Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/012

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Übersicht über die Fachliteratur zu "dem" Ziegenproblem

Die Abschnittsüberschrift sollte geändert werden in:

Übersicht über die "Fachliteratur" zum Ziegenproblem

Die Überschrift in der bisherigen Form unterstellt eine naive, laienhafte Vorstellung, in der nur ein einziges Ziegenproblem existiert, der die differenzierte Betrachtung der Fachwelt gegenübergestellt wird.

Ausgangspunkt der gesamten Debatte war aber die Aufgabe, die Marilyn vos Savant in Parade 1990 als Leseranfrage zusammen mit der Behauptung der Zwei-Drittel-Lösung veröffentlicht hatte. In dieser Form ging die Aufgabe, zusammen mit der Behauptung der Zwei-Drittel-Lösung, um die Welt. Im deutschsprachigen Raum fand die Verbreitung hauptsächlich in Form der Version von Gero von Randow statt, die er 1991 in der ZEIT, ebenfalls zusammen mit der Behauptung der Zwei-Drittel-Lösung, veröffentlicht hatte. In von Randows Version sagt der Moderator, bevor er die Ziegentür öffnet, sogar noch "Ich zeige Ihnen mal was", was mit einer Spielregel, die ihn zu diesem Verhalten zwingt, unvereinbar ist.

Dass diese (oder eine äquivalente) Spielregel, die Voraussetzung für die Zwei-Drittel-Lösung ist, in der weit verbreiteten Aufgabenversion fehlte, stellt doch das ganze angebliche Paradoxon auf den Kopf.

Der Witz ist nicht nur, dass die spätere Behauptung, die Befürworter der Halbe-Halbe-Lösung hätten diese Spielregel implizit vorausgesetzt, reine Spekulation ist, sondern vor allem, dass sich die Vorstellung weit verbreitet hat, die Zwei-Drittel-Lösung ließe sich auch ohne diese Spielregel ableiten; wozu es im Internet zahllose Belege gibt.

Das Gute des neuen Abschnitts im Artikel ist, dass er den Nebel in der sogenannten Fachliteratur adäquat nachbildet.--Albtal (Diskussion) 11:03, 4. Jan. 2014 (CET)

Erst mal meinen Dank für Deine am Schluss ausgesprochene Anerkennung meiner Bemühungen, die Diskussionen in der Fachlilteratur nachzubilden, d.h. einigermaßen NPOV wiederzugeben. Das war genau mein Ziel.

Anführungszeichen bei Fachliteratur hielte ich allerdings für nicht NPOV. Für mich gilt WP:Belege.

Dagegen sollen die Anführungzeichen bei dem Artikel dem völlig wertfrei andeuten, dass die Autoren deshalb zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen, weil sie unterschiedliche Probleme untersuchen. Ein Mathematiker, der nach einer Optimalität gefragt wird, fragt eben erst mal zurück (oder legt am Anfang fest), was die Optimalität bedeuten solle. Als ein sehr schönes Beispiel, wenn auch auf einer ganz anderen „Baustelle“, finde ich immer die Untersuchungen zu Mastermind.

An Exegese will ich mich genausowenig beteiligen wie die meisten der von mir zitierten Autoren. Trotzdem ein Hinweis dazu am Ende von doi:10.1198/tast.2010.09227.

--Lefschetz (Diskussion) 12:08, 4. Jan. 2014 (CET)

Von mir auch ein Dank für die jüngsten Einfügungen. Allerdings verstehe ich bei „Empirische Überprüfung einer Bayesschen Lösung?“ nicht, was mir der Abschnitt sagen will/soll. Soll hier eine Problematik angesprochen werden? Ich nehme mal an ja, wegen des Fragezeichens. Was dann Beschrieben wird, ist das übliche Vorgehen bei der Simulation bedingter Verteilungen, aber so wie es formuliert ist klingt es so als sei das irgendwas „Böses“ :); die Quelle kann ich leider am Wochenende nicht einsehen. -- HilberTraum (Diskussion) 17:38, 4. Jan. 2014 (CET)

Zunächst freue ich mich über Deine Resonanz (ich hoffe, dass insbesondere die Referierung spieltheoretischer Untersuchungen Deinen Zuspruch gefunden hat. Vor zwei Wochen war ich da noch sehr skeptisch − siehe irgendwo oben im Buchstaben-„Urwald“). Der Überschrift ist nicht glücklich. Kollege Kmhkmh hat mich bereits darauf hingewiesen, dass die Abgrenzung zwischen frequentistisch und Bayessch zumindest missdeutig ist, und zwar an mehreren Stellen. Mein aktueller Vorschlag wäre (aber ich bin noch am Überlegen):

Empirische Überprüfung einer auf das Moderatorverhalten bezogenen Lösung

Soll beispielsweise die für die Variante eines faulen Moderators gefundene 1/2:1/2-Lösung empirisch geprüft werden, so ist das nur indirekt möglich. Würde man zum Beispiel versuchen, das für diese Zusatzannahme gefundene Ergebnis mittels einer Versuchsreihe von 300 Spielshows zu überprüfen, so würden ungefähr 100 Shows nicht den Zustand durchlaufen, der Gegenstand der Untersuchung ist. Ursache dafür ist, dass bei einem hinter Tor 3 verborgenen Auto der Moderator gezwungen ist, Tor 2 zu öffnen. Solche Spielverläufe liegen aber außerhalb des Untersuchungsbereichs, so dass die nach einem Torwechsel stets erzielten Gewinne bei der Versuchsreihenauswertung unberücksichtigt bleiben müssen.[11]>

Die Quelle (frei zugänglich hier; ganz allgemein kann man übrigens bei Anmeldung bei JSTOR alle 13 Tage 2 Artikel kostenfrei ansehen, leider nicht als PDF) sagt dazu, was eigentlich selbstverständlich ist:

... This is a correct simulation for the unconditional problem, but not for the conditional problem. The correct simulation for the conditional problem is of course to examine only those trials where door 3 is opened by the host.

P.S. @Geodel: Es wäre für WP-Leser sicher hilfreich, wenn in

... manche Autoren ihrer Lösung vos Savants Originaltext, manchmal mit unbedeutenden Veränderungen, zugrunde legen und ihre Zusatzannahmen erst im Laufe ihrer Analyse explizit machen. Andere Autoren verwenden als Ausgangspunkt ihrer Berechnungen vollständige Fragestellungen, die bereits alle zu ihrer Lösung nötigen Informationen beinhalten.

die kursiv gesetzten Teil dort oder weiter oben (bei der Beschreibung der verschiedenen Probleme) mittels Referenzen belegt würden. Vages Geschwafel steht ja nun schon weiß Gott genug im Lemma, und wenn, dann muss der Einwand vor der ersten Referenz stehen (Morgan et al, Behrends, Henze, Bewersdorff werden doch schon weiter oberhalb ziteriert. Warum wird der Leser dort nicht vor dem „Giftschrank“ gewarnt?)

--Lefschetz (Diskussion) 18:54, 4. Jan. 2014 (CET)

Ja, danke, so ein kurzer spieltheoretischer Abschnitt am Ende (für den „fortgeschrittenen“ Leser) finde ich prima.

Zu der Stelle in Morgan et al. (übrigens Danke für den Hinweis auf Register & Read) denke ich, dass sie dort nur darauf hinweisen, dass man aufpassen muss, welche Fragestellung man experimentell überprüft (bedingt oder unbedingt), und noch anmerken, dass die Simulation bedingter Wahrscheinlichkeiten für Anfänger schwer verständlich sein kann. Aber im Artikel klingt es momentan so, als gäbe es hier irgendwelche grundsätzlichen Probleme. -- HilberTraum (Diskussion) 09:43, 5. Jan. 2014 (CET)

Der Abschnitt zur Fachliteratur kann sich zu einer sinnvollen Ergänzung zum bisherigen Artikel entwickeln. Auch die einleitenden Bemerkungen dort sollten natürlich belegt werden, was aber kein Problem sein dürfte. Für die meisten Aussagen dort gibt es sogar eine kaum überschaubare Menge an Quellen. Man könnte einfach eine möglichst große Publikationsliste durchgehen und geeignete auswählen. Da ergibt sich aber die Frage zur gesamten Struktur dieses Abschnitts: Soll man nur darauf achten, dass für die zusammenfassenden Bemerkungen am Anfang die entsprechende Literatur (evtl. "zahlreich" usw.) in den Folgeabschnitten aufgelistet wird, oder sollen schon in der Zusammenfassung sämtliche Verweise stehen? Oder soll diese Zusammenfassung entfallen und zu den einzelnen Aspekten - wie bisher - ein separater Absatz mit den entsprechenden Hinweisen und Zitaten erstellt werden?

Ich selbst kann bei den anstehenden Änderungen und Ergänzungen des Artikels aus Zeitgründen nicht mitarbeiten. Meine bisherigen Vorschläge zu Verbesserungen gelten weiterhin. Es wäre z.B. schon einen Versuch wert, auf sämtliche Grafiken, die ja ohnehin erläuternde Sätze zum Verständnis beinhalten, zu verzichten, und den dort dargestellten Sachverhalt in einfachen Sätzen auszudrücken.--Albtal (Diskussion) 07:19, 6. Jan. 2014 (CET)

Soeben wurde mein folgender Eintrag aus dem einleitenden Absatz des Literaturabschnitts wieder entfernt:

In der Fachliteratur wird in der Regel auf die zahlreichen Ablehnungen der Zwei-Drittel-Lösung als Resultat einer fehlerhaften Intuition hingewiesen, auch wenn die dieser Kritik zugrundeliegende publizierte Aufgabenstellung die entscheidende Voraussetzung für deren Richtigkeit gar nicht enthielt. Andererseits finden bisher die zahlreichen Belege für die Auffassung, die Zwei-Drittel-Lösung lasse sich auch ohne die erforderliche Spielregel beweisen, in der Fachwelt noch keine Berücksichtigung.

Diese Aussagen zu belegen (s.o.), anstatt sie zu entfernen, wäre auch nicht schlecht gewesen.--Albtal (Diskussion) 07:34, 6. Jan. 2014 (CET)

(Nur) Zu Deiner Frage Da ergibt sich aber die Frage zur gesamten Struktur dieses Abschnitts: Soll man nur darauf achten, dass für die zusammenfassenden Bemerkungen am Anfang die entsprechende Literatur (evtl. "zahlreich" usw.) in den Folgeabschnitten aufgelistet wird, oder sollen schon in der Zusammenfassung sämtliche Verweise stehen?:

Ein Beleg muss dort stehen, wo die Aussage getroffen wird (im Satzteil, am Satzende, spätestens am Ende des Abschnitts: der Leser muss den Beleg finden und zuordnen können). Wo Du eine Aussage am besten triffst, ist erst mal Deine Sache. Natürlich wird die Aussage deutlicher, wenn Du sie direkt bei der bereits vorhandenen Referierung der Quelle angibst. Genau das hast Du ja bei Georgii gemacht und ist in diesem Fall inzwischen Konsens. Übrigens gibt es keine Arbeitsteilung für WP-Autoren, die als als Generalisten um das Schöne kümmern, und solche, die im mühseliger Arbeit Belege nachtragen.--Lefschetz (Diskussion) 09:02, 6. Jan. 2014 (CET)

Lefschetz: "Hier werden Quellen referiert"

... aber offensichtlich nicht gelesen. Wenn du das nachholst, wirst du sehen, dass ich Georgii (S. 56) sehr genau wiedergegeben habe.

Mache also bitte deine überhastete Löschung wieder rückgängig.

Oder lass einfach meine neueste Version von 19.59 Uhr drin, die offensichtlich in Parallelbearbeitung entstanden ist.--Albtal (Diskussion) 21:10, 4. Jan. 2014 (CET)

Immer wieder faszinierend zu sehen, wie die hier tätigen Koryphäen aufeinanderprallen … wie dem auch sei: @Albtal: Dein Satz „Verbreitet ist auch die These, dass die Zusatzannahmen, die die Lösung erst begründen, implizit auch von denen getroffen worden seien, die auf der Basis der Aufgabe, die ohne diese Zusatzannahmen gestellt worden war, zu einer anderen Lösung gekommen waren“ ist auch nach mehrmaligem Lesen schlicht unverständlich. Würdest du das bitte erläutern? Oder am besten gleich im Artikel selbst so umschreiben, dass das verständlich wird? Danke, Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   21:39, 4. Jan. 2014 (CET)

Ja, ich habe den Satz etwas vereinfacht.--Albtal (Diskussion) 22:01, 4. Jan. 2014 (CET)

Eigentlich finde ich es auch faszinierend, dass fast zu jedem Aspekt des Problems, der hier aus "reputablen" Quellen ans Licht kommt, schon in der Fundgrube etwas zu finden ist. Schon die beiden Leserbriefe an DIE ZEIT aus dem Jahr 1991, die dort als "Anhang" zu finden sind, beinhalten sowohl einfache und klare Lösungen zum korrekt gestellten Problem, als auch Gegenbeispiele, die belegen, dass die Zwei-Drittel-Lösung ohne die entscheidende Spielregel falsch ist. Im ersten Leserbrief auf Seite 2 wird zum Beispiel genau die Variante behandelt, auf die sich Georgii an der hier diskutierten Stelle bezieht. Die Variante, bei der der Moderator zufällig eine der beiden nicht gewählten Türen öffnet, kommt in dem Artikel der Fundgrube als Übungsaufgabe vor. Auch kommt im ersten Leserbrief die Variante mit 100 Türen vor, die der Erklärung Marilyn vos Savants mit einer Million Türen entspricht; im zweiten das Gegenbeispiel, auf das Martin Gardner ungefähr zeitgleich in der New York Times hingewiesen hat. Und die Auseinandersetzung zwischen "Frequentisten" und "Bayesianern", die nach jahrelangem Streit auf der englischen Wikipedia jetzt auch hier Einzug zu halten scheint, wird dort leserfreundlich kurz im Kleingedruckten abgehandelt. Dass sich das Ziegenproblem, das um die Welt ging, dort sogar als Scherzaufgabe erweist, ist ja für die Unterhaltung auch nicht schlecht. Wer also sowohl über das Ziegenproblem selbst als auch über die Debatte dazu entspannt informiert werden möchte, liegt mit der Fundgrube genau richtig.--Albtal (Diskussion) 22:45, 4. Jan. 2014 (CET)

@Albtal:Ich räume ein, dass ich mir die Mühe hätte machen sollen, dass nicht nur in der Zusammenfassungszeile zu schreiben. Aber: Zum Zitieren gehört natürlich auch, dass dann der erlätuernde nächste Satz angefügt wird:

...= 1/2. Dies ist gerade die Antwort der Kritiker!

Ähhnlich wie beim Bertrand’schen Paradoxon beruhen die verschiedenen Antworten auf einer unterschiedlichen Interpretation einer unscharf gestellten Aufgabe.

Ich schätze den Kollegen Georgii, weil weil er nicht nur Formeln und Beweise bringt, sondern auch erläutert. Aber in diesem Textzusammenhang mit der Überschrift Weitere mathematisch untersuchte Varianten geht es nicht primär um die Ergebnisse, sondern schlicht darum, die Vielfalt der Modelle, die einige im weitesten Sinn kompatibel zu der Problembeschreibung halten. Nur für die Tatsache, dass das überhaupt schon jemand mal ins Auge gefasst hat, habe ich auf Georgii verwiesen. Auch die Variante davor lieferte bereits den Wert 1/2.

Am Rande: Ich wundere mich eigentlich vielmehr, warum trotz meiner Hinweises immer noch keiner „abfährt“ auf „finale“ 1/2-Ergebnis von Morgan et al 2010:

We reproduce here, for the first time, the key section from Craig F. Whitaker’s letter to vos Savant, exactly as he wrote it (including grammatical errors; a copy of the original letter was obtained from Mr. Whitaker, and provided to us, by Mike D’Orso, then of the Virginian Pilot):

“I’ve worked out two different situations (based on Monty’s prior behavior i.e. weather or not he knows what’s behind the doors) in one situation it is to your advantage to switch, in the other there is no advantage to switch.”

“What do you think?”

In the context of the calculations here, which themselves are for a restricted version of the problem, there is no advantage to switch when q = 1 and hence 1/(1 + q) = 1/2. More pertinent, if the host randomly opens one of the two unselected doors (Monty does not know where the car is), then the more general problem as presented in our article shows the probability of winning by switching is again 1/2. Mr.Whitaker, if after twenty years you are still interested, this is your answer.

--Lefschetz (Diskussion) 22:24, 4. Jan. 2014 (CET)

Die Abschnittsversion, bei der ich Änderungen und Ergänzungen vorgenommen hatte, lautete:

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor öffnet. Steht dort eine Ziege, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Spieler beim Torwechsel offensichtlich 1/2.

Die von dir rückgängig gemachte Version mit meinen Georgii entsprechenden Änderungen und Ergänzungen lautete:

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor öffnet. Besteht diese Möglichkeit, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel entsprechend der "Antwort der Kritiker" 1/2.

Damit kein Zweifel besteht, habe ich diese Version - offensichtlich parallel zu deiner Löschung - folgendermaßen völlig nach Sinn und Wortlaut Georgiis ergänzt:

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor mit einer Ziege öffnet. Besteht diese Möglichkeit, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel entsprechend der "Antwort der Kritiker" auch dann 1/2, wenn er ein nicht gewähltes Ziegentor öffnet.

Diese quellentreue Präzisierung einfach rückgängig zu machen, ist ein starkes Stück.--Albtal (Diskussion) 23:24, 4. Jan. 2014 (CET)

Nur mal am Rande, was ein starkes Stück ist. Ich habe nicht „Deine quellentreue Präzisierung einfach rückgängig“ gemacht, sondern die erste Version. Mach Dir doch bitte mal die Mühe, ins Log zu schauen, bevor Du solche offensichtlich falschen Unterstellungen in die Welt setzt! Außerdem spielt nicht nur Quellentreue eine Rolle, sondern es muss auch passen – s.o. Mir wird langsam klar, warum dieses Lemma über weite Strecken inhaltlich eine einzige Katastrophe ist.

--Lefschetz (Diskussion) 23:46, 4. Jan. 2014 (CET)

Ich habe ja selbst geschrieben, dass ich meine zweite Version offensichtlich parallel zu deiner Löschung eingefügt habe. Dass du vorhattest, meine zweite Version stehen zu lassen, war aus deiner Reaktion nicht ersichtlich. Diese zweite Version entspricht genau der ersten, nur ist sie für die bessere Verständlichkeit redundant.

Der geänderte Satz lautete vor meiner ersten Änderung:

Steht dort eine Ziege, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Spieler beim Torwechsel offensichtlich 1/2.

Das ist, gerade auch die Stelle bei Georgii betreffend, nichtssagend und irreführend. Ich habe den Satz deshalb völlig nach Sinn und Wortlaut Georgiis folgendermaßen geändert und ergänzt:

Besteht diese Möglichkeit, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel entsprechend der "Antwort der Kritiker" 1/2.

Diese quellentreue Präzisierung einfach rückgängig zu machen, ist ein starkes Stück.--Albtal (Diskussion) 00:09, 5. Jan. 2014 (CET)

Unter Zusatzannahmen kontraintuitiv?

Ich finde es recht müßig, irgendwelche spekulativen Ausführungen über vermutlich implizit Angenommenes und dann in der Analyse doch nicht richtig Berücksichtigtes anzuführen. Der Satz der Einleitung sagt doch egtl. alles: „Vos Savants Antwort ist, obwohl unter Zusatzannahmen richtig, auch unter diesen Zusatzannahmen für viele Menschen sehr kontraintuitiv.“ --Chricho ¹ ² ³ 00:02, 5. Jan. 2014 (CET)

Dass Savants Antwort für viele Menschen angeblich kontraintuitiv ist, liegt in der Art und Weise begründet, wie diese Menschen üblicherweise mit dem Problem konfrontiert werden. Zuerst wird ihnen der Originaltext von Savant vorgelegt, der sich auf eine Spielshow bezieht, die ihnen genauso oder als ähnliches Format z.B. aus dem Fernsehen bekannt ist. Da sie nur Moderatoren kennen, die in dieser Show eine aktive und unberechenbare Rolle spielen, ist ihnen intuitiv sofort klar, dass der Kandidat aus dem Öffnen eines Ziegentors keine Rückschlüsse auf die beiden geschlossenen Tore ziehen kann, die eine 50:50-Gewinnchance ausschließen. Und der Moderator kann ja jedes Tor öffnen, also auch, wenn er will, ein nichtgewähltes Ziegentor. Wenn er das gewählte Tor öffnet und eine Ziege zeigt und daraufhin einen Wechsel anbietet, ist diese 50:50-Gewinnchance für die beiden anderen Tore doch offensichtlich.

Daraufhin wird den Menschen gesagt, ihre Lösung sei falsch. Sie hätten die angeblich selbstverständlichen Verhaltensregeln des Moderators nicht berücksichtigt, die ihnen jetzt erst im Nachhinein vorgestellt werden. Im Hirn dieser Menschen tobt nun ein Kampf zwischen dem vertrauten Bild eines Moderators, der frei und unberechenbar agiert, und dem unrealistischen Bild eines Moderators, der sich an solche seltsamen Regeln hält. Diese Verwirrung der Menschen in Verbindung mit einer Trotzreaktion gegenüber dem Fragesteller, von dem sie sich an der Nase herumgeführt fühlen, kann letztendlich dazu führen, dass sie auf ihrer zunächst richtigen (Indifferenzprinzip), unter den Zusatzannahmen aber falschen 50:50-Antwort beharren.

Wenn diesen Menschen von vornherein eine vollständige Problemformulierung vorgelegt worden wäre, wären sie davor geschützt, ihr vertrautes realistisches Moderatorbild zu aktivieren. Eine solche Formulierung könnte z.B. so aussehen:

"Nehmen Sie an, Sie könnten in einer Spielshow ein Auto gewinnen und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist das Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Das Spiel läuft nach den folgenden Regeln ab:

Sie wählen ein Tor, welches zunächst geschlossen bleibt. Der Showmaster, der weiß wo sich das Auto befindet, muss nun ein anderes Tor mit einer Ziege dahinter öffnen und Ihnen daraufhin einen Wechsel zum zweiten geschlossenen Tor anbieten.

Sie wählen, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster öffnet, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ,Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?

Schüler der Oberstufe beispielsweise, die sich gerade mit Wahrscheinlichkeitsrechnung und bed. W'keiten beschäftigt haben, werden ziemlich schnell auf den Trichter kommen, bei ihren Berechnungen diese Spielregeln zu beachten. --Geodel (Diskussion) 13:55, 5. Jan. 2014 (CET)

„Dass Savants Antwort für viele Menschen angeblich kontraintuitiv ist, liegt in der Art und Weise begründet, wie diese Menschen üblicherweise mit dem Problem konfrontiert werden. […] Da sie nur Moderatoren kennen, die in dieser Show eine aktive und unberechenbare Rolle spielen, ist ihnen intuitiv sofort klar, dass der Kandidat aus dem Öffnen eines Ziegentors keine Rückschlüsse auf die beiden geschlossenen Tore ziehen kann …“ Dies ist nicht der Grund für die Schwierigkeiten vieler Menschen mit der 2/3-Lösung. Die Konsequenzen aus den unklaren Regeln, die Freiheiten des Moderators – alle diese Dinge sind nicht die Ursache für die Verständnisprobleme, denn so weit denken die Menschen im ersten Schritt nicht. So gut wie alle Personen, die sich mit dem Problem noch nicht näher beschäftigt hatten, vermuten die 50:50-Lösung mit der Begründung: „Die Wahrscheinlichkeit für das Auto ist bei jeder Türe gleich, und jetzt gibt es nur noch zwei Türen, also ist die Wahrscheinlichkeit 50:50.“ Dass die Schlüsse, die aus dem Öffnen einer Ziegentür gezogen werden können, von den zugrunde liegenden Regeln abhängen und dass bei mehr Freiheiten für den Moderator sogar spieltheoretische Aspekte eine Rolle zu spielen beginnen, die über die rein wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung hinausgehen, wird von den meisten Menschen auf Anhieb doch gar nicht erkannt. Im Gegenteil: Die Menschen ignorieren überhaupt, dass die Regeln und das Verhalten des Moderators einen Einfluss auf die resultierende Wahrscheinlichkeit haben. Die Menschen denken eben nicht, dass man aus dem Verhalten des Moderators deshalb keine Schlüsse ziehen kann, weil die Aufgabenstellung unvollständig ist, sie denken vielmehr überhaupt nicht daran, dass man aus dem Verhalten des Moderators überhaupt irgendwelche Schlüsse ziehen könnte – zwei Türen bedeuten einfach in jedem Fall 50:50.
Das in der Einleitung des Artikels angesprochene Kontraintuitive des Ziegenproblems bezieht sich eben darauf, dass viele Leute sich selbst im „Standardfall“ und unter Zugrundelegung aller notwendigen Annahmen, die die 2/3-Lösung richtig machen, weigern, dies als richtig zu akzeptieren. Die Behauptung, dass die Leute, die die 2/3-Lösung ablehnen, dies aufgrund intuitiven Erfassens der Unvollständigkeit der Aufgabenstellung etc. tun würden, ist jedenfalls im weit überwiegenden Normalfall falsch. So weit denkt man nicht im ersten Schritt nicht, und „intuitiv“ schon gar nicht. Die Leute lehnen die 2/3-Lösung grundsätzlich und in jedem Fall ab, weil sie sich bei zwei Türen etwas anderes als 50:50 nicht vorstellen können. Sie verstehen nicht, dass 2/3 bei gewissen Zusatzannahmen sehr wohl richtig ist und weigern sich deshalb auch dann, die 2/3 zu akzeptieren, wenn die vorstehend genannten Präzisierungen ausdrücklich vorausgesetzt werden. Die Menschen liegen nicht aus richtiger Intuition richtig, sondern aus falschen Überlegungen falsch. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   15:27, 5. Jan. 2014 (CET)

Zuallererst werden die Leute üblicherweise nicht mit dem vollständigen Standardproblem konfrontiert, sondern mit Savants Originaltext. Und dort steht nichts, was sie an der 50:50-Lösung zweifeln lassen könnte, also müssen sie auch nicht groß darüber nachdenken. Nur das explizite Benennen von Spielregeln in der Fragestellung kann dazu führen, dass sie innehalten und weitere Überlegungen anstellen. Die Leute können die Regeln benutzen, um das Spiel mehrmals durchzuführen und sich dabei klarzumachen, was dabei passiert. Die richtige Lösung ist dann nur eine Frage der Zeit. Die Intuition spielt dann keine so große Rolle mehr. --Geodel (Diskussion) 16:45, 5. Jan. 2014 (CET)

Meine persönliche Erfahrunge (ja, ich weiß, darum geht es hier nicht) ist nun mal, dass die meisten Menschen nicht deshalb 50:50 für richtig halten, weil in der Aufgabenstellung nichts steht, was sie daran zweifeln lassen könnte, sondern weil für sie zwei Türen automatisch immer zu 50:50 führt. Mit der Unvollständigkeit der Aufgabenstellung bzw. unterschiedlichen Interpretationen oder Zusatzannahmen hat das nichts zu tun. Viele Menschen haben nun mal auch dann Probleme, die 2/3-Antwort zu akzeptieren, wenn diese durch entsprechende Klarstellungen bzw. Zusatzannahmen richtig ist – das ist das Kontraintuitive dieses Problems. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   12:13, 7. Jan. 2014 (CET)

@Troubled@sset: Warum findest du eigentlich die 2/3-Lösung richtig und nicht die 50:50-Lösung?--Albtal (Diskussion) 19:35, 6. Jan. 2014 (CET)

Sorry, aber – ist das eine Fangfrage? Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   12:14, 7. Jan. 2014 (CET)

Wegen der Kontraintuitivität: Ich weiß nicht, ob ihr folgende Aufgabe kennt, die zum Ziegenproblem äquivalent ist, aber bei der die Zusatzannahmen klar sind und trotzdem die meisten Menschen (auch Mathematiker ;) erstmal intuitiv die falsche Antwort geben: In einem Beutel sind drei Münzen, eine normale mit Kopf und Wappen, eine auf der vorne und hinten Kopf ist und eine auf der vorne und hinten Wappen ist. Man greift blind eine Münze heraus und legt die gezogene Münze vor sich hin (oder wirft sie in die Luft). Dann darf man erst schauen: Die Münze zeigt Kopf, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auf der anderen Seite ebenfalls Kopf? -- HilberTraum (Diskussion) 12:54, 7. Jan. 2014 (CET)

Da es bei drei Münzen insgesamt sechs Seiten gibt, kann der genannte Versuch sechs Ergebnisse haben, die gleich wahrscheinlich gezogen werden. Ich sehe …

• Kopf als eine Seite der Doppel-Kopf-Münze
• Kopf als die andere Seite der Doppel-Kopf-Münze
• Kopf als die Kopf-Seite der normalen Münze
• Wappen als die Wappen-Seite der normalen Münze
• Wappen als eine Seite der Doppel-Wappen-Münze
• Wappen als die andere Seite der Doppel-Wappen-Münze

Wenn ich also Kopf sehe, ist eines der drei ersten Ereignisse eingetreten. Da alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, sind auch diese drei Ereignisse gleich wahrscheinlich. In einem der drei Fälle (im dritten der Aufzählung, ich habe die normale Münze gezogen) ist auf der anderen Seite das Wappen, in zwei von drei Fällen ist auf der anderen Seite wieder Kopf, nämlich in den beiden Fällen, wenn ich auf eine der beiden Kopf-Seiten der Doppel-Kopf-Münze schaue.
Sehr gutes Beispiel für ein nicht intuitives Ergebnis – auch bei eindeutigen Regeln … Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   18:33, 7. Jan. 2014 (CET)

Formale Berechnung: (Legende: DK = Doppel-Kopf-Münze, NM = normale Münze, DW = Doppel-Wappen-Münze; K = Kopf sichtbar)

$P(DK)=P(NM)=P(DW)={1 \over 3}$  (alle drei Münzen sind a priori gleich wahrscheinlich)

$P(K\mid DK)=1$  (sicher Kopf sichtbar, wenn DK gezogen)

$P(K\mid NM)={1 \over 2}$  (50 Prozent Kopf, wenn NM gezogen)

$P(K\mid DW)=0$  (DW hat keine Kopf-Seite)

$P(K)=P(K\mid DK)\cdot P(DK)+P(K\mid NM)\cdot P(NM)+P(K\mid DW)\cdot P(DW)=1\cdot {1 \over 3}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 3}+0\cdot {1 \over 3}={1 \over 2}$  (totale Wahrscheinlichkeit, Kopf zu sehen)

Damit ist $P(DK\mid K)={\frac {P(K\mid DK)\cdot P(DK)}{P(K)}}={{1\cdot {1 \over 3}} \over {1 \over 2}}={2 \over 3}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kopf, den man sieht, auf der Doppel-Kopf-Münze ist, beträgt daher 2/3. Da in diesem Fall auch auf der anderen Seite ein Kopf ist, ist in zwei Drittel der Fälle, wenn man einen Kopf sieht, auch auf der anderen Seite ein Kopf.
Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   19:26, 7. Jan. 2014 (CET)

Ja genau! Ich denke bei dieser Aufgabe gibt es (auch bei Leuten, die sich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung auskennen) die „Versuchung“, sie einfacher lösen zu wollen – und dann falsch. Zum Beispiel ungefähr so: Weil die Münze Kopf zeigt, kann es nicht die Doppelwappenmünze sein, also ist es entweder die Doppelkopfmünze (dann ist auch der anderen Seite auch Kopf) oder die normale Münze (dann ist auf der anderen Seite Wappen). Weil die Münzen mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wurden, ist also die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich 1/2. Man sieht auch, dass die Überlegungen sehr ähnlich zum Ziegenproblem sind.

Übrigens: Das hat zwar nichts mehr mit dem Ziegenproblem zu tun, aber wenn jemand noch eine kleine „Herausforderung“ will, die Aufgabe geht noch weiter: Man schließt wieder die Augen und wirft die gezogene Münze noch mal in die Luft. Wenn man nachschaut, zeigt sie wieder Kopf. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass auf der anderen Seite auch Kopf ist? :) -- HilberTraum (Diskussion) 20:12, 7. Jan. 2014 (CET) -- HilberTraum (Diskussion) 20:12, 7. Jan. 2014 (CET)

Lösung mit Worten: Hier gibt es zwölf gleich wahrscheinliche Ereignisse:

• 1. Ziehen: Kopf als eine Seite der Doppel-Kopf-Münze
  • (1) 2. Werfen: Kopf der gleichen Seite der Doppel-Kopf-Münze
  • (2) 2. Werfen: Kopf der anderen Seite der Doppel-Kopf-Münze
• 1. Ziehen: Kopf als die andere Seite der Doppel-Kopf-Münze
  • (3) 2. Werfen: Kopf der gleichen Seite der Doppel-Kopf-Münze wie beim 1. Ziehen
  • (4) 2. Werfen: Kopf der anderen Seite der Doppel-Kopf-Münze als beim 1. Ziehen
• 1. Ziehen: Kopf-Seite der normalen Münze
  • (5) 2. Werfen: Noch einmal Kopf der normalen Münze
  • (6) 2. Werfen: Wappen der normalen Münze
• 1. Ziehen: Wappen der normalen Münze
  • (7) 2. Werfen: Kopf der normalen Münze
  • (8) 2. Werfen: noch einmal Wappen der normalen Münze
• 1. Ziehen: Wappen als die Wappen-Seite der normalen Münze
  • (9) 2. Werfen: Wappen der gleichen Seite der Doppel-Wappen-Münze
  • (10) 2. Werfen: Wappen der anderen Seite der Doppel-Wappen-Münze
• 1. Ziehen: Wappen als die andere Seite der Doppel-Wappen-Münze
  • (11) 2. Werfen: Wappen der gleichen Seite der Doppel-Wappen-Münze wie beim 1. Ziehen
  • (12) 2. Werfen: Wappen der anderen Seite der Doppel-Wappen-Münze als beim 1. Ziehen

Wenn ich also nach dem Ziehen einer Münze Kopf sehe und dann nach dem Flippen dieser Münze noch einmal Kopf sehe, ist eines der ersten fünf Ereignisse eingetreten. Da alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, sind auch diese fünf Ereignisse gleich wahrscheinlich. In einem der fünf Fälle (im fünften der Aufzählung, ich habe die normale Münze gezogen und zwei Mal Kopf gesehen) ist auf der anderen Seite das Wappen, in vier von fünf Fällen ist auf der anderen Seite wieder Kopf, nämlich in den vier Fällen, wenn ich die Doppel-Kopf-Münze gezogen habe. In diesem Fall sehe ich auch nach dem Flippen jedesmal wieder einen Kopf. Wenn ich die normale Münze gezogen habe und Kopf sehe, sehe ich nach dem Werfen nur jedes zweite Mal wieder den Kopf.

Formale Berechnung (Legende wie oben: DK = Doppel-Kopf-Münze, NM = normale Münze, DW = Doppel-Wappen-Münze; 2K = zwei Mal Kopf)

$P(DK)=P(NM)=P(DW)={1 \over 3}$  (alle drei Münzen sind a priori gleich wahrscheinlich)

$P(2K\mid DK)=1$  (sicher zwei Mal Kopf sichtbar, wenn DK gezogen)

$P(2K\mid NM)={1 \over 4}$  (in einem Viertel der Fälle zwei Mal Kopf sichtbar, wenn NM gezogen)

$P(2K\mid DW)=0$  (DW hat keine Kopf-Seite)

$P(2K)=P(2K\mid DK)\cdot P(DK)+P(2K\mid NM)\cdot P(NM)+P(2K\mid DW)\cdot P(DW)=1\cdot {1 \over 3}+{1 \over 4}\cdot {1 \over 3}+0\cdot {1 \over 3}={5 \over 12}$  (totale Wahrscheinlichkeit, zwei Mal Kopf zu sehen)

Damit ist $P(DK\mid 2K)={\frac {P(2K\mid DK)\cdot P(DK)}{P(2K)}}={{1\cdot {1 \over 3}} \over {5 \over 12}}={4 \over 5}$ .

Gegenprobe: $P(NM\mid 2K)={\frac {P(2K\mid NM)\cdot P(NM)}{P(2K)}}={{{1 \over 4}\cdot {1 \over 3}} \over {5 \over 12}}={1 \over 5}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kopf, den man nach dem Flippen sieht, auf der Doppel-Kopf-Münze ist, beträgt daher 4/5. Da in diesem Fall auch auf der anderen Seite ein Kopf ist, ist in vier Fünftel der Fälle, wenn man zwei Mal einen Kopf sieht, auch auf der anderen Seite ein Kopf.
Grüße, Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   01:23, 8. Jan. 2014 (CET)

Wow, da hat aber jemand beim Thema bedingte Wahrscheinlichkeit gut aufgepasst ;-) Das sieht nach voller Punktzahl in der Matheklausur aus … :-) Ich finde, bei dieser Aufgabe sieht man gut, wie die Wahrscheinlichkeiten von anfangs 1/3 durch die gesammelten Informationen nach und nach immer eindeutiger werden. -- HilberTraum (Diskussion) 09:15, 8. Jan. 2014 (CET)

Das lässt sich verallgemeinern: Nach n-maligem "Kopfwurf" beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 2**n/(2**n + 1).--Albtal (Diskussion) 14:45, 8. Jan. 2014 (CET)

Ja, das stimmt. Und die Wahrscheinlichkeit geht für große n gegen 1, wie zu erwarten. Aber wenn irgendwann mal Wappen fällt, dann ist auf der anderen Seite ganz sicher Kopf ;) Danke für euer Interesse an dem Beispiel. -- HilberTraum (Diskussion) 19:26, 8. Jan. 2014 (CET)

Bedeutung der englischsprachigen Wikipedia

Ich bin der Meinung, dieser Abschnitt ist hier absolut unpassend. Der erwähnte Autor Gill nimmt ja offensichtlich nicht nur an der Diskussion auf en.wp teil sondern hat auch große Teile des Artikels dort mitverfasst. Und er taucht auch mehrmals als Quelle in den dortigen Referenzen auf. Das Ganze ist eine seltsame Vermischung von wissenschaftlicher und WP-Tätigkeit und lässt nicht nur auf eine unzulässige Einflussnahme auf den Artikel schließen sondern es riecht auch stark nach Selbstbeweihräucherung. Außerdem sollten keine Wikipedia-Autoren (W. Nijdam und Martin Hogbin) im Artikeltext erwähnt werden. Der ganze Abschnitt sollte dementsprechend gelöscht werden! --Geodel (Diskussion)

Nijdam und Martin Hogbin sind nicht nur WP-Autoren sondern haben auch einen Artikel bzw. Leserbrief zum MHP in einer Fachzeitschrift (American Statistician) veröffentlicht, in dem sie einen Fehler aus der Publikation von Morgan et al beschreiben/korrigieren. Da Morgan et al eine zentrale Publikation im frühen Streit ums Savants Kolumne war, ist es durchaus berechtigt bzw. sinnvoll Nijdam/Hogbin zumindest in einem historischen Abriss wegen ihrem Leserbrief zu erwähnen aber nicht wegen ihrer Tätigkeit in der WP.

Dass der en.wp Artikel in einigen neueren Publikationen zum MHP erwähnt wird (vor allem auch im Standarwerk von Rosenhouse) ist richtig, aber ich finde auch dass Gill in seiner Formulierung/Beschreibung (auf en.wp) da etwas übertreibt. Ein besondere Bedeutung kommt dem Artikel auf en.wp bisher wohl kaum zu, noch wird er verstärkt oder gar häufig zitiert, sondern lediglich in einigen (wenigen) neueren Publikationen zum MHP erwähnt.

Dass Experten in einem Thema (zu dem sie auch selbst veröffentlicht haben) in der WP mitschreiben ist durchaus erwünscht. Allerdings müssen sie natürlich (wie alle anderen Autoren auch !) eine zusammenfassende neutrale Wiedergabe der (Fachh-)Literatur erstellen und können sich nicht einfach auf die in ihren eigenen Publikationen vertretenen Ergebnisse und Ansichten beschränken (also keinen "POV puschen"). Soweit ich das beurteilen kann, fasst Gill die Literatur korrekt zusammen und stell weder seine eigenen Publikationen noch seine persönlichen Ansichten über Gebühr in den Vordergrund.--Kmhkmh (Diskussion) 00:22, 7. Jan. 2014 (CET)

@Geodel: Angesichts der Tatsache, dass der Artikel insgesamt nach gemeinsamer Einschätzung mehrerer Teilnehmer der oben angeführten Diskussion ein Beleg-Defizit aufweist, ist es schon etwas merkwürdig, dass gerade ein Abschnitt, der zwei solche Belege wiedergibt, gelöscht werden soll.

Natürlich macht WP normalerweise keine Selbstreflektion, aber WP selbst kann natürlich relevant werden – und nur das zählt (siehe zum Beispiel Atze Schröder).

@Kmhkmh: Ich kann Deinen Argumenten absolut folgen, auch in den Punkten, die gegen eine Erwähnung der WP sprechen! Ich habe mich allerdings nicht von meiner eigenen Meinung leiten lassen, ob Gill richtig liegt oder etwas überbewertet, sondern ich gebe reputable Sekundär- und Primärliteratur wieder. Gill hält es für mitteilungswert und das gebe ich wieder. Konkret gebe ich die Tatsache wieder, dass der Fehler in einer 19 Jahre alten Arbeit im Rahmen einer WP-Diskussion aufgefallen sei (spricht für eine gute Arbeit mit Quellen). Natürlich habe ich die Sache auch selbst gecheckt, auch die WP-Autorenschaft von Gill ist mir aufgefallen. Wichtiger ist aber der Fakt, dass Nijdam und Hogbin, ganz entgegen den Gewohnheiten des Journals, nicht mit einer Institution („State University of XY“) oder Wohnort aufgeführt sind. Das heißt, Sie schreiben unter Ihrem WP-Pseudonym, das in einem Fall mit dem Echtnamen übereinstimmen zu scheint. Ich habe diese Tatsache nicht in den Artikel geschrieben, weil es primary research wäre. Aber es hat mich darin bestärkt, der bei Gill zitierten Tatsache WP-Relevanz zuzuweisen.

Natürlich ist meine Auswahl unvollständig (bei drei Türen muss man halt erst mal eine aussuchen und dann schauen, ob man seine Wahl im zweiten Schritt verbessern kann ...). Verbesserung (und NPOV) erreichen wir aber nicht durch Streichungen reputabler Quellen sondern durch Ergänzungen. Darüber würde ich mich ausgesprochen freuen!

--Lefschetz (Diskussion) 12:39, 7. Jan. 2014 (CET)

Bei Atze Schröder geht es um etwas ganz Anderes, nämlich um den Artikel, der seine Person zum Thema hat.

Es geht nicht darum, Belege zu löschen, denn zwei der drei angegebenen Referenzen werden schon an anderen Stellen genannt, bleiben also im Artikel erhalten. Die dritte Referenz scheint ein so spezielles Problem zu behandeln, dass sie für diesen Artikel nicht wirklich relevant ist und bestenfalls, wie von Kmhkmh vorgeschlagen, in einem historischen Abriss erwähnt werden sollte. Im zu löschenden Abschnitt steht ja auch:"Allerdings betrifft der Fehler sehr grundsätzliche, hier nicht wiedergegebene Aspekte."

Zitat aus dem Abschnitt:"...auch wenn viele der dort ausgetragenen Auseinandersetzungen Kämpfe um die falsche Fragen seien." Was ist daran für den Artikel hier interessant?

Du sagst:"Ich habe mich allerdings nicht von meiner eigenen Meinung leiten lassen, ob Gill richtig liegt oder etwas überbewertet, sondern ich gebe reputable Sekundär- und Primärliteratur wieder. Gill hält es für mitteilungswert und das gebe ich wieder." Natürlich hast du dich von deiner eigenen Meinung leiten lassen, als du beschlossen hast, Gill zu zitieren. Was soll denn aus dem Artikel werden, wenn jeder alles hineinschreibt, was eine angeblich reputable Quelle für mitteilenswert hält? Er würde in einem Wust von Zitaten ersticken und wäre völlig unleserlich. Willst du das? --Geodel (Diskussion) 16:35, 7. Jan. 2014 (CET)

Was soll denn aus dem Artikel werden, wenn jeder alles hineinschreibt, was eine angeblich reputable Quelle für mitteilenswert hält? Er würde in einem Wust von Zitaten ersticken und wäre völlig unleserlich. Willst du das? Als eine Instanz der Klasse jeder bin ich der Meinung, dass er nur besser werden kann. Heute ist er nämlich von seiner Struktur und seinem didaktischen Aufbau Murks.

Im zu löschenden Abschnitt: Schön das Gerundiv als Vorwegnahme eines Diskussionergebnisses. Stillgestanden!

auch wenn viele der dort ausgetragenen Auseinandersetzungen Kämpfe um die falsche Fragen seien: Habe ich gestrichen, weil WP-Relevanz wirklich nicht gesichert (bin halt [zu] stolzer Wikipedianer, mein subjektiver Fehler). Täte mir leid, wenn Du das Zitat perönlich genommen hättest.

Bei Atze Schröder geht es um etwas ganz Anderes, nämlich um den Artikel, der seine Person zum Thema hat.: Klar da geht's um eine Person, hier nur um Monty Hall, sein Auto und seine Ziegen. Die Frage ist nur: Spielt WP eine Rolle im Sinne der Relevanz, die WP selbst setzt.

--Lefschetz (Diskussion) 22:13, 7. Jan. 2014 (CET)

Du bringst kein einziges Argument, welches einen eigenen Abschnitt zu en.wp rechtfertigt. Die paar Sätze können genausogut, wenn überhaupt, in einem historischen Abriss untergebracht werden. Dir ist anscheinend nur daran gelegen, im Artikel hier dem englischsprachigen Wikipedia-Artikel eine übertriebene Bedeutung zuzumessen. --Geodel (Diskussion) 23:37, 7. Jan. 2014 (CET)

Keine Argumente? Dem Analogon Atze Schröder hast Du nichts mehr entgegengesetzt. Außerdem ist die per Referenz dokumentierte Kausalität für das Entstehen der Korrektur ja wohl Relevanz genug.

Da ich aber keine Lust auf lange Debatten habe und ich Deinen Ausführungen entnehme, dass es Dir anscheinend um den Verweis auf die englische WP geht: Ich kann das Wort englisch gerne zweimal streichen, wenn das dann der Konsens ist. WP ist eh' ein internationales Projekt.

--Lefschetz (Diskussion) 17:32, 8. Jan. 2014 (CET)

Übersicht über die Fachliteratur zu "dem" Ziegenproblem

Die Abschnittsüberschrift sollte geändert werden in:

Übersicht über die "Fachliteratur" zum Ziegenproblem

Die Überschrift in der bisherigen Form unterstellt eine naive, laienhafte Vorstellung, in der nur ein einziges Ziegenproblem existiert, der die differenzierte Betrachtung der Fachwelt gegenübergestellt wird.

Ausgangspunkt der gesamten Debatte war aber die Aufgabe, die Marilyn vos Savant in Parade 1990 als Leseranfrage zusammen mit der Behauptung der Zwei-Drittel-Lösung veröffentlicht hatte. In dieser Form ging die Aufgabe, zusammen mit der Behauptung der Zwei-Drittel-Lösung, um die Welt. Im deutschsprachigen Raum fand die Verbreitung hauptsächlich in Form der Version von Gero von Randow statt, die er 1991 in der ZEIT, ebenfalls zusammen mit der Behauptung der Zwei-Drittel-Lösung, veröffentlicht hatte. In von Randows Version sagt der Moderator, bevor er die Ziegentür öffnet, sogar noch "Ich zeige Ihnen mal was", was mit einer Spielregel, die ihn zu diesem Verhalten zwingt, unvereinbar ist.

Dass diese (oder eine äquivalente) Spielregel, die Voraussetzung für die Zwei-Drittel-Lösung ist, in der weit verbreiteten Aufgabenversion fehlte, stellt doch das ganze angebliche Paradoxon auf den Kopf.

Der Witz ist nicht nur, dass die spätere Behauptung, die Befürworter der Halbe-Halbe-Lösung hätten diese Spielregel implizit vorausgesetzt, reine Spekulation ist, sondern vor allem, dass sich die Vorstellung weit verbreitet hat, die Zwei-Drittel-Lösung ließe sich auch ohne diese Spielregel ableiten; wozu es im Internet zahllose Belege gibt.

Das Gute des neuen Abschnitts im Artikel ist, dass er den Nebel in der sogenannten Fachliteratur adäquat nachbildet.--Albtal (Diskussion) 11:03, 4. Jan. 2014 (CET)

Erst mal meinen Dank für Deine am Schluss ausgesprochene Anerkennung meiner Bemühungen, die Diskussionen in der Fachlilteratur nachzubilden, d.h. einigermaßen NPOV wiederzugeben. Das war genau mein Ziel.

Anführungszeichen bei Fachliteratur hielte ich allerdings für nicht NPOV. Für mich gilt WP:Belege.

Dagegen sollen die Anführungzeichen bei dem Artikel dem völlig wertfrei andeuten, dass die Autoren deshalb zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen, weil sie unterschiedliche Probleme untersuchen. Ein Mathematiker, der nach einer Optimalität gefragt wird, fragt eben erst mal zurück (oder legt am Anfang fest), was die Optimalität bedeuten solle. Als ein sehr schönes Beispiel, wenn auch auf einer ganz anderen „Baustelle“, finde ich immer die Untersuchungen zu Mastermind.

An Exegese will ich mich genausowenig beteiligen wie die meisten der von mir zitierten Autoren. Trotzdem ein Hinweis dazu am Ende von doi:10.1198/tast.2010.09227.

--Lefschetz (Diskussion) 12:08, 4. Jan. 2014 (CET)

Von mir auch ein Dank für die jüngsten Einfügungen. Allerdings verstehe ich bei „Empirische Überprüfung einer Bayesschen Lösung?“ nicht, was mir der Abschnitt sagen will/soll. Soll hier eine Problematik angesprochen werden? Ich nehme mal an ja, wegen des Fragezeichens. Was dann Beschrieben wird, ist das übliche Vorgehen bei der Simulation bedingter Verteilungen, aber so wie es formuliert ist klingt es so als sei das irgendwas „Böses“ :); die Quelle kann ich leider am Wochenende nicht einsehen. -- HilberTraum (Diskussion) 17:38, 4. Jan. 2014 (CET)

Zunächst freue ich mich über Deine Resonanz (ich hoffe, dass insbesondere die Referierung spieltheoretischer Untersuchungen Deinen Zuspruch gefunden hat. Vor zwei Wochen war ich da noch sehr skeptisch − siehe irgendwo oben im Buchstaben-„Urwald“). Der Überschrift ist nicht glücklich. Kollege Kmhkmh hat mich bereits darauf hingewiesen, dass die Abgrenzung zwischen frequentistisch und Bayessch zumindest missdeutig ist, und zwar an mehreren Stellen. Mein aktueller Vorschlag wäre (aber ich bin noch am Überlegen):

Empirische Überprüfung einer auf das Moderatorverhalten bezogenen Lösung

Soll beispielsweise die für die Variante eines faulen Moderators gefundene 1/2:1/2-Lösung empirisch geprüft werden, so ist das nur indirekt möglich. Würde man zum Beispiel versuchen, das für diese Zusatzannahme gefundene Ergebnis mittels einer Versuchsreihe von 300 Spielshows zu überprüfen, so würden ungefähr 100 Shows nicht den Zustand durchlaufen, der Gegenstand der Untersuchung ist. Ursache dafür ist, dass bei einem hinter Tor 3 verborgenen Auto der Moderator gezwungen ist, Tor 2 zu öffnen. Solche Spielverläufe liegen aber außerhalb des Untersuchungsbereichs, so dass die nach einem Torwechsel stets erzielten Gewinne bei der Versuchsreihenauswertung unberücksichtigt bleiben müssen.[11]>

Die Quelle (frei zugänglich hier; ganz allgemein kann man übrigens bei Anmeldung bei JSTOR alle 13 Tage 2 Artikel kostenfrei ansehen, leider nicht als PDF) sagt dazu, was eigentlich selbstverständlich ist:

... This is a correct simulation for the unconditional problem, but not for the conditional problem. The correct simulation for the conditional problem is of course to examine only those trials where door 3 is opened by the host.

P.S. @Geodel: Es wäre für WP-Leser sicher hilfreich, wenn in

... manche Autoren ihrer Lösung vos Savants Originaltext, manchmal mit unbedeutenden Veränderungen, zugrunde legen und ihre Zusatzannahmen erst im Laufe ihrer Analyse explizit machen. Andere Autoren verwenden als Ausgangspunkt ihrer Berechnungen vollständige Fragestellungen, die bereits alle zu ihrer Lösung nötigen Informationen beinhalten.

die kursiv gesetzten Teil dort oder weiter oben (bei der Beschreibung der verschiedenen Probleme) mittels Referenzen belegt würden. Vages Geschwafel steht ja nun schon weiß Gott genug im Lemma, und wenn, dann muss der Einwand vor der ersten Referenz stehen (Morgan et al, Behrends, Henze, Bewersdorff werden doch schon weiter oberhalb ziteriert. Warum wird der Leser dort nicht vor dem „Giftschrank“ gewarnt?)

--Lefschetz (Diskussion) 18:54, 4. Jan. 2014 (CET)

Ja, danke, so ein kurzer spieltheoretischer Abschnitt am Ende (für den „fortgeschrittenen“ Leser) finde ich prima.

Zu der Stelle in Morgan et al. (übrigens Danke für den Hinweis auf Register & Read) denke ich, dass sie dort nur darauf hinweisen, dass man aufpassen muss, welche Fragestellung man experimentell überprüft (bedingt oder unbedingt), und noch anmerken, dass die Simulation bedingter Wahrscheinlichkeiten für Anfänger schwer verständlich sein kann. Aber im Artikel klingt es momentan so, als gäbe es hier irgendwelche grundsätzlichen Probleme. -- HilberTraum (Diskussion) 09:43, 5. Jan. 2014 (CET)

Der Abschnitt zur Fachliteratur kann sich zu einer sinnvollen Ergänzung zum bisherigen Artikel entwickeln. Auch die einleitenden Bemerkungen dort sollten natürlich belegt werden, was aber kein Problem sein dürfte. Für die meisten Aussagen dort gibt es sogar eine kaum überschaubare Menge an Quellen. Man könnte einfach eine möglichst große Publikationsliste durchgehen und geeignete auswählen. Da ergibt sich aber die Frage zur gesamten Struktur dieses Abschnitts: Soll man nur darauf achten, dass für die zusammenfassenden Bemerkungen am Anfang die entsprechende Literatur (evtl. "zahlreich" usw.) in den Folgeabschnitten aufgelistet wird, oder sollen schon in der Zusammenfassung sämtliche Verweise stehen? Oder soll diese Zusammenfassung entfallen und zu den einzelnen Aspekten - wie bisher - ein separater Absatz mit den entsprechenden Hinweisen und Zitaten erstellt werden?

Ich selbst kann bei den anstehenden Änderungen und Ergänzungen des Artikels aus Zeitgründen nicht mitarbeiten. Meine bisherigen Vorschläge zu Verbesserungen gelten weiterhin. Es wäre z.B. schon einen Versuch wert, auf sämtliche Grafiken, die ja ohnehin erläuternde Sätze zum Verständnis beinhalten, zu verzichten, und den dort dargestellten Sachverhalt in einfachen Sätzen auszudrücken.--Albtal (Diskussion) 07:19, 6. Jan. 2014 (CET)

Soeben wurde mein folgender Eintrag aus dem einleitenden Absatz des Literaturabschnitts wieder entfernt:

In der Fachliteratur wird in der Regel auf die zahlreichen Ablehnungen der Zwei-Drittel-Lösung als Resultat einer fehlerhaften Intuition hingewiesen, auch wenn die dieser Kritik zugrundeliegende publizierte Aufgabenstellung die entscheidende Voraussetzung für deren Richtigkeit gar nicht enthielt. Andererseits finden bisher die zahlreichen Belege für die Auffassung, die Zwei-Drittel-Lösung lasse sich auch ohne die erforderliche Spielregel beweisen, in der Fachwelt noch keine Berücksichtigung.

Diese Aussagen zu belegen (s.o.), anstatt sie zu entfernen, wäre auch nicht schlecht gewesen.--Albtal (Diskussion) 07:34, 6. Jan. 2014 (CET)

(Nur) Zu Deiner Frage Da ergibt sich aber die Frage zur gesamten Struktur dieses Abschnitts: Soll man nur darauf achten, dass für die zusammenfassenden Bemerkungen am Anfang die entsprechende Literatur (evtl. "zahlreich" usw.) in den Folgeabschnitten aufgelistet wird, oder sollen schon in der Zusammenfassung sämtliche Verweise stehen?:

Ein Beleg muss dort stehen, wo die Aussage getroffen wird (im Satzteil, am Satzende, spätestens am Ende des Abschnitts: der Leser muss den Beleg finden und zuordnen können). Wo Du eine Aussage am besten triffst, ist erst mal Deine Sache. Natürlich wird die Aussage deutlicher, wenn Du sie direkt bei der bereits vorhandenen Referierung der Quelle angibst. Genau das hast Du ja bei Georgii gemacht und ist in diesem Fall inzwischen Konsens. Übrigens gibt es keine Arbeitsteilung für WP-Autoren, die als als Generalisten um das Schöne kümmern, und solche, die im mühseliger Arbeit Belege nachtragen.--Lefschetz (Diskussion) 09:02, 6. Jan. 2014 (CET)

Lefschetz: "Hier werden Quellen referiert"

... aber offensichtlich nicht gelesen. Wenn du das nachholst, wirst du sehen, dass ich Georgii (S. 56) sehr genau wiedergegeben habe.

Mache also bitte deine überhastete Löschung wieder rückgängig.

Oder lass einfach meine neueste Version von 19.59 Uhr drin, die offensichtlich in Parallelbearbeitung entstanden ist.--Albtal (Diskussion) 21:10, 4. Jan. 2014 (CET)

Immer wieder faszinierend zu sehen, wie die hier tätigen Koryphäen aufeinanderprallen … wie dem auch sei: @Albtal: Dein Satz „Verbreitet ist auch die These, dass die Zusatzannahmen, die die Lösung erst begründen, implizit auch von denen getroffen worden seien, die auf der Basis der Aufgabe, die ohne diese Zusatzannahmen gestellt worden war, zu einer anderen Lösung gekommen waren“ ist auch nach mehrmaligem Lesen schlicht unverständlich. Würdest du das bitte erläutern? Oder am besten gleich im Artikel selbst so umschreiben, dass das verständlich wird? Danke, Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   21:39, 4. Jan. 2014 (CET)

Ja, ich habe den Satz etwas vereinfacht.--Albtal (Diskussion) 22:01, 4. Jan. 2014 (CET)

Eigentlich finde ich es auch faszinierend, dass fast zu jedem Aspekt des Problems, der hier aus "reputablen" Quellen ans Licht kommt, schon in der Fundgrube etwas zu finden ist. Schon die beiden Leserbriefe an DIE ZEIT aus dem Jahr 1991, die dort als "Anhang" zu finden sind, beinhalten sowohl einfache und klare Lösungen zum korrekt gestellten Problem, als auch Gegenbeispiele, die belegen, dass die Zwei-Drittel-Lösung ohne die entscheidende Spielregel falsch ist. Im ersten Leserbrief auf Seite 2 wird zum Beispiel genau die Variante behandelt, auf die sich Georgii an der hier diskutierten Stelle bezieht. Die Variante, bei der der Moderator zufällig eine der beiden nicht gewählten Türen öffnet, kommt in dem Artikel der Fundgrube als Übungsaufgabe vor. Auch kommt im ersten Leserbrief die Variante mit 100 Türen vor, die der Erklärung Marilyn vos Savants mit einer Million Türen entspricht; im zweiten das Gegenbeispiel, auf das Martin Gardner ungefähr zeitgleich in der New York Times hingewiesen hat. Und die Auseinandersetzung zwischen "Frequentisten" und "Bayesianern", die nach jahrelangem Streit auf der englischen Wikipedia jetzt auch hier Einzug zu halten scheint, wird dort leserfreundlich kurz im Kleingedruckten abgehandelt. Dass sich das Ziegenproblem, das um die Welt ging, dort sogar als Scherzaufgabe erweist, ist ja für die Unterhaltung auch nicht schlecht. Wer also sowohl über das Ziegenproblem selbst als auch über die Debatte dazu entspannt informiert werden möchte, liegt mit der Fundgrube genau richtig.--Albtal (Diskussion) 22:45, 4. Jan. 2014 (CET)

@Albtal:Ich räume ein, dass ich mir die Mühe hätte machen sollen, dass nicht nur in der Zusammenfassungszeile zu schreiben. Aber: Zum Zitieren gehört natürlich auch, dass dann der erlätuernde nächste Satz angefügt wird:

...= 1/2. Dies ist gerade die Antwort der Kritiker!

Ähhnlich wie beim Bertrand’schen Paradoxon beruhen die verschiedenen Antworten auf einer unterschiedlichen Interpretation einer unscharf gestellten Aufgabe.

Ich schätze den Kollegen Georgii, weil weil er nicht nur Formeln und Beweise bringt, sondern auch erläutert. Aber in diesem Textzusammenhang mit der Überschrift Weitere mathematisch untersuchte Varianten geht es nicht primär um die Ergebnisse, sondern schlicht darum, die Vielfalt der Modelle, die einige im weitesten Sinn kompatibel zu der Problembeschreibung halten. Nur für die Tatsache, dass das überhaupt schon jemand mal ins Auge gefasst hat, habe ich auf Georgii verwiesen. Auch die Variante davor lieferte bereits den Wert 1/2.

Am Rande: Ich wundere mich eigentlich vielmehr, warum trotz meiner Hinweises immer noch keiner „abfährt“ auf „finale“ 1/2-Ergebnis von Morgan et al 2010:

We reproduce here, for the first time, the key section from Craig F. Whitaker’s letter to vos Savant, exactly as he wrote it (including grammatical errors; a copy of the original letter was obtained from Mr. Whitaker, and provided to us, by Mike D’Orso, then of the Virginian Pilot):

“I’ve worked out two different situations (based on Monty’s prior behavior i.e. weather or not he knows what’s behind the doors) in one situation it is to your advantage to switch, in the other there is no advantage to switch.”

“What do you think?”

In the context of the calculations here, which themselves are for a restricted version of the problem, there is no advantage to switch when q = 1 and hence 1/(1 + q) = 1/2. More pertinent, if the host randomly opens one of the two unselected doors (Monty does not know where the car is), then the more general problem as presented in our article shows the probability of winning by switching is again 1/2. Mr.Whitaker, if after twenty years you are still interested, this is your answer.

--Lefschetz (Diskussion) 22:24, 4. Jan. 2014 (CET)

Die Abschnittsversion, bei der ich Änderungen und Ergänzungen vorgenommen hatte, lautete:

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor öffnet. Steht dort eine Ziege, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Spieler beim Torwechsel offensichtlich 1/2.

Die von dir rückgängig gemachte Version mit meinen Georgii entsprechenden Änderungen und Ergänzungen lautete:

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor öffnet. Besteht diese Möglichkeit, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel entsprechend der "Antwort der Kritiker" 1/2.

Damit kein Zweifel besteht, habe ich diese Version - offensichtlich parallel zu deiner Löschung - folgendermaßen völlig nach Sinn und Wortlaut Georgiis ergänzt:

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor mit einer Ziege öffnet. Besteht diese Möglichkeit, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel entsprechend der "Antwort der Kritiker" auch dann 1/2, wenn er ein nicht gewähltes Ziegentor öffnet.

Diese quellentreue Präzisierung einfach rückgängig zu machen, ist ein starkes Stück.--Albtal (Diskussion) 23:24, 4. Jan. 2014 (CET)

Nur mal am Rande, was ein starkes Stück ist. Ich habe nicht „Deine quellentreue Präzisierung einfach rückgängig“ gemacht, sondern die erste Version. Mach Dir doch bitte mal die Mühe, ins Log zu schauen, bevor Du solche offensichtlich falschen Unterstellungen in die Welt setzt! Außerdem spielt nicht nur Quellentreue eine Rolle, sondern es muss auch passen – s.o. Mir wird langsam klar, warum dieses Lemma über weite Strecken inhaltlich eine einzige Katastrophe ist.

--Lefschetz (Diskussion) 23:46, 4. Jan. 2014 (CET)

Ich habe ja selbst geschrieben, dass ich meine zweite Version offensichtlich parallel zu deiner Löschung eingefügt habe. Dass du vorhattest, meine zweite Version stehen zu lassen, war aus deiner Reaktion nicht ersichtlich. Diese zweite Version entspricht genau der ersten, nur ist sie für die bessere Verständlichkeit redundant.

Der geänderte Satz lautete vor meiner ersten Änderung:

Steht dort eine Ziege, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Spieler beim Torwechsel offensichtlich 1/2.

Das ist, gerade auch die Stelle bei Georgii betreffend, nichtssagend und irreführend. Ich habe den Satz deshalb völlig nach Sinn und Wortlaut Georgiis folgendermaßen geändert und ergänzt:

Besteht diese Möglichkeit, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel entsprechend der "Antwort der Kritiker" 1/2.

Diese quellentreue Präzisierung einfach rückgängig zu machen, ist ein starkes Stück.--Albtal (Diskussion) 00:09, 5. Jan. 2014 (CET)

Unter Zusatzannahmen kontraintuitiv?

Ich finde es recht müßig, irgendwelche spekulativen Ausführungen über vermutlich implizit Angenommenes und dann in der Analyse doch nicht richtig Berücksichtigtes anzuführen. Der Satz der Einleitung sagt doch egtl. alles: „Vos Savants Antwort ist, obwohl unter Zusatzannahmen richtig, auch unter diesen Zusatzannahmen für viele Menschen sehr kontraintuitiv.“ --Chricho ¹ ² ³ 00:02, 5. Jan. 2014 (CET)

Dass Savants Antwort für viele Menschen angeblich kontraintuitiv ist, liegt in der Art und Weise begründet, wie diese Menschen üblicherweise mit dem Problem konfrontiert werden. Zuerst wird ihnen der Originaltext von Savant vorgelegt, der sich auf eine Spielshow bezieht, die ihnen genauso oder als ähnliches Format z.B. aus dem Fernsehen bekannt ist. Da sie nur Moderatoren kennen, die in dieser Show eine aktive und unberechenbare Rolle spielen, ist ihnen intuitiv sofort klar, dass der Kandidat aus dem Öffnen eines Ziegentors keine Rückschlüsse auf die beiden geschlossenen Tore ziehen kann, die eine 50:50-Gewinnchance ausschließen. Und der Moderator kann ja jedes Tor öffnen, also auch, wenn er will, ein nichtgewähltes Ziegentor. Wenn er das gewählte Tor öffnet und eine Ziege zeigt und daraufhin einen Wechsel anbietet, ist diese 50:50-Gewinnchance für die beiden anderen Tore doch offensichtlich.

Daraufhin wird den Menschen gesagt, ihre Lösung sei falsch. Sie hätten die angeblich selbstverständlichen Verhaltensregeln des Moderators nicht berücksichtigt, die ihnen jetzt erst im Nachhinein vorgestellt werden. Im Hirn dieser Menschen tobt nun ein Kampf zwischen dem vertrauten Bild eines Moderators, der frei und unberechenbar agiert, und dem unrealistischen Bild eines Moderators, der sich an solche seltsamen Regeln hält. Diese Verwirrung der Menschen in Verbindung mit einer Trotzreaktion gegenüber dem Fragesteller, von dem sie sich an der Nase herumgeführt fühlen, kann letztendlich dazu führen, dass sie auf ihrer zunächst richtigen (Indifferenzprinzip), unter den Zusatzannahmen aber falschen 50:50-Antwort beharren.

Wenn diesen Menschen von vornherein eine vollständige Problemformulierung vorgelegt worden wäre, wären sie davor geschützt, ihr vertrautes realistisches Moderatorbild zu aktivieren. Eine solche Formulierung könnte z.B. so aussehen:

"Nehmen Sie an, Sie könnten in einer Spielshow ein Auto gewinnen und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist das Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Das Spiel läuft nach den folgenden Regeln ab:

Sie wählen ein Tor, welches zunächst geschlossen bleibt. Der Showmaster, der weiß wo sich das Auto befindet, muss nun ein anderes Tor mit einer Ziege dahinter öffnen und Ihnen daraufhin einen Wechsel zum zweiten geschlossenen Tor anbieten.

Sie wählen, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster öffnet, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ,Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?

Schüler der Oberstufe beispielsweise, die sich gerade mit Wahrscheinlichkeitsrechnung und bed. W'keiten beschäftigt haben, werden ziemlich schnell auf den Trichter kommen, bei ihren Berechnungen diese Spielregeln zu beachten. --Geodel (Diskussion) 13:55, 5. Jan. 2014 (CET)

„Dass Savants Antwort für viele Menschen angeblich kontraintuitiv ist, liegt in der Art und Weise begründet, wie diese Menschen üblicherweise mit dem Problem konfrontiert werden. […] Da sie nur Moderatoren kennen, die in dieser Show eine aktive und unberechenbare Rolle spielen, ist ihnen intuitiv sofort klar, dass der Kandidat aus dem Öffnen eines Ziegentors keine Rückschlüsse auf die beiden geschlossenen Tore ziehen kann …“ Dies ist nicht der Grund für die Schwierigkeiten vieler Menschen mit der 2/3-Lösung. Die Konsequenzen aus den unklaren Regeln, die Freiheiten des Moderators – alle diese Dinge sind nicht die Ursache für die Verständnisprobleme, denn so weit denken die Menschen im ersten Schritt nicht. So gut wie alle Personen, die sich mit dem Problem noch nicht näher beschäftigt hatten, vermuten die 50:50-Lösung mit der Begründung: „Die Wahrscheinlichkeit für das Auto ist bei jeder Türe gleich, und jetzt gibt es nur noch zwei Türen, also ist die Wahrscheinlichkeit 50:50.“ Dass die Schlüsse, die aus dem Öffnen einer Ziegentür gezogen werden können, von den zugrunde liegenden Regeln abhängen und dass bei mehr Freiheiten für den Moderator sogar spieltheoretische Aspekte eine Rolle zu spielen beginnen, die über die rein wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung hinausgehen, wird von den meisten Menschen auf Anhieb doch gar nicht erkannt. Im Gegenteil: Die Menschen ignorieren überhaupt, dass die Regeln und das Verhalten des Moderators einen Einfluss auf die resultierende Wahrscheinlichkeit haben. Die Menschen denken eben nicht, dass man aus dem Verhalten des Moderators deshalb keine Schlüsse ziehen kann, weil die Aufgabenstellung unvollständig ist, sie denken vielmehr überhaupt nicht daran, dass man aus dem Verhalten des Moderators überhaupt irgendwelche Schlüsse ziehen könnte – zwei Türen bedeuten einfach in jedem Fall 50:50.
Das in der Einleitung des Artikels angesprochene Kontraintuitive des Ziegenproblems bezieht sich eben darauf, dass viele Leute sich selbst im „Standardfall“ und unter Zugrundelegung aller notwendigen Annahmen, die die 2/3-Lösung richtig machen, weigern, dies als richtig zu akzeptieren. Die Behauptung, dass die Leute, die die 2/3-Lösung ablehnen, dies aufgrund intuitiven Erfassens der Unvollständigkeit der Aufgabenstellung etc. tun würden, ist jedenfalls im weit überwiegenden Normalfall falsch. So weit denkt man nicht im ersten Schritt nicht, und „intuitiv“ schon gar nicht. Die Leute lehnen die 2/3-Lösung grundsätzlich und in jedem Fall ab, weil sie sich bei zwei Türen etwas anderes als 50:50 nicht vorstellen können. Sie verstehen nicht, dass 2/3 bei gewissen Zusatzannahmen sehr wohl richtig ist und weigern sich deshalb auch dann, die 2/3 zu akzeptieren, wenn die vorstehend genannten Präzisierungen ausdrücklich vorausgesetzt werden. Die Menschen liegen nicht aus richtiger Intuition richtig, sondern aus falschen Überlegungen falsch. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   15:27, 5. Jan. 2014 (CET)

Zuallererst werden die Leute üblicherweise nicht mit dem vollständigen Standardproblem konfrontiert, sondern mit Savants Originaltext. Und dort steht nichts, was sie an der 50:50-Lösung zweifeln lassen könnte, also müssen sie auch nicht groß darüber nachdenken. Nur das explizite Benennen von Spielregeln in der Fragestellung kann dazu führen, dass sie innehalten und weitere Überlegungen anstellen. Die Leute können die Regeln benutzen, um das Spiel mehrmals durchzuführen und sich dabei klarzumachen, was dabei passiert. Die richtige Lösung ist dann nur eine Frage der Zeit. Die Intuition spielt dann keine so große Rolle mehr. --Geodel (Diskussion) 16:45, 5. Jan. 2014 (CET)

Meine persönliche Erfahrunge (ja, ich weiß, darum geht es hier nicht) ist nun mal, dass die meisten Menschen nicht deshalb 50:50 für richtig halten, weil in der Aufgabenstellung nichts steht, was sie daran zweifeln lassen könnte, sondern weil für sie zwei Türen automatisch immer zu 50:50 führt. Mit der Unvollständigkeit der Aufgabenstellung bzw. unterschiedlichen Interpretationen oder Zusatzannahmen hat das nichts zu tun. Viele Menschen haben nun mal auch dann Probleme, die 2/3-Antwort zu akzeptieren, wenn diese durch entsprechende Klarstellungen bzw. Zusatzannahmen richtig ist – das ist das Kontraintuitive dieses Problems. Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   12:13, 7. Jan. 2014 (CET)

@Troubled@sset: Warum findest du eigentlich die 2/3-Lösung richtig und nicht die 50:50-Lösung?--Albtal (Diskussion) 19:35, 6. Jan. 2014 (CET)

Sorry, aber – ist das eine Fangfrage? Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   12:14, 7. Jan. 2014 (CET)

Wegen der Kontraintuitivität: Ich weiß nicht, ob ihr folgende Aufgabe kennt, die zum Ziegenproblem äquivalent ist, aber bei der die Zusatzannahmen klar sind und trotzdem die meisten Menschen (auch Mathematiker ;) erstmal intuitiv die falsche Antwort geben: In einem Beutel sind drei Münzen, eine normale mit Kopf und Wappen, eine auf der vorne und hinten Kopf ist und eine auf der vorne und hinten Wappen ist. Man greift blind eine Münze heraus und legt die gezogene Münze vor sich hin (oder wirft sie in die Luft). Dann darf man erst schauen: Die Münze zeigt Kopf, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auf der anderen Seite ebenfalls Kopf? -- HilberTraum (Diskussion) 12:54, 7. Jan. 2014 (CET)

Da es bei drei Münzen insgesamt sechs Seiten gibt, kann der genannte Versuch sechs Ergebnisse haben, die gleich wahrscheinlich gezogen werden. Ich sehe …

• Kopf als eine Seite der Doppel-Kopf-Münze
• Kopf als die andere Seite der Doppel-Kopf-Münze
• Kopf als die Kopf-Seite der normalen Münze
• Wappen als die Wappen-Seite der normalen Münze
• Wappen als eine Seite der Doppel-Wappen-Münze
• Wappen als die andere Seite der Doppel-Wappen-Münze

Wenn ich also Kopf sehe, ist eines der drei ersten Ereignisse eingetreten. Da alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, sind auch diese drei Ereignisse gleich wahrscheinlich. In einem der drei Fälle (im dritten der Aufzählung, ich habe die normale Münze gezogen) ist auf der anderen Seite das Wappen, in zwei von drei Fällen ist auf der anderen Seite wieder Kopf, nämlich in den beiden Fällen, wenn ich auf eine der beiden Kopf-Seiten der Doppel-Kopf-Münze schaue.
Sehr gutes Beispiel für ein nicht intuitives Ergebnis – auch bei eindeutigen Regeln … Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   18:33, 7. Jan. 2014 (CET)

Formale Berechnung: (Legende: DK = Doppel-Kopf-Münze, NM = normale Münze, DW = Doppel-Wappen-Münze; K = Kopf sichtbar)

$P(DK)=P(NM)=P(DW)={1 \over 3}$  (alle drei Münzen sind a priori gleich wahrscheinlich)

$P(K\mid DK)=1$  (sicher Kopf sichtbar, wenn DK gezogen)

$P(K\mid NM)={1 \over 2}$  (50 Prozent Kopf, wenn NM gezogen)

$P(K\mid DW)=0$  (DW hat keine Kopf-Seite)

$P(K)=P(K\mid DK)\cdot P(DK)+P(K\mid NM)\cdot P(NM)+P(K\mid DW)\cdot P(DW)=1\cdot {1 \over 3}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 3}+0\cdot {1 \over 3}={1 \over 2}$  (totale Wahrscheinlichkeit, Kopf zu sehen)

Damit ist $P(DK\mid K)={\frac {P(K\mid DK)\cdot P(DK)}{P(K)}}={{1\cdot {1 \over 3}} \over {1 \over 2}}={2 \over 3}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kopf, den man sieht, auf der Doppel-Kopf-Münze ist, beträgt daher 2/3. Da in diesem Fall auch auf der anderen Seite ein Kopf ist, ist in zwei Drittel der Fälle, wenn man einen Kopf sieht, auch auf der anderen Seite ein Kopf.
Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   19:26, 7. Jan. 2014 (CET)

Ja genau! Ich denke bei dieser Aufgabe gibt es (auch bei Leuten, die sich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung auskennen) die „Versuchung“, sie einfacher lösen zu wollen – und dann falsch. Zum Beispiel ungefähr so: Weil die Münze Kopf zeigt, kann es nicht die Doppelwappenmünze sein, also ist es entweder die Doppelkopfmünze (dann ist auch der anderen Seite auch Kopf) oder die normale Münze (dann ist auf der anderen Seite Wappen). Weil die Münzen mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wurden, ist also die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich 1/2. Man sieht auch, dass die Überlegungen sehr ähnlich zum Ziegenproblem sind.

Übrigens: Das hat zwar nichts mehr mit dem Ziegenproblem zu tun, aber wenn jemand noch eine kleine „Herausforderung“ will, die Aufgabe geht noch weiter: Man schließt wieder die Augen und wirft die gezogene Münze noch mal in die Luft. Wenn man nachschaut, zeigt sie wieder Kopf. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass auf der anderen Seite auch Kopf ist? :) -- HilberTraum (Diskussion) 20:12, 7. Jan. 2014 (CET) -- HilberTraum (Diskussion) 20:12, 7. Jan. 2014 (CET)

Lösung mit Worten: Hier gibt es zwölf gleich wahrscheinliche Ereignisse:

• 1. Ziehen: Kopf als eine Seite der Doppel-Kopf-Münze
  • (1) 2. Werfen: Kopf der gleichen Seite der Doppel-Kopf-Münze
  • (2) 2. Werfen: Kopf der anderen Seite der Doppel-Kopf-Münze
• 1. Ziehen: Kopf als die andere Seite der Doppel-Kopf-Münze
  • (3) 2. Werfen: Kopf der gleichen Seite der Doppel-Kopf-Münze wie beim 1. Ziehen
  • (4) 2. Werfen: Kopf der anderen Seite der Doppel-Kopf-Münze als beim 1. Ziehen
• 1. Ziehen: Kopf-Seite der normalen Münze
  • (5) 2. Werfen: Noch einmal Kopf der normalen Münze
  • (6) 2. Werfen: Wappen der normalen Münze
• 1. Ziehen: Wappen der normalen Münze
  • (7) 2. Werfen: Kopf der normalen Münze
  • (8) 2. Werfen: noch einmal Wappen der normalen Münze
• 1. Ziehen: Wappen als die Wappen-Seite der normalen Münze
  • (9) 2. Werfen: Wappen der gleichen Seite der Doppel-Wappen-Münze
  • (10) 2. Werfen: Wappen der anderen Seite der Doppel-Wappen-Münze
• 1. Ziehen: Wappen als die andere Seite der Doppel-Wappen-Münze
  • (11) 2. Werfen: Wappen der gleichen Seite der Doppel-Wappen-Münze wie beim 1. Ziehen
  • (12) 2. Werfen: Wappen der anderen Seite der Doppel-Wappen-Münze als beim 1. Ziehen

Wenn ich also nach dem Ziehen einer Münze Kopf sehe und dann nach dem Flippen dieser Münze noch einmal Kopf sehe, ist eines der ersten fünf Ereignisse eingetreten. Da alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, sind auch diese fünf Ereignisse gleich wahrscheinlich. In einem der fünf Fälle (im fünften der Aufzählung, ich habe die normale Münze gezogen und zwei Mal Kopf gesehen) ist auf der anderen Seite das Wappen, in vier von fünf Fällen ist auf der anderen Seite wieder Kopf, nämlich in den vier Fällen, wenn ich die Doppel-Kopf-Münze gezogen habe. In diesem Fall sehe ich auch nach dem Flippen jedesmal wieder einen Kopf. Wenn ich die normale Münze gezogen habe und Kopf sehe, sehe ich nach dem Werfen nur jedes zweite Mal wieder den Kopf.

Formale Berechnung (Legende wie oben: DK = Doppel-Kopf-Münze, NM = normale Münze, DW = Doppel-Wappen-Münze; 2K = zwei Mal Kopf)

$P(DK)=P(NM)=P(DW)={1 \over 3}$  (alle drei Münzen sind a priori gleich wahrscheinlich)

$P(2K\mid DK)=1$  (sicher zwei Mal Kopf sichtbar, wenn DK gezogen)

$P(2K\mid NM)={1 \over 4}$  (in einem Viertel der Fälle zwei Mal Kopf sichtbar, wenn NM gezogen)

$P(2K\mid DW)=0$  (DW hat keine Kopf-Seite)

$P(2K)=P(2K\mid DK)\cdot P(DK)+P(2K\mid NM)\cdot P(NM)+P(2K\mid DW)\cdot P(DW)=1\cdot {1 \over 3}+{1 \over 4}\cdot {1 \over 3}+0\cdot {1 \over 3}={5 \over 12}$  (totale Wahrscheinlichkeit, zwei Mal Kopf zu sehen)

Damit ist $P(DK\mid 2K)={\frac {P(2K\mid DK)\cdot P(DK)}{P(2K)}}={{1\cdot {1 \over 3}} \over {5 \over 12}}={4 \over 5}$ .

Gegenprobe: $P(NM\mid 2K)={\frac {P(2K\mid NM)\cdot P(NM)}{P(2K)}}={{{1 \over 4}\cdot {1 \over 3}} \over {5 \over 12}}={1 \over 5}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kopf, den man nach dem Flippen sieht, auf der Doppel-Kopf-Münze ist, beträgt daher 4/5. Da in diesem Fall auch auf der anderen Seite ein Kopf ist, ist in vier Fünftel der Fälle, wenn man zwei Mal einen Kopf sieht, auch auf der anderen Seite ein Kopf.
Grüße, Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   01:23, 8. Jan. 2014 (CET)

Wow, da hat aber jemand beim Thema bedingte Wahrscheinlichkeit gut aufgepasst ;-) Das sieht nach voller Punktzahl in der Matheklausur aus … :-) Ich finde, bei dieser Aufgabe sieht man gut, wie die Wahrscheinlichkeiten von anfangs 1/3 durch die gesammelten Informationen nach und nach immer eindeutiger werden. -- HilberTraum (Diskussion) 09:15, 8. Jan. 2014 (CET)

Das lässt sich verallgemeinern: Nach n-maligem "Kopfwurf" beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 2**n/(2**n + 1).--Albtal (Diskussion) 14:45, 8. Jan. 2014 (CET)

Ja, das stimmt. Und die Wahrscheinlichkeit geht für große n gegen 1, wie zu erwarten. Aber wenn irgendwann mal Wappen fällt, dann ist auf der anderen Seite ganz sicher Kopf ;) Danke für euer Interesse an dem Beispiel. -- HilberTraum (Diskussion) 19:26, 8. Jan. 2014 (CET)

Bedeutung der englischsprachigen Wikipedia

Ich bin der Meinung, dieser Abschnitt ist hier absolut unpassend. Der erwähnte Autor Gill nimmt ja offensichtlich nicht nur an der Diskussion auf en.wp teil sondern hat auch große Teile des Artikels dort mitverfasst. Und er taucht auch mehrmals als Quelle in den dortigen Referenzen auf. Das Ganze ist eine seltsame Vermischung von wissenschaftlicher und WP-Tätigkeit und lässt nicht nur auf eine unzulässige Einflussnahme auf den Artikel schließen sondern es riecht auch stark nach Selbstbeweihräucherung. Außerdem sollten keine Wikipedia-Autoren (W. Nijdam und Martin Hogbin) im Artikeltext erwähnt werden. Der ganze Abschnitt sollte dementsprechend gelöscht werden! --Geodel (Diskussion)

Nijdam und Martin Hogbin sind nicht nur WP-Autoren sondern haben auch einen Artikel bzw. Leserbrief zum MHP in einer Fachzeitschrift (American Statistician) veröffentlicht, in dem sie einen Fehler aus der Publikation von Morgan et al beschreiben/korrigieren. Da Morgan et al eine zentrale Publikation im frühen Streit ums Savants Kolumne war, ist es durchaus berechtigt bzw. sinnvoll Nijdam/Hogbin zumindest in einem historischen Abriss wegen ihrem Leserbrief zu erwähnen aber nicht wegen ihrer Tätigkeit in der WP.

Dass der en.wp Artikel in einigen neueren Publikationen zum MHP erwähnt wird (vor allem auch im Standarwerk von Rosenhouse) ist richtig, aber ich finde auch dass Gill in seiner Formulierung/Beschreibung (auf en.wp) da etwas übertreibt. Ein besondere Bedeutung kommt dem Artikel auf en.wp bisher wohl kaum zu, noch wird er verstärkt oder gar häufig zitiert, sondern lediglich in einigen (wenigen) neueren Publikationen zum MHP erwähnt.

Dass Experten in einem Thema (zu dem sie auch selbst veröffentlicht haben) in der WP mitschreiben ist durchaus erwünscht. Allerdings müssen sie natürlich (wie alle anderen Autoren auch !) eine zusammenfassende neutrale Wiedergabe der (Fachh-)Literatur erstellen und können sich nicht einfach auf die in ihren eigenen Publikationen vertretenen Ergebnisse und Ansichten beschränken (also keinen "POV puschen"). Soweit ich das beurteilen kann, fasst Gill die Literatur korrekt zusammen und stell weder seine eigenen Publikationen noch seine persönlichen Ansichten über Gebühr in den Vordergrund.--Kmhkmh (Diskussion) 00:22, 7. Jan. 2014 (CET)

@Geodel: Angesichts der Tatsache, dass der Artikel insgesamt nach gemeinsamer Einschätzung mehrerer Teilnehmer der oben angeführten Diskussion ein Beleg-Defizit aufweist, ist es schon etwas merkwürdig, dass gerade ein Abschnitt, der zwei solche Belege wiedergibt, gelöscht werden soll.

Natürlich macht WP normalerweise keine Selbstreflektion, aber WP selbst kann natürlich relevant werden – und nur das zählt (siehe zum Beispiel Atze Schröder).

@Kmhkmh: Ich kann Deinen Argumenten absolut folgen, auch in den Punkten, die gegen eine Erwähnung der WP sprechen! Ich habe mich allerdings nicht von meiner eigenen Meinung leiten lassen, ob Gill richtig liegt oder etwas überbewertet, sondern ich gebe reputable Sekundär- und Primärliteratur wieder. Gill hält es für mitteilungswert und das gebe ich wieder. Konkret gebe ich die Tatsache wieder, dass der Fehler in einer 19 Jahre alten Arbeit im Rahmen einer WP-Diskussion aufgefallen sei (spricht für eine gute Arbeit mit Quellen). Natürlich habe ich die Sache auch selbst gecheckt, auch die WP-Autorenschaft von Gill ist mir aufgefallen. Wichtiger ist aber der Fakt, dass Nijdam und Hogbin, ganz entgegen den Gewohnheiten des Journals, nicht mit einer Institution („State University of XY“) oder Wohnort aufgeführt sind. Das heißt, Sie schreiben unter Ihrem WP-Pseudonym, das in einem Fall mit dem Echtnamen übereinstimmen zu scheint. Ich habe diese Tatsache nicht in den Artikel geschrieben, weil es primary research wäre. Aber es hat mich darin bestärkt, der bei Gill zitierten Tatsache WP-Relevanz zuzuweisen.

Natürlich ist meine Auswahl unvollständig (bei drei Türen muss man halt erst mal eine aussuchen und dann schauen, ob man seine Wahl im zweiten Schritt verbessern kann ...). Verbesserung (und NPOV) erreichen wir aber nicht durch Streichungen reputabler Quellen sondern durch Ergänzungen. Darüber würde ich mich ausgesprochen freuen!

--Lefschetz (Diskussion) 12:39, 7. Jan. 2014 (CET)

Bei Atze Schröder geht es um etwas ganz Anderes, nämlich um den Artikel, der seine Person zum Thema hat.

Es geht nicht darum, Belege zu löschen, denn zwei der drei angegebenen Referenzen werden schon an anderen Stellen genannt, bleiben also im Artikel erhalten. Die dritte Referenz scheint ein so spezielles Problem zu behandeln, dass sie für diesen Artikel nicht wirklich relevant ist und bestenfalls, wie von Kmhkmh vorgeschlagen, in einem historischen Abriss erwähnt werden sollte. Im zu löschenden Abschnitt steht ja auch:"Allerdings betrifft der Fehler sehr grundsätzliche, hier nicht wiedergegebene Aspekte."

Zitat aus dem Abschnitt:"...auch wenn viele der dort ausgetragenen Auseinandersetzungen Kämpfe um die falsche Fragen seien." Was ist daran für den Artikel hier interessant?

Du sagst:"Ich habe mich allerdings nicht von meiner eigenen Meinung leiten lassen, ob Gill richtig liegt oder etwas überbewertet, sondern ich gebe reputable Sekundär- und Primärliteratur wieder. Gill hält es für mitteilungswert und das gebe ich wieder." Natürlich hast du dich von deiner eigenen Meinung leiten lassen, als du beschlossen hast, Gill zu zitieren. Was soll denn aus dem Artikel werden, wenn jeder alles hineinschreibt, was eine angeblich reputable Quelle für mitteilenswert hält? Er würde in einem Wust von Zitaten ersticken und wäre völlig unleserlich. Willst du das? --Geodel (Diskussion) 16:35, 7. Jan. 2014 (CET)

Was soll denn aus dem Artikel werden, wenn jeder alles hineinschreibt, was eine angeblich reputable Quelle für mitteilenswert hält? Er würde in einem Wust von Zitaten ersticken und wäre völlig unleserlich. Willst du das? Als eine Instanz der Klasse jeder bin ich der Meinung, dass er nur besser werden kann. Heute ist er nämlich von seiner Struktur und seinem didaktischen Aufbau Murks.

Im zu löschenden Abschnitt: Schön das Gerundiv als Vorwegnahme eines Diskussionergebnisses. Stillgestanden!

auch wenn viele der dort ausgetragenen Auseinandersetzungen Kämpfe um die falsche Fragen seien: Habe ich gestrichen, weil WP-Relevanz wirklich nicht gesichert (bin halt [zu] stolzer Wikipedianer, mein subjektiver Fehler). Täte mir leid, wenn Du das Zitat perönlich genommen hättest.

Bei Atze Schröder geht es um etwas ganz Anderes, nämlich um den Artikel, der seine Person zum Thema hat.: Klar da geht's um eine Person, hier nur um Monty Hall, sein Auto und seine Ziegen. Die Frage ist nur: Spielt WP eine Rolle im Sinne der Relevanz, die WP selbst setzt.

--Lefschetz (Diskussion) 22:13, 7. Jan. 2014 (CET)

Du bringst kein einziges Argument, welches einen eigenen Abschnitt zu en.wp rechtfertigt. Die paar Sätze können genausogut, wenn überhaupt, in einem historischen Abriss untergebracht werden. Dir ist anscheinend nur daran gelegen, im Artikel hier dem englischsprachigen Wikipedia-Artikel eine übertriebene Bedeutung zuzumessen. --Geodel (Diskussion) 23:37, 7. Jan. 2014 (CET)

Keine Argumente? Dem Analogon Atze Schröder hast Du nichts mehr entgegengesetzt. Außerdem ist die per Referenz dokumentierte Kausalität für das Entstehen der Korrektur ja wohl Relevanz genug.

Da ich aber keine Lust auf lange Debatten habe und ich Deinen Ausführungen entnehme, dass es Dir anscheinend um den Verweis auf die englische WP geht: Ich kann das Wort englisch gerne zweimal streichen, wenn das dann der Konsens ist. WP ist eh' ein internationales Projekt.

--Lefschetz (Diskussion) 17:32, 8. Jan. 2014 (CET)

Das Ziegenproblem mit beliebiger Wahrscheinlichkeit oder auch: Jeder hat recht

In Abhängigkeit von dem Verhalten des Moderators lässt sich jede beliebige Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 für den Gewinn nach Wechsel einstellen.

Wahrscheinlichkeit 0 nach Wechsel (zum Aufwärmen): Der Moderator zeigt das leere Tor nur dann, wenn der Spieler das richtige Tor erraten hat. In diesem Fall ist die Gewinnwahrscheinlichkeit nach Wechsel 0.

Beliebige Wahrscheinlichkeit: Der Moderator geht seinem mathematischen Hobby nach und führt vor der Show ein Zufallsexperiment durch, das mit der Wahrscheinlichkeit P das Ereignis A liefert. Wenn ein Kandidat in der Show das richtige Tor gewählt hat und das Ereignis A nicht eingetreten ist, dann öffnet er eines der beiden leeren Tore. Wenn ein Kandidat in der Show das falsche Tor gewählt hat und das Ereignis A eingetreten ist, dann öffnet er das nicht gewählte falsche Tor. In diesem Fall ist die Gewinnwahrscheinlichkeit nach Wechsel des Tores genau P.

Wie damit gezeigt wurde, ist die Wahrscheinlichkeit einzig vom Verhalten des Moderators abhängig, ohne zusätzliche Annahmen kann die Wahrscheinlichkeit für Gewinn nach Wechsel des Tores nicht einmal näherungsweise bestimmt werden.

Von obigem Beweis ausgehend dürfte es wesentlich einfacher verständlich sein, die verschiedenen Zusatzannahmen und die davon abgeleiteten Wahrscheinlichkeiten zu begründen.

Für das intuitive Verständnis formulieren wir das Problem ein bisschen um:

Der Kandidat hat seinen Freund Joe als Moderator in die Show geschmuggelt. Dieser zeigt genau dann, wenn der Kandidat eines der falschen Tore gewählt hat, den Vorhang des zweiten falschen Tores zur Seite. Damit ist die Gewinnwahrscheinlichkeit nach Wechsel des Tores genau 1.

Der nächste Kandidat hat seinen Freund Fred als Moderator in die Show geschmuggelt. Fred ist dummerweise ab und zu betrunken und bringt dann die Dinge ein wenig durcheinander. Wenn Fred nüchtern ist handelt er wie Joe. Wenn er betrunken ist, dann zieht er stattdessen den Vorhang eines der beiden anderen Tore zur Seite, wenn der Kandidat das richtige Tor gewählt hat. Damit stimmt die Gewinnwahrscheinlichkeit nach Wechsel des Tores mit der Wahrscheinlichkeit überein, dass Fred nüchtern ist. Und diese wiederum kann frei gewählt werden. (nicht signierter Beitrag von 188.99.25.235 (Diskussion) 15:13, 16. Feb. 2014 (CET))

Das ist ja Alles schön und gut, aber was willst du damit zum Ausdruck bringen? --Geodel (Diskussion) 16:38, 19. Feb. 2014 (CET)

Faktisch gesehen veränderst du das Spiel. Der Moderator öffnet IMMER ein falsches Tor. Der Spieler kann dannach machen was er will. Du setzt einen Spieler voraus der immer wechselt. Das müsste der Moderator aber erst einmal wissen. Es ist keine Kunst ein neues Spiel zu konstruieren, dass neuen Erwartungen entspricht. Du zwingst den Spieler zu einem deterministischen Verhalten. Das dann nach beliebigen Regeln voraus zu Planen ist kein Kunststück und hat nichts mit dem Problem zu tun --Christian.Buerckert (Diskussion) 14:38, 26. Mär. 2014 (CET)

Eigentlich gibt es 3 Strategien

Nachdem der Moderator eine Tür geöffnet hat gibt es die folgenden 3 Strategien

1. Man wählt immer die andere Tür
2. Man wählt zufällig neu (z.B. durch Münzwurf)
3. Man bleibt bei seiner Entscheidung

Simuliert man das mit dem Computer erhält man die erwarteten Lösungen:

1. Strategie: 66.6% (2/3)
2. Strategie: 50%
3. Strategie: 33.3% (1/3)

Einfach erklärt

1. Strategie: Man wählt zuerst mit 2/3 das falsche Tor durch den Wechsel ergibt es 2/3 für das Richtige
2. Strategie: Man wählt zufällig zwischen zwei Türen
3. Strategie: Man wählt mit 1/3 das richtige Tor und bleibt dabei

Zum selbertesten in Java:

public static void main(String[] args) {
        Random Zufall = new Random();

        int AndereTür = 0;
        int GleicheTür = 0;
        int ZufälligeTür = 0;

        int Runden = 1000000;

        for (int i = 0; i < Runden; i++) {
            int PreisTür = Zufall.nextInt(3);

            {//Wähle die Andere:
                int GewählteTür1 = Zufall.nextInt(3);

                //Der Moderator öffnet eine Tür
                int GeöffneteTür = PreisTür;
                while (GeöffneteTür == PreisTür || GeöffneteTür == GewählteTür1) {
                    GeöffneteTür = Zufall.nextInt(3);
                }

                int GewählteTür2 = GewählteTür1;
                //wähle solange bis wir die "andere" Tür haben
                while (GewählteTür2 == GewählteTür1 || GewählteTür2 == GeöffneteTür) {
                    GewählteTür2 = Zufall.nextInt(3);
                }

                //Erhöhe Gewinn
                if (GewählteTür2 == PreisTür) {
                    AndereTür++;
                }
            }

            {//Wähle Zufällig:
                int GewählteTür1 = Zufall.nextInt(3);

                //Der Moderator öffnet eine Tür
                int GeöffneteTür = PreisTür;
                while (GeöffneteTür == PreisTür || GeöffneteTür == GewählteTür1) {
                    GeöffneteTür = Zufall.nextInt(3);
                }

                int GewählteTür2 = GeöffneteTür;
                while (GewählteTür2 == GeöffneteTür) {
                    GewählteTür2 = Zufall.nextInt(3);
                }

                //Erhöhe Gewinn
                if (GewählteTür2 == PreisTür) {
                    ZufälligeTür++;
                }
            }
            {//Nimm die gleiche Tür:
                int GewählteTür1 = Zufall.nextInt(3);
                int GeöffneteTür = PreisTür;
                while (GeöffneteTür == PreisTür || GeöffneteTür == GewählteTür1) {
                    GeöffneteTür = Zufall.nextInt(3);
                }
                int GewählteTür2 = GewählteTür1;
                if (GewählteTür2 == PreisTür) {
                    GleicheTür++;
                }
            }
        }

        System.out.println("AndereTür: " + AndereTür * 100.0 / Runden + "%");
        System.out.println("ZufälligeTür: " + ZufälligeTür * 100.0 / Runden + "%");
        System.out.println("GleicheTür: " + GleicheTür * 100.0 / Runden + "%");

    }

--Christian.Buerckert (Diskussion) 14:15, 26. Mär. 2014 (CET)

Das steht aber doch schon alles im Artikel, und ist auch so einfach und klar, dass man sich nicht noch mal mit einer Simulation vergewissern muss ;) Das Einzige, was ein bisschen spannender/tiefliegender ist, ist doch die bedingte Wahrscheinlichkeit, nachdem der Moderator ein Tor geöffnet hat. -- HilberTraum (Diskussion) 21:06, 26. Mär. 2014 (CET)

Das ist es ja... eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist nicht notwendig. Wählt man die Strategie die Tür zu tauschen ist der komplette Prozess nach der ersten Wahl abgeschlossen. Es gibt zwei richtige Lösungen und eine falsche Lösung (nämlich die Tür mit dem Auto) also insgesamt eine 2/3 Wahrscheinlichkeit. Wählt man die Strategie die Tür beizubehalten gibt es eine richtige Lösung und zwei falsche Lösungen. Da braucht man einfach keine bedingte Wahrscheinlichkeit um das auszurechnen. Wird dagegen nach dem Öffnen einer Tür neu entschieden ist die erste Entscheidung egal. Zwei unabhängige Versuche. Man wählt 1 von 2 Lösungen also 50%. Man kann es natürlich alles mit bedingter Wahrscheinlichkeit modellieren aber es ist einfach nicht notwendig und es führt zu viel mehr Verwirrung. Da alle Strategien den gleichen Anfang haben - man wählt eine Tür - kann man die Strategie nach dem öffnen der Tür erst festlegen und das ist das Spannende. Das erklärt auch die ganzen Verwirrungen um das Problem. Es geht einfach nur darum, ob man die Möglichkeit bekommt die Strategie zu wechseln (öffnet der Moderator eine falsche Tür) und das hängt völlig vom Moderator ab. Ansonsten ist der Prozess völlig klar und langweilig. Ist vorgegeben dass der Moderator eine falsche Tür öffnet kann an sich aussuchen ob man mit 33.3% 50% oder 66.6% weiterspielen möchte. Wobei die 50% dadurch entstehen, dass man die zwei Strategien "Tür wechseln" "Tür behalten" zufällig auswählt was nun einmal 33.3 + 66 /2 = 50% zur Folge hat. Man entscheidet also nicht zwischen Türen, sondern zwischen Strategien. --Christian.Buerckert (Diskussion) 21:34, 26. Mär. 2014 (CET)

Ob die Fragestellung als bedingte oder als unbedingte Wahrscheinlichkeit zu interpretieren ist, ist in der Fachliteratur umstritten, siehe den Abschnitt „Übersicht über die Fachliteratur zu „dem“ Ziegenproblem“. Im Sinne des Wikipedia-Grundprinzips WP:NPOV sollte der Artikel keinesfalls vorzeitig Stellung beziehen, sondern einfach nur beide Positionen neutral darstellen. -- HilberTraum (Diskussion) 21:54, 26. Mär. 2014 (CET)

Das sehe ich ein. Ich habe mal eine Grafik gebaut, die meiner Meinung nach eindeutig zeigt warum welche Wahrscheinlichkeit eintritt. Was denkst du darüber? https://www.kriese.at/wp-content/uploads/2014/03/Ziegenproblem.png --Christian.Buerckert (Diskussion) 22:18, 26. Mär. 2014 (CET)

Wenn ich das nochmal genau betrachte, sind die ersten beiden Möglichkeiten nur Spezialfälle der letzten. Die Frage ist eigentlich mit welcher Wahrscheinlichkeit wechsle ich die Tür nachdem der Moderator eine Tür geöffnet hat. mit 0% => 33% Gewinnchance mit 50% => 50% Gewinnchance, mit 100% => 66% Gewinnchance. Aber man kann auch jede andere Gewinnchance aus [1/3 | 2/3] erreichen indem man die letzte Wahl entsprechend skaliert. Faszinierend. -- Christian.Buerckert (Diskussion) 22:29, 26. Mär. 2014 (CET)

Zur Grafik: Grundsätzlich könnte ein Baumdiagramm schon für das Verständnis nützlich sein (vor allem für die bedingte Wahrscheinlichkeit). Was aber in deiner Version den Leser sicherlich verwirren würde: Im gesamten Text sind die Türen so nummeriert, dass die vom Kandidaten gewählte fest mit 1 bezeichnet wird. In deiner Grafik ist aber die Tür mit dem Auto fest (mit A) bezeichnet. Die Sache mit der zufälligen Wahl des Kandidaten halte ich für eine unnötige Verkomplizierung, die für das Verständnis nichts weiter bringt. In der originalen Problemstellung wird ja auch nicht nach möglichen Strategien gefragt, sondern nur, ob Wechseln von Vorteil ist. -- HilberTraum (Diskussion) 20:17, 27. Mär. 2014 (CET)

Das stimmt natürlich,es könnte alles verwirren. Ich habe die Grafiken angepasst, weitere Anmerkungen dazu? Schlussendlich will ich ja versuchen zu helfen :) Ich denke auch, dass Baumdiagramme helfen können. Ich persönlich frage mich noch ob Rot und Grün gute Farben sind. Könnte für Menschen mit Rot-Grün-Schwäche schwierig werden.

• https://www.kriese.at/wp-content/uploads/2014/03/Ziegenproblem1.png (kombiniert)
• https://www.kriese.at/wp-content/uploads/2014/03/Ziegenproblem2.png (Torwechsel)
• https://www.kriese.at/wp-content/uploads/2014/03/Ziegenproblem3.png (Gleiches Tor)

--Christian.Buerckert (Diskussion) 21:32, 30. Mär. 2014 (CEST)

Finde ich im Prinzip nicht schlecht, kann allerdings nicht so recht beurteilen, wie es mit der Verständlichkeit aussieht, aber mit ordentlichen Bildunterschriften sollte es schon klappen. Ich habe mal gehört, dass für Farbfehlsichtigkeit am besten rot und blau ist, wenn man nur zwei Farben braucht. Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 14:03, 31. Mär. 2014 (CEST)

Vorschlag für eine logisch nachvollziehbare Erklärung des Ergebnisses

Ich komme immer wieder auf das Ziegenproblem und schlage jedes Mal auf dieser Seite nach weil sich die Lösung nicht gut einprägt. Heute habe ich eine einprägsame Erklärung gefunden, die hier aber nicht steht. Die geht wie folgt:
Die Eingangsfrage lautet: lohnt sich in dieser Spielsituation der Wechsel?
Ansatz: In welchem Fall lohnt sich der Wechsel?
- Der Wechsel lohnt genau dann, wenn ich mit meiner ersten Wahl falsch lag!
Das ist mit p=2/3 der Fall. Daraus ergibt sich für mich ganz einleuchtend das viel diskutierte Ergebnis.
Seht Ihr das auch so?
Thomas (nicht signierter Beitrag von 82.83.142.214 (Diskussion) 21:31, 26. Mär. 2014 (CET))

Dies ist so richtig wie trivial und steht so auch schon im Artikel (wenn auch vielleicht nicht mit exakt diesen Worten). Dies ist allerdings nur das (nicht umstrittene) Monty-Hall-„Standardproblem“:

• Der Moderator muss eine nicht gewählte Ziegen-Tür öffnen (wenn der Kandidat die Auto-Tür gewählt hat, entscheidet er sich zufällig zwischen den beiden Ziegen-Türen) und muss den Wechsel anbieten.
• Dem Kandidaten ist diese Spielregel bekannt.

Der Artikel hätte dann nur ein Zehntel der derzeitigen Länge. Der Moderator könnte durch einen Roboter ersetzt werden, und das Spiel könnte auch anders formuliert werden: Der Kandidat wählt zwei von den drei Türen und gewinnt das Auto, wenn es sich hinter einer der beiden gewählten Türen verbirgt.
Was die Sache kompliziert macht, ist das Einbringen von spieltheoretischen Elementen:

• Musste der Moderator eine Tür öffnen und den Wechsel anbieten oder hätte er auch direkt die vom Kandidaten gewählte Tür öffnen und das Spiel beenden können?
• Wusste der Moderator, wo das Auto steht, oder hat er zufällig eine der beiden nicht gewählten Türen geöffnet, hinter der dann zufällig eine Ziege stand?
• Hätte der Moderator (absichtlich oder zufällig) auch die vom Kandidaten gewählte Tür öffnen und anschließend einen Wechsel anbieten können?
• Und (wichtig!) welche Regeln waren dem Kandidaten ganz oder teilweise bekannt? Wusste er exakt, welchen Regeln der Moderator allenfalls unterworfen war, oder kannte er nur einen Teil der Regeln – also beispielsweise, dass der Moderator jedenfalls in bestimmten Situationen nur eine Teilmenge von bestimmten Handlungsoptionen hat oder nicht hat? Oder hatte er keine Ahnung, nach welchen Regeln der Moderator „spielt“?

Natürlich wird der Kandidat, wenn der Moderator tatsächlich die von ihm im ersten Schritt gewählte Tür öffnen und den Wechsel anbieten sollte, vor keiner schwierigen Entscheidung stehen – wenn er das Auto schon hat, wird er sicher nicht wechseln, wenn er eine Ziege hat, wird er sicher wechseln. Die Frage, die sich hier stellt, ist aber eine andere: Welche Schlüsse kann der Kandidat daraus ziehen, dass der Moderator eine nicht gewählte Ziegen-Tür öffnet, wenn der Moderator nicht verpflichtet war, eine nicht gewählte Ziegen-Tür zu öffnen, sondern auch (absichtlich oder zufällig) die gewählte Ziegen-Tür oder eine gewählte oder nicht gewählte Auto-Tür hätte öffnen können oder einen Wechsel auch gar nicht hätte anbieten müssen? Je nachdem, welche dieser Möglichkeiten sonst hätten eintreten oder nicht hätten eintreten können, kombiniert mit dem, was der Kandidat über die Regeln und damit über die (gezielten oder zufälligen) Handlungsoptionen des Moderators weiß oder nicht weiß, beeinflussen entscheidend die Erkenntnisse, die der Kandidat aus dem Umstand gewinnen kann, dass der Moderator im konkreten Fall eine nicht gewählte Ziegen-Tür geöffnet hat. Darum geht es bei den Diskussionen zu diesem Artikel und auch bei den Diskussionen in der wissenschaftlichen Literatur.
Ich bin mit dem Artikel auch nicht glücklich, weil er zu verwirrend ist. Weil allerdings 20 Autoren mindestens 25 verschiedene Meinungen haben, wie man den Artikel verbessern könnte, ist das etwas schwierig zu realisieren. Das „Standardproblem“ ist aber nicht das Problem.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   10:01, 27. Mär. 2014 (CET)

Das von dir so genannte "Standardproblem" ist aber das mathematisch interessante, weil es eine klare mathematische Lösung hat, die für viele Menschen alles andere als direkt einsichtig ist. Alles andere ist Spieltheorie, die unter anderem hier auf der Seite als TF entwickelt wird, auch von Menschen, die das "Standardproblem" falsch oder siene Lösung nicht direkt verstanden hatten und jetzt eine Rechtfertigung für ihre einmal vertretene Sicht finden wollen. Ich würde vorschlagen, jegliche Spieltheorie auszugrenzen und mit wenigen Sätzen das Standardproblem und seine Lösung zu beschreiben. Aber dann würden wir 10 TF-Autoren hier arbeitslos machen genauso wie 10 weitere, denen es Spaß macht, das von den ersten 10 fabrizierte Geschreibsel zu berichtigen. --Mixia (Diskussion) 11:57, 27. Mär. 2014 (CET)

Richtig ist, dass das Standardproblem eine klare mathematische Lösung hat. Ob die wirklich mathematisch „interessant“ ist, ist eher eine Geschmacksfrage – ich finde sie eher trivial. Das Interessante ist aber, dass viele Menschen auch in diesem Standardfall mit klaren Regeln die daraus zwingend folgende 2/3-Lösung nicht akzeptieren können – was dieses Ziegenproblem zu einem der besten Beispiele dafür macht, dass Wahrscheinlichkeiten nicht intuitiv sind und viele Menschen fundamentale Probleme damit haben. Die Argumentation der „Spieltheoretiker“, die Menschen, die die 2/3-Lösung für falsch und 50:50 für richtig halten, würden das nicht aufgrund falsch verstandener Wahrscheinlichkeiten tun („Zwei Türen, also 50:50“), sondern aufgrund intuitiv richtig erfasster Ambiguitäten in der originalen Aufgabenstellung, halte ich jedenfalls aufgrund meiner persönlichen Erfahrungen zu diesem Thema für abwegig. Ich verweise dazu auch auf den Abschnitt Unter Zusatzannahmen kontraintuitiv? weiter oben und dort insbesondere auf diesen und diesen Beitrag von mir aus einer Diskussion mit Geodel, in denen ich ganz ähnlich argumentiere wie du jetzt hier. Auch in diesem Abschnitt aus dem Archiv vom Oktober 2013 wird ähnlich argumentiert.
Ich selbst wäre auch für eine deutliche Umgestaltung des Artikels mir viel klarerer Trennung von mathematischer Lösung des Standardproblems (plus Begründung inklusive Oma-tauglicher Erklärung!) und den „esoterischen“ spieltheoretischen Erweiterungen. Allerdings argumentieren die Verfechter des Status quo immer damit, dass die ursprüngliche Fragestellung in diesem Leserbrief nicht so eindeutig war, dass sich daraus zwingend das Standardproblem mit seiner eindeutigen Lösung ergibt, und die ganzen spieltheoretischen Aspekte deshalb mitberücksichtigt werden *müssen*. Und weil diese zusätzlichen Aspekte so viel umfangreicher sind als das mathematisch triviale und eindeutige Standardproblem, haben sie auch ein entsprechendes Übergewicht im Artikel – zulasten der Verständlichkeit und unter Inkaufnahme zustäzlicher Verwirrung vieler Leser.
Ich wäre hier durchaus bei dir, was eine größere Umgestaltung des Artikels in die von dir vorgeschlagene Richtung samt grundsätzlicher Neugewichtung der einzelnen Aspekte betrifft, sehe aber keine Chance, damit durchzukommen.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   13:25, 27. Mär. 2014 (CET)

Das hast du treffend analysiert! Ich hatte mich etwas ungeschickt ausgedrückt: Die Löung des Standardproblems ist mathematisch natürlich eher trivial als interessant. Für sehr interessant halte ich aber genau wie du, dass viele Menschen die Rechnung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht intuitiv beherrschen und im Gegenteil sogar intuitiv falsch rechnen. Deshalb verdient es das Standardproblem als einfaches Beispiel für ein häufiges Versagen der naiven Intuition zur Wahrscheinlichkeitsrechnung dargestellt zu werden, und das geht leider in diesem Artikel unter. Ich vermute wie du den Hintergrund darin, dass viele ihre fehlerhafte Berechnung der bedingten Wahcscheinlichkeiten rechtfertigen wollen durch eine Umdefinition des Problem um spieltheoretische Aspekte. Und auch wenn diese alle für sich einfach zu beschreiben sind, geht durch die schiere Menge an dargestellten Aspekten, die eigentlich niemand interessieren, jede Übersicht verloren.

Ich habe zur Berichtigung in meinem letzten Kommentar das übeflüssige "mathematisch" durchgestrichen. Die Chancen für eine radikale Überarbeitung des Artikels sehen wir anscheinend beide ähnlich pessimistisch, solange wir nicht eine größere Zahl Unterstützer finden. --Mixia (Diskussion) 14:04, 27. Mär. 2014 (CET)

auch ich bin der Ansicht, dass ein einfacher Satz der Art "Da bei er esten Wahl mit nur 1/3 Wahrschinlichkeit das Auto getroffen wude empfiehlt sich bei der zweiten Wahl der Wechsel der Tür - es sei denn man wollte die Ziege." gut tun würde. --2001:4CA0:4901:0:1CE2:EFCC:998A:A6D0 15:47, 2. Apr. 2014 (CEST)

Dem Ziegenproblem, wie es in großen Teilen der Literatur (z.B. Krauss/Wang bzw. Gero von Randow) behandelt wird, liegt nun einmal die Formulierung von Marilyn vos Savant zugrunde. Deswegen muss sich der Artikel zuallererst mit ihrer Fragestellung beschäftigen. Das ältere Monty-Hall-Problem von Steve Selvin spielt in der Literatur keine so große Rolle, was auch nicht verwunderlich ist, ist seine umfangreiche Problemformulierung doch noch weniger geeignet, eine eindeutige 2/3-Lösung zu begründen, als Savants Formulierung. Beiden Autoren gemeinsam ist, dass sie ihre fehlerhafte Berechnung dadurch rechtfertigen wollten, dass sie das Problem umdefiniert (um Zusatzannahmen erweitert) haben, ohne ihren Problemtext dementsprechend zu ändern bzw. anzupassen. Somit sind sie mitverantwortlich dafür, dass die heute als Ziegenproblem bzw. Monty-Hall-Problem bekannte Fragestellung um beliebige spieltheoretische Aspekte erweiterbar ist. Außerdem sorgt diese fehlende mathematische Formalisierbarkeit des Problemtexts dafür, dass ein einfacher Satz der Art "Da bei der ersten Wahl mit nur 1/3-Wahrscheinlichkeit das Auto getroffen wurde, empfiehlt sich bei der zweiten Wahl der Wechsel der Tür" eine falsche 2/3-Lösung impliziert.

Es spricht allerdings nichts dagegen, den Abschnitt "Das Monty-Hall-Standard-Problem" auf der Grundlage der dort verwendeten eindeutigen Problemformulierung um weitere Erklärungen zu ergänzen. --Geodel (Diskussion) 18:55, 3. Apr. 2014 (CEST)

Ja, und für die ganzen Simulationen gilt: Wenn das Problem korrekt formuliert ist, braucht man sie nicht, und wenn die entscheidende Spielregel in der Aufgabenstellung fehlt, sind sie ein Scherz.--Albtal (Diskussion) 00:33, 4. Apr. 2014 (CEST)

Ich habe mittlerweile den Eindruck, dass die falsche 2/3-Lösung mindestens genauso weit verbreitet ist wie die falsche 1/2-Lösung. Vielleicht sollte man den Artikel um einen Abschnitt ergänzen, in dem erläutert wird, dass sich die Gewinnwahrscheinlichkeit für das zuerst gewählte Tor, die vor dem Öffnen eines Ziegentors 1/3 beträgt, nach dem Öffnen eines Ziegentors geändert hat und i.A. nicht mehr 1/3 beträgt. --Geodel (Diskussion) 15:24, 9. Apr. 2014 (CEST)

„Vielleicht sollte man den Artikel um einen Abschnitt ergänzen, in dem erläutert wird, dass sich die Gewinnwahrscheinlichkeit für das zuerst gewählte Tor, die vor dem Öffnen eines Ziegentors 1/3 beträgt, nach dem Öffnen eines Ziegentors geändert hat und i.A. nicht mehr 1/3 beträgt.“

Aha! Trotz der vielen Worte fehlen also noch die entscheidenden. Dabei stammen doch von Dir mehrere umfangreiche Edits mit bis +5400 Zeichen wie am 29.10.2010.--84.162.202.18 20:53, 9. Apr. 2014 (CEST)

Ist das nicht der Abschnitt „Der unausgeglichene Moderator“, der beschreibt, wie die Information über das Öffnen des Ziegentors unter Umständen die Wahrscheinlichkeit ändern kann? Reicht das nicht? -- HilberTraum (Diskussion) 21:00, 9. Apr. 2014 (CEST)

Ich weiß nicht. Der Abschnitt „Der unausgeglichene Moderator“ bezieht sich ja auf bekannte Spielregeln (Informationen) und die darauf beruhenden bed. W'keiten. Es scheint aber Leute zu geben, die aus Savants Formulierung, also aus der bloßen Tatsache (ohne entsprechende Spielregeln), dass der Moderator das nichtgewählte Ziegentor 3 öffnet und dann einen Wechsel anbietet, eine 2/3-Gewinnw'keit für das Tor 2 ableiten. Oder ist das kein so wichtiger Gesichtspunkt? --Geodel (Diskussion) 18:41, 14. Apr. 2014 (CEST)

Also dass man die Gewinnwahrscheinlichkeiten vor und nach dem Öffnen der Tür nur mit zusätzlichen Voraussetzungen an das Moderatorverhalten bestimmen kann, wird meiner Meinung nach mehr als deutlich im Artikel angesprochen. -- HilberTraum (Diskussion) 20:17, 14. Apr. 2014 (CEST)

Das Paradoxon

Der Artikel hat es leider bis heute nicht geschafft, das großartige klare "Paradoxon" deutlich zu präsentieren, das die meisten Menschen (einschließlich Paul Erdős) auf den ersten Blick nicht zu durchblicken vermochten noch vermögen (siehe hier), obwohl Literatur dafür zur Genüge vorhanden wäre, noch sämtliche vom "Paradoxon" subtil abweichenden uninteressanten und gänzlich andern Problemstelllungen eben als "vom Paradoxon abweichende Varianten" zu kategorisieren. Schade. Gerhardvalentin (Diskussion) 21:22, 9. Apr. 2014 (CEST)

Paul Erdős hatte vollkommen recht, als er die 2/3-Lösung für Savants Aufgabe anzweifelte und er für lange Zeit diese Zweifel aufrecht erhielt. Er sollte ebenso wie viele Andere dadurch überrumpelt werden, dass man ihm vorschlug, die Spielshow unter den gleichen Bedingungen zu wiederholen und auf dieser Basis eine Computersimulation durchzuführen. Viele haben gar nicht bemerkt, dass die Simulation auf einer anderen Aufgabenstellung beruht, und Erdös wurde erst dadurch überzeugt, dass man ihm diese passende Aufgabenstellung mit den nötigen Zusatzinformationen vorstellte. --Geodel (Diskussion) 19:11, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ich habe die Anekdote mit Paul Erdős jetzt mal gelesen, darum kommt jetzt ein bisschen Küchenpsychologie von mir:

Ich denke, wenn ein mathematisch/naturwissenschaftlich gebildeter Mensch (wie Erdős) durch eine Demonstration mit den Zusatzvoraussetzungen nachträglich überzeugt wird, dann kann nur einer von zwei Fällen vorliegen:

1. Er hat die Zusatzvoraussetzungen ebenfalls so angenommen, hat aber intuitiv die (unter diesen Annahmen) falsche Antwort gegeben (ich denke das kann Mathematikern genauso leicht passieren wie normalen Menschen ;) oder
2. Er hatte zunächst andere Voraussetzungen aus der Aufgabe abgeleitet und mit diesen die dafür richtige Antwort gegeben, aber er wurde überzeugt, dass die präsentierten Voraussetzungen besser passen.

Wenn man von seinen eigenen Zusatzvoraussetzungen überzeugt ist, dann ändert man doch seine Meinung nicht, bloß weil man mit anderen Voraussetzungen eine anderes Ergebnis präsentiert bekommt, oder wie seht ihr das? -- HilberTraum (Diskussion) 20:35, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ich sehe es als völlig normal an, dass man mit anderen Voraussetzungen auch zu anderen Ergebnissen kommt. Dass man von Zusatzvoraussetzungen "überzeugt" sein kann, verstehe ich nicht.--Albtal (Diskussion) 19:24, 15. Apr. 2014 (CEST)

Zum ersten Satz: ich auch. Mit „überzeugt“ meinte ich: Die Fragestellung ist ja ganz ohne Voraussetzungen nicht beantwortbar, also überlegt man sich doch (fast automatisch), welche Voraussetzungen man in dieser Situation für angemessen/zutreffend/richtig hält: Wenn jemand ernsthaft, also nicht nur „geraten“, mit 1/2 oder 2/3 oder was ganz anderem antwortet, dann hat er doch Zusatzvoraussetzungen getroffen, von denen er erst mal „überzeugt“ ist. -- HilberTraum (Diskussion) 20:21, 15. Apr. 2014 (CEST)

+1. Es ist mMn doch so, dass "fast automatisch" überlegt wird, unter welchen Voraussetzungen welches Ergebnis eintrifft. Eine solche "kritische Überlegung" darf also von (fast) jedem (?) vorausgesetzt und erwartet werden, der sich mit dem Paradoxon befasst. Abweichende Varianten zu nennen, in welchen das berühmte Paradoxon "nicht" erscheint, ist banal. Derzeit lebt der Artikel leider von solchen Banalitäten, ohne sie als solche zu kategorisieren. Gerhardvalentin (Diskussion) 21:10, 15. Apr. 2014 (CEST)

Würde man bei einer Publikation zu einem Problem, von dem man weiß, dass es eine bestimmte Lösung nur unter Zusatzvoraussetzungen hat, nicht als allererstes auf diese Zusatzvoraussetzungen hinweisen? - Aber das genau ist beim Ziegenproblem nicht geschehen. Es sieht so aus, als ob die große Mehrheit der Zwei-Drittel-Befürworter in Anlehnung an die Publizisten auf eine Scherzaufgabe hereingefallen ist. Das Internet ist voll von Belegen dafür.--Albtal (Diskussion) 22:39, 15. Apr. 2014 (CEST)

Küchenpsychologisch betrachtet können auch noch andere Fälle vorliegen:

3. Das Ziegenproblem war sicherlich kein Forschungsschwerpunkt von Erdös, so dass es ihm wahrscheinlich herzlich egal war, ob die 2/3-Lösung zur ursprünglichen Aufgabenstellung passte oder eben nicht. Ihm gefielen vielleicht die Lösung als solche und der Gedanke, dass diese nichtintuitive 2/3-Lösung unter bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen tatsächlich gültig ist.

4. Manche Mathematiker machen sich ja einen Sport daraus, immer wieder Beweise dafür zu finden, dass die menschliche Intuition zu fehlerhaften Ergebnissen führen kann. Das führt dann z.B. dazu, dass in diesen Zusammenhängen gerne von einem "Sieg der Mathematik über den gesunden Menschenverstand" gesprochen wird. Vielleicht war Erdös auch einer dieser Wissenschaftler, die, nicht frei von Eitelkeit, ihr Fachgebiet gerne als etwas ganz Besonderes dargestellt sehen. Unter diesen Umständen wäre seine Akzeptanz der 2/3-Lösung ohne explizite Änderung bzw. Erweiterung der ursprünglichen Aufgabenstellung durchaus nachvollziehbar, wenn auch wissenschaftlich unredlich. --Geodel (Diskussion) 19:32, 15. Apr. 2014 (CEST)

3. hat was, stimmt der Mann war 82 Jahre alt. Also so in Richtung „Ach, lasst mich doch endlich mit euren blöden Ziegen in Ruhe …“. Das denke ich mir auch ab und zu, wenn ich die Diskussionskilometer hier sehe … und dabei bin ich noch um Einiges jünger … ;-)

4. glaub ich eher nicht: Ab einem gewissen Alter geben Mathematiker (anwesende natürlich ausgenommen) einen eigenen Irrtum nur noch zu, wenn sie keinen anderen Ausweg mehr sehen … ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 20:09, 15. Apr. 2014 (CEST)

Das Problem

Das zentrale "Problem" besteht doch darin, dass – selbst bei klarer Präsentation des Standardproblems – es vielen schwer fällt, die darin gegebene Zwangsläufigkeit zu erkennen: Der Moderator öffnet eine vom Kandidaten nicht gewählte Tür, um eine der beiden Ziegen aus dem Spiel zu nehmen.

(Übrigens antworteten Morgan et al. 2010 auf einen Einwand von Martin Hogbin und Nijdam ["Letter to editor on Let's make a deal by Morgan et al.", American Statistician May 2010, Vol. 64, No 2 (193)], dass bei der gestellten Aufgabe dem Moderator nicht ohne weiteres irgendeine Einseitigkeit unterstellt werden dürfe, falls er zwischen zwei Ziegen wählen kann, siehe hier). Morgan et al. antworteten (Zitat): "Simply put, if the host must show a goat, the player should switch." und "To wit, had we adopted conditions implicit in the problem, the answer is 2/3, period." Ebenso wie Bell (1992) und Ruma Falk, die von Anfang an darauf bestand, dass eine solche Einseitigkeit nur dann erwogen werden dürfe, wenn sie bereits zuvor bekannt und definiert war. Doch das ist ein völlig anderes Thema, das im Artikel ebenso gründlich verwirrend präsentiert wird.) Denn mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeit zu unterscheiden, welche der beiden ungewählten Türen geöffnet wurde, berührt das Paradoxon keineswegs und ist eine für das Paradoxon irrelevante, jedoch für den Unterricht in Wahrscheinlichkeitstheorie hilfreiche Methode. Der Artikel ist jedoch kein Lehrbuch in Wahrscheinlichkeitstheorie, Bayes' Formeln sind hier eher fehl am Platz.

Die University California, San Diego, gibt eine entscheidende Hilfe. Es geht darum, dass es im Paradoxon die Aufgabe des Moderators ist, eine Niete zu offenbaren. (Marilyn vos Savant: Der Moderator kann nur dann ausnahmslos eine Ziege zeigen, wenn er eben nicht "irgendeine" ungewählte Türe öffnet.) Dann gilt auch die bekannte verblüffende Lösung, dass der Kandidat bei einem Wechsel auf die alternativ angebotene noch verschlossene Tür seine Gewinnchance verdoppelt.

Sollte der Moderator allerdings – im Widerspruch zum Paradoxon – "irgendeine" ungewählte Tür öffnen und dabei nur "zufällig" eine Ziege zeigen, wäre die Chance beim Wechseln nicht wie beim Paradoxon 2:1, sondern – wie die landläufige Fehleinschätzung − nur 1:1. Der Grund dafür liegt darin, dass – falls der Kandidat in 2/3 eine Ziege gewählt hat und ein Wechseln damit den Gewinn bringt – der Moderator nur in einer Hälfte der Fälle die zweite Ziege zeigt, doch in der anderen das Auto, und damit die Hälfte der Gewinnsituationen vereiteln würde. Siehe hier: Monty knows and Monty does not know und auch hier: An Explanation of the Game.

Der Artikel vernachlässigt das berühmte Paradoxon und sollte unzutreffende, abweichende Varianten deutlich als solche kategorisieren. Gerhardvalentin (Diskussion) 11:35, 15. Apr. 2014 (CEST)

+1. Da stimme ich völlig zu. Der Artikel sollte primär das Paradoxon erklären, dass die naive menschliche Anschauung bei bedingten Wahrscheinlichkeiten meistens schnell versagt. Auf die spieltheoretischen Aspekte verschiedenster Varianten sollten wir hinweisen, aber klar abgegrenzt von der Erläuterung des Paradoxons. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Benutzer:Mixia --22:49, 15. Apr. 2014 (CEST)

Beim Ziegenproblem hat die "menschliche Anschauung" bei folgender Argumentation versagt:

Die Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür ändert sich ja nicht dadurch, dass der Moderator eine andere Tür mit einer Ziege öffnet.--Albtal (Diskussion) 23:33, 15. Apr. 2014 (CEST)

Daran, dass sich hinter der anfangs vom Kandidaten gewählten Tür in 1/3 aktuell das Auto befindet, das er bei einem Türwechsel zwangsläufig verliert (Lucky Guess Scenario), und dass sich hinter seiner anfangs gewählten Tür in 2/3 aktuell eine der beiden Ziegen befindet und er damit bei einem Türwechsel zu 2/3 zwangsläufig das Auto gewinnt (Wrong Guess Scenario), kann der Moderator nichts ändern. Der Moderator ist außerstande, den aktuellen Inhalt der vom Kandidaten anfangs gewählten Tüt zu ändern. Die Problemstellung des Paradoxons sieht implizit nicht vor, dass der Moderator sodann alle drei Türen gleichzeitig öffnet und damit einen Hinweis gibt, in welchem Senarium sich der Kandidat aktuell befindet. Dass der Moderator hinter den beiden nicht gewählten Türen absichtlich eine Ziege, keinesfalls jedoch das Auto zeigt, ist im Paradoxon der Grund dafür, dass der Kandidat immer wechseln sollte. Der Artikel hat die Fachliteratur ernst zu nehmen und nicht seitenweise beliebige banale "Nicht-Paradoxa" auszubreiten. Gerhardvalentin (Diskussion) 08:56, 20. Apr. 2014 (CEST)

Soweit ich das überschaue, behandelt der Artikel genau die Szenarien, in denen der Moderator absichtlich eine Ziege zeigt. Insofern kann ich deine Kritik nicht so ganz nachvollziehen. --Geodel (Diskussion) 10:19, 20. Apr. 2014 (CEST)

Das war zu erwarten. Bitte erst den Artikel lesen. Gerhardvalentin (Diskussion) 20:59, 20. Apr. 2014 (CEST)

Siehe Mlodinow: Drei Türen, nur ein Auto und zwei Nieten. Die Chance, dass sich der Kandidat mit seiner ersten Wahl im "lucky guess scenario" befindet weil er die Auto-Türe gewählt hat und bei einem Wechseln verliert, ist und bleibt 1/3. Unveränderlich. Und die Chance, dass sich der Kandidat im "wrong guess scenario" befindet weil er eine der beiden Ziegen gewählt hat und bei einem Wechseln das Auto gewinnt, ist und bleibt 2/3. Unveränderlich! Lass Dir den Blick nicht durch Mathematik trüben.

Lassen wir uns den Blick dafür nicht trüben – An der aktuellen Situation ist nicht zu rütteln, sie verändert sich nicht. Auch nicht dadurch, dass der Moderator willentlich eine Ziegentüre aus dem Spiel nimmt. (Marilyn vos Savant: Das kann er nicht dadurch erreichen, dass er eine der beiden verbliebenen Türen "randomly" also per "Zufall" öffnet.) Der Moderator zeigt also "willentlich" eine Ziege und nicht das Auto. Er ist damit in seiner Torwahl in 2/3 der Fälle völlig "unfrei". Das ist der Schlüssel für die "2/3 zu 1/3 Chance" zugunsten des Wechselns. Und Morgan et al., die ursprünglich zu bedenken gaben, dass der Moderator quasi den Inhalt aller drei Türen gleichzeitig offenbaren könnte, indem er beispielsweise ausnahmsweise die von ihm normalerweise verabscheute Türe nur deshalb öffnen muss, weil sich aktuell das Auto hinter seiner "bevorzugten" Türe befindet, sprachen von schlichter "Kenntnis-Vermittlung", die an der aktuellen "2/3 zu 1/3"-Situation nichts ändern kann und auch nichts ändert. Was sich also dabei ändern könnte, wäre lediglich "die Kenntnis" (plump umschrieben mit "Wahrscheinlichkeit") in welchem der beiden Szenarien sich der Kandidat aktuell (absolut unveränderlich!) befindet. Doch das ist durch Morgan et al. selbst als unpassende Annahme "zurückgenommen" worden, weil zu jener Kenntnis-Vermittlung eine tatsächlich bestehende "Vorliebe" des Moderators bereits vor Beantwortung der Frage bekannt gewesen sein müsste. Das ist im weltberühmten Paradoxon keinesfalls gegeben. Im Paradoxon weiß der Kandidat, dass er mit einer Chance von 1/3 das Auto gewählt hat (lucky guess scenario) und mit einer Chance von 2/3 eine der beiden Ziegen (wrong guess scenario). In welchem Szenarium er sich aktuell tatsächlich befindet, bleibt ihm im berühmten Paradoxon unbekannt.

Was lt. Leonard Mlodinow das Ziegenproblem "definiert" ist, dass es sich dabei nicht um "Symmetrie" handelt die eine 1:1 Antwort rechtfertigen würde, sondern dass es sich um "bedingte Wahrscheinlichkeit" handelt. Mlodinow sagt ... das Ziegenproblem ist ein gutes Beispiel, um bedingte Wahrscheinlichkeit zu illustrieren. "Bedingt" dadurch, dass der Moderator nicht "zufällig" eine der beiden Türen öffnet, sei es Ziege oder Auto, sondern dass er "willentlich eine Ziegentür" öffnet, egal ob sich der Kandidat in 1/3 der Fälle unveränderlich im "lucky guess scenario" befindet, wobei der Moderator eine beliebige Ziegentüre öffnen kann und der Kandidat durch ein Wechseln verliert, oder ob sich der Kandidat in 2/3 der Fälle unveränderlich im doppelt so mächtigen "wrong guess scenario" befindet, wobei der Moderator infolge seiner Absicht eine Ziege zu zeigen keinerlei Wahl hat. Aufgrund seiner Absicht ist er hier in seiner Torwahl extrem "einseitig weil unfrei". Deshalb gewinnt der Kandidat in 2/3 durch ein Wechseln zur alternativen Türe. Das Paradoxon ist dadurch bedingt, dass der Moderator eine ungewählte Türe in der Absicht öffnet, eine Ziege zu zeigen und damit in 2/3 der Fälle absolut "gezwungen ist" genau jene Tür zu öffnen, die er nun öffnet. Diese enorme "Unfreiheit des Moderators" hat das Paradoxon zur Folge. Siehe oben: University of California, San Diego. Gerhardvalentin (Diskussion) 01:52, 16. Apr. 2014 (CEST)

Für mich schon mal der Satz des Tages …: „Lass Dir den Blick nicht durch Mathematik trüben.“ -- HilberTraum (Diskussion) 08:03, 16. Apr. 2014 (CEST) … und jetzt nicht mehr dasteht … *grummel* … ich finde, ein Satz des Tages sollte mindestens bis Mitternacht stehen bleiben, sonst wäre der Satz ja gar kein Satz des Tages, sondern ein Satz des Vormittags oder ein Satz zum Frühstück oder … *grummel* -- HilberTraum (Diskussion) 13:06, 16. Apr. 2014 (CEST)

Diese enorme "Unfreiheit des Moderators" zeigt ja gerade, wie enorm unangemessen die Behauptung ist, es handele sich bei den vorauszusetzenden Spielregeln "der Moderator öffnet immer eine nicht gewählte Ziegentür und bietet dann einen Wechsel an" um natürliche Annahmen. Der Bezug im Problemtext zu einer bekannten Spielshow mit einem enorm freien Moderator (Monty Hall) lässt im Gegenteil diese Annahmen als enorm unnatürlich erscheinen. --Geodel (Diskussion) 11:50, 18. Apr. 2014 (CEST)

Richtig. Worum geht es? – Dem Artikel liegt nicht irgendein beiläufiges Paradoxon zugrunde, sondern eines der krassesten Paradoxa, die sich der Einsicht am hartnäckigsten widersetzen. Siehe Gary Gruber: "The World's 200 Hardest Brain Teasers" (Gruber, Gary 2010). Sourcebooks, Inc. p. 136. ISBN 978-1-4022-3857-4.und neben vielen anderen auch Krauss und Wang: "The Psychology of the Monty Hall Problem: Discovering Psychological Mechanisms for Solving a Tenacious Brain Teaser" Krauss, Stefan and Wang, X. T. (2003), Journal of Experimental Psychology: General 132(1), retrieved from http://www.usd.edu/~xtwang/Papers/MontyHallPaper.pdf March 30, 2008..

Die hohle Vermutung trifft nicht zu, dass das Paradoxon vordergründig auf seinerzeitigen TV-Shows von Monty Hall basiert, und dessen Kompetenz, das Spiel nach seinen eigenen Einfällen zu gestalten. Das weltberühmte Paradoxon unterscheidet sich eben davon. Das Paradoxon beruht auf (für jeden Interessierten im Übrigen klar erkennbaren) Grundlagen. Die Person von Monty Hall und seine "natürliche" Freiheit ist hier nicht Thema.

Das weltberühmte Paradoxon beruht auf der von MvS präsentierten Grundlage, dass es die Absicht des Showmasters ist, nicht das Auto, sondern eine Niete zu offenbaren – MvS: "The original answer defines certain conditions, the most significant of which is that the host always opens a losing door on purpose. (There’s no way he can always open a losing door by chance!) Anything else is a different question" − und danach tatsächlich einen Wechsel auf seine zweite noch verschlossene Tür anzubieten.

Das Paradoxon tritt eben nicht zutage, wenn der Moderator dabei "irgendeine" seiner beiden Türen öffnet und sich dabei "zufällig" dahinter nicht das Auto, sondern eine Ziege befindet. Dieser Unterschied als zentraler Schlüssel zum Verständnis ist nicht irgendwo im Text zu verstecken, das Paradoxon als solches und seine Grundlage, insbesondere dieser Gegensatz sollte im Artikel in erster Linie prominent dargestellt werden. Alle anderen vom Paradoxon abweichenden "Nicht-Paradoxa", die im Artikel breit ausgewälzt werden, sollten klar als abweichende Varianten, die das Paradoxon nicht tangieren, kategorisiert werden. Gerhardvalentin (Diskussion) 13:16, 18. Apr. 2014 (CEST)

„... lässt im Gegenteil diese Annahmen als enorm unnatürlich erscheinen.“ (Goedel): Reine Theoriefindung (WP:TF), die die strukturelle Schwäche des Lemmas nicht beseitigen wird (sondern eher erklärt). Es interessiert hier nicht, wie WP-Bearbeiter X oder Y das Ziegen-/Monty-Hall-Problem auffassen und die diversen Aufgabenstellungen (Selvin 1 & 2, vos Savants Wiedergabe von Craig F. Whitakers Leserbrief und der später veröffentlichte Leserbrief) interpretieren, sondern das, was die Literatur dazu wiedergibt. Das ist zu referieren, und zwar so, dass es der interessierte Laie (der Leser!) hofffentlich versteht.

--Lefschetz (Diskussion) 15:54, 18. Apr. 2014 (CEST)

Das aktuelle Szenarium ist endgültig

Nach seiner ersten Torwahl befindet sich der Kandidat aktuell unabänderlich in einem der beiden möglichen Szenarien: "Lucky guess scenario" (1/3) oder "Wrong guess scenario" (2/3). Das Standard-Paradoxon bietet keine Möglichkeit, dass er darüberhinaus weitere Information erhalten kann, in welchem der beiden Szenarien er sich aktuell tatsächlich befindet.

1. Player picks car (probability 1/3) Lucky guess scenario: Switching loses 2a. Host must reveal Goat B Player picks Goat A (probability 1/3) Wrong guess scenario: Switching wins 2b. Host must reveal Goat A Player picks Goat B (probability 1/3) Wrong guess scenario: Switching wins

The player irrevocably arrived in one of the two possible scenarios: Lucky guess scenario (1/3) or Wrong guess scenario (2/3) The player has an equal chance of initially selecting the car, Goat A, or Goat B. Switching results in a win 2/3 of the time.

Gerhardvalentin (Diskussion) 15:00, 16. Apr. 2014 (CEST)

Hallo Gerhardvalentin, ich verstehe bei deinen letzten Diskussionsbeiträgen nicht so richtig, wofür oder wogegen du eigentlich argumentierst. Ok, die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Standardproblem ist 2/3. Bezweifelt das irgendjemand? Ich denke nicht, die Fragen können also nur sein: Was ist genau mit „Gewinnwahrscheinlichkeit“ gemeint und wieso ist sie 2/3? Aber gerade in deinem Beitrag heute von 01:52 habe ich den Eindruck, dass du irgendwie gleichzeitig für und gegen die Betrachtung bedingter Wahrscheinlichkeiten argumentieren willst. Wenn man die Wahl des Moderators betrachtet, sind bedingte Wahrscheinlichkeiten für dich prima, aber bei der Wahl des Kandidaten sind sie plötzlich unnötig/böse/Unsinn? So habe ich dich verstanden.

Über dem Bild schreibst du „Das Standard-Paradoxon ist bietet keine Möglichkeit, dass er darüberhinaus weitere Information erhalten kann, in welchem der beiden Szenarien er sich aktuell befindet.“ Ja, Zustimmung, das ist richtig und wichtig. Aber die Frage muss doch sein, warum ist das so? Ist das offensichtlich oder muss man sich das genau überlegen? Mathematisch beweisen? Du scheinst damit zu argumentieren, dass der Moderator auf die Wahl des Kandidaten reagieren muss, dass er also (teilweise) unfrei ist. Das ist zwar richtig, aber das wäre eher ein Argument gegen deinen Punkt, dass sich an der Wahrscheinlichkeit nichts ändert („Ich sehe, wie jemand anderes auf meine Wahl reagiert … Hmm, vielleicht kann ich das ja doch irgendwie ausnutzen …“). Anders wäre die Situation, wenn die Reaktion des Moderators völlig unabhängig von der Entscheidung des Kandidaten wäre. Dann wäre klar, dass man keine Information daraus ziehen kann – aber das ist ja nicht der Fall. Man muss sich daher überlegen, dass man keine zusätzliche Information bekommt, obwohl der Moderator auf den Kandidaten reagieren muss. -- HilberTraum (Diskussion) 19:54, 16. Apr. 2014 (CEST)

Danke HilberTraum. Die Rolle des Moderators ist der "Schlüssel" zum Verständnis des Paradoxons. Leonard Mlodinow sagt in seinem Werk Wenn Gott würfelt oder Wie der Zufall unser Leben bestimmt (Original: The Drunkard's Walk: How Randomness Rules Our Lives): "The Monty Hall problem is hard to grasp, because unless you think about it carefully, the role of the host goes unappreciated."

Der Moderator ist uns unbekannt. Was wir von ihm wissen ist lediglich, dass er seine Wahl zwischen den beiden vom Kandidaten nicht gewählten Türen keinesfalls "zufällig" trifft, sondern dass seine Wahl unter der "Bedingung" seiner Absicht erfolgt, eine Niete vorzuweisen und dem Kandidaten die zweite noch verschlossene Türe als Alternative anzubieten. Sollte in 1/3 die Erstwahl des Kandidaten das Auto gewesen sein und ein Türwechsel dessen Verlust, kann der Moderator zwischen seinen beiden Ziegen frei wählen. Wie Morgan et al. 2010 (American Statistician, siehe oben) auf eine Replik präzisierten, besteht sodann für das Paradoxon keinerlei Unterschied, welche seiner beiden Türen der Moderator aktuell tatsächlich öffnet, weil es (für das Paradoxon) keinen Unterschied macht.

Sollte in 2/3 der Kandidat jedoch eine Ziege gewählt haben und ein Türwechsel mit Sicherheit den Gewinn bringen, ist der Moderator in seiner Türwahl gänzlich unfrei und Sklave seiner Absicht, eine Niete zu zeigen. Aus dieser Unfreiheit des Moderators resultiert die "bedingte 2/3-Gewinnchance" zugunsten eines Türwechsels – im Unterschied zu einer nicht bedingten, sondern "rein zufälligen" Türwahl, wobei der Moderator die Hälfte der gegebenen Gewinnsituationen durch das Öffnen der Autotüre eliminieren würde und nur in der anderen Hälfte eine Ziege vorweisen könnte. Siehe UCSD: "Monty Knows Version" (das Paradoxon) versus – vom Paradoxon abweichend – "Monty Does Not Know Version".

Der Artikel sollte das Paradoxon und dessen Grundlage (Absicht des Moderators im Unterschied zur "zufälligen" Türwahl) klar präsentieren und andere "Varianten", die das Paradoxon nicht tangieren, als solche kategorisieren. Aus Respekt vor dem Leser und aus Respekt vor dem weltberühmten "hartnäckigen" Paradoxon. Gerhardvalentin (Diskussion) 16:59, 18. Apr. 2014 (CEST)

Schwächen des Artikels

Die obige Antwort (10:19, 20. Apr. 2014) war zu erwarten. Der Artikel leidet darunter, dass das weltberühmte Paradoxon (mit seiner innewohnenden Zwangsläufigkeit) an proinenter Stelle nicht deutlich genug dargestellt wird. Die gemäß Literatur notwendige Voraussetzung für das Entstehen des berühmten Paradoxons wird nicht deutlich genug als die "Geburt des hartnäckigen Paradoxons" vorgestellt:

Vom Moderator ist lediglich bekannt, dass er – nachdem sich der Kandidat zu Anfang für eine von drei verschlossenen Türen (oder einen von drei Vorhängen) gleicher Gewinnwahrscheinlichkeit entschieden hat, eine der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Türen öffnet, um eine Ziege zu zeigen und dem Kandidaten einen Wechsel auf die andere noch verschlossene Türe anzubieten. Das ist die für jeden, der sich mit dem Paradoxon beschäftigt, implizite Grundlage des Paradoxons. Mehr ist – auch über den Moderator − nicht bekannt. Morgan et al. (2010) nennen als Konsequenz: Wenn es die Rolle des Moderators ist, ausschließlich eine Ziege zu zeigen, sollte der Kandidat aktuell wechseln. Und: die Wahrscheinlichkeit, durch einen Türwechsel das Auto zu gewinnen "beträgt 2/3. Punktum."

Sämtliche beliebigen zusätzlichen willkürlichen "Annahmen", die über die – für jeden einsehbar (!) – "notwendigen" Voraussetzungen zum Erscheinen des Paradoxons hinausgehen, behandeln nicht das Paradoxon, sondern sind vom Paradoxon abweichende Fragestellungen. MvS: "Anything else is a different question."

Das verzichtbare fortwährende Darstellen der Gepflogenheiten Monty Halls hinsichtlich der historischen Fernsehserie ist in der aktuellen Form kein Gewinn für den Artikel, sondern lenkt vom weltberühmten Paradoxon ab.

Übrigens: Bereits die allererste Überschrift "Die 'erfahrungsbezogene' Antwort" ist schon allein sprachlich irreführend. Sie suggeriert "auf Erfahrung beruhende korrekte Antworten", während offensichtlich "üblicherweise anzutreffende unrichtige Antworten" angesprochen werden. Der Artikel sollte von Grund auf neu gestaltet werden. Gerhardvalentin (Diskussion) 20:59, 20. Apr. 2014 (CEST)

Der von Dir angeführte Artikel Meinungsbildung im Internet – Kurioses wird Norm enthält in der Tat sehr treffende Charakterisierungen zu den Schwächen und Problemen des Lemmans und Erläuterungen dazu, wie diese entstanden sind. Einer der m.E. treffendsten Charakterisierungen lautet: Der Gebrauch nichtssagender Grafik ist ausufernd, ebenso die Nutzung bombastischer Mathematik. Solltest Du es wagen (so muss man das wohl formulieren), Alternativen zu erarbeiten, so darfst Du Dich meiner wohlwollenden Untersützung sicher sein. Meine bereits ausgesprochene Empfehlung: Immer nah an der Literatur dran bleiben. Für die populäre Einleitung, die Aufschluss über den paradoxen Charakter geben sollten, sind das zunächst die populären Publikationen wie Parade Magazin, Die Zeit, Der Spiegel, die Bücher von Randow und Rosenhouse etc., gerne auch dazu andernorts formulierte Gegenreden wie von Morgan et.al.: Wikipedia referiert bekanntlich.

--Lefschetz (Diskussion) 17:59, 21. Apr. 2014 (CEST)

Danke, jene Seite der Hochschule Fulda fand ich gestern ca. drei Stunden nach meinem letzten Edit, auch sie weist auf die hier beanstandeten Schwächen des WP-Artikels hin. Den Schwerpunkt sollte in erster Linie der paradoxe Charakter des von MvS präsentierten Puzzles sein, er beruht auf der extremen Einseitigkeit des (im übrigen unbekannten) Moderators, der die Auto-Türe niemals öffnet. Diese Einseitigkeit ist bekannt (... There’s no way he can always open a losing door by chance!) Das sollte (zum Verstehen des Paradoxons) absolut Priorität haben.

Hingegen ist eine ins Treffen geführte (hinsichtlich des beschriebenen Paradoxons zwar völlig unbekannte) Einseitigkeit des Moderators bei seiner Wahl zwischen zwei Ziegen nur dann relevant, wenn andere (vom beschriebenen Paradoxon abweichende) Spielregeln eine solche als "bekannt" vorsehen würden, nur um sie danach dann aber sogleich eifrig beflissen und emsig durch eine (für das beschriebene Paradoxon überflüssige) "Bedingung" zu neutralisieren, "er wähle in solchen Fällen ausgeglichen". Das ist ganz offensichtlich im beschriebenen Paradoxon ohnehin implizit (siehe Morgan et al. 2010) [1].

Übrigens sagt auch Prof. Richard D. Gill (Uni Leiden) in The Monty Hall Problem is not a Probability Puzzle (it's a challenge in mathematical modelling) und in seinem Werk The Monty Hall Problem:

"Since 2/3 overall is the best you can do, and you can achieve that by always switching, it's a waste of time to look at the specific door numbers and a waste of time to figure out conditional probabilities with Bayes' theorem or whatever."

Es ist für das Verständnis der einzig korrekten Antwort (in "jedem" aktuellen Fall ausnahmslos wechseln!) äußerst hinderlich, wenn der Artikel diesbezüglich völlig unnötig lang und breit und unübersichtlich verwirrt. Ein Hinweis auf die Ansicht von beispielsweise Morgan et al. (1991) sollte präzise und kompetent abgehandelt werden. Es geht um die auf Fachliteratur beruhende Relativierung des (umstrittenen) Standpunkts, zur Beantwortung der Frage "ist ein Türwechsel vorteilhaft?" müsse – über 2/3 : 1/3 hinaus – für den Einzelfall die exakte Gewinnwahrscheinlichkeit berechnet werden, die durch allfällige zusätzliche Hinweise des Moderators "unterschiedlich beeinflusst" sein könnte. Gerhardvalentin (Diskussion) 21:39, 21. Apr. 2014 (CEST)

Denkfehler "2/3 Chance"

In der Behauptung, es gäbe eine 2/3 Chance, steckt ein Denkfehler. In der ersten Runde entscheidet ja gar nicht der Kandidat, welches Tor geöffnet wird (womit auch das Auto aus dem Rennen fliegen könnte), sondern IMMER der Moderator, der IMMER ein Ziegen-Tor entfernt und damit die verbleibende Auswahl IMMER auf Auto-Tor und Verlierer-Tor reduziert. Dieser Teil der Show ist statisch, er hat keine Auswirkung auf die Spiel-Chancen. Erst in der zweiten Runde trifft der Kandidat eine Entscheidung, und zwar IMMER zwischen nur 2 Toren, DAS ist das eigentliche Spiel. Ähnliches machen Zauberkünstler, indem sie vor/während dem eigentlichen Trick die Aufmerksamkeit der Zuschauer auf die Betrachtung und Kontrolle von, für den Trick unwesentlichen Gegenständen lenken.

Zudem unterschlägt die bisherige Betrachtung die Aufgabe des Moderators: er soll eine Show möglichst abwechslungsreich gestalten und Sendezeit damit füllen. Er soll einerseits die Kosten der Sendung senken, indem er mehr als 50% der Kandidaten mit einer Ziege/Zonk nachhause schickt, darf andererseits aber auch nicht das völlige Ausbleiben eines Gewinners bewirken, weil das die Einschaltquoten und damit die Werbeeinnahmen aus dem Productplacement senken würde.

Die eigentlich schwierige Aufgabe des Moderators ist es, kein Muster erkennbar werden zu lassen, nach dem er Gewinn oder Verlust zu steuern versucht. Deshalb wird er z.B. auch Kandidaten dazu überreden, zum Auto-Tor zu wechseln (die dann gewinnen), damit man eben gerade aus seinen Überredungsversuchen oder Geldangeboten NICHT auf die Position des Gewinn-Tores schließen kann. --78.52.169.79 18:18, 21. Feb. 2014 (CET)

@78.52.169.79: Du sprichst nicht vom Ziegenprobem, sondern du sprichst von anderen Shows, bei denen das Paradoxon nicht in Erscheinung tritt. Dort kann Monty dann allerdings tun und lassen was er will. Nicht jedoch im Paradoxon namens "Ziegenproblem". Gerhardvalentin (Diskussion) 18:57, 24. Apr. 2014 (CEST)

Ergänzung:

Es werden nur die Fälle betrachtet, in denen der Kandidat das Tor nochmal wechselt. Dazugehören würde aber auch, die Gewinnwahrscheinlichkeit zu betrachten, wenn er das zuerst gewählte Tor behält. Wählt er in der ersten Runde ein Ziegen-Tor, hat er in der zweiten Runde das Auto-Tor als Alternative. Wählt er in der ersten Runde das Auto-Tor, hat er in der zweiten genau EIN Ziegen-Tor als Alternative, egal wieviele Ziegen-Tore der Moderator in der ersten Runde aus der Auswahl entfernt hat.

Daß das vom Moderator zu öffnende Tor keinen Einfluß hat, kann man sehen, wenn man als Ausgangslage nicht Auto-Tor und ZWEI Ziegen-Tore annimmt, sondern Auto-Tor und z.B. 19 Ziegen-Tore. Egal ob der Moderator die dann alle nacheinander in einzelnen Runden, oder alle auf einmal aus der Auswahl entfernt, die Gewinnwahrscheinlichkeit für die letzten 2 (entscheidenden) Tore bleibt die gleiche, eben nicht 1/20, wie man sonst bei 20 Toren annehmen müsste. --92.231.188.136 17:13, 22. Feb. 2014 (CET)

Du übersiehst, dass der Kandidat in der ersten Runde die Tür auswählt, die der Moderator NICHT öffnen darf. --Mixia (Diskussion) 14:05, 24. Feb. 2014 (CET)

@92.231.188.136:: Der von Dir gezogene Schluss ist nicht korrekt. Ruma Falk sagt zwar: Wenn der Kandidat aus 1 Million Türen eine Tür wählen darf und der Moderator anschließend aus den 999'999 nicht gewählten Türen nur Türe Nummer 777'777 geschlossen lässt und die restlichen 999'998 Ziegen-Türen alle öffnet, doch uns dabei bereits BEKANNT ist, dass er NIEMALS Tür 777'777 öffnet, wenn immer das möglich ist, stehen die Chancen der beiden verschlossenen Türen "1:1". Das ist korrekt. Aber NUR dann.

Bitte beachte aber: Wenn uns eine solche "Vorliebe" des Moderators jedoch NICHT bereits bekannt ist, beträgt die Chance zugunsten des Wechselns freilich "999'999:1".

Doch sollte der Moderator die Autotüre nicht kennen und die 999'998 Türen nach dem Zufallsprinzip auswählen und sie alle zeigen Ziegen, beträgt die Chance zugunsten des Wechselns nur "999'998 : 1". Der Grund liegt darin, dass der Moderator in durchschnittlich einer einzigen von einer Million Gewinn-Situation das Auto offenbaren könnte und damit jene typische Gewinnsituation vereitelt.

Nun, "The Host Does Not Know" macht bei diesem Beispiel nur einen Unterschied von "1:999'999" zu "1:999'998", ist also eher marginal, doch beim "Ziegenproblem" beträgt die Differenz beachtliche "1:2" zu "1:1" (Halbierung).

Doch die (bekannte oder unbekannte?) Vorliebe, sprich Einseitigkeit des Moderators, wirkt sich gemäß Ruma Falk weit deutlicher aus. Ein Kreuz, dass Morgan et al. erst spät eingeshen haben. Denn gemäß Ruma Falk (1991) würde eine "nicht bereits zuvor bekannte Vorliebe" bei der Millionen-Variante eine Gewinnchance bei Wechseln von "999'999:1" bieten, sollte eine solche Vorliebe jedoch bereits vordefiniert sein, reduziert sich die Gewinnchance auf "1:1". Empfehlung: Rums Falk (1991) lesen, eine der zum Thema kompetentesten Fachautorinnen. Sie ist zwar hochrangige Mathematikerin, ihr Fachgebiet ist Psychologie. Sie lässt sich jedenfalls von "Mathe" nicht so leicht verwirren. Gerhardvalentin (Diskussion) 18:57, 24. Apr. 2014 (CEST)

Indifferenzprinzip o.ä.

Die Diskussion dient ja bekanntlich nicht dazu, einen Blog zwischen „richtig“ und „falsch“ zu veranstalten. Trotzdem fand ich die heute angeführte Argumentation von Geodel interessant, weil sie manches erklärt.

Wenn man sich an der Literatur orientiert, gibt es für das Problem, bei dem vor Beginn der Show bekannt ist, dass der Moderator eine vom Kandidaten zunächst nicht gewählte Türe mit Ziege öffnet, die folgenden, in der Literatur nachweisbaren Erklärungen für Wahrscheinlichkeiten:

• 1/2 aufgrund Indifferenzprinzip: Das ist der klassische Fehlschluss, den es leider immer noch gibt – siehe oben.

• 2/3 aufgrund A-Priori-Verteilung: Dass der Moderator ein spezielles Verhalten gehabt haben könnte, wird schlicht ignoriert.

• 2/3 gemäß einem Indifferenzprinzip in Bezug auf den Moderator (im Lemma derzeit „ausgeglichener Moderator“)

• jeder Wert zwischen 1/2 und 1: Von einem Bayesschen Standpunkt, d.h. für einen einmaligen Vorgang ohne Möglichkeit einer frequentistishen Sicht, lässt sich jeder Wahrscheinlichkeitswert zwischen 1/2 und 1 erhalten, wenn man dem Moderator ein bestimmtes Verhalten unterstellt.
  • aber: im Sinne einer nicht-informativen A-priori-Verteilung ergibt sich auch bei dieser Sichtweise der einzelne Wert 2/3

• 2/3 liefern spieltheoretische Modellierungen, die allgemein jedes Verhalten von Kandidat und Moderator widerspigeln.

Habe ich etwas vergessen? Außer den Hinweis, dass die Zahl 2/3 sehr oft auftaucht. --Lefschetz (Diskussion) 22:57, 22. Apr. 2014 (CEST)

Meine Sicht (gehörte zwar besser auf die Seite "Argumente"):

Der Moderator öffnet eine vom Kandidaten zunächst nicht gewählte Türe mit Ziege und bietet einen Wechsel an. Die angebotene Tür hat folgende Gewinnchancen:

• 1/2 aufgrund Indifferenzprinzip: Das ist der klassische Fehlschluss, den es leider immer noch gibt – siehe oben.

• 2/3 aufgrund A-Priori-Verteilung: Dass der Moderator ein spezielles Verhalten gehabt haben könnte, wird "nicht schlicht ignoriert", sondern ein solches spezielles Verhalten ist hinsichtlich des Paradoxon völlig unbekannt. Zwar "könnte" der Moderator einen zusätzlichen Hinweis dazu gegeben haben, in welchem der beiden Szenarien sich der Kandidat aktuell befindet (Lucky Guess Scenario in 1/3 der Fälle, bei Türwechsel Verlust des Autos) oder Wrong Guess Scenario in 2/3 der Fälle, bei Türwechsel Gewinn des Autos). – In jedem Fall aber liegt die Gewinnchance bei Wechseln zwischen 1 und 1/2, doch die bloße "Annahme" eines konkreten von 2/3 abweichenden Wertes liefert dabei zwangsläufig eine aktuell zwangsläufig unkorrekte Gewinnchance. Der präziseste mögliche Wert, der in diesem Fall angegeben werden kann, ist hier die "overall probability" und lautet 2/3. Präziser ist nicht möglich. Alles andere ist unkorrekt.

• 2/3 gemäß einem Indifferenzprinzip in Bezug auf den Moderator (im Lemma derzeit „ausgeglichener Moderator“). Jedoch: den "ausgeglichenen Moderator" gibt es nur außerhalb des Paradoxons mit einer vom Paradoxon abweichenden "Spielregel", die eine konkret definierte, bestehende und bereits" bekannte Vorliebe" vorsieht, die von "1/2" abweicht. Nur dann kann Bayes' Formel zu einem konkreten "Wert" führen, andernfalls ist sie reiner Hoax (unvermögende Alibiformel), die außerstande ist, ohne jene bereits gegebene Kenntnis irgendeinen konkreten Wert liefern zu können (siehe "Des Kaisers neue Kleider").

• jeder Wert zwischen 1/2 und 1: Von einem Bayesschen Standpunkt, d.h. für einen einmaligen Vorgang ohne Möglichkeit einer frequentistishen Sicht, lässt sich jeder Wahrscheinlichkeitswert zwischen 1/2 und 1 erhalten, wenn man dem Moderator ein bereits bekanntes, vorbestimmtes Verhalten unterstellt.

• • aber: im Sinne einer nicht-informativen A-priori-Verteilung ergibt sich auch bei dieser Sichtweise der einzelne Wert 2/3

• 2/3 liefern spieltheoretische Modellierungen, die allgemein jedes Verhalten von Kandidat und Moderator widerspigeln.

Ist diese Ergänzung okay? Gerhardvalentin (Diskussion) 00:55, 23. Apr. 2014 (CEST)

WP hat sich ausschließlich an der Literatur zu orientieren. Deine, meine und Geodels Meinung sind völlig unmaßgeblich. Subjektiv an meiner obigen Darlegung ist ausschließlich, dass ich die Auswahl nach meinem Kenntnisstand getroffen habe und dass ich alle Argumentationen, außer natürlich dem erstgenannten, laienhaft angewendeten Indifferenzprinzip, mathematisch nachvollziehen kann. Ich interpretiere daher auch nicht, wie das Paradoxon zu verstehen ist (Deine Anmerkungen „... ein solches spezielles Verhalten ist hinsichtlich des Paradoxon völlig unbekannt“ und „... gibt es nur außerhalb des Paradoxons“). WP hat die maßgebliche Literatur darzustellen. Wenn Geodel unter seinem Klarnamen bei Springer ein Buch über seine Ansichten des Ziegenproblems veröffentlicht hätte (dürfen), so wäre dies hier zu referieren, genauso wie der Widerspruch dazu in anderen Fachpublikationen.

In Kürze steht das ja alles schon im Abschnitt Übersicht über die Fachliteratur zu „dem“ Ziegenproblem. M.E. sollten aber auch am Anfang dem interessierten Leser die Gedankengänge erklärt und nicht nur wie hinten referiert werden. Dafür ist WP ja da.

--Lefschetz (Diskussion) 08:19, 23. Apr. 2014 (CEST)

psst: Geodel, nicht Geodel … -- HilberTraum (Diskussion) 10:05, 23. Apr. 2014 (CEST)

Ja, in der Tat. Völlig einverstanden. Doch sollten wir zwischen dem von MvS angesprochenen Paradoxon (der Moderator öffnet eine der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Türen, um eine Ziege zu zeigen und danach einen Wechsel auf die andere nicht gewählte Tür anzubieten) und abweichenden Fragestellungen unterscheiden. Unterscheiden von Literatur, die gänzlich andere Fragestellungen behandelt.

Und dazu gehört nicht zuletzt auch die Tatsache, dass in der von MvS präsentierten Version (das Paradoxon spricht ausdrücklich von "einer" Show) für das "Lucky Guess Scenario" eben keinerlei als bekannt vorausgesetzte, bereits vordefinierte Vorliebe des Moderators für eine der beiden Ziegen (bzw. Ziegentore) vorgesehen ist. Zu diesem Thema sagt Ruma Falk ausdrücklich, dass zur Erwägung einer einseitigen Wahl (ungleich 1/2) eine solche Vorliebe "tatsächlich gegeben und bereits bekannt" sein müsse. Im von MvS präsentierten Paradoxon ist das nicht der Fall. Das ist offensichtlich der Grund dafür, dass die Literatur in der Folge "vorbeugend" eine solche Vorliebe ausdrücklich ausschließt. Nicht als „zusätzliche“ Bedingung, sondern lediglich als Notwehr gegen Fehlinterpretation). Um den Leser nicht zu verwirren, sollte man sich der evidenten "Genese" zumindest bewusst sein.

Wir sollten also wissen, über welche Themen gesprochen wird. Die Struktur des Artikels sollte dem Leser das Verständnis erleichtern und nicht erschweren. Der Artikel sollte ihn nicht unnötig blind auf Irrwege leiten. Gerhardvalentin (Diskussion) 11:18, 23. Apr. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt "Indifferenzprinzip o.ä." basiert auf einer lächerlichen Verfälschung der Argumentation Geodels.--Albtal (Diskussion) 11:54, 23. Apr. 2014 (CEST)

Wer lesen kann (und will), merkt, dass Geodels an Klarheit kaum zu übertreffende Aussage

„Der Moderator hat dir aber keine zusätzlichen Informationen bzgl. der beiden noch verschlossenen Türen geliefert, sie bleiben für dich also gleichberechtigt (indifferent). Demgemäß sind die Gewinnw'keiten für beide Türen gleich 1/2.“

im Abschnitt "Indifferenzprinzip o.ä." nur am Rande eine Rolle spielt. Aber vielleicht fallen Dir ja noch Arugmente für Deine vorstehend gemachte Aussage einer angeblich „lächerlichen Verfälschung“ ein.

--Lefschetz (Diskussion) 09:53, 24. Apr. 2014 (CEST)

Albtal hat vollkommen recht, wenn er dir Verfälschung vorwirft. Du sagst oben:

"1/2 aufgrund Indifferenzprinzip: Das ist der klassische Fehlschluss, den es leider immer noch gibt – siehe oben." (Fettdruck von mir)

Du beziehst dich also explizit auf meinen Beitrag. Der klassische Fehlschluss ist ja der, bei dem die zur 2/3-Lösung nötigen Spielregeln explizit vorausgesetzt werden und trotzdem auf der 50:50-Lösung beharrt wird. Mein Beitrag setzt aber diese Regeln nicht voraus (unbekannter Moderator), deshalb muss man deinen Bezug als unfairen Seitenhieb betrachten. Es wäre für die Diskussionskultur hier hilfreich, wenn du diesen falschen Bezug entfernen würdest.

Weiterhin ziehst du dich gerne auf einen vorgeblich neutralen Standpunkt zurück unter Verweigerung, klärende Argumente beizusteuern. Damit nimmst du bewusst in Kauf, dass Interessierte wie Gerhardvalentin im Irrglauben verhaftet bleiben, die 2/3-Lösung sei auch ohne zusätzliche Verhaltensregeln des Moderators gültig (unbekannter Moderator) und bestärkst sie darin, ihre gefährlichen Halbwahrheiten im Artikel zu verewigen. --Geodel (Diskussion) 18:38, 24. Apr. 2014 (CEST)

Wir diskutieren hier über eine Lemma mit der Überschrift Ziegenproblem bzw. Monty Hall Problem. Dort haben, wie bei WP üblich, die Dinge abgehandelt zu werden, die in der maßgeblichen Veröffentlichungen mit dem Begriff assoziiert werden (deshalb schauen die Leser nämlich auf die Seite!). Theoriefindung hat im Lemma und letztlich auch in der Diskussion zu unterbleiben. Varianten, die nicht in der maßgeblichen Literatur beschrieben werden, erfüllen nicht die WP-Relevanzkritieren, auch nicht auf der Diskussionsseite, die kein Blog für erdachte Problemstellungen und Lösungen ist.

Es gibt in WP auch keinen „Irrglauben“ oder gar „gefährlichen Halbwahrheiten“. WP referiert, wer was zu einem Thema beigetragen hat, sofern es relevant ist. Konkret: Wer hat „das“ Ziegenproblem mit welchen genauen Voraussetzungen untersucht hat und wie hat er argumentiert. Das ist dann mit Referenz so darzustellen, dass es der Leser hoffentlich nachvollziehen kann.

Bleibt noch die Frage nach der Referenz für Deine „unbekannter Moderator“-Version.

--Lefschetz (Diskussion) 19:29, 24. Apr. 2014 (CEST)

Die "Referenz" für meine „unbekannter Moderator“-Version sind mehrere Disk-Beiträge von Gerhardvalentin und anderen, die bei ihrer Begründung des "Auftauchens des Paradoxons" (der 2/3-Lösung) niemals die dem Kandidaten vorher bekanntzumachende Spielregel "der Moderator muss eine nichtgewählte Ziegentür öffnen" in Betracht ziehen. Dazu dient die Diskussionseite nämlich auch: um Unklarheiten und Missverständnisse bzgl. des Ziegenproblems unter den (potenziellen) Autoren auszuräumen. Das hat nichts mit Theoriefindung sondern eher mit Klärung einer nachvollziehbaren und lesbaren Darstellung zu tun. --Geodel (Diskussion)

Urnenmodell

Eines ist ja unbestritten: Nachdem der Moderator eine nicht gewählte Ziegentür geöffnet hat und deshalb noch genau ein Auto und eine Ziege „im Spiel“ sind, gewinnt der Kandidat, wenn er vor der Auto-Tür steht und nicht wechselt oder wenn er vor der (verbliebenen) Ziegen-Tür steht und wechselt. Wenn der Kandidat vermutet, vor der Auto-Tür zu stehen, wird er nicht wechseln, und er wird gewinnen, wenn er recht hat. Wenn er vermutet, vor der Ziegen-Tür zu stehen, wird er wechseln und gewinnen, wenn er recht hat, denn durch das Wechseln landet er in diesem Fall ja mit Sicherheit beim Auto. Der Kandidat gewinnt also genau dann, wenn er recht hat mit seiner Annahme, was hinter seiner anfangs gewählten Tür steht.
Man könnte die Auflösung daher auch so gestalten: Der Kandidat muss sagen, was er hinter der von ihm gewählten Tür vermutet, daraufhin wird diese Tür geöffnet. Gewonnen hat er, wenn er „Auto“ gesagt hat und das Auto hinter der Tür steht, oder wenn er „ZIege“ gesagt hat und die verbliebene ZIege hinter der Tür steht („Ziege“ zu sagen ist ja gleichbedeutend mit „ich denke, das Auto steht hinter der anderen Tür“, und das ist ja zwingend so, wenn hinter seiner Tür tatsächlich die Ziege steht). Wie oben gewinnt der Kandidat also genau dann, wenn er den Inhalt seiner Tür korrekt benennen kann.
Als Urnenmodell stellt sich das wie folgt dar: Eine Urne enthält eine weiße und zwei schwarze Kugeln. Der Kandidat zieht blind eine Kugel, die er vorerst nicht anschauen darf. Dann entfernt der Moderator eine schwarze Kugel aus der Urne. Dann sagt der Kandidat „schwarz“ oder „weiß“, und die Farbe der von ihm gezogenen Kugel wird kontrolliert. Er hat gewonnen, wenn er die richtige Farbe genannt hat.
In diesem Modell wird insbesondere klar, dass sich die Farbe der gezogenen Kugel natürlich nicht ändert, nur weil der Moderator anschließend eine nicht gezogene Kugel aus der Urne nimmt. Welche Farbe der Kandidat zieht, entscheidet sich im Moment des Ziehens der Kugel, und die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben ergeben sich aus der Konstellation, die zu diesem Zeitpunkt gegeben ist.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   22:25, 23. Apr. 2014 (CEST)

Hm, es geht ja nicht so sehr um die tatsächlich gezogene Farbe, sondern um die Einschätzung des Kandidaten, welche Farbe er gezogen hat – und die kann sich natürlich schon ändern. Beispiel: Er sieht, dass der Moderator eine weiße Kugel aus der Urne entfernt. Dann ist er sich plötzlich 100-prozentig sicher, dass er eine schwarze Kugel in der Hand hält, ohne nachschauen zu müssen. -- HilberTraum (Diskussion) 07:38, 24. Apr. 2014 (CEST)

Richtig, es geht nicht darum, die „richtige“ Kugel zu ziehen, sondern darum, die Farbe der gezogenen Kugel zu erraten. Und natürlich kann sich die Einschätzung der Farbe der gezogenen Kugel ändern, nachdem der Moderator eine Kugel aus der Urne entfernt hat. Deshalb gibt der Kandidat seine Vermutung ja auch erst nach diesem Entfernen einer Kugel ab. Das Entfernen der weißen Kugel entspricht dem Öffnen der (nicht gewählten) Auto-Tür durch den Moderator. Der Kandidat wird in diesem Fall sicher das Auto gewinnen.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   10:08, 24. Apr. 2014 (CEST)

Hmm := „Hm + 1“: Erstens ist es fraglich, ob das Urnenmodell klarer ist. Zweitens vermisse ich eine Referenz, sofern das Urnenmodell als Kandidat für das Lemma gedacht ist. Drittens ist das Urnenmodell in seiner Aussage, dass sich die Qualität einer späteren Wechselentscheidung bereits zum Zeitpunkt der ersten Wahl zeigt, äquivalent zur zweiten Tabelle des Abschitts Antwort von Marilyn vos Savant. Es orientiert sich damit an der A-Priori-Verteilung. M.E. ist das sehr stichhaltig, wird auch von einigen Autoren so vertreten, aber seltener als die Erklärung auf Basis des „Indifferenzprinzips in Bezug auf den Moderator“ (=„ausgeglichener Moderator“) --Lefschetz (Diskussion) 08:14, 24. Apr. 2014 (CEST)

Ich weiß nicht, ob das Urnenmodell sinnvoll für den Artikel sein könnte, das war gar nicht meine Intention. Ich habe auch keine Referenz, weil ich das nicht aus der Literatur entnommen, sondern selbst formuliert habe (es kann natürlich in der Literatur auch schon verwendet worden sein, mir ist es einfach nicht bekannt). Ich wollte dieses Urnenmodell hier lediglich einmal zur Diskussion stellen, ob es wirklich eine exakte Modellierung des Ziegenproblems darstellt. Anlass war nicht zuletzt die weiter oben von Geodel an mich gerichtete Frage „Wie groß wäre denn die Gewinnw'keit, wenn der Moderator die vom Kandidaten zuerst gewählte Tür 1 geöffnet und eine Ziege gezeigt hätte, und dann einen Wechsel zu einer der beiden geschlossenen Türen angeboten hätte?“. Dies lässt sich im Urnenmodell schön darstellen: Es entspricht dem Ablauf, dass der Moderator, nachdem der Kandidat eine Kugel blind und versteckt gezogen hat, die gezogene Kugel aufdeckt und der Kandidat weiß, dass er eine schwarze Kugel gezogen hat. Daraufhin zieht der Kandidat noch einmal blind und verdeckt eine Kugel aus der Urne und muss sagen, welche Farbe sie hat. Hier beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/2, wie oben in meiner Antwort an Geodel ausgeführt.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   10:08, 24. Apr. 2014 (CEST)

@Troubled @sset ("parallel" zu deinem letzten Beitrag erstellt): Du schreibst oben zu Recht: Wenn der Moderator Tür 1 öffnet (egal ob zufällig oder gezielt) und dahinter eine Ziege steht, steigt die Wahrscheinlichkeit für das Auto für beide anderen Türen jeweils auf 1/2. Wenn der Moderator aber eine nichtgewählte Ziegentür öffnet, bist du der Auffassung, dass die Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür wie am Anfang 1/3 beträgt. Es ist aber so, dass schon die Möglichkeit, dass der Moderator auch die Ziegentür der ersten Wahl öffnen könnte, zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 für beide verbleibenden Türen führt, auch wenn er eine nichtgewählte Ziegentür öffnet. Beim Urnenbeispiel ist tatsächlich alles Wesentliche äquivalent. Die hier betrachtete Variante kann man z.B. so nachbilden, dass der Moderator auch die Möglichkeit hat, die vom Kandidaten gezogene Kugel sofort zeigen zu lassen, wenn sie schwarz ist, und ihm eine neue Wahl anzubieten. Auch hier führt allein schon diese Möglichkeit dazu, dass die Wahrscheinlichkeit für "weiß" 1/2 beträgt, wenn der Moderator vor der endgültigen Entscheidung eine schwarze Kugel zeigt.

Der zugrundeliegende Denkfehler ist aus meiner Sicht entscheidend dafür, dass sich die Zwei-Drittel-Lösung auch ohne die entscheidende Spielregel so weit verbreitet hat; d.h. dass man auf eine unbeabsichtigte Scherzaufgabe hereingefallen ist.

Diese Zusammenhänge werden ausführlich in Ein Auto und zwei Ziegen dargestellt. Dort ist auch ein Leserbrief des Autors von 1991 an DIE ZEIT angehängt, in der die Variante, in der der Moderator auch die Tür der ersten Wahl öffnen darf, der Variante gegenübergestellt wird, die tatsächlich eine 2/3-Lösung hat.

Der zentrale Satz zur Thematik lautet dort:

Meiner Ansicht nach wird bei vielen in der Zwei-Drittel-Fraktion auch heute noch nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung, insbesondere auch für das "Nachspielen" und für "Computer-Beweise".--Albtal (Diskussion) 10:43, 24. Apr. 2014 (CEST)

@Albtal: Weiter oben hatte ich dazu schon geschrieben:
Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen dem Öffnen einer nicht gewählten Tür und dem Öffnen der gewählten Tür durch den Moderator: Wenn eine nicht gewählte Tür geöffnet wird, steht für einen allfälligen Türwechsel nur noch eine Tür zur Verfügung, und wenn der Kandidat vor einer Ziegen-Tür steht und wechselt, gewinnt er mit Sicherheit. Die Unsicherheit besteht hinsichtlich des Inhalts der zuerst gewählten Tür, nicht hinsichtlich der bei einem Wechsel gegebenenfalls zu wählenden Tür, und die Aufgabe lautet daher, richtig zu vermuten, ob man vor der Auto-Tür oder der Ziegen-Tür steht – wenn man vermutet, vor der Ziegen-Tür zu stehen und damit recht hat und wechselt, gewinnt man mit Sicherheit, weil das Auto dann hinter der verbliebenen geschlossenen Tür stehen muss. Wenn der Moderator hingegen die gewählte Tür öffnet und dahinter eine Ziege steht, ist die Unsicherheit bezüglich dieser Tür verschwunden, der Kandidat hat aber *zwei* Türen zur Auswahl und keine Informationen, welche davon die richtige ist. Er weiß mit Sicherheit, dass hinter seiner Tür eine Ziege steht und er wechseln muss, er gewinnt bei diesem Wechsel aber nicht mit Sicherheit, sondern nur zu 50 Prozent.
Nehmen wir im Urnenmodell an, der Kandidat hat blind und verdeckt eine Kugel gezogen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 ist sie schwarz. Dann wirft der Moderator eine Münze, ob er eine nicht gezogene schwarze Kugel aus der Urne entfernt oder ob er die vom Kandidaten gezogene Kugel aufdeckt – die Farbe der bereits gezogenen Kugel ändert sich dadurch nicht. Als Ergebnis des Münzwurfs nimmt der Moderator daraufhin eine nicht gezogene schwarze Kugel aus der Urne. Auch dadurch ändert sich die Farbe der bereits gezogenen Kugel nicht – in zwei von drei Fällen ist sie schwarz. Dass der Moderator diese Kugel stattdessen auch direkt hätte aufdecken können, ändert nichts an der Farbe der gezogenen Kugel. Immerhin ist die Kugel auch dann in zwei Dritteln aller Fälle schwarz, wenn der Moderator sie direkt aufdeckt.
Wir sind und einig, dass die zuerst blind und verdeckt gezogene Kugel in zwei von drei Fällen schwarz ist. Betrachten wir nun folgende Möglichkeiten:

• Der Moderator muss immer die zuerst gezogene Kugel direkt aufdecken. In zwei von drei Fällen ist die Kugel schwarz.
• Der Moderator muss vor dem Aufdecken der zuerst gezogenen Kugel immer eine nicht gezogene schwarze Kugel aus der Urne entfernen. Die Farbe der zuerst gezogenen Kugel ändert sich dadurch nicht (er könnte auch beide Kugeln aus der Urne entfernen oder weitere Kugeln in die Urne geben), und wenn wir sie anschließend aufdecken, ist sie in zwei von drei Fällen schwarz.
• Der Moderator hat die freie Wahl zwischen diesen beiden Möglichkeiten – direkt aufdecken oder erst eine Kugel aus der Urne nehmen. Wenn er also zufällig die Variante „vor dem Aufdecken der zuerst gezogenen Kugel eine nicht gezogene schwarze Kugel aus der Urne entfernen“ wählt – warum soll sich dadurch die Farbe der zuerst gewählten Kugel ändern können? Warum soll die nicht mehr in zwei von drei Fällen schwarz sein? Warum sollen zwei Varianten, die beide immer zum gleichen Ergebnis führen, zu einem anderen Ergebnis führen, wenn man sich zufällig zwischen diesen beiden Varianten entscheiden kann?

Wir spielen zwei verschiedene Spiele, die identisch beginnen – der Kandidat zieht blind und verdeckt eine Kugel –, dann aber unterschiedlich fortgesetzt werden. Beide Spiele haben bestimmte Wahrscheinlichkeiten, die Wahrscheinlichkeiten in einem Spiel ändern sich aber nicht dadurch, dass alternativ auch ein anderes Spiel gespielt werden könnte.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   13:18, 24. Apr. 2014 (CEST)

Wenn die Entscheidung, wie das Spiel fortgesetzt wird, abhängig vom bisherigen Spielverlauf getroffen wird, dann ändern die Wahrscheinlichkeiten schon. Wenn zum Beispiel der Moderator nur dann direkt aufdeckt, wenn die zuerst gezogene Kugel schwarz ist, dann weiß man, dass man eine weiße Kugel hat, wenn nicht aufdeckt. Ich weiß auch nicht, was es mit der Sprechweise „die Farbe ändern“ auf sich haben soll. In einem Urnenmodell ändern doch Kugeln niemals ihre Farbe … Übersetzt auf das Ziegenproblem bedeutet das, dass nachträglich die Ziegen und das Auto hinter den Türen nicht umgestellt werden dürfen. -- HilberTraum (Diskussion) 13:52, 24. Apr. 2014 (CEST)

Man kann auch von folgendem Verhalten des Moderators ausgehen: Er öffnet (zufällig mit Wahrscheinlichkeit 1/2) eine der beiden Ziegentüren und bietet einen Wechsel an. (Darauf wird auch im Artikel unter Moderator kann auch das zuerst gewählte Tor öffnen eingegangen.) Mit allen korrekten Beweismethoden, die hier und im Artikel schon vorgestellt wurden, kann man zeigen, dass dann die Gewinnwahrscheinlichkeit für jede der beiden verbleibenden Türen auch dann 1/2 beträgt, wenn der Moderator eine nichtgewählte Ziegentür öffnet.--Albtal (Diskussion) 20:15, 24. Apr. 2014 (CEST)

@Albtal: Hast Du das von Dir schon zig-mal verlinkte Pamphlet von Dipl.-Math. Gerhard Keller, das von der Hohschule Fulda abgewiesen worden war, auch wirklich schon selbst gelesen? Keller spricht achtmal abschätzig von der "Zwei-Drittel-Fraktion", die die Bedeutung der "Spielregeln" angeblich nicht einmal ignorieren. Doch es geht im Artikel nicht allein um banale Nebenschauplätze, an denen sich das ins Auge gefasste Paradoxon eben nicht zeigt, sondern es geht in erster Linie darum, dem Leser das Paradoxon verstehen zu helfen. Dem Leser zu helfen, selbst zu erkennen, "wie" das Paradoxon in Erscheinung tritt (d.h. die erforderliche "Zangsläufigkeit"). Erst danach sollten Spielarten, bei denen sich das Paradoxon eben nicht zeigt, untersucht werden.

Übrigens kommentiert Marilyn vos Savant 1990-1991 in PARADE magazine (siehe Game Show Problem) ihre Antwort (2/3) mit:

"... the original answer defines certain conditions, the most significant of which is that the host always opens a losing door on purpose. (There’s no way he can always open a losing door by chance!) Anything else is a different question."

Weiters sagt sie

"The first door has a 1/3 chance of winning, but the second door has a 2/3 chance. Here’s a good way to visualize what happened. Suppose there are a million doors, and you pick door #1. Then the host, who knows what’s behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door #777,777. You’d switch to that door pretty fast, wouldn’t you?".

Damit nahm sie Gerhard Keller längst den Wind aus den Segeln, bevor er das erste Mal vom Monty Hall Problem gehört hatte. Und ich sagte bereits oben, dass Morgan et al. 2010 selbst zugaben, 1991 den in vos Savants präsentierter Fragestellung impliziten Sachverhalt nicht berücksichtigt zu haben: "To wit, had we adopted conditions implicit in the problem, the answer is 2/3, period." Damit sind die im Artikel stehenden "Spielregeln" bereits abgedeckt.

Wir sollten uns in der Artikeldisku darauf beschränken, den Artikel verbessen zu helfen. Für eigene Theorien (OR) gibt es die Seite "Argumente". Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 15:06, 24. Apr. 2014 (CEST)

Das verlinkte Pamphlet von Dipl.-Math. Gerhard Keller kenne ich sehr gut. Ich habe hier wieder darauf verwiesen, weil es genau zur laufenden Diskussion passte. Dass es allerdings von der Hochschule Fulda abgewiesen worden war, ist mir unbekannt. Du meinst vermutlich, dass ein Diskussionsbeitrag von Gerhard Keller im Blog eines Mitarbeiters der Fachhochschule Fulda nicht veröffentlicht worden war, der eigens zu Ein Auto und zwei Ziegen eingerichtet worden war. Diesen Beitrag - eine fiktive Diskussion zum Ziegenproblem - kann man inzwischen im Artikel von Gerhard Keller finden. Für einen, der diesen Artikel kennt, ist dein Beitrag dazu schon erstaunlich.--Albtal (Diskussion) 20:37, 24. Apr. 2014 (CEST)

Für einen, der das von MvS bereits Mitte 1991 vorgelegte Material eigentlich seit zwei Jahrzehnten kennn sollte, aber noch immer – im Unterschied zu Fachautoren – auf der "1/2:1/2" Lösung herumreitet, ist sein Elaborat kennzeichnend.
Halte Dich besser an

Ruma Falk, Dept. of Psychology and School of Education, The Hebrew University of Jerusalem, Jerusalem, Israel: Cognition, 43:
"A closer look at the robabilities of the notorious three prisoners", Received April 15, 1991, final revision accepted December 5, 1991.

Sie wird zwar in Wikipedia noch heute zitiert, doch von antiken Morgan (1991)-Anhängern eben immer noch in der "falschen Richtung". Insbesondere dass das als Alternative angebotene Tor keine 2/3-Chance biete, sondern die Chance "zwischen 1/2 und 1" läge. Weil sie sagte, falls eine Einseitigkeit des Moderators tatsächlich vorliegt und diese Einseitigkeit BEKANNT ist, müsse dem in der Ermittlung der Wahrscheinlichkeit Rechnung getragen werden. Sie hat recht.
Doch bis heute lernten manche Autoren nicht aus Ruma Falk (1991), die sagte die Chance bei der Millionen-Variante kann - je nachdem, ob ein tatsächlich vorhandenes "bias" bereits bekannt ist - oder nicht - betrage die Gewinnchance bei Wechseln beispielsweise entweder 1:1 oder 999'999:1. Und selbst Morgan et al. haben ja bereits 2010 reagiert: Aufgrund des von Marilyn vos Savant präsentieten Paradoxon und dessen impliziten Bedingungen betrage die Gewinnchance gem. Morgan et al. "2/3. Punktum." Eine angenommene "Vorliebe" des Moderators ist im Paradoxon nicht gegeben, Morgan (1991) machten auf eine interessante abweichende Variante aufmerksam. Interessant für den Unterricht in bedingter Wahrscheinlichkeit. Mehr nicht. Dem sollten wir anhand aktueller Literatur bei der Unterscheidung des Paradoxons von Nicht-Paradoxa - auch "interessanten" Nicht-Paradoxa - Rechnung tragen.

Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 21:07, 24. Apr. 2014 (CEST)

Ich weiß zwar nicht, warum du das alles hier schreibst; aber das von dir nicht so geschätzte "Pamphlet" erweist sich auch hier wieder als Fundgrube. Dort steht dazu im "Kleingedruckten", wo es auch nach meiner Ansicht hingehört: An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass an der Aufgabenstellung von Fachleuten auch deshalb Kritik geübt wurde, weil aus ihr nicht streng geschlossen werden kann, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Fälle 1. und 2. jeweils 1/6 betragen. Nur, dass deren Summe 1/3 betragen muss, folgt aus der Spielregel. Ohne die entsprechende Zusatzforderung in der Problemstellung wäre beispielsweise für die Wahrscheinlichkeiten der ersten beiden Fälle auch die Kombination 1/3 und 0 denkbar. Dies würde zwar die "durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit" von 2/3 bei einem "Wechsel" nicht ändern, aber diese Wahrscheinlichkeit würde "aufgespalten" in 2/3 der Fälle mit p=1/2 und 1/3 der Fälle mit p = 1.--Albtal (Diskussion) 23:18, 24. Apr. 2014 (CEST)

@Albtal:Keller ignoriert schlicht das von Marilyn vos Savant angesprochene Paradoxon und sämtliche seither vorliegende wissenschaftliche Fachliteratur. Diese geht unisono davon aus, dass im Paradoxon der Moderator durch das Vorzeigen einer Ziege keinerlei zusätzlichen Hinweis darauf gibt, ob sich der Kandidat aktuell denn nun im Lucky Guess Scenario (1/3, unveränderlich) oder im Wrong Guess Scnario (2/3, unveränderlich) befindet. Fazit der Fachliteratur unisono:

"If the host has a choice between which of two goats to show (i.e., when the contestant's initial guess is correct), the choice is made randomly with equal probability."

Missverständnis (!): Dieses "Fazit" der Fachliteratur, dass nämlich eine "diesbezügliche" Einseitigkeit im Verhalten des Moderators hinsichtlich der Aufgabenstellung des Paradoxons nicht feststellbar sein kann und somit hinsichtlich der "Analyse des Moderatorverhaltens" diesbezüglch "außer Acht zu lassen ist", wird von manchen Wikipedia-Autoren unter Missachtung der Fachliteratur gründlich missverstanden als "Zusatzannahme", als "an den Moderator gerichtetes Postulat", als an den Moderator gerichtete Verhaltensvorschrift. Absurd!

Das heißt auf Deutsch: Was das Paradoxon anbelangt, werden wir das aus der berühmten FRAGESTELLLUNG heraus nicht genauer als 1/3 : 2/3 wissen (können), und AUS DIESEM GRUND auch niemals eine "genauere" Gewinnwahrscheinlichkeit als 2/3 für das Wechseln in der aktuellen Sitation angeben können. Siehe beispielsweise auch Morgan et al. (2010): "To wit, had we adopted conditions implicit in the problem, the answer is 2/3, period."

Nochmals: Wir wissen zwar, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einm Wechsel zwischen 0.5 und 1 liegen muss, d.h. im Durchschnitt bei exakt 2/3. Und für das "Paradoxon" kann aufgrund der gegebenen Fragestellung eine genauere Angabe als "2/3" nicht gemacht werden.

Ein völlig anderes Thema ist, und das wird durch die Fachliteratur übersichtlich dargestellt, "Was, WENN uns eine Einseitigkeit des Moderators bekannt WÄRE?"

Das ist ein interessantes Thema für die mathematische Fachliteratur, insbesondere im Hinblick auf den Unterricht im Fach "Bedingte Wahrscheinlichkeitsrechnung". Das betrifft aber nicht das Thema "Paradoxon", sondern vielmehr das Thema Mathematik. Und kann - selbst wenn versucht wird, das sodann auf das "Paradoxon" anzuwenden, gemäß Morgan et al. (2010) niemals eine andere Antwort liefern als (Zitat): "Simply put, if the host must show a goat, the player should switch."

Keller sieht (als einziger?) diesen Unterschied zwischen Paradoxon und mathematischer Kunst (die sich darüber hinaus auch zahlreichen ähnlich gelagerten "Varianten" widmet) offensichtlich bis heute nicht. Er ist als "Quelle" hier nicht geeignet. Gerhardvalentin (Diskussion) 20:08, 25. Apr. 2014 (CEST)

Der verbreitete 2/3-Irrtum

Gerhardvalentin sagt:"Bereits die allererste Überschrift "Die 'erfahrungsbezogene' Antwort" ist schon allein sprachlich irreführend. Sie suggeriert "auf Erfahrung beruhende korrekte Antworten", während offensichtlich "üblicherweise anzutreffende unrichtige Antworten" angesprochen werden." Tatsächlich werden im besagten Abschnitt auf Erfahrung beruhende korrekte Antworten auf Savants Fragestellung beschrieben (siehe z.B. NewYorkTimes und Steinbach).

Gerhardvalentin sagt:"Vom Moderator ist lediglich bekannt, dass er – nachdem sich der Kandidat zu Anfang für eine von drei verschlossenen Türen (oder einen von drei Vorhängen) gleicher Gewinnwahrscheinlichkeit entschieden hat, eine der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Türen öffnet, um eine Ziege zu zeigen und dem Kandidaten einen Wechsel auf die andere noch verschlossene Türe anzubieten. Das ist die für jeden, der sich mit dem Paradoxon beschäftigt, implizite Grundlage des Paradoxons." Das entpricht in etwa der Situation in Savants Fragestellung. Folgendes ist dementsprechend bekannt:

1. Du (als Leser und Kandidat) befindest dich in einer einmaligen Spielsituation und hast eine von drei Türen, hinter denen jeweils ein Auto und zwei Ziegen versteckt wurden, gewählt, um das Auto zu bekommen.

2. Der Moderator hat (absichtlich) eine andere Tür geöffnet, hinter dem eine Ziege steht.

3. Der Moderator hat dir einen Wechsel auf die andere noch verschlossene Tür angeboten.

Mehr ist an dieser Stelle nicht bekannt, wie bereits festgestellt wurde. Grams (Hochschule Fulda) schreibt dazu:

"Hinter der vom Kandidaten gewählten Tür steckt der Hauptgewinn mit der Wahrscheinlichkeit 1/3. Mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 steckt der Hauptgewinn hinter einer der beiden anderen Türen. An diesen Wahrscheinlichkeiten ändert sich durch die Offenbarung einer Niete durch den - voraussetzungsgemäß gut informierten - Showmaster gar nichts. Der Showmaster liefert Information. Und diese kann der Kandidat nutzen. Wenn er auf die andere noch nicht geöffnete Tür wechselt, verdoppelt er seine Gewinnchance auf 2/3."

Seine Begründung ist genauso falsch wie die Schlussfolgerung. Warum?

Wenn du die Position des Autos nicht kennst, darfst du gemäß dem Indifferenzprinzip die W'keit, bei drei geschlossenen Türen die Autotür zu treffen, mit 1/3 ansetzen. Der Moderator liefert dir nun die Information bzgl. der drei Türen, dass sich der Gewinn nicht hinter der von ihm geöffneten Tür 3 befindet. Logischerweise müssen sich die Gewinnw'keiten für die übrigen zwei geschlossenen Türen ändern, sie sind nicht mehr beide 1/3. Der Moderator hat dir aber keine zusätzlichen Informationen bzgl. der beiden noch verschlossenen Türen geliefert, sie bleiben für dich also gleichberechtigt (indifferent). Demgemäß sind die Gewinnw'keiten für beide Türen gleich 1/2.

Korrekt ist die 2/3-Lösung nur unter zusätzlichen Bedingungen, wie sie aber in obiger Spielsituation nicht vorausgesetzt werden. --Geodel (Diskussion) 16:47, 22. Apr. 2014 (CEST)

Das "zwei Ziegen und ein Auto"-Pardoxon (Ziegenproblem) ist bekanntermaßen äußerst hartnäckig. Bitte sieh Dir Leonard Mlodinow an, der jahrelang mit Hawkins zusammengearbeitet hat, und den obigen Abschnett Das aktuelle Szenarium. Danke und Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 19:01, 22. Apr. 2014 (CEST)

Hallo, du schreibst „Der Moderator hat dir aber keine zusätzlichen Informationen bzgl. der beiden noch verschlossenen Türen geliefert, sie bleiben für dich also gleichberechtigt (indifferent). Demgemäß sind die Gewinnw'keiten für beide Türen gleich 1/2.“ Dein Denkfehler ist: Wenn du keine Annahmen über das Moderatorverhalten triffst – der Moderator also völlig frei ist –, dann kann man auch nicht wissen, ob er mit seiner (unbekannten) Strategie zusätzliche Informationen liefert oder nicht. Man weiß also nicht, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für die andere Tür 1/2 ist, sondern diese Wahrscheinlichkeit ist unbekannt. Deshalb kann man auch nicht wissen, ob Wechseln vorteilhaft ist oder nicht. -- HilberTraum (Diskussion) 18:50, 22. Apr. 2014 (CEST)

Du sagst:"...dann kann man auch nicht wissen, ob er mit seiner (unbekannten) Strategie zusätzliche Informationen liefert oder nicht." Die obige Spielsituation geht ja von einem unbekannten Moderator aus. Wenn man nicht weiß, ob Informationen geliefert werden oder nicht, dann bedeutet das einfach: keine Information. Und wenn man nicht weiß, ob wechseln vorteilhaft ist oder nicht, dann bedeutet das: Indifferenz. Also darf man für beide Türen die gleiche Gewinnwwahrscheinlichkeit annehmen. --Geodel (Diskussion) 19:21, 22. Apr. 2014 (CEST)

Nein: Wenn irgendjemand die Strategie des Moderators kennt (und wir nehmen mal an, dass zumindest er selbst sie kennt ;), dann „gibt“ es eine Gewinnwahrscheinlichkeit (z. B. könnte sie der Moderator ausrechnen), aber der Kandidat kennt sie nicht. Wenn er keine zusätzliche Information bekommt, kennt er sie nach dem Öffnen der Tür immer noch nicht. Sie ist unbekannt, nicht 1/2. Der Kandidat kann natürlich annehmen, dass sie 1/2 ist, wenn er will. Ich kann auch annehmen, dass du 1,83 m groß bist, aber ich habe keine Information darüber … -- HilberTraum (Diskussion) 19:59, 22. Apr. 2014 (CEST)

"Ich kann auch annehmen, dass du 1,83 m groß bist..." Gut geschätzt! ;-)

Warum ist das Auto aus Sicht des Kandidaten mit W'keit 1/3 hinter Tür 1, wenn er dessen Position nicht kennt? --Geodel (Diskussion) 22:16, 22. Apr. 2014 (CEST)

Entweder weil er zusätzlich angenommen hat, dass vor der Show das Auto rein zufällig hinter eine der Türen gestellt wurde, oder (besser!) weil er selber seine erste Wahl durch ein perfektes Zufallsexperiment, das 1,2,3 mit gleichen Wahrscheinlichkeiten liefert, getroffen hat. -- HilberTraum (Diskussion) 22:33, 22. Apr. 2014 (CEST)

Deine Annahmen werden weder im beschriebenen Szenario erwähnt noch zur Begründung obiger 2/3-Lösung genutzt. Du bist also der Meinung, dass ohne diese Annahmen der Lösungsansatz von Grams von vornherein fragwürdig ist? --Geodel (Diskussion) 18:34, 23. Apr. 2014 (CEST)

Ja, ist halt auch so eine Zusatzannahme, die man braucht, um überhaupt irgendwas Sinnvolles ausrechnen zu können. Im Artikel ist das die Voraussetzung 1. im Abschnitt Das Monty-Hall-Standard-Problem. Scheint mir aber sehr vernünftig (wenn bei jeder Show das Auto hinter die gleiche Tür gestellt wird, wird das sicher schnell langweilig … ;) und wird wohl auch in der Literatur nirgends ernsthaft angezweifelt, oder? Beides – das Auto wird zufällig platziert und der Kandidat wählt zufällig – kann man sicher auch gut mit Spieltheorie begründen. -- HilberTraum (Diskussion) 21:13, 23. Apr. 2014 (CEST)

Ich habe mal (auf die Schnelle) ein halbes Dutzend Papers zu dem Thema durchgesehen. Keiner dieser Autoren setzt voraus, dass Auto und Ziegen zu Anfang nach einem Zufallsentscheid hinter die Türen verteilt wurden, und keiner lässt den Kandidaten zufällig mithilfe eines Würfels ober Ähnlichem seine (erste) Wahl treffen. Nur Rosenhouse (in seinem Buch "The Monty Hall Problem", Seite 35) beschäftigt sich mit dem Thema und schreibt:

"A door will be said to be "correct" if it conceals the car and "incorrect" or "empty" if it conceals a goat. When we speak of being presented with identical doors, you should interpret that to mean that each of the doors has an equal probability of being correct." Und weiter:

"You are asked to choose, but not open, one of the doors. After doing so..."

Diese Autoren gehen anscheinend davon aus, was auch Lefschetz als "eine richtige Anwendung des Indifferenzprinzips" bezeichnet. --Geodel (Diskussion) 17:40, 24. Apr. 2014 (CEST)

Das Ziegenproblem beruht bekanntlich nicht darauf, dass zu Spielbeginn die Wahrscheinlichkeit der drei Türen, das Auto zu verbergen, ungleich groß ist. Es wird im Paradoxon vorausgesetzt, dass sie 1:1:1 beträgt. Die Art und Weise, wie das umschrieben wird, ist belanglos, solange es unmissverständlich und zweifelsfrei bleibt. Zur korrekten Rezeption des Ziegenproblems ist das für die Erstwahl des Kandidaten von noch größerer Bedeutung (siehe Richard D. Gill). Gerhardvalentin (Diskussion) 19:27, 26. Apr. 2014 (CEST)

"Es wird im Paradoxon vorausgesetzt, dass sie 1:1:1 beträgt." Man muss aber aus Gründen der Vollständigkeit und mathematischen Lösbarkeit des Problems dazu sagen, wie man diese A-priori-Verteilung erreicht. Diese Voraussetzungen, die erst zu einer eindeutigen (2/3-)Lösung führen können, werden aber in der sogenannten "Fach"-Literatur nicht korrekt benannt. --Geodel (Diskussion) 11:14, 27. Apr. 2014 (CEST)

@Geodel: „Logischerweise müssen sich die Gewinnw'keiten für die übrigen zwei geschlossenen Türen ändern, sie sind nicht mehr beide 1/3.“ Das ist so richtig wie selbstverständlich, die Wahrscheinlichkeiten für die beiden verbleibenden Türen müssen sich ja auf 1 addieren. Allerdings ändert sich allein durch das Öffnen einer nicht gewählten Tür das, was sich tatsächlich hinter der gewählten Tür befindet, ja nicht, und das ist in zwei von drei Fällen die Ziege. Wenn man keine Informationen über die Regeln des Spiels hat und auch die Beweggründe des Moderators (so ihm die Regeln hier Freiheiten lassen) nicht kennt, gibt es keinen Grund, anzunehmen, die Wahrscheinlichkeit für das Auto hinter der gewählten Tür sei von 1/3 auf 1/2 gestiegen.
„Der Moderator hat dir aber keine zusätzlichen Informationen bzgl. der beiden noch verschlossenen Türen geliefert, sie bleiben für dich also gleichberechtigt (indifferent). Demgemäß sind die Gewinnw'keiten für beide Türen gleich 1/2.“ Das ist falsch. Selbst wenn es tatsächlich so sein sollte, dass der Kandidat durch das Öffnen einer nicht gewählten Tür keine sinnvolle Grundlage für eine strategische Entscheidung zwischen den beiden verbleibenden Türen erhält und er deshalb letztlich keine bessere Möglichkeit hat, als eine Münze zu werfen, heißt das natürlich nicht, dass die Gewinnwahrscheinlichkeiten für beide Türen gleich sind. Beispielsweise könnte der Moderator maximal „gut“ sein, also die Tür immer sofort öffnen, wenn der Kandidat das Auto gewählt hat, und einen Wechsel nur dann anbieten, wenn der Kandidat eine Ziege gewählt hat (Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln: 1). Oder der Moderator könnte maximal „böse“ sein, also die Tür immer sofort öffnen, wenn der Kandidat eine Ziege gewählt hat, und einen Wechsel nur dann anbieten, wenn der Kandidat das Auto gewählt hat (Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln: 0). Der Umstand, dass der Kandidat mangels Informationen über die Regeln des Spiels und gegebenenfalls die Motivation des Moderators keine sinnvolle Entscheidung treffen kann und keine bessere Option als das Werfen einer Münze hat, bedeutet nicht, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für beide Optionen 1/2 beträgt. Die kann überall zwischen 0 und 1 liegen. Und deshalb ist es nicht zulässig, anzunehmen, die Wahrscheinlichkeit für die zuerst gewählte Tür sei von 1/3 auf 1/2 gestiegen.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   21:56, 22. Apr. 2014 (CEST)

Indifferenzprinzip: "Wenn keine Gründe dafür bekannt sind, um eines von verschiedenen möglichen Ereignissen zu begünstigen, dann sind die Ereignisse als gleich wahrscheinlich anzusehen." Dir als Kandidaten sind solche Gründe nicht bekannt, also... --Geodel (Diskussion) 22:16, 22. Apr. 2014 (CEST)

Leider hier und so nicht anwendbar: Es gibt Gründe dafür, nämlich die unstrittige A-priori-Verteilung.

„Nebenbei“, da wir bei Wikipedia sind: Welche Quelle hast Du für die Anwendung des Indifferenzprinzips in dieser Weise beim Ziegenproblem?

--Lefschetz (Diskussion) 22:24, 22. Apr. 2014 (CEST)

Welche unstrittige A-priori-Verteilung?

Das Indifferenzprinzip ist Grundlage der Analyse z.B. bei Savant:"Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3..."

@Troubled @sset: Wie groß wäre denn die Gewinnw'keit, wenn der Moderator die vom Kandidaten zuerst gewählte Tür 1 geöffnet und eine Ziege gezeigt hätte, und dann einen Wechsel zu einer der beiden geschlossenen Türen angeboten hätte? --Geodel (Diskussion) 18:34, 23. Apr. 2014 (CEST)

@Geodel:

Welche unstrittige A-priori-Verteilung?

Ich dachte, dass die anfängliche (a priori) Verteilung von je 1/3 für das Auto hinter Tür 1, 2 bzw. 3 bisher unbestritten war.

Das Indifferenzprinzip ist Grundlage der Analyse z.B. bei Savant:"Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3..."

Ja, also doch! Aber aus einer richtigen Anwendung des Indifferenzprinzips folgt natürlich nicht die Richtigkeit einer unzulässigen Anwendung wie bei Dir gestern (bzw. oben). Dazu ein schönes Zitat:

Wo sind die Fälle, die wir aufgrund von Symmetrien als gleichwahrscheinlich ansehen können? Nur zu Beginn sind sie erkennbar, wenn jede Tür gleichberechtigt ist. Jeder Versuch, auch später noch Symmetrien zu unterstellen, verstrickt sich schnell in reiner Spekulation (Bewersdorff, Glück, Logik und Bluff)

Und zur Tatsache, dass ein Indifferenzprinzip nicht nur auf Unwissen beruhen kann:

Das Prinzip basiert auf der Symmetrieüberlegung, nach der die einzelnen Ereignisse, welche im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie die gleichen Eigenschaften haben, untereinander austauschbar sind. (WP: Indifferenzprinzip)

--Lefschetz (Diskussion) 20:16, 23. Apr. 2014 (CEST)

Wenn drei geschlossene Türen zu Anfang ununterscheidbar sind, dann sind sie es wohl auch paarweise. Warum sollte das verbleibende Paar nicht mehr ununterscheidbar sein, wenn jetzt eine der Türen entfernt (geöffnet) wird? Was ist denn die Begründung dafür, dass diese Symmetrie beim unbekannten Moderator aufgehoben sein sollte? --Geodel (Diskussion) 17:40, 24. Apr. 2014 (CEST)

@Geodel: Wenn der Moderator Tür 1 öffnet (egal ob zufällig oder gezielt) und dahinter eine Ziege steht, steigt die Wahrscheinlichkeit für das Auto für beide anderen Türen jeweils auf 1/2.
Da wir zunächst keine Informationen haben, wo das Auto steht, gilt das Indifferenzpinzip: Die Wahrscheinlichkeit für das Auto hinter Tür 1 und hinter den beiden anderen Türen beträgt jeweils 1/3. Durch das Öffnen von Tür 1 kommt eine neue Information ins Spiel: Die Wahrscheinlichkeit für das Auto hinter Tür 1 sinkt auf null, die vorherige Wahrscheinlichkeit von 1/3 verteilt sich auf die beiden anderen Türen. Da wir über die beiden anderen Türen aber weiterhin nichts wissen, gilt weiter das Indifferenzprinzip, die Wahrscheinlichkeit von 1/3 von Tür 1 verteilt sich gleichmäßig auf beide anderen Türen und damit steigt deren Wahrscheinlichkeit für das Auto auf jeweils 1/2.
Das ist aber nicht die Situation beim Ziegenproblem. Dort besteht zunächst ebenfalls eine identische Wahrscheinlichkeit für das Auto hinter allen drei Türen, insbesondere auch für die (gewählte) Tür 1. Durch das Öffnen einer nicht gewählten Ziegen-Tür (Z.B. Tür 3) bekommen wir jetzt allerdings eine Information über eine zweite Tür: Die Wahrscheinlichkeit für das Auto hinter dieser Tür sinkt auf null und verteilt sich auf die beiden anderen Türen. Der Inhalt von Tür 1 ändert sich dadurch aber nicht – dort steht immer noch in zwei von drei Fällen eine Ziege und in einem von drei Fällen das Auto. Die Wahrscheinlichkeit von 1/3 von Tür 3 kann daher nur auf Tür 2 übergehen. Oder anders formuliert: Tür 2 und Tür 3 zusammen haben vor und nach dem Öffnen von Tür 3 eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 für das Auto. Wenn nach dem Öffnen von Tür 3 klar ist, dass das Auto nicht hinter Tür 3 steht, muss es mit Wahrscheinlichkeit 2/3 hinter Tür 2 stehen.
Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen dem Öffnen einer nicht gewählten Tür und dem Öffnen der gewählten Tür durch den Moderator: Wenn eine nicht gewählte Tür geöffnet wird, steht für einen allfälligen Türwechsel nur noch eine Tür zur Verfügung, und wenn der Kandidat vor einer Ziegen-Tür steht und wechselt, gewinnt er mit Sicherheit. Es kommt also nur darauf an, richtig zu vermuten, ob man vor der Auto-Tür oder der Ziegen-Tür steht – wenn man vermutet, vor der Ziegen-Tür zu stehen und damit recht hat und wechselt, gewinnt man mit Sicherheit, weil das Auto dann hinter der verbliebenen geschlossenen Tür stehen muss. Wenn der Moderator hingegen die gewählte Tür öffnet und dahinter eine Ziege steht, ist zwar die Unsicherheit bezüglich dieser Tür verschwunden, der Kandidat hat aber *zwei* Türen zur Auswahl und keine Informationen, welche davon die richtige ist. Er weiß mit Sicherheit, dass hinter seiner Tür eine Ziege steht und er wechseln muss, er gewinnt bei diesem Wechsel aber nicht mit Sicherheit, sondern nur zu 50 Prozent.
Ich werde gleich noch mal versuchen, das Ganze in einem neuen Abschnitt in einem Urnenmodell zu formulieren.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   21:33, 23. Apr. 2014 (CEST)

"Da wir über die beiden anderen Türen aber weiterhin nichts wissen, gilt weiter das Indifferenzprinzip, die Wahrscheinlichkeit von 1/3 von Tür 1 verteilt sich gleichmäßig auf beide anderen Türen und damit steigt deren Wahrscheinlichkeit für das Auto auf jeweils 1/2." Du gehst also auch davon aus, dass das Öffnen der gewählten Tür mit einer Ziege dahinter keinen Einfluss auf die anderen Türen hat; sie bleiben indifferent bzgl. des Gewinns.

"Wenn eine nicht gewählte Tür geöffnet wird, steht für einen allfälligen Türwechsel nur noch eine Tür zur Verfügung..." Du hast immer noch zwei Türen zur Verfügung, für die du dich entscheiden kannst, die zuerst gewählte und die andere geschlossene. Es ist ja nicht gesagt, dass die zuerst gewählte Tür eine besondere Bedeutung hat. Der unbekannte Moderator öffnet absichtlich eine Ziegentür (er weiß, was hinter den Türen ist), aber es ist nicht bekannt, dass er die zuerst gewählte Tür auf jeden Fall absichtlich vermeidet. Z.B. könnte ihn das hinter der gewählten Tür 1 verborgene Auto daran hindern, diese Tür zu öffnen. Dazu ein Gedankenexperiment:

Der Moderator möchte dir als Kandidat zunächst nicht weiter Geld anstelle der zuerst gewählten Tür bieten und bittet seine Assistentin, dem Arbeiter hinter der Bühne mitzuteilen, er möchte doch bitte eine der beiden Ziegentüren öffnen. Der Arbeiter kann sich nicht entscheiden, welche Ziegentür er öffnen soll. Er wirft also eine Münze und öffnet dann die nichtgewählte Tür 3 mit einer Ziege dahinter. Daraufhin bietet dir der Moderator einen Wechsel zur anderen geschlossenen Tür an.

Wie sind jetzt deine Gewinnchancen? --Geodel (Diskussion) 15:16, 25. Apr. 2014 (CEST)

@Geodel: Zuerst zum Punkt „Du hast immer noch zwei Türen zur Verfügung“. In den beiden Situationen („gewählte Tür mit ZIege geöffnet“ und „nicht gewählte Tür mit Ziege geöffnet“) sind tatsächlich noch jeweils zwei geschlossene Türen übrig, die Wahrscheinlichkeiten sind aber nicht gleich. Am klarsten wird das mit dem Urnenmodell von weiter unten: Wenn die blind und verdeckt gezogene Kugel aufgedeckt wird und schwarz ist, sind noch zwei Kugeln in der Urne – die zweite schwarze und die weiße. Beim nochmaligen blinden Ziehen aus der Urne ist die Wahrscheinlichkeit daher 50:50. Wenn nach dem Ziehen der ersten Kugel aber nicht die gezogene Kugel aufgedeckt, sondern eine schwarze Kugel aus der Urne entfernt wird, haben wir noch eine Kugel in der Urne und eine bereits gezogene draußen – und welche Farbe sie hat, hat sich im Moment des Ziehens entschieden, und zwar mit den zu diesem Zeitpunkt geltenden Wahrscheinlichkeiten von 1/3 zu 2/3.
In der von dir beschriebenen Variante ist die Wahrscheinlichkeit 1/2: In zwei von drei Fällen hat der Kandidat eine schwarze Kugel gezogen, in der Hälfte dieser Fälle wird sie aufgedeckt (absolut 1/3 aller Fälle), in der anderen Hälfte dieser 2/3 wird die in der Urne verbliebene schwarze Kugel entfernt (absolut ebenfalls 1/3 aller Fälle). In 1/3 aller Fälle hat der Kandidat die weiße Kugel gezogen, in diesem Fall wird immer eine der beiden schwarzen Kugeln aus der Urne entfernt (absolut ebenfalls 1/3 aller Fälle). Das Entfernen einer schwarzen Kugel aus der Urne kommt also gleich häufig vor, wenn der Kandidat eine schwarze oder die weiße Kugel gezogen hat. In diesem Fall ändert sich die erwartete Verteilung auf 50:50, wenn der Kandidat diese Regel kennt. Genauso lassen sich natürlich andere Regeln unterstellen, die die Wahrscheinlichkeit beliebig zwischen 0 und 1 variieren lassen (der „gute“ Moderator, der genau dann den Wechsel anbietet, wenn der Kandidat eine ZIegen-Tür gewählt hat, oder der „böse“ Moderator, der den Wechsel genau dann anbietet, wenn der Kandidat die Auto-Tür gewählt hat).
Der Aufgabenstellung wird ja (bis zu einem bestimmen Grad zu Recht) Unvollständigkeit hinsichtlich der anzuwendenden Regeln vorgeworfen. Nur warum sollte die Regel „Moderator entscheidet sich zufällig zwischen den beiden schwarzen Kugeln“ eine besser begründete Annahme sein als „Moderator entfernt immer eine nicht gezogene schwarze Kugel aus der Urne“?
Wir diskutieren hier ja rein abstrakt und spekulieren nicht über mögliche Motive des Moderators. Aber um das doch zu erwähnen: Wenn deine Variante („Moderator entscheidet sich zufällig zwischen beiden Ziegentüren) tatsächlich gespielt würde, müsste in einem Drittel aller Spiele der Moderator die gewählte Tür mit einer Ziege öffnen und dann den Wechsel anbieten – ist das bei Tausenden Spielrunden weltweit jemals passiert?
Ich denke, dass das mehrfach erwähnte Indifferenzprinzip hier schon seinen Platz hat – allerdings anders als hier verschiedentlich als Begründung für 50:50 vorgebracht. Wenn der Kandidat keine Informationen hat über die Regeln und aufgrund genauso fehlender Anhaltspunkte über die mögliche Motivation des Moderators auch keine Wahrscheinlichkeitsgewichtung der verschiedenen Regelvarianten vornehmen kann, muss man schlicht und einfach sagen: Der Kandidat erhält durch das Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür keine neue Information hinsichtlich des Inhalts seiner Tür. Das heißt jetzt aber nicht, dass die Wahrscheinlichkeit für Auto oder Ziege hinter seiner Tür sich auf 50:50 verändert hätte, vielmehr hat der Kandidat, weil er keine neuen Informationen über den Inhalt der Türen bekommen hat, keine Veranlassung, die A-priori-Wahrscheinlichkeit vom Zeitpunkt der ersten Tür-Wahl zu verändern, und die ist 1/3 zu 2/3. Sehr wohl hat der Kandidat aber eine Information über eine der beiden nicht gewählten Türen (nämlich die vom Moderator geöffnete) bekommen, und zwar dass dahinter eine Ziege steht. Der Kandidat sollte also wechseln, und es ist klar, wohin.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   20:07, 25. Apr. 2014 (CEST)

"...welche Farbe sie hat, hat sich im Moment des Ziehens entschieden..." Das ist richtig. Es geht hier aber um deine Erwartung bzgl. der Farbe, nachdem der Moderator in das Spiel eingegriffen hat.

"In diesem Fall ändert sich die erwartete Verteilung auf 50:50, wenn der Kandidat diese Regel kennt." Genau das ist ja immer die Crux an der Geschichte: welche Informationen hat der Kandidat (siehe weiter unten)?

"Genauso lassen sich natürlich andere Regeln unterstellen, die die Wahrscheinlichkeit beliebig zwischen 0 und 1 variieren lassen." Wir müssen natürlich unterscheiden zwischen der Gewinnw'keit des Kandidaten und der Gewinnw'keit beim Wechseln. Beim "bösen" Moderator würde der Kandidat selbstverständlich nicht wechseln und daher 100%-ig gewinnen, genauso wie beim "guten" Moderator, wenn er wechselt.

"Nur warum sollte die Regel „Moderator entscheidet sich zufällig zwischen den beiden schwarzen Kugeln“ eine besser begründete Annahme sein als „Moderator entfernt immer eine nicht gezogene schwarze Kugel aus der Urne“?" Beide Annahmen sind nicht gut zu begründen. Ein Moderator in einer TV-Spielshow ist kein Sklave von solch einfachen und langweiligen Regeln.

"...ist das bei Tausenden Spielrunden weltweit jemals passiert?" Es muss ja gar nicht passieren. Der Moderator teilt dir nach deiner ersten Wahl mit, dass er nun eine Ziegentür zufällig öffnen lässt, wohlwissend, dass du zuerst die Autotür gewählt hast. Somit kann er dir auf jeden Fall einen Wechsel zu einer anderen Tür anbieten. Nur hast du diese Information natürlich nicht.

"...vielmehr hat der Kandidat, weil er keine neuen Informationen über den Inhalt der Türen bekommen hat, keine Veranlassung, die A-priori-Wahrscheinlichkeit vom Zeitpunkt der ersten Tür-Wahl zu verändern, und die ist 1/3 zu 2/3." Das darfst du natürlich gerne annehmen, ich allerdings würde mich in dieser einmaligen Spielsituation auf mein Bauchgefühl verlassen oder eine Münze werfen. Auf jeden Fall wechseln würde ich allerdings nicht. --Geodel (Diskussion) 19:48, 28. Apr. 2014 (CEST)

Sowohl Marilyn vos Savant als auch Gero von Randow haben unmittelbar nach der Veröffentlichung ihrer Aufgabenversion Leserbriefe erhalten mit dem Hinweis, dass die 2/3-Lösung nur stimmt, wenn der Moderator laut Spielregel eine nicht gewählte Ziegentür öffnen muss. Obwohl diese Regel offensichtlich fehlte, wurden diese Briefe nicht veröffentlicht. Bei den Hinweisen auf mögliche andere Beweggründe für das Verhalten des Moderators handelte es sich natürlich nicht um tatsächliche Annahmen dieser Kritiker. Das zu unterstellen, ist Unsinn. Dass diese Unterstellung trotzdem Verbreitung gefunden hat, lag an einem oberflächlichen Reflex auf die Kritik an der angeblich mathematisch 100%ig abgesicherten 2/3-Lösung. Bezeichnend ist dabei auch, dass die Namen solcher Kritiker wie z.B. Martin Gardner oder Monty Hall verschwiegen wurden.

Selbst wenn die Annahme der entscheidenden Spielregel "plausibel" wäre, würde man sie doch sofort nennen, wenn man das Problem präsentiert. Zumal sie auch der erste und entscheidende Grund bei einer Begründung der 2/3-Lösung ist. (Die Begründung für ihre Plausibilität ist natürlich ein Witz.)

Der Kandidat hat in vos Savants und von Randows Version keinerlei Grund, eine der beiden Türen vorzuziehen. Ob man nun den beiden Türen explizit die Wahrscheinlichkeit 1/2 zuordnet oder nicht, spielt dabei überhaupt keine Rolle.

Der ganze Wirbel, den das Problem verursacht hat, liegt daran, dass es ohne die Regel formuliert wurde, die zur 2/3-Lösung führt, diese Lösung aber behauptet wurde.

Der Grund dafür ist, dass man die Situation scheinbar simulieren kann. Und wenn nach einer solchen Simulation die Überraschung groß ist und "Paradoxon" gerufen wird, zeigt das nur, dass das Problem nicht verstanden worden ist.

Wenn auf solche Gedanken übrigens mit dem Gefasel von reputabler Fachliteratur geantwortet wird, heißt das nur, dass man mit dem Hinweis auf Wikipedia-Regeln den Autoren und Lesern Schwachsinn verordnen will.--Albtal (Diskussion) 11:09, 29. Apr. 2014 (CEST)

Indifferenzprinzip???

Leute, klärt mich mal auf: Hier wird in letzter Zeit von den unterschiedlichsten Diskussionsteilnehmern in unterschiedlichste Richtungen mit dem „Indifferenzprinzip“ (siehe Indifferenzprinzip) argumentiert. Sagt mal, ist das irgendetwas (Natur)-Wissenschaftliches? Ich kannte das vor meiner Wikipediazeit nicht und habe es seitdem auch nie (bewusst) in einem mathematischen oder naturwissenschaftlichen Kontext gelesen. Das sind die (bei mir 2870) Google-Treffer: Was da kommt finde ich nicht besonders überzeugend. Und das hier sind die Google-Books-Treffer: Gleich das erste Buch von Ines Riemer sagt mir, dass das Indifferenzprinzip von Laplace als überholt gilt. Dann kommen noch ein paar Philosophie-Bücher und ab Seite 2 so Knaller wie ein Kontinuumsmechanikbuch, das aber etwas ganz anderes so bezeichnet, und (haltet euch fest) die „Zeitschrift für spekulative Physik“ … Also: Was habe ich da bisher immer übersehen? Klärt mich bitte auf. -- HilberTraum (Diskussion) 21:04, 25. Apr. 2014 (CEST)

Ich versuche es bewusst informell:

1. Das Indifferenzprinzip ist kein Bestandteil der Mathematik, insbesondere kein Satz und kann daher nicht für eine rein mathematische Argumentation verwendet werden.
2. Das Indifferenzprinzip hilft dabei, das „richtige“, sagen wir besser ein geeignetes, mathematisches Modell zu einer stochastischen Situation zu finden.
3. Das Indiffenzprinzip geht auf Laplace zurück. Wenn es keine Gründe gäbe, dass von zwei Ereignissen eines gegenüber dem anderen begünstigt ist, dann wollte er sie als gleichwahrscheinlich ansehen. Das darf man als überholt ansehen. Nur Unwissen über eine Situation rechtfertigt keinen Schluss auf eine Gleichwahrscheinlichkeit (Warum das bei stetig verteilten Zufallsgrößen gar nicht geht und warum das zu nicht-informativen Verteilungen führt, erörtert U. Mortensen)
4. Das Indiffernzprinzip als Folge eines positiven Wissens über eine vorhandene Symmetrie, wie bei einem fairen Würfel, dürfte auch heute noch Konsens sein.
5. Das Indifferenzprinzip ist damit eine Hilfe dafür, dass uns die Wahrscheinlichkeitsrechnung, so Richard Feynman, „beim Raten hilft“: Finde das richtige Modell, rechne ein bisschen rum und mache eine Aussage für die modellierte Situation.
6. Letztlich kann die Bestätigung der Aussagen eines Modells für ein angewandtes Problems, wie dem Ziegenproblem, nur empirisch stattfinden. Zu warnen ist vor Leuten, die behaupten, ihre einzig wahren Aussagen seien leider empirisch nicht prüfbar.

--Lefschetz (Diskussion) 21:43, 25. Apr. 2014 (CEST)

Mit dem Indifferenzprinzip wurde hier in der Diskussion die Wahrscheinlichkeit 1/2 für die beiden verbleibenden Türen begründet, wenn das Problem in der Form Marilyn vos Savants oder Gero von Randows gestellt wird; d.h. in der Form, in der es um die Welt ging. Die Voraussetzung für die Anwendung des Indifferenzprinzips ist der Sachverhalt, dass keine Gründe dafür bekannt sind, eine der beiden Möglichkeiten zu bevorzugen. Und genau um diesen Sachverhalt geht es beim Ziegenproblem, nicht darum, ob jemand, der die Halbe-Halbe-Lösung vertritt, implizit ein "überholtes" Indifferenzprinzip vertritt. Übrigens begründet Steinbach die Wahrscheinlichkeit 1/2 für das gestellte Problem, ohne sich auf das Indifferenzprinzip zu beziehen.

Es geht hier nicht um verschiedene Modelle, mit denen man zu unterschiedlichen Lösungen kommt, sondern schlicht um die Aufgabenstellung, die zu "modellieren" ist. Ein Modell ist ja immer nur dann korrekt, wenn es das gestellte Problem korrekt repräsentiert. Dass es zu einer Aufgabenstellung zahlreiche korrekte Modelle gibt, ist normal. Nur liefern sie - zumindest, was das Ziegenproblem und seine Varianten angeht - dieselbe Lösung.

Und wenn im "Modell" eine Spielregel vorausgesetzt wird, die in der Aufgabenstellung fehlt, so ist das ein Irrtum oder Mogelei.

Es gibt nichts Kompliziertes beim Ziegenproblem, allerdings viel Nebel.--Albtal (Diskussion) 01:30, 26. Apr. 2014 (CEST)

„Mit dem Indifferenzprinzip wurde hier in der Diskussion die Wahrscheinlichkeit 1/2 für die beiden verbleibenden Türen begründet, wenn das Problem in der Form Marilyn vos Savants oder Gero von Randows gestellt wird; d.h. in der Form, in der es um die Welt ging.“ (Albtals erster Satz)

Dazu meine Anmerkungen:

1. Das nenne ich doch mal eine klare Aussage! In Bezug auf den „Nebel“, dessen Existenz auf dieser Seite ich ausdrücklich bestätigen kann (früher spielte sogar mal die Existenz der Nummern auf den Türen eine Rolle ...), würde ich doch gerne mal wissen, wie die empirische Bestätigung der Wahrscheinlichkeit 1/2 aussieht (in Form eines Versuchplans).
2. Wenn ich Dich (und Geodel) richtig verstehe, argumentiert Ihr folgendermaßen: Man weiß nicht, welche der Annahmen über das Verhalten des Moderators richtig ist, aber es gibt ein Verhalten, ob fauler Moderator, ausgeglichener Moderator oder halt irgendwo dazwischen (siehe Die allgemeine Lösung), repräsentiert durch den entsprechenden Parameter p, der die Auswahlstrategie des Moderators beschreibt.
3. Bekanntlich führt nur einer dieser Werte p zur Erfolgswahrscheinlichkeit 1/2, alle anderen führen zu größeren Werten bis hin zum Wahrscheinlichkeitswert 1 (Morgan et. al.). Und trotzdem soll ich beim Unwissen über den Wert p zur Erfolgswahrscheinlichkeit 1/2 kommen? Das zeigt, dass eine empirische Bestätigung noch viel dringlicher wird.
4. Und was ist mit der nicht-informativen A-priori-Verteilung für p, die Morgan et al. selbst verwenden? Die führt seltsamerweise zum selben Ergebnis, das sich auch erhalte, wenn die Tür noch nicht auf ist, ich aber bereits weiß, dass eine Türe mit Ziege aufgemacht werden wird: 2/3.

--Lefschetz (Diskussion) 07:20, 26. Apr. 2014 (CEST)

@Lefschetz: Mit dem Indifferenzprinzip wurde hier in der Diskussion die Wahrscheinlichkeit 1/2 für die beiden verbleibenden Türen begründet, wenn das Problem in der Form Marilyn vos Savants oder Gero von Randows gestellt wird; d.h. in der Form, in der es um die Welt ging. Diese Problemstellungen sagen nichts über die Motivation des Moderators aus, eine nichtgewählte Ziegentür zu öffnen. Deine Argumentationspunkte beziehen sich alle auf das Problem, bei dem der Moderator durch die Spielregel gezwungen ist, eine nichtgewählte Ziegentür zu öffnen. D.h. du beziehst dich überhaupt nicht auf die hier zur Debatte stehenden Aussagen.--Albtal (Diskussion) 09:10, 26. Apr. 2014 (CEST)

Lefschetz sagt:"Das Indifferenzprinzip als Folge eines positiven Wissens über eine vorhandene Symmetrie, wie bei einem fairen Würfel, dürfte auch heute noch Konsens sein." Dann ist es kein "Prinzip" mehr sondern nur ein anderes Wort für Gleichwahrscheinlichkeit, die sich aus der Verwendung geeigneter (theoretischer) Hilfsmittel ergibt.

Lefschetz sagt:"Letztlich kann die Bestätigung der Aussagen eines Modells für ein angewandtes Problems, wie dem Ziegenproblem, nur empirisch stattfinden." Das Ziegenproblem wird i.A. als Denksportaufgabe betrachtet und als solche rein mathematisch-theoretisch gelöst.

Lefschetz sagt:"Wenn ich Dich (und Geodel) richtig verstehe, argumentiert Ihr folgendermaßen:..." Meines Wissens hat Albtal nirgendwo so argumentiert. Nur ich habe diesen Gedanken beim unbekannten Moderator eingeführt, allerdings nicht in der von dir so interpretierten Form.

Lefschetz sagt:"..würde ich doch gerne mal wissen, wie die empirische Bestätigung der Wahrscheinlichkeit 1/2 aussieht (in Form eines Versuchplans)." Siehe meinen Beitrag von 15:16, 25. Apr. 2014, bei dem eine der beiden Ziegentüren zufällig geöffnet wird. --Geodel (Diskussion) 09:25, 26. Apr. 2014 (CEST)

@Albtal:

Ich nehme Deine Meinung zur Kenntnis, dass die von mir oben erörterte Problemversion, bei der „der Moderator durch die Spielregel gezwungen ist, eine nichtgewählte Ziegentür zu öffnen“ nicht die Version ist, die „um die Welt ging“. Ich habe in Bezug auf die Fachliteratur, die in WP darzustellen ist, eine eindeutig andere Wahrnehmung, bin aber gerne bereit, Hinweise auf fundierte Fachliteratur entgegenzunehmen.

@Geodel:

Zu Deinem Versuchsplan/Gedankenexperiment hat Dir Troubled @sset bereits erwidert, dass dann „in einem Drittel aller Spiele der Moderator die gewählte Tür mit einer Ziege öffnen und dann den Wechsel anbieten [müsste] – ist das bei Tausenden Spielrunden weltweit jemals passiert?“ Auch dabei kann ich keinen Zusammenhang zum Ziegenproblem entdecken, wie es in der fundierten Fachliteratur untersucht wird.

--Lefschetz (Diskussion) 10:43, 26. Apr. 2014 (CEST)

Siehe meine bisherigen Diskussionsbeiträge.--Albtal (Diskussion) 11:27, 26. Apr. 2014 (CEST)

So geht das allerdings nicht. Bitte präzisiere Deine (abweichende?) Ansicht. Und auch was Du mit "unvollständiger Spielregel" meinst. Danke. Gerhardvalentin (Diskussion) 19:18, 26. Apr. 2014 (CEST)

Um wieder auf HilberTraums Einwand zurückzukommen: wenn es richig ist, dass das Indifferenzprinzip nicht zur Begründung einer mathematisch korrekten Lösung des Ziegenproblems taugt, dann fallen auch die Argumentationen in der sogenannten "Fach"-Literatur wie Kartenhäuser in sich zusammen. Allen Veröffentlichungen, in denen die Autoren z.B. darauf verzichten, die Entstehung der A-priori-Verteilung von Auto und Ziegen hinter den Türen mathematisch korrekt zu beschreiben, ist Fehlerhaftigkeit vorzuwerfen. Ihre (2/3-)Lösung wäre auf Sand gebaut. Es liegt der Verdacht nahe, dass teilweise absichtlich solche wesentlichen Voraussetzungen verschwiegen werden, um das Publikum darüber hinwegzutäuschen, welche Fülle an Zusatzannahmen tatsächlich nötig ist (siehe den Abschnitt "Das Monty-Hall-Standard-Problem"), um eine wasserdichte (2/3-)Lösung ableiten zu können. Würden diese Autoren allerdings alle nötigen Voraussetzungen vor ihrer Analyse explizit machen, wie es gerade bei Mathematikern üblich und notwendig ist, wäre allen Interessierten sofort klar, dass die korrekt lösbare Aufgabenstellung mit dem Originaltext von Savant nicht mehr viel zu tun hat. --Geodel (Diskussion) 12:03, 27. Apr. 2014 (CEST)

(BK, gleichzeitg mit dem vorherigen Beitrag geschrieben) Die moderne „2.0-Version“ des überholten Indifferenzprinzips dürfte wohl das Konzept der nichtinformativen A-priori-Verteilung der bayesschen Statistik sein, siehe auch en:Uninformative prior. Hierbei ist aber wichtig, dass man es natürlich nur zur Wahl von A-priori-Verteilungen verwenden darf (erkennt man schon am Namen …). Für das Ziegenproblem heißt das, dass man – wenn man einen solchen bayesschen Standpunkt einnehmen will – den drei Türen alle die Anfangswahrscheinlichkeit 1/3 zuweisen kann. Es wäre z. B. auch möglich, verschiedene Verhaltensweisen des Moderators in Betracht zu ziehen und diesen subjektive Wahrscheinlichkeiten zuzuweisen. Aber es ist natürlich nicht möglich, dasselbe auf die Wahl des Kandidaten (ob er wechseln soll oder nicht) anzuwenden, da es sich nicht um eine A-priori-Verteilung handelt. -- HilberTraum (Diskussion) 12:07, 27. Apr. 2014 (CEST)

Noch als direkte Antwort zu den Zusatzannahmen. Ich habe mal zwei Mathebücher aus dem Regal gegriffen, die sich mit dem Zieggenproblem befassen. Georgii, Stochstik schreibt „Da der Spieler keinerlei Information über die Gewinntür hat, wird er jede Tür mit gleicher Wahrscheinlichkeit auswählen, also ist S gleichverteilt auf {1,2,3}“. Henze, Stochastik für Einsteiger schreibt „der Hauptgewinn wird rein zufällig platziert“ und „der Kandidat wählt seine Tür blind aus“. Es ist also schlicht nicht richtig, das „Mathematiker“ hier irgendwelche Voraussetzungen weglassen oder jemanden über sie „hinwegtäuschen“. -- HilberTraum (Diskussion) 12:27, 27. Apr. 2014 (CEST)

+1

Es ist also schlicht nicht richtig, das „Mathematiker“ hier irgendwelche Voraussetzungen weglassen oder jemanden über sie „hinwegtäuschen“.

Wundert Dich das? Auch wenn niemand frei von Fehlern ist, gehört es doch zum Rüstzeug eines jeden Mathematikers, stets die Vorausssetzungen genau zu definieren (ich denke doch, dass ich hier unter Kollegen spreche). Hinzu kommt bei Fachzeitschriften das Peer-Review-Verfahren und bei über mehrere Auflagen erschienen Fachbüchern wie von Henze und Georgii die Zuschriften der Leser der ersten Auflagen (wobei ich nicht glaube, dass es in diesem Fall notwendig war!).

Die Mathematik, die mit den formulierten Voraussetzungen beginnt, sollte unbestritten sein – zumindest im Kreise derjenigen, die davon ausgehen, dass die Mondlandung auf dem Mond und nicht in einem Fernsehstudio stattgefunden hat ...

Natürlich kann man lange darüber debatieren (siehe oben), wie die ungenauen verbalen Problembeschreibungen zu interpretieren und wie die richtigen Modellannahmen sind. Das tun übrigens einige der Autoren selbst. Indifferenzprinzip und Techniken zur Festlegung eines Priors (als natürliche Verallgemeinerung des Indifferenzprinzipes) sind keine mathematischen Sätze, sondern Techniken, um zu einem Modell zu kommen. Das ist nicht anders als die Unabhängigkeit, die man bei zwei aufeinanderfolgenden Roulette-Ziehungen als mathematische Voraussetzung macht (und nicht beweist!).

Die Stunde der Wahrheit kommt aber bei jedem Modell, ob in Physik oder angewandter Mathematik: Lassen sich meine Vorhersagen empirisch prüfen? Das geht natürlich auch bei Denksportaufgaben, anders als irgendwo ganz oben suggeriert.

--Lefschetz (Diskussion) 20:07, 27. Apr. 2014 (CEST)

Hier eine weitere Zutat zum reputablen Salat: Norbert Henze, Abschnitt 7.5 --Albtal (Diskussion) 23:23, 27. Apr. 2014 (CEST)

Danke für den Link! Die Textstelle steht exemplarisch für das von mir kritisierte Verfahren vieler Autoren, notwendige Zusatzannahmen nicht zu Anfang bei der Problemformulierung zu präsentieren, sondern erst später im Text, und dann noch versteckt in einem unauffälligen Halbsatz. Nachdem Henze die 2/3-Lösung (mit einer fragwürdigen Begründung) präsentiert hat, erwähnt er weiter unten:

"Bei all diesen Betrachtungen ist natürlich entscheidend, dass der Moderator die Autotür geheimhalten muss, aber auch verpflichtet ist, eine Ziegentür zu öffnen."

Mittlerweile haben aber viele ahnungslose Leser, die solche Nebensätze gerne überlesen, seine (ohne die Spielregeln) falsche Begründung schon geschluckt und sind dem verbreiteten 2/3-Irrtum verfallen.

@Lefschetz: Ist es bei Tausenden von TV-Spielshows weltweit jemals passiert, dass ein Moderator nach solch langweiligen Spielregeln agiert, die allen Kandidaten eine 2/3-Chance auf ein Auto gewährt? --Geodel (Diskussion) 16:04, 28. Apr. 2014 (CEST)

@Geodel: Diese Seite soll der Verbesserung des Artikels dienen. Der Artikel hat reputable Quellen zu referieren, nicht die Meinung von Autoren.

Henze ist mit seinem Werk "Stochastik für Einsteiger" eine reputable Quelle. Im Anschnitt 7.5 "Zwei Ziegen und ein Auto" präsentiert er das Paradoxon, dessen Grundlage ein Moderator ist, der nach der Erstwahl des Kandidaten jene Tür noch verschlossen lässt und stattdssen eine der beiden anderen Türen öffnet, um eine Ziege zu zeigen und einen Torwechsel anzubieten. Er präsentiert dieses Paradoxon mit seiner resultierenden Antwort: Türwechsel gewinnt das Auto in zwei von drei Fällen.

Und vorbeugend, um Neunmalkluge möglichst davon abzuhalten, hinterlistig dennoch "Mittel und Wege zu suchen" änzlich andere Grundlagen "hineinzuinterpretieren", hat er aber auch für jeden klargestellt, dass der Moderator die Autotür geheimhält und keinerlei zusätzliche, über die in der Angabe enthaltene Hinweise zum aktuellen Ort des Autos gibt, wie beispielsweise

"Ich habe jetzt leider jene Türe öffnen müssen, die ich normalereise, wenn immer möglich, zu öffnen vermeide, denn ich konnte meine bevorzugte Türe diesmal deshalb nicht öffnen, weil sich dahinter aktuell das Auto befindet."

Nochmals: Henze stellt unmissverständlich klar, dass der Moderator die Autotür geheimhält. Grundlage des Paradoxons ist ein Moderator, dessen Absicht es ist, eine Ziegenzüre zu öffnen. Und Henze schließt das ab mit den Worten "Wer dieser Argumentation nicht traut und lieber praktische Erfahrungen sammeln möchte, lasse sich unter der University of California, San Diege überraschen. Nochmals: Der Moderator kennt die Autotüre, öffnet sie aber keinesfalls. Denn es ist seine Absicht, eine Ziegentüre zu öffnen und einen Türwechsel anzubieten. Bitte keine katastrophal unqualifizierte Missinterpretation reputabler Quellen. Gerhardvalentin (Diskussion) 02:01, 29. Apr. 2014 (CEST)

Zustimmung: Ich denke, Henze will vorne in Kapitel 7 erstmal nur das Problem (hauptsächlich historisch) vorstellen und den Leser auffordern, sich erst mal selber Gedanken zur Lösung von vos Savant zu machen. Viel später (Kapitel 15) bringt er dann sein exaktes mathematisches Modell für das Problem. -- HilberTraum (Diskussion) 09:58, 29. Apr. 2014 (CEST)

+1 (Zustimmung): Zumdindest hat die ermüdende Diskussion dazu geführt, dass Abweichungen vom WP-Prinzip WP:TF in Bezug auf Fachliteratur (Albtals „reputabler Salat“ und Geodels „Die Textstelle steht exemplarisch für das von mir kritisierte Verfahren vieler Autoren ...“) für alle Beteiligten eindeutig erkennbar wurden.--Lefschetz (Diskussion) 10:14, 29. Apr. 2014 (CEST)

Ein besonders reputables Häppchen ist Henzes Ergänzung Soll ich Ihnen mal was zeigen?, die sich gut für den Artikel eignet.--Albtal (Diskussion) 14:00, 29. Apr. 2014 (CEST)

Habe einen Beitrag von Albtal von meiner Benutzerdisku auf Seite Diskussion:Ziegenproblem/Argumente verschoben. Gerhardvalentin (Diskussion) 20:29, 29. Apr. 2014 (CEST)

Gerhardvalentin zitiert Henze:"Wer dieser Argumentation nicht traut...lasse sich unter der University of California, San Diege überraschen." Wenn Henze korrekt und vollständig argumentieren würde, wäre niemand von einer entsprechenden Simulation überrascht.

Gerhardvalentin sagt:"Denn es ist seine Absicht, eine Ziegentüre zu öffnen und einen Türwechsel anzubieten." Einverstanden, daraus folgt aber noch nicht, dass ein Wechsel mit 2/3-W'keit gewinnt.

HilberTraum sagt:"...den Leser auffordern, sich erst mal selber Gedanken zur Lösung von vos Savant zu machen." Ach, und deswegen bestätigt Henze ihre Argumente gleich, indem er den "Standhaften" und den "Wechsler" einführt und dem Leser eine Simulation auf einer Website empfiehlt? Der Leser wird doch von vornherein auf eine falsche Fährte gelockt, und dieses inkorrekte Vorgehen lässt sich bei einer angeblich reputablen Quelle nicht entschuldigen.

Es gibt auch andere Autoren, die ihre Fragestellung formulieren und später erst wichtige Voraussetzungen für ihre Lösung nennen, z.B. Gill ("The Monty Hall Problem" 2011). Nachdem er den Problemtext mit der Frage "Would you switch or stay?" abgeschlossen hat, behauptet er:

"The host, naturally, knows in advance which of the three doors hides the car. This means that whatever door you initially choose, he can indeed open a different door and reveal a goat. Stronger still: not only can he do this; you also know he certainly will do this."

Woher weiß der Gast in der TV-Show, bezogen auf den Problemtext, vorher schon, dass der Showmaster mit Sicherheit eine ungewählte Ziegentür öffnen wird? --Geodel (Diskussion) 18:38, 29. Apr. 2014 (CEST)