Doppelt-stochastische Matrix
In der Mathematik bezeichnet eine doppelt-stochastische Matrix (manchmal auch doppelt-stochastische Übergangsmatrix) eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen betragen und deren Elemente zwischen und liegen.
Charakterisierungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:
- Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen und liegen.
- Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl als auch die transponierte Matrix Übergangsmatrizen sind.
- Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.
Eigenwerte und Eigenvektoren
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wie alle Übergangsmatrizen besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert . Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der Einsvektor (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix doppelt-stochastisch und noch zusätzlich entweder irreduzibel oder echt positiv (vgl. Satz von Perron-Frobenius), so ist die einzige stationäre Verteilung der Markow-Kette, die durch charakterisiert wird, die Gleichverteilung, also der Wahrscheinlichkeitsvektor (das bezieht sich auf die Dimension der -Matrix ).
Satz von Birkhoff und von Neumann
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für eine -Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.
Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan: Combinatorics: The Rota Way. Cambridge University Press, Cambridge (u. a) 2009, ISBN 978-0-521-73794-4.
- Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Andrea Ambrosio, Stephen Forrest: Birkhoff-von Neumann theorem. In: PlanetMath. (englisch)
- Eric W. Weisstein: Doubly Stochastic Matrix. In: MathWorld (englisch).