Distributionelle Lösung

Eine distributionelle Lösung oder Lösung im distributionellen Sinn ist eine Distribution, die für partielle Differentialgleichungen eine gleiche Eigenschaft wie die durch eine klassische Lösung erzeugte reguläre Distribution hat. Sie verallgemeinert klassische Lösungen in dem Sinne, dass für jede klassische Lösung $u$ einer PDGL die zu $u$ gehörige Distribution $T_{u}$ eine distributionelle Lösung ist.

Definition

Sei $T$ eine Distribution, $f\in C(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ und

L=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}

ein linearer partieller Differentialoperator. $T$ heißt distributionelle Lösung der partiellen Differentialgleichung $Lu=f$ genau dann, wenn:

LT=T_{f}

Dabei wird in dieser Gleichung $L$ als ein linearer partieller Differentialoperator auf Distributionen aufgefasst.

Ist $T$ eine distributionelle Lösung von $LT=T_{f}$ , und gibt es eine lokal integrierbare Funktion $u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , sodass $T=T_{u}$ (d. h. $T$ ist eine reguläre Distribution, die von $u$ erzeugt wird), so nennt man manchmal auch die Funktion $u$ (statt $T_{u}$ ) eine distributionelle Lösung.

Eigenschaften