Indifferenzprinzip. Also meine Erfahrung ist ganz eine andere. So gut wie alle Personen, die sich mit dem Problem noch nicht näher beschäftigt hatten, vermuten die 50:50-Variante, aber nicht wegen der von ihnen als Situation unvollständiger Information erkannten mangelnden Kenntnisse der Motivation des Moderators (so weit denken die Leute im ersten Schritt nicht), und auch nicht wegen erkannter prinzipieller Unvollständigkeit der Fragestellung (dass die Regeln hier eine Rolle spielen, erkennen die Leute im ersten Schritt genauso wenig), und vom Indifferenzprinzip haben sie noch nie etwas gehört. Die 50:50-Antwort wird intuitiv regelmäßig so begründet: „Die Wahrscheinlichkeit für das Auto ist bei jeder Türe gleich, und jetzt gibt es nur noch zwei Türen, also ist die Wahrscheinlichkeit 50:50.“ Dass bei mehr Freiheiten für den Moderator hier spieltheoretische Aspekte eine Rolle zu spielen beginnen, die über die rein wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung hinausgehen, wird von den meisten Menschen nicht auf Anhieb erkannt. Entscheidend für den Artikel hier finde ich aber, dass viele Leute sich selbst im „Standardfall“ und unter Zugrundelegung aller notwendigen Annahmen, die die 2/3-Lösung richtig machen, weigern, dies zu akzeptieren. Der Artikel sollte deshalb nicht mit fortgeschrittenen Analysen verschiedenster möglicher Varianten und ihrer Konsequenzen unter Zugrundelegung des Indifferenzprinzips oder Ähnlichem beginnen. Für das Verständnis bringt das nichts. Und die „Analyse“, dass die Leute, die die 2/3-Lösung ablehnen, dies aufgrund eben solcher fortgeschrittener Überlegungen tun würden, ist für die allermeisten Menschen jedenfalls total falsch. Die Leute lehnen die 2/3-Lösung grundsätzlich und in jedem Fall ab, weil sie nicht verstehen, dass 2/3 bei gewissen Zusatzannahmen sehr wohl richtig ist. Dies sollte der Artikel viel besser klarstellen. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   19:19, 2. Jan. 2014 (CET)

Der Text im ersten Abschnitt war vor dieser Änderung ein anderer:

Wenn man die Fragestellung im Leserbrief unvoreingenommenen Personen vorlegt, bekommt man häufig die Antwort: „Die Gewinnchancen für die Tore 1 und 2 sind gleich. Denn ich weiß ja nichts über die Motivation des Showmasters, das Tor 3 mit einer Ziege dahinter zu öffnen und einen Wechsel anzubieten.“ (Indifferenzprinzip)

Es wird den Personen in der älteren Fassung selbst nicht unterstellt, den Begriff "Indifferenzprinzip" zu kennen.

Wenn man nun diesen Personen die Spielregeln des Monty-Hall-Standardproblems genau erklärt, dann wird den meisten sehr schnell klar, dass ihre Chancen beim Wechseln steigen, denn es wird ja immer eine nichtgewählte Niete entfernt. Das setzt bei diesen Personen allerdings voraus, dass sie ein Minimum an mathematischem Verständnis mitbringen, schließlich sollten sie zumindest Wahrscheinlichkeiten abschätzen können.

"Der Artikel sollte deshalb nicht mit fortgeschrittenen Analysen verschiedenster möglicher Varianten und ihrer Konsequenzen unter Zugrundelegung des Indifferenzprinzips oder Ähnlichem beginnen." Diese leichtverständlichen Varianten verdeutlichen doch nur die Unberechenbarkeit des Moderators und die sich daraus ergebende Schwierigkeit, eine exakte Gewinnchance für Doris anzugeben. Das Indifferenzprinzip wird hier nur für den fortgeschrittenen Leser erwähnt.

Der derzeitige Aufbau des Artikels macht insofern Sinn, als zunächst die Lösung von Savants Fragestellung ohne (unnatürliche) Zusatzannahmen, später ihre Lösung mit Zusatzannahmen erläutert werden. Ihre Problemformulierung (manchmal mit kleinen Veränderungen) ist die meines Wissens meistverwendete und deren Analyse sollte deswegen einen prominenten Platz im Artikel einnehmen. Selvins Monty-Hall-Problem z.B. wird fast nie als Grundlage zur Darstellung der 2/3-Lösung benutzt.

Aber was wäre denn dein Vorschlag für die grobe Struktur des Artikels? --Geodel (Diskussion) 22:31, 2. Jan. 2014 (CET)

Spielvarianten und bedingte Wahrscheinlichkeit

Übrigens noch ein (kleiner?) Vorteil der Interpretation mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten, die ich immer noch für angemessener halte: Ja, Monty kann jede Menge „Blödsinn“ machen (das Spiel abbrechen, alle Türen öffnen, dem Kandidaten das Auto schenken usw.) und natürlich kann er dadurch auch die bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit ändern (Extremfall: er bietet nur dann einen Wechsel an, wenn der Kandidat richtig geraten hat). Aber: Wenn er sich unabhängig vom Spielverlauf zufällig dazu entscheidet, „Blödsinn“ zu machen (um die Show abwechslungsreicher zu machen), dann bleibt die bedingte Wahrscheinlichkeit brav bei 2/3, während die absolute Gewinnwahrscheinlichkeit sich natürlich auf einen (im Allgemeinen unbekannten) Wert ändert. -- HilberTraum (Diskussion) 09:05, 3. Jan. 2014 (CET)

Selvins Problem

Kmhkmh sagt:"Die (nötigen) Zusatzannahmen für 2/3 ... im Originalproblem von Selvin enthalten sind". Dieser Ansicht muss ich widersprechen. Wenn man Selvins 1. Brief auf JSTOR nachliest, stellt man fest, dass seine Problembeschreibung endet mit dem Satz:

"HINT: The contestant knows what he is doing!"

und Selvin die Beschreibung mit seiner Unterschrift abschließt. Damit ist schon mal klar, dass nun alle zur Lösung nötigen Informationen vorliegen müssen. Danach kommt sein Lösungsvorschlag, der überschrieben ist mit "Solution to 'A Problem in Probability'"". Dort erwähnt er als einzigen zusätzlichen Hinweis:

"Certainly Monty Hall knows which box is the winner and, therefore, would not open the box containing the keys to the car."

Anschließend präsentiert er seine Lösungstabelle. Nun ist aber offensichtlich, dass dieser Hinweis nicht ausreicht um seine 2/3-Lösung zu begründen. Denn dafür müsste Monte Hall noch zusätzlich dem Kandidaten vor dem Spiel versprochen haben, auf jeden Fall im Verlauf des Spiels eine von diesem nicht gewählte leere Schachtel zu öffnen. Außerdem müsste Monte Hall verpflichtet sein, auf ein mögliches Wechselgesuch des Kandidaten einzugehen. Aber weder ist aus dem Spielverlauf abzulesen, dass es solche vorherigen dem Leser unbekannten Absprachen gibt, noch ist eine Verpflichtung, dem Wechselgesuch des Kandidaten stattzugeben, erkennbar. Im Gegenteil deutet der gesamte Spielverlauf darauf hin, dass wir es hier mit einem Monte Hall zu tun haben, der völlig frei in seinen Entscheidungen und keinen bestimmten Verhaltensregeln unterworfen ist. Daraus ergibt sich unmittelbar die Fehlerhaftigkeit von Selvins Lösung. --Geodel (Diskussion) 19:43, 29. Dez. 2013 (CET)

Die Vorgaben für das Moderatorverhalten stehen im zweiten Brief nicht im ersten. Und ja aus der wörtlichen Formulierung im ersten Brief folgt nicht zwingend die 2/3-Lösung, nur genau um der Kritik zu begegnen und seine impliziten Annahmen explizit zu machen hat er ja den zweiten Leserbrief geschrieben. Genau deswegen habe ich übrigens auch bei Selvin und nicht bei Selvin im ersten Brief geschrieben. Sich auf die Probleme/Mehrdeutigkeiten im ersten Brief zu fixieren und den zweiten zu ignorieren ist genauso unsinnig, wie sich auf die Formulierung in vos Savants Kolumne zu fixieren und den Rest der Literatur zu ignorieren. ::Nebenbei bemerkt ist das Treffen sinnvoller Annahmen ein typisches Vorgehen um mathematische Modelle zur Lösung unscharfer "realer" Probleme zu entwickeln. Dabei macht man meist eine Menge impliziter Annahmen, die aber meist als "selbstverständlich" angesehen werden. Natürlich sollte man solche Annahmen im Zweifelsfall explizit benennen und nicht unter den Teppich kehren. Gelegentlich ist auch umstritten, welche Annahmen "selbstverständlich" oder "sinnvoll" sind und welche nicht. Im Falle des MHP ist aber so, dass scheinbar die implizite Annahme bzgl. des Nur-Ziegen-Zeigens durch Moderator von den meisten Leuten als "selbstverständlich" angenommen wird (siehe dazu z.B. Krauss/Wang).--Kmhkmh (Diskussion) 00:22, 30. Dez. 2013 (CET)

Im zweiten Brief steht nur:"The basis to my solution is that Monty Hall knows which box contains the keys and when he can open either of two boxes without exposing the keys, he chooses between them at random." Es fehlt auch hier der Hinweis, dass Monte Hall zur Begründung der 2/3-Lösung verpflichtet sein müsste, eine nichtgewählte leere Schachtel zu öffnen. Solch eine Annahme würde aber nicht nur dem Wortlaut von Selvins Problemformulierung sondern auch dem Geist der von ihm in der Einleitung genannten Spielshow widersprechen:

"It is 'Let's Make a Deal' - a famous TV show starring Monte Hall."

Es sollte doch wohl selbstverständlich sein, dass wenn man wie Selvin eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung erfindet und an eine bekannte Zeitschrift zur Veröffentlichung sendet, diese Aufgabe so formuliert sein sollte, dass sie ohne Zusatzannahmen eindeutig lösbar ist. Das Argument eines "unscharfen realen Problems" kann man bei einer komponierten Aufgabenstellung nicht gelten lassen. Darüberhinaus ist die Annahme:"Monte Hall öffnet auf jeden Fall eine nichtgewählte leere Schachtel und bietet dem Kandidaten dann einen Wechsel an." keine sinnvolle Annahme, wenn man sich überlegt, dass es sich hier um eine bekannte TV-Show mit vielen Zuschauern handeln soll. Die Spannung solch einer Show rührt ja vor allem daher, dass man als Zuschauer nie weiß, ob Monte Hall dem Kandidaten helfen oder ihn aufs Glatteis führen will. Eine Spielshow nach dem Muster:"Monte Hall öffnet auf jeden Fall eine nichtgewählte leere Schachtel und bietet dem Kandidaten dann einen Wechsel an." würde spätestens nach dem zweiten Mal abgesetzt, weil der Showmaster überhaupt keine Spannung für das Publikum entstehen lassen kann. Die Kandidaten müssten nur solange warten bis sie wechseln dürfen um dann mit 2/3-W'keit zu gewinnen...

Nochmal zur Klarstellung: In Selvins Originalproblem sind keine Hinweise enthalten, die zur 2/3-Lösung führen. Und selbst die in seiner Lösung vorgestellten Zusatzannahmen sind nicht hinreichend, um die 2/3-Lösung zu begründen. Er unterliegt anscheinend demselben logischen Fehlschluss wie damals Savant, die aus dem bloßen einmaligen Öffnen eines nichtgewählten Ziegentors ihre Lösungstabelle folgerte. --Geodel (Diskussion) 10:30, 30. Dez. 2013 (CET)

Noch einmal: In Selvins Originalproblem (Original MHP, beschrieben in zwei Briefen) sind die Zusatzbedingungen enthalten, nicht aber in seiner Formulierung im ersten Brief (in dem auch die Bezeichnung MHP noch nicht auftaucht). Den Satz "The basis to my solution is that Monty Hall knows which box contains the keys and when he can open either of two boxes without exposing the keys, he chooses between them at random." kann im gegebenen Kontext durchaus so lesen, dass dies bedeutet, dass er nie ein Schlüssel (key) zeigt. Genauso lesen ihn auch die meisten Leute (und halten es für sinnvoll), auch wenn du eine eine solche persönlich für "nicht sinnvoll" halten magst.

Was nun Monty's Verhalten betrifft, meines Wissens nach hat er nie eine Auto/Schlüsseltür geöffnet in einer zweiten Runde, sondern entweder keine zweite Runde gespielt oder eine Ziegentür in der zweiten Runde gezeigt. Denn für das Zeigen einer Auto/Schlüssel-Tür in der zweiten Runde gilt ja erst recht bzw. noch viel mehr, dass "keine Spannung für das Publikum" entsteht. Mit anderen Worten aus deinem Spannungsargument folgt gerade, dass in einer zweiten Runde niemals eine Auto/Schlüssel-Tür gezeigt wird.

Abschließend sei noch einmal gesagt, dass zum Einen Monty's reales Verhalten nicht unbedingt maßgeblich für ein durch ihn unspiriertes Problem/Knobelaufgabe ist und zum Anderen weder deine noch meine Einschätzung zu einen "offensichtlichen" oder "sinnvollen" Moderatorverhalten maßgeblich ist, sondern dessen Behandlung in der Literatur. Dort (jedenfalls basierend auf dem was ich bisher gelesen habe) wird die Bedeutung der erforderlichen (und anderer) Annahmen zwar detalliert diskutiert, aber man scheint weitgehend der Auffassung zu sein, dass die Annahme, das niemals eine Auto/Schüssel-Tür geöffnet wird "sinnvoll" wenn nicht gar "selbstverständlich" ist. Zudem war sie wohl auch von den Urhebern der mehrdeutigen/"fehlerhaften" Problemformulierung letztlich so intendiert. Dass der Artikel die Mehrdeutigkeit und die damit verbundenen Probleme im Detail diskutiert ist gut (findet man ja aich so in der Literatur), aber er sollte nicht so tun als wäre die Monty-öfnnet-nie-eine-Autotür-Annahme völlig an den Haaren herbeigezogen (findet sich so nicht in der Literatur) und auch keine eigenen Begrifflichkeiten/Bezeichnungen einführen.--Kmhkmh (Diskussion) 12:23, 30. Dez. 2013 (CET)

... keine zweite Runde gespielt oder eine Ziegentür in der zweiten Runde gezeigt. q.e.d.--Albtal (Diskussion) 13:16, 30. Dez. 2013 (CET)

Auch Kmhkmh vermischt immer wieder Fragestellung und Lösung. Selvins Originalproblem (Original MHP) wird nicht in zwei Briefen beschrieben, sondern nur im ersten Brief, der zusätzlich noch Selvins Lösung enthält. Der zweite Brief ist eine Reaktion auf die Kritik vieler Leser und enthält keine neue Problemformulierung, sondern nur Ergänzungen zu seiner Lösung. Zum Problemtext gehört nur der Abschnitt im ersten Brief, der überschrieben ist "A Problem in Probability", bis zu Selvins Unterschrift. Danach kommt sein Lösungsabschnitt, überschrieben mit "Solution to 'A Problem in Probability'". Offensichtlicher kann eine Trennung von Problem und Lösung gar nicht sein. Wer das Problem nun zu lösen versucht, wird sicher nicht zwingend zu Selvins Lösung gelangen, im Gegenteil kann man das Problem eher als subjektives Entscheidungsproblem betrachten. Und selbst wenn es für einen Leser selbstverständlich erschiene, dass Monte bei diesem Spielverlauf eine leere Schachtel öffnet und keinen Schlüssel zeigt, so ist damit keinesfalls die zusätzliche Annahme gerechtfertigt, dass Monte überhaupt irgendeine nichtgewählte leere Schachtel öffnen muss und eine entsprechende vorherige Absprache zwischen Monte und Kandidat existiere. Diese Annahme ist aber nötig, um eine 2/3-Lösung zu rechtfertigen. Sie wird aber von Selvin in keinem seiner Briefe explizit genannt, erst recht nicht in der Problemformulierung, wo sie ja eigentlich hingehören würde. Es geht hier nicht um eine Monty-öffnet-nie-eine-Autotür-Annahme, sondern um die Monty-öffnet-immer-eine-nichtgewählte-Ziegentür-und-bietet-daraufhin-immer-einen-Wechsel-an-Annahme. --Geodel (Diskussion) 17:57, 30. Dez. 2013 (CET)

Aber hier haben wir als Leser doch die günstige Situation, dass Aufgabenstellung und Lösung vom selben Autor stammen. Ein als Textaufgabe gestelltes Problem ist eigentlich immer (mehr oder weniger) „unscharf“, aber bei Selvin können wir doch im Nachhinein aus seiner Lösung schließen, wie die Aufgabe gemeint war. -- HilberTraum (Diskussion) 18:29, 30. Dez. 2013 (CET)

Weder sind Textaufgaben i.d.R. unscharf noch können wir aus Selvins Lösung darauf schließen, dass eine andere Aufgabe als die gestellte gemeint war. Es sieht vielmehr danach aus, als habe Selvin wie viele andere Publizisten nach ihm allein aus der Tatsache, dass vom Moderator bewusst eine nichtgewählte Nietenschachtel geöffnet wurde, die Zwei-Drittel-Lösung abgeleitet - was falsch ist.--Albtal (Diskussion) 19:38, 30. Dez. 2013 (CET)

Gib mir doch mal ein Beispiel einer Textaufgabe, am besten natürlich aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die nicht unscharf ist; dann kann ich mir besser vorstellen, wie du das meinst. Aus Selvins Lösung ist für mich klar ersichtlich, dass er annimmt, dass nur die neun Fälle, die er aufzählt, eintreten können und dass alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben sollen. Damit ist für mich klar, was er mit der Aufgabe eigentlich gemeint hat. -- HilberTraum (Diskussion) 20:06, 30. Dez. 2013 (CET)

@Albtal: Wieso postet du mir diese Diskussion hier?--Kmhkmh (Diskussion) 20:07, 30. Dez. 2013 (CET)

Diese Frage verstehe ich nicht.--Albtal (Diskussion) 20:44, 30. Dez. 2013 (CET)

Sorry, das war ein Missverständnis. Ich habe mich von dem neuen Feedback-Mechanismus (Notifications) irritieren lassen und dachte du hättest dass auf meiner Diskussionsseite gepostet.--Kmhkmh (Diskussion) 21:25, 30. Dez. 2013 (CET)

@HilberTraum: Eine Wunschlösung kann niemals eine mangelhafte Aufgabenstellung rechtfertigen. Falls Selvin die Aufgabe so gemeint hätte, dass seine Lösung dazu passte, dann hätte er sie anders formulieren müssen. Vergleiche doch mal seine Aufgabe mit dem Gefangenenparadoxon, welches wesentlich älter (1959) ist und schon zu Selvins Zeit (1975) allseits bekannt war. --Geodel (Diskussion) 22:24, 30. Dez. 2013 (CET)

@Geodel: Niemand behauptet dass eine "Wunschlösung" eine mangelhafte Aufgabenstellung rechtfertigt noch dass die Aufgabenstellung in Selvins ersten Brief nicht mangelhaft wäre. Ebenfalls will niemand Aufgabenstellung und Lösung künstlich vermischen, aber man sollte schon in der Lage sein über den Tellerrand einer wörtlichen Formulierung hinauszuschauen und intendierte Problemstellungen erwägen bzw. erkennen (und dazu zieht man unter Anderem auch Lösungen und spätere Ergänzungen hinzu). Mit dem oben von dir zitierten Satz aus dem zweiten Brief (im Kontext verstanden) liefert Selvin genau die fehlenden Annahmen, auch wenn du ihn partout anders lesen willst. Ich zitiere dazu mal Rosenhouse. Dieser schreibt in seinem Abschnitt zu Selvin, nachdem er zunächst die Probleme im ersten Brief sowie Unterschiede zwischen Monty's realen Verhalten und Monty angenommenen Verhalten diskutiert hat, in Bezug auf den von dir oben zitierten Satz abschließend das Folgende:

"In writing this he had successfully placed his finger on the two central points of the problem. Alter either of those assumptions and the analysis can become even more complex ....". (Rosenhouse, S. 22, Fettdruck von mir).

Ich weise noch einmal darauf hin, das WP-Artikel die Darstellung in der (Fach-)Literatur wiederzugeben haben und nicht was WP-Autoren (persönlich) von diversen Annahmen/Deutungen halten. Solange dieser letzte Satz bei dir nicht ankommt, ist die Diskussion hier aus meiner Sicht weitgehend sinnlos.--Kmhkmh (Diskussion) 22:54, 30. Dez. 2013 (CET)

Kmhkmh sagt:"Niemand behauptet dass eine "Wunschlösung" eine mangelhafte Aufgabenstellung rechtfertigt." Wirklich nicht?

Kmhkmh sagt:"Ebenfalls will niemand Aufgabenstellung und Lösung künstlich vermischen." Warum hast du dann weiter oben geschrieben:"Die (nötigen) Zusatzannahmen für 2/3 ... im Originalproblem von Selvin enthalten sind" (Fettdruck von mir)? Dieser Satz hat mich ja erst veranlasst, diesen Thread zu eröffnen.

Millionen Schüler können endlich erleichtert aufatmen: sie dürfen jetzt alle ihre falschen Lösungen zu den Textaufgaben im Unterricht damit begründen, dass sie die Fragestellung einfach nur anders interpretiert hätten. Und sie können die Lehrer noch darauf hinweisen, dass sie ja schließlich "in der Lage seien über den Tellerrand einer wörtlichen Formulierung hinauszuschauen" und für ihre Kreativität die volle Punktzahl verdient hätten. Da ist es dann auch nicht weiter bedenklich, wenn in der Bildung immer weniger Wert auf geisteswissenschaftlich-sprachliche Fähigkeiten gelegt wird. Wozu braucht man heutzutage noch so antiquierte Fertigkeiten wie Textverständnis...

Aber noch mal ernsthaft: ich gewinne langsam den Eindruck, dass manche Diskutanten den Problemtext von Selvin gar nicht richtig gelesen haben. Hier nochmal zur Erinnerung ein Auszug:

MONTE HALL: I'll do you a favor and open one of the remaining boxes on the table (he opens box A). It's empty! (Audience: applause). Now either box C or your box B contains the car keys. Since there are two boxes left, the probability of your box containing the keys is now 1/2. I'll give you $1000 cash for your box.

WAIT!!!!

Is Monte right? The contestant knows that at least one of the boxes on the table is empty. He now knows that it was box A. Does this knowledge change his probability of having the box containing the keys from 1/3 to 1/2? One of the boxes on the table has to be empty. Has Monty done the contestant a favor by showing him which of the two boxes was empty? Is the probability of winning the car 1/2 or 1/3?

CONTESTANT: I'll trade you my box B for the box C on the table.

MONTE HALL: That's Weird!!

HINT: The contestant knows what he is doing.

Monte:"I'll do you a favor...It's empty! (Audience: applause)" deutet darauf hin, dass es keine vorherige Absprache zwischen Monte und Kandidat gibt bzw. Monte nicht verpflichtet ist, eine nichtgewählte leere Schachel zu öffnen. Dass er eine andere Schachtel öffnet (und diese leer ist), soll für das Publikum und den Kandidaten offenbar eine Überraschung sein.

Monte:"Since there are two boxes left, the probability of your box containing the keys is now 1/2." Monte selbst geht davon aus, dass der Kandidat betreffend Schachtel B und C kein Zusatzwissen besitzt, welches Gleichverteilung der Gewinnchancen ausschließt. Hat er vielleicht die Folgen seiner Geheimabsprache mit dem Kandidaten vor der Show falsch eingeschätzt.? Und ist die ganze Show nur ein gespieltes Theater für das unwissende Publikum? Dem entgegen steht aber der spannungserzeugende Aufbau des Textes, und solche Absprachen müssten ja irgendwo, möglichst am Anfang der Problemformulierung, explizit erwähnt sein.

Hint"The contestant knows what he is doing." Welche zusätzlichen Informationen hat der Kandidat, die weder Leser noch Monte besitzen? Und woher kommen diese Informationen? Monte selbst reagiert ja total überrascht auf das Wechselgesuch des Kandidaten:

Monte:"That's Weird!!" Es deutet alles darauf hin, dass es keine vorherige Vereinbarung mit dem Kandidaten gibt, dass dieser auf jeden Fall zu einer anderen Schachtel wechseln dürfe. Kurz und gut: Selvins Problemformulierung und seine Lösung passen nicht zusammen.

Kmhkmh zitiert Rosenhouse:"In writing this he had successfully placed his finger on the two central points of the problem."

1. Monte weiß, welche Schachtel die Schlüssel enthält.

2. Falls Monte zwei Schachteln öffnen kann ohne die Schlüssel zu zeigen, dann wählt er eine nach dem Zufallsprinzip aus. (Das kann er immer. Er könnte prinzipiell auch zufällig die vom Kandidaten gewählte Schachtel öffnen. Nur weil es in diesem Spielverlauf nicht vorkommt, darf man diese a-priori-Möglichkeit nicht außer Acht lassen.)

Es fehlt aber auch noch mindestens ein weiterer wichtiger Punkt:

3. Monte hat dem Kandidaten vor der Show versprochen, unabhängig von dessen erster Wahl eine andere Schachtel, die auf jeden Fall leer ist, zu öffnen, ohne damit das Spiel zu beenden.

Derselbe Rosenhouse schreibt an anderer Stelle:"It is a pity that more mathematicians were not aware of Selvin's lucid analysis." Tja, warum wohl nicht? --Geodel (Diskussion) 14:11, 31. Dez. 2013 (CET)

<parallel zu Geodels vorangehendem Beitrag erstellt> Dass Monty die Autotür (bzw. die Schachtel mit dem Autoschlüssel) kennt, geht sowohl aus Selvins als auch aus vos Savants Aufgabenstellung klar hervor. Entscheidend für die Zwei-Drittel-Lösung ist in Selvins Aufgabenstellung aber auch die nicht formulierte Annahme, dass der Moderator die Nietenschachtel öffnet völlig unabhängig davon, ob der Kandidat mit seiner Wahl richtig liegt oder nicht. Der ständig taktierende Monty würde sich also in diesem Moment nach der selbst auferlegten Strategie richten: "Ich öffne jetzt eine nicht gewählte Nietenschachtel völlig unabhängig davon, ob der Kandidat richtig oder falsch gewählt hat." Diese Annahme wirkt angesichts des tatsächlich geschilderten Moderatorverhaltens ziemlich künstlich. Wenn das Spiel sogar eine anschließende Wechselmöglichkeit beinhaltet, noch viel mehr. - Übrigens hat Geodel den Abschnitt hier eröffnet, weil er die "Originalquelle" tatsächlich gelesen hatte. Und ausgerechnet an entscheidenden Stellen, bei denen einem keine Argumente mehr einfallen, die Diskussion mit Hinweisen auf WP-Regeln und der Zur-Schau-Stellung von Überdruss abzuwürgen, wirkt ebenso lächerlich wie unglaubwürdig.--Albtal (Diskussion) 14:29, 31. Dez. 2013 (CET)

Aus einer anderen reputablen Nebelquelle (s.o.: Behrends, Ehrhard: Five-Minute Mathematics, S. 55): In words, if the car is behind door 1, what is the probability that the host opens door 3? He could of course also open door 2 (or simply tell which door conceals the car). We are going to assume here that he opens door 2 or door 3 with equal probability... Das steht mehrere Seiten nach der Problemstellung, die an die vos Savants angelehnt ist, und der Aussage Indeed, Marilyn was right. - Wenn aber der Moderator auch einfach die Autotür öffnen kann, so ist, wie wir ja alle wissen, die Zwei-Drittel-Lösung im zur Debatte stehenden Fall falsch.--Albtal (Diskussion) 15:05, 31. Dez. 2013 (CET)

Die Frage ist zunächst einmal, ob die Möglichkeit, dass der Moderator tatsächlich auch die Autotür öffnen könnte, überhaupt eine zu berücksichtigende Variante ist. Wenn die Autotür, die der Moderator öffnet, die Tür ist, vor der der Kandidat bereits steht, wird der natürlich nicht wechseln, wenn eine andere Türe die Autotür ist, wird der Kandidat wechseln. Der gesamte Wahrscheinlichkeitsaspekt fällt bei dieser Situation vollständiger Information ja völlig weg. Der Artikel hier handelt aber vom Ziegenproblem. Wenn der Moderator die Autotür öffnet, haben wir kein Ziegenproblem mehr.
Wenn der Kandidat überlegt, welche Schlüsse er aus dem erfolgten Öffnen einer Ziegentür ziehen kann, spielt es eine Rolle, ob der Moderator dazu verpflichtet war oder nicht, eine Ziegentür zu öffnen. Der Kandidat muss bei seinen Überlegungen je nach seiner Kenntnis der Regeln gegebenenfalls berücksichtigen, dass der Moderator die Türe auch nicht hätte öffnen können. Er muss aber nicht berücksichtigen, dass der Moderator auch die Autotür hätte öffnen können.
Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   16:51, 31. Dez. 2013 (CET)

Ich denke in der Realität dürfte das Öffnen der Autotür äquivalent mit dem Abbruch des Spiels sein, d. h. der Kandidat bekommt das, was hinter seiner Tür ist. Dass Monty erst die Autotür öffnet und danach noch einen Wechsel anbietet, halte ich für extrem unwahrscheinlich :) -- HilberTraum (Diskussion) 18:38, 31. Dez. 2013 (CET)

Falls der Moderator im Spielverlauf überhaupt eine anderes Tor öffnet, um die Spannung zu erhöhen und ohne damit das Spiel zu beenden, dann wird es sehr wahrscheinlich ein Ziegentor sein. Das heißt aber nicht, dass er immer ein anderes Ziegentor öffnen und dem jeweiligen Kandidaten mit Sicherheit einen Wechsel anbieten wird. Beim nächsten Kandidaten kann der Spielverlauf schon ganz anders aussehen. Gerade aus dem Grund, die Show spannend zu halten, wird der Moderator jedesmal anders vorgehen. Seine Handlungsfreiheit ist essentiell für den Erfolg der Show. Diese Freiheit und Unberechenbarkeit sind somit natürliche Annahmen, im Gegensatz zu der Annahme, der Moderator würde nur als "agent of chance" (vos Savant) handeln. --Geodel (Diskussion) 15:49, 2. Jan. 2014 (CET)