Diskussion:Zusammenhängender Raum

Hier fehlen noch die Begriffe zusammenhängend, wegweise zusammenhängend (oder wegzusammenhängend oder pfadweise zusammenhängend), total unzusammenhängend, Zusammenhangskomponente, lokal zusammenhängend, lokal wegweise zusammenhängend (alle im englischen Artikel erklärt). --SirJective 14:49, 26. Apr 2004 (CEST)

Im Artikel Topologie-Glossar finden sich topologische Begriffe kurz und konzise definiert. 217.84.0.228 10:15, 30. Mai 2004 (CEST)

Das mag sein, da dort aber nur die Definition mit einer höchstens kurzen Erklärung steht, fehlt in diesem Artikel hier eine ausführliche Darstellung dieser Begriffe mit ihren Zusammenhängen. --SirJective 11:45, 30. Mai 2004 (CEST)

Keine Stubwarnung mehr? Dann markier ich eben die Fehlstellen hier. --SirJective 20:24, 26. Apr 2004 (CEST)

zur Bewertung: im englischen Artikel findet sich eine Einleitung, um was es sich überhaupt handelt, im polnischen Artikel zwei Zeichnungen. John Eff 11:02, 6. Jul 2004 (CEST)

Ich finde schon, dass der die verschiedenen Variationen von zusammenhängend einen eigenen Eintrag haben sollten (auch außerhalb des Topologie-Glossars). Dort lassen sich dann etwa auch Beispiele einbauen, etwas ausführlicher behandeln und auch Beziehungen zwischen den Begriffen herstellen (nach dem englischen Vorbild). Andererseits braucht vielleicht nicht jeder Begriff einen eigenen Eintrag. So gesehen kann diese Seite doch ein ganz guter Kompromiss sein. Ich fange jedenfalls mal damit an, sie umzugestallten. --Yonatan 22:42, 24. Feb 2005 (CET)

Lokal einfach zusammenhängend

Hier ist ein sehr schönes Beispiel angegeben, was es nicht ist. Es fehlt ein Beispiel, was ein lokal einfach zusammenhängender Raum ist. --Hutschi 13:36, 12. Apr 2006 (CEST)

Mannigfaltigkeiten.--Gunther 13:56, 12. Apr 2006 (CEST)

Nach der gegebenen Definiton ist doch jeder einfach zush. Raum lokal einfach zush. . Dies widerspricht aber der Aussage beim Beispiel "Kegel über den Hawaiianischen Ohrringen" --84.153.110.254 02:33, 28. Jun 2006 (CEST)

Verstehe ich nicht. Da geht es doch nur um semilokal e.z.--Gunther 08:38, 28. Jun 2006 (CEST)

Da steht, - was auch stimmt - daß der Kegel über den Ringen slez, aber nicht lez ist. Er ist aber sogar zusammenziehbar, also insbes ez, also hat jeder Punkt den ganzen Raum als ez Umgebung. Die Def. von lez ist - ich weiß es nicht mehr so genau - ungefähr, daß es für jeden Punkt und jede seiner Umgebungen eine ez Unterumgebung gibt. --84.153.89.153 17:04, 4. Jul 2006 (CEST)

Ah ja, die Definition stand da falsch, danke. Referenzen: Fulton-Halmos, Algebraic Topology: A First Course (1995), S. 187, oder: Lee, Introduction to Smooth Manifolds (2003) S. 557.--Gunther 17:15, 4. Jul 2006 (CEST)

Beispiel wegzusammenhängend

Das Beispiel mit sin(1/x) - begründet es sich darin, dass sin(1/0) nicht existiert (x=0, ebenda wo die y-Achse als Menge definiert ist)? --Abdull 11:57, 6. Jun 2006 (CEST)

Weil $\sin(1/x)$ nicht stetig auf $x\geq 0$ fortgesetzt werden kann, funktioniert der "offensichtliche" Weg $t\mapsto (t,\sin(1/t))$ nicht. Dafür, dass es auch mit anderen Wegen nicht geht, muss man sich mMn schon etwas mehr anstrengen, also z.B.: Entfernt man einen der Punkte des Sinusteils, dann wird der Raum unzusammenhängend, also muss der Weg zumindest ein "linkes" Stück des Sinusteils vollständig abdecken. Das Bild des Weges ist abgeschlossen, also muss es auch den y-Achsen-Teil enthalten. Wenn man von rechts kommt und als Zielpunkt den Ursprung hat, kann man den Weg auch beim ersten Punkt auf der y-Achse abschneiden und dann auf direktem Weg zum Ursprung weitergehen. Dieser Weg enthält aber nicht den ganzen y-Achsen-Teil, im Widerspruch zu den anderen Überlegungen.--Gunther 12:14, 6. Jun 2006 (CEST)

Hallo Gunther, danke für die schnelle Antwort. Ich grübel jetzt mal ein wenig darüber nach. Die englische Wikipedia hat sogar einen eigenen Artikel für sin(1/x), en:Topologist's sine curve. Als Frage noch: $\sin(1/x)$ ist aber stetig auf $x>0$, oder? --Abdull 12:46, 6. Jun 2006 (CEST)

Ja.--Gunther 12:47, 6. Jun 2006 (CEST)

Ganz unabhängig von der $\sin(1/x)$- Diskussion: die Menge "einem Abschnitt der y-Achse"$=\{0\}\times (-1,1)$ ist nicht offen! Offene Mengen die den Ursprung enthalten wäre aber nicht disjunkt zur Graphmenge$=(0,\infty )\times \{y:y=\sin(1/x);\forall x\in (0,\infty )\}$. Daher ist das Beispiel einfach nicht geeignet um hier einen Gegenbeweis zu liefern. Ebenso ist die Aussage im $\mathbb {R} ^{n}$ falsch. Hier gilt nämlich Äquivalenz zwischen zusammenhängend und wegzusammenhängend! (siehe z.B. hier:Skript der TU Kaiserslautern). --Swoos-Official 12:46, 3. May 2015 (CEST)

Kugel um Ursprung mit Ausschluß des Ursprungs

Warum ist dieses Gebiet (laut unserem Mathe-Skript) einfach zusammenhängend? --the mole 15:36, 17. Sep 2006 (CEST)

Es ist homotopieäquivalent zur 2-Sphäre, und wenn man dann den fraglichen Weg ggf. so deformiert, dass er nicht surjektiv ist, dann liegt er in einem zusammenziehbaren Teil.--Gunther 23:59, 25. Sep 2006 (CEST)

Literatur und Quellen

zur Entfernung der Literaturverknüpfung: Da dieser Artikel bisher überhaupt keine Literaturangaben enthält, sind für Leser vielleicht auch etwas allgemeinere Angaben zu weiterführender Literatur sinnvoll:

• {{SWD|4135581-7}}

--ThT 08:50, 26. Mär. 2007 (CEST)

Einfach zshngd. impliziert nicht wegzshngd. !(?)

Ich kenne den Ausdruck einfach zshngd. als "jede Schleife kann zu EINEM Punkt zusammengezogen werden", d.h. zwei disjunkte Scheiben würden auch einen einfach zshngd.en Raum ergeben, der nicht wegzshngd. ist. Wenn man Wegzusammenhang zusätzlich fordert, sagt man "1-zshngd.". Dies wäre eine Spezialfall von n-zshngd., was bedeutet: JEDE eingebettete n-Sphäre lässt sich zu JEDEM Punkt zusammenziehen. Was haltet ihr von diesem Vorschlag?

Formale Definition

kann man die formale Definition etwas verständlicher erklären, damit man auch versteht, was da steht? Vielleicht anhand eines Beispiels? Ich habe keine Ahnung, wie das gemeint ist. Was ist ein topologischer Raum (X,O)? Ist X die Menge, die zusammenhängend sein soll? (ja, steht da ja in Punkt 1). Ist X der topologische Raum oder (X,O)? Im Abschnitt "Wegzusammenhängend" steht, X sei ein topologischer Raum. (Der Abschnitt ist gut verständlich! (für mich, ich kann mir aber gut vorstellen, dass sich das mit der Sinusfunktion auch nicht jeder vorstellen kann))

Nehmen wir zum Beispiel die Menge, die aus den 2 offenen Intervallen (0;1) und (2;3) besteht. Die ist nicht zusammenhängend (1-) und kann in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden, nämlich die zwei offenen Teilintervalle (2-). Aber sie kann nicht in zwei disjunkte nichtleere abgeschlossene Mengen zerlegt werden (3+). Wie will man offene Intervalle in abgeschlossene Mengen aufteilen?

Und danach geht es noch bunter weiter, da steht dann X sei sowohl offen als auch abgeschlossen. Da das ja normalerweise nicht gilt (das Intervall (0;1) ist offen, aber nicht abgeschlossen), würde daraus folgen, dass die Eigenschaft, die da definiert wird, überhaupt nie zutreffen kann, es also in der Menge der reellen Zahlen oder im n-dimensionalen Raum prinzipiell keine zusammenhängende Mengen geben kann :-D --androl ☖☗ 20:57, 27. Nov. 2009 (CET)

Ich glaube, das Problem ist, dass die Autoren des Artikels davon ausgegangen sind, dass man sich zuerst mit dem Begriff des (auch im Artikel verlinkten) Topologischen Raumes auseinandersetzt und die dort definierten Begriffe "offen" und "abgeschlossen" versteht, bevor man verstehen kann, wann man diesen zusammenhängend nennt.

Auf der Seite Schafmilch wird ja auch nicht erklärt, was ein Schaf ist, sondern der Begriff wird als bekannt vorausgesetzt und verlinkt.

--Cosine 12:58, 30. Nov. 2009 (CET)

ich glaube, das Problem ist, dass "offen"/"abgeschlossen" eine einfache und eine komplizierte Definition haben. Der Abiturient weiß, dass das Intervall ]0;1[ offen ist, da die Punkte 0 und 1 nicht enthalten sind. Wenn der dann diesen Artikel über zusammenhängende Mengen liest, versteht er von der Definition nichts, da die Universitätsmathematiker alles total anders und viel komplizierter definieren, und bei denen das Intervall auch abgeschlossen sein kann, wenn es ein topologischer Raum ist. Was ein Schaf ist, wird einem im Kindesalter beigebracht, das muss man im Arikel "Schafswolle" nicht definieren (außer, es geht um bestimmte biologische Taxon-Abgrenzungen). Wenn man aber bei Artikeln zu mathematischen Themen beim einen Artikel das vollständige Verständnis des anderen Artikels voraussetzt, könnten Zirkelschlüsse entstehen, wo Artikel sich gegenseitig referenzieren und damit am Ende gar nichts erklären. --androl ☖☗ 14:38, 3. Dez. 2009 (CET)

Okay, ich gebe zu, meine Antwort mit dem Schaf war ziemlich daneben und nicht wirklich auf dem Niveau, auf dem hier diskutiert werden sollte. Ich bitte, dies zu entschuldigen. Das Problem bleibt natürlich. Zusammenhang ist eine Eigenschaft eines topologischen Raumes, so wie es in der ersten Zeile steht. Und gerade für die Definition dieser Eigenschaft (Zusammenhang) ist es halt wesentlich, zu verstehen, was eine Topologe unter einer offenen Teilmenge und unter einer abgeschlossenen Teilmenge versteht. In vielen Fällen fallen die Begriffe Zusammenhang und Wegzusammenhang zusammen und Wegzusammenhang (Je zwei Punkte lassen sich durch eine Kurve verbinden) ist anschaulich sofort zu verstehen...

Man könnte in diesem Artikel nochmal eine kurze Einführung in offene und abgeschlossene Mengen geben, aber ich weiß nicht, ob das wirklich weiterhilft.

Dass Beispiele für zusammenhängende Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll wären, sehe ich ein. Vielleicht werde ich da mal eins reinsetzen. --Cosine 16:55, 7. Dez. 2009 (CET)

Ich bin mir nicht sicher, ob ein solches Beispiel das Problem lösen würde, deshalb stell ich es erst einmal hier herein. Noch besser wäre natürlich ein Bild, in dem alle beteiligten Mengen schön bunt dargestellt werden...

Beispiel Anfang

Sei $X:=[0,1[\cup [3,4[\ \subseteq \mathbb {R}$. In Worten ist $X$ also die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen. Diese Menge ist wie üblich mit der von $\mathbb {R}$ induzierten Topologie (Teilraumtopologie, Spurtopologie) versehen. Dies bedeutet, dass die in X offenen Mengen gerade die Mengen von der Form $V\cap X$ sind, wobei $V$ eine in in $\mathbb {R}$ offene Menge ist. Eine Menge ist also genau dann in X offen, wenn sie sich schreiben lässt als Schnitt einer in $\mathbb {R}$ offene Menge mit X.

Das Intervall $V_{1}:=]-1,2[$ ist in $\mathbb {R}$ offen. Also ist der Schnitt von $V_{1}$ mit $X$ in X offen. Dies ergibt gerade $[0,1[$. Also ist die Menge $[0,1[$ in X offen, obwohl $[0,1[$ natürlich nicht in $\mathbb {R}$ offen ist.

Ebenso ist das Intervall $V_{2}:=]2,5[$ in $\mathbb {R}$ offen. Also ist der Schnitt von $V_{2}$ mit unserem Raum $X$ in X offen. Dieser Schnitt ist nun gerade die Menge $[3,4[$. Also ist $[3,4[$ eine offene Teilmenge des Raumes $X$.

Wir sehen also, dass wir den Raum $X$ als disjunkte Vereinigung von zwei in X offenen Teilmengen schreiben können, die beide nicht leer sind. Also ist $X$ nicht zusammenhängend.

Dies lässt sich alternativ auch folgendermaßen sehen: Das Intervall $[0,2]$ ist in $\mathbb {R}$ abgeschlossen. Also ist $[0,2]\cap X$ in X abgeschlossen. Dieser Schnitt ist nun aber wieder die Menge $[0,1[$. Also ist $[0,1[$ in X abgeschlossen, obwohl $[0,1[$ natürlich nicht in $\mathbb {R}$ abgeschlossen ist. Wir haben aber oben gesehen, dass $[0,1[$ in X offen ist.

Also haben wir mit $[0,1[$ eine Teilmenge von $X$ gefunden, die gleichzeitig sowohl offen als auch abgeschlossen (in X) ist, aber nicht leer ist und auch nicht ganz $X$. Also kann $X$ nicht zusammenhängend sein. Beispiel Ende

Viele Grüße, --Cosine 16:38, 9. Dez. 2009 (CET)

danke für das Beispiel, jetzt sieht es schon besser aus --androl ☖☗ 23:40, 16. Dez. 2009 (CET)

Danke für die sprachliche Verschönerung meines Beispiels. Allerdings ist die Änderung der Definition so nicht sinnvoll. Für einen beliebigen topologischen Raum gibt es keine Teilraumtopologie, sondern nur die Topologie des Raumes. Teilmengen von topologischen Räumen haben eine Teilraumtopologie und werden so selbst zu topologischen Räumen. Ich hab das mal geändert. --Cosine 14:48, 17. Dez. 2009 (CET)

Verschieben nach Zusammenhängender Raum

Hallo,

ich würde diesen Artikel gerne nach Zusammenhängeder Raum verschieben. Zusammenhang ist ja schließlich eine Eigenschaft eines topologischen Raums und andere Eigenschaften werden in Wikipedia auch so gelistet, wie zB. Lindelöf-Raum oder Hausdorff-Raum. --Christian1985 14:55, 15. Mär. 2010 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:15, 13. Feb. 2013 (CET)

sin(1/x)

Offensichtlich ist der Graph von sin(1/x) kein uvr des R^2. (nicht signierter Beitrag von 85.216.68.7 (Diskussion) 16:07, 14. Sep. 2010 (CEST))

Von einem Vektorraum lese ich dort auch nichts. Es geht hier um topologische Räume. --Christian1985 ( 16:51, 14. Sep. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:16, 13. Feb. 2013 (CET)

Bild 4 verwirrend

Hallo! Das Bild 4 ist verwirrend. Dort wird gesagt, dass C und sein Komplement einfach zusammenhängend sind. M.E. ist C nicht einfach zusammenhängend, das Komplement schon. Der komische dunkle Strich verwirrt aber. Was soll der? --svebert 14:15, 16. Dez. 2011 (CET)

Der komische schwarze Strich soll die magentafarbene Komponente "aufscheinden", so dass sie doch einfach zusammenhängend ist. Als ich das Bild zum ersten Mal gesehen habe, musste ich auch ne Weile überlegen. Also sonderlich gut ist es wohl nicht. --Christian1985 (Diskussion) 14:21, 16. Dez. 2011 (CET)

Es ist nicht nur verwirrend sondern falsch: Die Komplexe Zahlenebene ohne {0} ist nicht einfach zusammenhängend (steht zum Beispiel hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Integralsatz#Cauchyscher_Integralsatz_.28Homotopie-Version.29) aber das ist äquivalent zu C nicht einfach zusammenhängend. Auch dürfte die Fundamentalgruppe von C eigentlich nicht verschwinden. Deswegen würde ich vorschlagen "[...] sowohl der pinkfarbene Raum C als auch sein weißes Komplement [...]" zu "[...] zwar nicht der pinkfarbene Raum C, dafür aber sein weißes Komplement [...]" zu ändern. -- Narwhal (Diskussion) 19:03, 13. Jun. 2014 (CEST)

Es ist schon richtig wie es dort steht. Es ist ja nicht möglich eine Schleife, um das weiße Komplement zu legen. Vielleicht wäre es sinnvoll die Grafik zu ändern, um weitere Unklarheiten zu vermeiden.--Christian1985 (Disk) 19:19, 13. Jun. 2014 (CEST)

n-zusammenhängend

Ich habe mir mal erlaubt den Tippfehler zu beheben. Offenbar müssen, wie in der Formel richtig geschrieben, die Fundamentalgruppen pi_n trivial sein und nicht wie (vorher) verlinkt die Homotopiegruppen. (nicht signierter Beitrag von 2003:D1:4707:4B00:7012:CA65:88C7:E1BF (Diskussion) 02:26, 27. Nov. 2019 (CET))