Doob-Martingal

Ein Doob-Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Stochastik. Dem Namen entsprechend gehören Doob-Martingale zur Klasse der Martingale. Doob-Martingale zeichnen sich durch ihre einfache Darstellung aus. Außerdem stehen sie in enger Verbindung zu den Martingalkonvergenzsätzen. Doob-Martingale selbst konvergieren bereits aufgrund ihrer Eigenschaften, die aus der Definition folgen. Die Martingalkonvergenzsätze beantworten dann die Frage, welche Martingale als Doob-Martingale dargestellt werden können.

Die Doob-Martingale sind nach Joseph L. Doob benannt.

Definition

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, eine Indexmenge $T\subset \mathbb {N} _{0}$ sowie eine Filtrierung $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ in ${\mathcal {A}}$ und eine integrierbare Zufallsvariable $X$, das heißt $\operatorname {E} (|X|)<\infty$.

Dann heißt der stochastische Prozess, der durch

$X_{n}:=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})$

definiert wird, ein Doob-Martingal.

Dabei bezeichnet $\operatorname {E} (Y|{\mathcal {A}})$ den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariable $Y$, gegeben die σ-Algebra ${\mathcal {A}}$.

Nachweis der Martingal-Eigenschaft

Die Integrierbarkeit des Doob-Martingals folgt aus

$\operatorname {E} (|X_{n}|)=\operatorname {E} (\left|\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})\right|)\leq \operatorname {E} (\operatorname {E} (\left|X\right||{\mathcal {F}}_{n}))=\operatorname {E} (|X|)$

nach der Definition, der Dreiecksungleichung für den bedingten Erwartungswert und der Regel über das Bilden des Erwartungswertes über den bedingten Erwartungswert.

Die Adaptiertheit des Doob-Martingals folgt daraus, das per Definition $X_{n}=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})$ immer ${\mathcal {F}}_{n}$-messbar ist.

Der Nachweis der definierenden Eigenschaft für Martingale folgt aus der Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes:

$X_{n}=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})|{\mathcal {F}}_{n+1})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})$.

Eigenschaften

Gleichgradige Integrierbarkeit

Jedes Doob-Martingal ist immer gleichgradig integrierbar. Dies lässt sich zeigen, indem man von der Zufallsvariable $X$, welche gleichgradig integrierbar ist, über ein Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit, welches konvexe Funktionen verwendet, mittels der Jensenschen Ungleichung für den bedingten Erwartungswert auf die gleichgradige Integrierbarkeit schließt.

Als abgeschlossenes Martingal

Jedes abgeschlossene Martingal $X=(X_{n})_{n\in T}$ lässt sich als Doob-Martingal darstellen: Ist $X_{u}$ das letzte Element des abgeschlossenen Martingals, so ist

$X_{n}=\operatorname {E} (X_{u}|{\mathcal {F}}_{n})$ für alle $n\leq u$.

Umgekehrt lässt sich jedes Doob-Martingal abschließen. Dazu setzt man $T'=T\cup u$ sowie als letztes Element

$X_{u}:=X$ und ${\mathcal {F}}_{u}:={\mathcal {A}}$,

die σ-Algebra des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes.

Konvergenz

Setzt man

${\mathcal {F}}_{\infty }:=\sigma \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}\right)$

so lässt sich aus dem Martingalkonvergenzsatz daraus folgende Aussage ableiten:

Ist $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein Martingal bezüglich $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, so lässt sich $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann als ein Doob-Martingal bezüglich einer Zufallsvariable $X$ darstellen, wenn eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingung erfüllt sind:

1. $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist gleichgradig integrierbar
2. $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Konvergiert im ersten Mittel und fast sicher

Ist dann $X_{\infty }$ der Grenzwert von $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, so gilt

$X_{\infty }=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{\infty })$

Satz von Lévy

Teilweise wird ein Martingalkonvergenzsatz für Doob-Martingale beziehungsweise für den bedingten Erwartungswert auch als eigenständige Aussage formuliert und dann als Satz von Lévy (nach Paul Lévy) bezeichnet. Er lautet:

Ist $X$ eine integrierbare Zufallsvariable, so konvergiert $\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})$ fast sicher und im ersten Mittel gegen $\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{\infty })$.

Je nach Quelle wird auch gefordert, dass die Zufallsvariable quadratintegrierbar ist. Die Konvergenz ist dann entsprechend im quadratischen Mittel.

Literatur

• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.