Diskussion:Zyklische Gruppe

Also, ehrlich gesagt, hört sich das alles sehr wissenschaftlich an. Schade nur, dass ein Laie das kaum verstehen kann. Oder ist Wikipedia mehr ein Forum für Mathematik-Experten? Ein einfaches Beispiel mit Bildern würde mehr helfen als die Flut von mathematischen Fachbegriffen. Selbst in der Schule wurde Mathematik nicht so umständlich erklärt. Runghold 16:01, 5. Feb 2004 (CET)

In der Schule wurde aber auch keine Mathematik betrieben. :) Viele mathematische Artikel sind so "wissenschaftlich", weil die Begriffe einiges an Vorwissen erfordern; einem Leser der dieses Vorwissen besitzt, erscheinen sie oft nicht so schwierig. Der Begriff der zyklischen Gruppe ist dagegen einer, der vermutlich auch Laien relativ einfach zugänglich gemacht werden könnte.

Den derzeitigen Artikel hab ich fast 1-1 aus dem englischen Artikel übersetzt, damit wir erstmal einen haben. Der wurde größtenteils von Experten geschrieben, und ich als Mathestudent hab ihn nicht einfacher gemacht. Dies können wir nun alle (auch du) in Angriff nehmen. Bilder zur Veranschaulichung sind immer eine gute Idee, z.B. eine Darstellung der Drehungen des Bitte korrigiert das!Vierecks. Das wäre ein Anfang. Ich werd mal sehen, was ich da hinkriege. --SirJective 12:09, 6. Feb 2004 (CET)

So, hab ein Bild einer Drehgruppe reingesetzt. Im einem Gespräch mit einer Mitstudentin erfuhr ich, dass das Modell der Analoguhr (mit den Stunden 12=0,1,2,...,11) ideal geeignet sein soll, um die C₁₂ zu veranschaulichen. Wie wäre es mit einer Erläuterung dieses Beispiels? (Übrigens kann man anhand der Uhr auch den Restklassenring Z/12Z darstellen.) --SirJective 16:40, 21. Feb 2004 (CET)

Jetzt sieht der Artikel schon viel netter aus, und man kann sich eher was darunter vorstellen. Runghold 21:11, 21. Feb 2004 (CET)

Hab die Restklassenaddition noch im Artikel erwähnt. Schau dir auch die gerade von mir eingestellte Veranschaulichung in Kongruenz (Zahlentheorie) an: Meinst du, das wäre einem Laien verständlich? --SirJective 12:19, 22. Feb 2004 (CET)

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Zitat: Ist n eine natürliche Zahl, dann ist (Z/nZ)* genau dann zyklisch, wenn n gleich 2, 4, pk oder 2 pk ist, für eine ungerade Primzahl p und eine natürliche Zahl k. Die Erzeuger dieser zyklischen Gruppe heißen Primitivwurzeln modulo n.

Ist das nicht doppelt gemoppelt wenn man sagt eine "ungerade Primzahl"? Kann sich das mal jemand anschauen?

Es gibt auch gerade Primzahlen: nämlich genau eine... Ich kann's aber gern umformulieren in "für eine Primzahl p>2". --SirJective 21:53, 15. Mär 2004 (CET)

Notation

Ich hab zwar im moment nicht so viele Algebra Bücher da, aber zumindest im Fischer Lineare Algebra von Vieweg und im Bosch Algerba von Springer wird nur die Notation $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ verwendet. Die Notation $C_{n}$ wird sicherlich auch verwendet, aber man sollt davon Absehen hier in der Wikipedia eine bestimmte Notation durchsetzten zu wollen. Wikipedia bildet wenn denn nur vorhande Konventionen ab, und schafft selber keine... Gruß Azrael. 13:49, 26. Jul. 2007 (CEST)

Erzeuger und Gruppenoperation

Meiner Meinung nach bleibt auch bei einen anderen Erzeuger die Gruppenoperation die selbe. Zum Beispiel in $\mathbb {Z}$ wird dannn halt der Erzeuger -1 beliebig addiert und um positive Zahlen zu erhalten mit vielfachen des Inversen von -1 nämlich 1 addiert. Deshalb hab ich mal die Änderunge wieder rückgängig gemacht. Gruß Azrael. 18:42, 27. Aug. 2007 (CEST)

Beispiel

Das eingefügte Beispiel sieht noch nicth so gut aus, es müssten erstam die Formel überarbeitet werden. Und dann sollte es auch etwas deutlicher machen was gemeint ist, z.B. was ist $\phi$ ? Leider hab ich im Moment keine Zeit um es selber zu machen... Gruß Azrael. 00:36, 28. Jan. 2008 (CET)

aus dem Artikel:

Beispiele

Erzeugenden Elemente der zylischen Gruppe (Z30, +) sind:

1 ist erzeugendes Element (durch probieren gefunden)

Das kann doch gar nich sein, oder? (nicht signierter Beitrag von 79.206.155.81 (Diskussion) 20:52, 23. Sep. 2016 (CEST))

k ⋅ 1 erzeugt Z30 wenn ggT(k ,30) = 1

k = 7,11,13,17,19, 23, 29

Die erzeugenden Elemente sind also 1,7,11,13,17,19,23,29 wobei ( φ ( 30 ) = 8 )

Def. missverständlich. Genau ein erzeugendes Element?

Der erste Satz ist missverständlich. Eine zyklische Gruppe wird nicht zwingend von genau einem Element erzeugt, beispielsweise hat die zyklische Gruppe Z_3 die \emph{beiden} Erzeuger 1 und 2. Allerdings besitzt jede zyklische Gruppe ein Element, welches alleine für sich die Gruppe (bereits) erzeugt. 129.132.175.94 16:55, 5. Okt. 2012 (CEST)

Drehung gegen den Uhrzeigersinn

Auch wenn von Verständlichkeit für Laien die Rede war (siehe ganz oben), so ist doch die mathematische Konvention der Drehung *gegen* den Uhrzeigersinn etwas, was man möglichst früh einführen sollte. Ich denke, eine Überarbeitung der Grafik wäre sinnvoll. jjh1993 (Diskussion) 20:45, 26. Nov. 2014 (CET)

Diese Aussage ist leider unverständlich

Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt endlich vieler zyklischer und unendlich zyklischer Gruppen. (nicht signierter Beitrag von 79.206.155.81 (Diskussion) 14:04, 23. Sep. 2016 (CEST))

Kann das jemand kurz erklären, bitte? (nicht signierter Beitrag von 79.206.158.107 (Diskussion) 15:30, 26. Sep. 2016 (CEST))

Das sollte wohl „endlich vieler endlicher und unendlicher zyklischer Gruppen“ heißen. Ich hab’s jetzt mal entsprechend geändert. -- HilberTraum (d, m) 21:05, 26. Sep. 2016 (CEST)

Mehr Anwendungen / Beispiele

Man könnte neben den zum verständnis dienenden Beispielen auch Anwendungn nennen. Z.B. in der Kryptographie sind zykliche Gruppen sehr wichtig, z.B. Restklassen und Elliptische Kurven.

Multiplikative Schreibweise

Also, aus meiner krytographisch vorgeprägten Sicht ist die Verwendung von multiplikativ geschriebenen Gruppen in diesem Artikel natürlich gerne gesehen, aber wenn ich ganz ehrlich bin frage ich mich doch wie sinnvoll das hier ist: Sowohl der Artikel als auch die Isomorophien beziehen sich ja fast alle auf irgendeine Gruppe $\mathbb {Z} _{n}^{+}$, die ja den Inbegriff einer additiven Gruppe darstellt. Soweit ich das von außen mitbekomme, neigen Mathematiker darüber hinaus deutlich zu additiv geschriebenen Gruppen.

Hinzu kommt, dass viele Aussage extrem intuitiv und offensichtlich richtig werden, wenn man über additive Gruppen nachdenkt, was für multiplikative Gruppen nicht immer der Fall ist. Um nur ein Beispiel zu geben: Der kleine Fermat besagt, dass $a^{p}=a^{\phi (p)+1}=a^{(p-1)+1}\equiv a{\pmod {p}}$ ist was unintuitiv genug ist um einen Satz nach ihm zu benennen. Additiv lautet die Aussage auf der anderen Seite $a\cdot (p+1)=a\cdot p+a\equiv a{\pmod {p}}$ und folgt trivial aus der Definition des Modulo.

Ich möchte betonen, dass ich nicht sage wir sollten die multiplikative Schreibweise entfernen, da diese ihre eigenen Vorteile hat (Skalare und Gruppenelemente sind deutlich sichtbar getrennt), allerdings wäre ich dafür den Kern des Artikels additiv zu gestalten, mit einem Hinweis auf multiplikative Gruppen am Anfang und würde dann im Anschluss nur noch multiplikativ schreiben, wenn es einen Vorteil bringt oder es allgemein üblich ist (z.B. bei kryptographischen Aspekten). --Florian Weber 19:11, 29. Okt. 2018 (CET)

@Florian Weber: Aus den Beispielen, die Du erwähnst, gewinne ich den Eindruck, dass Du mit additiver/multiplikativer Schreibweise nicht nur die Weise meinst, wie das Verknüpfungszeichen der Gruppe geschrieben wird, sondern ob in einer algebraischen Struktur, die zwei Verknüpfungen kennt, von denen konventionsmäßig die eine als die additive und die andere als die multiplikative angesehen wird (beispielsweise im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen), auf die erstere oder die letztere Bezug genommen wird. Ohne eine solche Bezugnahme ist es auf der Abstraktionsebene »Zyklische Gruppe« völlig unerheblich, mit welchem Operationszeichen die Gruppenverknüpfung geschrieben wird.
Ich überlege mir also, ob ich den insofern irreführenden Begriff »Schreibweise« resp. den Titel des Abschnitts »Schreibweisen« durch etwas ersetze, das den Punkt genauer trifft. Die kleine Warnung im dortigen Text vor der »Verleitung« reicht möglicherweise nicht aus. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:22, 30. Okt. 2018 (CET)

Konkret meine ich tatsächlich nur die Schreibweise weil mir durchaus klar ist, dass das alles isomorph ist. Fakt ist aber nunmal das verschiedene Formen der Notation verschiedene Assoziationen hervorrufen und diese entweder sehr hilfreich oder sehr störend dabei sein können die richtige Intuition hervorzurufen. Da die meisten Aussagen bei Verwendung der additiven Schreibweise für Lieschen Müller eher intuitiv sein sollten als bei verwendung der Multiplikativen Schreibweise. (Wie groß ist der Anteil an Menschen in der Bevölkerung die die Potenzrechenregeln instinktiv beherschen? 5%? Weniger?) --Florian Weber 21:09, 30. Okt. 2018 (CET)